Πιο πολύπλοκα παραδείγματα εξισώσεων. Επιστημονικά αποδεδειγμένο: Πώς να λύσετε σύνθετα προβλήματα ενώ είστε μισοκοιμισμένοι

52. Πιο πολύπλοκα παραδείγματα εξισώσεων.
Παράδειγμα 1 .

5 / (x - 1) - 3 / (x + 1) \u003d 15 / (x 2 - 1)

Ο κοινός παρονομαστής είναι x 2 - 1, αφού x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με x 2 - 1. Παίρνουμε:

ή, μετά από μείωση,

5(x + 1) - 3(x - 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x=7 και x=3½

Εξετάστε μια άλλη εξίσωση:

5 / (x-1) - 3 / (x + 1) \u003d 4 (x 2 - 1)

Λύνοντας όπως παραπάνω, παίρνουμε:

5(x + 1) - 3(x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 ή 2x = 2 και x = 1.

Ας δούμε αν οι ισότητες μας δικαιολογούνται αν αντικαταστήσουμε το x σε καθεμία από τις εξισώσεις που εξετάζουμε με τον αριθμό που βρέθηκε.

Για το πρώτο παράδειγμα, παίρνουμε:

Βλέπουμε ότι εδώ δεν χωρούν αμφιβολίες: βρήκαμε έναν τέτοιο αριθμό για το x που δικαιολογείται η απαιτούμενη ισότητα.

Για το δεύτερο παράδειγμα, παίρνουμε:

5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) ή 5/0 - 3/2 = 15/0

Εδώ προκύπτουν αμφιβολίες: εδώ συναντιόμαστε με διαίρεση με το μηδέν, κάτι που είναι αδύνατο. Εάν στο μέλλον καταφέρουμε να δώσουμε ένα συγκεκριμένο, έστω και έμμεσο, νόημα σε αυτή τη διαίρεση, τότε μπορούμε να συμφωνήσουμε ότι η λύση x - 1 που βρέθηκε ικανοποιεί την εξίσωσή μας. Μέχρι τότε, πρέπει να παραδεχτούμε ότι η εξίσωσή μας δεν έχει καθόλου λύση που να έχει άμεση σημασία.

Τέτοιες περιπτώσεις μπορεί να συμβούν όταν το άγνωστο περιλαμβάνεται με κάποιο τρόπο στους παρονομαστές των κλασμάτων στην εξίσωση, και κάποιοι από αυτούς τους παρονομαστές, όταν βρεθεί η λύση, εξαφανίζονται.

Παράδειγμα 2 .

Μπορείτε να δείτε αμέσως ότι αυτή η εξίσωση έχει τη μορφή αναλογίας: η αναλογία του αριθμού x + 3 προς τον αριθμό x - 1 είναι ίση με την αναλογία του αριθμού 2x + 3 προς τον αριθμό 2x - 2. Αφήστε κάποιον, λαμβάνοντας υπόψη αυτήν την περίσταση, αποφασίστε να εφαρμόσετε εδώ για να ελευθερώσετε την εξίσωση από τα κλάσματα είναι η κύρια ιδιότητα της αναλογίας (το γινόμενο των ακραίων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων). Τότε θα πάρει:

(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.

Εδώ μπορεί να εγείρει φόβους ότι δεν θα αντιμετωπίσουμε αυτή την εξίσωση, το γεγονός ότι η εξίσωση περιλαμβάνει όρους με x 2 . Ωστόσο, μπορούμε να αφαιρέσουμε 2x2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης - αυτό δεν θα σπάσει την εξίσωση. τότε τα μέλη με x 2 θα καταστραφούν και παίρνουμε:

6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3

Ας μετακινήσουμε τους άγνωστους όρους προς τα αριστερά, τους γνωστούς προς τα δεξιά - παίρνουμε:

3x=3 ή x=1

Θυμόμαστε αυτή την εξίσωση

(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)

Θα παρατηρήσουμε αμέσως ότι η τιμή που βρέθηκε για το x (x = 1) εξαφανίζει τους παρονομαστές κάθε κλάσματος. πρέπει να εγκαταλείψουμε μια τέτοια λύση μέχρι να εξετάσουμε το ζήτημα της διαίρεσης με το μηδέν.

Αν σημειώσουμε επίσης ότι η εφαρμογή της ιδιότητας της αναλογίας έχει πολύπλοκα θέματα και ότι μια απλούστερη εξίσωση θα μπορούσε να προκύψει πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη του δεδομένου με έναν κοινό παρονομαστή, δηλαδή με 2(x - 1) - τελικά, 2x - 2 = 2 (x - 1) , τότε παίρνουμε:

2(x + 3) = 2x - 3 ή 2x + 6 = 2x - 3 ή 6 = -3,

που είναι αδύνατο.

Αυτή η περίσταση δείχνει ότι αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις που έχουν άμεση σημασία, που δεν θα μετέτρεπε τους παρονομαστές αυτής της εξίσωσης σε μηδέν.
Ας λύσουμε τώρα την εξίσωση:

(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης 2(x - 1), δηλαδή με έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε:

6x + 10 = 2x + 18

Η λύση που βρέθηκε δεν ακυρώνει τον παρονομαστή και έχει άμεση σημασία:

ή 11 = 11

Αν κάποιος, αντί να πολλαπλασιάσει και τα δύο μέρη με 2(x - 1), χρησιμοποιούσε την ιδιότητα της αναλογίας, θα έπαιρνε:

(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) ή
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.

Εδώ ήδη οι όροι με το x 2 δεν θα εκμηδενίζονταν. Μεταφέροντας όλους τους άγνωστους όρους στην αριστερή πλευρά και τους γνωστούς στη δεξιά, θα παίρναμε

4x 2 - 12x = -8

x 2 - 3x = -2

Δεν μπορούμε να λύσουμε αυτήν την εξίσωση τώρα. Στο μέλλον, θα μάθουμε πώς να λύνουμε τέτοιες εξισώσεις και να βρίσκουμε δύο λύσεις για αυτό: 1) μπορούμε να πάρουμε x = 2 και 2) μπορούμε να πάρουμε x = 1. Είναι εύκολο να ελέγξουμε και τις δύο λύσεις:

1) 2 2 - 3 2 = -2 και 2) 1 2 - 3 1 = -2

Αν θυμηθούμε την αρχική εξίσωση

(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),

θα δούμε ότι τώρα παίρνουμε και τις δύο λύσεις του: 1) x = 2 είναι η λύση που έχει άμεση σημασία και δεν μετατρέπει τον παρονομαστή σε μηδέν, 2) x = 1 είναι η λύση που μηδενίζει τον παρονομαστή και κάνει δεν έχουν άμεσο νόημα.

Παράδειγμα 3 .

Ας βρούμε τον κοινό παρονομαστή των κλασμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτή την εξίσωση, για τον οποίο παραγοντοποιούμε κάθε έναν από τους παρονομαστές:

1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),

2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),

3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1).

Ο κοινός παρονομαστής είναι (x - 3)(x - 2)(x + 1).

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης (και τώρα μπορούμε να την ξαναγράψουμε ως εξής:

σε κοινό παρονομαστή (x - 3) (x - 2) (x + 1). Στη συνέχεια, αφού μειώσουμε κάθε κλάσμα, παίρνουμε:

3(x + 1) - 2(x - 3) = 2(x - 2) ή
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.

Από εδώ παίρνουμε:

–x = –13 και x = 13.

Αυτή η λύση έχει άμεση σημασία: δεν μηδενίζει κανέναν από τους παρονομαστές.

Αν παίρναμε την εξίσωση:

τότε, προχωρώντας ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω, θα παίρναμε

3(x + 1) - 2(x - 3) = x - 2

3x + 3 - 2x + 6 = x - 2

3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,

που θα παίρνατε

που είναι αδύνατο. Αυτή η περίσταση δείχνει ότι είναι αδύνατο να βρεθεί μια λύση για την τελευταία εξίσωση που να έχει άμεση σημασία.

Πώς να μάθετε να λύνετε απλές και σύνθετες εξισώσεις

Αγαπητοί γονείς!

Χωρίς βασική μαθηματική κατάρτιση, είναι αδύνατο να στηθεί η εκπαίδευση ενός σύγχρονου ανθρώπου. Στο σχολείο, τα μαθηματικά χρησιμεύουν ως υποστηρικτικό μάθημα για πολλούς σχετικούς κλάδους. Στη μετασχολική ζωή, η συνεχής εκπαίδευση γίνεται πραγματική αναγκαιότητα, η οποία απαιτεί βασική κατάρτιση σε όλο το σχολείο, συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών.

Στο δημοτικό σχολείο, δεν τίθενται μόνο γνώσεις για βασικά θέματα, αλλά αναπτύσσεται η λογική σκέψη, η φαντασία και οι χωρικές αναπαραστάσεις και διαμορφώνεται ενδιαφέρον για αυτό το θέμα.

Τηρώντας την αρχή της συνέχειας, θα επικεντρωθούμε στο πιο σημαντικό θέμα, δηλαδή «Η σχέση των συνιστωσών δράσης στην επίλυση σύνθετων εξισώσεων».

Με τη βοήθεια αυτού του μαθήματος, μπορείτε εύκολα να μάθετε πώς να λύνετε περίπλοκες εξισώσεις. Στο μάθημα, θα εξοικειωθείτε λεπτομερώς με οδηγίες βήμα προς βήμα για την επίλυση περίπλοκων εξισώσεων.

Πολλοί γονείς μπερδεύονται με το ερώτημα - πώς να κάνουν τα παιδιά να μάθουν πώς να λύνουν απλές και σύνθετες εξισώσεις. Εάν οι εξισώσεις είναι απλές - αυτό είναι ακόμα το μισό πρόβλημα, αλλά υπάρχουν και σύνθετες - για παράδειγμα, αναπόσπαστες. Παρεμπιπτόντως, προς ενημέρωση, υπάρχουν και τέτοιες εξισώσεις, για τη λύση των οποίων παλεύουν τα καλύτερα μυαλά του πλανήτη μας και για τη λύση των οποίων εκδίδονται πολύ σημαντικά χρηματικά έπαθλα. Για παράδειγμα, αν θυμάστεΠέρελμανκαι ένα αζήτητο μπόνους μετρητών πολλών εκατομμυρίων.

Ας επιστρέψουμε όμως στην αρχή σε απλές μαθηματικές εξισώσεις και ας επαναλάβουμε τα είδη των εξισώσεων και τα ονόματα των συστατικών. Μικρή προθέρμανση:

_________________________________________________________________________

ΖΕΣΤΑΜΑ

Βρείτε τον επιπλέον αριθμό σε κάθε στήλη:

2) Ποια λέξη λείπει σε κάθε στήλη;

3) Αντιστοιχίστε τις λέξεις της πρώτης στήλης με τις λέξεις της 2ης στήλης.

"Εξίσωση" "Ισότητα"

4) Πώς εξηγείτε τι είναι η «ισότητα»;

5) Και η «εξίσωση»; Είναι ισότητα; Τι το ιδιαίτερο έχει;

άθροισμα όρου

μειωμένη διαφορά

προϊόν υπόκρουσης

παράγονταςισότητα

μέρισμα

την εξίσωση

Συμπέρασμα: Εξίσωση είναι η ισότητα με μια μεταβλητή της οποίας η τιμή πρέπει να βρεθεί.

_______________________________________________________________________

Προτείνω σε κάθε ομάδα να γράψει την εξίσωση σε ένα χαρτί με μαρκαδόρο: (στον πίνακα)

ομάδα 1 - με άγνωστο όρο. ομάδα 2 - με άγνωστο μειωμένο. ομάδα 3 - με άγνωστο υπόβαθρο. ομάδα 4 - με άγνωστο διαιρέτη. ομάδα 5 - με άγνωστο διαιρετό. 6η ομάδα - με άγνωστο πολλαπλασιαστή.

1 ομάδα x + 8 = 15 2 ομάδα x - 8 = 7 3 ομάδα 48 - x = 36 4η ομάδα 540: x = 9 5 ομάδα x: 15 = 9 6 ομάδα x * 10 = 360

Ένας από την ομάδα θα πρέπει να διαβάσει την εξίσωσή τους σε μαθηματική γλώσσα και να σχολιάσει τη λύση τους, δηλαδή να προφέρει την πράξη που εκτελείται με γνωστά στοιχεία δράσης (αλγόριθμος).

Συμπέρασμα: Μπορούμε να λύσουμε απλές εξισώσεις κάθε είδους σύμφωνα με τον αλγόριθμο, να διαβάζουμε και να γράφουμε κυριολεκτικές εκφράσεις.

Προτείνω να λυθεί ένα πρόβλημα στο οποίο εμφανίζεται ένας νέος τύπος εξισώσεων.

Συμπέρασμα: Γνωριστήκαμε με τη λύση εξισώσεων, ένα από τα μέρη της οποίας περιέχει μια αριθμητική παράσταση, η τιμή της οποίας πρέπει να βρεθεί και να προκύψει μια απλή εξίσωση.

________________________________________________________________________

Εξετάστε μια άλλη εκδοχή της εξίσωσης, η λύση της οποίας ανάγεται στην επίλυση μιας αλυσίδας απλών εξισώσεων. Εδώ είναι μια από την εισαγωγή των σύνθετων εξισώσεων.

a + b * c (x - y): 3 2 * d + (m - n) Είναι εξισώσεις ρεκόρ; Γιατί; Πώς ονομάζονται αυτές οι ενέργειες; Διαβάστε τα, ονομάζοντας την τελευταία ενέργεια:

Οχι. Αυτά δεν είναι εξισώσεις, γιατί η εξίσωση πρέπει να περιέχει το σύμβολο «=». Εκφράσεις a + b * c - το άθροισμα του αριθμού a και του γινόμενου των αριθμών b και c. (x - y): 3 - πηλίκο της διαφοράς μεταξύ των αριθμών x και y. 2 * d + (m - n) - το άθροισμα του διπλασιασμένου αριθμού d και η διαφορά μεταξύ των αριθμών m και n.

Προτείνω σε όλους να γράψουν μια πρόταση σε μαθηματική γλώσσα:

Το γινόμενο της διαφοράς μεταξύ των αριθμών x και 4 και του αριθμού 3 είναι 15.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Η προβληματική κατάσταση που έχει προκύψει παρακινεί τον καθορισμό του στόχου του μαθήματος: να μάθουμε πώς να λύνουμε εξισώσεις στις οποίες το άγνωστο στοιχείο είναι έκφραση. Τέτοιες εξισώσεις είναι σύνθετες εξισώσεις.

__________________________________________________________________________

Ή μήπως οι ήδη μελετημένοι τύποι εξισώσεων θα μας βοηθήσουν; (αλγόριθμοι)

Ποια από τις γνωστές εξισώσεις είναι παρόμοια με την εξίσωσή μας; X * a = σε

ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια είναι η έκφραση στην αριστερή πλευρά - άθροισμα, διαφορά, γινόμενο ή πηλίκο;

(x - 4) * 3 = 15 (προϊόν)

Γιατί; (γιατί η τελευταία ενέργεια είναι ο πολλαπλασιασμός)

Συμπέρασμα:Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν ακόμη ληφθεί υπόψη. Μπορούμε όμως να αποφασίσουμε αν η έκφρασηx - 4τοποθετήστε μια κάρτα (y - y) και θα λάβετε μια εξίσωση που μπορεί εύκολα να λυθεί χρησιμοποιώντας έναν απλό αλγόριθμο για την εύρεση ενός άγνωστου στοιχείου.

Κατά την επίλυση σύνθετων εξισώσεων, είναι απαραίτητο σε κάθε βήμα να επιλέγετε μια ενέργεια σε αυτοματοποιημένο επίπεδο, σχολιάζοντας, ονομάζοντας τα συστατικά της δράσης.

Απλοποιήστε το μέρος

Δεν ↓ Ναί

(y - 5) * 4 = 28
ε - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (και)

Συμπέρασμα:Σε τάξεις με διαφορετικό υπόβαθρο, αυτή η εργασία μπορεί να οργανωθεί με διαφορετικούς τρόπους. Σε πιο προετοιμασμένες τάξεις, ακόμη και για πρωτογενή ενοποίηση, μπορούν να χρησιμοποιηθούν εκφράσεις στις οποίες όχι δύο, αλλά τρεις ή περισσότερες ενέργειες, αλλά η επίλυσή τους απαιτεί περισσότερα βήματα με κάθε βήμα που απλοποιεί την εξίσωση, μέχρι να ληφθεί μια απλή εξίσωση. Και κάθε φορά μπορείτε να παρατηρήσετε πώς αλλάζει το άγνωστο στοιχείο των ενεργειών.

_____________________________________________________________________________

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ:

Όταν πρόκειται για κάτι πολύ απλό, κατανοητό, λέμε συχνά: «Το θέμα είναι ξεκάθαρο, όπως δύο φορές δύο - τέσσερα!».

Αλλά πριν σκεφτείτε το γεγονός ότι δύο φορές το δύο είναι τέσσερα, οι άνθρωποι έπρεπε να μελετήσουν για πολλές, πολλές χιλιάδες χρόνια.

Πολλοί κανόνες από τα σχολικά εγχειρίδια αριθμητικής και γεωμετρίας ήταν γνωστοί στους αρχαίους Έλληνες πριν από δύο και πλέον χιλιάδες χρόνια.

Όπου χρειάζεται να μετρήσετε, να μετρήσετε, να συγκρίνετε κάτι, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς μαθηματικά.

Είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς πώς θα ζούσαν οι άνθρωποι αν δεν ήξεραν πώς να μετρούν, να μετρούν, να συγκρίνουν. Τα μαθηματικά το διδάσκουν.

Σήμερα έχετε βουτήξει στη σχολική ζωή, ήσασταν στο ρόλο των μαθητών και σας προτείνω, αγαπητοί γονείς, να αξιολογήσετε τις δεξιότητές σας σε μια κλίμακα.

Οι ικανότητές μου	Ημερομηνία και βαθμός
Στοιχεία δράσης.
Σύνταξη εξίσωσης με άγνωστη συνιστώσα.
Εκφράσεις ανάγνωσης και γραφής.
Βρείτε τη ρίζα μιας εξίσωσης σε μια απλή εξίσωση.
Βρείτε τη ρίζα μιας εξίσωσης, ένα από τα μέρη της οποίας περιέχει μια αριθμητική παράσταση.
Να βρείτε τη ρίζα μιας εξίσωσης στην οποία το άγνωστο συστατικό της δράσης είναι έκφραση.

Υπάρχουν στιγμές στη ζωή που μια φαινομενικά απελπιστική κατάσταση εμφανίζεται μπροστά σας - ή ένα πρόβλημα, του οποίου οποιαδήποτε λύση υπόσχεται ότι δεν θα είναι υπέρ σας. Μην βιαστείτε να εγκαταλείψετε την πραγματοποίηση των ονείρων σας, να πετύχετε τον στόχο σας ή να πανικοβληθείτε. Ένας σοφός άνδρας της αρχαιότητας είπε: «Επιλέξτε χρόνο για να σκεφτείτε - αυτή είναι η πηγή της δύναμης». Λοιπόν, είναι δύσκολο να διαφωνήσεις μαζί του, γιατί το μυαλό είναι ένα ισχυρό όπλο. Ακόμη και το πιο περίπλοκο πρόβλημα έχει δεκάδες λύσεις, και είναι αόρατο μόνο επειδή οι άνθρωποι έχουν συνηθίσει να σκέφτονται σε συγκεκριμένα πλαίσια. Για να λύσετε ένα περίπλοκο πρόβλημα, είναι απαραίτητο να συντονίσετε το έργο της συνείδησης και του υποσυνείδητου - αυτό θα επεκτείνει τον "ορίζοντα" σας και θα σας επιτρέψει να δείτε νέες ευκαιρίες.

Τεχνική "100 ιδέες"

Για να κατακτήσετε την τεχνική των 100 ιδεών, θα χρειαστείτε μόνο 1-2 ώρες ελεύθερου χρόνου, μια άνετη προσωπική γωνιά όπου κανείς δεν θα σας ενοχλεί, καθώς και χαρτί και μολύβι. Ζητήστε από συγγενείς και φίλους εκ των προτέρων να μην σας εμπλακούν κατά τη διάρκεια του «διαλογισμού», κλείστε το τηλέφωνο και απλώς χαλαρώστε. Στην κορυφή ενός χαρτιού, διατυπώστε και σημειώστε την ερώτηση ή το δίλημμά σας. Αριθμήστε τη λίστα από το ένα έως το 100 και ξεκινήστε να δημιουργείτε ιδέες.

Στην αρχή, οι ιδέες έρχονται η μία μετά την άλλη, αν και, δυστυχώς, δεν είναι καινούριες - θα περιγράψετε όλα τα "ατού" σας, συμπεριλαμβανομένων των δεξιοτήτων, των γνωριμιών, των διασυνδέσεων, των οικονομικών πόρων, του χρόνου που μπορείτε να αφιερώσετε στην επίλυση του προβλήματος. Τότε θα σας φαίνεται απίστευτο να βρείτε εκατό απαντήσεις και αν σταματήσετε σε 20-30 πόντους, θα αισθανθείτε άδειος. Σας περιμένει ένα μικρό πρόβλημα, που διαμορφώνεται φυσικά όταν η συνείδηση, περπατώντας σε έναν φαύλο κύκλο, έχει εξαντλήσει τις διαθέσιμες επιλογές και έχει περάσει από όλα όσα έχει ήδη συναντήσει στην προσωπική εμπειρία.

Η δεύτερη φάση του ταξιδιού σας προς το υποσυνείδητό σας είναι άλλα 40 σημεία όπου εξακολουθείτε να χρησιμοποιείτε τη συνείδησή σας, αλλά οι κρυμμένες δυνάμεις σας αρχίζουν να ξυπνούν και ο δεύτερος άνεμος σας ανοίγει. Σε αυτό το στάδιο, αναδύεται η εικόνα της σκέψης σας. Θα παρατηρήσετε ότι οι ιδέες σας αρχίζουν να επαναλαμβάνονται και υπάρχουν κάθε λογής κλισέ και συμπεριφορές σε αυτές. Ο στόχος σας δεν είναι να τα απορρίψετε, αλλά να τα γράψετε προσεκτικά σε χαρτί, και να γιατί: αυτά τα γραμματόσημα είναι τα πλαίσια που δεν μπορείτε να ξεπεράσετε και να κοιτάξετε γύρω σας. Μπορεί να είναι η κοινή γνώμη, η δυσαρέσκεια με τις αρχές, η έλλειψη αυτοπεποίθησης και οποιαδήποτε άλλη «βρύση» στον ψυχισμό σου. Ταυτόχρονα, μπορεί να ανακαλύψετε τα κρυφά σας προβλήματα ή φόβους που σας εμποδίζουν να προχωρήσετε. Αυτό το στάδιο θα απαιτήσει τη μεγαλύτερη αντοχή από εσάς - εξάλλου, δεν είναι καθόλου εύκολο να παραμερίσετε τα πρώτα τριάντα σημεία που βρίσκονται σαφώς στη ζώνη άνεσής σας και να υιοθετήσετε νέες, άγνωστες και ως εκ τούτου μερικές φορές τρομακτικές ιδέες - αυτό είναι φυσιολογικό, το κυριότερο είναι να μην τα παρατάς. Επιπλέον, αυτός ο εσωτερικός αγώνας βοηθάει μόνο στη μετάβαση στην τρίτη φάση του ταξιδιού.

Είναι οι τελευταίοι 30 πόντοι που θα ανοίξουν το κουτί της Πανδώρας μπροστά σου, γιατί ο αριθμός 100 δεν επιλέχθηκε τυχαία. Είναι αυτό που επιτρέπει στη διαίσθησή σας να ανοίξει πλήρως και να εκπλήξει τον εαυτό σας με απροσδόκητες «ενοράσεις από ψηλά» - αυτοσχέδια του αφυπνιζόμενου υποσυνείδητό σας, από όπου εμφανίζονται ιδέες χωρίς καμία επεξεργασία και φιλτράρισμα από το μυαλό. Στην αναζήτησή σας, έχετε ήδη εγκαταλείψει τη λογική, παρατηρώντας πόσο τετράγωνο είναι στην πραγματικότητα, και καταλαβαίνετε ότι ο τρόπος σκέψης σας βρισκόταν μόνο σε ένα επίπεδο - και ο κόσμος, αποδεικνύεται, είναι τρισδιάστατος (χωρίς να υπολογίζεται ο χρόνος). Τώρα, όταν το μυαλό σταματά να σου υπαγορεύει τι είναι «δυνατό» και τι «όχι», η πόρτα του υποσυνείδητου ανοίγει. Μπορείτε εύκολα να επινοήσετε κάτι ασυνήθιστο και με την πρώτη ματιά εντελώς παράλογο. Μπορεί ακόμη και να σας φαίνεται ότι δεν πρέπει να γράψετε μια ιδέα που είναι προφανώς ακατάλληλη για εσάς, δεν είναι ξεκάθαρο ποιες εικόνες εμφανίστηκαν στο κεφάλι σας. Ωστόσο, είναι ακριβώς περίεργες, μερικές φορές ηλίθιες φράσεις που μπορεί να αποδειχθούν ακατέργαστα διαμάντια. Θυμηθείτε πώς οι άνθρωποι νόμιζαν ότι η Γη ήταν επίπεδη και φοβόταν να πέσει από την άκρη της και πώς η ιδέα ότι ο πλανήτης ήταν στρογγυλός και περιστρεφόταν ονομαζόταν κάποτε αίρεση. Οι τρελές ιδέες μπορεί να μην σας είναι ξεκάθαρες στην αρχή, αλλά θα νιώσετε ότι υπάρχει κάτι σε αυτές - αυτό θα χρησιμεύσει ως καλαμάκι που θα σας πει τη σωστή κατεύθυνση.

Μπορεί επίσης να συμβεί, αφού διατυπώσετε τόσες πολλές ιδέες, ξαφνικά να συνειδητοποιήσετε ότι αυτό δεν ήταν καθόλου πρόβλημα - ή είδατε μόνο την κορυφή του παγόβουνου, οπότε πρέπει να κάνετε μια νέα λίστα για να απαντήσετε σε μια εντελώς διαφορετική ερώτηση.

Υπάρχουν μερικοί ακόμη κανόνες που πρέπει να τηρούνται όταν εργάζεστε με αυτήν την τεχνική. Πρώτα απ 'όλα, η λίστα πρέπει να συντάσσεται με μια κίνηση, χωρίς διακοπές - διαφορετικά οι αδρανείς λαμπρές ιδέες σας θα παραμείνουν αδρανείς κάτω από το βάρος της καθημερινής σκέψης. Ενώ εργάζεστε, μην ξαναδιαβάζετε τη λίστα και αξιολογείτε πόσα έχουν ήδη γίνει και πόσα σημεία έχουν απομείνει - αυτό θα σας αποσπάσει την προσοχή και θα αποτρέψει τη φυσική επανάληψη των σκέψεών σας - και ως εκ τούτου, δεν θα σας επιτρέψει να δείτε τα δικά σας εμπόδια. Συντονιστείτε αμέσως: θα αξιολογήσετε και θα επικρίνετε τις ιδέες σας αφού συντάξετε και τα εκατοντάδες σημεία - και ενώ η διαδικασία βρίσκεται σε εξέλιξη, πρέπει να γράψετε τυχόν σκέψεις (εξάλλου, δεν είστε υποχρεωμένοι να δείξετε αυτό το έγγραφο σε κανέναν, αν δεν θέλεις να). Εάν το έργο είναι σε πλήρη εξέλιξη, συντομεύστε τις λέξεις, το κύριο πράγμα είναι ότι μπορείτε στη συνέχεια να διαβάσετε τι εννοούσατε. Μπορείτε, φυσικά, να χρησιμοποιήσετε φορητό υπολογιστή αντί για μολύβι και χαρτί, αλλά να θυμάστε: η πηγή των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, τουλάχιστον θεωρητικά, εμποδίζει τον εγκέφαλο, την αύρα και, αν θέλετε, τα τσάκρα να συνδεθούν με το παγκόσμιο μυαλό - και γενικά είναι υπέροχο να λειτουργεί. Αλλά αυτό είναι κατά την προσωπική κρίση.

Τα «γευστικά» μπόνους της τεχνικής «100 Ιδέες» δεν είναι μόνο στη δυνατότητα βαθιάς ενδοσκόπησης και εύρεσης πρωτότυπων λύσεων στις δύσκολες καταστάσεις τους, αλλά και στο γεγονός ότι με αυτήν μπορείτε να αναπτύξετε διαφοροποιημένα και να σχεδιάσετε το μέλλον σας, να βρείτε νέα κίνητρα για αυτο-ανάπτυξη και να αναπτυχθείς πάνω από τον εαυτό σου. Για να το κάνετε αυτό, με τον ελεύθερο χρόνο σας, σκεφτείτε τις απαντήσεις στα ακόλουθα (και σε οποιοδήποτε από τα δικά σας) θέματα:

• Πώς να εκπαιδεύσετε τον εαυτό σας
• Πώς να βελτιώσετε τις σχέσεις
• Πώς να βελτιώσετε τη ζωή σας
• Πώς να κερδίσετε χρήματα
• Πώς να βελτιώσετε την επιχείρηση
• Πώς να βοηθήσετε τους ανθρώπους
• Πώς να αυξήσετε την προσωπική αποτελεσματικότητα
• Πώς να γίνετε πιο υγιείς
• Πράγματα που αναβάλλω για αύριο
• Τα πράγματα που κάνω καλύτερα
• Πράγματα που με αποθαρρύνουν
• Ιδιότητες που θέλω να αναπτύξω στον εαυτό μου
• Ερωτήσεις στις οποίες πρέπει να βρω απαντήσεις
• Αξίες στις οποίες πιστεύω
• Πράγματα που εκτιμώ στη ζωή
• Επαγγέλματα στα οποία θέλω να δοκιμάσω τον εαυτό μου
• Πράγματα (άνθρωποι) που με καθυστερούν στην επίτευξη του στόχου μου
• Πράγματα που με φτιάχνουν τη διάθεση
• Συμπεράσματα που με δίδαξε η ζωή
• Πράγματα που πρέπει να απαλλαγείτε
• Μέρη που θα ήθελα να επισκεφτώ
• Λάθη για τα οποία συγχωρώ τον εαυτό μου (τους άλλους)
• Τρόποι για πιο δημιουργική σκέψη

Σε αυτό το βίντεο, θα αναλύσουμε ένα ολόκληρο σύνολο γραμμικών εξισώσεων που λύνονται χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο - γι' αυτό ονομάζονται οι απλούστερες.

Αρχικά, ας ορίσουμε: τι είναι μια γραμμική εξίσωση και ποια από αυτές πρέπει να ονομάζεται η απλούστερη;

Μια γραμμική εξίσωση είναι αυτή στην οποία υπάρχει μόνο μία μεταβλητή και μόνο στον πρώτο βαθμό.

Η απλούστερη εξίσωση σημαίνει την κατασκευή:

Όλες οι άλλες γραμμικές εξισώσεις ανάγεται στις απλούστερες χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο:

1. Ανοιχτές αγκύλες, εάν υπάρχουν.
2. Μετακινήστε όρους που περιέχουν μια μεταβλητή στη μία πλευρά του πρόσημου ίσου και όρους χωρίς μεταβλητή στην άλλη.
3. Φέρτε παρόμοιους όρους στα αριστερά και δεξιά του πρόσημου ίσου.
4. Διαιρέστε την εξίσωση που προκύπτει με τον συντελεστή της μεταβλητής $x$ .

Φυσικά, αυτός ο αλγόριθμος δεν βοηθά πάντα. Το γεγονός είναι ότι μερικές φορές, μετά από όλες αυτές τις μηχανορραφίες, ο συντελεστής της μεταβλητής $x$ αποδεικνύεται ίσος με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατές δύο επιλογές:

1. Η εξίσωση δεν έχει καθόλου λύσεις. Για παράδειγμα, όταν λαμβάνετε κάτι σαν $0\cdot x=8$, π.χ. στα αριστερά είναι το μηδέν και στα δεξιά ένας αριθμός μη μηδενικός. Στο παρακάτω βίντεο, θα δούμε αρκετούς λόγους για τους οποίους είναι δυνατή αυτή η κατάσταση.
2. Η λύση είναι όλοι οι αριθμοί. Η μόνη περίπτωση που αυτό είναι δυνατό είναι όταν η εξίσωση έχει μειωθεί στην κατασκευή $0\cdot x=0$. Είναι πολύ λογικό ότι ανεξάρτητα από το $x$ που αντικαθιστούμε, θα εξακολουθεί να αποδεικνύεται "το μηδέν ισούται με μηδέν", δηλ. σωστή αριθμητική ισότητα.

Και τώρα ας δούμε πώς λειτουργούν όλα στο παράδειγμα των πραγματικών προβλημάτων.

Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων

Σήμερα ασχολούμαστε με γραμμικές εξισώσεις, και μόνο τις πιο απλές. Γενικά, γραμμική εξίσωση σημαίνει κάθε ισότητα που περιέχει ακριβώς μία μεταβλητή και πηγαίνει μόνο στον πρώτο βαθμό.

Τέτοιες κατασκευές επιλύονται περίπου με τον ίδιο τρόπο:

1. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να ανοίξετε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν (όπως στο τελευταίο μας παράδειγμα).
2. Στη συνέχεια, φέρτε παρόμοια
3. Τέλος, απομονώστε τη μεταβλητή, δηλ. ό,τι συνδέεται με τη μεταβλητή - οι όροι στους οποίους περιέχεται - μεταφέρεται στη μία πλευρά και ό,τι μένει χωρίς αυτήν μεταφέρεται στην άλλη πλευρά.

Στη συνέχεια, κατά κανόνα, πρέπει να φέρετε παρόμοια σε κάθε πλευρά της προκύπτουσας ισότητας και μετά από αυτό μένει μόνο να διαιρέσετε με τον συντελεστή στο "x" και θα λάβουμε την τελική απάντηση.

Θεωρητικά, αυτό φαίνεται ωραίο και απλό, αλλά στην πράξη, ακόμη και έμπειροι μαθητές γυμνασίου μπορούν να κάνουν προσβλητικά λάθη σε αρκετά απλές γραμμικές εξισώσεις. Συνήθως, γίνονται λάθη είτε κατά το άνοιγμα αγκύλων, είτε κατά την καταμέτρηση "συν" και "πλην".

Επιπλέον, συμβαίνει μια γραμμική εξίσωση να μην έχει καθόλου λύσεις ή η λύση να είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλ. οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Θα αναλύσουμε αυτές τις λεπτότητες στο σημερινό μάθημα. Αλλά θα ξεκινήσουμε, όπως ήδη καταλάβατε, με τις πιο απλές εργασίες.

Σχέδιο επίλυσης απλών γραμμικών εξισώσεων

Αρχικά, επιτρέψτε μου να γράψω για άλλη μια φορά ολόκληρο το σχήμα για την επίλυση των απλούστερων γραμμικών εξισώσεων:

1. Αναπτύξτε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν.
2. Απομονώστε μεταβλητές, π.χ. ό,τι περιέχει "x" μεταφέρεται στη μία πλευρά και χωρίς "x" - στην άλλη.
3. Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.
4. Διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή στο "x".

Φυσικά, αυτό το σχήμα δεν λειτουργεί πάντα, έχει ορισμένες λεπτές αποχρώσεις και κόλπα, και τώρα θα τα γνωρίσουμε.

Επίλυση πραγματικών παραδειγμάτων απλών γραμμικών εξισώσεων

Εργασία #1

Στο πρώτο βήμα, απαιτείται να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά δεν είναι σε αυτό το παράδειγμα, οπότε παραλείπουμε αυτό το βήμα. Στο δεύτερο βήμα, πρέπει να απομονώσουμε τις μεταβλητές. Σημείωση: μιλάμε μόνο για μεμονωμένους όρους. Ας γράψουμε:

Δίνουμε παρόμοιους όρους στα αριστερά και στα δεξιά, αλλά αυτό έχει ήδη γίνει εδώ. Επομένως, προχωράμε στο τέταρτο βήμα: διαιρέστε με έναν παράγοντα:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Εδώ πήραμε την απάντηση.

Εργασία #2

Σε αυτήν την εργασία, μπορούμε να παρατηρήσουμε τις αγκύλες, οπότε ας τις επεκτείνουμε:

Τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά, βλέπουμε περίπου την ίδια κατασκευή, αλλά ας ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο, δηλ. μεταβλητές sequester:

Εδώ είναι μερικά όπως:

Σε ποιες ρίζες λειτουργεί αυτό; Απάντηση: για οποιαδήποτε. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι το $x$ είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Εργασία #3

Η τρίτη γραμμική εξίσωση είναι ήδη πιο ενδιαφέρουσα:

\[\αριστερά(6-x \δεξιά)+\αριστερά(12+x \δεξιά)-\αριστερά(3-2x \δεξιά)=15\]

Εδώ υπάρχουν αρκετές αγκύλες, αλλά δεν πολλαπλασιάζονται με τίποτα, απλά έχουν διαφορετικά σημάδια μπροστά τους. Ας τα αναλύσουμε:

Εκτελούμε το δεύτερο βήμα που είναι ήδη γνωστό σε εμάς:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Ας υπολογίσουμε:

Εκτελούμε το τελευταίο βήμα - διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή στο "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Πράγματα που πρέπει να θυμάστε κατά την επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Αν αγνοήσουμε πολύ απλές εργασίες, τότε θα ήθελα να πω τα εξής:

• Όπως είπα παραπάνω, δεν έχει λύση κάθε γραμμική εξίσωση - μερικές φορές απλά δεν υπάρχουν ρίζες.
• Ακόμα κι αν υπάρχουν ρίζες, το μηδέν μπορεί να μπει ανάμεσά τους - δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό.

Το μηδέν είναι ο ίδιος αριθμός με τους υπόλοιπους, δεν πρέπει με κάποιο τρόπο να το διακρίνετε ή να υποθέσετε ότι αν πάρετε μηδέν, τότε κάνατε κάτι λάθος.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό σχετίζεται με την επέκταση των παρενθέσεων. Προσοχή: όταν υπάρχει ένα "μείον" μπροστά τους, το αφαιρούμε, αλλά σε παρενθέσεις αλλάζουμε τα σημάδια σε απεναντι απο. Και μετά μπορούμε να το ανοίξουμε σύμφωνα με τυπικούς αλγόριθμους: θα πάρουμε αυτό που είδαμε στους παραπάνω υπολογισμούς.

Η κατανόηση αυτού του απλού γεγονότος θα σας βοηθήσει να αποφύγετε να κάνετε ανόητα και βλαβερά λάθη στο γυμνάσιο, όταν το να κάνετε τέτοιες ενέργειες θεωρείται δεδομένο.

Επίλυση μιγαδικών γραμμικών εξισώσεων

Ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετες εξισώσεις. Τώρα οι κατασκευές θα γίνουν πιο περίπλοκες και θα εμφανιστεί μια τετραγωνική συνάρτηση κατά την εκτέλεση διαφόρων μετασχηματισμών. Ωστόσο, δεν πρέπει να το φοβάστε αυτό, γιατί εάν, σύμφωνα με την πρόθεση του συγγραφέα, λύσουμε μια γραμμική εξίσωση, τότε στη διαδικασία μετασχηματισμού όλα τα μονώνυμα που περιέχουν μια τετραγωνική συνάρτηση θα μειωθούν αναγκαστικά.

Παράδειγμα #1

Προφανώς, το πρώτο βήμα είναι να ανοίξετε τις αγκύλες. Ας το κάνουμε πολύ προσεκτικά:

Τώρα ας πάρουμε το απόρρητο:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Εδώ είναι μερικά όπως:

Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις, οπότε στην απάντηση γράφουμε ως εξής:

\[\ποικιλία \]

ή χωρίς ρίζες.

Παράδειγμα #2

Κάνουμε τα ίδια βήματα. Το πρώτο βήμα:

Ας μετακινήσουμε τα πάντα με μια μεταβλητή προς τα αριστερά και χωρίς αυτήν - προς τα δεξιά:

Εδώ είναι μερικά όπως:

Προφανώς, αυτή η γραμμική εξίσωση δεν έχει λύση, οπότε τη γράφουμε ως εξής:

\[\varnothing\],

ή χωρίς ρίζες.

Αποχρώσεις της λύσης

Και οι δύο εξισώσεις έχουν λυθεί πλήρως. Στο παράδειγμα αυτών των δύο εκφράσεων, βεβαιωθήκαμε για άλλη μια φορά ότι ακόμη και στις πιο απλές γραμμικές εξισώσεις, όλα μπορεί να μην είναι τόσο απλά: μπορεί να υπάρχουν είτε μία, είτε καμία, είτε άπειρα πολλά. Στην περίπτωσή μας, εξετάσαμε δύο εξισώσεις, και στις δύο απλά δεν υπάρχουν ρίζες.

Αλλά θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα άλλο γεγονός: πώς να εργάζεστε με αγκύλες και πώς να τις επεκτείνετε εάν υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά τους. Σκεφτείτε αυτήν την έκφραση:

Πριν ανοίξετε, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με "x". Σημείωση: πολλαπλασιάστε κάθε επιμέρους όρος. Μέσα υπάρχουν δύο όροι - αντίστοιχα, δύο όροι και πολλαπλασιάζεται.

Και μόνο μετά την ολοκλήρωση αυτών των φαινομενικά στοιχειωδών, αλλά πολύ σημαντικών και επικίνδυνων μετασχηματισμών, μπορεί να ανοίξει η αγκύλη από την άποψη ότι μετά από αυτήν υπάρχει ένα σημάδι μείον. Ναι, ναι: μόνο τώρα, όταν έχουν γίνει οι μετασχηματισμοί, θυμόμαστε ότι υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από τις αγκύλες, που σημαίνει ότι όλα από κάτω απλώς αλλάζουν πρόσημα. Ταυτόχρονα, οι ίδιες οι αγκύλες εξαφανίζονται και, το πιο σημαντικό, το μπροστινό "μείον" εξαφανίζεται επίσης.

Κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη εξίσωση:

Δεν είναι τυχαίο που δίνω σημασία σε αυτά τα μικρά, φαινομενικά ασήμαντα γεγονότα. Επειδή η επίλυση εξισώσεων είναι πάντα μια ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών, όπου η αδυναμία εκτέλεσης απλών ενεργειών με σαφήνεια και ικανότητα οδηγεί στο γεγονός ότι μαθητές γυμνασίου έρχονται σε μένα και μαθαίνουν να λύνουν ξανά τέτοιες απλές εξισώσεις.

Φυσικά, θα έρθει η μέρα που θα ακονίσετε αυτές τις δεξιότητες στον αυτοματισμό. Δεν χρειάζεται πλέον να κάνετε τόσους πολλούς μετασχηματισμούς κάθε φορά, θα γράφετε τα πάντα σε μια γραμμή. Αλλά ενώ μόλις μαθαίνετε, πρέπει να γράψετε κάθε ενέργεια ξεχωριστά.

Επίλυση ακόμη πιο περίπλοκων γραμμικών εξισώσεων

Αυτό που θα λύσουμε τώρα δύσκολα μπορεί να ονομαστεί η απλούστερη εργασία, αλλά το νόημα παραμένει το ίδιο.

Εργασία #1

\[\αριστερά(7x+1 \δεξιά)\αριστερά(3x-1 \δεξιά)-21((x)^(2))=3\]

Ας πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία στο πρώτο μέρος:

Ας κάνουμε μια υποχώρηση:

Εδώ είναι μερικά όπως:

Ας κάνουμε το τελευταίο βήμα:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Εδώ είναι η τελική μας απάντηση. Και, παρά το γεγονός ότι στη διαδικασία επίλυσης είχαμε συντελεστές με τετραγωνική συνάρτηση, ωστόσο, ακυρώθηκαν αμοιβαία, γεγονός που κάνει την εξίσωση ακριβώς γραμμική, όχι τετράγωνη.

Εργασία #2

\[\αριστερά(1-4x \δεξιά)\αριστερά(1-3x \δεξιά)=6x\αριστερά(2x-1 \δεξιά)\]

Ας κάνουμε το πρώτο βήμα προσεκτικά: πολλαπλασιάστε κάθε στοιχείο στην πρώτη αγκύλη με κάθε στοιχείο της δεύτερης. Συνολικά, τέσσερις νέοι όροι θα πρέπει να ληφθούν μετά από μετασχηματισμούς:

Και τώρα εκτελέστε προσεκτικά τον πολλαπλασιασμό σε κάθε όρο:

Ας μετακινήσουμε τους όρους με "x" προς τα αριστερά και χωρίς - προς τα δεξιά:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Εδώ είναι παρόμοιοι όροι:

Έχουμε λάβει οριστική απάντηση.

Αποχρώσεις της λύσης

Η πιο σημαντική παρατήρηση σχετικά με αυτές τις δύο εξισώσεις είναι η εξής: μόλις αρχίσουμε να πολλαπλασιάζουμε αγκύλες στις οποίες υπάρχουν περισσότεροι από ένας όρος, τότε αυτό γίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: παίρνουμε τον πρώτο όρο από τον πρώτο και πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο απο το δευτερο? τότε παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο από το πρώτο και ομοίως πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο από το δεύτερο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τέσσερις όρους.

Στο αλγεβρικό άθροισμα

Με το τελευταίο παράδειγμα, θα ήθελα να υπενθυμίσω στους μαθητές τι είναι το αλγεβρικό άθροισμα. Στα κλασικά μαθηματικά, με το $1-7$ εννοούμε μια απλή κατασκευή: αφαιρούμε επτά από ένα. Στην άλγεβρα, εννοούμε με αυτό το εξής: στον αριθμό "ένα" προσθέτουμε έναν άλλο αριθμό, δηλαδή "μείον επτά". Αυτό το αλγεβρικό άθροισμα διαφέρει από το συνηθισμένο αριθμητικό άθροισμα.

Μόλις εκτελείτε όλους τους μετασχηματισμούς, κάθε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, αρχίσετε να βλέπετε κατασκευές παρόμοιες με αυτές που περιγράφονται παραπάνω, απλά δεν θα έχετε κανένα πρόβλημα στην άλγεβρα όταν εργάζεστε με πολυώνυμα και εξισώσεις.

Εν κατακλείδι, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα που θα είναι ακόμα πιο σύνθετα από αυτά που μόλις εξετάσαμε και για να τα λύσουμε, θα πρέπει να επεκτείνουμε ελαφρώς τον τυπικό μας αλγόριθμο.

Επίλυση εξισώσεων με κλάσμα

Για την επίλυση τέτοιων εργασιών, θα πρέπει να προστεθεί ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμό μας. Αλλά πρώτα, θα υπενθυμίσω τον αλγόριθμό μας:

1. Ανοιχτές αγκύλες.
2. Ξεχωριστές μεταβλητές.
3. Φέρε παρόμοια.
4. Διαιρέστε με έναν παράγοντα.

Αλίμονο, αυτός ο υπέροχος αλγόριθμος, παρ' όλη την αποτελεσματικότητά του, δεν είναι απολύτως κατάλληλος όταν έχουμε κλάσματα μπροστά μας. Και σε αυτό που θα δούμε παρακάτω, έχουμε ένα κλάσμα αριστερά και δεξιά και στις δύο εξισώσεις.

Πώς να εργαστείτε σε αυτή την περίπτωση; Ναι, είναι πολύ απλό! Για να γίνει αυτό, πρέπει να προσθέσετε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμο, το οποίο μπορεί να εκτελεστεί τόσο πριν από την πρώτη ενέργεια όσο και μετά από αυτήν, δηλαδή, για να απαλλαγείτε από κλάσματα. Έτσι, ο αλγόριθμος θα είναι ο εξής:

1. Απαλλαγείτε από τα κλάσματα.
2. Ανοιχτές αγκύλες.
3. Ξεχωριστές μεταβλητές.
4. Φέρε παρόμοια.
5. Διαιρέστε με έναν παράγοντα.

Τι σημαίνει «ξεφορτωθείτε τα κλάσματα»; Και γιατί είναι δυνατόν να γίνει αυτό τόσο μετά όσο και πριν από το πρώτο τυπικό βήμα; Στην πραγματικότητα, στην περίπτωσή μας, όλα τα κλάσματα είναι αριθμητικά ως προς τον παρονομαστή, δηλ. παντού ο παρονομαστής είναι απλώς ένας αριθμός. Επομένως, αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με αυτόν τον αριθμό, τότε θα απαλλαγούμε από τα κλάσματα.

Παράδειγμα #1

\[\frac(\αριστερά(2x+1 \δεξιά)\αριστερά(2x-3 \δεξιά))(4)=((x)^(2))-1\]

Ας απαλλαγούμε από τα κλάσματα αυτής της εξίσωσης:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot τέσσερα\]

Παρακαλώ σημειώστε: όλα πολλαπλασιάζονται με "τέσσερα" μία φορά, δηλ. Ακριβώς επειδή έχετε δύο παρενθέσεις δεν σημαίνει ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε καθεμία από αυτές με "τέσσερα". Ας γράψουμε:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Τώρα ας το ανοίξουμε:

Εκτελούμε απομόνωση μιας μεταβλητής:

Πραγματοποιούμε τη μείωση παρόμοιων όρων:

\[-4x=-1\αριστερά| :\αριστερά(-4 \δεξιά) \δεξιά.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Έχουμε λάβει την τελική λύση, περνάμε στη δεύτερη εξίσωση.

Παράδειγμα #2

\[\frac(\αριστερά(1-x \δεξιά)\αριστερά(1+5x \δεξιά))(5)+((x)^(2))=1\]

Εδώ εκτελούμε όλες τις ίδιες ενέργειες:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Το πρόβλημα λύθηκε.

Αυτό, στην πραγματικότητα, είναι το μόνο που ήθελα να πω σήμερα.

Βασικά σημεία

Τα βασικά ευρήματα είναι τα εξής:

• Να γνωρίζετε τον αλγόριθμο επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.
• Δυνατότητα ανοίγματος αγκύλων.
• Μην ανησυχείτε αν έχετε τετραγωνικές συναρτήσεις κάπου, πιθανότατα, στη διαδικασία περαιτέρω μετασχηματισμών, θα μειωθούν.
• Οι ρίζες στις γραμμικές εξισώσεις, ακόμα και στις πιο απλές, είναι τριών ειδών: μία ρίζα, ολόκληρη η αριθμητική γραμμή είναι ρίζα, δεν υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να κατακτήσετε ένα απλό, αλλά πολύ σημαντικό θέμα για περαιτέρω κατανόηση όλων των μαθηματικών. Εάν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, μεταβείτε στον ιστότοπο, λύστε τα παραδείγματα που παρουσιάζονται εκεί. Μείνετε συντονισμένοι, σας περιμένουν πολλά ακόμα ενδιαφέροντα!

Κάθεσαι σε ένα εστιατόριο και ξεφυλλίζεις το μενού. Όλα τα πιάτα φαίνονται τόσο νόστιμα που δεν ξέρεις τι να διαλέξεις. Ίσως τα παραγγείλω όλα;

Σίγουρα έχετε αντιμετωπίσει τέτοια προβλήματα. Αν όχι στο φαγητό, τότε σε κάτι άλλο. Ξοδεύουμε τεράστιο χρόνο και ενέργεια προσπαθώντας να κάνουμε μια επιλογή ανάμεσα σε εξίσου ελκυστικές επιλογές. Αλλά, από την άλλη, οι επιλογές δεν μπορούν να είναι ίδιες, γιατί καθεμία από αυτές είναι ελκυστική με τον δικό της τρόπο.

Μόλις κάνετε μια επιλογή, βρίσκεστε αντιμέτωποι με μια νέα επιλογή. Πρόκειται για μια ατελείωτη σειρά σημαντικών αποφάσεων, που είναι ο φόβος της λάθος επιλογής. Αυτές οι τρεις μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να πάρετε καλύτερες αποφάσεις σε όλα τα επίπεδα της ζωής σας.

Κάντε συνήθειες για να αποφεύγετε τις καθημερινές αποφάσεις

Το θέμα είναι ότι αν συνηθίσετε να τρώτε σαλάτα για μεσημεριανό γεύμα, δεν θα χρειαστεί να αποφασίσετε τι θα παραγγείλετε σε ένα καφέ.

Αναπτύσσοντας συνήθειες που ασχολούνται με τόσο απλές καθημερινές εργασίες, εξοικονομείτε ενέργεια για τη λήψη πιο περίπλοκων και σημαντικών αποφάσεων. Επιπλέον, αν συνηθίσετε να τρώτε σαλάτα για πρωινό, δεν θα χρειαστεί να σπαταλήσετε τη θέλησή σας για να μην φάτε κάτι λιπαρό και τηγανητό αντί για σαλάτα.

Αυτό όμως ισχύει για προβλέψιμες περιπτώσεις. Τι γίνεται με τις απροσδόκητες αποφάσεις;

«Αν - τότε»: μέθοδος για απρόβλεπτες αποφάσεις

Για παράδειγμα, κάποιος διακόπτει συνεχώς την ομιλία σας και δεν είστε σίγουροι πώς να αντιδράσετε σε αυτό και αν πρέπει να αντιδράσετε καθόλου. Σύμφωνα με τη μέθοδο αν-τότε, αποφασίζεις: αν σε διακόψει άλλες δύο φορές, τότε θα του κάνεις μια ευγενική παρατήρηση και αν αυτό δεν πετύχει, τότε με πιο αγενή μορφή.

Αυτές οι δύο μέθοδοι βοηθούν στη λήψη των περισσότερων από τις αποφάσεις που αντιμετωπίζουμε καθημερινά. Αλλά όταν πρόκειται για θέματα στρατηγικού σχεδιασμού, όπως το πώς να ανταποκριθεί κανείς στην απειλή των ανταγωνιστών, σε ποια προϊόντα να επενδύσει περισσότερο, πού να μειώσει τον προϋπολογισμό, είναι ανίσχυροι.

Πρόκειται για αποφάσεις που μπορεί να καθυστερήσουν για μια εβδομάδα, ένα μήνα ή και ένα χρόνο, εμποδίζοντας την ανάπτυξη της εταιρείας. Δεν μπορούν να αντιμετωπιστούν μέσω της συνήθειας και η μέθοδος αν-τότε δεν θα λειτουργήσει ούτε εδώ. Κατά κανόνα, δεν υπάρχουν σαφείς και σωστές απαντήσεις σε τέτοιες ερωτήσεις.

Συχνά η ηγετική ομάδα καθυστερεί την υιοθέτηση τέτοιων αποφάσεων. Συλλέγει πληροφορίες, ζυγίζει τα υπέρ και τα κατά, συνεχίζει να περιμένει και να παρατηρεί την κατάσταση, ελπίζοντας ότι θα εμφανιστεί κάτι που θα δείχνει τη σωστή απόφαση.

Και αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει σωστή απάντηση, αυτό θα βοηθήσει στη γρήγορη λήψη μιας απόφασης;

Φανταστείτε ότι πρέπει να πάρετε μια απόφαση μέσα στα επόμενα 15 λεπτά. Ούτε αύριο, ούτε την επόμενη εβδομάδα, που θα συγκεντρώσεις αρκετές πληροφορίες, ούτε σε ένα μήνα, που θα μιλήσεις με όλους όσους εμπλέκονται στο πρόβλημα.

Έχετε ένα τέταρτο της ώρας για να πάρετε μια απόφαση. Ανάλαβε δράση.

Αυτός είναι ο τρίτος τρόπος, που βοηθά στη λήψη δύσκολων αποφάσεων σχετικά με τον μακροπρόθεσμο προγραμματισμό.

Χρησιμοποιήστε το χρόνο

Εάν έχετε ερευνήσει ένα πρόβλημα και έχετε διαπιστώσει ότι οι επιλογές για την επίλυσή του είναι εξίσου ελκυστικές, αποδεχτείτε ότι δεν υπάρχει σωστή απάντηση, ορίστε στον εαυτό σας ένα χρονικό όριο και απλώς επιλέξτε οποιαδήποτε επιλογή. Εάν η δοκιμή μιας από τις λύσεις απαιτεί ελάχιστη επένδυση, επιλέξτε την και δοκιμάστε την. Αλλά αν αυτό δεν είναι δυνατό, τότε επιλέξτε οποιοδήποτε και το συντομότερο δυνατό: ο χρόνος που αφιερώνετε σε άχρηστες σκέψεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί καλύτερα.

Φυσικά, μπορεί να διαφωνήσετε: «Αν περιμένω, μπορεί να εμφανιστεί η σωστή απάντηση». Ίσως, αλλά, πρώτον, χάνετε πολύτιμο χρόνο περιμένοντας να ξεκαθαρίσει η κατάσταση. Δεύτερον, η αναμονή σας κάνει να χρονοτριβείτε και να αναβάλλετε άλλες αποφάσεις που σχετίζονται με αυτό, μειώνει την παραγωγικότητα και επιβραδύνει την ανάπτυξη της εταιρείας.

Δοκιμάστε το αμέσως τώρα. Αν έχετε μια ερώτηση που αναβάλλατε για πολύ καιρό, δώστε στον εαυτό σας τρία λεπτά και κάντε το. Εάν έχετε πάρα πολλά παρόμοια, γράψτε μια λίστα και ορίστε μια ώρα για κάθε λύση.

Θα δεις, με κάθε απόφαση που παίρνεις, θα νιώθεις λίγο καλύτερα, το άγχος σου θα μειώνεται, θα νιώθεις ότι προχωράς.

Έτσι, επιλέγετε μια ελαφριά σαλάτα. Ήταν η σωστή επιλογή; Ποιος ξέρει... Τουλάχιστον έφαγες και δεν έκατσες πεινασμένος πάνω από το μενού των πιάτων.