n Пример 2.3. Найти корни уравнения

x - tg(x)= 0. (2.18)

Первый этап решения (этап отделения корней ) был реализован в разделе 2.1 (пример 2.2). Искомый корень уравнения находится на отрезке x Î, что и видно на графике (рис. 2.9).

Рис.2.9. Этап отделения корней

Этап уточнения корня реализуем средствами Excel. Продемонстрируем это на примере метода половинного деления . Схемы расчетов для методов касательных и хорд мало чем отличаются от приведенной ниже схемы.

Последовательность действий:

1. Подготовим таблицу, как показано на рис.2.10 и введем значения a , b , ε соответственно в ячейки В3, В4, В5.

2. Заполним первую строку таблицы:

D4=0 номер итерации;

Е4=В3, F4=B4, для вычисления f(a): G4=E4-TAN(E4),

Аналогично, в ячейки H4, I4, J4 введем формулы для вычисления соответственно f (b ), x n =(a+b )/2 и f (x n );

В ячейке К4 вычислим длину отрезка [a , b ]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, для формирования номера итерации.

4. В ячейки E5, F5 введем формулы для формирования концов вложенных отрезков в соответствии с алгоритмом, изложенным в разделе 2.2.1:

E5=ЕСЛИ(J4*H4<0;I4;E4);

F5=ЕСЛИ(J4*H4>0;I4;F4).

5. Выделим ячейки G4:K4 и скопируем их вниз на одну строку .

6. Выделим ячейки D5:K5 и скопируем их вниз до конца таблицы.

Рис.2.10. Схема решения нелинейного уравнения методом бисекции

Деление отрезков продолжаем до тех пор, пока длина последнего не станет меньше заданного ε, т.е. до тех пор, пока не выполнится условие .

Чтобы сделать наглядным окончание итерационного процесса, воспользуемся Условным форматированием

Условное форматирование – это форматирование выделенных ячеек на основе некоторого критерия, в результате чего произойдет цветовое оформление ячеек, содержимое которых удовлетворяет заданному условию (в нашем случае ).

Для этого выполним следующие действия:

Выделим ячейки последнего столбца (К) расчетной схемы (рис.2.10), где будет задаваться критерий окончания итерационного процесса;

Выполним команду

Главная\Стили\ Условное форматирование;

Рис.2.11. Окно условного форматирования

В появившемся окне (рис.2.11) выберем строку:

Правила выделения ячеек \ Меньше;

В левой части появившегося диалогового окна Меньше (рис.2.12) зададим значение, которое будем использовано в качестве критерия (в нашем примере это адрес ячейки B5, где находится значение ε ).

Рис.2.12. Диалоговое окно Меньше

В правой части окна Меньше выберем цвет, которым будут окрашены ячейки, отвечающие заданному условию; и нажмем кнопку ОК.

В результате такого форматирования ячейки столбца К, значения которых меньше 0.1, тонированы, рис.2.10.

Таким образом, за приближенное значение корня уравнения x- tg(x)= 0 с точностью e=0.1принимается 3-я итерация, т.е. x * »4.46875 . Для e=0.01 - x * » 4.49609 (6-я итерация).

Решение нелинейных уравнений с использованием надстройки «Подбор параметра»

Решение нелинейных уравнений можно реализовать в приложении MS Excel с использованием надстройки Подбор параметра, где реализуется некоторый итерационный процесс.

Найдем корни рассмотренного выше уравнения (2.18).

За нулевое приближение решения уравнения, как это видно из рис.2.13, можно принять х 0 =4 или х 0 =4,5.

Последовательность действий

1. Подготовим таблицу, как показано на рис.2.13. В ячейку А2 введем некоторое значение х 0 (например х 0 =4) из ОДЗ функции y=f(x). Это будет начальным приближением для итерационного процесса, реализуемого приложением Подбор параметра.

2. Ячейка В2 является изменяемой ячейкой в процессе работы надстройки. Введем в нее это значение х 0 , а в ячейке С3 вычислим значение функции f(x n) для этого приближения.

3. Выберем команду:

Данные \ Работа с данными \ Анализ «что-если»\ Подбор параметра.

4. В окне «Подбор параметра»сделаем установки, как показано на рис.2.13 и нажмем кнопку ОК.

Рис.2.13. Решение нелинейного уравнения с помощью надстройки «Подбор параметра»

Если все было проделано правильно, то в ячейке В2 (рис.2.13) будет получено приближенное значение корня нашего уравнения.

Проделайте все эти операции ещё раз с другим значением начального приближения, например х 0 =4,5.

Контрольные вопросы

1. Какое уравнение называется нелинейным. Что является решением нелинейного уравнения.

2. Геометрическая интерпретация решения нелинейного уравнения.

3. Методы решения нелинейного уравнения (прямые и итерационные), в чем разница.

4. Два этапа численного решения нелинейного уравнения. Какие задачи ставятся на первом и втором этапах.

5. Первый этап решения нелинейного уравнения. Как выбирается нулевое приближение (нулевая итерация).

6. Построение итерационной последовательности. Понятие сходимости итерационной последовательности. Нахождение приближенного значения корня нелинейного уравнения с точностью ε.

7. Геометрическая интерпретация численных методов решения нелинейного уравнения: половинного деления, Ньютона (касательных), хорд.

Глава 3.

Дано уравнение F(x)=0 . Это - общий вид нелинейного уравнения с одним неизвестным. Как правило, алгоритм нахождения корня состоит из двух этапов:

1. Отыскание приближенного значения корня или отрезка на оси абсцисс, его содержащего.

2. Уточнение приближенного значения корня до некоторой точности.

На первом этапе применяется шаговый метод отделения корней, на втором - один из методов уточнения (метод половинного деления, метод Ньютона, метод Хорд или метод простой итерации).

Шаговый метод

В качестве примера рассмотрим уравнение x 2 - 11x + 30 = 0. Интервал поиска , шагh = 0,3. Решим его, используя специальные возможности пакета Excel. Последовательность действий (см. рис. 1):

1. Оформить заголовок в строке 1 «Численные методы решения нелинейных уравнений».

2. Оформить заголовок в строке 3 «Шаговый метод».

3. В ячейки A6 и C6 и B6 записать данные по задаче.

4. В ячейки B9 и C9 записать заголовки рядов - соответственно x иF(x).

5. В ячейки B10 и B11 ввести первые два значения аргумента - 3 и 3.3.

6. Выделить ячейки B5-B6 и протащить ряд данных до конечного значения (3,3), убедившись в правильном выстраивании арифметической прогрессии.

7. В ячейку C10 ввести формулу «=B10*B10-11*B10+30».

8. Скопировать формулу на остальные элементы ряда, используя прием протаскивания. В интервале C10:C18 получен ряд результатов вычисления функции F(x). Видно, что функция один раз меняет знак. Корень уравнения расположен в интервале .

9. Для построения графика зависимости F(x) используем Вставка - Диаграмма (тип «Точечная», маркеры соединяются гладкими кривыми).

Метод деления отрезка пополам

В качестве примера рассмотрим уравнение x 2 - 11x + 30 = 0. Интервал поиска , с точностью ε=0.01. Решим его, используя специальные возможности пакета Excel.

1. Ввести в ячейку B21 заголовок «Метод деления отрезков пополам».

2. Ввести в ячейку A23, C23, E23 данные по задачи.

3. В области B25:H25 оформить заголовок таблицы (ряд B - левая граница отрезка «a», ряд C - середина отрезка «x», ряд D - правая граница отрезка «b», ряд E - значение функции на левой границе отрезка «F(a)», ряд F - значение функции на середине отрезка «F(x)», ряд G - произведение «F(a)*F(x)», ряд H - проверка достижения точности « ê F(x)ê <е».

4. Ввести первоначальные значения концов отрезка: в ячейку B26 «4.8», в ячейку D26 «5.1».

5. Ввести в ячейку C26 формулу «=(B26+D26)/2».

6. Ввести в ячейку E26 формулу «=B26*B26-11*B26+30».

7. Ввести в ячейку F26 формулу «=C26*C26-11*C26+30».

8. Ввести в ячейку G26 формулу «=E26*F26».

9. Ввести в ячейку H26 формулу «=ЕСЛИ(ABS(F26)<0.01; ² корень² )».

1 0. Выделить область B21:H21 и протащить ее по вертикали вплоть до появления в ряду H сообщения «корень» (ячейка H29, H30).

Метод касательных (Ньютона)

1. Ввести в ячейку J23 заголовок «Метод касательной (Ньютона)».

2. Ввести в ячейку L23 текст «е=», а в ячейку M23 значение точности «0.00001».

3. В области K25:N25 оформить заголовок таблицы (ряд K - значение аргумента «x», ряд L - значение функции «F(x)», ряд M - производная функции «F ¢ (x)», ряд N - проверка достижения точности «ê F(x)ê <е».

4. В ячейку K26 ввести первоначальное значение аргумента «-2».

5. Ввести в ячейку L26 формулу «=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5».

6. Ввести в ячейку M26 формулу «=3*K26*K26+4*K26+3».

7. Ввести в ячейку N26 формулу «=ЕСЛИ(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. Ввести в ячейку K27 формулу «=K26-L26/M26».

9. Выделить область L27:N27 и протащить ее по вертикали вплоть до появления в ряду N сообщения «корень» (ячейка N30).

Метод хорд

В качестве примера рассмотрим уравнение x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Точность ε=0.01. Решим его, используя специальные возможности пакета Excel.

1. Ввести в ячейку B32 заголовок «Метод хорд».

2. Ввести в ячейку C34 текст «е=», а в ячейку E34 значение точности «0.00001».

3. В области B36:D36 оформить заголовок таблицы (ряд B - значение аргумента «x», ряд C - значение функции «F(x)», ряд D - проверка достижения точности « ê F(x)ê <е».

4. В ячейку B37 и B38 ввести первоначальное значение аргумента «-2» и. «-1»

5. Ввести в ячейку С37 формулу «=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5».

6. Ввести в ячейку D37 формулу «=ЕСЛИ(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Ввести в ячейку B39 формулу «=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37)».

8. Выделить область C39:D39 и протащить ее по вертикали вплоть до появления в ряду D сообщения «корень» (ячейка D43).

Метод простой итерации

В качестве примера рассмотрим уравнение x 2 - 11x + 30 = 0. Интервал поиска , с точностьюe =0,05.

1. Ввести в ячейку K32 заголовок «Метод простой итерации»

2. Ввести в ячейку N34 текст «е=», а в ячейку O34 значение точности «0,05».

3. Выбрать функцию j (x), удовлетворяющую условию сходимости. В нашем случае такой функцией является функция S(x)=(x*x+30)/11.

4. В области K38:N38 оформить заголовок таблицы (ряд K - значение аргумента «x», ряд L - значение функции «F(x)», ряд M - значение вспомогательной функции «S(x)», ряд N - проверка достижения точности « ê F(x)ê <е».

5. В ячейку K39 ввести первоначальное значение аргумента «4.8».

6. Ввести в ячейку L39 формулу «=K39*K39-11*K39+30».

7. Ввести в ячейку M39 формулу «=(K39*K39+30)/11».

8. Ввести в ячейку N39 формулу «=ЕСЛИ(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. Ввести в ячейку K40 формулу «=M39».

1 0. Скопировать ячейки L39:N39 в ячейки L40:N40.

1 1 . Выделить область L40:N40 и протащить ее по вертикали вплоть до появления в ряду N сообщения «корень» (ячейка N53).

Рис.1 Решение нелинейных уравнений в среде Excel

Иванов Иван

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику. Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решение уравнений

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков , в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

• Если f(a)* f(b] \a, b\ существует, по крайней мере, один корень
• Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , и f(a)*f(b) и f "(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Метод дихотомии

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин или , на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m)
5. если (a-b)/2>e повторяем, начиная с пункта2
   

Метод хорд.

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале, нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

Откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е - заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

1. sin(x/2)+1=x^2 (х=1,26)

1. x-cosx=0 (х=0,739)

1. x^2+4sinx=0 (х=-1,933)

1. x=(x+1) 3 (х=-2,325)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Excel и Mathcad

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Вычислительная математика»

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad : Метод. указ. / Сост. , - Самара: СГАСУ, 20с.

Методические указания разработаны в соответствии с Государственным образовательным стандартом изучения дисциплины «Вычислительная математика».

Рассмотрена реализация численных методов при решении нелинейных уравнений и систем уравнений в Excel и MathCad. Приведены варианты заданий для индивидуального выполнения и вопросы для самоконтроля и тестирования.

Предназначены для студентов специальности 230201 – «Информационные системы и технологии» всех форм обучения.

Рецензент к. ф-м. н.

Ó , составление, 2012

ã СГАСУ, 2012

1.2 Отделение корней
1.5 Метод хорд
1.6 Метод Ньютона (касательных)
1.7 Комбинированный метод
1.8 Метод итераций
2.2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
3 Задания к лабораторным работам
Лабораторная № 1. Отделение корней и стандартные инструменты решения нелинейного уравнения
Лабораторная № 2. Сравнение методов уточнения корней нелинейного уравнения
Лабораторная № 3. Решение систем нелинейных уравнений
Лабораторная № 4. Программирование методов решения нелинейных уравнений и систем
4 Вопросы и тесты для самоконтроля

1 Решение нелинейного уравнения

1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения

Как правило, нелинейное уравнения общего вида f(х)=0 невозможно решить аналитически. Для практических задач достаточно найти приближенное значение x , в определенном смысле близкое к точному решению уравнения хточн .

В большинстве случаев поиск приближенного решения включает два этапа. На первом этапе отделяют корни, т. е. находят такие отрезки, внутри которых находится строго один корень. На втором этапе уточняют корень на одном из таких отрезков, т. е. находят его значение с требуемой точностью.

Достигнутая точность может оцениваться либо «по функции» (в найденной точке x , функция достаточно близка к 0, т. е. выполняется условие |f(x)|≤ e f , где e f требуемая точность по оси ординат), либо «по аргументу» (найден достаточно маленький отрезок [ a, b] , внутри которого находится корень, т. е. | b– a|≤ e x , где e x требуемая точность по оси абсцисс).

1.2 Отделение корней

Отделение корней может производиться сочетанием графического и аналитического исследования функции. Такое исследование опирается на теорему Вейерштрасса, в соответствии с которой для непрерывной на отрезке [ a, b] функции f(х ) и любого числа y , отвечающего условию f(a)≤y≤ f(b) , существует на этом отрезке точка x , в которой функция равна y . Следовательно, для непрерывной функции достаточно найти отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки, и можно быть уверенным, что на этом отрезке есть корень уравнения f(х)=0 .

Для ряда методов уточнения желательно, чтобы найденный на первом этапе отрезок содержал только один корень уравнения. Это условие выполняется, если функция на отрезке монотонна. Монотонность, можно проверить либо по графику функции, либо по знаку производной.

Пример Найти с точностью до целых все корни нелинейного уравнения y(x)= x3 ‑ 10 x + 7=0 а) построив таблицу и б) построив график. Найти корень уравнения на выделенном отрезке, используя опции «Подбор параметра» и «Поиск решения».

Решение Создадим в Excel таблицу, содержащую аргументы и значения функции и по ней построим точечную диаграмму . На рисунке 1 приведен снимок решения.

На графике видно, что уравнение имеет три корня, принадлежащие отрезкам [-4, -3], и . Эти отрезки можно выявить и наблюдая за сменой знаков функции в таблице. По построенному графику можно сделать вывод, что на указанных отрезках функция f (x ) монотонна и, следовательно, на каждом из них содержится только по одному корню.

Такой же анализ может быть выполнен и в пакете Mathcad. Для этого достаточно набрать определение функции f (x ) , используя оператор присваивания (:=) и естественные общепринятые обозначения математических операций и стандартных функций, задать цикл для изменения аргумента, например, а затем вывести на экран таблицу значений функции (располо­жен­ными в одной строке командами x = f (x )= ) и график. Цикл можно задать, например, командой x :=-5,-4.5…5 . Шаг цикла формируется путем задания начального и следующего за ним значений переменной, а перед конечным значением переменной ставится точка с запятой, которая будет визуально отображена на экране в виде многоточия.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

Рисунок 1 – Таблица и график для отделения корней нелинейного уравнения

1.3 Уточнение корней стандартными средствами Excel и Mathcad

Во всех методах уточнения корней необходимо задать начальное прибли­же­ние, которое затем и будет уточняться. Если уравнение имеет несколько кор­ней, в зависимости от выбранного начального приближения будет найден один из них. При неудачно выбранном начальном приближении решение может и не быть найдено. Если в результате первого этапа расчетов уже выделен отрезок, содержа­щий единственный корень уравнения, в качестве начального приближения можно взять любую точку этого отрезка.

В Excel для уточнения значений корней можно использовать опции «Подбор параметра» и «Поиск решения». Пример оформления решения приведен на рисунках 2 и 3.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

Рисунок 3 – Результаты использования средств решения уравнения в Excel

В Mathcad для уточнения корней уравнения можно использовать функцию root (….) или блок решения . Пример использования функции root(…) приведен на рисунке 4, а блока решения на рисунке 5. Следует обратить внимание, что в блоке решения (после заголовка блока Given ) между левой и правой частями уравнения должен стоять жирный знак равенства (тождества), который можно получить выбором из соответствующей палитры инструментов, либо нажатием одновременно клавиши Ctrl и = .

243" height="31">

Рисунок 5 – Решение уравнения с использованием блока решения в Mathcad

Как видим, каждый стандартный инструмент находит решение уравнения с определенной точностью. Эта точность зависит от метода, используемого в пакете и, в определенной степени, настроек пакета. Управлять точностью результата здесь достаточно сложно, а часто и невозможно.

В то же время, очень просто построить собственную таблицу или написать программу, реализующие один из методов уточнения корней. Здесь можно использовать критерии точности расчета, задаваемые пользователем. При этом достигается и понимание процесса расчетов без опоры на принцип Митрофанушки: «Извозчик есть, довезет».

Далее рассмотрены несколько наиболее распространенных методов. Отметим очевидный момент: при прочих равных условиях тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден с меньшим числом вычислений функции f(x) (при этом достигается и максимальная точность при одинаковом числе вычислений функции).

1.4 Метод деления отрезка пополам

В этом методе на каждом шаге отрезок делится на две равные части. Затем сравнивают знаки функции на концах каждой из двух половинок (например, по знаку произведения значений функций на концах), определяют ту из них, в которой содержится решение (знаки функции на концах должны быть разные), и. сужают отрезок, перенося в найденную точку его границу (а или b ). Условием окончания служит малость отрезка, где содержится корень («точность по x »), либо близость к 0 значения функции в средине отрезка («точность по y»). Решением уравнения считают середину отрезка, найденного на последнем шаге.

Пример . Построить таблицу для уточнения корня уравнения x 3 –10 x +7=0 на отрезке [-4, -3] методом деления отрезка пополам. Определить сколько шагов надо сделать методом деления отрезка пополам и какая при этом достигается точность по х, для достижения точности по y , равной 0,1; 0,01; 0, 001.

Решение Для решения можно использовать табличный процессор Excel, позволяющий автоматически продолжать строки. На первом шаге заносим в таблицу значения левого и правого концов выбранного начального отрезка и вычисляем значение середины отрезка с =(a +b )/2, а затем вводим формулу для вычисления функции в точке a (f (a )) и растягиваем (копируем) её для вычисления f (c ) и f (b ). В последнем столбца вычисляем выражение (b -a )/2, характеризующего степень точности вычислений. Все набранные формулы можно скопировать во вторую строку таблицы.

На втором шаге нужно автоматизировать процесс поиска той половины отрезка, где содержится корень. Для этого испльзуется логическая функция ЕСЛИ (Меню : ВставкаФункцияЛогические). Для нового левого края отрезка мы проверяем истинность условия f (a )*f (c )>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения левого конца отрезка берем число c a , c a . Аналогично, для нового правого края отрезка мы проверяем истинность условия f (c )* f (b )>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения правого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [c , b ] нет), иначе оставляем значение b .

Вторую строку таблицы можно продолжить (скопировать) на необходимое число последующих строк.

Итерационный процесс завершается, когда очередное значение в последнем столбце становится меньшим, чем заданный показатель точности ex. При этом, значение середины отрезка в последнем приближении, принимается в качестве приближенного значения искомого корня нелинейного уравнения. На рисунке 6 приведен снимок решения. Для построения аналогичного процесса в Mathcad можно использовать бланк, подобный приведенному на рисунке 7. Число шагов N может варьиро­вать­ся до достижения в таблице результатов требуемой точности. При этом таблица будет автоматически удлиняться или укорачиваться.

Итак, одним из трех корней нелинейного уравнения x 3 – 10x + 7=0, найденным с точностью e=0,0001, является x = - 3,46686. Как мы видим, он действительно принадлежит отрезку [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

Рисунок 7 – Уточнение корня методом деления отрезка пополам в Mathcad

1.5 Метод хорд

В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [а, b ] заменяется линейной – уравнением хорды, т. е. прямой соединяющей граничные точки графика на отрезке. Условие применимости метода – монотонность функции на начальном отрезке, обеспечивающая единственность корня на этом отрезке. Расчет по методу хорд аналогичен расчету методом деления отрезка пополам, но теперь на каждом шаге новая точка x внутри отрезка [a , b ] рассчитывается по любой из следующих формул:

(х) > 0 ), или правая его граница: x0 = b (если f(b) f"(х)>0 ). Расчет нового приближения на следующем шаге i +1 производится по формуле:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

Рисунок 8 – Уточнение корня методом касательных в E xcel

Расчеты в Mathcad выполняются аналогично. При этом значительное облегчение доставляет наличие в этом пакете оператора, автоматически вычисляющего производную функции.

Наиболее трудоемким элементом расчетов по методу Ньютона является вычисление производной на каждом шаге.

При определенных условиях может использоваться упрощенный метод Ньютона , в котором производная вычисляется только один раз – в начальной точке. При этом используется видоизмененная формула

.

Естественно, что упрощенный метод, как правило, требует большего числа шагов.

Если вычисление производной связано с серьезными трудностями (например, если функция задана не аналитическим выражением, а вычисляющей ее значения программой) используется модифицированный метод Ньютона, получивший название – метод секущих . Здесь производная приближенно вычисляется по значениям функции в двух последовательных точках, то есть используется формула

.

В методе секущих необходимо задаться не одной, а двумя начальными точками – x 0 и x 1 . Точка x1 обычно задается сдвигом x0 к другой границе отрезка на малую величину, например, на 0.01.

1.7 Комбинированный метод

Можно показать, что если на начальном отрезке у функции f(x) сохраняются неизменными знаки первой и второй производных, то методы хорд и Ньютона приближаются к корню с разных. В комбинированном методе для повышения эффективности на каждом шаге использует оба алгоритма одновременно. При этом интервал, где содержится корень, сокращается с обеих сторон, что обусловливает другое условие окончания поиска. Поиск можно прекратить, как только в середине интервала, полученного на очередном шаге значение функции станет по модулю меньшим, чем предварительно заданной погрешности e f .

Если, в соответствии со сформулированным выше правилом, метод Ньютона применяется к правой границе отрезка, для вычислений используются формулы:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">.

Если метод Ньютона применяется к левой границе, – в предыдущих формулах меняются местами обозначения a и b .

1.8 Метод итераций

Для применения этого метода исходное уравнение f(x)=0 преобразуют к виду: x =y (х) . Затем выбирают начальное значение х0 и подставляют его в левую часть уравнения, получая, в общем случае, x 1 = y (х0) ¹ х0 ¹ y (х1) , поскольку х0 взято произвольно и не является корнем уравнения. Полученное значение х1 рассматривают как очередное приближение к корню. Его снова подставляют в правую часть уравнения и получают следующее значение х2= y (х1) ). Расчет продолжают по формуле хi+1= y (хi) . Получающаяся таким образом последовательность: х0, х1, х2, х3 х4,... при определенных условиях сходиться к корню хточн .

Можно показать, что итерационный процесс сходится при условии
|y ’ (x ) | < 1 на [a , b ].

Существуют различные способы преоб­ра­зо­вания уравнения f(x) = 0 к виду y (х) = х , причем в конкретном случае одни из них приведут к сходящемуся, а другие – к расходящемуся процессу вычислений.

Один из способов, заключается в применении формулы

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

где М = max |y ’ (x )| на [a , b ].

2 Решение систем нелинейных уравнений

2.1 Общие сведения о решении систем нелинейных уравнений

Систему n нелинейных уравнений с n неизвестными x1, x2 , ..., xn записывают в виде:

где F1, F2 ,…, Fn – функции независимых переменных, среди которых есть нелинейные.

Как и в случае систем линейных уравнений, решением системы является такой вектор X *, который при подстановке обращает одновременно все уравнения системы в тождества.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

Начальные значения x 0 и y 0 определяются графически. Для нахождения каждого последующего приближения (xi +1 , yi +1 ) используют вектор значений функций и матрицу значений их первых производных, рассчитанные в предыдущей точке (xi , yi ) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

Для расчета новых приближений на шаге i+1 используется матричная формула

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">.

Приведенные формулы особенно легко записать в Mathcad, где имеются операторы для вычисления производных и действий с матрицами. Однако при правильном использовании матричных операций эти формулы достаточно просто записываются и в Excel. Правда, здесь придется заранее получить формулы для вычисления производных. Для аналитического вычисления производных также может быть использован Mathcad.

2.3 Решение систем нелинейных уравнений методами итераций

Для реализации этих методов исходную систему уравнений необходимо путем алгебраических преобразований явно выразить каждую переменную через остальные. Для случая двух уравнений с двумя неизвестными новая система будет иметь вид

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">.

Если одно из решений системы и начальные значения x 0 и y 0 лежат в области D , задаваемой неравенствами: a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , то расчет по методу простых итераций сходится при выполнении в области D соотношений:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

В методе итераций Зейделя для каждого расчета используют уже найденные наиболее точные значения каждой переменной. Для рассматриваемого случая двух переменных такая логика приводит к формулам

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Инструмент (опция)

Начальное приближение

Корень x

f(x)

3.Отсортировать полученные результаты по точности решения.