Τι ονομάζεται λύση γραμμικής εξίσωσης. Πώς να λύσετε μια κυβική εξίσωση; Αρχή επίλυσης γραμμικών εξισώσεων

Όταν λύνουμε γραμμικές εξισώσεις, προσπαθούμε να βρούμε τη ρίζα, δηλαδή την τιμή για τη μεταβλητή που θα μετατρέψει την εξίσωση σε σωστή ισότητα.

Για να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης χρειάζεστε ισοδύναμοι μετασχηματισμοί φέρνουν την εξίσωση που μας δίνεται στη μορφή

\(x=[αριθμός]\)

Αυτός ο αριθμός θα είναι η ρίζα.

Δηλαδή, μετασχηματίζουμε την εξίσωση, κάνοντας την απλούστερη με κάθε βήμα, μέχρι να την ανάγουμε σε μια εντελώς πρωτόγονη εξίσωση «x = αριθμός», όπου η ρίζα είναι εμφανής. Πιο συχνά χρησιμοποιείται στην επίλυση γραμμικές εξισώσειςείναι οι εξής μετασχηματισμοί:

Για παράδειγμα: προσθέστε το \(5\) και στις δύο πλευρές της εξίσωσης \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Σημειώστε ότι θα μπορούσαμε να πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα πιο γρήγορα γράφοντας απλώς το πέντε στην άλλη πλευρά της εξίσωσης και αλλάζοντας το πρόσημο. Στην πραγματικότητα, έτσι ακριβώς γίνεται το σχολείο «μεταφορά μέσω ίσων με αλλαγή πρόσημου στο αντίθετο».

2. Πολλαπλασιασμός ή διαίρεση και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό ή παράσταση.

Για παράδειγμα: διαιρέστε την εξίσωση \(-2x=8\) με μείον δύο

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Συνήθως αυτό το βήμαεκτελείται στο τέλος, όταν η εξίσωση έχει ήδη μειωθεί στη μορφή \(ax=b\) και διαιρούμε με το \(a\) για να την αφαιρέσουμε από τα αριστερά.

3. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες και τους νόμους των μαθηματικών: άνοιγμα παρενθέσεων, φέρνοντας παρόμοιους όρους, αναγωγή κλασμάτων κ.λπ.

Προσθέστε \(2x\) αριστερά και δεξιά

Αφαιρέστε το \(24\) και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης

Παρουσιάζουμε ξανά παρόμοιους όρους

Τώρα διαιρούμε την εξίσωση με \(-3\), αφαιρώντας έτσι το μπροστινό X στην αριστερή πλευρά.

Απάντηση : \(7\)

Η απάντηση βρέθηκε. Ωστόσο, ας το τσεκάρουμε. Εάν το επτά είναι πραγματικά μια ρίζα, τότε όταν το αντικαθιστούμε αντί του Χ στην αρχική εξίσωση, θα πρέπει να ληφθεί η σωστή ισότητα - ίδιοι αριθμοίαριστερά και δεξιά. Ας δοκιμάσουμε.

Εξέταση:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

πέτυχε. Αυτό σημαίνει ότι το επτά είναι πράγματι η ρίζα της αρχικής γραμμικής εξίσωσης.

Μην τεμπελιάζετε να ελέγξετε τις απαντήσεις που βρήκατε με αντικατάσταση, ειδικά αν λύνετε μια εξίσωση σε ένα τεστ ή μια εξέταση.

Το ερώτημα παραμένει - πώς να καθορίσετε τι να κάνετε με την εξίσωση στο επόμενο βήμα; Πώς ακριβώς να το μετατρέψω; Διαιρέστε με κάτι; Ή να αφαιρέσω; Και τι ακριβώς πρέπει να αφαιρέσω; Διαιρέστε με τι;

Η απάντηση είναι απλή:

Ο στόχος σας είναι να φέρετε την εξίσωση στη μορφή \(x=[αριθμός]\), δηλαδή στα αριστερά είναι το x χωρίς συντελεστές και αριθμούς και στα δεξιά είναι μόνο ένας αριθμός χωρίς μεταβλητές. Επομένως, κοιτάξτε τι σας εμποδίζει και κάντε το αντίθετο από αυτό που κάνει το παρεμβαλλόμενο στοιχείο.

Για να το καταλάβουμε καλύτερα, ας δούμε βήμα-βήμα τη λύση της γραμμικής εξίσωσης \(x+3=13-4x\).

Ας σκεφτούμε: τι δεδομένη εξίσωσηδιαφορετικό από το \(x=[αριθμός]\); Τι μας σταματά; Τι τρέχει;

Λοιπόν, πρώτον, τα τρία παρεμβάλλονται, αφού στα αριστερά θα πρέπει να υπάρχει μόνο ένα μοναχικό Χ, χωρίς αριθμούς. Τι «κάνει» η τρόικα; Προστέθηκεπρος Χ. Έτσι, για να το αφαιρέσετε - αφαιρώτα ίδια τρία. Αν όμως αφαιρέσουμε τρία από τα αριστερά, πρέπει να τα αφαιρέσουμε από τα δεξιά για να μην παραβιαστεί η ισότητα.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Πρόστιμο. Τώρα τι σε εμποδίζει; \(4x\) στα δεξιά, γιατί εκεί θα πρέπει να υπάρχουν μόνο αριθμοί. \(4x\) αφαιρείται- αφαιρούμε προσθέτοντας.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Τώρα παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους αριστερά και δεξιά.

Είναι σχεδόν έτοιμο. Το μόνο που μένει είναι να αφαιρέσουμε τα πέντε αριστερά. Τι κάνει"; Πολλαπλασιάζεταιστο x. Ας το αφαιρέσουμε λοιπόν διαίρεση.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Η λύση είναι πλήρης, η ρίζα της εξίσωσης είναι δύο. Μπορείτε να ελέγξετε με αντικατάσταση.

σημειώσε ότι τις περισσότερες φορές υπάρχει μόνο μία ρίζα στις γραμμικές εξισώσεις. Ωστόσο, μπορεί να προκύψουν δύο ειδικές περιπτώσεις.

Ειδική περίπτωση 1 – δεν υπάρχουν ρίζες σε μια γραμμική εξίσωση.

Παράδειγμα . Λύστε την εξίσωση \(3x-1=2(x+3)+x\)

Λύση :

Απάντηση : χωρίς ρίζες.

Μάλιστα, το ότι θα καταλήξουμε σε τέτοιο αποτέλεσμα ήταν ορατό νωρίτερα, ακόμα και όταν λάβαμε \(3x-1=3x+6\). Σκεφτείτε το: πώς μπορεί το \(3x\) από το οποίο αφαιρέσαμε το \(1\) και το \(3x\) στο οποίο προσθέσαμε \(6\) να είναι ίσα; Προφανώς, σε καμία περίπτωση, γιατί έκαναν το ίδιο πράγμα διαφορετικές δράσεις! Είναι σαφές ότι τα αποτελέσματα θα ποικίλλουν.

Ειδική περίπτωση 2 – μια γραμμική εξίσωση έχει άπειρο αριθμό ριζών.

Παράδειγμα . Λύστε τη γραμμική εξίσωση \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Λύση :

Απάντηση : οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ.

Αυτό, παρεμπιπτόντως, ήταν αισθητό και νωρίτερα, στο στάδιο: \(8x+12=8x+12\). Πράγματι, αριστερά και δεξιά είναι οι ίδιες εκφράσεις. Όποιο και αν αντικαταστήσετε το X, θα είναι ο ίδιος αριθμός και εκεί και εκεί.

Πιο πολύπλοκες γραμμικές εξισώσεις.

Η αρχική εξίσωση δεν μοιάζει πάντα αμέσως με μια γραμμική εξίσωση μερικές φορές «μασκάρεται» ως άλλη, περισσότερο σύνθετες εξισώσεις. Ωστόσο, στη διαδικασία της μεταμόρφωσης, η μεταμφίεση εξαφανίζεται.

Παράδειγμα . Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Λύση :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Φαίνεται ότι υπάρχει ένα x τετράγωνο εδώ - αυτό δεν είναι μια γραμμική εξίσωση! Αλλά μην βιαστείτε. Ας κάνουμε αίτηση
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Γιατί το αποτέλεσμα επέκτασης \((x-4)^(2)\) βρίσκεται σε παρένθεση, αλλά το αποτέλεσμα \((3+x)^(2)\) δεν είναι; Γιατί υπάρχει ένα μείον μπροστά στο πρώτο τετράγωνο, που θα αλλάξει όλα τα σημάδια. Και για να μην το ξεχάσουμε, παίρνουμε το αποτέλεσμα σε αγκύλες, τις οποίες ανοίγουμε τώρα.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Παρουσιάζουμε ξανά παρόμοια.
		Σαν αυτό. Αποδεικνύεται ότι η αρχική εξίσωση είναι αρκετά γραμμική και το τετράγωνο του Χ δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια οθόνη για να μας μπερδέψει. :) Ολοκληρώνουμε τη λύση διαιρώντας την εξίσωση με \(2\), και παίρνουμε την απάντηση.

Απάντηση : \(x=5\)

Παράδειγμα . Επίλυση γραμμικής εξίσωσης \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Λύση :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Η εξίσωση δεν φαίνεται γραμμική, είναι κάποιου είδους κλάσματα... Ωστόσο, ας απαλλαγούμε από τους παρονομαστές πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με κοινό παρονομαστήόλα - έξι
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Αναπτύξτε το στήριγμα στα αριστερά
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Τώρα ας μειώσουμε τους παρονομαστές
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Τώρα μοιάζει με κανονικό γραμμικό! Ας το τελειώσουμε.
		Μεταφράζοντας μέσω ίσων συλλέγουμε Χ στα δεξιά και αριθμούς στα αριστερά
		Λοιπόν, διαιρώντας τη δεξιά και την αριστερή πλευρά με το \(-4\), παίρνουμε την απάντηση

Απάντηση : \(x=-1,25\)

Μια γραμμική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση της οποίας ο συνολικός βαθμός πολυωνύμων είναι ίσος με ένα. Επίλυση γραμμικών εξισώσεων - μέρος σχολικό πρόγραμμα σπουδών, και όχι το πιο δύσκολο. Ωστόσο, ορισμένοι εξακολουθούν να δυσκολεύονται να ολοκληρώσουν αυτό το θέμα. Ελπίζουμε μετά την ανάγνωση αυτό το υλικό, όλες οι δυσκολίες για εσάς θα ανήκουν στο παρελθόν. Λοιπόν, ας το καταλάβουμε. πώς να λύσετε γραμμικές εξισώσεις.

Γενική μορφή

Η γραμμική εξίσωση παριστάνεται ως:

• ax + b = 0, όπου a και b είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.

Αν και το a και το b μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός, οι τιμές τους επηρεάζουν τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης. Υπάρχουν πολλές ειδικές περιπτώσεις λύσης:

• Αν a=b=0, η εξίσωση έχει άπειρο σύνολοαποφάσεις·
• Αν a=0, b≠0, η εξίσωση δεν έχει λύση.
• Αν a≠0, b=0, η εξίσωση έχει λύση: x = 0.

Σε περίπτωση που δεν έχουν και οι δύο αριθμοί μηδενικές τιμές, η εξίσωση πρέπει να λυθεί για να προκύψει η τελική έκφραση για τη μεταβλητή.

Πώς να αποφασίσετε;

Η επίλυση μιας γραμμικής εξίσωσης σημαίνει να βρούμε με τι ισούται η μεταβλητή. Πώς να το κάνετε αυτό; Ναι, είναι πολύ απλό - χρησιμοποιώντας απλές αλγεβρικές πράξεις και ακολουθώντας τους κανόνες μεταφοράς. Εάν η εξίσωση εμφανίζεται μπροστά σας σε γενική μορφή, το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι:

1. Μετακινήστε το b στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, χωρίς να ξεχάσετε να αλλάξετε το πρόσημο (κανόνας μεταφοράς!), έτσι, από μια έκφραση της μορφής ax + b = 0, θα πρέπει να ληφθεί μια έκφραση της μορφής: ax = -b.
2. Εφαρμόστε τον κανόνα: για να βρείτε έναν από τους παράγοντες (x - στην περίπτωσή μας), πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο (-b στην περίπτωσή μας) με έναν άλλο παράγοντα (a - στην περίπτωσή μας). Έτσι, θα πρέπει να λάβετε μια έκφραση της μορφής: x = -b/a.

Αυτό ήταν - βρέθηκε λύση!

Ας δούμε τώρα ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

1. 2x + 4 = 0 - κίνηση b ίσο με σε αυτήν την περίπτωση 4, προς τα δεξιά
2. 2x = -4 - διαιρέστε το b με το a (μην ξεχνάτε το σύμβολο μείον)
3. x = -4/2 = -2

Αυτό είναι όλο! Η λύση μας: x = -2.

Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση σε μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή είναι αρκετά απλή να βρεθεί, αλλά όλα είναι τόσο απλά αν έχουμε την τύχη να συναντήσουμε την εξίσωση στη γενική της μορφή. Στις περισσότερες περιπτώσεις, προτού λύσετε μια εξίσωση στα δύο βήματα που περιγράφονται παραπάνω, πρέπει να φέρετε την υπάρχουσα έκφραση σε μια γενική μορφή. Ωστόσο, αυτό δεν είναι επίσης ένα εξαιρετικά δύσκολο έργο. Ας δούμε μερικές ειδικές περιπτώσεις χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Επίλυση ειδικών περιπτώσεων

Αρχικά, ας δούμε τις περιπτώσεις που περιγράψαμε στην αρχή του άρθρου και ας εξηγήσουμε τι σημαίνει να έχεις άπειρο αριθμό λύσεων και καμία λύση.

• Αν a=b=0, η εξίσωση θα μοιάζει με: 0x + 0 = 0. Εκτελώντας το πρώτο βήμα, παίρνουμε: 0x = 0. Τι σημαίνει αυτή η ανοησία, αναφωνείς! Άλλωστε, όποιον αριθμό και να πολλαπλασιάσετε με το μηδέν, πάντα παίρνετε μηδέν! Σωστά! Γι' αυτό λένε ότι η εξίσωση έχει άπειρο αριθμό λύσεων - ανεξάρτητα από τον αριθμό που παίρνετε, η ισότητα θα είναι αληθής, 0x = 0 ή 0 = 0.
• Αν a=0, b≠0, η εξίσωση θα μοιάζει με: 0x + 3 = 0. Εκτελέστε το πρώτο βήμα, παίρνουμε 0x = -3. Πάλι ανοησίες! Είναι προφανές ότι αυτή η ισότητα δεν θα είναι ποτέ αληθινή! Γι' αυτό λένε ότι η εξίσωση δεν έχει λύσεις.
• Αν a≠0, b=0, η εξίσωση θα μοιάζει με: 3x + 0 = 0. Εκτελώντας το πρώτο βήμα, παίρνουμε: 3x = 0. Ποια είναι η λύση; Είναι εύκολο, x = 0.

Χάνεται στη μετάφραση

Οι περιγραφόμενες ειδικές περιπτώσεις δεν είναι όλες με τις οποίες μπορούν να μας εκπλήξουν οι γραμμικές εξισώσεις. Μερικές φορές η εξίσωση είναι δύσκολο να εντοπιστεί με την πρώτη ματιά. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

• 12x - 14 = 2x + 6

Είναι αυτή μια γραμμική εξίσωση; Τι γίνεται με το μηδέν στη δεξιά πλευρά; Ας μην βιαζόμαστε να βγάλουμε συμπεράσματα, ας δράσουμε - ας μεταφέρουμε όλα τα συστατικά της εξίσωσής μας σε αριστερή πλευρά. Παίρνουμε:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Τώρα αφαιρέστε το like από το like, παίρνουμε:

• 10x - 20 = 0

Εμαθα; Η πιο γραμμική εξίσωση όλων των εποχών! Η λύση της οποίας είναι: x = 20/10 = 2.

Τι γίνεται αν έχουμε αυτό το παράδειγμα:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ναι, αυτή είναι επίσης μια γραμμική εξίσωση, μόνο που πρέπει να γίνουν περισσότεροι μετασχηματισμοί. Αρχικά, ας ανοίξουμε τις αγκύλες:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - τώρα πραγματοποιούμε τη μεταφορά:
4. 25x - 4 = 0 - απομένει να βρεθεί μια λύση χρησιμοποιώντας το ήδη γνωστό σχήμα:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα μπορούν να λυθούν, το κύριο πράγμα δεν είναι να ανησυχείτε, αλλά να ενεργήσετε. Θυμηθείτε, εάν η εξίσωσή σας περιέχει μόνο μεταβλητές πρώτου βαθμού και αριθμούς, έχετε μια γραμμική εξίσωση, η οποία, ανεξάρτητα από το πώς φαίνεται αρχικά, μπορεί να αναχθεί σε μια γενική μορφή και να λυθεί. Ελπίζουμε ότι όλα θα πάνε καλά για εσάς! Καλή τύχη!

• Μια ισότητα με μια μεταβλητή ονομάζεται εξίσωση.
• Η επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει την εύρεση των πολλών ριζών της. Μια εξίσωση μπορεί να έχει μία, δύο, πολλές, πολλές ρίζες ή και καμία.
• Κάθε τιμή μιας μεταβλητής στην οποία μια δεδομένη εξίσωση μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα ονομάζεται ρίζα της εξίσωσης.
• Οι εξισώσεις που έχουν τις ίδιες ρίζες ονομάζονται ισοδύναμες εξισώσεις.
• Οποιοσδήποτε όρος της εξίσωσης μπορεί να μεταφερθεί από το ένα μέρος της ισότητας στο άλλο, αλλάζοντας παράλληλα το πρόσημο του όρου στο αντίθετο.
• Αν και οι δύο πλευρές μιας εξίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, παίρνετε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη εξίσωση.

Παραδείγματα. Λύστε την εξίσωση.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Συλλέξαμε τους όρους που περιέχουν τη μεταβλητή στην αριστερή πλευρά της ισότητας και τους ελεύθερους όρους στη δεξιά πλευρά της ισότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήθηκε η ακόλουθη ιδιότητα:

1,2x = -6. Παρόμοιοι όροι δόθηκαν σύμφωνα με τον κανόνα:

x = -6 : 1.2. Και οι δύο πλευρές της ισότητας διαιρέθηκαν με τον συντελεστή της μεταβλητής, αφού

x = -5. Διαιρείται σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με δεκαδικός:

Για να διαιρέσετε έναν αριθμό με ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να μετακινήσετε τα κόμματα στο μέρισμα και στο διαιρέτη τόσα ψηφία προς τα δεξιά όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη και στη συνέχεια να διαιρέσετε με έναν φυσικό αριθμό:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Απάντηση: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Ανοίξαμε τις αγκύλες χρησιμοποιώντας τον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την αφαίρεση: (α-β) ∙ γ = α ∙ γ-β ∙ ντο.

6x-4x = -16+27. Συλλέξαμε τους όρους που περιέχουν τη μεταβλητή στην αριστερή πλευρά της ισότητας και τους ελεύθερους όρους στη δεξιά πλευρά της ισότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήθηκε η ακόλουθη ιδιότητα: οποιοσδήποτε όρος της εξίσωσης μπορεί να μεταφερθεί από το ένα μέρος της ισότητας στο άλλο, αλλάζοντας έτσι το πρόσημο του όρου στο αντίθετο.

2x = 11. Παρόμοιοι όροι δόθηκαν σύμφωνα με τον κανόνα: για να φέρετε παρόμοιους όρους, πρέπει να προσθέσετε τους συντελεστές τους και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα που προκύπτει με το κοινό γράμμα τους (δηλαδή, να προσθέσετε το κοινό γράμμα τους στο αποτέλεσμα που προκύπτει).

x = 11 : 2. Και οι δύο πλευρές της ισότητας διαιρέθηκαν με τον συντελεστή της μεταβλητής, αφού Εάν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, παίρνετε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη εξίσωση.

Απάντηση: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Ανοίξαμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα για το άνοιγμα αγκύλων πριν από το σύμβολο "-": εάν υπάρχει ένα σύμβολο "-" μπροστά από τις αγκύλες, τότε αφαιρέστε τις αγκύλες, το σύμβολο "-" και γράψτε τους όρους στις αγκύλες με αντίθετα σημάδια.

7x-2x-x = -9+3. Συλλέξαμε τους όρους που περιέχουν τη μεταβλητή στην αριστερή πλευρά της ισότητας και τους ελεύθερους όρους στη δεξιά πλευρά της ισότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήθηκε η ακόλουθη ιδιότητα: οποιοσδήποτε όρος της εξίσωσης μπορεί να μεταφερθεί από το ένα μέρος της ισότητας στο άλλο, αλλάζοντας έτσι το πρόσημο του όρου στο αντίθετο.

4x = -6. Παρόμοιοι όροι δόθηκαν σύμφωνα με τον κανόνα: για να φέρετε παρόμοιους όρους, πρέπει να προσθέσετε τους συντελεστές τους και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα που προκύπτει με το κοινό γράμμα τους (δηλαδή, να προσθέσετε το κοινό γράμμα τους στο αποτέλεσμα που προκύπτει).

x = -6 : 4. Και οι δύο πλευρές της ισότητας διαιρέθηκαν με τον συντελεστή της μεταβλητής, αφού Εάν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, παίρνετε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη εξίσωση.

Απάντηση: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Πολλαπλασιάσαμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης επί 12 - τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή για τους παρονομαστές αυτών των κλασμάτων.

3x-15 = 84-8x+44. Ανοίξαμε τις αγκύλες χρησιμοποιώντας τον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την αφαίρεση: Για να πολλαπλασιάσετε τη διαφορά δύο αριθμών με έναν τρίτο αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε χωριστά το minuend και ξεχωριστά να αφαιρέσετε με τον τρίτο αριθμό και στη συνέχεια να αφαιρέσετε το δεύτερο αποτέλεσμα από το πρώτο αποτέλεσμα, δηλ.(α-β) ∙ γ = α ∙ γ-β ∙ ντο.

3x+8x = 84+44+15. Συλλέξαμε τους όρους που περιέχουν τη μεταβλητή στην αριστερή πλευρά της ισότητας και τους ελεύθερους όρους στη δεξιά πλευρά της ισότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήθηκε η ακόλουθη ιδιότητα: οποιοσδήποτε όρος της εξίσωσης μπορεί να μεταφερθεί από το ένα μέρος της ισότητας στο άλλο, αλλάζοντας έτσι το πρόσημο του όρου στο αντίθετο.

Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε την αρχή της επίλυσης τέτοιων εξισώσεων ως γραμμικών εξισώσεων. Ας γράψουμε τον ορισμό αυτών των εξισώσεων και ας ορίσουμε γενική μορφή. Θα αναλύσουμε όλες τις προϋποθέσεις για την εύρεση λύσεων σε γραμμικές εξισώσεις, χρησιμοποιώντας, μεταξύ άλλων, πρακτικά παραδείγματα.

Σημειώστε ότι το παρακάτω υλικό περιέχει πληροφορίες για γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή. Οι γραμμικές εξισώσεις σε δύο μεταβλητές συζητούνται σε ξεχωριστό άρθρο.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Τι είναι μια γραμμική εξίσωση

Ορισμός 1

Γραμμική εξίσωσηείναι μια εξίσωση γραμμένη ως εξής:
a x = β, Οπου Χ- μεταβλητή, έναΚαι σι- κάποιοι αριθμοί.

Αυτή η διατύπωση χρησιμοποιήθηκε στο εγχειρίδιο άλγεβρας (7η τάξη) από τον Yu.N.

Παράδειγμα 1

Παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων θα ήταν:

3 x = 11(εξίσωση με μία μεταβλητή Χστο α = 5Και b = 10);

− 3 , 1 y = 0 (γραμμική εξίσωση με μεταβλητή y, Οπου a = - 3, 1Και b = 0);

x = − 4Και − x = 5,37(γραμμικές εξισώσεις, όπου ο αριθμός έναγραμμένο ρητά και ίσο με 1 και - 1, αντίστοιχα. Για την πρώτη εξίσωση b = - 4 ;για το δευτερο - b = 5,37) και ούτω καθεξής.

Σε διαφορετικά εκπαιδευτικό υλικόμπορεί να συναντηθούν διαφορετικούς ορισμούς. Για παράδειγμα, ο Vilenkin N.Ya. Οι γραμμικές εξισώσεις περιλαμβάνουν επίσης εκείνες τις εξισώσεις που μπορούν να μετατραπούν στη μορφή a x = βμε μεταφορά όρων από το ένα μέρος στο άλλο με αλλαγή προσήμου και μείωση παρόμοιους όρους. Αν ακολουθήσουμε αυτή την ερμηνεία, η εξίσωση 5 x = 2 x + 6 -επίσης γραμμικό.

Αλλά το εγχειρίδιο άλγεβρας (7η τάξη) του Mordkovich A.G. δίνει την ακόλουθη περιγραφή:

Ορισμός 2

Μια γραμμική εξίσωση σε μια μεταβλητή x είναι μια εξίσωση της μορφής a x + b = 0, Οπου έναΚαι σι– κάποιοι αριθμοί που ονομάζονται συντελεστές μιας γραμμικής εξίσωσης.

Παράδειγμα 2

Ένα παράδειγμα γραμμικών εξισώσεων αυτού του τύπου θα μπορούσε να είναι:

3 x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Υπάρχουν όμως και παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων που έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει παραπάνω: της μορφής a x = β, Για παράδειγμα, 6 x = 35.

Θα συμφωνήσουμε αμέσως ότι σε αυτό το άρθρο με μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή θα κατανοήσουμε την εξίσωση που γράφτηκε a x + b = 0, Οπου Χ– μεταβλητή α, β – συντελεστές. Βλέπουμε αυτή τη μορφή γραμμικής εξίσωσης ως την πιο δικαιολογημένη, αφού οι γραμμικές εξισώσεις είναι αλγεβρικές εξισώσειςπρώτου βαθμού. Και οι άλλες εξισώσεις που αναφέρονται παραπάνω και οι εξισώσεις που δίνονται ισοδύναμους μετασχηματισμούςσε είδος a x + b = 0, ορίζουμε ως εξισώσεις που ανάγονται σε γραμμικές εξισώσεις.

Με αυτήν την προσέγγιση, η εξίσωση 5 x + 8 = 0 είναι γραμμική και 5 x = − 8- μια εξίσωση που ανάγεται σε γραμμική.

Αρχή επίλυσης γραμμικών εξισώσεων

Ας δούμε πώς να προσδιορίσουμε αν μια δεδομένη γραμμική εξίσωση θα έχει ρίζες και, αν ναι, πόσες και πώς να τις προσδιορίσουμε.

Ορισμός 3

Το γεγονός της παρουσίας ριζών μιας γραμμικής εξίσωσης καθορίζεται από τις τιμές των συντελεστών έναΚαι σι.Ας γράψουμε αυτές τις προϋποθέσεις:

• στο a ≠ 0Η γραμμική εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα x = - b a ;
• στο a = 0Και b ≠ 0μια γραμμική εξίσωση δεν έχει ρίζες.
• στο a = 0Και b = 0μια γραμμική εξίσωση έχει άπειρες ρίζες. Ουσιαστικά, σε αυτή την περίπτωση, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γίνει η ρίζα μιας γραμμικής εξίσωσης.

Ας δώσουμε μια εξήγηση. Γνωρίζουμε ότι κατά τη διαδικασία επίλυσης μιας εξίσωσης είναι δυνατό να μετατραπεί μια δεδομένη εξίσωση σε μια που είναι ισοδύναμη με αυτήν, πράγμα που σημαίνει ότι έχει τις ίδιες ρίζες με την αρχική εξίσωση ή επίσης δεν έχει ρίζες. Μπορούμε να κάνουμε τους παρακάτω ισοδύναμους μετασχηματισμούς:

• μεταφέρετε έναν όρο από το ένα μέρος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημο στο αντίθετο.
• πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό που δεν είναι μηδέν.

Έτσι, μετασχηματίζουμε τη γραμμική εξίσωση a x + b = 0, μετακινώντας τον όρο σιαπό αριστερά προς σωστη πλευραμε αλλαγή πρόσημου. Παίρνουμε: a · x = − b .

Έτσι, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν μη μηδενικό αριθμό ΕΝΑ,με αποτέλεσμα μια ισότητα της μορφής x = - b a . Πότε δηλαδή a ≠ 0,αρχική εξίσωση a x + b = 0είναι ισοδύναμη με την ισότητα x = - b a, στην οποία η ρίζα - b a είναι εμφανής.

Με αντίφαση είναι δυνατό να αποδειχθεί ότι η ρίζα που βρέθηκε είναι η μόνη. Ας ορίσουμε τη ρίζα που βρέθηκε - b a ως x 1 .Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει άλλη ρίζα της γραμμικής εξίσωσης με τον προσδιορισμό x 2 .Και φυσικά: x 2 ≠ x 1,και αυτό, με τη σειρά του, με βάση τον ορισμό ίσοι αριθμοίμέσω της διαφοράς, ισοδυναμεί με την συνθήκη x 1 − x 2 ≠ 0 .Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, μπορούμε να δημιουργήσουμε τις ακόλουθες ισότητες αντικαθιστώντας τις ρίζες:
a x 1 + b = 0και a x 2 + b = 0.
Η ιδιότητα των αριθμητικών ισοτήτων καθιστά δυνατή την εκτέλεση ανά όρο αφαίρεση τμημάτων ισοτήτων:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, από εδώ: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0και μετά a · (x 1 − x 2) = 0 .Ισότητα a · (x 1 − x 2) = 0είναι λανθασμένο γιατί είχε προηγουμένως διευκρινιστεί ότι a ≠ 0Και x 1 − x 2 ≠ 0 .Η αντίφαση που προκύπτει χρησιμεύει ως απόδειξη ότι όταν a ≠ 0γραμμική εξίσωση a x + b = 0έχει μόνο μία ρίζα.

Ας αιτιολογήσουμε δύο ακόμη ρήτρες των όρων που περιέχουν a = 0.

Οταν a = 0γραμμική εξίσωση a x + b = 0θα γραφεί ως 0 x + b = 0. Η ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με το μηδέν μας δίνει το δικαίωμα να ισχυριστούμε ότι οποιοσδήποτε αριθμός λαμβάνεται ως Χ, υποκαθιστώντας το σε ισότητα 0 x + b = 0, παίρνουμε b = 0 . Η ισότητα ισχύει για b = 0; σε άλλες περιπτώσεις, όταν b ≠ 0,η ισότητα γίνεται ψευδής.

Οπότε πότε a = 0και b = 0 , οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γίνει η ρίζα μιας γραμμικής εξίσωσης a x + b = 0, από όταν πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, αντικαθιστώντας αντ' αυτού Χοποιονδήποτε αριθμό, παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα 0 = 0 . Οταν a = 0Και b ≠ 0γραμμική εξίσωση a x + b = 0δεν θα έχει καθόλου ρίζες, αφού όταν πληρούνται οι καθορισμένες προϋποθέσεις, αντικαθιστώντας Χοποιονδήποτε αριθμό, παίρνουμε μια λανθασμένη αριθμητική ισότητα b = 0.

Όλες οι παραπάνω σκέψεις μας δίνουν την ευκαιρία να γράψουμε έναν αλγόριθμο που καθιστά δυνατή την εύρεση λύσης σε οποιαδήποτε γραμμική εξίσωση:

• από τον τύπο της εγγραφής προσδιορίζουμε τις τιμές των συντελεστών έναΚαι σικαι να τα αναλύσει?
• στο a = 0Και b = 0η εξίσωση θα έχει άπειρες ρίζες, δηλ. οποιοσδήποτε αριθμός θα γίνει η ρίζα της δεδομένης εξίσωσης.
• στο a = 0Και b ≠ 0
• στο ένα, διαφορετικά από το μηδέν, αρχίζουμε να ψάχνουμε για τη μοναδική ρίζα της αρχικής γραμμικής εξίσωσης:

1. ας μετακινήσουμε τον συντελεστή σιστη δεξιά πλευρά με αλλαγή του πρόσημου στο αντίθετο, φέρνοντας τη γραμμική εξίσωση στη μορφή a · x = − b ;
2. διαιρέστε και τις δύο πλευρές της ισότητας που προκύπτει με τον αριθμό ένα, που θα μας δώσει την επιθυμητή ρίζα της δεδομένης εξίσωσης: x = - b α.

Στην πραγματικότητα, η περιγραφόμενη ακολουθία ενεργειών είναι η απάντηση στο ερώτημα πώς να βρεθεί μια λύση σε μια γραμμική εξίσωση.

Τέλος, ας διευκρινίσουμε ότι οι εξισώσεις της μορφής a x = βλύνονται χρησιμοποιώντας παρόμοιο αλγόριθμο με μόνη διαφορά ότι ο αριθμός σισε ένα τέτοιο ρεκόρ έχει ήδη μεταφερθεί σε το δεξί μέροςεξισώσεις, και με a ≠ 0μπορείτε να διαιρέσετε αμέσως τα μέρη μιας εξίσωσης με έναν αριθμό ένα.

Έτσι, για να βρεθεί μια λύση στην εξίσωση a x = b,χρησιμοποιούμε τον παρακάτω αλγόριθμο:

• στο a = 0Και b = 0η εξίσωση θα έχει άπειρες ρίζες, δηλ. οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γίνει η ρίζα του.
• στο a = 0Και b ≠ 0η δεδομένη εξίσωση δεν θα έχει ρίζες.
• στο ένα, όχι ίσο με μηδέν, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης διαιρούνται με τον αριθμό ένα, που καθιστά δυνατή την εύρεση της μοναδικής ρίζας που είναι ίση με β α.

Παραδείγματα επίλυσης γραμμικών εξισώσεων

Παράδειγμα 3

Η γραμμική εξίσωση πρέπει να λυθεί 0 x − 0 = 0.

Λύση

Γράφοντας τη δεδομένη εξίσωση βλέπουμε ότι a = 0Και b = − 0(ή b = 0,που είναι το ίδιο). Έτσι, μια δεδομένη εξίσωση μπορεί να έχει άπειρο αριθμό ριζών ή οποιονδήποτε αριθμό.

Απάντηση: Χ- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ.

Παράδειγμα 4

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν η εξίσωση έχει ρίζες 0 x + 2, 7 = 0.

Λύση

Από την εγγραφή προσδιορίζουμε ότι a = 0, b = 2, 7. Έτσι, η δεδομένη εξίσωση δεν θα έχει ρίζες.

Απάντηση:η αρχική γραμμική εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Παράδειγμα 5

Δίνεται γραμμική εξίσωση 0,3 x − 0,027 = 0.Πρέπει να επιλυθεί.

Λύση

Γράφοντας την εξίσωση προσδιορίζουμε ότι a = 0, 3; b = - 0,027, που μας επιτρέπει να υποστηρίξουμε ότι η δεδομένη εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα.

Ακολουθώντας τον αλγόριθμο, μετακινούμε το b στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, αλλάζοντας το πρόσημο, παίρνουμε: 0,3 x = 0,027.Στη συνέχεια, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ισότητας που προκύπτει με a = 0, 3, μετά: x = 0, 027 0, 3.

Ας διαιρέσουμε τα δεκαδικά κλάσματα:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι η ρίζα της δεδομένης εξίσωσης.

Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση ως εξής:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

Απάντηση: x = 0,09.

Για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε τη λύση της εξίσωσης γραφής a x = β.

Παράδειγμα Ν

Οι εξισώσεις που δίνονται είναι: 1) 0 · x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Πρέπει να επιλυθούν.

Λύση

Ολα δεδομένες εξισώσειςαντιστοιχούν τα αρχεία a x = β. Ας το δούμε ένα προς ένα.

Στην εξίσωση 0 x = 0, a = 0 και b = 0, που σημαίνει: οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης.

Στη δεύτερη εξίσωση 0 x = − 9: a = 0 και b = − 9,Έτσι, αυτή η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες.

Με βάση τη μορφή της τελευταίας εξίσωσης - 3 8 · x = - 3 3 4, γράφουμε τους συντελεστές: a = - 3 8, b = - 3 3 4, δηλ. η εξίσωση έχει μία ρίζα. Ας τον βρούμε. Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το a, με αποτέλεσμα: x = - 3 3 4 - 3 8. Απλοποιήστε το κλάσμα χρησιμοποιώντας τον κανόνα της διαίρεσης αρνητικούς αριθμούςακολουθούμενη από μετάφραση μικτός αριθμός V κοινό κλάσμακαι διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση ως εξής:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Απάντηση: 1) Χ– οποιοσδήποτε αριθμός, 2) η εξίσωση δεν έχει ρίζες, 3) x = 10.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter