Τι σημαίνουν ολόκληρες εκφράσεις. Μάθημα «Αλγεβρικά κλάσματα, ορθολογικές και κλασματικές εκφράσεις

«Μάθημα πολυωνύμου» - Και ελέγξτε: 2. Εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό των πολυωνύμων: 4. Εκτελέστε τη διαίρεση του πολυωνύμου A (x) με το B (x). 3. Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο. 1. Εκτελέστε πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων: P(x)=-2x3 + x2 -x-12 και Q(x)= x3 -3x2 -4x+1. Δράσεις με πολυώνυμα. Μάθημα 15

«Μετατροπή ακέραιας έκφρασης σε πολυώνυμο» - Αναπτύξτε τις υπολογιστικές δεξιότητες των μαθητών. Εισαγάγετε την έννοια μιας ολόκληρης έκφρασης. Μετατροπή ακέραιων εκφράσεων. Τα πολυώνυμα και, ειδικότερα, τα μονώνυμα είναι ακέραιες εκφράσεις. Ασκήστε τους μαθητές στο να φέρνουν παρόμοιους όρους. Παραδείγματα ακέραιων παραστάσεων είναι: 10y?+(3x+y)(x?-10y?), 2b(b?-10c?)-(b?+2c?), 3a?-(a(a+2c) ) /5+2,5ac.

"Πολυωνυμικός πολλαπλασιασμός" - -x6+3x7-2x4+5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3+3x2+5x-6. Παρουσίαση. Ο αριθμός θέσης ενός πολυωνύμου. Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων με χρήση αριθμού θέσης. Ryabov Pavel Yurievich. Επικεφαλής: Kaleturina A.S.

"Τυπική μορφή πολυωνύμου" - Η τυπική μορφή ενός πολυωνύμου. Παραδείγματα. 3x4 + 2x3 - x2 + 5. Πρόσθεση πολυωνύμων. Προετοιμασία για το s / r No. 6. Λεξιλόγιο. Κεφάλαιο 2, §1β. Για πολυώνυμα με ένα γράμμα, ο κύριος όρος ορίζεται μοναδικά. Δοκίμασε τον εαυτό σου. 6x4 - x3y + x2y2 + 2y4.

"Πολυώνυμα" - Ένα μονώνυμο θεωρείται ένα πολυώνυμο που αποτελείται από ένα μέλος. Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων. Αλγεβρα. Πολυώνυμα. Πολλαπλασιάστε το πολυώνυμο a+b με το πολυώνυμο c+d. Γινόμενο μονωνύμου και πολυωνύμου Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο. Παρόμοιοι όροι είναι τα μέλη 2 και -7, τα οποία δεν έχουν γράμμα. Οι όροι του πολυωνύμου 4xz-5xy+3x-1 είναι 4xz, -5xy, 3x και -1.

«Lesson Factoring» - Εφαρμογή FSU. Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Θέμα μαθήματος: Απαντήσεις: var 1: b, d, b, d, c; var 2: a, d, c, b, a; var 3: c, c, c, a, b; Επιλογή 4: δ, δ, γ, β, δ. Πώς λοιπόν; Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων. 3. Ολοκληρώστε την παραγοντοποίηση: Ομαδική εργασία: Βάλτε τον κοινό παράγοντα εκτός παρένθεσης. 1. Ολοκληρώστε την παραγοντοποίηση: α).

Χάρη στο μάθημα της άλγεβρας, είναι γνωστό ότι όλες οι εκφράσεις απαιτούν μετασχηματισμό για μια πιο βολική λύση. Ο ορισμός ακέραιων εκφράσεων ενθαρρύνει τους ίδιους μετασχηματισμούς για αρχή. Θα μετατρέψουμε την έκφραση σε πολυώνυμο. Εν κατακλείδι, ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Ορισμός και παραδείγματα ακέραιων εκφράσεων

Ορισμός 1

Ακέραιες εκφράσειςείναι αριθμοί, μεταβλητές ή εκφράσεις με πρόσθεση ή αφαίρεση, που γράφονται ως δύναμη με φυσικό εκθέτη, που έχουν επίσης αγκύλες ή διαίρεση εκτός του μηδενός.

Με βάση τον ορισμό, έχουμε ότι παραδείγματα ακέραιων παραστάσεων: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6 και ούτω καθεξής, και μεταβλητές της μορφής a , b , p , q , x , z θεωρούνται ακέραιες εκφράσεις. Μετά τη μετατροπή τους σε αθροίσματα, διαφορές, προϊόντα, οι εκφράσεις θα πάρουν τη μορφή

x + 1 , 5 y 3 2 3 7 − 2 y − 3 , 3 − x y z 4 , - 6 7 , 5 (2 x + 3 y 2) 2 − - ( 1 − x) (1 + x) (1 + x 2)

Εάν η παράσταση περιέχει μια διαίρεση με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν της μορφής x: 5 + 8: 2: 4 ή (x + y) : 6 , τότε η διαίρεση μπορεί να συμβολιστεί με κάθετο, ως x + 3 5 - 3 , 2 x + 2 . Όταν εξετάζουμε εκφράσεις της μορφής x: 5 + 5: x ή 4 + a 2 + 2 a - 6 a + b + 2 c, είναι σαφές ότι τέτοιες εκφράσεις δεν μπορούν να είναι ακέραιοι, αφού στην πρώτη υπάρχει μια διαίρεση με το μεταβλητή x και στη δεύτερη σε έκφραση με μεταβλητή.

Το πολυώνυμο και το μονώνυμο είναι ακέραιες εκφράσεις που συναντάμε στο σχολείο όταν εργαζόμαστε με ρητούς αριθμούς. Με άλλα λόγια, οι ακέραιες εκφράσεις δεν περιλαμβάνουν παράλογα κλάσματα. Ένα άλλο όνομα είναι ολόκληρες παράλογες εκφράσεις.

Ποιοι μετασχηματισμοί ακέραιων εκφράσεων είναι δυνατοί;

Οι ακέραιες εκφράσεις θεωρούνται κατά την επίλυση ως βασικοί πανομοιότυποι μετασχηματισμοί, ανοίγοντας αγκύλες, ομαδοποίηση, αναγωγή παρόμοιων.

Παράδειγμα 1

Ανοίξτε τις αγκύλες και φέρτε όμοιους όρους σε 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Απόφαση

Πρώτα πρέπει να εφαρμόσετε τον κανόνα για το άνοιγμα αγκύλων. Παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = = 2 a 3 + 2 3 a b + 2 (− 2 a) − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = 2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b

Τότε μπορούμε να προσθέσουμε παρόμοιους όρους:

2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = (2 a 3 − 2 a 3) + (6 a b − 5 a b) + (− 4 a + 6 a) − b = = 0 + a b + 2 a − b = a b + 2 a − b .

Αφού τα μειώσουμε, παίρνουμε ένα πολυώνυμο της μορφής a · b + 2 · a − b .

Απάντηση: 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = a b + 2 a − b.

Παράδειγμα 2

Κάντε μετασχηματισμούς (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Απόφαση

Η υπάρχουσα διαίρεση μπορεί να αντικατασταθεί με πολλαπλασιασμό, αλλά από το αντίστροφο του αριθμού. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν μετασχηματισμοί, μετά τους οποίους η έκφραση θα πάρει τη μορφή (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Τώρα θα πρέπει να ασχοληθούμε με τη μείωση όμοιων όρων. Το καταλαβαίνουμε

(x - 1) 3 2 + 2 (x 2 + 1) 1 3 1 7 = 3 2 (x - 1) + 2 21 x 2 + 1 = = 3 2 x - 3 2 + 2 21 x 2 + 2 21 = 2 21 x 2 + 3 2 x - 59 42 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42

Απάντηση: (x - 1) : 2 3 + 2 (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42 .

Παράδειγμα 3

Να εκφράσετε την παράσταση 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) ως γινόμενο.

Απόφαση

Έχοντας εξετάσει την έκφραση, είναι σαφές ότι οι τρεις πρώτοι όροι έχουν έναν κοινό παράγοντα της μορφής 6 · y , ο οποίος θα πρέπει να αφαιρεθεί από αγκύλες κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού. Τότε το καταλαβαίνουμε 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = 6 y (x 2 + 3 x − 1) - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x)

Φαίνεται ότι λάβαμε τη διαφορά δύο παραστάσεων της μορφής 6 y (x 2 + 3 x - 1) και (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) με κοινό παράγοντα x 2 + 3 x − 1 , το οποίο πρέπει να αφαιρεθεί από αγκύλες. Το καταλαβαίνουμε

6 y (x 2 + 3 x − 1) − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) (6 y − (x 3 + 4 x) )

Αφού ανοίξαμε τις αγκύλες, έχουμε μια έκφραση της μορφής (x 2 + 3 x - 1) (6 y - x 3 - 4 x) , η οποία έπρεπε να βρεθεί κατά συνθήκη.

Απάντηση:6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) ( 6 y − x 3 − 4 x)

Οι ίδιοι μετασχηματισμοί απαιτούν αυστηρή εφαρμογή της σειράς των εργασιών.

Παράδειγμα 4

Μετατροπή έκφρασης (3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8.

Απόφαση

Εκτελείτε πρώτα τις ενέργειες σε παρένθεση. Τότε το έχουμε 3 2 - 6 2: 9 = 3 2 - 3 6: 9 = 6 - 4 = 2. Μετά από μετασχηματισμούς, η έκφραση γίνεται 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Είναι γνωστό ότι 2 3 = 8 και (x 2) 4 = x 2 4 = x 8, τότε μπορείτε να καταλήξετε σε μια έκφραση όπως 8 x 8 + 4 x: 8 . Ο δεύτερος όρος απαιτεί την αντικατάσταση της διαίρεσης με πολλαπλασιασμό από 4x:8. Ομαδοποιώντας τους παράγοντες, το καταλαβαίνουμε

8 x 8 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 4 x 1 8 = 8 x 8 + 4 1 8 x = 8 x 8 + 1 2 x

Απάντηση:(3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 1 2 x .

Πολυωνυμική μετατροπή

Οι περισσότερες από τις μετατροπές των ακέραιων εκφράσεων είναι πολυωνυμικές αναπαραστάσεις. Οποιαδήποτε έκφραση μπορεί να αναπαρασταθεί ως πολυώνυμο, Κάθε έκφραση μπορεί να θεωρηθεί ως πολυώνυμα που συνδέονται με αριθμητικά πρόσημα. Οποιαδήποτε πράξη σε πολυώνυμα έχει ως αποτέλεσμα ένα πολυώνυμο.

Για να αναπαρασταθεί η παράσταση ως πολυώνυμο, είναι απαραίτητο να εκτελεστούν όλες οι ενέργειες με πολυώνυμα, σύμφωνα με τον αλγόριθμο.

Παράδειγμα 5

Εκφράστε ως πολυώνυμο 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Απόφαση

Σε αυτήν την παράσταση, ξεκινήστε τους μετασχηματισμούς με μια έκφραση της μορφής 4 x - x (15 x + 1) , και σύμφωνα με τον κανόνα, στην αρχή εκτελώντας πολλαπλασιασμό ή διαίρεση, μετά την οποία πρόσθεση ή αφαίρεση. Πολλαπλασιάζουμε - x με 15 x + 1, και τότε παίρνουμε 4 x - x (15 x + 1) = 4 x - 15 x 2 - x = (4 x - x) - 15 x 2 = 3 x - 15 x 2. Η δοθείσα έκφραση θα πάρει τη μορφή 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (3 x - 15 x 2) .

Στη συνέχεια, πρέπει να αυξήσετε το πολυώνυμο στη 2η δύναμη 2x-1, παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας (2 x − 1) 2 = (2 x − 1) (2 x − 1) = 4 x 2 + 2 x (− 1) − 1 2 x − 1 (− 1 ) = = 4 x 2 − 4 x + 1

Τώρα μπορούμε να πάμε στη θέα 2 (2 x 3 - 1) + (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) + (3 x - 15 x 2).

Ας δούμε τον πολλαπλασιασμό. Μπορεί να φανεί ότι 2 (2 x 3 - 1) = 4 x 3 - 2 και (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) = 12 x 2 - 4 x 3 - 12 x + 4 x 2 + 3 - x = = 16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3

τότε μπορείτε να κάνετε μια μετάβαση σε μια έκφραση της φόρμας (4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2).

Εκτελούμε πρόσθεση, μετά από την οποία φτάνουμε στην έκφραση:

(4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2) = = 4 x 3 - 2 + 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3 + 3 x − 15 x 2 = = (4 x 3 − 4 x 3) + (16 x 2 − 15 x 2) + (− 13 x + 3 x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 x + 1 = x 2 − 10 x + 1 .

Από αυτό προκύπτει ότι η αρχική έκφραση έχει τη μορφή x 2 − 10 x + 1.

Απάντηση: 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (4 x - x (15 x + 1)) = x 2 - 10 x + 1.

Ο πολλαπλασιασμός και η εκτίμηση ενός πολυωνύμου υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού για να επιταχυνθεί η διαδικασία μετατροπής. Αυτό συμβάλλει στο γεγονός ότι οι ενέργειες θα εκτελούνται ορθολογικά και σωστά.

Παράδειγμα 6

Μετατροπή 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Απόφαση

Από τον τύπο του τετραγώνου, το παίρνουμε (2 m + n) 2 = (2 m) 2 + 2 (2 m) n + n 2 = 4 m 2 + 4 m n + n 2, τότε το γινόμενο (m − 2 n) (m + 2 n) ισούται με τη διαφορά των τετραγώνων m και 2 n , άρα ισούται m 2 − 4 n 2. Καταλαβαίνουμε ότι η αρχική έκφραση παίρνει τη μορφή 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 4 (4 m 2 + 4 m n + n 2) + (m 2 − 4 n 2) = = 16 m 2 + 16 m n + 4 n 2 + m 2 − 4 n 2 = 17 m 2 + 16 m n

Απάντηση: 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 17 m 2 + 16 m n.

Για να μην είναι πολύ μεγάλος ο μετασχηματισμός, είναι απαραίτητο να φέρετε τη δεδομένη έκφραση στην τυπική μορφή.

Παράδειγμα 7

Απλοποιήστε την έκφραση (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + (5 a b (− 3) b 2)

Απόφαση

Τις περισσότερες φορές, τα πολυώνυμα και τα μονώνυμα δεν δίνονται σε τυπική μορφή, επομένως πρέπει να εκτελέσετε μετασχηματισμούς. Θα πρέπει να μετατραπεί για να ληφθεί μια έκφραση της φόρμας − 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3. Για να φέρετε παρόμοια, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε πρώτα τον πολλαπλασιασμό σύμφωνα με τους κανόνες μετατροπής μιας σύνθετης έκφρασης. Παίρνουμε μια έκφραση όπως

− 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + (2 a 3 b + a b) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + 12 a 4 b + 30 a 3 b 3 + 6 a 2 b + 15 a b 3 − 15 a b 3 = = (− 12 a 4 b + 12 a 4 b) + (− 30 a 3 b 3 + 30 a 3 b 3) + 6 a 2 b + (15 a b 3 − 15 a b 3) = 6 α 2 β

Απάντηση: (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + + (5 a b (− 3) b 2) = 6 α 2 β

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

«Αλγεβρικά κλάσματα, ορθολογικές και κλασματικές εκφράσεις».

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικά: εισαγωγή της έννοιας ενός αλγεβρικού κλάσματος, ορθολογικές και κλασματικές εκφράσεις, το εύρος των αποδεκτών τιμών,

Ανάπτυξη: ο σχηματισμός δεξιοτήτων κριτικής σκέψης, ανεξάρτητης αναζήτησης πληροφοριών, ερευνητικές δεξιότητες.

Εκπαιδευτικά: εκπαίδευση συνειδητής στάσης εργασίας, διαμόρφωση επικοινωνιακών δεξιοτήτων, διαμόρφωση αυτοεκτίμησης.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή:

Χαιρετίσματα. Ανακοίνωση του θέματος του μαθήματος.

2. Κίνητρα μαθήματος.

Οι Γερμανοί έχουν ένα τέτοιο ρητό "To get into the shot", που σημαίνει να μπεις σε ένα αδιέξοδο, μια δύσκολη κατάσταση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για μεγάλο χρονικό διάστημα οι ενέργειες με κλασματικούς αριθμούς, που μερικές φορές ονομάζονταν "σπασμένες γραμμές", θεωρούνταν δικαίως πολύ περίπλοκες.

Αλλά τώρα είναι συνηθισμένο να εξετάζουμε όχι μόνο αριθμητικά, αλλά και αλγεβρικά κλάσματα, τα οποία θα κάνουμε σήμερα.

Η επιτυχία δεν είναι προορισμός. Αυτή η κίνηση

Τ. Πιο γρήγορα.

3. Πραγματοποίηση βασικών γνώσεων.

μπροστινή δημοσκόπηση.

Τι είναι οι ακέραιες εκφράσεις; Από τι είναι φτιαγμένα? Μια ακέραια έκφραση έχει νόημα για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών της.

Δώσε παραδείγματα.

Τι είναι ένα κλάσμα;

Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος;

Τι σημαίνει παραγοντοποίηση;

Ποιες μεθόδους αποσύνθεσης γνωρίζετε;

Ποιο είναι το τετράγωνο του αθροίσματος (διαφορά);

Ποια είναι η διαφορά των τετραγώνων;

4. Εκμάθηση νέου υλικού.

Στην 8η τάξη θα εξοικειωθούμε με τις κλασματικές εκφράσεις.

Διαφέρουν από τους ακέραιους στο ότι περιέχουν την ενέργεια της διαίρεσης από μια παράσταση με μια μεταβλητή.

Εάν μια αλγεβρική παράσταση αποτελείται από αριθμούς και μεταβλητές χρησιμοποιώντας τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, εκθέσεως με φυσικό εκθέτη και διαίρεση και χρησιμοποιώντας διαίρεση σε παραστάσεις με μεταβλητές, τότε ονομάζεται κλασματική έκφραση.

Οι κλασματικές εκφράσεις δεν έχουν νόημα για τις τιμές των μεταβλητών που μετατρέπουν τον παρονομαστή σε μηδέν.

Ο τομέας αποδεκτών τιμών (ODV) μιας αλγεβρικής παράστασης είναι το σύνολο όλων των αποδεκτών συνόλων τιμών των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτήν την έκφραση.

Οι ακέραιες και οι κλασματικές εκφράσεις ονομάζονται ορθολογικές εκφράσεις

ένα ξεχωριστό είδος ορθολογικής έκφρασης είναι ένα ορθολογικό κλάσμα. Αυτό είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα.

Ποιες εκφράσεις είναι ακέραιοι και ποιες κλασματικές; (ή #1)

5. Φυσικό λεπτό

6. Ενοποίηση νέου υλικού.

Λύστε #2, 3(1), 5(1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11), 7(1).

7. Ανεξάρτητη εργασία μαθητών (σε ομάδες).

Λύστε #3(2), 5(2, 5, 8, 12), 7(2).

8. Αντανάκλαση.

Ήταν δύσκολη η ύλη του μαθήματος για εσάς;

Σε ποιο στάδιο του μαθήματος ήταν το πιο δύσκολο, πιο εύκολο;

Τι καινούργιο μάθατε στο μάθημα; Τι έμαθες?

Δούλεψες σκληρά στην τάξη;

Πόσο συναισθηματικά νιώσατε κατά τη διάρκεια του μαθήματος;

Δ/Ζ: μάθε το στοιχείο 1, ερωτήσεις σελ.7, λύσε το Νο 4, 6, 8.

Sincwine.

Κάθε ομάδα κάνει ένα συγχρονισμό για τη λέξη "κλάσμα".

Αν γνωρίζετε κλάσματα

Για να κατανοήσουμε την ακριβή τους σημασία

Ακόμα και οι δύσκολες εργασίες γίνονται εύκολα.

Μια ακέραια παράσταση είναι μια μαθηματική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς και κυριολεκτικές μεταβλητές χρησιμοποιώντας τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού. Οι ακέραιοι περιλαμβάνουν επίσης εκφράσεις που περιλαμβάνουν διαίρεση με κάποιον αριθμό εκτός από το μηδέν.

Παραδείγματα ακέραιων εκφράσεων

Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα ακέραιων εκφράσεων:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Κλασματικές εκφράσεις

Εάν η παράσταση περιέχει μια διαίρεση με μια μεταβλητή ή από μια άλλη παράσταση που περιέχει μια μεταβλητή, τότε μια τέτοια παράσταση δεν είναι ακέραιος. Μια τέτοια έκφραση ονομάζεται κλασματική έκφραση. Ας δώσουμε έναν πλήρη ορισμό μιας κλασματικής έκφρασης.

Μια κλασματική έκφραση είναι μια μαθηματική έκφραση που, εκτός από τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού που εκτελούνται με αριθμούς και κυριολεκτικές μεταβλητές, καθώς και διαίρεση με αριθμό όχι ίσο με το μηδέν, περιέχει επίσης διαίρεση σε εκφράσεις με κυριολεκτικές μεταβλητές.

Παραδείγματα κλασματικών εκφράσεων:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Οι κλασματικές και ακέραιες εκφράσεις αποτελούν δύο μεγάλα σύνολα μαθηματικών παραστάσεων. Εάν αυτά τα σύνολα συνδυαστούν, τότε παίρνουμε ένα νέο σύνολο, το οποίο ονομάζεται ορθολογικές εκφράσεις. Δηλαδή, οι ορθολογικές εκφράσεις είναι όλες ακέραιες και κλασματικές εκφράσεις.

Γνωρίζουμε ότι οι ακέραιες εκφράσεις έχουν νόημα για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτές. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι για να βρεθεί η τιμή μιας ακέραιας παράστασης, είναι απαραίτητο να εκτελεστούν ενέργειες που είναι πάντα δυνατές: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.

Οι κλασματικές εκφράσεις, σε αντίθεση με τις ακέραιες, μπορεί να μην έχουν νόημα. Δεδομένου ότι υπάρχει μια λειτουργία διαίρεσης με μια μεταβλητή ή μια παράσταση που περιέχει μεταβλητές και αυτή η έκφραση μπορεί να μετατραπεί σε μηδέν, αλλά η διαίρεση με το μηδέν είναι αδύνατη. Οι μεταβλητές τιμές για τις οποίες θα έχει νόημα η κλασματική έκφραση ονομάζονται έγκυρες τιμές μεταβλητής.

ορθολογικό κλάσμα

Μία από τις ειδικές περιπτώσεις ορθολογικών εκφράσεων θα είναι ένα κλάσμα, του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα. Για ένα τέτοιο κλάσμα στα μαθηματικά, υπάρχει επίσης ένα όνομα - ένα ορθολογικό κλάσμα.

Ένα ορθολογικό κλάσμα θα έχει νόημα αν ο παρονομαστής του δεν είναι ίσος με μηδέν. Δηλαδή, όλες οι τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ο παρονομαστής του κλάσματος είναι διαφορετικός από το μηδέν θα ισχύουν.