Konstrukcija prave linije na određenoj udaljenosti od tačke. Određivanje udaljenosti

Određivanje udaljenosti

Udaljenosti od tačke do tačke i od tačke do linije

Udaljenost od tačke do tačke je određen dužinom segmenta koji povezuje ove tačke. Kao što je gore prikazano, ovaj problem se može riješiti bilo metodom pravokutnog trougla, ili zamjenom ravni projekcije pomicanjem segmenta na poziciju ravnine.

Udaljenost od tačke do linije mjereno segmentom okomice povučene od tačke do prave. Segment ove okomice prikazan je u punoj veličini na ravni projekcije ako je povučen na liniju projektovanja. Dakle, najprije se prava linija mora prebaciti u projekcijski položaj, a zatim na nju spustiti okomicu iz date tačke. Na sl. 1 prikazuje rješenje ovog problema. Za direktan prevod opšti položaj AB na poziciji direktnog nivoa potrošiti x14 IIA1 B1. Zatim se AB prebacuje u projekcijski položaj uvođenjem dodatne ravni projekcije P5, za koju se izvodi nova os projekcija x45 \ A4 B4.

Slika 1

Slično tačkama A i B, tačka M se projektuje na ravan projekcije P5.

Projekcija K5 osnove K okomice spuštene iz tačke M na pravu AB, na ravninu projekcije P5, poklopit će se sa odgovarajućim projekcijama tačaka

A i B. Projekcija M5 K5 okomice MK je prirodna vrijednost udaljenosti od tačke M do prave AB.

U sistemu projekcijskih ravni P4 /P5, okomita MK će biti ravna, budući da leži u ravni paralelnoj sa ravninom projekcija P5. Dakle, njegova projekcija M4 K4 na ravan P4 je paralelna sa x45 , tj. okomito na projekciju A4 B4. Ovi uslovi određuju položaj projekcije K4 osnove okomice K, koji se nalazi povlačenjem prave linije od M4 paralelno sa x45 dok se ne ukrsti sa projekcijom A4 B4. Preostale projekcije okomice nalaze se projektovanjem tačke K na ravan projekcija P1 i P2.

Udaljenost od tačke do ravni

Rješenje ovog problema je prikazano na sl. 2. Udaljenost od tačke M do ravni (ABC) mjeri se segmentom okomice spuštene iz tačke na ravan.

Slika 2

Pošto je okomita na ravan projekcije ravna linija, prevodimo u ovu poziciju dati avion, usled čega na novouvedenoj projekcijskoj ravni P4 dobijamo degenerisanu projekciju C4 B4 ravni ABC. Zatim projektiramo tačku M na P4. Prirodna vrijednost udaljenosti od tačke M do ravni određena je segmentom okomice

[MK]=[M4 K4]. Preostale projekcije okomice se konstruišu na isti način kao u prethodnom zadatku, tj. uzimajući u obzir činjenicu da je segment MK u sistemu projekcijskih ravnina P1 / P4 ravna linija i da je njegova projekcija M1 K1 paralelna sa osom

x14.

Udaljenost između dvije prave linije

Najkraća udaljenost između kosih linija mjeri se segmentom zajedničke okomice na njih, odsječenom ovim linijama. Problem se rješava odabirom (kao rezultat dvije uzastopne promjene) ravni projekcije koja je okomita na jednu od pravih koja se sijeku. U tom slučaju, željeni segment okomice bit će paralelan s odabranom ravninom projekcije i na njoj će biti prikazan bez izobličenja. Na sl. Na slici 3 prikazane su dvije prave koje se ukrštaju definisane segmentima AB i CD.

Slika 3

Prave se na početku projektuju na ravan projekcije P4, paralelno sa jednom (bilo kojom) od njih, na primjer, AB, i okomito na P1.

Na ravni projekcija P4, segment AB će biti prikazan bez izobličenja. Zatim se segmenti projektuju na novu ravan P5 okomitu na istu pravu liniju AB i ravan P4. Na ravni projekcija P5, projekcija segmenta AB okomita na nju degeneriše se u tačku A5 =B5, a željena vrijednost N5 M5 segmenta NM je okomita na C5 D5 i prikazana je u punoj veličini. Koristeći odgovarajuće komunikacione linije, projekcije segmenta MN se grade na inicijal

crtanje. Kao što je ranije prikazano, projekcija N4 M4 željenog segmenta na ravan P4 je paralelna sa osom projekcija x45, budući da je to linija nivoa u sistemu projekcijskih ravni P4/P5.

Zadatak određivanja udaljenosti D između dvije paralelne prave AB do CD - poseban slučaj prethodni (sl. 4).

Slika 4

Dvostrukom zamjenom ravni projekcije paralelne prave se prenose u položaj projekcije, zbog čega ćemo na ravni projekcije P5 imati dvije degenerisane projekcije A5 = B5 i C5 = D5 pravih AB i CD. Udaljenost između njih D će biti jednaka njegovoj prirodnoj vrijednosti.

Udaljenost od prave do ravni koja joj je paralelna mjeri se segmentom okomice ispuštenom iz bilo koje tačke na pravoj liniji na ravan. Dakle, dovoljno je ravan opšteg položaja transformisati u poziciju projektovane ravni, uzeti direktnu tačku, a rešenje zadatka će se svesti na određivanje udaljenosti od tačke do ravni.

Da bi se odredila udaljenost između paralelnih ravnina, potrebno ih je prevesti u projekcijski položaj i konstruisati okomicu na degenerisane projekcije ravnina čiji će segment između njih biti tražena udaljenost.

155*. Odrediti stvarnu veličinu segmenta AB prave u opštem položaju (Sl. 153, a).

Odluka. Kao što znate, projekcija pravolinijskog segmenta na bilo koju ravninu jednaka je samom segmentu (uzimajući u obzir skalu crteža), ako je paralelna s ovom ravninom

(Sl. 153, b). Iz ovoga proizilazi da je konverzijom crteža potrebno postići paralelizam ovog segmenta pl. V ili pl. H ili dopuniti sistem V, H drugom ravninom koja je okomita na kvadrat. V ili do pl. H i istovremeno paralelan sa datim segmentom.

Na sl. 153, c prikazuje uvođenje dodatne ravni S, okomite na kvadrat. H i paralelno sa datim segmentom AB.

Projekcija a s b s jednaka je prirodnoj vrijednosti segmenta AB.

Na sl. 153, d prikazuje drugu metodu: segment AB rotira se oko prave linije koja prolazi kroz tačku B i okomita na kvadrat. H, u položaj paralelan

sq. V. U ovom slučaju tačka B ostaje na svom mestu, a tačka A zauzima novu poziciju A 1 . Horizont na novoj poziciji. projekcija a 1 b || x osa. Projekcija a "1 b" jednaka je prirodnoj vrijednosti segmenta AB.

156. Data je piramida SABCD (Sl. 154). Odrediti prirodnu veličinu ivica piramide AS i CS metodom promene ravni projekcije, a ivica BS i DS metodom rotacije i uzeti os rotacije okomitu na kvadrat. H.

157*. Odrediti rastojanje od tačke A do prave BC (Sl. 155, a).

Odluka. Udaljenost od tačke do prave mjeri se segmentom okomice povučene od tačke do prave.

Ako je prava okomita na bilo koju ravan (slika 155.6), tada se udaljenost od tačke do prave mjeri rastojanjem između projekcije tačke i tačka projekcije prava linija na ovoj ravni. Ako prava linija zauzima opšti položaj u sistemu V, H, onda da bi se promenom ravni projekcije odredila udaljenost od tačke do prave, u V, H sistem se moraju uvesti još dve dodatne ravni.

Prvo (slika 155, c) ulazimo u kvadrat. S, paralelno sa segmentom BC (nova osa S/H je paralelna sa projekcijom bc), i konstruišemo projekcije b s c s i a s . Zatim (slika 155, d) uvodimo još jedan kvadrat. T okomito na pravu BC (nova T/S osa okomita na b s c s). Gradimo projekcije prave linije i tačke - sa t (b t) i a t. Udaljenost između tačaka a t i c t (b t) jednaka je udaljenosti l od tačke A do prave BC.

Na sl. 155e, isti zadatak se postiže metodom rotacije u svom obliku, koja se naziva metoda paralelnog kretanja. Prvo, prava BC i tačka A, zadržavajući svoj međusobni položaj nepromenjenim, okreću se oko neke (koja nije naznačena na crtežu) prave okomite na kvadrat. H, tako da je prava BC paralelna sa kvadratom. V. Ovo je ekvivalentno kretanju tačaka A, B, C u ravnima paralelnim sa kvadratom. H. Istovremeno, horizont. projekcija dati sistem(BC + A) se ne mijenja ni po veličini ni po konfiguraciji, mijenja se samo njegov položaj u odnosu na x-osu. Postavite horizont. projekciju prave linije BC paralelne sa x osi (položaj b 1 c 1) i odredite projekciju a 1, ostavljajući sa strane c 1 1 1 = c-1 i a 1 1 1 = a-1, i a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Crtajući prave b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 paralelne sa x osom, nalazimo front na njima. projekcije b "1, a" 1, c "1. Zatim pomeramo tačke B 1, C 1 i A 1 u ravnini paralelno sa kvadratom V (takođe bez promene njihovog relativnog položaja), tako da dobijemo B 2 C 2 ⊥ područje H. U ovom slučaju, projekcija prave linije na prednju stranu bit će okomita na ose x,b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1, a da biste izgradili projekciju a" 2, trebate uzeti b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, nacrtati 2 "a" 2 ⊥ b " 2 c" 2 i odložite a" 2 2" 2 \u003d a" 1 2" 1. Sada, prevlačenjem od 1 do 2 i 1 do 2 || x 1 dobijamo projekcije b 2 c 2 i a 2 i željenu udaljenost l od tačke A do prave BC. Možete odrediti udaljenost od A do BC okretanjem ravni definisane tačkom A i prave linije BC oko horizontale ove ravni u položaj T || sq. H (Sl. 155, e).

U ravni zadanoj tačkom A i pravom BC povučemo horizontalnu liniju A-1 (Sl. 155, g) i oko nje okrenemo tačku B. Tačka B se pomera u kvadrat. R (dato na crtežu nakon R h), okomito na A-1; u tački O je centar rotacije tačke B. Sada određujemo prirodnu vrijednost polumjera rotacije VO, (slika 155, c). U traženom položaju, odnosno kada pl. T definiran tačkom A i pravom BC će postati || sq. H, tačka B će skrenuti na R h na udaljenosti Ob 1 od tačke O (možda postoji još jedna pozicija na istoj stazi R h, ali sa druge strane O). Tačka b 1 je horizont. projekcija tačke B nakon pomeranja u poziciju B 1 u prostoru, kada je ravan definisana tačkom A i pravom BC zauzela položaj T.

Nacrtavši (sl. 155, i) pravu liniju b 1 1, dobijamo horizont. projekcija prave BC, već locirane || sq. H je u istoj ravni kao i A. U ovoj poziciji, udaljenost od a do b 1 1 jednaka je željenoj udaljenosti l. Ravan P, u kojoj leže dati elementi, može se kombinovati sa kvadratom. H (Sl. 155, j), okrećući kvadrat. P oko njenog horizonta. trag. Prešavši od postavljanja ravni tačkom A i pravom BC do postavljanja pravih BC i A-1 (sl. 155, l), nalazimo tragove ovih pravih i kroz njih povlačimo tragove P ϑ i P h. Gradimo (sl. 155, m) u kombinaciji sa trgom. H pozicija ispred. trag - P ϑ0 .

Nacrtajte horizont kroz tačku a. frontalna projekcija; kombinovani frontalni prolazi kroz tačku 2 na tragu R h paralelno sa R ​​ϑ0 . Tačka A 0 - u kombinaciji sa pl. H je pozicija tačke A. Slično, nalazimo tačku B 0 . Direktno sunce u kombinaciji sa pl. H pozicija prolazi kroz tačku B 0 i tačku m (horizontalni trag prave).

Udaljenost od tačke A 0 do prave B 0 C 0 jednaka je željenoj udaljenosti l.

Navedenu konstrukciju moguće je izvesti pronalaženjem samo jednog traga P h (sl. 155, n i o). Cijela konstrukcija je slična okretanju oko horizontale (vidi sliku 155, f, c, i): trag P h je jedna od horizontalnih linija kvadrata. R.

Od metoda za pretvaranje crteža datih za rješavanje ovog problema, poželjna je metoda rotacije oko horizontale ili fronte.

158. Data je piramida SABC (Sl. 156). Odredite udaljenosti:

a) od vrha B osnove do njene strane AC metodom paralelnog kretanja;

b) od vrha S piramide do stranica BC i AB osnove rotacijom oko horizontale;

c) od vrha S do strane AC baze promjenom ravni projekcije.

159. Zadana je prizma (Sl. 157). Odredite udaljenosti:

a) između ivica AD i CF promjenom ravni projekcije;

b) između rebara BE i CF rotacijom oko prednje strane;

c) između ivica AD i BE metodom paralelnog kretanja.

160. Odredi stvarnu veličinu četvorougla ABCD (slika 158) kombinovanjem sa kvadratom. N. Koristite samo horizontalni trag ravni.

161*. Odrediti rastojanje između pravih AB i CD koje se seku (slika 159, a) i konstruisati projekcije zajedničke okomice na njih.

Odluka. Udaljenost između linija ukrštanja mjeri se segmentom (MN) okomice na obje prave (Sl. 159, b). Očigledno, ako je jedna od linija postavljena okomito na bilo koji kvadrat. T onda

odsječak MN okomice na obje prave će biti paralelan kvadratu. Njegova projekcija na ovu ravan će prikazati željenu udaljenost. Projekcija pravi ugao maenada MN n AB na trgu. Takođe se ispostavlja da je T pravi ugao između m t n t i a t b t , pošto je jedna od strana pravog ugla AMN, odnosno MN. paralelno sa kvadratom. T.

Na sl. 159, c i d, željena udaljenost l određena je metodom promjene ravni projekcije. Prvo uvodimo dodatni kvadrat. projekcije S, okomite na kvadrat. H i paralelno sa pravom CD (Sl. 159, c). Zatim uvodimo još jedan dodatni kvadrat. T, okomito na kvadrat. S i okomito na istu pravu CD (Sl. 159, d). Sada možete izgraditi projekciju zajedničke okomice crtanjem m t n t iz tačke c t (d t) okomito na projekciju a t b t . Tačke m t i n t su projekcije tačaka presjeka ove okomice sa pravima AB i CD. Iz tačke m t (slika 159, e) nalazimo m s na a s b s: projekcija m s n s treba da bude paralelna sa T / S osom. Dalje, od m s i n s nalazimo m i n na ab i cd, a od njih m "i n" na "b" i c "d".

Na sl. 159, u prikazuje rješenje ovog problema metodom paralelnih kretanja. Prvo stavljamo ravnu liniju CD paralelno s kvadratom. V: projekcija c 1 d 1 || X. Zatim pomerite prave CD i AB sa pozicija C 1 D 1 i A 1 B 1 na pozicije C 2 B 2 i A 2 B 2 tako da C 2 D 2 bude okomito na H: projekcija c "2 d" 2 ⊥ x . Segment željene okomice nalazi se || sq. H, i, prema tome, m 2 n 2 izražava potrebnu udaljenost l između AB i CD. Nalazimo položaj projekcija m "2, i n" 2 na "2 b" 2 i c "2 d" 2, zatim projekcije i m 1 i m "1, n 1 i n" 1, konačno, projekcije m "i n", m i n.

162. Data je piramida SABC (Sl. 160). Odrediti rastojanje između ivice SB i stranice AC osnove piramide i konstruisati projekcije zajedničke okomice na SB i AC, koristeći metodu promene ravni projekcije.

163. Data je piramida SABC (Sl. 161). Odredite udaljenost između ivice SH i stranice BC osnove piramide i konstruirajte projekcije zajedničke okomice na SX i BC koristeći metodu paralelnog pomaka.

164*. Odrediti rastojanje od tačke A do ravni u slučajevima kada je ta ravan data: a) trouglom BCD (Sl. 162, a); b) tragovi (Sl. 162, b).

Odluka. Kao što znate, udaljenost od tačke do ravni se mjeri veličinom okomice povučene od tačke do ravni. Ova udaljenost se projektuje na bilo koji kvadrat. projekcije u prirodnoj veličini, ako je data ravan okomita na kvadrat. projekcije (sl. 162, c). Ova situacija se može postići pretvaranjem crteža, na primjer, promjenom kvadrata. projekcije. Hajde da predstavimo kvadrat. S (sl. 16ts, d), okomito na kvadrat. trougao BCD. Da bismo to učinili, provodimo na trgu. trokuta horizontalno B-1 i pozicionirati osu projekcija S okomito na projekciju b-1 horizontalno. Gradimo projekcije tačke i ravni - a s i segmenta c s d s . Udaljenost od a s do c s d s jednaka je željenoj udaljenosti l tačke do ravni.

On rio. 162, d primjenjuje se metoda paralelnog kretanja. Pomeramo ceo sistem sve dok B-1 horizontala ravnine ne postane okomita na V ravan: projekcija b 1 1 1 mora biti okomita na x-osu. U ovom položaju, ravnina trokuta će postati frontalno projekcija, a udaljenost l od tačke A do nje će se pokazati kvadratnom. V bez izobličenja.

Na sl. 162b ravan je data tragovima. Uvodimo (Sl. 162, e) dodatni kvadrat. S, okomito na kvadrat. P: S/H osa je okomita na P h. Ostalo je jasno iz crteža. Na sl. 162, pa problem je riješen uz pomoć jednog pomaka: pl. P prelazi u poziciju P 1, odnosno postaje frontalno projektovan. Track. P 1h je okomito na x-osu. Na ovoj poziciji aviona gradimo front. trag horizontale je tačka n "1, n 1. Trag P 1ϑ će proći kroz P 1x i n 1. Udaljenost od a" 1 do P 1ϑ jednaka je željenoj udaljenosti l.

165. Data je piramida SABC (vidi sl. 160). Odredite udaljenost od tačke A do čela SBC piramide koristeći metodu paralelnog pomaka.

166. Data je piramida SABC (vidi sl. 161). Odredite visinu piramide metodom paralelnog pomaka.

167*. Odredite rastojanje između pravih AB i CD koje se seku (vidi sliku 159, a) kao rastojanje između paralelnih ravni povučenih kroz ove prave.

Odluka. Na sl. 163, a ravni P i Q su prikazane paralelno jedna s drugom, od kojih pl. Q se povlači kroz CD paralelno sa AB, a pl. P - kroz AB paralelno sa kvadratom. P. Razdaljinom između takvih ravnina smatra se rastojanje između kosih linija AB i CD. Međutim, možete se ograničiti na izgradnju samo jedne ravni, na primjer Q, paralelne sa AB, a zatim odrediti udaljenost barem od tačke A do ove ravni.

Na sl. 163c prikazuje ravan Q kroz CD paralelnu sa AB; u projekcijama održanim sa "e" || a"b" i se || ab. Koristeći metodu promjene kvadrata. projekcije (slika 163, c), uvodimo dodatni kvadrat. S, okomito na kvadrat. V i istovremeno

okomito na kvadrat. P. Da nacrtamo S/V osu, uzimamo frontalni D-1 u ovoj ravni. Sada crtamo S / V okomito na d "1" (slika 163, c). Pl. Q će biti prikazan na kvadratu. S kao prava linija sa s d s . Ostalo je jasno iz crteža.

168. Data je piramida SABC (vidi sliku 160). Odrediti rastojanje između ivica SC i AB Primijeniti: 1) metodu promjene površine. projekcije, 2) metoda paralelnog kretanja.

169*. Odrediti rastojanje između paralelnih ravni, od kojih je jedna data pravim AB i AC, a druga pravim DE i DF (Sl. 164, a). Takođe izvršite konstrukciju za slučaj kada su ravni date tragovima (Sl. 164, b).

Odluka. Udaljenost (Sl. 164, c) između paralelnih ravnina može se odrediti povlačenjem okomice iz bilo koje tačke jedne ravni u drugu ravninu. Na sl. 164, g uveden je dodatni kvadrat. S okomito na kvadrat. H i na obe date ravni. Osa S.H je okomita na horizont. projekcija vodoravne linije povučene u jednoj od ravnina. Gradimo projekciju ove ravni i tačaka u drugoj ravni na sq. 5. Udaljenost tačke d s do prave l s a s jednaka je željenoj udaljenosti između paralelnih ravnina.

Na sl. 164, d data je još jedna konstrukcija (prema metodi paralelnog kretanja). Da bi ravan izražena linijama koje seku AB i AC bila okomita na kvadrat. V, horizont. postavljamo horizontalnu projekciju ove ravni okomito na x-osu: 1 1 2 1 ⊥ x. Udaljenost između fronta. projekcija d "1 tačke D i prave a" 1 2 "1 (frontalna projekcija ravni) jednaka je željenom rastojanju između ravnina.

Na sl. 164, e prikazuje uvođenje dodatnog kvadrata. S, okomita na pl.H i na date ravnine P i Q (os S/H je okomita na tragove P h i Q h). Konstruišemo tragove Rs i Qs. Udaljenost između njih (vidi sliku 164, c) jednaka je željenoj udaljenosti l između ravnina P i Q.

Na sl. 164, g prikazuje kretanje ravni P 1 n Q 1, do položaja P 1 i Q 1 kada je horizont. ispada da su tragovi okomiti na x-osu. Udaljenost između novog fronta. tragova P 1ϑ i Q 1ϑ jednaka je željenoj udaljenosti l.

170. Dat je paralelepiped ABCDEFGH (Sl. 165). Odrediti rastojanja: a) između osnova paralelepipeda - l 1; b) između lica ABFE i DCGH - l 2 ; c) između ADHE i BCGF-l 3 lica.

Ovi zadaci uključuju: zadatke za određivanje udaljenosti od tačke do prave, do ravni, do površine; između paralelnih i linija koje se seku; između paralelnih ravni, itd.

Sve ove zadatke objedinjuju tri okolnosti:

Kao prvo, ukoliko najkraća udaljenost između takvih figura je okomica, onda se sve one svode na konstrukciju međusobno okomitih linija i ravnina.

Drugo, u svakom od ovih zadataka potrebno je odrediti prirodnu dužinu segmenta, odnosno riješiti drugi glavni metrički problem.

treći, to su složeni zadaci, rješavaju se u nekoliko faza, a u svakoj fazi rješava se poseban, mali specifični zadatak.

Razmotrimo rješenje jednog od ovih problema.

Zadatak: Odredite udaljenost od tačke M do linije generalni položaj a(Slika 4-26).

algoritam:

Faza 1: Udaljenost od tačke do prave je okomita. Od direktnog a- opšti položaj, a zatim za konstruisanje okomice na nju potrebno je riješiti zadatak sličan onom datom na stranicama M4-4 ovog modula, odnosno prvo kroz tačku M drži avion S, okomito a. Postavili smo ovaj avion, kao i obično, hÇ f, pri čemu h1^ a 1, a f2^ a 2

Faza 2: Da biste konstruirali okomicu, morate pronaći drugu tačku za nju. Ovo će biti poenta To koji pripadaju liniji a. Da biste ga pronašli, morate riješiti pozicijski problem, odnosno pronaći tačku sjecišta prave a sa avionom S. 1GPZ rješavamo prema trećem algoritmu (sl. 4-28):

Uvodimo avion - posrednika G, G^^ P 1 , GÉ aÞ G 1 = a 1;

- GÇ S = b, G^^ P 1Þ b 1 (1 1 2 1) = G 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- b 2Z a 2 = K 2Þ K 1.

Faza 3: Pronalaženje stvarne veličine MK metoda pravouglog trougla

Kompletno rješenje problema prikazano je na sl. 4-30.

Algoritamska notacija rješenja:

1. S^a,S = hZ f = M, h 1^ a 1 , f 2^ a 2 .

2. Uvodimo avion - posrednika G,

- G^^ P 1 , GÉ aÞ G 1 = a 1 ;

- GÇ S = b, G^^ P 1Þ b 1 (1 1 2 1) = G 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- b 2Z a 2 = K 2Þ K 1 .

3. Pronalaženje stvarne veličine MK.

Nalazi:

1. Rješenje svih metričkih problema svodi se na rješavanje prvog osnovnog metričkog problema - o međusobnoj okomitosti prave i ravni.

2. Prilikom određivanja udaljenosti između geometrijski oblici uvijek se koristi drugi glavni metrički problem - za određivanje prirodne veličine segmenta.

3. Ravan tangenta na površinu u jednoj tački može se definirati sa dvije linije koje se seku, od kojih je svaka tangenta na datu površinu.

test pitanja

1. Koji se zadaci nazivaju metričkim?

2. Koja dva glavna metrička zadatka znate?

3. Šta je povoljnije postaviti ravan okomitu na pravu liniju u opštem položaju?

4. Kako se zove ravan okomita na jednu od ravni?

5. Kako se zove ravan okomita na jednu od projektovanih pravih?

6. Šta se zove ravan tangenta na površinu?

Potrebno je odrediti udaljenost od tačke do prave. Sveukupni plan rješavanje problema:

- kroz dati poen nacrtati ravan okomitu na datu pravu;

- pronađite tačku susreta linije

sa avionom;

- odrediti prirodnu vrijednost udaljenosti.

Kroz datu tačku povlačimo ravan okomitu na pravu AB. Ravan je postavljena presekom horizontale i fronte, čije se projekcije grade prema algoritmu okomitosti (inverzni problem).

Pronađite tačku susreta prave AB sa ravninom. Ovo je tipičan zadatak o presjeku prave sa ravninom (vidi odjeljak "Presjek prave sa ravninom").

Okomitost ravni

Ravnine su međusobno okomite ako jedna od njih sadrži pravu okomitu na drugu ravan. Stoga, da biste nacrtali ravan okomitu na drugu ravan, prvo morate nacrtati okomitu ravan, a zatim kroz nju povući željenu ravan. Na dijagramu je ravan data sa dvije prave linije koje se seku, od kojih je jedna okomita na ravan ABC.

Ako su ravni date tragovima, tada su mogući sljedeći slučajevi:

- ako dva okomite ravni projekcije, tada su njihovi zbirni tragovi međusobno okomiti;

- ravan u opštem položaju i ravan koja se projektuje su okomite ako je zbirni trag projektovane ravni okomit na istoimeni trag ravni u opštem položaju;

- ako su poput tragova dvije ravni u općem položaju okomite, tada ravnine nisu okomite jedna na drugu.

Metoda zamjene ravni projekcije

	zamjene projekcijske ravni
leži u činjenici da su avioni
dijelovi se zamjenjuju drugim ravnim
	tako da	geometrijski
objekat u novi sistem avioni
projekcije su počele da se snimaju privatno
poziciju, što omogućava pojednostavljenje ponovnog
rješavanje problema. Na prostornoj skali
ket prikazuje zamenu ravni V sa
novi V 1 . Takođe je prikazano
tačka A na originalnim ravnima
projekcije i nova projekcijska ravan
V1. Prilikom zamjene projekcijskih ravni
ortogonalnost sistema je očuvana.

Hajde da transformišemo prostorni raspored u planarni raspored rotirajući ravni duž strelica. Dobijamo tri ravni projekcije spojene u jednu ravan.

Zatim uklanjamo ravnine projekcije i
		projekcije
Iz dijagrama tačke slijedi pravilo: kada
zamjenjujući V sa V 1 kako bi se
		frontalni
tačke, potrebno je sa nove ose
ostavite po strani uzetu tačku primjene
prethodni sistem aviona
dionice. Slično se može dokazati
	zamena H sa H 1 je neophodna
postavite ordinatu tačke.

Prvi tipični problem metode zamjene projekcijskih ravni

Prvi tipični zadatak metode zamjene projekcijskih ravni je transformacija linije u općem položaju, prvo u ravninu, a zatim u projekcijsku liniju. Ovaj problem je jedan od glavnih, jer se koristi u rješavanju drugih problema, na primjer, pri određivanju udaljenosti između paralelnih i kosih linija, pri određivanju diedarski ugao itd.

Napravimo promjenu V → V 1 .
os je povučena paralelno s horizontalom
		projekcije.
frontalna projekcija direktna, za
				odgoditi
point apps. Nova frontalna
projekcija prave je HB prava linija.
Sama ravna linija postaje frontalna.
Određuje se ugao α °.

Napravimo zamjenu H → H 1. Nacrtajte novu osu okomitu prednja projekcija ravno. Gradimo novu horizontalna projekcija prava linija, za koju smo izdvojili ordinate prave linije uzete iz prethodnog sistema ravni projekcije od nove ose. Prava postaje horizontalno izbačena linija i "degeneriše" u tačku.

Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice od tačke do prave. AT deskriptivna geometrija definisano je grafički prema algoritmu ispod.

Algoritam

1. Prava linija se prenosi u poziciju u kojoj će biti paralelna s bilo kojom ravninom projekcije. Da biste to učinili, primijenite metode transformacije ortogonalnih projekcija.
2. Nacrtajte okomicu iz tačke na pravu. U srži ovu konstrukciju je teorema projekcije pravog ugla.
3. Dužina okomice se određuje pretvaranjem njenih projekcija ili korištenjem metode pravokutnog trokuta.

Sljedeća slika je složeni crtež tačke M i prave b, dato segmentom CD. Morate pronaći udaljenost između njih.

Prema našem algoritmu, prva stvar koju treba učiniti je pomjeriti liniju na poziciju paralelno sa ravninom projekcije. Važno je shvatiti da se nakon transformacije stvarna udaljenost između tačke i prave ne bi trebala mijenjati. Zato je ovdje zgodno koristiti metodu zamjene ravnine, koja ne uključuje kretanje figura u prostoru.

U nastavku su prikazani rezultati prve faze izgradnje. Na slici je prikazano kako se paralelno sa b uvodi dodatna frontalna ravan P 4. U novom sistemu (P 1 , P 4) tačke C"" 1, D"" 1, M"" 1 su na istoj udaljenosti od ose X 1 kao C"", D"", M"" od osa x.

Izvodeći drugi dio algoritma, sa M"" 1 spuštamo okomicu M"" 1 N"" 1 na pravu b"" 1, pošto je pravi ugao MND između b i MN projektovan na ravan P 4 u puna veličina. Određujemo položaj tačke N" duž komunikacijske linije i crtamo projekciju M"N" segmenta MN.

Na završna faza potrebno je odrediti vrijednost segmenta MN njegovim projekcijama M"N" i M"" 1 N"" 1 . Za ovo gradimo pravougaonog trougla M"" 1 N"" 1 N 0 , čiji je krak N"" 1 N 0 jednak razlici (Y M 1 – Y N 1) uklanjanja tačaka M" i N" sa ose X 1. Dužina hipotenuze M"" 1 N 0 trougla M"" 1 N"" 1 N 0 odgovara željenoj udaljenosti od M do b.

Drugi način rješavanja

• Paralelno sa CD uvodimo novu frontalnu ravan P 4 . Seče P 1 duž X 1 ose, a X 1 ∥C"D". U skladu sa metodom zamjene ravni, određujemo projekcije tačaka C"" 1, D"" 1 i M"" 1, kao što je prikazano na slici.
• Okomito na C "" 1 D "" 1 gradimo dodatnu horizontalnu ravninu P 5 na koju se projicira prava linija b na tačku C" 2 \u003d b" 2.
• Udaljenost između tačke M i prave linije b određena je dužinom odsječka M "2 C" 2 označenog crvenom bojom.

Povezani zadaci: