Τύπος Bernoulli για διαφορετικές πιθανότητες. Γενίκευση του σχήματος Bernoulli

Ας διεξαχθούν δοκιμές σχετικά με το συμβάν Α. Ας εισαγάγουμε τα ακόλουθα συμβάντα: Аk -- γεγονός Α πραγματοποιήθηκε κατά τη διάρκεια του k-ου τεστ, $ k=1,2,\dots , n$. Τότε το $\bar(A)_(k) $ είναι το αντίθετο γεγονός (το συμβάν Α δεν συνέβη κατά τη διάρκεια της k-ης δοκιμής, $k=1,2,\dots , n$).

Τι είναι οι ομότιμες και ανεξάρτητες δοκιμές

Ορισμός

Οι δοκιμές καλούνται του ίδιου τύπου σε σχέση με το συμβάν A εάν οι πιθανότητες των γεγονότων $A1, A2, \dots , An$ είναι οι ίδιες: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (δηλαδή, η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α σε μια δοκιμή είναι σταθερή σε όλες τις δοκιμές).

Προφανώς, σε αυτή την περίπτωση οι πιθανότητες αντίθετα γεγονόταταιριάζουν επίσης: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A)_(n))$.

Ορισμός

Οι δοκιμές ονομάζονται ανεξάρτητες σε σχέση με το συμβάν Α εάν τα συμβάντα $A1, A2, \dots , An$ είναι ανεξάρτητα.

Σε αυτήν την περίπτωση

Σε αυτήν την περίπτωση, η ισότητα διατηρείται όταν οποιοδήποτε γεγονός Ak αντικαθίσταται από $\bar(A)_(k) $.

Έστω, σε σχέση με το γεγονός Α, μια σειρά από n παρόμοια ανεξάρτητα τεστ. Φέρνουμε τον συμβολισμό: p - η πιθανότητα του γεγονότος Α σε ένα τεστ. q είναι η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος. Έτσι P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ για οποιοδήποτε k και p+q=1.

Η πιθανότητα ότι σε μια σειρά n δοκιμών το γεγονός A θα συμβεί ακριβώς k φορές (0 ≤ k ≤ n) υπολογίζεται από τον τύπο:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Η ισότητα (1) ονομάζεται τύπος Bernoulli.

Η πιθανότητα ότι σε μια σειρά από n ανεξάρτητες δοκιμές του ίδιου τύπου το γεγονός Α θα συμβεί τουλάχιστον k1 φορές και το πολύ k2 φορές υπολογίζεται από τον τύπο:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Εφαρμογή του τύπου Bernoulli για μεγάλες αξίεςΤο n οδηγεί σε δυσκίνητους υπολογισμούς, επομένως σε αυτές τις περιπτώσεις είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε άλλους τύπους - ασυμπτωτικούς.

Γενίκευση του σχήματος Bernoulli

Εξετάστε μια γενίκευση του σχήματος Bernoulli. Αν σε μια σειρά από n ανεξάρτητες δοκιμές, καθεμία από τις οποίες έχει m ασυμβίβαστα κατά ζεύγη και πιθανά αποτελέσματα Ak με αντίστοιχες πιθανότητες Рk= рk(Аk). Τότε ισχύει ο τύπος πολυωνυμικής κατανομής:

Παράδειγμα 1

Η πιθανότητα να κολλήσετε γρίπη κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας είναι 0,4. Βρείτε την πιθανότητα από τους 6 υπαλλήλους της εταιρείας να αρρωστήσουν

Ακριβώς 4 εργαζόμενοι?
όχι περισσότερους από 4 εργαζόμενους.

Απόφαση. 1) Προφανώς, για την επίλυση αυτού του προβλήματος, ισχύει ο τύπος Bernoulli, όπου n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0,6. Εφαρμόζοντας τον τύπο (1), παίρνουμε: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \περίπου 0,138$.

Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, ισχύει ο τύπος (2), όπου k1=0 και k2=4. Εχουμε:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ περίπου 0,959.) \end(array)\]

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αυτή η εργασία είναι πιο εύκολο να λυθεί χρησιμοποιώντας το αντίθετο γεγονός - περισσότεροι από 4 υπάλληλοι αρρώστησαν. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (7) σχετικά με τις πιθανότητες αντίθετων γεγονότων, παίρνουμε:

Απάντηση: $\ $0,959.

Παράδειγμα 2

Ένα δοχείο περιέχει 20 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες. Βγάζονται 4 μπάλες και κάθε μπάλα που βγαίνει επιστρέφεται στη λάρνακα πριν τραβηχτεί η επόμενη και αναμειγνύονται οι μπάλες στη λάρνακα. Βρείτε την πιθανότητα ότι από τις τέσσερις μπάλες που κληρώθηκαν θα υπάρχουν 2 λευκές μπάλες στο σχήμα 1.

Εικόνα 1.

Απόφαση. Αφήστε το γεγονός Α να συνίσταται στο γεγονός ότι - πήρε λευκή μπάλα. Τότε οι πιθανότητες $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \δεξιά)^(2) =\frac(8)(27) $.

Απάντηση: $\frac(8)(27) $.

Παράδειγμα 3

Προσδιορίστε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να μην έχει περισσότερα από 3 κορίτσια. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες.

Απόφαση. Πιθανότητα να έχετε κορίτσι $\μερική =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-πιθανότητα να αποκτήσετε αγόρι. Δεν υπάρχουν περισσότερα από τρία κορίτσια σε μια οικογένεια, που σημαίνει ότι γεννήθηκαν είτε ένα, είτε δύο, είτε τρία κορίτσια, είτε όλα τα αγόρια της οικογένειας.

Βρείτε τις πιθανότητες να μην υπάρχουν κορίτσια στην οικογένεια, γεννήθηκαν ένα, δύο ή τρία κορίτσια: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Επομένως, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Απάντηση: $\frac(13)(16)$.

Παράδειγμα 4

Ο πρώτος σουτέρ με μία βολή μπορεί να χτυπήσει την πρώτη δεκάδα με πιθανότητα 0,6, ο εννιά με πιθανότητα 0,3 και ο οκτώ με πιθανότητα 0,1. Ποια είναι η πιθανότητα, με 10 βολές, να χτυπήσει δέκα έξι φορές, εννέα τρεις φορές και οκτώ οκτώ φορές;

Σκεφτείτε Διωνυμική κατανομή, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τρόπο λειτουργίας του. Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση MS EXCEL BINOM.DIST(), θα σχεδιάσουμε τα γραφήματα της συνάρτησης κατανομής και της πυκνότητας πιθανότητας. Ας υπολογίσουμε την παράμετρο κατανομής p, μαθηματική προσδοκίαδιανομή και τυπική απόκλιση. Εξετάστε επίσης την κατανομή Bernoulli.

Ορισμός. Ας κρατηθούν nτεστ, σε καθένα από τα οποία μπορούν να συμβούν μόνο 2 συμβάντα: το γεγονός «επιτυχία» με πιθανότητα Π ή το συμβάν «αποτυχία» με την πιθανότητα q =1-p (το λεγόμενο Σχέδιο Bernoulli,Μπερνούλιδοκιμές).

Πιθανότητα να πάρει ακριβώς Χ επιτυχία σε αυτά n οι δοκιμές είναι ίσες με:

Αριθμός επιτυχιών στο δείγμα Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή που έχει Διωνυμική κατανομή(Αγγλικά) Διωνυμικόςκατανομή) Πκαι n– είναι παράμετροι αυτής της κατανομής.

Θυμηθείτε ότι για να κάνετε αίτηση Σχέδια Bernoulliκαι αντίστοιχα διωνυμική κατανομή,πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

κάθε δοκιμή πρέπει να έχει ακριβώς δύο αποτελέσματα, που ονομάζονται υπό όρους «επιτυχία» και «αποτυχία».
το αποτέλεσμα κάθε δοκιμής δεν πρέπει να εξαρτάται από τα αποτελέσματα προηγούμενων δοκιμών (ανεξαρτησία δοκιμής).
ποσοστο επιτυχιας Π πρέπει να είναι σταθερή για όλες τις δοκιμές.

Διωνυμική κατανομή στο MS EXCEL

Στο MS EXCEL, ξεκινώντας από την έκδοση 2010, για Διωνυμική κατανομήυπάρχει μια συνάρτηση BINOM.DIST() , Αγγλικός τίτλος- BINOM.DIST(), που σας επιτρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι το δείγμα θα είναι ακριβώς Χ«επιτυχίες» (δηλ. συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p(x), βλέπε τύπο παραπάνω), και συνάρτηση ολοκληρωμένης διανομής(πιθανότητα να έχει το δείγμα Χή λιγότερες "επιτυχίες", συμπεριλαμβανομένων 0).

Πριν από το MS EXCEL 2010, το EXCEL είχε τη συνάρτηση BINOMDIST(), η οποία σας επιτρέπει επίσης να υπολογίζετε συνάρτηση διανομήςκαι πυκνότητα πιθανότητας p(x). Το BINOMDIST() παραμένει στο MS EXCEL 2010 για συμβατότητα.

Το αρχείο παραδείγματος περιέχει γραφήματα πυκνότητα κατανομής πιθανότηταςκαι .

Διωνυμική κατανομήέχει τον χαρακτηρισμό σι(n; Π) .

Σημείωση: Για δόμηση συνάρτηση ολοκληρωμένης διανομήςτέλειος τύπος γραφήματος Πρόγραμμα, Για πυκνότητα κατανομής – Ιστόγραμμα με ομαδοποίηση. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τα γραφήματα δόμησης, διαβάστε το άρθρο Οι κύριοι τύποι διαγραμμάτων.

Σημείωση: Για τη διευκόλυνση της εγγραφής τύπων στο αρχείο παραδείγματος, έχουν δημιουργηθεί ονόματα για παραμέτρους Διωνυμική κατανομή: n και p.

Το αρχείο παραδείγματος δείχνει διάφορους υπολογισμούς πιθανοτήτων χρησιμοποιώντας συναρτήσεις MS EXCEL:

Όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα, υποτίθεται ότι:

Ο άπειρος πληθυσμός από τον οποίο γίνεται το δείγμα περιέχει 10% (ή 0,1) καλά στοιχεία (παράμετρος Π, τρίτο όρισμα συνάρτησης =BINOM.DIST() )
Να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι σε ένα δείγμα 10 στοιχείων (παράμετρος n, το δεύτερο όρισμα της συνάρτησης) θα υπάρχουν ακριβώς 5 έγκυρα στοιχεία (το πρώτο όρισμα), πρέπει να γράψετε τον τύπο: =BINOM.DIST(5, 10, 0,1, FALSE)
Το τελευταίο, τέταρτο στοιχείο ορίζεται = FALSE, δηλ. επιστρέφεται η τιμή της συνάρτησης πυκνότητα κατανομής.

Εάν η τιμή του τέταρτου ορίσματος = TRUE, τότε η συνάρτηση BINOM.DIST() επιστρέφει την τιμή συνάρτηση ολοκληρωμένης διανομήςή απλά συνάρτηση διανομής. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα από την οποία θα προέρχεται ο αριθμός των καλών στοιχείων στο δείγμα ορισμένο εύρος, για παράδειγμα, 2 ή λιγότερο (συμπεριλαμβανομένου του 0).

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γράψετε τον τύπο:
= BINOM.DIST(2, 10, 0.1, TRUE)

Σημείωση: Για μια μη ακέραια τιμή του x, . Για παράδειγμα, οι ακόλουθοι τύποι θα επιστρέψουν την ίδια τιμή:
=BINOM.DIST( 2 ; 10; 0,1; ΑΛΗΘΗΣ)
=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0,1; ΑΛΗΘΗΣ)

Σημείωση: Στο αρχείο παραδείγματος πυκνότητα πιθανότηταςκαι συνάρτηση διανομήςυπολογίζεται επίσης χρησιμοποιώντας τον ορισμό και τη συνάρτηση COMBIN().

Δείκτες διανομής

ΣΤΟ παράδειγμα αρχείου σε φύλλο Παράδειγμαυπάρχουν τύποι για τον υπολογισμό ορισμένων δεικτών διανομής:

=n*p;
(τετράγωνη τυπική απόκλιση) = n*p*(1-p);
= (n+1)*p;
=(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Εξάγουμε τον τύπο μαθηματική προσδοκία Διωνυμική κατανομήχρησιμοποιώντας Σχέδιο Bernoulli.

Α-πριό τυχαία τιμήΧ σε Σχέδιο Bernoulli(τυχαία μεταβλητή Bernoulli) έχει συνάρτηση διανομής:

Αυτή η κατανομή ονομάζεται Κατανομή Bernoulli.

Σημείωση: Κατανομή Bernoulli – ειδική περίπτωση Διωνυμική κατανομήμε παράμετρο n=1.

Ας δημιουργήσουμε 3 πίνακες των 100 αριθμών με διαφορετικές πιθανότητεςεπιτυχία: 0,1; 0,5 και 0,9. Για να το κάνετε αυτό, στο παράθυρο Τυχαία παραγωγή αριθμώνσειρά παρακάτω παραμέτρουςγια κάθε πιθανότητα p:

Σημείωση: Εάν ορίσετε την επιλογή Τυχαία διασπορά (Τυχαίος σπόρος), τότε μπορείτε να επιλέξετε ένα συγκεκριμένο τυχαίο σύνολοπαραγόμενοι αριθμοί. Για παράδειγμα, ορίζοντας αυτήν την επιλογή =25, μπορείτε να δημιουργήσετε τα ίδια σύνολα τυχαίων αριθμών σε διαφορετικούς υπολογιστές (αν, φυσικά, άλλες παράμετροι διανομής είναι ίδιες). Η τιμή επιλογής μπορεί να πάρει ακέραιες τιμές από 1 έως 32.767. Όνομα επιλογής Τυχαία διασποράμπορεί να μπερδέψει. Θα ήταν καλύτερα να το μεταφράσουμε ως Ορισμός αριθμού με τυχαίους αριθμούς.

Ως αποτέλεσμα, θα έχουμε 3 στήλες των 100 αριθμών, βάσει των οποίων, για παράδειγμα, μπορούμε να εκτιμήσουμε την πιθανότητα επιτυχίας Πσύμφωνα με τον τύπο: Αριθμός επιτυχιών/100(εκ. παράδειγμα φύλλου αρχείου Δημιουργία Bernoulli).

Σημείωση: Για Διανομές Bernoulliμε p=0,5, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο =RANDBETWEEN(0;1) , που αντιστοιχεί σε .

Δημιουργία τυχαίων αριθμών. Διωνυμική κατανομή

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν 7 ελαττωματικά στοιχεία στο δείγμα. Αυτό σημαίνει ότι είναι «πολύ πιθανό» να έχει αλλάξει το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων. Π, που είναι χαρακτηριστικό της παραγωγικής μας διαδικασίας. Αν και αυτή η κατάσταση είναι «πολύ πιθανή», υπάρχει μια πιθανότητα (άλφα κίνδυνος, σφάλμα τύπου 1, «ψευδής συναγερμός») Ππαρέμεινε αμετάβλητο και ο αυξημένος αριθμός ελαττωματικών προϊόντων οφείλεται σε τυχαία δειγματοληψία.

Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, το 7 είναι ο αριθμός των ελαττωματικών προϊόντων που είναι αποδεκτός για μια διεργασία με p=0,21 στην ίδια τιμή Αλφα. Αυτό δείχνει ότι όταν ξεπεραστεί το όριο των ελαττωματικών στοιχείων σε ένα δείγμα, Π«μάλλον» αυξήθηκε. Η φράση «πιθανότατα» σημαίνει ότι υπάρχει μόνο 10% πιθανότητα (100%-90%) η απόκλιση του ποσοστού των ελαττωματικών προϊόντων πάνω από το όριο να οφείλεται μόνο σε τυχαίες αιτίες.

Έτσι, η υπέρβαση του ορίου του αριθμού των ελαττωματικών προϊόντων στο δείγμα μπορεί να χρησιμεύσει ως σήμα ότι η διαδικασία έχει αναστατωθεί και άρχισε να παράγει β σχετικά μευψηλότερο ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων.

Σημείωση: Πριν από το MS EXCEL 2010, το EXCEL είχε μια συνάρτηση CRITBINOM() , η οποία είναι ισοδύναμη με BINOM.INV() . Το CRITBINOM() έχει παραμείνει στο MS EXCEL 2010 και υψηλότερο για συμβατότητα.

Σχέση της διωνυμικής κατανομής με άλλες κατανομές

Εάν η παράμετρος n Διωνυμική κατανομήτείνει στο άπειρο και Πτείνει στο 0, τότε σε αυτή την περίπτωση Διωνυμική κατανομήμπορεί να γίνει κατά προσέγγιση.
Είναι δυνατό να διατυπωθούν συνθήκες όταν η προσέγγιση Κατανομή Poissonλειτουργεί καλά:

Π<0,1 (το λιγότερο Πκι αλλα n, τόσο πιο ακριβής είναι η προσέγγιση).
Π>0,9 (λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι q=1- Π, οι υπολογισμοί σε αυτή την περίπτωση πρέπει να εκτελούνται χρησιμοποιώντας q(ένα Χπρέπει να αντικατασταθεί με n- Χ). Επομένως, όσο λιγότερο qκι αλλα n, τόσο πιο ακριβής είναι η προσέγγιση).

Στο 0,1<=p<=0,9 и n*p>10 Διωνυμική κατανομήμπορεί να γίνει κατά προσέγγιση.

Με τη σειρά του, Διωνυμική κατανομήμπορεί να χρησιμεύσει ως μια καλή προσέγγιση όταν το μέγεθος του πληθυσμού είναι N Υπεργεωμετρική κατανομήπολύ μεγαλύτερο από το μέγεθος του δείγματος n (δηλαδή, N>>n ή n/N<<1).

Μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα για τη σχέση των παραπάνω διανομών στο άρθρο. Δίνονται επίσης παραδείγματα προσέγγισης και εξηγούνται οι συνθήκες πότε είναι δυνατό και με ποια ακρίβεια.

ΣΥΜΒΟΥΛΗ: Μπορείτε να διαβάσετε για άλλες διανομές του MS EXCEL στο άρθρο .

Σύντομη θεωρία

Η θεωρία πιθανοτήτων ασχολείται με πειράματα που μπορούν να επαναληφθούν (τουλάχιστον θεωρητικά) απεριόριστες φορές. Αφήστε κάποιο πείραμα να επαναληφθεί μία φορά και τα αποτελέσματα κάθε επανάληψης δεν εξαρτώνται από τα αποτελέσματα προηγούμενων επαναλήψεων. Τέτοιες σειρές επαναλήψεων ονομάζονται ανεξάρτητες δοκιμές. Μια ειδική περίπτωση τέτοιων εξετάσεων είναι ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli, οι οποίες χαρακτηρίζονται από δύο συνθήκες:

1) το αποτέλεσμα κάθε δοκιμής είναι ένα από τα δύο πιθανά αποτελέσματα, που ονομάζονται αντίστοιχα «επιτυχία» ή «αποτυχία».

2) η πιθανότητα «επιτυχίας» σε κάθε επόμενο τεστ δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα προηγούμενων δοκιμών και παραμένει σταθερή.

Θεώρημα Bernoulli

Εάν γίνει μια σειρά ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli, σε καθεμία από τις οποίες η "επιτυχία" συμβαίνει με πιθανότητα , τότε η πιθανότητα ότι η "επιτυχία" στις δοκιμές συμβαίνει ακριβώς μία φορά εκφράζεται με τον τύπο:

πού είναι η πιθανότητα αποτυχίας.

- ο αριθμός των συνδυασμών στοιχείων κατά (δείτε τους βασικούς τύπους συνδυαστικής)

Αυτός ο τύπος ονομάζεται Φόρμουλα Bernoulli.

Ο τύπος Bernoulli σάς επιτρέπει να απαλλαγείτε από μεγάλο αριθμό υπολογισμών - πρόσθεση και πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων - με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό δοκιμών.

Το σχήμα δοκιμής Bernoulli ονομάζεται επίσης διωνυμικό σχήμα και οι αντίστοιχες πιθανότητες ονομάζονται διωνυμικές, το οποίο σχετίζεται με τη χρήση διωνυμικών συντελεστών.

Η κατανομή σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli επιτρέπει, συγκεκριμένα, να βρεθεί ο πιο πιθανός αριθμός εμφάνισης ενός γεγονότος.

Εάν ο αριθμός των δοκιμών nυπέροχο, τότε απολαύστε:

Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Το έργο

Η βλάστηση των σπόρων ενός συγκεκριμένου φυτού είναι 70%. Ποια είναι η πιθανότητα ότι από τους 10 σπόρους που έχουν σπαρθεί: 8, τουλάχιστον 8; τουλάχιστον 8;

Η λύση του προβλήματος

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Bernoulli:

Στην περίπτωσή μας

Αφήστε το γεγονός - από τους 10 σπόρους να φυτρώσουν 8:

Αφήστε το γεγονός - να αυξηθεί τουλάχιστον 8 (αυτό σημαίνει 8, 9 ή 10)

Αφήστε το συμβάν να αυξηθεί τουλάχιστον 8 (αυτό σημαίνει 8,9 ή 10)

Απάντηση

Μεσαίοτο κόστος επίλυσης της εργασίας ελέγχου είναι 700 - 1200 ρούβλια (αλλά όχι λιγότερο από 300 ρούβλια για ολόκληρη την παραγγελία). Η τιμή επηρεάζεται έντονα από τον επείγοντα χαρακτήρα της απόφασης (από ημέρες έως αρκετές ώρες). Το κόστος της ηλεκτρονικής βοήθειας στην εξέταση / δοκιμή - από 1000 ρούβλια. για τη λύση του εισιτηρίου.

Η εφαρμογή μπορεί να μείνει απευθείας στη συνομιλία, έχοντας προηγουμένως απορρίψει την κατάσταση των εργασιών και ενημερώνοντάς σας για τις προθεσμίες επίλυσής της. Ο χρόνος απόκρισης είναι αρκετά λεπτά.

Ας μην σκεφτόμαστε τα υψηλά για πολύ καιρό - ας ξεκινήσουμε αμέσως με έναν ορισμό.

- αυτό συμβαίνει όταν εκτελούνται n ανεξάρτητα πειράματα του ίδιου τύπου, σε καθένα από τα οποία μπορεί να εμφανιστεί ένα συμβάν Α που μας ενδιαφέρει και η πιθανότητα αυτού του συμβάντος P (A) \u003d p είναι γνωστή. Απαιτείται να προσδιοριστεί η πιθανότητα το γεγονός Α να συμβεί ακριβώς k φορές κατά τη διάρκεια n δοκιμών.

Οι εργασίες που επιλύονται σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli είναι εξαιρετικά ποικίλες: από απλές (όπως «βρείτε την πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει 1 φορά στις 10») έως πολύ σοβαρές (για παράδειγμα, εργασίες για ποσοστά ή τραπουλόχαρτα) . Στην πραγματικότητα, αυτό το σχήμα χρησιμοποιείται συχνά για την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με τον ποιοτικό έλεγχο των προϊόντων και την αξιοπιστία διαφόρων μηχανισμών, όλα τα χαρακτηριστικά των οποίων πρέπει να είναι γνωστά πριν από την έναρξη της εργασίας.

Ας επιστρέψουμε στον ορισμό. Δεδομένου ότι μιλάμε για ανεξάρτητες δοκιμές, και σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα του γεγονότος Α είναι η ίδια, μόνο δύο αποτελέσματα είναι πιθανά:

A είναι η εμφάνιση του γεγονότος Α με πιθανότητα p.
"όχι Α" - το γεγονός Α δεν εμφανίστηκε, κάτι που συμβαίνει με πιθανότητα q = 1 − p.

Η πιο σημαντική προϋπόθεση χωρίς την οποία το σχήμα Bernoulli χάνει το νόημά του είναι η σταθερότητα. Όσα πειράματα κι αν διεξάγουμε, μας ενδιαφέρει το ίδιο γεγονός Α, που συμβαίνει με την ίδια πιθανότητα p.

Παρεμπιπτόντως, δεν μπορούν όλα τα προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων να περιοριστούν σε σταθερές συνθήκες. Οποιοσδήποτε ικανός δάσκαλος στα ανώτερα μαθηματικά θα σας πει για αυτό. Ακόμη και κάτι τόσο απλό όπως το να μαζεύεις χρωματιστές μπάλες από ένα κουτί δεν είναι πείραμα με σταθερές συνθήκες. Έβγαλαν άλλη μια μπάλα - η αναλογία των χρωμάτων στο κουτί άλλαξε. Επομένως, έχουν αλλάξει και οι πιθανότητες.

Εάν οι συνθήκες είναι σταθερές, μπορεί κανείς να προσδιορίσει με ακρίβεια την πιθανότητα το γεγονός Α να συμβεί ακριβώς k φορές από το n δυνατό. Διατυπώνουμε αυτό το γεγονός με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Έστω η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α σε κάθε πείραμα σταθερή και ίση με p. Τότε η πιθανότητα ότι σε n ανεξάρτητες δοκιμές το γεγονός A θα εμφανιστεί ακριβώς k φορές υπολογίζεται από τον τύπο:

όπου C n k είναι ο αριθμός των συνδυασμών, q = 1 − p.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται: Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι τα παρακάτω προβλήματα επιλύονται πλήρως χωρίς τη χρήση αυτού του τύπου. Για παράδειγμα, μπορείτε να εφαρμόσετε τύπους πρόσθεσης πιθανότητας. Ωστόσο, το ποσό του υπολογισμού θα είναι απλώς μη ρεαλιστικό.

Μια εργασία. Η πιθανότητα να δημιουργηθεί ένα ελαττωματικό προϊόν στο μηχάνημα είναι 0,2. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι σε μια παρτίδα δέκα εξαρτημάτων που παράγονται σε μια δεδομένη μηχανή ακριβώς το k θα είναι χωρίς ελαττώματα. Λύστε το πρόβλημα για k = 0, 1, 10.

Με την υπόθεση, μας ενδιαφέρει το γεγονός Α της απελευθέρωσης προϊόντων χωρίς ελαττώματα, που συμβαίνει κάθε φορά με πιθανότητα p = 1 − 0,2 = 0,8. Πρέπει να προσδιορίσουμε την πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός k φορές. Το συμβάν Α αντιτίθεται στο συμβάν «όχι Α», δηλ. παραγωγή ελαττωματικού προϊόντος.

Έτσι, έχουμε: n = 10; p=0,8; q = 0,2.

Έτσι, βρίσκουμε την πιθανότητα ότι όλα τα μέρη της παρτίδας είναι ελαττωματικά (k = 0), ότι μόνο ένα μέρος είναι ελαττωματικό (k = 1) και ότι δεν υπάρχουν καθόλου ελαττωματικά μέρη (k = 10):

Μια εργασία. Το κέρμα πετιέται 6 φορές. Η απώλεια του εθνόσημου και της ουράς είναι εξίσου πιθανή. Βρείτε την πιθανότητα ότι:

το εθνόσημο θα πέσει τρεις φορές.

το εθνόσημο θα πέσει μια φορά?

το εθνόσημο θα εμφανιστεί τουλάχιστον δύο φορές.

Έτσι, μας ενδιαφέρει το γεγονός Α, όταν πέφτει το εθνόσημο. Η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι p = 0,5. Το συμβάν Α μετριέται από το συμβάν «όχι Α», όταν εμφανίζεται ως ουρές, το οποίο συμβαίνει με την πιθανότητα q = 1 − 0,5 = 0,5. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η πιθανότητα να πέσει το εθνόσημο k φορές.

Έτσι, έχουμε: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Ας προσδιορίσουμε την πιθανότητα να πέσει το εθνόσημο τρεις φορές, δηλ. k = 3:

Ας προσδιορίσουμε τώρα την πιθανότητα να πέσει το εθνόσημο μόνο μία φορά, δηλ. k = 1:

Μένει να καθοριστεί με ποια πιθανότητα θα πέσει το εθνόσημο τουλάχιστον δύο φορές. Το κύριο εμπόδιο βρίσκεται στη φράση «όχι λιγότερο». Αποδεικνύεται ότι οποιοδήποτε k, εκτός από το 0 και το 1, θα μας ταιριάζει, δηλ. πρέπει να βρείτε την τιμή του αθροίσματος X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Σημειώστε ότι αυτό το άθροισμα είναι επίσης ίσο με (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), δηλ. από όλες τις πιθανές επιλογές, αρκεί να «κόψουμε» εκείνες όταν το εθνόσημο έπεσε 1 φορά (k = 1) ή δεν έπεσε καθόλου (k = 0). Δεδομένου ότι το P 6 (1) γνωρίζουμε ήδη, μένει να βρούμε το P 6 (0):

Μια εργασία. Η πιθανότητα μια τηλεόραση να έχει κρυφά ελαττώματα είναι 0,2. Η αποθήκη έλαβε 20 τηλεοράσεις. Ποιο γεγονός είναι πιο πιθανό: ότι υπάρχουν δύο τηλεοράσεις με κρυφά ελαττώματα σε αυτήν την παρτίδα ή τρεις;

Συμβάν ενδιαφέροντος Α είναι η παρουσία ενός λανθάνοντος ελαττώματος. Σύνολο τηλεοράσεων n = 20, η πιθανότητα κρυφού ελαττώματος p = 0,2. Αντίστοιχα, η πιθανότητα να αποκτήσετε μια τηλεόραση χωρίς κρυφό ελάττωμα είναι q = 1 − 0,2 = 0,8.

Παίρνουμε τις συνθήκες εκκίνησης για το σχήμα Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Ας βρούμε την πιθανότητα να έχουμε δύο "ελαττωματικές" τηλεοράσεις (k = 2) και τρεις (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Προφανώς, P 20 (3) > P 20 (2), δηλ. η πιθανότητα να πάρεις τρεις τηλεοράσεις με κρυφά ελαττώματα είναι πιο πιθανό να πάρεις μόνο δύο τέτοιες τηλεοράσεις. Επιπλέον, η διαφορά δεν είναι αδύναμη.

Μια μικρή σημείωση για τα παραγοντικά. Πολλοί άνθρωποι βιώνουν ένα ασαφές αίσθημα δυσφορίας όταν βλέπουν την καταχώριση "0!" (διαβάστε "μηδενικό παραγοντικό"). Λοιπόν, 0! = 1 εξ ορισμού.

ΥΓ. Και η μεγαλύτερη πιθανότητα στην τελευταία εργασία είναι να αποκτήσετε τέσσερις τηλεοράσεις με κρυφά ελαττώματα. Κάντε τα μαθηματικά και δείτε μόνοι σας.

Δείτε επίσης:

Σας ευχαριστούμε που διαβάσατε και μοιραστήκατε με άλλους

Κατά την επίλυση πιθανοτικών προβλημάτων, συναντά κανείς συχνά καταστάσεις στις οποίες η ίδια δοκιμή επαναλαμβάνεται πολλές φορές και το αποτέλεσμα κάθε δοκιμής είναι ανεξάρτητο από τα αποτελέσματα άλλων. Αυτό το πείραμα ονομάζεται επίσης σύστημα επαναλαμβανόμενων ανεξάρτητων δοκιμώνή Σχέδιο Bernoulli.

Παραδείγματα επαναληπτικών δοκιμών:

1) πολλαπλή εξαγωγή μιας μπάλας από την τεφροδόχο, υπό την προϋπόθεση ότι η μπάλα που αφαιρέθηκε μετά την καταγραφή του χρώματός της, τοποθετηθεί ξανά στην τεφροδόχο.

2) επανάληψη βολών από έναν σκοπευτή στον ίδιο στόχο, με την προϋπόθεση ότι η πιθανότητα επιτυχημένου χτυπήματος με κάθε βολή θεωρείται η ίδια (ο ρόλος του μηδενισμού δεν λαμβάνεται υπόψη).

Έτσι, ας είναι δυνατό ως αποτέλεσμα της δοκιμής δύο αποτελέσματα: είτε θα εμφανιστεί ένα συμβάν ΚΑΙ, ή το αντίθετο συμβάν του. Ας πραγματοποιήσουμε δοκιμές Μπερνούλι. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι n δοκιμές είναι ανεξάρτητες. η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος $A$ σε κάθε μεμονωμένο ή μεμονωμένο τεστ είναι σταθερή και δεν αλλάζει από δοκιμή σε δοκιμή (δηλαδή, οι δοκιμές πραγματοποιούνται υπό τις ίδιες συνθήκες). Ας υποδηλώσουμε την πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος $A$ σε μία μόνο δοκιμή με το γράμμα $p$, δηλ. $p=P(A)$, και η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος (το συμβάν $A$ δεν συνέβη) δίνεται από το γράμμα $q=P(\overline(A))=1-p$.

Τότε η πιθανότητα ότι το γεγονός ΚΑΙθα εμφανιστεί σε αυτά nδοκιμές ακριβώς κφορές, εκφράζεται Φόρμουλα Bernoulli

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

Η κατανομή του αριθμού των επιτυχιών (εμφανίσεις ενός γεγονότος) ονομάζεται διωνυμική κατανομή.

Ηλεκτρονικοί αριθμομηχανές για τον τύπο Bernoulli

Μερικοί από τους πιο δημοφιλείς τύπους προβλημάτων που χρησιμοποιούν τον τύπο Bernoulli αναλύονται σε άρθρα και παρέχονται με μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή, μπορείτε να μεταβείτε σε αυτά χρησιμοποιώντας τους συνδέσμους:

Παραδείγματα λύσεων σε προβλήματα στον τύπο Bernoulli

Παράδειγμα.Ένα δοχείο περιέχει 20 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες. Βγάζονται 4 μπάλες και κάθε μπάλα που βγαίνει επιστρέφεται στη λάρνακα πριν τραβηχτεί η επόμενη και αναμειγνύονται οι μπάλες στη λάρνακα.

Φόρμουλα Bernoulli. Επίλυση προβλήματος

Βρείτε την πιθανότητα 2 από τις 4 μπάλες που κληρώθηκαν να είναι λευκές.

Απόφαση.Εκδήλωση ΚΑΙ- πήρε μια άσπρη μπάλα. Μετά οι πιθανότητες
, .
Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι
.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να μην έχει περισσότερα από 3 κορίτσια. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες.

Απόφαση.Η πιθανότητα να έχεις κορίτσι
, τότε .

Ας βρούμε τις πιθανότητες να μην υπάρχουν κορίτσια στην οικογένεια, γεννήθηκαν ένα, δύο ή τρία κορίτσια:

, ,

, .

Επομένως, η επιθυμητή πιθανότητα

Παράδειγμα.Μεταξύ των εξαρτημάτων που επεξεργάζεται ο εργαζόμενος, υπάρχουν κατά μέσο όρο 4% μη τυποποιημένα. Βρείτε την πιθανότητα δύο από τα 30 εξαρτήματα που λαμβάνονται για δοκιμή να είναι μη τυποποιημένα.

Απόφαση.Εδώ η εμπειρία έγκειται στον έλεγχο ποιότητας καθενός από τα 30 εξαρτήματα.

Το συμβάν Α είναι «η εμφάνιση ενός μη τυποποιημένου τμήματος», η πιθανότητα του είναι , τότε . Από εδώ, με τον τύπο Bernoulli, βρίσκουμε
.

Παράδειγμα.Για κάθε μεμονωμένη βολή από το όπλο, η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος είναι 0,9. Βρείτε την πιθανότητα από τις 20 βολές ο αριθμός των επιτυχημένων βολών να είναι τουλάχιστον 16 και το πολύ 19.

Απόφαση.Υπολογίζουμε με τον τύπο Bernoulli:

Παράδειγμα.Οι ανεξάρτητες δοκιμές συνεχίζονται μέχρι την εκδήλωση ΚΑΙδε θα συμβεί κμια φορά. Βρείτε την πιθανότητα που θα πάρει nδοκιμές (n ³ k), εάν σε καθεμία από αυτές .

Απόφαση.Εκδήλωση ΣΤΟ- ακριβώς nδοκιμές πριν κ-η εμφάνιση του γεγονότος ΚΑΙείναι το προϊόν των ακόλουθων δύο γεγονότων:

Φασαρία nη δοκιμή ΚΑΙσυνέβη?

Γ - πρώτα (n–1)η δοκιμή ΚΑΙεμφανίστηκε (k-1)μια φορά.

Το θεώρημα πολλαπλασιασμού και ο τύπος του Bernoulli δίνουν την απαιτούμενη πιθανότητα:

Πρέπει να σημειωθεί ότι η χρήση του διωνυμικού νόμου συνδέεται συχνά με υπολογιστικές δυσκολίες. Επομένως, με αυξανόμενες τιμές nκαι Μκαθίσταται σκόπιμο να χρησιμοποιηθούν κατά προσέγγιση τύποι (Poisson, Moivre-Laplace), οι οποίοι θα συζητηθούν στις επόμενες ενότητες.

Εκμάθηση βίντεο Η φόρμουλα του Bernoulli

Για όσους είναι πιο οπτικοί σε μια διαδοχική εξήγηση βίντεο, ένα βίντεο 15 λεπτών:

Τύπος Συνολικών Πιθανοτήτων: Θεωρία και Παραδείγματα Επίλυσης Προβλημάτων

Τύπος συνολικής πιθανότητας και υπό όρους πιθανότητες γεγονότων

Τύπος Συνολικών Πιθανοτήτων είναι συνέπεια των βασικών κανόνων της θεωρίας πιθανοτήτων - του κανόνα της πρόσθεσης και του κανόνα του πολλαπλασιασμού.

Ο τύπος συνολικής πιθανότητας σάς επιτρέπει να βρείτε την πιθανότητα ενός συμβάντος ΕΝΑ, το οποίο μπορεί να συμβεί μόνο με καθένα από αυτά nαμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα που σχηματίζουν ένα πλήρες σύστημα εάν είναι γνωστές οι πιθανότητες τους, και υπό όρους πιθανότητες εξελίξεις ΕΝΑσε σχέση με καθένα από τα γεγονότα του συστήματος ισούνται με .

Τα γεγονότα ονομάζονται και υποθέσεις, είναι αμοιβαία αποκλειόμενα. Επομένως, στη βιβλιογραφία μπορείτε επίσης να βρείτε την ονομασία τους όχι με το γράμμα σι, αλλά με ένα γράμμα H(υπόθεση).

Για την επίλυση προβλημάτων με τέτοιες συνθήκες, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τα 3, 4, 5 ή στη γενική περίπτωση nτη δυνατότητα ενός γεγονότος ΕΝΑμε κάθε εκδήλωση.

Χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, λαμβάνουμε το άθροισμα των γινομένων της πιθανότητας καθενός από τα γεγονότα του συστήματος με υπό όρους πιθανότητα εξελίξεις ΕΝΑγια κάθε συμβάν στο σύστημα.

21 Δοκιμές του Μπερνούλι. Φόρμουλα Bernoulli

Δηλαδή η πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑμπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

ή γενικά

η οποία ονομάζεται τύπος συνολικής πιθανότητας .

Τύπος συνολικής πιθανότητας: παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παράδειγμα 1Υπάρχουν τρία πανομοιότυπα δοχεία: στην πρώτη υπάρχουν 2 άσπρες μπάλες και 3 μαύρες, στη δεύτερη υπάρχουν 4 λευκές και μία μαύρη, στην τρίτη υπάρχουν τρεις άσπρες μπάλες. Κάποιος πλησιάζει τυχαία ένα από τα δοχεία και βγάζει μια μπάλα από αυτό. Εκμεταλλεύομαι τύπος συνολικής πιθανότητας, βρείτε την πιθανότητα η μπάλα να είναι λευκή.

Απόφαση. Εκδήλωση ΕΝΑ- η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας. Διατυπώνουμε τρεις υποθέσεις:

— έχει επιλεγεί η πρώτη λάρνακα.

— επιλέγεται η δεύτερη λάρνακα.

— επιλέγεται η τρίτη λάρνακα.

Πιθανότητες γεγονότος υπό όρους ΕΝΑγια καθεμία από τις υποθέσεις:

, , .

Εφαρμόζουμε τον τύπο συνολικής πιθανότητας, ως αποτέλεσμα - την απαιτούμενη πιθανότητα:

Παράδειγμα 2Στο πρώτο εργοστάσιο, σε κάθε 100 λαμπτήρες, παράγονται κατά μέσο όρο 90 τυπικοί λαμπτήρες, στο δεύτερο - 95, στο τρίτο - 85, και η παραγωγή αυτών των εργοστασίων είναι αντίστοιχα 50%, 30% και 20% του όλους τους ηλεκτρικούς λαμπτήρες που παρέχονται στα καταστήματα μιας συγκεκριμένης περιοχής. Βρείτε την πιθανότητα αγοράς ενός τυπικού λαμπτήρα.

Απόφαση. Ας υποδηλώσουμε την πιθανότητα απόκτησης ενός τυπικού λαμπτήρα ως ΕΝΑ, και τα γεγονότα ότι ο λαμπτήρας που αγοράστηκε κατασκευάστηκε στο πρώτο, δεύτερο και τρίτο εργοστάσιο, αντίστοιχα, μέσω . Κατά συνθήκη, οι πιθανότητες αυτών των γεγονότων είναι γνωστές: , και οι πιθανότητες υπό όρους του γεγονότος ΕΝΑγια καθένα από αυτά: , , . Αυτές είναι οι πιθανότητες απόκτησης ενός τυπικού λαμπτήρα, με την προϋπόθεση ότι κατασκευάζεται στο πρώτο, δεύτερο και τρίτο εργοστάσιο, αντίστοιχα.

Εκδήλωση ΕΝΑθα συμβεί εάν συμβεί ένα συμβάν ή κ– ο λαμπτήρας κατασκευάζεται στο πρώτο εργοστάσιο και είναι στάνταρ, ή εκδήλωση μεγάλο- ο λαμπτήρας είναι κατασκευασμένος στο δεύτερο εργοστάσιο και είναι στάνταρ, ή εκδήλωση Μ- ο λαμπτήρας κατασκευάζεται στο τρίτο εργοστάσιο και είναι στάνταρ.

Άλλες πιθανότητες για την εμφάνιση του γεγονότος ΕΝΑόχι. Ως εκ τούτου, η εκδήλωση ΕΝΑείναι το άθροισμα των γεγονότων κ, μεγάλοκαι Μπου είναι ασυμβίβαστα. Εφαρμόζοντας το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανότητας, αντιπροσωπεύουμε την πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑόπως και

και με το θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων παίρνουμε

αυτό είναι, μια ειδική περίπτωση του τύπου συνολικής πιθανότητας.

Αντικαθιστώντας τις πιθανότητες στην αριστερή πλευρά του τύπου, λαμβάνουμε την πιθανότητα του γεγονότος ΕΝΑ:

Δεν έχετε χρόνο να εμβαθύνετε στη λύση; Μπορείτε να παραγγείλετε μια δουλειά!

Παράδειγμα 3Το αεροσκάφος προσγειώνεται στο αεροδρόμιο. Εάν ο καιρός το επιτρέπει, ο πιλότος προσγειώνει το αεροπλάνο, χρησιμοποιώντας, εκτός από όργανα, και οπτική παρατήρηση. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα επιτυχούς προσγείωσης είναι . Εάν το αεροδρόμιο είναι συννεφιασμένο με χαμηλά σύννεφα, τότε ο πιλότος προσγειώνει το αεροπλάνο, προσανατολιζόμενος μόνο στα όργανα. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα επιτυχούς προσγείωσης είναι . .

Οι συσκευές που παρέχουν τυφλή προσγείωση έχουν αξιοπιστία (πιθανότητα λειτουργίας χωρίς αστοχία) Π. Με την παρουσία χαμηλής νεφελώσεως και αποτυχημένων οργάνων τυφλής προσγείωσης, η πιθανότητα επιτυχούς προσγείωσης είναι . . Οι στατιστικές δείχνουν ότι σε κ% των προσγειώσεων, το αεροδρόμιο καλύπτεται με χαμηλά σύννεφα. Εύρημα πλήρη πιθανότητα του συμβάντοςΕΝΑ- ασφαλής προσγείωση του αεροσκάφους.

Απόφαση. Υποθέσεις:

— χωρίς χαμηλά σύννεφα.

- Υπάρχει χαμηλή νέφωση.

Οι πιθανότητες αυτών των υποθέσεων (γεγονότων):

;

Πιθανότητα υπό όρους.

Η υπό όρους πιθανότητα βρίσκεται και πάλι από τον τύπο για τη συνολική πιθανότητα με υποθέσεις

- οι συσκευές τυφλής προσγείωσης λειτουργούν.

- Οι συσκευές τυφλής προσγείωσης απέτυχαν.

Οι πιθανότητες αυτών των υποθέσεων είναι:

Σύμφωνα με τον τύπο της συνολικής πιθανότητας

Παράδειγμα 4Η συσκευή μπορεί να λειτουργήσει σε δύο λειτουργίες: κανονική και μη κανονική. Η κανονική λειτουργία παρατηρείται στο 80% όλων των περιπτώσεων λειτουργίας της συσκευής και μη φυσιολογική - στο 20% των περιπτώσεων. Πιθανότητα βλάβης της συσκευής σε συγκεκριμένο χρόνο tίσο με 0,1; στο μη φυσιολογικό 0,7. Εύρημα πλήρη πιθανότηταέγκαιρη βλάβη της συσκευής t.

Απόφαση. Υποδηλώνουμε και πάλι την πιθανότητα αστοχίας της συσκευής ως ΕΝΑ. Έτσι, όσον αφορά τη λειτουργία της συσκευής σε κάθε λειτουργία (γεγονότα), οι πιθανότητες είναι γνωστές κατά συνθήκη: για την κανονική λειτουργία είναι 80% (), για την ανώμαλη λειτουργία - 20% (). Πιθανότητα συμβάντος ΕΝΑ(δηλαδή η αστοχία της συσκευής) ανάλογα με το πρώτο συμβάν (κανονική λειτουργία) είναι 0,1 (); ανάλογα με το δεύτερο συμβάν (μη κανονική λειτουργία) - 0,7 ( ). Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές με τον τύπο συνολικής πιθανότητας (δηλαδή, το άθροισμα των γινομένων της πιθανότητας καθενός από τα γεγονότα του συστήματος και της υπό όρους πιθανότητας του συμβάντος ΕΝΑσε σχέση με κάθε ένα από τα γεγονότα του συστήματος) και έχουμε το απαιτούμενο αποτέλεσμα.

Φόρμουλα Bernoulli- ένας τύπος στη θεωρία πιθανοτήτων που σας επιτρέπει να βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός A (\displaystyle A)σε ανεξάρτητα τεστ. Ο τύπος Bernoulli σάς επιτρέπει να απαλλαγείτε από μεγάλο αριθμό υπολογισμών - πρόσθεση και πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων - με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό δοκιμών. Πήρε το όνομά του από τον εξαιρετικό Ελβετό μαθηματικό Jacob Bernoulli, ο οποίος εξήγαγε αυτόν τον τύπο.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

1 / 3

✪ Θεωρία πιθανοτήτων. 22. τύπος Bernoulli. Επίλυση προβλήματος

✪ Φόρμουλα Bernoulli

✪ 20 Επαναλαμβανόμενες δοκιμές Bernoulli Formula

Υπότιτλοι

Διατύπωση

Θεώρημα.Αν η πιθανότητα p (\displaystyle p)Εκδήλωση A (\displaystyle A)είναι σταθερή σε κάθε δοκιμή, τότε η πιθανότητα P k , n (\displaystyle P_(k,n))ότι η εκδήλωση A (\displaystyle A)έρχεται ακριβώς k (\displaystyle k)μιά φορά n (\displaystyle n)ανεξάρτητες δοκιμές ισούται με: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), όπου q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).

Απόδειξη

Ας κρατηθεί n (\displaystyle n)ανεξάρτητες δοκιμές, και είναι γνωστό ότι ως αποτέλεσμα κάθε δοκιμής, ένα γεγονός A (\displaystyle A)έρχεται με πιθανότητα P (A) = p (\displaystyle P\αριστερά(A\δεξιά)=p)και επομένως δεν συμβαίνει με πιθανότητα P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Ας, επίσης, κατά τη διάρκεια των δοκιμών πιθανοτήτων p (\displaystyle p)και q (\displaystyle q)παραμένει αμετάβλητο. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα n (\displaystyle n)ανεξάρτητη δοκιμή, εκδήλωση A (\displaystyle A)έρχεται ακριβώς k (\displaystyle k)μια φορά?

Αποδεικνύεται ότι είναι δυνατός ο ακριβής υπολογισμός του αριθμού των "επιτυχών" συνδυασμών των αποτελεσμάτων των τεστ για τους οποίους το συμβάν A (\displaystyle A)έρχεται k (\displaystyle k)μιά φορά n (\displaystyle n)ανεξάρτητες δοκιμές, είναι ακριβώς ο αριθμός των συνδυασμών n (\displaystyle n)επί k (\displaystyle k) :

C n (k) = n! κ! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

Ταυτόχρονα, δεδομένου ότι όλες οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες και τα αποτελέσματά τους είναι ασύμβατα (γεγονός A (\displaystyle A)είτε συμβαίνει είτε όχι), τότε η πιθανότητα να επιτευχθεί ένας «επιτυχής» συνδυασμός είναι ακριβώς: .

Τέλος, για να βρεθεί η πιθανότητα ότι n (\displaystyle n)ανεξάρτητη δοκιμαστική εκδήλωση A (\displaystyle A)έρχεται ακριβώς k (\displaystyle k)φορές, πρέπει να αθροίσετε τις πιθανότητες να πετύχετε όλους τους "επιτυχείς" συνδυασμούς. Οι πιθανότητες να πετύχουμε όλους τους «επιτυχείς» συνδυασμούς είναι ίδιες και ίσες p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), ο αριθμός των «επιτυχημένων» συνδυασμών είναι C n (k) (\displaystyle C_(n)(k)), οπότε τελικά παίρνουμε:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

Η τελευταία έκφραση δεν είναι παρά ο τύπος Bernoulli. Είναι επίσης χρήσιμο να σημειωθεί ότι, λόγω της πληρότητας της ομάδας των γεγονότων, θα ισχύει:

∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).