Πώς να βρείτε τη μικρότερη θετική ρίζα μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης. Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές εξισώσεις. Ως μέρος της εξέτασης των μαθηματικών στο πρώτο μέρος, υπάρχει μια εργασία που σχετίζεται με την επίλυση μιας εξίσωσης - αυτό είναι απλές εξισώσειςπου επιλύονται μέσα σε λίγα λεπτά, πολλοί τύποι μπορούν να επιλυθούν προφορικά. Περιλαμβάνει: γραμμικές, τετραγωνικές, ορθολογικές, παράλογες, εκθετικές, λογαριθμικές και τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τις τριγωνομετρικές εξισώσεις. Η επίλυσή τους διαφέρει τόσο ως προς τον υπολογισμό όσο και ως προς την πολυπλοκότητα από τα υπόλοιπα προβλήματα σε αυτό το μέρος. Μην ανησυχείτε, η λέξη «δυσκολία» αναφέρεται στη σχετική δυσκολία τους σε σύγκριση με άλλες εργασίες.

Εκτός από την εύρεση των ίδιων των ριζών της εξίσωσης, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η μεγαλύτερη αρνητική ή η μικρότερη θετική ρίζα. Η πιθανότητα να λάβετε μια τριγωνομετρική εξίσωση στην εξέταση είναι, φυσικά, μικρή.

Είναι λιγότερο από 7% σε αυτό το μέρος της εξέτασης. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι πρέπει να αγνοηθούν. Στο μέρος Γ, είναι επίσης απαραίτητο να λυθεί η τριγωνομετρική εξίσωση, επομένως είναι απλά απαραίτητο να κατανοήσουμε καλά τη μέθοδο λύσης και να κατανοήσουμε τη θεωρία.

Η κατανόηση της ενότητας «Τριγωνομετρία» στα μαθηματικά καθορίζει σε μεγάλο βαθμό την επιτυχία σας στην επίλυση πολλών προβλημάτων. Υπενθυμίζω ότι η απάντηση είναι ακέραιος ή πεπερασμένος δεκαδικός. Αφού λάβετε τις ρίζες της εξίσωσης, κάντε ΠΑΝΤΑ έναν έλεγχο. Δεν θα πάρει πολύ χρόνο και θα γλυτώσετε από λάθη.

Στο μέλλον θα δούμε και άλλες εξισώσεις, μην το χάσετε! Θυμηθείτε τους τύπους για τις ρίζες των τριγωνομετρικών εξισώσεων, πρέπει να τους γνωρίζετε:

Η γνώση αυτών των τιμών είναι απαραίτητη, αυτό είναι το "αλφάβητο", χωρίς το οποίο θα είναι αδύνατο να αντιμετωπίσετε πολλές εργασίες. Τέλεια, αν η μνήμη είναι καλή, μάθατε εύκολα και θυμηθήκατε αυτές τις αξίες. Τι να κάνετε αν αυτό δεν λειτουργήσει, υπάρχει σύγχυση στο κεφάλι σας, αλλά απλώς παραστρατήσατε κατά τη διάρκεια της εξέτασης. Θα είναι κρίμα να χάσετε έναν βαθμό λόγω του γεγονότος ότι σημειώνετε λάθος τιμή στους υπολογισμούς.

Αυτή η τιμή είναι απλή, δίνεται και στη θεωρία που λάβατε στο δεύτερο γράμμα μετά την εγγραφή σας στο ενημερωτικό δελτίο. Αν δεν έχετε εγγραφεί ακόμα, κάντε το! Στο μέλλον, θα εξετάσουμε επίσης πώς μπορούν να καθοριστούν αυτές οι τιμές τριγωνομετρικός κύκλος. Δεν είναι τυχαίο που ονομάζεται «Χρυσή Καρδιά της Τριγωνομετρίας».

Θα εξηγήσω αμέσως, για να αποφευχθεί η σύγχυση, ότι στις εξισώσεις που εξετάζονται παρακάτω, δίνονται ορισμοί του τόξου, αρκοσίνης, του τόξου, χρησιμοποιώντας τη γωνία ΧΓια αντίστοιχες εξισώσεις: cosx=a, sinx=a, tgx=a, όπου Χμπορεί επίσης να είναι έκφραση. Στα παρακάτω παραδείγματα, έχουμε το όρισμα που καθορίζεται από την έκφραση.

Λοιπόν, εξετάστε τις ακόλουθες εργασίες:

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης:

Γράψτε τη μεγαλύτερη αρνητική ρίζα στην απάντησή σας.

Απόφαση εξισώσεις cos x = a είναι δύο ρίζες:

Ορισμός: Ο αριθμός a modulo δεν υπερβαίνει το ένα. Το συνημίτονο τόξου του αριθμού a είναι η γωνία x, που βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως Pi, το συνημίτονο του οποίου είναι ίσο με a.

Που σημαίνει

Εξπρές Χ:

Βρείτε τη μεγαλύτερη αρνητική ρίζα. Πως να το κάνεις? Υποκατάστατο διάφορες έννοιες n στις ρίζες που προέκυψαν, υπολογίστε και επιλέξτε το μεγαλύτερο αρνητικό.

Υπολογίζουμε:

Με n \u003d - 2 x 1 \u003d 3 (- 2) - 4,5 \u003d - 10,5 x 2 \u003d 3 (- 2) - 5,5 \u003d - 11,5

Με n \u003d - 1 x 1 \u003d 3 (- 1) - 4,5 \u003d - 7,5 x 2 \u003d 3 (- 1) - 5,5 \u003d - 8,5

Σε n = 0 x 1 = 3∙0 - 4,5 = - 4,5 x 2 = 3∙0 - 5,5 = - 5,5

Σε n \u003d 1 x 1 \u003d 3 1 - 4,5 \u003d - 1,5 x 2 \u003d 3 1 - 5,5 \u003d - 2,5

Σε n = 2 x 1 = 3∙2 - 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 - 5,5 = 0,5

Βρήκαμε ότι η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα είναι -1,5

Απάντηση: -1,5

Αποφασίστε μόνοι σας:

Λύστε την εξίσωση:

Απόφαση εξισώσεις αμαρτίας x = a είναι δύο ρίζες:

Είτε (συνδυάζει και τα δύο παραπάνω):

Ορισμός: Ο αριθμός a modulo δεν υπερβαίνει το ένα. Το τόξο του αριθμού α είναι η γωνία x, που βρίσκεται στην περιοχή από - 90 o έως 90 o, το ημίτονο του οποίου είναι ίσο με a.

Που σημαίνει

Εκφράστε x (πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4 και διαιρέστε με το pi):

Βρείτε τη μικρότερη θετική ρίζα. Εδώ είναι αμέσως σαφές ότι κατά την αντικατάσταση αρνητικές τιμές n παίρνουμε αρνητικές ρίζες. Επομένως, θα αντικαταστήσουμε το n = 0,1,2 ...

Για n = 0 x = (- 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Για n = 1 x = (- 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Για n = 2 x = (- 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Ελέγξτε για n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Άρα η μικρότερη θετική ρίζα είναι 4.

Απάντηση: 4

Αποφασίστε μόνοι σας:

Λύστε την εξίσωση:

Γράψτε τη μικρότερη θετική ρίζα για την απάντησή σας.

Αρκετά συχνά σε εργασίες αυξημένη πολυπλοκότητασυναντώ τριγωνομετρικές εξισώσεις που περιέχουν συντελεστή. Τα περισσότερα από αυτά απαιτούν μια ευρετική προσέγγιση στη λύση, η οποία δεν είναι καθόλου οικεία στους περισσότερους μαθητές.

Οι παρακάτω εργασίες έχουν σκοπό να σας παρουσιάσουν τις πιο τυπικές μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων που περιέχουν μια ενότητα.

Πρόβλημα 1. Να βρείτε τη διαφορά (σε μοίρες) μεταξύ της μικρότερης θετικής και της μεγαλύτερης αρνητικής ρίζας της εξίσωσης 1 + 2sin x · |cos x| = 0.

Απόφαση.

Ας επεκτείνουμε την ενότητα:

1) Αν cos x ≥ 0, τότε η αρχική εξίσωση θα πάρει τη μορφή 1 + 2sin x cos x = 0.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ημιτόνου διπλή γωνία, παίρνουμε:

1 + sin2x = 0; sin2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Αφού cos x ≥ 0, τότε x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Αν συν x< 0, то δεδομένη εξίσωσηέχει τη μορφή 1 - 2sin x cos x = 0. Σύμφωνα με τον τύπο ημιτόνου διπλής γωνίας, έχουμε:

1 – sin2x = 0; sin2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n ∈ Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Αφού συν x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα της εξίσωσης: -π / 4; μικρότερη θετική ρίζα της εξίσωσης: 5π/4.

Επιθυμητή διαφορά: 5π/4 - (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.

Απάντηση: 270°.

Πρόβλημα 2. Να βρείτε (σε μοίρες) τη μικρότερη θετική ρίζα της εξίσωσης |tg x| + 1/cos x = tg x.

Απόφαση.

Ας επεκτείνουμε την ενότητα:

1) Αν tg x ≥ 0, τότε

tg x + 1/cos x = tg x;

Δεν υπάρχουν ρίζες στην εξίσωση που προκύπτει.

2) Αν tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x - 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 και cos x ≠ 0.

Χρησιμοποιώντας το σχήμα 1 και τη συνθήκη tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Η μικρότερη θετική ρίζα της εξίσωσης 5π/6. Μετατρέψτε αυτήν την τιμή σε μοίρες:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.

Απάντηση: 150°.

Εργασία 3. Βρείτε την ποσότητα διάφορες ρίζεςαμαρτία |2x| = cos 2x στο διάστημα [-π/2; π/2].

Απόφαση.

Ας γράψουμε την εξίσωση ως αμαρτία|2x| – cos 2x = 0 και θεωρήστε τη συνάρτηση y = sin |2x| – cos 2x. Εφόσον η συνάρτηση είναι άρτια, βρίσκουμε τα μηδενικά της για x ≥ 0.

sin 2x – cos 2x = 0; διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με cos 2x ≠ 0, παίρνουμε:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n ∈ Z;

x = π/8 + πn/2, n ∈ Z.

Χρησιμοποιώντας την ισοτιμία της συνάρτησης, παίρνουμε ότι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι αριθμοί της μορφής

± (π/8 + πn/2), όπου n ∈ Z.

Το διάστημα [-π/2; π/2] οι αριθμοί ανήκουν: -π/8; π/8.

Άρα, οι δύο ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο δεδομένο διάστημα.

Απάντηση: 2.

Αυτή η εξίσωση θα μπορούσε επίσης να λυθεί με επέκταση της ενότητας.

Εργασία 4. Βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης sin x - (|2cos x - 1|) / (2cos x - 1) sin 2 x = sin 2 x στο διάστημα [-π; 2π].

Απόφαση.

1) Εξετάστε την περίπτωση που 2cos x – 1 > 0, δηλ. cos x > 1/2, τότε η εξίσωση γίνεται:

αμαρτία x - αμαρτία 2 x \u003d αμαρτία 2 x;

sin x - 2sin 2 x \u003d 0;

sinx(1 - 2sinx) = 0;

sinx = 0 ή 1 - 2sinx = 0;

sin x = 0 ή sin x = 1/2.

Χρησιμοποιώντας το σχήμα 2 και τη συνθήκη cos x > 1/2, βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης:

x = π/6 + 2πn ή x = 2πn, n € Z.

2) Εξετάστε την περίπτωση που 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

αμαρτία x + αμαρτία 2 x = αμαρτία 2 x;

x = 2πn, n ∈ Z.

Χρησιμοποιώντας το σχήμα 2 και την συνθήκη cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Συνδυάζοντας τις δύο περιπτώσεις, παίρνουμε:

x = π/6 + 2πn ή x = πn.

3) Το διάστημα [-π; 2π] ανήκουν στις ρίζες: π/6; -π; 0; π; 2π.

Έτσι, πέντε ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο δεδομένο διάστημα.

Απάντηση: 5.

Εργασία 5. Να βρείτε τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης (x - 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 στο διάστημα [-π; 2π].

Απόφαση.

1) Αν sin x ≥ 0, τότε η αρχική εξίσωση έχει τη μορφή (x - 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Αφού βγάλουμε τον κοινό παράγοντα sin x από αγκύλες, παίρνουμε:

sin x((x - 0,7) 2 + 1) = 0; αφού (x - 0,7) 2 + 1 > 0 για όλα τα πραγματικά x, τότε sinx = 0, δηλ. x = πn, n ∈ Z.

2) Αν αμαρτία x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

sin x((x - 0,7) 2 - 1) = 0;

sinx \u003d 0 ή (x - 0,7) 2 + 1 \u003d 0. Αφού sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем Τετραγωνική ρίζααπό αριστερά και σωστά μέρητην τελευταία εξίσωση, παίρνουμε:

x - 0,7 \u003d 1 ή x - 0,7 \u003d -1, που σημαίνει x \u003d 1,7 ή x \u003d -0,3.

Λαμβάνοντας υπόψη την συνθήκη sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >Το 0 σημαίνει μόνο ο αριθμός -0,3 είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

3) Το διάστημα [-π; 2π] ανήκουν στους αριθμούς: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Έτσι, η εξίσωση έχει πέντε ρίζες σε ένα δεδομένο διάστημα.

Απάντηση: 5.

Μπορείτε να προετοιμαστείτε για μαθήματα ή εξετάσεις με τη βοήθεια διαφόρων εκπαιδευτικούς πόρουςπου βρίσκονται στον Ιστό. Προς το παρόν, οποιοσδήποτε ένα άτομο χρειάζεται απλώς να χρησιμοποιήσει νέα ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣΆλλωστε, η σωστή, και κυρίως, η κατάλληλη εφαρμογή τους θα συμβάλει στην αύξηση του κινήτρου στη μελέτη του θέματος, θα αυξήσει το ενδιαφέρον και θα βοηθήσει στην καλύτερη αφομοίωση της απαραίτητης ύλης. Αλλά μην ξεχνάτε ότι ο υπολογιστής δεν διδάσκει να σκέφτεται, οι πληροφορίες που λαμβάνονται πρέπει να υποβάλλονται σε επεξεργασία, να κατανοούνται και να απομνημονεύονται. Επομένως, μπορείτε να απευθυνθείτε στο δικό μας διαδικτυακούς δασκάλους, που θα σας βοηθήσει να αντιμετωπίσετε την επίλυση προβλημάτων που σας ενδιαφέρουν.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο -.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, δικαστική εντολή, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.