Sada ćemo detaljnije razmotriti zakone Ajnštajnove kinematike. U ovom slučaju ćemo se uglavnom ograničiti na ravan.Zaključci dobijeni u ovom slučaju mogu se lako generalizirati na slučaj četvorodimenzionalni prostor, tako da ćemo to samo spominjati u nastavku.

Fig. 125. Četvorodimenzionalni segmenti. a - razdaljina slična vremenu, udaljenost slična prostoru

Lagane linije definisane jednačinom Podijelite ravan na četiri kvadranta (slika 116). Očigledno, zadržava isti znak u svakom kvadrantu, štoviše, u dva suprotna kvadranta koji sadrže grane hiperbole u dva suprotna kvadranta, koji sadrže grane . Prava svjetska linija koja prolazi kroz ishodište O može se uzeti kao os ili os, u zavisnosti od toga da li leži u kvadrantu ili u kvadrantu. U skladu s tim, svjetske linije dijelimo na "prostorne" i "vremenske" (Sl. 125a).

U svakom inercijskom okviru, os odvaja svetske tačke „prošlosti” od svetskih tačaka „budućnosti”. Ali ova podela je drugačija u svakom inercijalnom okviru, jer sa drugačijim položajem ose, svetske tačke koje su prethodno ležati iznad njega, odnosno u budućnosti, može

biti ispod ose u prošlosti, i obrnuto. Samo oni događaji koji su predstavljeni svetskim tačkama koje leže u kvadrantima jedinstveno pripadaju ili "prošlosti" ili "budućnosti" u bilo kom inercijalnom okviru. Za takvu tačku svijeta (Sl. 125, a) imamo u bilo kojem dopuštenom referentnom okviru dva događaja razdvojena vremenskim intervalom, više od toga vrijeme potrebno svjetlosti da pokrije put od jedne od ovih tačaka do druge. Stoga uvijek možemo izabrati inercijalni okvir tako da njegova osa prolazi kroz tačku, odnosno takav okvir u kojem predstavlja događaj koji se događa u prostornom ishodištu. Sa stanovišta drugog inercijalnog sistema, naš inercijalni sistem će se kretati jednoliko i pravolinijski tako da se njegov početak tačno poklapa sa događajima.Tada, očigledno, moramo postaviti za događaj u sistemu

U bilo kojem inercijskom okviru, os predstavlja geometrijsko mesto svjetske tačke koje odgovaraju događajima koji se događaju u prostornom početnom poretku koordinata na osi X (tj. u tački i razdvaja (na dvodimenzionalnoj slici) tačke lijevo od početka i tačke desno od njega. Ali u drugom inercijalnom okviru sa drugom osom, ovo razgraničenje će biti drugačije.Jedinstveno je definisano samo za svetske tačke koje leže u kvadrantima, bez obzira da li leže „pre“ ili „posle“ prostornog početka. Za takvu tačku (sl. 125, b), tj. u bilo kom dozvoljenom referentnom sistemu, vremenski interval između događaja manje od toga vrijeme potrebno svjetlosti da pređe udaljenost od tačke O do tačke. Dakle, moguće je uvesti prikladno odabran pokretni inercijski okvir sa osom koja prolazi kroz koju se ispostavlja da su oba događaja istovremena. U ovom sistemu je očigledno za događaj, dakle,

Otuda slijedi da je invarijanta za bilo koju tačku svijeta mjerljiva veličina koja ima vizualno značenje koje se lako interpretira. Uvođenjem odgovarajućeg referentnog sistema, svjetska tačka se može ili prevesti "na isto mjesto" na kojem se dogodio događaj O, a zatim vremenska razlika između događaja koji se dešavaju u istoj prostornoj tački u sistemu, ili se može prevesti "na isti trenutak u vremenu“, u kojem se dogodio događaj O, a zatim prostorna udaljenost između dva događaja u sistemu

U bilo kom koordinatnom sistemu, linije svetlosti predstavljaju kretanja koja se dešavaju brzinom svetlosti. Prema tome, svaka svjetska linija nalik vremenu predstavlja kretanje brzinom niža brzina svijet sa. Ili, prilazeći pitanju s druge strane, svako kretanje koje se dešava brzinom manjom od brzine svjetlosti može se „prebaciti u stanje mirovanja“, budući da postoji svjetska linija nalik vremenu koja odgovara ovom kretanju.

Ali šta je sa pokretima koji se dešavaju brže od brzine svetlosti? U svjetlu gore navedenih razmatranja, čini se očiglednim da Ajnštajnova teorija relativnosti takva kretanja treba da proglasi nemogućim. Zaista, nova kinematika bi izgubila sve svoje značenje kada bi postojali signali koji nam omogućavaju da kontrolišemo simultanost satova pomoću sredstava koja uključuju brzine koje premašuju brzinu svetlosti. Čini se da ovdje ima nekih poteškoća.

Neka se sistem kreće brzinom u odnosu na drugi sistem i neka se tijelo K kreće u odnosu na sistem brzinom u. Prema uobičajenoj kinematici, relativna brzina tijela K u sistemu je jednaka

Sada, ako svaki premašuje polovinu brzine svjetlosti, onda više od brzine svjetlosti c, a to bi trebalo biti nemoguće, prema teoriji relativnosti.

Ovaj sofizam je, naravno, povezan s činjenicom da se brzine u relativističkoj kinematici ne mogu jednostavno sumirati, jer svaki referentni okvir ima svoje jedinice dužine i vremena.

Potreba da se ova okolnost uzme u obzir očito proizlazi iz činjenice da se u bilo koja dva sistema koja se kreću jedan u odnosu na drugi, brzina svjetlosti se uvijek pretpostavlja istom, što je činjenica već korištena ranije u izvođenju Lorentzove transformacije ( Poglavlje VI, § 2, str.230) . Pravi zakon dodavanja brzina može se izvesti iz ove transformacije (formula (70)). Razmotrimo tijelo koje se kreće u sistemu, njegovo kretanje se može odvijati u ravni x, y, pa će njegova brzina imati dvije komponente, a kretanje može početi u trenutku vremena od početka. Svjetska linija tijela je tada data jednadžbama

Može se predvideti da će kretanje u sistemu biti pravolinijsko, a brzina će imati dve konstantne komponente.Svetska linija tela koje se kreće u sistemu će biti data jednačinama

Da bismo dobili relaciju između brzina tijela u sistemima, uvodimo izraze za u jednačine i koristimo formule Lorentzove transformacije (70a). Umjesto prve jednačine dobijamo

Upoređujući ovaj rezultat sa jednačinom koju dobijamo

koji izražava teoremu o konstantnosti brzine svjetlosti. Štaviše, vidimo da je za bilo koje tijelo koje se kreće duž prostorne ose, sve dok . Zaista, dijeljenjem formule (77a) sa c, možemo transformirati rezultat u oblik

Naša tvrdnja direktno proizilazi iz ove formule, budući da je pod gornjim uslovima drugi član na desnoj strani uvijek manji od 1 (imenik je veći od 1, a svaki faktor u brojniku manji od 1). Sličan zaključak je, naravno, istinit za kretanja koja se dešavaju preko prostorne ose, kao i za kretanja u bilo kom pravcu.

Dakle, brzina svjetlosti je kinematički granična brzina, koja se ne može prekoračiti. Ovaj postulat Ajnštajnove teorije naišao je na tvrdoglavo protivljenje. Činilo se da je to neopravdano ograničenje planova istraživača koji su u budućnosti čekali otkrića brzina koje prelaze brzinu svjetlosti.

Znamo to -zrake radioaktivne supstance su elektroni koji se kreću brzinom bliskom brzini svjetlosti. Zašto ih je nemoguće ubrzati tako da se kreću brzinama većim od brzine svjetlosti?

Ajnštajnova teorija, međutim, kaže da je to u principu nemoguće, jer se inercijski otpor, ili masa tela, povećava kako se njegova brzina približava brzini svetlosti. Tako dolazimo do nove dinamike zasnovane na Ajnštajnovoj kinematici.

. Relativistička mehanika

Lekcija 2/69

Tema. Relativistički zakon sabiranja brzina

Svrha časa: upoznati učenike sa relativističkim zakonom sabiranja brzina

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva

Plan lekcije

PROUČAJTE NOVI MATERIJAL

Pitanje učenicima tokom prezentacije novog materijala

1. Šta podrazumijevate pod inercijskim referentnim okvirima? Navedite primjere.

2. Princip relativnosti klasične fizike.

3. Koje su razlike u formulaciji Galileovog principa relativnosti i Ajnštajnovog principa relativnosti?

4. Uporedite koncepte simultanosti u klasična fizika i u teoriji relativnosti.

5. U kom slučaju su pojmovi "ranije" i "kasnije" relativni, a u kom apsolutni?

6. Dva događaja u nekom inercijalnom referentnom okviru dešavaju se u istoj tački u isto vrijeme. Hoće li ovi događaji biti simultani u drugom inercijskom referentnom okviru?

7. Može li se tvrditi da su prostorno razdvojeni događaji koji su simultani u jednom inercijskom referentnom okviru simultani u svim ostalim inercijalnim referentnim okvirima?

KONFIGURACIJA PROUČAVANOG MATERIJALA

Šta smo naučili na lekciji

U svim inercijalnim referentnim sistemima za isto početni uslovi sve mehaničke pojave teče na isti način.

Klasični zakon sabiranja brzina:

Relativistički zakon sabiranja brzina:

Događaj je pojednostavljeni model takvog fenomena, koji u datom sistemu brojanje se može smatrati kao ono što se dešava u određena tačka prostor u datom trenutku.

Događaji koji su simultani u jednom referentnom okviru ispostavljaju se nesimultanim u drugom referentnom okviru, koji se kreće jednoliko i pravolinijski u odnosu na prvi, odnosno simultanost je relativan koncept.

d1) - 22,5; 22.6;

p2) - 22,7; 22.20; 22.21;

d3) - 22,33, 22,34; 22.39.

Zakon sabiranja brzina u relativističke mehanike

Neka u odnosu na sistem DO' materijalna tačka krećući se brzinom u' (Slika 2.3.2). Nađimo brzinu u materijalnu tačku u odnosu na sistem To. Projekcije brzine u i u ′ na koordinatnim osa u sistemima To i DO' odnosno, može se predstaviti na sljedeći način:

, , , , , . (2.3.10)

Prema Lorencovoj transformaciji (4 - 7),

, , , . (2.3.11)

Zamjenom izraza (2.3.11) u (2.3.10), nakon transformacija, dobijamo relativistički zakon sabiranja brzina:

, (2.3.12)

, (2.3.13)

. (2.3.14)

Ako je brzina v i u su male u poređenju sa brzinom svetlosti, tada se izrazi (2.3.12) - (2.3.14) pretvaraju u zakon sabiranja brzina u klasičnoj mehanici:

, , . (2.3.15)

Neka se materijalna tačka kreće paralelno sa osom X.

Tada relativistički zakon sabiranja brzina (2.3.12) poprima oblik:

. (2.3.16)

Ako je u sistemu DO', zatim u sistemu To ,

one. kada se dodaju dvije brzine, rezultirala je brzina jednaka brzina svjetlost u vakuumu, što potvrđuje Ajnštajnov drugi postulat.

Interval

Neka u referentnom sistemu To dešavaju se dva događaja: prvi se dešava u tački sa koordinatama x1, y1, z1 u to vrijeme t1,

drugi je u tački sa koordinatama x2, y2, z2 u to vrijeme t2. Svaki događaj u četvorodimenzionalnom prostor-vremenu odgovara tački ( x,y,z,t), koja se naziva svjetska tačka. vrijednost

naziva se interval između ovih događaja ili interval između dvije tačke ( x 1,y 1,z1,t1) i ( x2,y2,z2,t2) u četvorodimenzionalnom prostor-vremenu. Može se pokazati, koristeći Lorentzove transformacije, da ova veličina ima istu vrijednost u svim referentnim okvirima, tj. je invarijanta Lorentzove transformacije.

Označite vremenski interval između događaja t2 – t1= =t 12, i prostorna udaljenost između tačaka u kojima se događaji događaju.

Tada će interval poprimiti oblik .

Neka prvi događaj bude to u trenutku t1 od tačke ( x 1,y 1,z1) emituje se svjetlosni signal, a drugi je taj u tom trenutku t2 ovaj signal se prima u tački ( x2,y2,z2). Signal putuje brzinom svjetlosti, dakle l 12= ct 12. Interval za ovaj slučaj s 12= 0. Takav interval se naziva nula. Između događaja postoji nulti interval koji se može povezati sa signalom koji se širi brzinom svjetlosti. Sa nultim intervalom, događaji mogu biti međusobno povezani uzročno-posljedičnim odnosom u bilo kojem referentnom okviru.

Ako a l 12 > ct 12, onda događaji koji se razmatraju ne mogu uticati jedni na druge, tj. između njih ne može postojati uzročno-posledična veza, budući da se nijedan signal, nikakav utjecaj ne može širiti brzinom većom od brzine svjetlosti u vakuumu. Interval će u ovom slučaju biti zamišljen. Zovu se imaginarni intervali spacelike. Događaji odvojeni imaginarnim intervalom ne mogu se pojaviti u jednoj tački u bilo kojem referentnom okviru, jer bi u ovom slučaju, u ovom referentnom okviru, interval postao stvaran ( l 12= 0). I zbog invarijantnosti, interval u svim referentnim okvirima mora ostati imaginaran. Za događaje razdvojene intervalom sličnim prostoru, može se pronaći referentni okvir u kojem se dešavaju u isto vrijeme ( t 12=0).

Ako a l 12 < ct 12, tada je interval realan. Takvi intervali se nazivaju timelike. Događaji odvojeni vremenskim intervalom mogu biti uzročno vezani prijatelj sa prijateljem. Takvi događaji se ne mogu dogoditi istovremeno ni u jednom referentnom okviru ( t 12= 0), jer bi u ovom slučaju interval postao imaginaran. Ali za ove događaje postoji referentni okvir u kojem se dešavaju u jednom trenutku ( l 12 = 0).

Neka tijelo u referentnom okviru K" ima brzinu v" usmjerenu duž x" (i x) ose: . U referentnom okviru K, brzina ovog tijela će biti
. Hajde da saznamo kakav je odnos između brzina v" i v. Razmotrimo izvod kao omjer diferencijala dx i dt, koji nalazimo koristeći Lorentzove transformacije:

Podijelite brojilac i imenilac desne strane sa dt" i dobijete

one. za razliku od Galilejevih transformacija, ukupna brzina nije jednaka zbiru brzina, već u
puta niže. Neka se tijelo u raketi kreće brzinom svjetlosti v "x = c, a raketa se kreće brzinom svjetlosti u odnosu na fiksni koordinatni sistem v 0 = c. Kojom brzinom v x se tijelo kreće u odnosu na fiksni koordinatni sistem koordinatni sistem?

Prema Galileovoj transformaciji, ova brzina je v \u003d v "x + v 0 \u003d 2c. Prema Lorentzovoj transformaciji

Koncept relativističke dinamike. Zakoni međusobnog odnosa mase i energije. Ukupna i kinetička energija. Odnos ukupne energije i impulsa čestice.

Kretanje ne previše malih tijela s ne baš velikim brzinama pokorava se zakonima klasične mehanike. AT kasno XIX veka, eksperimentalno je utvrđeno da masa tela m nije konstantna vrednost, već zavisi od brzine v njegovog kretanja. Ova zavisnost ima oblik

gdje je m 0 masa mirovanja.

Ako je v = 300 km / s, onda v 2 /c 2 = 1 ∙ 10 -6 i m > m 0 za 5 ∙ 10 -7 m 0.

Odbacivanje jedne od glavnih odredbi (m = const) klasične mehanike dovelo je do potrebe za kritičkom analizom i nizom drugih osnova. Izraz za impuls u relativističkoj dinamici ima oblik

Zakoni mehanike zadržavaju svoj oblik i u relativističkoj dinamici. Promjena momenta d(mv ) jednak impulsu sile Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Otuda je dp/dt = F- izraz osnovnog zakona relativističke dinamike za materijalnu tačku.

U oba slučaja, masa uključena u ove izraze je varijabla (m ≠ const) i također se mora razlikovati s obzirom na vrijeme.

Uspostavite odnos između mase i energije. Povećanje energije, kao u klasičnoj mehanici, uzrokovano je radom sile F. Dakle, dE = Fds. Podijelimo lijevu i desnu stranu sa dt, dobijamo

Zamjena ovdje

Množenjem lijevog i desnog dijela rezultirajuće jednakosti sa dt , dobivamo

Iz izraza za masu
definisati

.

Hajde da razlikujemo izraz v 2 .

Zamijenite v 2 i d(v 2) u izraz za dE

Integracijom ovog izraza dobijamo E = mc 2 .

Ukupna energija sistema E jednaka je proizvodu mase i kvadrata brzine svjetlosti u vakuumu. Odnos između energije i impulsa za čestice bez mase mirovanja u relativističkoj dinamici je dat relacijom

što je lako matematički dobiti: E=mc 2 ,p=mv . Obje jednakosti kvadriramo i oba dijela sekunde pomnožimo sa c 2

E 2 \u003d m 2 c 4, p 2 c 2 = m 2 v 2 c 2.

Oduzmite član po član od prve jednakosti druge

E 2 - p 2 c 2 \u003d m 2 c 4 -m 2 v 2 c 2 = m 2 c 4 (1-v 2 / c 2).

S obzirom na to
dobijamo

Kako su masa mirovanja m 0 i brzina svjetlosti c invarijantne Lorentz transformacijama, relacija (E 2 - p 2 c 2) je također invarijantna za Lorentzove transformacije. Iz ove relacije dobijamo izraz za ukupnu energiju

Dakle, iz ove jednačine možemo zaključiti:

energiju posjeduju i materijalne čestice koje nemaju masu mirovanja (fotoni, neutrini). Za ove čestice formula za odnos između energije i impulsa ima oblik E = pc.

Iz gornjih transformacija dobili smo dE=c 2 dm. Integriranjem lijeve strane od E 0 do E, i desne strane od m 0 do m, daje se

E - E 0 \u003d c 2 (m - m 0) = mc 2 - m 0 c 2 ,

gdje je E \u003d mc 2 - ukupna energija materijalna tačka,

E 0 \u003d m 0 c 2 - energija mirovanja materijalne tačke.

Razlika E - E 0 je kinetička energija T materijalne tačke.

Za brzine v « c , širimo
zaredom:

=
.

S obzirom da je v « c, ograničavamo se na prva dva člana u nizu.

Onda

one. pri brzinama v mnogo manjim od brzine svjetlosti u vakuumu, relativistička formula kinetička energija postaje klasična formula za kinetičku energiju
.