1 ζώδιο ισότητας τριγώνων λέγεται. Το τρίτο σημάδι ισότητας τριγώνων

Αναμεταξύ τεράστιο ποσόπολύγωνα, που είναι ουσιαστικά μια κλειστή, μη τέμνουσα διακεκομμένη γραμμή, ένα τρίγωνο είναι το σχήμα με τις λιγότερες γωνίες. Με άλλα λόγια, αυτό είναι το απλούστερο πολύγωνο. Όμως, παρά την απλότητά του, αυτή η φιγούρα είναι γεμάτη με πολλά μυστήρια και ενδιαφέρουσες ανακαλύψεις, τα οποία φωτίζονται ειδικό τμήμαμαθηματικά - γεωμετρία. Αυτός ο κλάδος αρχίζει να διδάσκεται στα σχολεία από την έβδομη τάξη και το θέμα «Τρίγωνο» δίνεται εδώ Ιδιαίτερη προσοχή. Τα παιδιά όχι μόνο μαθαίνουν τους κανόνες για το ίδιο το σχήμα, αλλά και τους συγκρίνουν μελετώντας το 1ο, 2ο και 3ο σημάδι ισότητας των τριγώνων.

Πρώτη συνεδρίαση

Ένας από τους πρώτους κανόνες που μαθαίνουν οι μαθητές είναι κάπως έτσι: το άθροισμα των τιμών όλων των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180 μοίρες. Για να το επιβεβαιώσετε, αρκεί να χρησιμοποιήσετε ένα μοιρογνωμόνιο για να μετρήσετε κάθε μια από τις κορυφές και να προσθέσετε όλες τις προκύπτουσες τιμές. Με βάση αυτό, με δύο γνωστές ποσότητες είναι εύκολο να προσδιοριστεί η τρίτη. Για παράδειγμα: Σε ένα τρίγωνο, η μία από τις γωνίες είναι 70° και η άλλη 85°, πόσο είναι το μέγεθος της τρίτης γωνίας;

180 - 85 - 70 = 25.

Απάντηση: 25°.

Τα προβλήματα μπορεί να είναι ακόμη πιο περίπλοκα εάν έχει καθοριστεί μόνο μία τιμή γωνίας και η δεύτερη τιμή λέγεται μόνο πόση ή πόσες φορές είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη.

Σε ένα τρίγωνο, για να προσδιοριστούν ορισμένα από τα χαρακτηριστικά του, μπορούν να σχεδιαστούν ειδικές γραμμές, καθεμία από τις οποίες έχει το δικό της όνομα:

ύψος - μια κάθετη ευθεία γραμμή που τραβιέται από την κορυφή στην αντίθετη πλευρά.
Και τα τρία ύψη, σχεδιασμένα ταυτόχρονα, τέμνονται στο κέντρο του σχήματος, σχηματίζοντας ένα ορθόκεντρο, το οποίο, ανάλογα με τον τύπο του τριγώνου, μπορεί να βρίσκεται τόσο μέσα όσο και έξω.
διάμεσος - μια γραμμή που συνδέει την κορυφή με τη μέση της απέναντι πλευράς.
η τομή των διάμεσων είναι το σημείο βάρους του, που βρίσκεται μέσα στο σχήμα.
διχοτόμος - μια ευθεία που εκτείνεται από μια κορυφή έως το σημείο τομής με την αντίθετη πλευρά· το σημείο τομής τριών διχοτόμων είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Απλές αλήθειες για τα τρίγωνα

Τα τρίγωνα, όπως όλα τα σχήματα, έχουν τα δικά τους χαρακτηριστικά και ιδιότητες. Όπως ήδη αναφέρθηκε, αυτό το σχήμα είναι το απλούστερο πολύγωνο, αλλά με τα δικά του χαρακτηριστικά γνωρίσματα:

η γωνία με τη μεγαλύτερη τιμή βρίσκεται πάντα απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά και αντίστροφα.
Οι ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές, ένα παράδειγμα αυτού είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο.
το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι πάντα ίσο με 180°, το οποίο έχει ήδη αποδειχθεί με παράδειγμα.
Όταν η μία πλευρά ενός τριγώνου εκτείνεται πέρα από τα όριά της, σχηματίζεται μια εξωτερική γωνία, η οποία θα είναι πάντα ίσο με το άθροισμαγωνίες που δεν γειτνιάζουν με αυτό.
κάθε πλευρά είναι πάντα μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών, αλλά μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

Τύποι τριγώνων

Το επόμενο στάδιο γνωριμίας είναι ο προσδιορισμός της ομάδας στην οποία ανήκει το παρουσιαζόμενο τρίγωνο. Το να ανήκεις σε έναν ή άλλο τύπο εξαρτάται από το μέγεθος των γωνιών του τριγώνου.

Ισοσκελές - με δύο ίσες πλευρές, οι οποίες ονομάζονται πλευρικές, η τρίτη σε αυτή την περίπτωση λειτουργεί ως βάση του σχήματος. Οι γωνίες στη βάση ενός τέτοιου τριγώνου είναι ίδιες και η διάμεσος που λαμβάνεται από την κορυφή είναι η διχοτόμος και το ύψος.
Σωστό ή ισόπλευρο τρίγωνο, είναι ένα στο οποίο όλες οι πλευρές του είναι ίσες.
Ορθογώνιο: μία από τις γωνίες του είναι 90°. Στην περίπτωση αυτή, η πλευρά απέναντι από αυτή τη γωνία ονομάζεται υποτείνουσα και οι άλλες δύο ονομάζονται σκέλη.
Οξύ τρίγωνο - όλες οι γωνίες είναι μικρότερες από 90°.
Αμβλεία - μία από τις γωνίες μεγαλύτερη από 90°.

Ισότητα και ομοιότητα τριγώνων

Κατά τη διάρκεια της μαθησιακής διαδικασίας, όχι μόνο εξετάζουν ένα μόνο σχήμα, αλλά συγκρίνουν και δύο τρίγωνα. Και αυτό φαίνεται, απλό θέμαέχει πολλούς κανόνες και θεωρήματα με τα οποία μπορεί να αποδειχθεί ότι τα εν λόγω σχήματα είναι ίσα τρίγωνα. Τα κριτήρια για την ισότητα των τριγώνων έχουν τον εξής ορισμό: τα τρίγωνα είναι ίσα αν οι αντίστοιχες πλευρές και γωνίες τους είναι ίδιες. Με τέτοια ισότητα, αν τοποθετήσετε αυτές τις δύο φιγούρες η μία πάνω στην άλλη, όλες οι γραμμές τους θα συγκλίνουν. Επίσης, τα στοιχεία μπορεί να είναι παρόμοια, συγκεκριμένα, αυτό ισχύει πρακτικά πανομοιότυπες φιγούρες, διαφέρουν μόνο σε μέγεθος. Για να εξαχθεί ένα τέτοιο συμπέρασμα σχετικά με τα παρουσιαζόμενα τρίγωνα, πρέπει να πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

δύο γωνίες ενός σχήματος είναι ίσες με δύο γωνίες ενός άλλου.
Οι δύο πλευρές του ενός είναι ανάλογες με τις δύο πλευρές του δεύτερου τριγώνου και τα μεγέθη των γωνιών που σχηματίζονται από τις πλευρές είναι ίσα.
τρεις πλευρές του δεύτερου σχήματος είναι ίδιες με το πρώτο.

Φυσικά, για μια αδιαμφισβήτητη ισότητα που δεν θα εγείρει την παραμικρή αμφιβολία, είναι απαραίτητο να έχουμε τις ίδιες τιμές όλων των στοιχείων και των δύο σχημάτων, ωστόσο, με τη χρήση θεωρημάτων, η εργασία απλοποιείται πολύ και μόνο λίγα επιτρέπονται συνθήκες για να αποδειχθεί η ισότητα των τριγώνων.

Το πρώτο σημάδι ισότητας τριγώνων

Τα προβλήματα σε αυτό το θέμα επιλύονται με βάση την απόδειξη του θεωρήματος, η οποία έχει ως εξής: «Αν δύο πλευρές ενός τριγώνου και η γωνία που σχηματίζουν είναι ίσες με δύο πλευρές και τη γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε τα σχήματα είναι επίσης ίσα με ο ένας τον άλλον."

Πώς ακούγεται η απόδειξη του θεωρήματος για το πρώτο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων; Όλοι γνωρίζουν ότι δύο τμήματα είναι ίσα αν έχουν το ίδιο μήκος ή οι κύκλοι είναι ίσοι αν έχουν την ίδια ακτίνα. Και στην περίπτωση των τριγώνων, υπάρχουν πολλά σημάδια, τα οποία, μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα σχήματα είναι πανομοιότυπα, κάτι που είναι πολύ βολικό στη χρήση κατά την επίλυση διαφόρων γεωμετρικών προβλημάτων.

Πώς ακούγεται το θεώρημα "Το πρώτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων" περιγράφεται παραπάνω, αλλά εδώ είναι η απόδειξή του:

Ας υποθέσουμε ότι τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1 έχουν τις ίδιες πλευρές AB και A 1 B 1 και, κατά συνέπεια, BC και B 1 C 1, και οι γωνίες που σχηματίζονται από αυτές τις πλευρές έχουν το ίδιο μέγεθος, δηλαδή είναι ίσες. Στη συνέχεια, υπερθέτοντας το △ ABC στο △ A 1 B 1 C 1, λαμβάνουμε τη σύμπτωση όλων των γραμμών και των κορυφών. Από αυτό προκύπτει ότι αυτά τα τρίγωνα είναι απολύτως πανομοιότυπα και επομένως ίσα μεταξύ τους.

Το θεώρημα "Το πρώτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων" ονομάζεται επίσης "Σε δύο πλευρές και μια γωνία". Στην πραγματικότητα, αυτή είναι η ουσία του.

Θεώρημα για το δεύτερο πρόσημο

Το δεύτερο πρόσημο της ισότητας αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο· η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι όταν τα σχήματα τοποθετούνται το ένα πάνω στο άλλο, συμπίπτουν πλήρως σε όλες τις κορυφές και τις πλευρές. Και το θεώρημα ακούγεται ως εξής: "Αν μια πλευρά και δύο γωνίες στον σχηματισμό των οποίων συμμετέχει αντιστοιχούν στην πλευρά και δύο γωνίες του δεύτερου τριγώνου, τότε αυτά τα σχήματα είναι πανομοιότυπα, δηλαδή ίσα."

Τρίτο σημάδι και απόδειξη

Αν και το 2 και το 1 σημάδι ισότητας τριγώνων αφορούσαν και τις πλευρές και τις γωνίες του σχήματος, τότε το 3ο αναφέρεται μόνο στις πλευρές. Έτσι, το θεώρημα έχει την εξής διατύπωση: «Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες με τις τρεις πλευρές του δεύτερου τριγώνου, τότε τα σχήματα είναι πανομοιότυπα».

Για να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα, πρέπει να εμβαθύνουμε στον ίδιο τον ορισμό της ισότητας με περισσότερες λεπτομέρειες. Ουσιαστικά, τι σημαίνει η έκφραση «τα τρίγωνα είναι ίσα»; Η ταυτότητα λέει ότι αν τοποθετήσετε ένα σχήμα σε ένα άλλο, όλα τα στοιχεία τους θα συμπέσουν, αυτό μπορεί να συμβεί μόνο όταν οι πλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες. Ταυτόχρονα, η γωνία απέναντι σε μία από τις πλευρές, η οποία είναι ίδια με αυτή του άλλου τριγώνου, θα είναι ίση με την αντίστοιχη κορυφή του δεύτερου σχήματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτό το σημείο η απόδειξη μπορεί εύκολα να μεταφραστεί σε 1 κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων. Εάν δεν τηρηθεί μια τέτοια ακολουθία, η ισότητα των τριγώνων είναι απλώς αδύνατη, εκτός από τις περιπτώσεις που το σχήμα είναι εικόνα καθρέφτηπρώτα.

Ορθογώνια τρίγωνα

Η δομή τέτοιων τριγώνων έχει πάντα κορυφές με γωνία 90°. Επομένως, οι ακόλουθες δηλώσεις είναι αληθείς:

τα τρίγωνα με ορθές γωνίες είναι ίσα εάν τα σκέλη του ενός είναι πανομοιότυπα με τα σκέλη του δεύτερου.
Οι αριθμοί είναι ίσοι εάν οι υποτείνυσές τους και το ένα πόδι τους είναι ίσα.
τέτοια τρίγωνα είναι ίσα αν τα πόδια τους και αιχμηρή γωνίαπανομοιότυπο.

Αυτό το σημάδι αναφέρεται στο Για να αποδείξουν το θεώρημα, εφαρμόζουν την εφαρμογή των σχημάτων μεταξύ τους, με αποτέλεσμα τα τρίγωνα να διπλώνονται με πόδια έτσι ώστε να βγαίνουν δύο ευθείες γραμμές με πλευρές CA και CA 1.

Πρακτική χρήση

Στις περισσότερες περιπτώσεις, στην πράξη, χρησιμοποιείται το πρώτο σημάδι ισότητας τριγώνων. Στην πραγματικότητα, ένα τόσο απλό φαινομενικά θέμα της 7ης δημοτικού για τη γεωμετρία και την επιπεδομετρία χρησιμοποιείται επίσης για τον υπολογισμό του μήκους, για παράδειγμα, ενός τηλεφωνικού καλωδίου χωρίς να μετρηθεί η περιοχή από την οποία θα περάσει. Χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα, είναι εύκολο να γίνουν οι απαραίτητοι υπολογισμοί για τον προσδιορισμό του μήκους ενός νησιού που βρίσκεται στη μέση του ποταμού χωρίς να κολυμπήσετε απέναντι του. Είτε ενισχύστε το φράχτη τοποθετώντας τη ράβδο στο άνοιγμα έτσι ώστε να τη χωρίσει σε δύο ίσα τρίγωνα ή υπολογίστε σύνθετα στοιχείαεργασία στην ξυλουργική ή κατά τον υπολογισμό του συστήματος δοκών οροφής κατά την κατασκευή.

Το πρώτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων χρησιμοποιείται ευρέως στην πραγματική «ενήλικη» ζωή. Αν και μέσα ΣΧΟΛΙΚΑ χρονιαΕίναι αυτό το θέμα που σε πολλούς φαίνεται βαρετό και εντελώς περιττό.

Το τρίτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων σε τρεις πλευρές διατυπώνεται με τη μορφή θεωρήματος.

Θεώρημα : Εάν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

Απόδειξη.Θεωρήστε τα ΔABC και ΔA 1 B 1 C 1 για τα οποία AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 . Ας αποδείξουμε ότι ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Έστω ABC και A 1 B 1 C 1 τρίγωνα με AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Ας επιβάλουμε το ΔABC στο ΔA 1 B 1 C 1 έτσι ώστε η κορυφή A να ευθυγραμμίζεται με το A 1 , και οι κορυφές B και B 1 , και οι κορυφές C και C 1 να ευθυγραμμίζονται διαφορετικές πλευρέςαπό την ευθεία A 1 B 1. Τρεις περιπτώσεις είναι δυνατές: 1) η ακτίνα C 1 C διέρχεται μέσα στη γωνία A 1 C 1 B 1 (Εικ. α)). 2) Η ακτίνα C 1 C συμπίπτει με μία από τις πλευρές αυτής της γωνίας (Εικ. β)). ακτίνα C 1 C διέρχεται έξω από τη γωνία A 1 C 1 B 1 (Εικ. γ)). Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση. Εφόσον, σύμφωνα με τις συνθήκες του θεωρήματος, οι πλευρές AC και A 1 C 1, BC και B 1 C 1 είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα A 1 C 1 C και B 1 C 1 C είναι ισοσκελές. Με το θεώρημα για την ιδιότητα των γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου, Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, επομένως ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . Άρα, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, РС = РС 1. Επομένως, τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1 είναι ίσα σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων.

Γράψε στον πίνακα:

Δεδομένος:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1

Αποδεικνύω:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Απόδειξη.Ας επιβάλουμε το ΔABC στο ΔA 1 B 1 C 1 έτσι ώστε τα A →A 1, και B → B 1, και C και C 1 να βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της ευθείας A 1 B 1. Ας εξετάσουμε μια περίπτωση. η δοκός C 1 C διέρχεται μέσα στο RA 1 C 1 B 1 (Εικ. α)).

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C και ΔB 1 C 1 C - ίσα. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (σύμφωνα με τη φύση των γωνιών ισούται με Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο ισότητας τριγώνων.

2.Ρόμβος. Ορισμός, ιδιότητες, σημεία.

Ο ρόμβος είναι ένας τύπος τετράπλευρου.

Ορισμός: Ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Το σχήμα δείχνει ένα παραλληλόγραμμο ABCD με AB=BC=CD=DA. Εξ ορισμού, αυτό το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. AC και ВD είναι οι διαγώνιοι του ρόμβου. Δεδομένου ότι ένας ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, όλες οι ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά ενός παραλληλογράμμου ισχύουν για αυτόν.

Ιδιότητες:

1) Σε έναν ρόμβο, οι απέναντι γωνίες είναι ίσες (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής. (BO=OD, AO=OC)

3) Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι μεταξύ τους κάθετες και οι γωνίες του διχοτομούνται. (AS DV, ‌‌АБО=РУВС, ADO=RODC, ‌‌рBСО=РДСО, РДАО=РВАО) ( ειδική ιδιοκτησία)

4) Το άθροισμα των γωνιών που γειτνιάζουν με τη μία πλευρά είναι ίσο με 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

σημάδια ρόμβος:

1) Αν οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου είναι αμοιβαία κάθετες, τότε αυτό το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος

2) Αν η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου διχοτομεί τις γωνίες του, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.

3) Αν όλες οι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε είναι ρόμβος.

Γράψιμο στον πίνακα.

Ιδιότητες:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌ААBO=РУВС, ADO=RODC, ‌‌рBСО=РДСО, РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Οι αντίστροφες δηλώσεις είναι σημάδια ρόμβος:

1 ) Αν το ABCD είναι παράλληλο m και το AC DB, τότε το ABCD είναι ρόμβος.

2) Αν το ABCD είναι παράλληλο και το AC και το DB είναι διχοτόμοι, τότε το ABCD είναι ρόμβος.

3) Αν το ABCD είναι παράλληλο και το AC=DB και το BC=AD, τότε το ABCD είναι ρόμβος.

Εργο.

Δύο τρίγωνα λέγονται ίσα εάν μπορούν να ενωθούν με επικάλυψη. Το σχήμα 1 δείχνει ίσα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1. Κάθε ένα από αυτά τα τρίγωνα μπορεί να τοποθετηθεί πάνω στο άλλο έτσι ώστε να είναι απολύτως συμβατά, δηλαδή οι κορυφές και οι πλευρές τους να είναι συμβατές σε ζεύγη. Είναι σαφές ότι οι γωνίες αυτών των τριγώνων θα ταιριάζουν επίσης σε ζεύγη.

Έτσι, εάν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε τα στοιχεία (δηλαδή οι πλευρές και οι γωνίες) ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσα με τα στοιχεία του άλλου τριγώνου. Σημειώστε ότι V ίσα τρίγωναέναντι αντίστοιχα ίσων πλευρών(δηλαδή, επικάλυψη όταν υπερτίθεται) ίσες γωνίες βρίσκονταικαι πίσω: απέναντι αντίστοιχα ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές.

Έτσι, για παράδειγμα, σε ίσα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1, που φαίνονται στο σχήμα 1, απέναντι από τις ίσες πλευρές AB και A 1 B 1, αντίστοιχα, βρίσκονται ίσες γωνίες C και C 1. Θα συμβολίσουμε την ισότητα των τριγώνων ABC και A 1 B 1 C 1 ως εξής: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Αποδεικνύεται ότι η ισότητα δύο τριγώνων μπορεί να διαπιστωθεί συγκρίνοντας ορισμένα από τα στοιχεία τους.

Θεώρημα 1. Το πρώτο σημάδι ισότητας τριγώνων.Εάν δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα (Εικ. 2).

Απόδειξη. Θεωρήστε τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1, στα οποία AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (βλ. Εικ. 2). Ας αποδείξουμε ότι Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Εφόσον ∠ A = ∠ A 1, τότε το τρίγωνο ABC μπορεί να υπερτεθεί στο τρίγωνο A 1 B 1 C 1 έτσι ώστε η κορυφή A να ευθυγραμμίζεται με την κορυφή A 1 και οι πλευρές AB και AC να υπερτίθενται αντίστοιχα στις ακτίνες A 1 B 1 και A 1 Γ 1 . Εφόσον AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, τότε η πλευρά AB θα ευθυγραμμιστεί με την πλευρά A 1 B 1 και η πλευρά AC θα ευθυγραμμιστεί με την πλευρά A 1 C 1. Ειδικότερα, τα σημεία Β και Β 1, Γ και Γ 1 θα συμπίπτουν. Κατά συνέπεια, οι πλευρές BC και B 1 C 1 θα ευθυγραμμιστούν. Έτσι, τα τρίγωνα ABC και A 1 B 1 C 1 είναι απολύτως συμβατά, που σημαίνει ότι είναι ίσα.

Το θεώρημα 2 αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της υπέρθεσης.

Θεώρημα 2. Το δεύτερο σημάδι ισότητας τριγώνων.Εάν μια πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με την πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα (Εικ. 34).

Σχόλιο. Με βάση το Θεώρημα 2, καθιερώνεται το Θεώρημα 3.

Θεώρημα 3. Το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180°.

Το θεώρημα 4 προκύπτει από το τελευταίο θεώρημα.

Θεώρημα 4. Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε εσωτερική γωνία, όχι δίπλα σε αυτό.

Θεώρημα 5. Το τρίτο σημάδι ισότητας τριγώνων.Εάν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα ().

Παράδειγμα 1.Στα τρίγωνα ABC και DEF (Εικ. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 εκ. Συγκρίνετε τρίγωνα ABC και DEF. Ποια είναι η γωνία στο τρίγωνο ΔΕΦ ίσο με γωνίαΣΕ?

Λύση. Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο. Η γωνία F του τριγώνου DEF είναι ίση με τη γωνία Β τρίγωνο ABC, αφού αυτές οι γωνίες βρίσκονται απέναντι από τις αντίστοιχες ίσες πλευρές DE και AC.

Παράδειγμα 2.Τα τμήματα AB και CD (Εικ. 5) τέμνονται στο σημείο Ο, που είναι το μέσο καθενός από αυτά. Ποιο είναι το μήκος του τμήματος BD αν το τμήμα AC είναι 6 m;

Λύση. Τα τρίγωνα AOC και BOD είναι ίσα (σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο): ∠ AOC = ∠ BOD (κάθετο), AO = OB, CO = OD (κατά συνθήκη).
Από την ισότητα αυτών των τριγώνων προκύπτει ότι οι πλευρές τους είναι ίσες, δηλαδή AC = BD. Επειδή όμως σύμφωνα με την συνθήκη AC = 6 m, τότε BD = 6 m.

Το δεύτερο σημάδι ισότητας τριγώνων

Εάν μια πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με μια πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

MN = PR N = R M = P

Όπως και στην απόδειξη του πρώτου ζωδίου, πρέπει να βεβαιωθείτε αν αυτό είναι αρκετό για να είναι ίσα τα τρίγωνα, μπορούν να συνδυαστούν πλήρως;

1. Εφόσον MN = PR, τότε αυτά τα τμήματα συνδυάζονται αν συνδυαστούν τα τελικά σημεία τους.

2. Εφόσον N = R και M = P, οι ακτίνες \(MK\) και \(NK\) θα επικαλύπτουν τις ακτίνες \(PT\) και \(RT\), αντίστοιχα.

3. Εάν οι ακτίνες συμπίπτουν, τότε τα σημεία τομής τους \(K\) και \(T\) συμπίπτουν.

4. Όλες οι κορυφές των τριγώνων συνδυάζονται, δηλαδή Δ MNK και Δ PRT είναι πλήρως ευθυγραμμισμένες, που σημαίνει ότι είναι ίσες.

Το τρίτο σημάδι ισότητας τριγώνων

Εάν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.

MN = PR KN = TR MK = PT

Ας προσπαθήσουμε πάλι να συνδυάσουμε τα τρίγωνα Δ MNK και Δ PRT επικαλύπτοντας και βεβαιωθείτε ότι οι αντίστοιχες ίσες πλευρές εγγυώνται ότι οι αντίστοιχες γωνίες αυτών των τριγώνων είναι ίσες και ότι θα συμπίπτουν πλήρως.

Ας συνδυάσουμε, για παράδειγμα, πανομοιότυπα τμήματα \(MK\) και \(PT\). Ας υποθέσουμε ότι τα σημεία \(N\) και \(R\) δεν συμπίπτουν.

Έστω \(O\) το μέσο του τμήματος \(NR\). Σύμφωνα με αυτές τις πληροφορίες, MN = PR, KN = TR. Τα τρίγωνα \(MNR\) και \(KNR\) είναι ισοσκελές με κοινά σημεία\(NR\).

Επομένως, οι διάμεσοί τους \(MO\) και \(KO\) είναι ύψη, που σημαίνει ότι είναι κάθετες στο \(NR\). Οι γραμμές \(MO\) και \(KO\) δεν συμπίπτουν, αφού τα σημεία \(M\), \(K\), \(O\) δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αλλά μέσα από το σημείο \(O\) της ευθείας \(NR\) μπορεί να σχεδιαστεί μόνο μία ευθεία κάθετη σε αυτό. Φτάσαμε σε μια αντίφαση.

Έχει αποδειχθεί ότι οι κορυφές \(N\) και \(R\) πρέπει να συμπίπτουν.

Το τρίτο ζώδιο μας επιτρέπει να ονομάσουμε το τρίγωνο μια πολύ δυνατή, σταθερή φιγούρα, μερικές φορές το λένε αυτό τρίγωνο - άκαμπτο σχήμα . Αν δεν αλλάζουν τα μήκη των πλευρών, τότε δεν αλλάζουν ούτε οι γωνίες. Για παράδειγμα, ένα τετράπλευρο δεν έχει αυτή την ιδιότητα. Ως εκ τούτου, διάφορα στηρίγματα και οχυρώσεις γίνονται τριγωνικά.

Όμως οι άνθρωποι αξιολογούν και αναδεικνύουν την περίεργη σταθερότητα, σταθερότητα και τελειότητα του αριθμού \(3\) εδώ και πολύ καιρό.

Τα παραμύθια μιλάνε για αυτό.

Εκεί συναντάμε «Τρεις αρκούδες», «Τρεις άνεμοι», «Τρία γουρουνάκια», «Τρεις σύντροφοι», «Τρία αδέρφια», «Τρεις τυχεροί», «Τρεις τεχνίτες», «Τρεις πρίγκιπες», «Τρεις φίλοι», «Τρεις ήρωες» κ.λπ.

Εκεί δίνονται «τρεις προσπάθειες», «τρεις συμβουλές», «τρεις οδηγίες», «τρεις συναντήσεις», «τρεις ευχές» εκπληρώνονται, πρέπει να αντέξει κανείς «τρεις μέρες», «τρεις νύχτες», «τρία χρόνια», να περάσει. «τρεις πολιτείες», «τρία υπόγεια βασίλεια», αντέχουν σε «τρεις δοκιμές», διασχίζουν τις «τρεις θάλασσες».