Koje sile djeluju na kretanje matematičkog klatna. Tajne klatna

Matematičko klatno naziva se materijalna tačka okačena na bestežinski i nerastegljivi konac pričvršćen za suspenziju i nalazi se u polju gravitacije (ili druge sile).

Proučavamo oscilacije matematičkog klatna u inercijskom referentnom okviru, u odnosu na koji tačka njegovog ovjesa miruje ili se kreće jednoliko pravolinijski. Zanemarit ćemo silu otpora zraka (idealno matematičko klatno). U početku, klatno miruje u ravnotežnom položaju C. U ovom slučaju, sila gravitacije koja djeluje na njega i sila elastičnosti F?ynp niti su međusobno kompenzirane.

Izvodimo klatno iz ravnotežnog položaja (odbijajući ga, na primjer, u položaj A) i puštamo ga bez početne brzine (slika 1). U ovom slučaju, sile i ne balansiraju jedna drugu. Tangencijalna komponenta gravitacije, koja djeluje na klatno, daje mu tangencijalno ubrzanje a?? (komponenta ukupnog ubrzanja usmjerena duž tangente na putanju matematičkog klatna), a klatno počinje da se kreće prema ravnotežnom položaju sa rastućom brzinom u apsolutnoj vrijednosti. Tangencijalna komponenta gravitacije je stoga sila vraćanja. Normalna komponenta gravitacije usmjerena je duž niti protiv elastične sile. Rezultirajuća sila i govori klatnu normalno ubrzanje, koje mijenja smjer vektora brzine, a klatno se kreće duž luka ABCD.

Što se klatno više približava ravnotežnom položaju C, to je manja vrijednost tangencijalne komponente. U ravnotežnom položaju jednaka je nuli, a brzina dostiže svoju maksimalnu vrijednost, a klatno se kreće dalje po inerciji, podižući se prema gore duž luka. U ovom slučaju, komponenta je usmjerena protiv brzine. Sa povećanjem ugla otklona a, modul sile raste, a modul brzine opada, a u tački D brzina klatna postaje jednaka nuli. Klatno se na trenutak zaustavlja, a zatim počinje da se kreće u smjeru suprotnom od ravnotežnog položaja. Nakon što ga ponovo prođe po inerciji, klatno će, usporavajući, doći do tačke A (bez trenja), tj. pravi puni zamah. Nakon toga, kretanje klatna će se ponoviti u već opisanom nizu.

Dobijamo jednačinu koja opisuje slobodne oscilacije matematičkog klatna.

Neka se klatno u datom trenutku nalazi u tački B. Njegov pomak S od ravnotežnog položaja u ovom trenutku jednak je dužini luka CB (tj. S = |CB|). Označimo dužinu niti ovjesa sa l, a masu klatna kao m.

Slika 1 pokazuje da je , gdje . Pod malim uglovima () otklon klatna, dakle

Znak minus u ovoj formuli se stavlja jer je tangencijalna komponenta gravitacije usmjerena prema ravnotežnom položaju, a pomak se računa od ravnotežnog položaja.

Prema drugom Newtonovom zakonu. Projektiramo vektorske količine ove jednadžbe na smjer tangente na putanju matematičkog klatna

Iz ovih jednačina dobijamo

Dinamička jednačina kretanja matematičkog klatna. Tangencijalno ubrzanje matematičkog klatna proporcionalno je njegovom pomaku i usmjereno je prema ravnotežnom položaju. Ova jednačina se može napisati kao

Upoređujući to sa jednadžbom harmonijskih oscilacija , možemo zaključiti da matematičko klatno pravi harmonijske oscilacije. A pošto su se razmatrane oscilacije klatna dešavale pod dejstvom samo unutrašnjih sila, to su bile slobodne oscilacije klatna. Prema tome, slobodne oscilacije matematičkog klatna sa malim odstupanjima su harmonične.

Označiti

Ciklična frekvencija oscilacija klatna.

Period oscilovanja klatna. dakle,

Ovaj izraz se zove Huygensova formula. Određuje period slobodnih oscilacija matematičkog klatna. Iz formule proizlazi da je pri malim uglovima odstupanja od ravnotežnog položaja period oscilovanja matematičkog klatna:

1. ne zavisi od njegove mase i amplitude oscilacija;
2. proporcionalno kvadratnom korijenu dužine klatna i obrnuto proporcionalno kvadratnom korijenu ubrzanja slobodnog pada.

Ovo je u skladu s eksperimentalnim zakonima malih oscilacija matematičkog klatna, koje je otkrio G. Galileo.

Naglašavamo da se ova formula može koristiti za izračunavanje perioda kada su dva uslova ispunjena istovremeno:

1. oscilacije klatna treba da budu male;
2. tačka ovjesa klatna mora mirovati ili se kretati ravnomjerno pravolinijski u odnosu na inercijski referentni okvir u kojem se nalazi.

Ako se tačka ovjesa matematičkog klatna kreće ubrzano, tada se mijenja sila zatezanja niti, što dovodi do promjene sile vraćanja, a samim tim i frekvencije i perioda oscilovanja. Kao što pokazuju proračuni, period oscilacije klatna u ovom slučaju može se izračunati po formuli

gdje je "efikasno" ubrzanje klatna u neinercijskom referentnom okviru. Jednaka je geometrijskom zbiru gravitacionog ubrzanja i vektora suprotnog vektoru, tj. može se izračunati pomoću formule

Mehanički sistem, koji se sastoji od materijalne tačke (tijela) koja visi na nerastavljivoj bestežinskoj niti (njegova masa je zanemarljiva u odnosu na težinu tijela) u jednoličnom gravitacijskom polju, naziva se matematičko klatno (drugo ime je oscilator) . Postoje i druge vrste ovog uređaja. Umjesto konca može se koristiti bestežinski štap. Matematičko klatno može jasno otkriti suštinu mnogih zanimljivih pojava. Uz malu amplitudu oscilacije, njegovo kretanje se naziva harmonijskim.

Opće informacije o mehaničkom sistemu

Formulu za period oscilovanja ovog klatna izveo je holandski naučnik Hajgens (1629-1695). Ovaj savremenik I. Newtona veoma je voleo ovaj mehanički sistem. 1656. godine stvorio je prvi sat sa klatnom. Merili su vreme sa izuzetnom tačnošću za ta vremena. Ovaj izum je postao najvažnija faza u razvoju fizičkih eksperimenata i praktičnih aktivnosti.

Ako je klatno u ravnotežnom položaju (visi okomito), tada će biti uravnoteženo silom napetosti niti. Ravno klatno na nerastavljivoj niti je sistem sa dva stepena slobode sa vezom. Kada promijenite samo jednu komponentu, mijenjaju se karakteristike svih njenih dijelova. Dakle, ako se navoj zamijeni šipkom, onda će ovaj mehanički sistem imati samo 1 stepen slobode. Koja su svojstva matematičkog klatna? U ovom najjednostavnijem sistemu, haos nastaje pod uticajem periodične perturbacije. U slučaju kada se tačka vešanja ne kreće, već osciluje, klatno ima novi ravnotežni položaj. Sa brzim oscilacijama gore-dole, ovaj mehanički sistem dobija stabilan položaj naopako. Ona takođe ima svoje ime. Zove se Kapitsino klatno.

svojstva klatna

Matematičko klatno ima veoma interesantna svojstva. Svi oni su potvrđeni poznatim fizičkim zakonima. Period oscilovanja bilo kog drugog klatna zavisi od različitih okolnosti, kao što su veličina i oblik tela, rastojanje između tačke vešanja i centra gravitacije, raspodela mase u odnosu na ovu tačku. Zato je određivanje perioda visećeg tijela prilično težak zadatak. Mnogo je lakše izračunati period matematičkog klatna, čija će formula biti data u nastavku. Kao rezultat posmatranja sličnih mehaničkih sistema, mogu se ustanoviti sljedeće pravilnosti:

Ako se, uz zadržavanje iste dužine klatna, ovjese različite težine, tada će se pokazati da je period njihovih oscilacija isti, iako će se njihove mase jako razlikovati. Dakle, period takvog klatna ne zavisi od mase tereta.

Ako se pri pokretanju sistema klatno otkloni ne prevelikim, već različitim uglovima, tada će početi da osciluje sa istim periodom, ali sa različitim amplitudama. Sve dok odstupanja od centra ravnoteže nisu prevelika, oscilacije će po svom obliku biti prilično bliske harmonijskim. Period takvog klatna ni na koji način ne zavisi od amplitude oscilovanja. Ovo svojstvo ovog mehaničkog sistema naziva se izohronizam (prevedeno sa grčkog "chronos" - vrijeme, "isos" - jednak).

Period matematičkog klatna

Ovaj indikator predstavlja period Uprkos složenim formulacijama, sam proces je vrlo jednostavan. Ako je dužina niti matematičkog klatna L, a ubrzanje slobodnog pada g, tada je ova vrijednost jednaka:

Period malih prirodnih oscilacija ni na koji način ne zavisi od mase klatna i amplitude oscilacija. U ovom slučaju, klatno se kreće poput matematičkog klatna smanjene dužine.

Oscilacije matematičkog klatna

Matematičko klatno oscilira, što se može opisati jednostavnom diferencijalnom jednačinom:

x + ω2 sin x = 0,

gdje je x (t) nepoznata funkcija (ovo je ugao odstupanja od donjeg ravnotežnog položaja u trenutku t, izražen u radijanima); ω je pozitivna konstanta koja se određuje iz parametara klatna (ω = √g/L, gdje je g gravitacijsko ubrzanje, a L dužina matematičkog klatna (ovjesa).

Jednadžba malih oscilacija u blizini položaja ravnoteže (harmonična jednačina) izgleda ovako:

x + ω2 sin x = 0

Oscilatorna kretanja klatna

Matematičko klatno koje stvara male oscilacije kreće se duž sinusoide. Diferencijalna jednačina drugog reda ispunjava sve zahtjeve i parametre takvog kretanja. Da biste odredili putanju, morate odrediti brzinu i koordinate iz kojih se zatim određuju nezavisne konstante:

x \u003d A sin (θ 0 + ωt),

gdje je θ 0 početna faza, A je amplituda oscilacije, ω je ciklična frekvencija određena iz jednačine kretanja.

Matematičko klatno (formule za velike amplitude)

Ovaj mehanički sistem, koji vrši svoje oscilacije sa značajnom amplitudom, podleže složenijim zakonima kretanja. Za takvo klatno, oni se izračunavaju po formuli:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

gdje je sn Jakobijanski sinus, koji je za u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

gdje je ε = E/mL2 (mL2 je energija klatna).

Period oscilovanja nelinearnog klatna određuje se formulom:

gdje je Ω = π/2 * ω/2K(u), K je eliptički integral, π - 3,14.

Kretanje klatna duž separatrice

Separatrisa je putanja dinamičkog sistema koji ima dvodimenzionalni fazni prostor. Matematičko klatno se kreće duž njega neperiodično. U beskonačno udaljenom trenutku, pada iz krajnje gornje pozicije na stranu sa nultom brzinom, a zatim ga postepeno podiže. Na kraju se zaustavlja, vraćajući se u prvobitni položaj.

Ako se amplituda oscilacije klatna približi broju π , ovo ukazuje da se kretanje na faznoj ravni približava separatrici. U ovom slučaju, pod dejstvom male pogonske periodične sile, mehanički sistem pokazuje haotično ponašanje.

Kada matematičko klatno odstupi od ravnotežnog položaja pod određenim uglom φ, javlja se tangencijalna sila gravitacije Fτ = -mg sin φ. Znak minus znači da je ta tangencijalna komponenta usmjerena u suprotnom smjeru od otklona klatna. Kada se pomak klatna duž luka kružnice poluprečnika L označi sa x, njegov ugaoni pomak je jednak φ = x/L. Drugi zakon, koji se odnosi na projekcije i silu, će dati željenu vrijednost:

mg τ = Fτ = -mg sinx/L

Na osnovu ovog odnosa može se vidjeti da je ovo klatno nelinearan sistem, jer je sila koja teži da ga vrati u ravnotežni položaj uvijek proporcionalna ne pomaku x, već sin x/L.

Samo kada matematičko klatno pravi male oscilacije, ono je harmonijski oscilator. Drugim riječima, postaje mehanički sistem sposoban da izvodi harmonijske vibracije. Ova aproksimacija praktički vrijedi za uglove od 15-20°. Oscilacije klatna sa velikim amplitudama nisu harmonijske.

Newtonov zakon za male oscilacije klatna

Ako dati mehanički sistem izvodi male vibracije, Newtonov 2. zakon će izgledati ovako:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Na osnovu ovoga možemo zaključiti da je matematičko klatno proporcionalno svom pomaku sa predznakom minus. Ovo je uslov zbog kojeg sistem postaje harmonijski oscilator. Modul faktora proporcionalnosti između pomaka i ubrzanja jednak je kvadratu kružne frekvencije:

ω02 = g/L; ω0 = √g/L.

Ova formula odražava prirodnu frekvenciju malih oscilacija ovog tipa klatna. Na osnovu ovoga,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Proračuni zasnovani na zakonu održanja energije

Svojstva klatna se također mogu opisati korištenjem zakona održanja energije. U ovom slučaju treba uzeti u obzir da je klatno u polju gravitacije jednako:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Ukupno je jednako kinetičkom ili maksimalnom potencijalu: Epmax = Ekmsx = E

Nakon što se napiše zakon održanja energije, uzima se izvod desne i lijeve strane jednačine:

Pošto je izvod konstanti 0, onda je (Ep + Ek)" = 0. Izvod sume je jednak zbiru izvoda:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv*α,

dakle:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.

Na osnovu posljednje formule nalazimo: α = - g/L*x.

Praktična primjena matematičkog klatna

Ubrzanje varira ovisno o geografskoj širini, budući da gustina zemljine kore nije ista na cijeloj planeti. Tamo gdje se pojavljuju stijene veće gustine, ona će biti nešto veća. Ubrzanje matematičkog klatna se često koristi za geološka istraživanja. Koristi se za traženje raznih minerala. Jednostavnim prebrojavanjem broja zamaha klatna možete pronaći ugalj ili rudu u utrobi Zemlje. To je zbog činjenice da takvi fosili imaju gustinu i masu veću od labavih stijena koje ih leže.

Matematičko klatno koristili su istaknuti naučnici kao što su Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih su vjerovali da ovaj mehanički sistem može utjecati na sudbinu i život osobe. Arhimed je u svojim proračunima koristio matematičko klatno. Danas mnogi okultisti i vidovnjaci koriste ovaj mehanički sistem da ispune svoja proročanstva ili traže nestale ljude.

Čuveni francuski astronom i prirodnjak C. Flammarion također je koristio matematičko klatno za svoja istraživanja. Tvrdio je da je uz njegovu pomoć mogao predvidjeti otkriće nove planete, pojavu Tunguskog meteorita i druge važne događaje. Za vrijeme Drugog svjetskog rata u Njemačkoj (Berlin) je radio specijalizovani institut za klatno. Danas se sličnim istraživanjima bavi Minhenski institut za parapsihologiju. Rad sa klatnom zaposleni u ovoj ustanovi nazivaju radiestezijom.

Matematičko klatno- ovo je materijalna tačka okačena na bestežinsku i nerastezljivu nit koja se nalazi u Zemljinom gravitacionom polju. Matematičko klatno je idealizirani model koji ispravno opisuje stvarno klatno samo pod određenim uvjetima. Pravo klatno se može smatrati matematičkim ako je dužina niti mnogo veća od dimenzija tijela okačenog na njemu, masa niti je zanemariva u odnosu na masu tijela, a deformacije niti su tako male da se mogu potpuno zanemariti.

Oscilirajući sistem u ovom slučaju čine nit, za nju pričvršćeno tijelo i Zemlja, bez koje ovaj sistem ne bi mogao služiti kao klatno.

gdje a X – ubrzanje, g - ubrzanje gravitacije, X- ofset, l je dužina žice klatna.

Ova jednačina se zove jednadžba slobodnih oscilacija matematičkog klatna. Ona ispravno opisuje razmatrane oscilacije samo kada su ispunjene sljedeće pretpostavke:

2) razmatraju se samo male oscilacije klatna sa malim uglom zamaha.

Slobodne vibracije bilo kojeg sistema u svim slučajevima se opisuju sličnim jednačinama.

Razlozi slobodnih oscilacija matematičkog klatna su:

1. Djelovanje sile napetosti i sile gravitacije na klatno, sprječavanje njegovog pomjeranja iz ravnotežnog položaja i prisiljavanje da ponovo padne.

2. Inercija klatna, zbog koje se, zadržavajući svoju brzinu, ne zaustavlja u ravnotežnom položaju, već prolazi kroz njega dalje.

Period slobodnih oscilacija matematičkog klatna

Period slobodnih oscilacija matematičkog klatna ne zavisi od njegove mase, već je određen samo dužinom niti i ubrzanjem slobodnog pada na mestu gde se klatno nalazi.

Konverzija energije tokom harmonijskih vibracija

Uz harmonijske oscilacije opružnog klatna, potencijalna energija elastično deformisanog tijela pretvara se u njegovu kinetičku energiju, pri čemu se k – koeficijent elastičnosti, X - modul pomaka klatna iz ravnotežnog položaja, m- masa klatna, v- njegovu brzinu. U skladu sa jednačinom harmonijskih oscilacija:

, .

Ukupna energija opružnog klatna:

.

Ukupna energija za matematičko klatno:

U slučaju matematičkog klatna

Transformacije energije pri oscilacijama opružnog klatna odvijaju se u skladu sa zakonom održanja mehaničke energije ( ). Kada se klatno kreće gore ili dolje iz ravnotežnog položaja, njegova potencijalna energija raste, a kinetička energija opada. Kada klatno prođe ravnotežni položaj ( X= 0), njegova potencijalna energija je jednaka nuli, a kinetička energija klatna ima najveću vrijednost, jednaku njegovoj ukupnoj energiji.

Dakle, u procesu slobodnih oscilacija klatna, njegova potencijalna energija se pretvara u kinetičku, kinetička u potencijalnu, potencijalna pa opet u kinetičku, itd. Ali ukupna mehanička energija ostaje nepromijenjena.

Prisilne vibracije. Rezonancija.

Oscilacije koje nastaju pod dejstvom vanjske periodične sile nazivaju se prisilne vibracije. Vanjska periodična sila, nazvana pokretačka sila, daje dodatnu energiju oscilatornom sistemu, koja se koristi za nadoknađivanje gubitaka energije uslijed trenja. Ako se pokretačka sila mijenja u vremenu prema sinusnom ili kosinusnom zakonu, tada će prisilne oscilacije biti harmonijske i neprigušene.

Za razliku od slobodnih oscilacija, kada sistem primi energiju samo jednom (kada se sistem izvuče iz ravnoteže), u slučaju prinudnih oscilacija, sistem kontinuirano apsorbuje ovu energiju iz izvora spoljašnje periodične sile. Ova energija nadoknađuje gubitke utrošene na savladavanje trenja, pa stoga ukupna energija oscilatornog sistema ne ostaje nepromenjena.

Frekvencija prisilnih oscilacija jednaka je frekvenciji pokretačke sile. Kada je frekvencija pokretačke sile υ poklapa se sa prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema υ 0 , dolazi do naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija - rezonancija. Rezonancija nastaje jer υ = υ 0 vanjska sila, koja djeluje u vremenu sa slobodnim vibracijama, uvijek je kousmjerena sa brzinom oscilirajućeg tijela i radi pozitivan rad: energija oscilirajućeg tijela se povećava, a amplituda njegovih oscilacija postaje velika. Grafikon zavisnosti amplitude prisilnih oscilacija ALI t na frekvenciju pokretačke sile υ prikazan na slici, ovaj grafikon se zove rezonantna kriva:

Fenomen rezonancije igra važnu ulogu u nizu prirodnih, naučnih i industrijskih procesa. Na primjer, potrebno je uzeti u obzir fenomen rezonancije prilikom projektovanja mostova, zgrada i drugih konstrukcija koje doživljavaju vibracije pod opterećenjem, u suprotnom, pod određenim uvjetima, ove konstrukcije mogu biti uništene.

Klatno prikazano na sl. 2, su produžena tijela različitih oblika i veličina, koja osciliraju oko ovjesa ili potporne točke. Takvi sistemi se nazivaju fizička klatna. U stanju ravnoteže, kada je centar gravitacije na vertikali ispod tačke ovjesa (ili oslonca), sila gravitacije je uravnotežena (preko elastičnih sila deformiranog klatna) reakcijom oslonca. Prilikom odstupanja od ravnotežnog položaja, gravitacija i elastične sile određuju u svakom trenutku ugaono ubrzanje klatna, odnosno određuju prirodu njegovog kretanja (oscilacije). Sada ćemo detaljnije razmotriti dinamiku oscilacija koristeći najjednostavniji primjer takozvanog matematičkog klatna, koje je mala težina okačena na dugačku tanku nit.

Kod matematičkog klatna možemo zanemariti masu niti i deformaciju utega, tj. možemo pretpostaviti da je masa klatna koncentrisana u težini, a elastične sile koncentrisane u niti, što se smatra neprotegljiv. Pogledajmo sada pod utjecajem kojih sila oscilira naše klatno nakon što je na neki način izbačeno iz ravnoteže (guranjem, otklonom).

Kada klatno miruje u ravnotežnom položaju, sila gravitacije koja djeluje na njegovu težinu i usmjerena je okomito prema dolje, uravnotežena je zatezanjem u niti. U odmaknutom položaju (slika 15), gravitacija djeluje pod uglom u odnosu na silu zatezanja usmjerenu duž konca. Silu gravitacije razlažemo na dvije komponente: u smjeru niti () i okomito na nju (). Kada klatno oscilira, sila zatezanja niti malo premašuje komponentu - za vrijednost centripetalne sile, što uzrokuje da se teret kreće u luku. Komponenta je uvijek usmjerena prema ravnotežnom položaju; izgleda da nastoji da vrati ovu poziciju. Stoga se često naziva obnavljajućom silom. Modul je veći, što je klatno više uklonjeno.

Rice. 15. Povratna sila kada klatno odstupi od ravnotežnog položaja

Dakle, čim klatno, tokom svojih oscilacija, počne da odstupa od ravnotežnog položaja, recimo, udesno, pojavljuje se sila koja usporava njegovo kretanje utoliko više što se više skreće. Na kraju, ova sila će ga zaustaviti i odvući nazad u ravnotežni položaj. Međutim, kako se približavamo ovoj poziciji, sila će biti sve manja i u samom ravnotežnom položaju će se okrenuti na nulu. Dakle, klatno prolazi kroz ravnotežni položaj po inerciji. Čim počne da odstupa ulijevo, opet će se pojaviti sila, koja raste sa povećanjem odstupanja, ali sada usmjerena udesno. Kretanje ulijevo će se ponovo usporiti, zatim će se klatno na trenutak zaustaviti, nakon čega će početi ubrzano kretanje udesno, itd.

Šta se dešava sa energijom klatna dok se njiše?

Dva puta tokom perioda - pri najvećim odstupanjima ulevo i udesno - klatno se zaustavi, odnosno u tim trenucima brzina je nula, što znači da je i kinetička energija nula. Ali upravo u tim trenucima težište klatna je podignuto na najveću visinu i, posljedično, potencijalna energija je najveća. Naprotiv, u trenucima prolaska kroz ravnotežni položaj potencijalna energija je najmanja, a brzina i kinetička energija dostižu maksimalnu vrijednost.

Pretpostavljamo da se sile trenja klatna o zrak i trenje u tački ovjesa mogu zanemariti. Tada je, prema zakonu održanja energije, ova maksimalna kinetička energija tačno jednaka višku potencijalne energije u položaju najvećeg odstupanja u odnosu na potencijalnu energiju u ravnotežnom položaju.

Dakle, kada klatno oscilira, dolazi do periodične tranzicije kinetičke energije u potencijalnu energiju i obrnuto, a period tog procesa je upola kraći od perioda oscilovanja samog klatna. Međutim, ukupna energija klatna (zbir potencijalne i kinetičke energije) je konstantna cijelo vrijeme. Ona je jednaka energiji koja je klatno preneta u startu, bilo da je u obliku potencijalne energije (početni otklon) ili kinetičke energije (početno potiskivanje).

Ovo je slučaj sa svim vibracijama u odsustvu trenja ili bilo kojih drugih procesa koji uzimaju energiju iz oscilirajućeg sistema ili mu daju energiju. Zato amplituda ostaje nepromijenjena i određena je početnim odstupanjem ili silom guranja.

Iste promjene povratne sile i isti prijelaz energije dobijamo ako je umjesto da okačimo o konac, učinimo da se kotrlja u okomitoj ravni u sfernoj čaši ili u koritu zakrivljenom po obodu. U ovom slučaju, ulogu napetosti niti će preuzeti pritisak stijenki čaše ili korita (opet zanemarujemo trenje kuglice o zidove i zrak).

Matematičko klatno je model običnog klatna. Matematičko klatno je materijalna tačka koja je okačena na dugačku bestežinsku i nerastegljivu nit.

Izvucite loptu iz ravnoteže i pustite je. Na lopticu djeluju dvije sile: gravitacija i napetost u tetivi. Kada se klatno kreće, sila vazdušnog trenja će i dalje delovati na njega. Ali mi ćemo to smatrati vrlo malim.

Razložimo silu gravitacije na dvije komponente: silu usmjerenu duž niti i silu usmjerenu okomito na tangentu putanje lopte.

Ove dvije sile zbrajaju gravitaciju. Elastične sile niti i komponenta gravitacije Fn daju loptici centripetalno ubrzanje. Rad ovih sila bit će jednak nuli, pa će one samo promijeniti smjer vektora brzine. U bilo kom trenutku će biti tangenta na luk kružnice.

Pod dejstvom gravitacione komponente Fτ, lopta će se kretati duž luka kružnice sa brzinom koja raste u apsolutnoj vrednosti. Vrijednost ove sile se uvijek mijenja u apsolutnoj vrijednosti; pri prolasku kroz ravnotežni položaj jednaka je nuli.

Dinamika oscilatornog kretanja

Jednačina kretanja tijela koje oscilira pod djelovanjem elastične sile.

Opća jednačina kretanja:

Oscilacije u sistemu nastaju pod dejstvom elastične sile, koja je, prema Hookeovom zakonu, direktno proporcionalna pomaku tereta

Tada će jednačina kretanja lopte imati sljedeći oblik:

Podijelite ovu jednačinu sa m, dobićemo sljedeću formulu:

A budući da su masa i koeficijent elastičnosti konstantne vrijednosti, tada će i omjer (-k / m) biti konstantan. Dobili smo jednačinu koja opisuje vibracije tijela pod djelovanjem elastične sile.

Projekcija ubrzanja tijela bit će direktno proporcionalna njegovoj koordinati, uzetoj sa suprotnim predznakom.

Jednačina kretanja matematičkog klatna

Jednačina gibanja matematičkog klatna opisana je sljedećom formulom:

Ova jednačina ima isti oblik kao i jednačina za kretanje tereta na oprugi. Posljedično, oscilacije klatna i kretanje lopte na oprugi se javljaju na isti način.

Pomjeranje lopte na oprugi i pomjeranje tijela klatna iz ravnotežnog položaja mijenjaju se s vremenom po istim zakonima.