Πώς να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός συμβάντος. Τύπος πιθανότητας συμβάντος

«Η τυχαιότητα δεν είναι τυχαία»... Ακούγεται όπως είπε ένας φιλόσοφος, αλλά στην πραγματικότητα, η μελέτη των ατυχημάτων είναι το πεπρωμένο της μεγάλης επιστήμης των μαθηματικών. Στα μαθηματικά, η πιθανότητα είναι η θεωρία των πιθανοτήτων. Οι τύποι και τα παραδείγματα εργασιών, καθώς και οι κύριοι ορισμοί αυτής της επιστήμης θα παρουσιαστούν στο άρθρο.

Τι είναι η Θεωρία Πιθανοτήτων;

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας από τους μαθηματικούς κλάδους που μελετά τα τυχαία γεγονότα.

Για να το κάνουμε λίγο πιο σαφές, ας δώσουμε ένα μικρό παράδειγμα: αν πετάξετε ένα κέρμα επάνω, μπορεί να πέσει κεφάλια ή ουρές. Όσο το νόμισμα είναι στον αέρα, και οι δύο αυτές δυνατότητες είναι δυνατές. Δηλαδή, η πιθανότητα πιθανών συνεπειών συσχετίζεται 1:1. Αν κάποιος τραβηχτεί από μια τράπουλα με 36 φύλλα, τότε η πιθανότητα θα δηλωθεί ως 1:36. Φαίνεται ότι δεν υπάρχει τίποτα να εξερευνήσετε και να προβλέψετε, ειδικά με τη βοήθεια μαθηματικών τύπων. Ωστόσο, εάν επαναλάβετε μια συγκεκριμένη ενέργεια πολλές φορές, τότε μπορείτε να προσδιορίσετε ένα συγκεκριμένο μοτίβο και, στη βάση του, να προβλέψετε την έκβαση των γεγονότων σε άλλες συνθήκες.

Για να συνοψίσουμε όλα τα παραπάνω, η θεωρία των πιθανοτήτων με την κλασική έννοια μελετά την πιθανότητα εμφάνισης ενός από τα πιθανά γεγονότα με αριθμητική έννοια.

Από τις σελίδες της ιστορίας

Η θεωρία των πιθανοτήτων, οι τύποι και τα παραδείγματα των πρώτων εργασιών εμφανίστηκαν στον μακρινό Μεσαίωνα, όταν πρωτοεμφανίστηκαν οι προσπάθειες πρόβλεψης του αποτελέσματος των παιχνιδιών με χαρτιά.

Αρχικά, η θεωρία των πιθανοτήτων δεν είχε καμία σχέση με τα μαθηματικά. Δικαιολογήθηκε από εμπειρικά γεγονότα ή ιδιότητες ενός γεγονότος που μπορούσαν να αναπαραχθούν στην πράξη. Τα πρώτα έργα σε αυτόν τον τομέα ως μαθηματικός κλάδος εμφανίστηκαν τον 17ο αιώνα. Ιδρυτές ήταν ο Blaise Pascal και ο Pierre Fermat. Για πολύ καιρό μελέτησαν τον τζόγο και είδαν ορισμένα μοτίβα, τα οποία αποφάσισαν να πουν στο κοινό.

Την ίδια τεχνική εφευρέθηκε από τον Christian Huygens, αν και δεν ήταν εξοικειωμένος με τα αποτελέσματα της έρευνας του Pascal και του Fermat. Η έννοια της «θεωρίας πιθανοτήτων», οι τύποι και τα παραδείγματα, που θεωρούνται τα πρώτα στην ιστορία του κλάδου, εισήχθησαν από τον ίδιο.

Καθόλου μικρή σημασία έχουν τα έργα του Jacob Bernoulli, τα θεωρήματα του Laplace και του Poisson. Έκαναν τη θεωρία πιθανοτήτων περισσότερο σαν μια μαθηματική πειθαρχία. Η θεωρία πιθανοτήτων, οι τύποι και τα παραδείγματα βασικών εργασιών πήραν τη σημερινή τους μορφή χάρη στα αξιώματα του Kolmogorov. Ως αποτέλεσμα όλων των αλλαγών, η θεωρία των πιθανοτήτων έχει γίνει ένας από τους μαθηματικούς κλάδους.

Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξελίξεις

Η κύρια έννοια αυτής της πειθαρχίας είναι το «γεγονός». Οι εκδηλώσεις είναι τριών ειδών:

Αξιόπιστος.Αυτά που θα γίνουν ούτως ή άλλως (θα πέσει το φλουρί).
Αδύνατο.Γεγονότα που δεν θα συμβούν σε κανένα σενάριο (το κέρμα θα παραμείνει κρεμασμένο στον αέρα).
Τυχαίος.Αυτά που θα γίνουν ή δεν θα συμβούν. Μπορούν να επηρεαστούν από διάφορους παράγοντες που είναι πολύ δύσκολο να προβλεφθούν. Αν μιλάμε για νόμισμα, τότε τυχαίοι παράγοντες που μπορούν να επηρεάσουν το αποτέλεσμα: τα φυσικά χαρακτηριστικά του νομίσματος, το σχήμα του, η αρχική του θέση, η δύναμη ρίψης κ.λπ.

Όλα τα συμβάντα στα παραδείγματα σημειώνονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα, με εξαίρεση το R, το οποίο έχει διαφορετικό ρόλο. Για παράδειγμα:

Α = "οι μαθητές ήρθαν στη διάλεξη."
Ā = «οι μαθητές δεν ήρθαν στη διάλεξη».

Στις πρακτικές εργασίες, τα γεγονότα καταγράφονται συνήθως με λέξεις.

Ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά των γεγονότων είναι η ίση δυνατότητά τους. Δηλαδή, εάν πετάξετε ένα νόμισμα, όλες οι παραλλαγές της αρχικής πτώσης είναι δυνατές μέχρι να πέσει. Αλλά και τα γεγονότα δεν είναι εξίσου πιθανά. Αυτό συμβαίνει όταν κάποιος επηρεάζει σκόπιμα το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, «σημειωμένα» τραπουλόχαρτα ή ζάρια, στα οποία μετατοπίζεται το κέντρο βάρους.

Τα συμβάντα είναι επίσης συμβατά και ασύμβατα. Τα συμβατά συμβάντα δεν αποκλείουν την εμφάνιση του ενός του άλλου. Για παράδειγμα:

Α = "ο μαθητής ήρθε στη διάλεξη."
Β = "ο μαθητής ήρθε στη διάλεξη."

Αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και η εμφάνιση του ενός από αυτά δεν επηρεάζει την εμφάνιση του άλλου. Τα ασυμβίβαστα γεγονότα ορίζονται από το γεγονός ότι η εμφάνιση του ενός αποκλείει την εμφάνιση του άλλου. Αν μιλάμε για το ίδιο νόμισμα, τότε η απώλεια των «ουρών» καθιστά αδύνατη την εμφάνιση «κεφαλιών» στο ίδιο πείραμα.

Δράσεις σε εκδηλώσεις

Τα συμβάντα μπορούν να πολλαπλασιαστούν και να προστεθούν, αντίστοιχα, οι λογικές συνδέσεις "AND" και "OR" εισάγονται στον κλάδο.

Το ποσό καθορίζεται από το γεγονός ότι είτε το γεγονός Α είτε το Β είτε και τα δύο μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Στην περίπτωση που δεν είναι συμβατά, η τελευταία επιλογή είναι αδύνατη, είτε ο Α είτε ο Β θα αποχωρήσουν.

Ο πολλαπλασιασμός των γεγονότων συνίσταται στην εμφάνιση του Α και του Β ταυτόχρονα.

Τώρα μπορείτε να δώσετε μερικά παραδείγματα για να θυμάστε καλύτερα τα βασικά, τη θεωρία πιθανοτήτων και τους τύπους. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων παρακάτω.

Ασκηση 1: Η εταιρεία υποβάλλει προσφορές για συμβάσεις για τρία είδη εργασιών. Πιθανά γεγονότα που μπορεί να συμβούν:

A = "η εταιρεία θα λάβει το πρώτο συμβόλαιο."
A 1 = "η εταιρεία δεν θα λάβει το πρώτο συμβόλαιο."
B = "η εταιρεία θα λάβει ένα δεύτερο συμβόλαιο."
B 1 = "η εταιρεία δεν θα λάβει δεύτερη σύμβαση"
C = "η εταιρεία θα λάβει ένα τρίτο συμβόλαιο."
C 1 = "η εταιρεία δεν θα λάβει τρίτη σύμβαση."

Ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε τις ακόλουθες καταστάσεις χρησιμοποιώντας ενέργειες σε συμβάντα:

K = "η εταιρεία θα λάβει όλα τα συμβόλαια."

Σε μαθηματική μορφή, η εξίσωση θα μοιάζει με αυτό: K = ABC.

M = "η εταιρεία δεν θα λάβει ούτε ένα συμβόλαιο."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Περιπλέκουμε το έργο: H = "η εταιρεία θα λάβει ένα συμβόλαιο." Δεδομένου ότι δεν είναι γνωστό ποια σύμβαση θα λάβει η εταιρεία (το πρώτο, δεύτερο ή τρίτο), είναι απαραίτητο να καταγραφεί ολόκληρο το φάσμα των πιθανών γεγονότων:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Και το 1 π.Χ. 1 είναι μια σειρά γεγονότων όπου η εταιρεία δεν λαμβάνει το πρώτο και το τρίτο συμβόλαιο, αλλά λαμβάνει το δεύτερο. Με την αντίστοιχη μέθοδο καταγράφονται και άλλα πιθανά συμβάντα. Το σύμβολο υ στον κλάδο υποδηλώνει μια δέσμη "OR". Εάν μεταφράσουμε το παραπάνω παράδειγμα σε ανθρώπινη γλώσσα, τότε η εταιρεία θα λάβει είτε το τρίτο συμβόλαιο, είτε το δεύτερο, είτε το πρώτο. Ομοίως, μπορείτε να γράψετε άλλες συνθήκες στον κλάδο "Θεωρία Πιθανοτήτων". Οι τύποι και τα παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που παρουσιάζονται παραπάνω θα σας βοηθήσουν να το κάνετε μόνοι σας.

Στην πραγματικότητα, η πιθανότητα

Ίσως, σε αυτόν τον μαθηματικό κλάδο, η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι μια κεντρική έννοια. Υπάρχουν 3 ορισμοί της πιθανότητας:

κλασσικός;
στατιστικός;
γεωμετρικός.

Το καθένα έχει τη θέση του στη μελέτη των πιθανοτήτων. Η θεωρία πιθανοτήτων, οι τύποι και τα παραδείγματα (Βαθμός 9) χρησιμοποιούν κυρίως τον κλασικό ορισμό, ο οποίος ακούγεται ως εξής:

Η πιθανότητα της κατάστασης Α είναι ίση με τον λόγο του αριθμού των αποτελεσμάτων που ευνοούν την εμφάνισή της προς τον αριθμό όλων των πιθανών αποτελεσμάτων.

Ο τύπος μοιάζει με αυτό: P (A) \u003d m / n.

Και, στην πραγματικότητα, ένα γεγονός. Αν συμβαίνει το αντίθετο του Α, μπορεί να γραφτεί ως Ā ή A 1 .

m είναι ο αριθμός των πιθανών ευνοϊκών περιπτώσεων.

n - όλα τα γεγονότα που μπορούν να συμβούν.

Για παράδειγμα, Α \u003d "βγάλτε μια κάρτα με φόρμα καρδιάς". Υπάρχουν 36 φύλλα σε μια τυπική τράπουλα, 9 από αυτά είναι καρδιές. Κατά συνέπεια, ο τύπος για την επίλυση του προβλήματος θα μοιάζει με:

Ρ(Α)=9/36=0,25.

Ως αποτέλεσμα, η πιθανότητα να τραβηχτεί ένα φύλλο που ταιριάζει στην καρδιά από την τράπουλα θα είναι 0,25.

στα ανώτερα μαθηματικά

Τώρα έχει γίνει λίγο γνωστό τι είναι η θεωρία των πιθανοτήτων, τύποι και παραδείγματα επίλυσης εργασιών που συναντώνται στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Ωστόσο, η θεωρία των πιθανοτήτων συναντάται και στα ανώτερα μαθηματικά, τα οποία διδάσκονται στα πανεπιστήμια. Τις περισσότερες φορές, λειτουργούν με γεωμετρικούς και στατιστικούς ορισμούς της θεωρίας και σύνθετους τύπους.

Η θεωρία των πιθανοτήτων είναι πολύ ενδιαφέρουσα. Οι τύποι και τα παραδείγματα (ανώτερα μαθηματικά) είναι καλύτερα να αρχίσετε να μαθαίνετε από ένα μικρό - από έναν στατιστικό (ή συχνότητα) ορισμό της πιθανότητας.

Η στατιστική προσέγγιση δεν έρχεται σε αντίθεση με την κλασική προσέγγιση, αλλά την επεκτείνει ελαφρώς. Εάν στην πρώτη περίπτωση ήταν απαραίτητο να προσδιοριστεί με ποιο βαθμό πιθανότητας θα συμβεί ένα γεγονός, τότε σε αυτή τη μέθοδο είναι απαραίτητο να υποδειχθεί πόσο συχνά θα συμβεί. Εδώ εισάγεται μια νέα έννοια της «σχετικής συχνότητας», η οποία μπορεί να συμβολιστεί με W n (A). Η φόρμουλα δεν διαφέρει από την κλασική:

Εάν ο κλασικός τύπος υπολογίζεται για την πρόβλεψη, τότε ο στατιστικός υπολογίζεται σύμφωνα με τα αποτελέσματα του πειράματος. Πάρτε, για παράδειγμα, μια μικρή εργασία.

Το τμήμα τεχνολογικού ελέγχου ελέγχει τα προϊόντα για την ποιότητα. Ανάμεσα σε 100 προϊόντα, τα 3 βρέθηκαν κακής ποιότητας. Πώς να βρείτε την πιθανότητα συχνότητας ενός ποιοτικού προϊόντος;

A = "η εμφάνιση ενός ποιοτικού προϊόντος."

W n (A)=97/100=0,97

Έτσι, η συχνότητα ενός ποιοτικού προϊόντος είναι 0,97. Από πού πήρες το 97; Από τα 100 προϊόντα που ελέγχθηκαν, τα 3 αποδείχθηκαν κακής ποιότητας. Αφαιρούμε 3 από το 100, παίρνουμε 97, αυτή είναι η ποσότητα ενός ποιοτικού προϊόντος.

Λίγα λόγια για τη συνδυαστική

Μια άλλη μέθοδος της θεωρίας πιθανοτήτων ονομάζεται συνδυαστική. Η βασική του αρχή είναι ότι εάν μια ορισμένη επιλογή Α μπορεί να γίνει με m διαφορετικούς τρόπους και μια επιλογή Β με n διαφορετικούς τρόπους, τότε η επιλογή των Α και Β μπορεί να γίνει πολλαπλασιάζοντας.

Για παράδειγμα, υπάρχουν 5 δρόμοι από την πόλη Α στην πόλη Β. Υπάρχουν 4 διαδρομές από την πόλη Β προς την πόλη Γ. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να φτάσετε από την πόλη Α στην πόλη Γ;

Είναι απλό: 5x4 = 20, δηλαδή, υπάρχουν είκοσι διαφορετικοί τρόποι για να φτάσετε από το σημείο Α στο σημείο Γ.

Ας κάνουμε το έργο πιο δύσκολο. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να παίξετε χαρτιά στο πασιέντζα; Σε μια τράπουλα 36 φύλλων, αυτό είναι το σημείο εκκίνησης. Για να μάθετε τον αριθμό των τρόπων, πρέπει να "αφαιρέσετε" ένα φύλλο από το σημείο εκκίνησης και να πολλαπλασιάσετε.

Δηλαδή, 36x35x34x33x32…x2x1= το αποτέλεσμα δεν χωράει στην οθόνη της αριθμομηχανής, επομένως μπορεί απλά να συμβολιστεί ως 36!. Σημάδι "!" δίπλα στον αριθμό υποδεικνύει ότι ολόκληρη η σειρά των αριθμών πολλαπλασιάζεται μεταξύ τους.

Στη συνδυαστική, υπάρχουν έννοιες όπως η μετάθεση, η τοποθέτηση και ο συνδυασμός. Κάθε ένα από αυτά έχει τη δική του φόρμουλα.

Ένα διατεταγμένο σύνολο στοιχείων συνόλου ονομάζεται διάταξη. Οι τοποθετήσεις μπορεί να είναι επαναλαμβανόμενες, που σημαίνει ότι ένα στοιχείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολλές φορές. Και χωρίς επανάληψη, όταν τα στοιχεία δεν επαναλαμβάνονται. n είναι όλα τα στοιχεία, m είναι τα στοιχεία που συμμετέχουν στην τοποθέτηση. Η φόρμουλα για την τοποθέτηση χωρίς επαναλήψεις θα μοιάζει με:

A n m =n!/(n-m)!

Οι συνδέσεις n στοιχείων που διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά τοποθέτησης ονομάζονται μεταθέσεις. Στα μαθηματικά, αυτό μοιάζει με: P n = n!

Συνδυασμοί n στοιχείων κατά m είναι τέτοιες ενώσεις στις οποίες είναι σημαντικό ποια στοιχεία ήταν και ποιος είναι ο συνολικός αριθμός τους. Ο τύπος θα μοιάζει με:

A n m =n!/m!(n-m)!

Φόρμουλα Bernoulli

Στη θεωρία των πιθανοτήτων, όπως και σε κάθε κλάδο, υπάρχουν έργα εξαιρετικών ερευνητών στον τομέα τους που την έχουν ανεβάσει σε νέο επίπεδο. Ένα από αυτά τα έργα είναι ο τύπος Bernoulli, ο οποίος σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος να συμβεί υπό ανεξάρτητες συνθήκες. Αυτό υποδηλώνει ότι η εμφάνιση του Α σε ένα πείραμα δεν εξαρτάται από την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση του ίδιου γεγονότος σε προηγούμενες ή επόμενες δοκιμές.

Εξίσωση Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Η πιθανότητα (ρ) της εμφάνισης του γεγονότος (Α) παραμένει αμετάβλητη για κάθε δοκιμή. Η πιθανότητα να συμβεί η κατάσταση ακριβώς m φορές σε n αριθμό πειραμάτων θα υπολογιστεί από τον τύπο που παρουσιάζεται παραπάνω. Κατά συνέπεια, τίθεται το ερώτημα πώς να βρείτε τον αριθμό q.

Αν το γεγονός Α συμβεί p πολλές φορές, κατά συνέπεια, μπορεί να μην συμβεί. Μια μονάδα είναι ένας αριθμός που χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει όλα τα αποτελέσματα μιας κατάστασης σε έναν κλάδο. Επομένως, το q είναι ένας αριθμός που υποδεικνύει την πιθανότητα να μην συμβεί το συμβάν.

Τώρα γνωρίζετε τον τύπο Bernoulli (θεωρία πιθανοτήτων). Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων (το πρώτο επίπεδο) θα εξεταστούν παρακάτω.

Εργασία 2:Ένας επισκέπτης του καταστήματος θα κάνει μια αγορά με πιθανότητα 0,2. Στο κατάστημα μπήκαν ανεξάρτητα 6 επισκέπτες. Ποια είναι η πιθανότητα ένας επισκέπτης να κάνει μια αγορά;

Λύση: Δεδομένου ότι δεν είναι γνωστό πόσοι επισκέπτες πρέπει να κάνουν μια αγορά, ένας ή και οι έξι, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν όλες οι πιθανές πιθανότητες χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli.

A = "ο επισκέπτης θα κάνει μια αγορά."

Σε αυτήν την περίπτωση: p = 0,2 (όπως υποδεικνύεται στην εργασία). Αντίστοιχα, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (γιατί υπάρχουν 6 πελάτες στο κατάστημα). Ο αριθμός m θα αλλάξει από 0 (κανένας πελάτης δεν θα κάνει αγορά) σε 6 (όλοι οι επισκέπτες του καταστήματος θα αγοράσουν κάτι). Ως αποτέλεσμα, έχουμε τη λύση:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Κανένας από τους αγοραστές δεν θα πραγματοποιήσει αγορά με πιθανότητα 0,2621.

Πώς αλλιώς χρησιμοποιείται ο τύπος Bernoulli (θεωρία πιθανοτήτων); Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων (δεύτερο επίπεδο) παρακάτω.

Μετά το παραπάνω παράδειγμα, προκύπτουν ερωτήματα σχετικά με το πού έχουν πάει το C και το p. Σε σχέση με το p, ένας αριθμός με τη δύναμη του 0 θα είναι ίσος με ένα. Όσο για το C, μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

C n m = n! /m!(n-m)!

Αφού στο πρώτο παράδειγμα m = 0, αντίστοιχα, C=1, που κατ' αρχήν δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Χρησιμοποιώντας τη νέα φόρμουλα, ας προσπαθήσουμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα αγοράς αγαθών από δύο επισκέπτες.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Η θεωρία των πιθανοτήτων δεν είναι τόσο περίπλοκη. Ο τύπος Bernoulli, παραδείγματα του οποίου παρουσιάζονται παραπάνω, είναι μια άμεση απόδειξη αυτού.

Φόρμουλα Poisson

Η εξίσωση Poisson χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό απίθανων τυχαίων καταστάσεων.

Βασικός τύπος:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Στην περίπτωση αυτή, λ = n x p. Εδώ είναι ένας τόσο απλός τύπος Poisson (θεωρία πιθανοτήτων). Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων θα εξεταστούν παρακάτω.

Εργασία 3Α: Το εργοστάσιο παρήγαγε 100.000 εξαρτήματα. Εμφάνιση ελαττωματικού εξαρτήματος = 0,0001. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν 5 ελαττωματικά εξαρτήματα σε μια παρτίδα;

Όπως μπορείτε να δείτε, ο γάμος είναι ένα απίθανο γεγονός, και ως εκ τούτου ο τύπος Poisson (θεωρία πιθανοτήτων) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων αυτού του είδους δεν διαφέρουν από άλλα καθήκοντα του κλάδου, αντικαθιστούμε τα απαραίτητα δεδομένα στον παραπάνω τύπο:

A = "ένα τυχαία επιλεγμένο μέρος θα είναι ελαττωματικό."

p = 0,0001 (σύμφωνα με τη συνθήκη ανάθεσης).

n = 100000 (αριθμός εξαρτημάτων).

m = 5 (ελαττωματικά μέρη). Αντικαθιστούμε τα δεδομένα στον τύπο και παίρνουμε:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

Ακριβώς όπως ο τύπος Bernoulli (θεωρία πιθανοτήτων), παραδείγματα λύσεων που χρησιμοποιούν τα οποία γράφτηκαν παραπάνω, η εξίσωση Poisson έχει ένα άγνωστο ε. Στην ουσία, μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Ωστόσο, υπάρχουν ειδικοί πίνακες που περιέχουν σχεδόν όλες τις τιμές του e.

Θεώρημα De Moivre-Laplace

Εάν στο σχήμα Bernoulli ο αριθμός των δοκιμών είναι αρκετά μεγάλος και η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α σε όλα τα σχήματα είναι η ίδια, τότε η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α ορισμένες φορές σε μια σειρά δοκιμών μπορεί να είναι βρέθηκε από τον τύπο Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Για να θυμάστε καλύτερα τον τύπο Laplace (θεωρία πιθανοτήτων), παραδείγματα εργασιών που θα βοηθήσετε παρακάτω.

Πρώτα βρίσκουμε το X m , αντικαθιστούμε τα δεδομένα (όλα υποδεικνύονται παραπάνω) στον τύπο και παίρνουμε 0,025. Χρησιμοποιώντας πίνακες, βρίσκουμε τον αριθμό ϕ (0,025), η τιμή του οποίου είναι 0,3988. Τώρα μπορείτε να αντικαταστήσετε όλα τα δεδομένα στον τύπο:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Άρα η πιθανότητα το ιπτάμενο να χτυπήσει ακριβώς 267 φορές είναι 0,03.

Φόρμουλα Bayes

Ο τύπος Bayes (θεωρία πιθανοτήτων), παραδείγματα επίλυσης εργασιών με τη βοήθεια των οποίων θα δοθούν παρακάτω, είναι μια εξίσωση που περιγράφει την πιθανότητα ενός γεγονότος, με βάση τις συνθήκες που θα μπορούσαν να σχετίζονται με αυτό. Η κύρια φόρμουλα είναι η εξής:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

Τα Α και Β είναι καθορισμένα γεγονότα.

P(A|B) - υπό όρους πιθανότητα, δηλαδή, το γεγονός Α μπορεί να συμβεί, υπό την προϋπόθεση ότι το γεγονός Β είναι αληθές.

Р (В|А) - υπό όρους πιθανότητα γεγονότος В.

Έτσι, το τελευταίο μέρος του σύντομου μαθήματος "Θεωρία των Πιθανοτήτων" είναι ο τύπος Bayes, παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με τα οποία παρατίθενται παρακάτω.

Εργασία 5: Στην αποθήκη μεταφέρθηκαν τηλέφωνα από τρεις εταιρείες. Ταυτόχρονα, μέρος των τηλεφώνων που κατασκευάζονται στο πρώτο εργοστάσιο είναι 25%, στο δεύτερο - 60%, στο τρίτο - 15%. Είναι επίσης γνωστό ότι το μέσο ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων στο πρώτο εργοστάσιο είναι 2%, στο δεύτερο - 4%, και στο τρίτο - 1%. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο τηλέφωνο να είναι ελαττωματικό.

A = "τυχαία λήψη τηλεφώνου."

B 1 - το τηλέφωνο που έφτιαξε το πρώτο εργοστάσιο. Αντίστοιχα, θα εμφανιστούν τα εισαγωγικά B 2 και B 3 (για το δεύτερο και το τρίτο εργοστάσιο).

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - έτσι βρήκαμε την πιθανότητα κάθε επιλογής.

Τώρα πρέπει να βρείτε τις υπό όρους πιθανότητες του επιθυμητού συμβάντος, δηλαδή την πιθανότητα ελαττωματικών προϊόντων σε εταιρείες:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Τώρα αντικαθιστούμε τα δεδομένα στον τύπο Bayes και παίρνουμε:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Το άρθρο παρουσιάζει τη θεωρία των πιθανοτήτων, τύπους και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων, αλλά αυτή είναι μόνο η κορυφή του παγόβουνου μιας τεράστιας πειθαρχίας. Και μετά από όλα αυτά που γράφτηκαν, θα είναι λογικό να τεθεί το ερώτημα αν χρειάζεται η θεωρία των πιθανοτήτων στη ζωή. Είναι δύσκολο για ένα απλό άτομο να απαντήσει, είναι καλύτερο να ρωτήσετε κάποιον που έχει πετύχει το τζακ ποτ περισσότερες από μία φορές με τη βοήθειά του.

Πιθανότητα - ο βαθμός (σχετικό μέτρο, ποσοτική εκτίμηση) της πιθανότητας εμφάνισης κάποιου γεγονότος. Όταν οι λόγοι για την πραγματοποίηση κάποιου πιθανού συμβάντος υπερτερούν των αντίθετων λόγων, τότε αυτό το γεγονός ονομάζεται πιθανό, διαφορετικά - απίθανο ή απίθανο. Η υπεροχή των θετικών λόγων έναντι των αρνητικών, και αντίστροφα, μπορεί να είναι σε διάφορους βαθμούς, με αποτέλεσμα η πιθανότητα (και η απιθανότητα) να είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη. Ως εκ τούτου, η πιθανότητα εκτιμάται συχνά σε ποιοτικό επίπεδο, ειδικά σε περιπτώσεις όπου μια περισσότερο ή λιγότερο ακριβής ποσοτική εκτίμηση είναι αδύνατη ή εξαιρετικά δύσκολη. Είναι δυνατές διάφορες διαβαθμίσεις «επιπέδων» πιθανοτήτων.
Η μελέτη των πιθανοτήτων από μαθηματική άποψη είναι ένας ειδικός κλάδος - η θεωρία των πιθανοτήτων. Στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική, η έννοια της πιθανότητας επισημοποιείται ως αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός γεγονότος - ένα μέτρο πιθανότητας (ή η τιμή του) - ένα μέτρο σε ένα σύνολο γεγονότων (υποσύνολα ενός συνόλου στοιχειωδών γεγονότων), λαμβάνοντας τιμές από
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Εννοια
(\displaystyle 1)
Αντιστοιχεί σε έγκυρο συμβάν. Ένα αδύνατο γεγονός έχει πιθανότητα 0 (το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει πάντα). Αν η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός είναι
(\displaystyle p)
Τότε η πιθανότητα μη εμφάνισής του είναι ίση με
(\displaystyle 1-p)
Ειδικότερα, η πιθανότητα
(\displaystyle 1/2)
Σημαίνει ίση πιθανότητα να συμβεί και να μην συμβεί το συμβάν.
Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας βασίζεται στην έννοια της ισοπιθανότητας των αποτελεσμάτων. Η πιθανότητα είναι ο λόγος του αριθμού των αποτελεσμάτων που ευνοούν ένα δεδομένο γεγονός προς τον συνολικό αριθμό των εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα, η πιθανότητα να έρθουν τα κεφάλια ή οι ουρές σε μια τυχαία ρίψη νομίσματος είναι 1/2 εάν υποθέσουμε ότι συμβαίνουν μόνο αυτές οι δύο πιθανότητες και είναι εξίσου πιθανές. Αυτός ο κλασικός «ορισμός» της πιθανότητας μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση ενός άπειρου αριθμού πιθανών τιμών - για παράδειγμα, εάν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί με ίση πιθανότητα σε οποιοδήποτε σημείο (ο αριθμός των σημείων είναι άπειρος) κάποιας περιορισμένης περιοχής χώρο (επίπεδο), τότε η πιθανότητα να συμβεί σε κάποιο μέρος αυτής της επιτρεπόμενης περιοχής είναι ίση με την αναλογία του όγκου (εμβαδού) αυτού του τμήματος προς τον όγκο (εμβαδόν) της περιοχής όλων των πιθανών σημείων .
Ο εμπειρικός «ορισμός» της πιθανότητας σχετίζεται με τη συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος, με βάση το γεγονός ότι με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό δοκιμών, η συχνότητα θα πρέπει να τείνει στον αντικειμενικό βαθμό πιθανότητας αυτού του γεγονότος. Στη σύγχρονη παρουσίαση της θεωρίας των πιθανοτήτων, η πιθανότητα ορίζεται αξιωματικά, ως ειδική περίπτωση της αφηρημένης θεωρίας του μέτρου ενός συνόλου. Ωστόσο, ο σύνδεσμος μεταξύ του αφηρημένου μέτρου και της πιθανότητας, που εκφράζει τον βαθμό πιθανότητας ενός γεγονότος, είναι ακριβώς η συχνότητα παρατήρησής του.
Η πιθανολογική περιγραφή ορισμένων φαινομένων έχει γίνει ευρέως διαδεδομένη στη σύγχρονη επιστήμη, ιδιαίτερα στην οικονομετρία, τη στατιστική φυσική των μακροσκοπικών (θερμοδυναμικών) συστημάτων, όπου ακόμη και στην περίπτωση μιας κλασικής ντετερμινιστικής περιγραφής της κίνησης των σωματιδίων, μια ντετερμινιστική περιγραφή ολόκληρου του συστήματος των σωματιδίων δεν είναι πρακτικά δυνατό και κατάλληλο. Στην κβαντική φυσική, οι ίδιες οι περιγραφόμενες διαδικασίες είναι πιθανολογικής φύσης.

Θέλετε να μάθετε ποιες είναι οι μαθηματικές πιθανότητες επιτυχίας του στοιχήματός σας; Τότε έχουμε δύο καλά νέα για εσάς. Πρώτον: για να υπολογίσετε τη βατότητα, δεν χρειάζεται να κάνετε πολύπλοκους υπολογισμούς και να ξοδέψετε πολύ χρόνο. Αρκεί να χρησιμοποιήσετε απλούς τύπους, με τους οποίους θα χρειαστούν μερικά λεπτά για να δουλέψετε. Δεύτερον, αφού διαβάσετε αυτό το άρθρο, θα μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε την πιθανότητα να περάσετε οποιαδήποτε από τις συναλλαγές σας.

Για να προσδιορίσετε σωστά τη βατότητα, πρέπει να ακολουθήσετε τρία βήματα:

Υπολογίστε το ποσοστό της πιθανότητας έκβασης ενός γεγονότος σύμφωνα με το γραφείο του στοιχηματισμού.
Υπολογίστε μόνοι σας την πιθανότητα από στατιστικά δεδομένα.
Μάθετε την αξία ενός στοιχήματος με δεδομένες και τις δύο πιθανότητες.

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς κάθε ένα από τα βήματα, χρησιμοποιώντας όχι μόνο τύπους, αλλά και παραδείγματα.

Γρήγορο πέρασμα

Υπολογισμός της πιθανότητας που ενσωματώνεται στις αποδόσεις στοιχήματος

Το πρώτο βήμα είναι να μάθετε με ποια πιθανότητα ο bookmaker αξιολογεί τις πιθανότητες για ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Άλλωστε, είναι ξεκάθαρο ότι οι στοιχηματιστές δεν στοιχηματίζουν αποδόσεις ακριβώς έτσι. Για αυτό χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο:

Πσι=(1/K)*100%,

όπου P B είναι η πιθανότητα του αποτελέσματος σύμφωνα με το γραφείο του bookmaker.

K - αποδόσεις στοιχηματισμού για το αποτέλεσμα.

Ας πούμε ότι οι πιθανότητες για τη νίκη της Άρσεναλ του Λονδίνου σε μονομαχία με την Μπάγερν είναι 4. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα νίκης της από την BC θεωρείται ως (1/4) * 100% = 25%. Ή Τζόκοβιτς παίζει εναντίον του Νότου. Ο πολλαπλασιαστής για τη νίκη του Νόβακ είναι 1,2, οι πιθανότητές του είναι ίσες με (1/1,2)*100%=83%.

Έτσι ο ίδιος ο bookmaker αξιολογεί τις πιθανότητες επιτυχίας για κάθε παίκτη και ομάδα. Έχοντας ολοκληρώσει το πρώτο βήμα, προχωράμε στο δεύτερο.

Υπολογισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος από τον παίκτη

Το δεύτερο σημείο του σχεδίου μας είναι η δική μας εκτίμηση για την πιθανότητα του συμβάντος. Δεδομένου ότι δεν μπορούμε να λάβουμε μαθηματικά υπόψη παραμέτρους όπως το κίνητρο, ο τόνος του παιχνιδιού, θα χρησιμοποιήσουμε ένα απλοποιημένο μοντέλο και θα χρησιμοποιήσουμε μόνο τα στατιστικά στοιχεία των προηγούμενων συναντήσεων. Για να υπολογίσουμε τη στατιστική πιθανότητα ενός αποτελέσματος, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

ΠΚαι\u003d (UM / M) * 100%,

όπουΠΚαι- η πιθανότητα του γεγονότος σύμφωνα με τον παίκτη.

UM - ο αριθμός των επιτυχημένων αγώνων στους οποίους έλαβε χώρα ένα τέτοιο γεγονός.

M είναι ο συνολικός αριθμός αγώνων.

Για να γίνει πιο σαφές, ας δώσουμε παραδείγματα. Οι Andy Murray και Rafael Nadal έχουν παίξει 14 αγώνες. Σε 6 από αυτά καταγράφηκαν συνολικά παιχνίδια κάτω από 21, στα 8 - συνολικά over. Είναι απαραίτητο να μάθουμε την πιθανότητα ο επόμενος αγώνας να παιχτεί με συνολικό over: (8/14)*100=57%. Η Βαλένθια έπαιξε 74 αγώνες στο Mestalla εναντίον της Ατλέτικο, στους οποίους σημείωσε 29 νίκες. Πιθανότητα νίκης της Βαλένθια: (29/74)*100%=39%.

Και αυτό το γνωρίζουμε όλοι μόνο χάρη στα στατιστικά των προηγούμενων αγώνων! Φυσικά, μια τέτοια πιθανότητα δεν μπορεί να υπολογιστεί για κάποια νέα ομάδα ή παίκτη, επομένως αυτή η στρατηγική στοιχηματισμού είναι κατάλληλη μόνο για αγώνες στους οποίους οι αντίπαλοι δεν συναντώνται για πρώτη φορά. Τώρα ξέρουμε πώς να προσδιορίζουμε τα στοιχήματα και τις δικές μας πιθανότητες αποτελεσμάτων, και έχουμε όλες τις γνώσεις για να πάμε στο τελευταίο βήμα.

Προσδιορισμός της αξίας ενός στοιχήματος

Η αξία (valuability) του στοιχήματος και η βατότητα συνδέονται άμεσα: όσο υψηλότερη είναι η αποτίμηση, τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα μιας πάσας. Η τιμή υπολογίζεται ως εξής:

V=ΠΚαι*Κ-100%,

όπου V είναι η τιμή.

P I - η πιθανότητα ενός αποτελέσματος σύμφωνα με το καλύτερο.

K - αποδόσεις στοιχηματισμού για το αποτέλεσμα.

Ας πούμε ότι θέλουμε να ποντάρουμε στη Μίλαν να κερδίσει τον αγώνα με τη Ρόμα και υπολογίσαμε ότι η πιθανότητα να κερδίσουν οι Ερυθρόμαυροι είναι 45%. Ο πράκτορας στοιχημάτων μας προσφέρει συντελεστή 2,5 για αυτό το αποτέλεσμα. Θα ήταν πολύτιμο ένα τέτοιο στοίχημα; Πραγματοποιούμε υπολογισμούς: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Μπράβο, έχουμε ένα πολύτιμο στοίχημα με καλές πιθανότητες να περάσουμε.

Ας πάρουμε μια άλλη περίπτωση. Η Μαρία Σαράποβα παίζει με την Πέτρα Κβίτοβα. Θέλουμε να κάνουμε μια συμφωνία για να κερδίσει η Μαρία, η οποία, σύμφωνα με τους υπολογισμούς μας, έχει 60% πιθανότητα. Οι bookmakers προσφέρουν πολλαπλασιαστή 1,5 για αυτό το αποτέλεσμα. Προσδιορίστε την τιμή: V=60%*1,5-100=-10%. Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό το στοίχημα δεν έχει καμία αξία και θα πρέπει να το αποφύγετε.

Στην πραγματικότητα, οι τύποι (1) και (2) είναι μια σύντομη εγγραφή της υπό όρους πιθανότητας με βάση τον πίνακα απρόβλεπτων χαρακτηριστικών. Ας επιστρέψουμε στο εξεταζόμενο παράδειγμα (Εικ. 1). Ας πούμε ότι γνωρίζουμε ότι μια συγκεκριμένη οικογένεια πρόκειται να αγοράσει μια τηλεόραση ευρείας οθόνης. Ποια είναι η πιθανότητα αυτή η οικογένεια να αγοράσει πραγματικά μια τέτοια τηλεόραση;

Ρύζι. 1. Συμπεριφορά αγοραστή τηλεόρασης ευρείας οθόνης

Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να υπολογίσουμε την υπό όρους πιθανότητα P (η αγορά έγινε | η αγορά σχεδιάστηκε). Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι μια οικογένεια σχεδιάζει να αγοράσει, ο χώρος του δείγματος δεν αποτελείται και από τις 1.000 οικογένειες, αλλά μόνο εκείνες που σχεδιάζουν να αγοράσουν μια τηλεόραση ευρείας οθόνης. Από τις 250 τέτοιες οικογένειες, οι 200 αγόρασαν αυτή την τηλεόραση. Επομένως, η πιθανότητα ότι μια οικογένεια θα αγοράσει πραγματικά μια τηλεόραση ευρείας οθόνης, εάν το σχεδίαζε, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

P (πραγματοποιήθηκε αγορά | προγραμματισμένη αγορά) = αριθμός οικογενειών που σχεδιάζουν και αγοράζουν τηλεόραση ευρείας οθόνης / αριθμός οικογενειών που σχεδιάζουν να αγοράσουν τηλεόραση ευρείας οθόνης = 200 / 250 = 0,8

Το ίδιο αποτέλεσμα δίνεται από τον τύπο (2):

που είναι η εκδήλωση ΚΑΙείναι ότι η οικογένεια σχεδιάζει να αγοράσει μια τηλεόραση ευρείας οθόνης, και η εκδήλωση ΣΤΟ- ότι θα το αγοράσει πραγματικά. Αντικαθιστώντας τα πραγματικά δεδομένα στον τύπο, παίρνουμε:

δέντρο απόφασης

Στο σχ. 1 οικογένειες χωρίστηκαν σε τέσσερις κατηγορίες: σε αυτές που σχεδίαζαν να αγοράσουν μια τηλεόραση ευρείας οθόνης και σε αυτές που δεν το έκαναν, και σε αυτές που αγόρασαν μια τέτοια τηλεόραση και σε αυτές που δεν το έκαναν. Μια παρόμοια ταξινόμηση μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ένα δέντρο αποφάσεων (Εικ. 2). Το δέντρο που φαίνεται στο σχ. 2 έχει δύο υποκαταστήματα, που αντιστοιχούν σε οικογένειες που σχεδίαζαν να αγοράσουν μια τηλεόραση ευρείας οθόνης και σε οικογένειες που δεν το έκαναν. Κάθε ένα από αυτά τα υποκαταστήματα χωρίζεται σε δύο επιπλέον υποκαταστήματα, που αντιστοιχούν σε οικογένειες που αγόρασαν και δεν αγόρασαν τηλεόραση ευρείας οθόνης. Οι πιθανότητες που γράφονται στα άκρα των δύο κύριων κλάδων είναι οι άνευ όρων πιθανότητες γεγονότων ΚΑΙκαι ΚΑΙ'. Οι πιθανότητες που γράφονται στα άκρα των τεσσάρων πρόσθετων κλάδων είναι οι πιθανότητες υπό όρους κάθε συνδυασμού γεγονότων ΚΑΙκαι ΣΤΟ. Οι πιθανότητες υπό όρους υπολογίζονται διαιρώντας την κοινή πιθανότητα γεγονότων με την αντίστοιχη άνευ όρων πιθανότητα καθενός από αυτά.

Ρύζι. 2. Δέντρο απόφασης

Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό της πιθανότητας ότι μια οικογένεια θα αγοράσει μια τηλεόραση ευρείας οθόνης, εάν σχεδίαζε να το κάνει, θα πρέπει να καθορίσει την πιθανότητα του συμβάντος προγραμματισμένη και ολοκληρωμένη αγορά, και μετά διαιρέστε το με την πιθανότητα του συμβάντος προγραμματισμένη αγορά. Μετακίνηση κατά μήκος του δέντρου αποφάσεων που φαίνεται στο Σχ. 2, παίρνουμε την ακόλουθη (παρόμοια με την προηγούμενη) απάντηση:

Στατιστική ανεξαρτησία

Στο παράδειγμα αγοράς μιας τηλεόρασης ευρείας οθόνης, η πιθανότητα ότι μια τυχαία επιλεγμένη οικογένεια αγόρασε μια τηλεόραση ευρείας οθόνης, δεδομένου ότι σχεδίαζε να το κάνει είναι 200/250 = 0,8. Θυμηθείτε ότι η άνευ όρων πιθανότητα ότι μια τυχαία επιλεγμένη οικογένεια αγόρασε μια τηλεόραση ευρείας οθόνης είναι 300/1000 = 0,3. Από αυτό προκύπτει ένα πολύ σημαντικό συμπέρασμα. Οι εκ των προτέρων πληροφορίες ότι η οικογένεια σχεδίαζε μια αγορά επηρεάζει την πιθανότητα της ίδιας της αγοράς.Με άλλα λόγια, αυτά τα δύο γεγονότα εξαρτώνται το ένα από το άλλο. Σε αντίθεση με αυτό το παράδειγμα, υπάρχουν στατιστικά ανεξάρτητα γεγονότα των οποίων οι πιθανότητες δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο. Η στατιστική ανεξαρτησία εκφράζεται με την ταυτότητα: P(A|B) = P(A), όπου P(A|B)- πιθανότητα συμβάντος ΚΑΙυποθέτοντας ότι έχει συμβεί ένα γεγονός ΣΤΟ, P(A)είναι η άνευ όρων πιθανότητα του γεγονότος Α.

Σημειώστε ότι οι εκδηλώσεις ΚΑΙκαι ΣΤΟ P(A|B) = P(A). Εάν στον πίνακα έκτακτης ανάγκης χαρακτηριστικών, ο οποίος έχει μέγεθος 2 × 2, αυτή η συνθήκη ικανοποιείται για τουλάχιστον έναν συνδυασμό γεγονότων ΚΑΙκαι ΣΤΟ, θα ισχύει για οποιονδήποτε άλλο συνδυασμό. Στο παράδειγμά μας τα γεγονότα προγραμματισμένη αγοράκαι ολοκληρώθηκε η αγοράδεν είναι στατιστικά ανεξάρτητες επειδή οι πληροφορίες για ένα γεγονός επηρεάζουν την πιθανότητα ενός άλλου.

Ας δούμε ένα παράδειγμα που δείχνει πώς να ελέγξετε τη στατιστική ανεξαρτησία δύο γεγονότων. Ας ρωτήσουμε 300 οικογένειες που αγόρασαν τηλεόραση ευρείας οθόνης αν είναι ικανοποιημένες με την αγορά τους (Εικ. 3). Προσδιορίστε εάν ο βαθμός ικανοποίησης από την αγορά και ο τύπος της τηλεόρασης σχετίζονται.

Ρύζι. 3. Δεδομένα ικανοποίησης πελατών για τηλεοράσεις ευρείας οθόνης

Σύμφωνα με αυτά τα στοιχεία,

Ταυτοχρονα,

P (ικανοποιημένος πελάτης) = 240 / 300 = 0,80

Επομένως, η πιθανότητα ο πελάτης να είναι ικανοποιημένος με την αγορά και να έχει αγοράσει η οικογένεια HDTV είναι ίση και αυτά τα γεγονότα είναι στατιστικά ανεξάρτητα, αφού δεν σχετίζονται μεταξύ τους.

Κανόνας πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων

Ο τύπος για τον υπολογισμό της υπό όρους πιθανότητας σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την πιθανότητα ενός κοινού γεγονότος Α και Β. Επίλυση του τύπου (1)

ως προς την κοινή πιθανότητα Ρ(Α και Β), παίρνουμε τον γενικό κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων. Πιθανότητα συμβάντος Α και Βισούται με την πιθανότητα του γεγονότος ΚΑΙυπό την προϋπόθεση ότι η εκδήλωση ΣΤΟ ΣΤΟ:

(3) P(A και B) = P(A|B) * P(B)

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, 80 νοικοκυριά που αγόρασαν μια τηλεόραση υψηλής ευκρίνειας ευρείας οθόνης (Εικόνα 3). Ο πίνακας δείχνει ότι 64 οικογένειες είναι ικανοποιημένες με την αγορά και 16 όχι. Ας υποθέσουμε ότι δύο οικογένειες επιλέγονται τυχαία μεταξύ τους. Προσδιορίστε την πιθανότητα να μείνουν ικανοποιημένοι και οι δύο αγοραστές. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (3), παίρνουμε:

P(A και B) = P(A|B) * P(B)

που είναι η εκδήλωση ΚΑΙείναι ότι η δεύτερη οικογένεια είναι ικανοποιημένη με την αγορά τους, και η εκδήλωση ΣΤΟ- ότι η πρώτη οικογένεια είναι ικανοποιημένη με την αγορά της. Η πιθανότητα η πρώτη οικογένεια να είναι ικανοποιημένη με την αγορά της είναι 64/80. Ωστόσο, η πιθανότητα να είναι και η δεύτερη οικογένεια ικανοποιημένη με την αγορά τους εξαρτάται από την ανταπόκριση της πρώτης οικογένειας. Εάν η πρώτη οικογένεια δεν επιστραφεί στο δείγμα μετά την έρευνα (επιλογή χωρίς επιστροφή), ο αριθμός των ερωτηθέντων πέφτει στους 79. Εάν η πρώτη οικογένεια ήταν ικανοποιημένη με την αγορά της, η πιθανότητα να ικανοποιηθεί και η δεύτερη οικογένεια είναι 63/ 79, αφού μόνο 63 παρέμειναν στο δείγμα οικογένειες ικανοποιημένες με την αγορά τους. Έτσι, αντικαθιστώντας συγκεκριμένα δεδομένα στον τύπο (3), παίρνουμε την ακόλουθη απάντηση:

Ρ(Α και Β) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Επομένως, η πιθανότητα και οι δύο οικογένειες να είναι ικανοποιημένες με τις αγορές τους είναι 63,8%.

Ας υποθέσουμε ότι μετά την έρευνα, η πρώτη οικογένεια επιστρέφεται στο δείγμα. Προσδιορίστε την πιθανότητα και οι δύο οικογένειες να είναι ικανοποιημένες με την αγορά τους. Σε αυτή την περίπτωση, οι πιθανότητες να μείνουν ικανοποιημένες και οι δύο οικογένειες με την αγορά τους είναι ίδιες και ίσες με 64/80. Επομένως, Ρ(Α και Β) = (64/80)(64/80) = 0,64. Έτσι, η πιθανότητα και οι δύο οικογένειες να είναι ικανοποιημένες με τις αγορές τους είναι 64,0%. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι η επιλογή της δεύτερης οικογένειας δεν εξαρτάται από την επιλογή της πρώτης. Έτσι, αντικαθιστώντας στον τύπο (3) την υπό όρους πιθανότητα P(A|B)πιθανότητα P(A), λαμβάνουμε έναν τύπο για τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων.

Κανόνας πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων.Αν τα γεγονότα ΚΑΙκαι ΣΤΟείναι στατιστικά ανεξάρτητες, η πιθανότητα ενός γεγονότος Α και Βισούται με την πιθανότητα του γεγονότος ΚΑΙπολλαπλασιαζόμενη με την πιθανότητα του συμβάντος ΣΤΟ.

(4) P(A και B) = P(A)P(B)

Εάν αυτός ο κανόνας ισχύει για γεγονότα ΚΑΙκαι ΣΤΟ, πράγμα που σημαίνει ότι είναι στατιστικά ανεξάρτητα. Έτσι, υπάρχουν δύο τρόποι για τον προσδιορισμό της στατιστικής ανεξαρτησίας δύο γεγονότων:

Εξελίξεις ΚΑΙκαι ΣΤΟείναι στατιστικά ανεξάρτητες μεταξύ τους αν και μόνο αν P(A|B) = P(A).
Εξελίξεις ΚΑΙκαι σιείναι στατιστικά ανεξάρτητες μεταξύ τους αν και μόνο αν P(A και B) = P(A)P(B).

Εάν στον πίνακα έκτακτης ανάγκης χαρακτηριστικών, ο οποίος έχει μέγεθος 2 × 2, ικανοποιείται μία από αυτές τις προϋποθέσεις για τουλάχιστον έναν συνδυασμό γεγονότων ΚΑΙκαι σι, θα ισχύει για οποιονδήποτε άλλο συνδυασμό.

Χωρίς όρους πιθανότητα στοιχειώδους γεγονότος

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

όπου τα γεγονότα B 1 , B 2 , … B k είναι αμοιβαία αποκλειόμενα και εξαντλητικά.

Επεξηγούμε την εφαρμογή αυτού του τύπου στο παράδειγμα του Σχ.1. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (5), παίρνουμε:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

όπου P(A)- η πιθανότητα ότι η αγορά είχε προγραμματιστεί, P(B 1)- η πιθανότητα να γίνει η αγορά, P(B 2)- η πιθανότητα να μην γίνει η αγορά.

ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES

Η υπό όρους πιθανότητα ενός γεγονότος λαμβάνει υπόψη την πληροφορία ότι έχει συμβεί κάποιο άλλο γεγονός. Αυτή η προσέγγιση μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για τη βελτίωση της πιθανότητας, λαμβάνοντας υπόψη τις πληροφορίες που ελήφθησαν πρόσφατα, όσο και για τον υπολογισμό της πιθανότητας ότι το παρατηρούμενο αποτέλεσμα είναι το αποτέλεσμα κάποιας συγκεκριμένης αιτίας. Η διαδικασία για τον καθαρισμό αυτών των πιθανοτήτων ονομάζεται θεώρημα Bayes. Αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Thomas Bayes τον 18ο αιώνα.

Ας υποθέσουμε ότι η εταιρεία που αναφέρεται παραπάνω ερευνά την αγορά για ένα νέο μοντέλο τηλεόρασης. Στο παρελθόν, το 40% των τηλεοράσεων που δημιουργήθηκαν από την εταιρεία ήταν επιτυχημένες και το 60% των μοντέλων δεν αναγνωρίστηκαν. Πριν ανακοινώσουν την κυκλοφορία ενός νέου μοντέλου, οι έμποροι ερευνούν προσεκτικά την αγορά και συλλαμβάνουν τη ζήτηση. Στο παρελθόν, η επιτυχία του 80% των μοντέλων που έλαβαν αναγνώριση είχε προβλεφθεί εκ των προτέρων, ενώ το 30% των ευνοϊκών προβλέψεων αποδείχτηκε λάθος. Για το νέο μοντέλο, το τμήμα μάρκετινγκ έδωσε ευνοϊκή πρόβλεψη. Ποια είναι η πιθανότητα να έχει ζήτηση ένα νέο μοντέλο τηλεόρασης;

Το θεώρημα του Bayes μπορεί να προέλθει από τους ορισμούς της υπό όρους πιθανότητας (1) και (2). Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα Р(В|А), παίρνουμε τον τύπο (2):

και αντικαταστήστε αντί για P(A και B) την τιμή από τον τύπο (3):

P(A και B) = P(A|B) * P(B)

Αντικαθιστώντας τον τύπο (5) αντί του P(A), λαμβάνουμε το θεώρημα Bayes:

όπου τα γεγονότα B 1 , B 2 , ... B k είναι αμοιβαία αποκλειόμενα και εξαντλητικά.

Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: συμβάν S - Η τηλεόραση είναι σε ζήτηση, εκδήλωση S' - Η τηλεόραση δεν είναι σε ζήτηση, συμβάν F - ευνοϊκή πρόγνωση, συμβάν F' - κακή πρόγνωση. Ας πούμε ότι P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bayes, παίρνουμε:

Η πιθανότητα ζήτησης για ένα νέο μοντέλο τηλεόρασης, με την επιφύλαξη ευνοϊκής πρόβλεψης, είναι 0,64. Έτσι, η πιθανότητα έλλειψης ζήτησης υπό την προϋπόθεση ευνοϊκής πρόβλεψης είναι 1–0,64=0,36. Η διαδικασία υπολογισμού φαίνεται στο σχ. τέσσερις.

Ρύζι. 4. (α) Μπεϋζιανοί υπολογισμοί για την εκτίμηση της πιθανότητας ζήτησης τηλεόρασης. (β) Δέντρο αποφάσεων για την έρευνα ζήτησης για ένα νέο μοντέλο τηλεόρασης

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα εφαρμογής του θεωρήματος του Bayes για ιατρική διαγνωστική. Η πιθανότητα ένα άτομο να πάσχει από μια συγκεκριμένη ασθένεια είναι 0,03. Μια ιατρική εξέταση σάς επιτρέπει να ελέγξετε εάν είναι έτσι. Εάν ένα άτομο είναι πραγματικά άρρωστο, η πιθανότητα ακριβούς διάγνωσης (που δηλώνει ότι ένα άτομο είναι άρρωστο όταν είναι πραγματικά άρρωστο) είναι 0,9. Εάν ένα άτομο είναι υγιές, η πιθανότητα μιας ψευδώς θετικής διάγνωσης (που δηλώνει ότι ένα άτομο είναι άρρωστο όταν είναι υγιές) είναι 0,02. Ας πούμε ότι ένα ιατρικό τεστ βγήκε θετικό. Ποια είναι η πιθανότητα το άτομο να είναι όντως άρρωστο; Ποια είναι η πιθανότητα ακριβούς διάγνωσης;

Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: συμβάν D - ο άνθρωπος είναι άρρωστος, εκδήλωση Δ' - το άτομο είναι υγιές, συμβάν T - θετική διάγνωση, εκδήλωση Τ' - η διάγνωση είναι αρνητική. Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι Р(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Εφαρμόζοντας τον τύπο (6), παίρνουμε:

Η πιθανότητα ένα άτομο με θετική διάγνωση να είναι πραγματικά άρρωστο είναι 0,582 (βλ. επίσης Εικ. 5). Σημειώστε ότι ο παρονομαστής του τύπου Bayes είναι ίσος με την πιθανότητα θετικής διάγνωσης, δηλ. 0,0464.

Σύντομη θεωρία

Για μια ποσοτική σύγκριση γεγονότων ανάλογα με το βαθμό πιθανότητας εμφάνισής τους, εισάγεται ένα αριθμητικό μέτρο, το οποίο ονομάζεται πιθανότητα ενός γεγονότος. Η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντοςονομάζεται ένας αριθμός, ο οποίος είναι μια έκφραση ενός μέτρου της αντικειμενικής δυνατότητας εμφάνισης ενός γεγονότος.

Οι τιμές που καθορίζουν πόσο σημαντικές είναι οι αντικειμενικοί λόγοι για τον υπολογισμό της εμφάνισης ενός γεγονότος χαρακτηρίζονται από την πιθανότητα του γεγονότος. Πρέπει να τονιστεί ότι η πιθανότητα είναι ένα αντικειμενικό μέγεθος που υπάρχει ανεξάρτητα από τον γνώστη και εξαρτάται από το σύνολο των συνθηκών που συμβάλλουν στην εμφάνιση ενός γεγονότος.

Οι εξηγήσεις που δώσαμε στην έννοια της πιθανότητας δεν είναι μαθηματικός ορισμός, αφού δεν ορίζουν ποσοτικά αυτήν την έννοια. Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος, οι οποίοι χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων (κλασικά, αξιωματικά, στατιστικά κ.λπ.).

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας ενός γεγονότοςανάγει αυτή την έννοια σε μια πιο στοιχειώδη έννοια εξίσου πιθανών γεγονότων, η οποία δεν υπόκειται πλέον σε ορισμό και θεωρείται ότι είναι διαισθητικά σαφής. Για παράδειγμα, εάν ένα ζάρι είναι ένας ομοιογενής κύβος, τότε η πτώση οποιουδήποτε από τα πρόσωπα αυτού του κύβου θα είναι εξίσου πιθανά γεγονότα.

Ας διαιρεθεί ένα ορισμένο γεγονός σε εξίσου πιθανές περιπτώσεις, το άθροισμα των οποίων δίνει το γεγονός. Δηλαδή, οι περιπτώσεις από το , στις οποίες διασπάται, ονομάζονται ευνοϊκές για το συμβάν, αφού η εμφάνιση ενός από αυτά εξασφαλίζει την επιθετικότητα.

Η πιθανότητα ενός συμβάντος θα υποδηλωθεί με το σύμβολο .

Η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι ίση με τον λόγο του αριθμού των περιπτώσεων που είναι ευνοϊκές για αυτό, από το σύνολο των μοναδικών, εξίσου δυνατών και ασυμβίβαστων περιπτώσεων, προς τον αριθμό, δηλ.

Αυτός είναι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Έτσι, για να βρεθεί η πιθανότητα ενός γεγονότος, είναι απαραίτητο, αφού ληφθούν υπόψη τα διάφορα αποτελέσματα του τεστ, να βρεθεί ένα σύνολο από τις μόνες δυνατές, εξίσου δυνατές και ασύμβατες περιπτώσεις, να υπολογιστεί ο συνολικός αριθμός τους n, ο αριθμός των περιπτώσεων m που ευνοούν αυτό το γεγονός και, στη συνέχεια, εκτελέστε τον υπολογισμό σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο.

Η πιθανότητα ενός γεγονότος ίση με την αναλογία του αριθμού των αποτελεσμάτων της εμπειρίας που είναι ευνοϊκά για το γεγονός προς τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων της εμπειρίας ονομάζεται κλασική πιθανότητατυχαίο συμβάν.

Οι ακόλουθες ιδιότητες της πιθανότητας προκύπτουν από τον ορισμό:

Ιδιότητα 1. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση με μία.

Ιδιότητα 2. Η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν.

Ιδιότητα 3. Η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος είναι ένας θετικός αριθμός μεταξύ μηδέν και ενός.

Ιδιότητα 4. Η πιθανότητα να συμβούν γεγονότα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ίση με ένα.

Ιδιότητα 5. Η πιθανότητα εμφάνισης του αντίθετου γεγονότος ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως και η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν Α.

Ο αριθμός των περιστατικών που ευνοούν την εμφάνιση του αντίθετου γεγονότος. Επομένως, η πιθανότητα να συμβεί το αντίθετο συμβάν είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της ενότητας και της πιθανότητας να συμβεί το γεγονός Α:

Ένα σημαντικό πλεονέκτημα του κλασικού ορισμού της πιθανότητας ενός γεγονότος είναι ότι με τη βοήθειά του η πιθανότητα ενός γεγονότος μπορεί να προσδιοριστεί χωρίς να καταφύγουμε στην εμπειρία, αλλά με βάση λογικούς συλλογισμούς.

Όταν πληρούνται ένα σύνολο προϋποθέσεων, σίγουρα θα συμβεί ένα συγκεκριμένο γεγονός και σίγουρα δεν θα συμβεί το αδύνατο. Ανάμεσα στα γεγονότα που, όταν δημιουργείται ένα σύμπλεγμα συνθηκών, μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί, η εμφάνιση κάποιων μπορεί να υπολογιστεί με περισσότερο λόγο, στην εμφάνιση άλλων με λιγότερο λόγο. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχουν περισσότερες άσπρες μπάλες στη λάρνακα από τις μαύρες, τότε υπάρχουν περισσότεροι λόγοι για να ελπίζουμε στην εμφάνιση μιας λευκής μπάλας όταν βγαίνει από τη λάρνακα τυχαία παρά στην εμφάνιση μιας μαύρης μπάλας.

Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Παράδειγμα 1

Ένα κουτί περιέχει 8 άσπρες, 4 μαύρες και 7 κόκκινες μπάλες. 3 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων: - έχει σχεδιαστεί τουλάχιστον 1 κόκκινη μπάλα, - υπάρχουν τουλάχιστον 2 μπάλες του ίδιου χρώματος, - υπάρχουν τουλάχιστον 1 κόκκινη και 1 λευκή μπάλα.

Η λύση του προβλήματος

Βρίσκουμε τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων της δοκιμής ως τον αριθμό των συνδυασμών 19 (8 + 4 + 7) στοιχείων από 3 το καθένα:

Βρείτε την πιθανότητα ενός γεγονότος– τραβήχτηκε τουλάχιστον 1 κόκκινη μπάλα (1,2 ή 3 κόκκινες μπάλες)

Απαιτούμενη πιθανότητα:

Αφήστε το γεγονός- υπάρχουν τουλάχιστον 2 μπάλες του ίδιου χρώματος (2 ή 3 άσπρες μπάλες, 2 ή 3 μαύρες μπάλες και 2 ή 3 κόκκινες μπάλες)

Αριθμός αποτελεσμάτων που ευνοούν την εκδήλωση:

Απαιτούμενη πιθανότητα:

Αφήστε το γεγονός– υπάρχει τουλάχιστον μία κόκκινη και μία λευκή μπάλα

(1 κόκκινο, 1 λευκό, 1 μαύρο ή 1 κόκκινο, 2 λευκά ή 2 κόκκινα, 1 λευκό)

Αριθμός αποτελεσμάτων που ευνοούν την εκδήλωση:

Απαιτούμενη πιθανότητα:

Απάντηση:Ρ(Α)=0,773;Ρ(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Παράδειγμα 2

Ρίχνονται δύο ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των σημείων να είναι τουλάχιστον 5.

Απόφαση

Έστω το γεγονός το άθροισμα των βαθμών όχι μικρότερο από 5

Ας χρησιμοποιήσουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας:

Συνολικός αριθμός πιθανών αποτελεσμάτων δοκιμής

Ο αριθμός των δοκιμών που ευνοούν την εκδήλωση που μας ενδιαφέρει

Στο πεσμένο πρόσωπο του πρώτου ζαριού, μπορούν να εμφανιστούν ένας πόντος, δύο πόντοι ..., έξι πόντοι. Ομοίως, έξι αποτελέσματα είναι δυνατά στο δεύτερο ρολό. Κάθε ένα από τα αποτελέσματα του πρώτου καλουπιού μπορεί να συνδυαστεί με κάθε ένα από τα αποτελέσματα του δεύτερου. Έτσι, ο συνολικός αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων του τεστ είναι ίσος με τον αριθμό των τοποθετήσεων με επαναλήψεις (επιλογή με τοποθετήσεις 2 στοιχείων από ένα σύνολο τόμου 6):

Βρείτε την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος - το άθροισμα των σημείων είναι μικρότερο από 5

Οι ακόλουθοι συνδυασμοί πόντων που χάθηκαν θα ευνοήσουν το γεγονός:

№

1ο κόκκαλο

2ο οστό

Παρουσιάζεται ο γεωμετρικός ορισμός της πιθανότητας και δίνεται η λύση του γνωστού προβλήματος της συνάντησης.