Ποια από τις υποδεικνυόμενες εκφράσεις είναι πανομοιότυπα ίση με την έκφραση. Πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εκφράσεων, τα είδη τους

Έχοντας αποκτήσει μια ιδέα για τις ταυτότητες, είναι λογικό να προχωρήσουμε στη γνωριμία. Σε αυτό το άρθρο θα απαντήσουμε στην ερώτηση τι είναι οι πανομοιότυπες εκφράσεις και θα χρησιμοποιήσουμε επίσης παραδείγματα για να κατανοήσουμε ποιες εκφράσεις είναι πανομοιότυπα ίσες και ποιες όχι.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ποιες είναι οι ταυτόσημες ίσες εκφράσεις;

Ο ορισμός των πανομοιότυπων ίσων εκφράσεων δίνεται παράλληλα με τον ορισμό της ταυτότητας. Αυτό συμβαίνει στην τάξη άλγεβρας της 7ης τάξης. Στο εγχειρίδιο για την άλγεβρα για την 7η τάξη του συγγραφέα Yu N. Makarychev, δίνεται η ακόλουθη διατύπωση:

Ορισμός.

– αυτές είναι εκφράσεις των οποίων οι τιμές είναι ίσες για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτές. Οι αριθμητικές εκφράσεις που έχουν πανομοιότυπες τιμές ονομάζονται επίσης ταυτόσημα ίσες.

Αυτός ο ορισμός χρησιμοποιείται μέχρι τον βαθμό 8, ισχύει για ακέραιες εκφράσεις, καθώς έχουν νόημα για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτές. Και στον βαθμό 8, διευκρινίζεται ο ορισμός των πανομοιότυπων ίσων εκφράσεων. Ας εξηγήσουμε με τι συνδέεται αυτό.

Στην 8η τάξη ξεκινά η μελέτη άλλων τύπων εκφράσεων, οι οποίες, σε αντίθεση με ολόκληρες εκφράσεις, μπορεί να μην έχουν νόημα για ορισμένες τιμές των μεταβλητών. Αυτό μας αναγκάζει να εισαγάγουμε ορισμούς επιτρεπτών και μη αποδεκτών τιμών μεταβλητών, καθώς και το εύρος επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής τιμής της μεταβλητής και, κατά συνέπεια, να διευκρινίσουμε τον ορισμό των πανομοιότυπων ίσων εκφράσεων.

Ορισμός.

Δύο εκφράσεις των οποίων οι τιμές είναι ίσες για όλους αποδεκτές τιμέςκαλούνται οι μεταβλητές που περιλαμβάνονται σε αυτές πανομοιότυπα με ίσους όρους . Δύο αριθμητικές εκφράσεις που έχουν τις ίδιες τιμές ονομάζονται επίσης ταυτόσημα ίσες.

ΣΕ αυτόν τον ορισμόπανομοιότυπα ίσες εκφράσεις, αξίζει να διευκρινιστεί η έννοια της φράσης "για όλες τις επιτρεπόμενες τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτές". Υπονοεί όλες αυτές τις τιμές μεταβλητών για τις οποίες και οι δύο πανομοιότυπα ίσες εκφράσεις έχουν νόημα ταυτόχρονα. Θα εξηγήσουμε αυτήν την ιδέα στην επόμενη παράγραφο εξετάζοντας παραδείγματα.

Ο ορισμός των πανομοιότυπων ίσων εκφράσεων στο εγχειρίδιο του A. G. Mordkovich δίνεται λίγο διαφορετικά:

Ορισμός.

Πανομοιότυπα ίσες εκφράσεις- αυτές είναι εκφράσεις στα αριστερά και σωστά μέρηταυτότητες.

Η έννοια αυτού και των προηγούμενων ορισμών συμπίπτουν.

Παραδείγματα πανομοιότυπων ίσων εκφράσεων

Οι ορισμοί που εισήχθησαν στην προηγούμενη παράγραφο μας επιτρέπουν να δώσουμε παραδείγματα πανομοιότυπων ίσων εκφράσεων.

Ας ξεκινήσουμε με πανομοιότυπα ίσες αριθμητικές εκφράσεις. Οι αριθμητικές εκφράσεις 1+2 και 2+1 είναι πανομοιότυπα ίσες, αφού αντιστοιχούν ίσες αξίες 3 και 3. Οι εκφράσεις 5 και 30:6 είναι επίσης πανομοιότυπα ίσες, όπως και οι εκφράσεις (2 2) 3 και 2 6 (οι τιμές των τελευταίων παραστάσεων είναι ίσες δυνάμει του ). Και εδώ αριθμητικές εκφράσεις 3+2 και 3−2 δεν είναι πανομοιότυπα ίσα, αφού οι αντίστοιχες τιμές τους είναι 5 και 1, αντίστοιχα, και δεν είναι ίσες.

Τώρα ας δώσουμε παραδείγματα πανομοιότυπων ίσων εκφράσεων με μεταβλητές. Αυτές είναι οι εκφράσεις a+b και b+a. Πράγματι, για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών a και b, οι γραπτές εκφράσεις παίρνουν τις ίδιες τιμές (όπως προκύπτει από τους αριθμούς). Για παράδειγμα, με a=1 και b=2 έχουμε a+b=1+2=3 και b+a=2+1=3 . Για οποιεσδήποτε άλλες τιμές των μεταβλητών a και b, θα λάβουμε επίσης ίσες τιμές αυτών των παραστάσεων. Οι εκφράσεις 0·x·y·z και 0 είναι επίσης πανομοιότυπα ίσες για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών x, y και z. Αλλά οι εκφράσεις 2 x και 3 x δεν είναι πανομοιότυπα ίσες, αφού, για παράδειγμα, όταν x=1 οι τιμές τους δεν είναι ίσες. Πράγματι, για x=1, η παράσταση 2 x ισούται με 2 x 1=2, και η παράσταση 3 x είναι ίση με 3 x 1=3.

Όταν τα εύρη των επιτρεπόμενων τιμών των μεταβλητών στις εκφράσεις συμπίπτουν, όπως, για παράδειγμα, στις εκφράσεις a+1 και 1+a, ή a·b·0 και 0, ή και, και οι τιμές αυτών των παραστάσεων είναι ίσες για όλες τις τιμές των μεταβλητών από αυτές τις περιοχές, τότε εδώ όλα είναι ξεκάθαρα - αυτές οι εκφράσεις είναι πανομοιότυπες ίσες για όλες τις επιτρεπόμενες τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτές. Άρα a+1≡1+a για οποιοδήποτε a, οι παραστάσεις a·b·0 και 0 είναι πανομοιότυπα ίσες για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών a και b, και οι παραστάσεις and είναι πανομοιότυπα ίσες για όλα τα x του ; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 17η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 240 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Μόρντκοβιτς Α. Γ.Αλγεβρα. 7η τάξη. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Διδακτικό βιβλίο για μαθητές Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ A. G. Mordkovich. - 17η έκδ., πρόσθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2013. - 175 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-02432-3.

Ας εξετάσουμε δύο ισότητες:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Αυτή η ισότητα θα ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές της μεταβλητής a. Το εύρος των αποδεκτών τιμών για αυτήν την ισότητα θα είναι ολόκληρο το σύνολο πραγματικούς αριθμούς.

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

Αυτή η ανισότητα θα ισχύει για όλες τις τιμές της μεταβλητής a, εκτός από μια ίση με μηδέν. Το εύρος των αποδεκτών τιμών για αυτήν την ανισότητα θα είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών εκτός από το μηδέν.

Για καθεμία από αυτές τις ισότητες μπορεί να υποστηριχθεί ότι θα ισχύει για οποιεσδήποτε αποδεκτές τιμές των μεταβλητών α. Τέτοιες ισότητες στα μαθηματικά λέγονται ταυτότητες.

Η έννοια της ταυτότητας

Η ταυτότητα είναι μια ισότητα που ισχύει για οποιεσδήποτε αποδεκτές τιμές των μεταβλητών. Εάν αντικαταστήσετε οποιεσδήποτε έγκυρες τιμές σε αυτήν την ισότητα αντί για μεταβλητές, θα πρέπει να λάβετε μια σωστή αριθμητική ισότητα.

Αξίζει να σημειωθεί ότι οι αληθινές αριθμητικές ισότητες είναι και ταυτότητες. Οι ταυτότητες, για παράδειγμα, θα είναι ιδιότητες ενεργειών σε αριθμούς.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Εάν δύο παραστάσεις για οποιεσδήποτε αποδεκτές μεταβλητές είναι αντίστοιχα ίσες, τότε αυτές οι εκφράσεις καλούνται πανομοιότυπα ίσα. Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα πανομοιότυπων ίσων εκφράσεων:

1. (α 2) 4 και α 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) and -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) και x 10.

Μπορούμε πάντα να αντικαταστήσουμε μια έκφραση με οποιαδήποτε άλλη έκφραση πανομοιότυπη με την πρώτη. Μια τέτοια αντικατάσταση θα είναι ένας μετασχηματισμός ταυτότητας.

Παραδείγματα ταυτοτήτων

Παράδειγμα 1: είναι οι ακόλουθες ισότητες πανομοιότυπες:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Δεν θα είναι όλες οι εκφράσεις που παρουσιάζονται παραπάνω ταυτότητες. Από αυτές τις ισότητες, μόνο 1, 2 και 3 ισότητες είναι ταυτότητες. Ανεξάρτητα από τους αριθμούς που αντικαθιστούμε σε αυτούς, αντί για τις μεταβλητές a και b θα έχουμε και πάλι σωστές αριθμητικές ισότητες.

Αλλά 4 η ισότητα δεν είναι πλέον ταυτότητα. Επειδή αυτή η ισότητα δεν ισχύει για όλες τις έγκυρες αξίες. Για παράδειγμα, με τις τιμές a = 5 και b = 2, θα ληφθεί το ακόλουθο αποτέλεσμα:

Αυτή η ισότητα δεν ισχύει, αφού ο αριθμός 3 δεν είναι ίσος με τον αριθμό -3.

Αυτό το άρθρο δίνει ένα σημείο εκκίνησης ιδέα των ταυτοτήτων. Εδώ θα ορίσουμε την ταυτότητα, θα εισαγάγουμε τη σημείωση που χρησιμοποιείται και, φυσικά, θα δώσουμε διάφορα παραδείγματαταυτότητες

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι είναι ταυτότητα;

Είναι λογικό να ξεκινήσετε την παρουσίαση του υλικού με ορισμούς ταυτότητας. Στο σχολικό βιβλίο του Makarychev N., άλγεβρα για την 7η τάξη, ο ορισμός της ταυτότητας δίνεται ως εξής:

Ορισμός.

Ταυτότητα– αυτή είναι μια ισότητα που ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών. Κάθε αληθινή αριθμητική ισότητα είναι επίσης ταυτότητα.

Παράλληλα, ο συγγραφέας ορίζει άμεσα ότι στο μέλλον θα αποσαφηνιστεί αυτός ο ορισμός. Αυτή η διευκρίνιση γίνεται στην 8η τάξη, αφού εξοικειωθείτε με τον ορισμό των επιτρεπόμενων τιμών μεταβλητών και DL. Ο ορισμός γίνεται:

Ορισμός.

Ταυτότητες- πρόκειται για αληθινές αριθμητικές ισότητες, καθώς και για ισότητες που ισχύουν για όλες τις επιτρεπόμενες τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτές.

Γιατί λοιπόν, όταν ορίζουμε μια ταυτότητα, στην 7η τάξη μιλάμε για οποιεσδήποτε τιμές μεταβλητών και στην 8η τάξη αρχίζουμε να μιλάμε για τις τιμές των μεταβλητών από το ODZ τους; Μέχρι τον βαθμό 8, η εργασία πραγματοποιείται αποκλειστικά με ολόκληρες εκφράσεις (ιδίως με μονοώνυμα και πολυώνυμα) και έχουν νόημα για τυχόν τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτές. Γι' αυτό στην 7η δημοτικού λέμε ότι η ταυτότητα είναι μια ισότητα που ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών. Και στην 8η τάξη, εμφανίζονται εκφράσεις που δεν έχουν πλέον νόημα όχι για όλες τις τιμές των μεταβλητών, αλλά μόνο για τις τιμές από το ODZ τους. Επομένως, αρχίζουμε να καλούμε ισότητες που ισχύουν για όλες τις αποδεκτές τιμές των μεταβλητών.

Άρα ταυτότητα είναι ειδική περίπτωσηισότητα. Δηλαδή, οποιαδήποτε ταυτότητα είναι ισότητα. Αλλά δεν είναι κάθε ισότητα ταυτότητα, αλλά μόνο μια ισότητα που ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών από το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών τους.

Σημάδι ταυτότητας

Είναι γνωστό ότι στη γραφή ισοτήτων χρησιμοποιείται πρόσημο ίσου του τύπου «=», αριστερά και δεξιά του οποίου υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί ή εκφράσεις. Αν προσθέσουμε μια άλλη οριζόντια γραμμή σε αυτό το ζώδιο, παίρνουμε σημάδι ταυτότητας«≡», ή όπως λέγεται επίσης σύμβολο ίσου.

Το σημάδι της ταυτότητας χρησιμοποιείται συνήθως μόνο όταν είναι απαραίτητο να τονίσουμε ιδιαίτερα ότι βρισκόμαστε αντιμέτωποι με όχι απλώς ισότητα, αλλά ταυτότητα. Σε άλλες περιπτώσεις, τα αρχεία ταυτοτήτων δεν διαφέρουν ως προς την εμφάνιση από τις ισότητες.

Παραδείγματα ταυτοτήτων

Ήρθε η ώρα να φέρεις παραδείγματα ταυτοτήτων. Ο ορισμός της ταυτότητας που δίνεται στην πρώτη παράγραφο θα μας βοηθήσει σε αυτό.

Οι αριθμητικές ισότητες 2=2 είναι παραδείγματα ταυτοτήτων, αφού αυτές οι ισότητες είναι αληθείς, και κάθε αληθινή αριθμητική ισότητα είναι εξ ορισμού ταυτότητα. Μπορούν να γραφτούν ως 2≡2 και .

Οι αριθμητικές ισότητες της μορφής 2+3=5 και 7−1=2·3 είναι επίσης ταυτότητες, αφού αυτές οι ισότητες είναι αληθείς. Δηλαδή 2+3≡5 και 7−1≡2·3.

Ας περάσουμε σε παραδείγματα ταυτοτήτων που περιέχουν όχι μόνο αριθμούς, αλλά και μεταβλητές.

Θεωρήστε την ισότητα 3·(x+1)=3·x+3. Για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x, η γραπτή ισότητα είναι αληθής λόγω της διανεμητικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση, επομένως, η αρχική ισότητα είναι ένα παράδειγμα ταυτότητας. Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα ταυτότητας: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, εδώ το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών των μεταβλητών x και y αποτελείται από όλα τα ζεύγη (x, y), όπου x και y είναι οποιοιδήποτε αριθμοί εκτός από το μηδέν.

Αλλά οι ισότητες x+1=x−1 και a+2·b=b+2·a δεν είναι ταυτότητες, αφού υπάρχουν τιμές των μεταβλητών για τις οποίες αυτές οι ισότητες δεν θα ισχύουν. Για παράδειγμα, όταν x=2, η ισότητα x+1=x−1 μετατρέπεται στη λανθασμένη ισότητα 2+1=2−1. Επιπλέον, η ισότητα x+1=x−1 δεν επιτυγχάνεται καθόλου για καμία τιμή της μεταβλητής x. Και η ισότητα a+2·b=b+2·a θα μετατραπεί σε λανθασμένη ισότητα αν πάρουμε οποιαδήποτε διαφορετικές έννοιεςμεταβλητές α και β. Για παράδειγμα, με a=0 και b=1 θα καταλήξουμε στη λανθασμένη ισότητα 0+2·1=1+2·0. Ισότητα |x|=x, όπου |x| - η μεταβλητή x δεν είναι επίσης ταυτότητα, αφού δεν ισχύει για αρνητικές τιμέςΧ.

Παραδείγματα των πιο γνωστών ταυτοτήτων είναι της μορφής sin 2 α+cos 2 α=1 και a log a b =b.

Ολοκληρώνοντας αυτό το άρθρο, θα ήθελα να σημειώσω ότι όταν μελετάμε τα μαθηματικά συναντάμε συνεχώς ταυτότητες. Οι εγγραφές ιδιοτήτων των ενεργειών με αριθμούς είναι ταυτότητες, για παράδειγμα, a+b=b+a, 1·a=a, 0·a=0 και a+(−a)=0. Επίσης οι ταυτότητες είναι

Θέμα "Αποδεικτικά ταυτότητας» 7η τάξη (KRO)

Εγχειρίδιο Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

Στόχοι μαθήματος

Εκπαιδευτικός:

εισαγάγετε και αρχικά ενοποιήστε τις έννοιες «πανομοιότυπα ίσες εκφράσεις», «ταυτότητα», «πανομοιότυποι μετασχηματισμοί».

να εξετάσουν τρόπους απόδειξης ταυτοτήτων, να προωθήσουν την ανάπτυξη δεξιοτήτων για την απόδειξη ταυτοτήτων.

να ελέγξει την αφομοίωση της ύλης που καλύπτεται από τους μαθητές, να αναπτύξει την ικανότητα να χρησιμοποιούν όσα έχουν μάθει για να αντιλαμβάνονται νέα πράγματα.

Αναπτυξιακή:

Αναπτύξτε εγγράμματα μαθηματική ομιλίαμαθητές (εμπλουτίζουν και περιπλέκουν λεξικόόταν χρησιμοποιείτε ειδικούς μαθηματικούς όρους),

αναπτύξουν τη σκέψη,

Εκπαιδευτικό: καλλιέργεια σκληρής δουλειάς, ακρίβειας και σωστής καταγραφής λύσεων άσκησης.

Τύπος μαθήματος: εκμάθηση νέου υλικού

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1 . Οργάνωση χρόνου.

Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.

Ερωτήσεις για το σπίτι.

Ανάλυση της λύσης στον πίνακα.

Τα μαθηματικά χρειάζονται
Είναι αδύνατο χωρίς αυτήν
Διδάσκουμε, διδάσκουμε, φίλοι,
Τι θυμόμαστε το πρωί;

2 . Ας κάνουμε μια προθέρμανση.

Το αποτέλεσμα της προσθήκης. (Αθροισμα)

Πόσους αριθμούς γνωρίζετε; (Δέκα)

Ένα εκατοστό ενός αριθμού. (Τοις εκατό)

Αποτέλεσμα διαίρεσης; (Ιδιωτικός)

Ο μικρότερος φυσικός αριθμός; (1)

Είναι δυνατόν κατά τη διαίρεση φυσικούς αριθμούςνα πάρει το μηδέν; (Οχι)

Ονομάστε τον μεγαλύτερο ακέραιο ένας αρνητικός αριθμός. (-1)

Με ποιον αριθμό δεν μπορεί να διαιρεθεί; (0)

Αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού; (Δουλειά)

Αποτέλεσμα αφαίρεσης. (Διαφορά)

Μεταθετική ιδιότητα πρόσθεσης. (Το άθροισμα δεν αλλάζει με την αναδιάταξη των θέσεων των όρων)

Αντικαταθλιπτική ιδιότητα πολλαπλασιασμού. (Το προϊόν δεν αλλάζει από την αναδιάταξη των θέσεων των παραγόντων)

Μελετώντας νέο θέμα(ορισμός με εγγραφή σημειωματάριου)

Ας βρούμε την τιμή των παραστάσεων για x=5 και y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα. Από την ιδιότητα διανομής προκύπτει ότι, γενικά, για οποιεσδήποτε τιμές μεταβλητές τιμέςΟι παραστάσεις 3(x+y) και 3x+3y είναι ίσες.

Ας εξετάσουμε τώρα τις εκφράσεις 2x+y και 2xy. Όταν x=1 και y=2 παίρνουν ίσες τιμές:

Ωστόσο, μπορείτε να καθορίσετε τις τιμές των x και y έτσι ώστε οι τιμές αυτών των παραστάσεων να μην είναι ίσες. Για παράδειγμα, αν x=3, y=4, τότε

Ορισμός: Δύο εκφράσεις των οποίων οι τιμές είναι ίσες για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών ονομάζονται πανομοιότυπα ίσες.

Οι παραστάσεις 3(x+y) και 3x+3y είναι πανομοιότυπα ίσες, αλλά οι παραστάσεις 2x+y και 2xy δεν είναι πανομοιότυπα ίσες.

Η ισότητα 3(x+y) και 3x+3y ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των x και y. Τέτοιες ισότητες ονομάζονται ταυτότητες.

Ορισμός:Μια ισότητα που ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών ονομάζεται ταυτότητα.

Οι αληθινές αριθμητικές ισότητες θεωρούνται επίσης ταυτότητες. Έχουμε ήδη συναντήσει ταυτότητες. Οι ταυτότητες εκφράζουν ισότητες βασικές ιδιότητεςενέργειες στους αριθμούς (Οι μαθητές σχολιάζουν κάθε ακίνητο, προφέροντάς το).

α + β = β + α
αβ = βα
(α + β) + γ = α + (β + γ)
(αβ)γ = α(βγ)
a(b + c) = ab + ac

Δώστε άλλα παραδείγματα ταυτοτήτων

Ορισμός: Η αντικατάσταση μιας έκφρασης με μια άλλη πανομοιότυπα ίση έκφραση ονομάζεται ταυτόσημος μετασχηματισμός ή απλώς μετασχηματισμός μιας έκφρασης.

Μετασχηματισμοί ταυτότηταςοι εκφράσεις με μεταβλητές εκτελούνται με βάση τις ιδιότητες των πράξεων σε αριθμούς.

Οι ίδιοι μετασχηματισμοί των εκφράσεων χρησιμοποιούνται ευρέως για τον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων και την επίλυση άλλων προβλημάτων. Έπρεπε ήδη να εκτελέσετε κάποιες πανομοιότυπες μετατροπές, για παράδειγμα, casting παρόμοιους όρους, ανοίγοντας παρενθέσεις.

5 . Νο. 691, Νο. 692 (με προφορά των κανόνων ανοίγματος παρενθέσεων, πολλαπλασιασμός αρνητικών και θετικούς αριθμούς)

Ταυτότητες για την επιλογή μιας ορθολογικής λύσης:(εργασία μπροστά)

6 . Συνοψίζοντας το μάθημα.

Ο δάσκαλος κάνει ερωτήσεις και οι μαθητές απαντούν κατά βούληση.

Ποιες δύο εκφράσεις λέγεται ότι είναι πανομοιότυπα ίσες; Δώσε παραδείγματα.

Τι είδους ισότητα ονομάζεται ταυτότητα; Δώσε ένα παράδειγμα.

Ποιους μετασχηματισμούς ταυτότητας γνωρίζετε;

7. Εργασία για το σπίτι. Μάθετε ορισμούς, Δώστε παραδείγματα πανομοιότυπων εκφράσεων (τουλάχιστον 5), σημειώστε τις στο τετράδιό σας

Κατά τη μελέτη της άλγεβρας, συναντήσαμε τις έννοιες του πολυωνύμου (για παράδειγμα ($y-x$,$\ 2x^2-2x$, κ.λπ.) και του αλγεβρικού κλάσματος (για παράδειγμα $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$, κ.λπ.) Η ομοιότητα αυτών των εννοιών είναι ότι τόσο τα πολυώνυμα όσο και τα αλγεβρικά κλάσματα περιέχουν μεταβλητές και αριθμητικές τιμές, πραγματοποιούνται αριθμητικές πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, εκθετικότητα. Η διαφορά μεταξύ αυτών των εννοιών είναι ότι στα πολυώνυμα δεν πραγματοποιείται διαίρεση με μια μεταβλητή, αλλά στα αλγεβρικά κλάσματα μπορεί να γίνει διαίρεση με μια μεταβλητή.

Τόσο τα πολυώνυμα όσο και τα αλγεβρικά κλάσματα ονομάζονται ορθολογικές αλγεβρικές εκφράσεις στα μαθηματικά. Αλλά τα πολυώνυμα είναι ολόκληρες ορθολογικές εκφράσεις και αλγεβρικά κλάσματα κλασματικός-ορθολογικόςεκφράσεις.

Μπορεί να ληφθεί από κλασματικά -- ορθολογική έκφρασηολόκληρη αλγεβρική έκφραση χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό ταυτότητας, ο οποίος σε σε αυτήν την περίπτωσηθα είναι η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος - μείωση των κλασμάτων. Ας το ελέγξουμε στην πράξη:

Παράδειγμα 1

Μετατροπή:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Λύση:Μετατροπή δίνεται κλασματική ορθολογική εξίσωσηείναι δυνατό με τη χρήση της κύριας ιδιοκτησίας κλάσματα - συντομογραφίες, δηλ. διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό ή έκφραση εκτός από $0$.

Αμέσως δεδομένο κλάσμαΕίναι αδύνατο να μειωθεί, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί ο αριθμητής.

Ας μετατρέψουμε την παράσταση στον αριθμητή του κλάσματος, για αυτό χρησιμοποιούμε τον τύπο για το τετράγωνο της διαφοράς: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Το κλάσμα μοιάζει

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\αριστερά(x-2\δεξιά)(x-2))(x-2)\]

Τώρα βλέπουμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν έναν κοινό παράγοντα - αυτή είναι η έκφραση $x-2$, με την οποία θα μειώσουμε το κλάσμα

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\αριστερά(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Μετά τη μείωση πήραμε ότι το πρωτότυπο κλασματική ορθολογική έκφρασηΤο $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ έγινε πολυώνυμο $x-2$, δηλ. ολόκληρο ορθολογικό.

Τώρα ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι οι εκφράσεις $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ και $x-2\ $ μπορούν να θεωρηθούν ίδιες όχι για όλες τις τιμές της μεταβλητής, επειδή Για να υπάρχει μια κλασματική ορθολογική έκφραση και να μπορεί να μειωθεί κατά το πολυώνυμο $x-2$, ο παρονομαστής του κλάσματος δεν πρέπει να είναι ίσος με $0$ (καθώς και ο παράγοντας με τον οποίο μειώνουμε. σε αυτό το παράδειγμαο παρονομαστής και ο πολλαπλασιαστής είναι ίδιοι, αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα).

Οι τιμές της μεταβλητής στην οποία θα υπάρχει το αλγεβρικό κλάσμα ονομάζονται επιτρεπόμενες τιμές της μεταβλητής.

Ας βάλουμε μια συνθήκη στον παρονομαστή του κλάσματος: $x-2≠0$, μετά $x≠2$.

Αυτό σημαίνει ότι οι εκφράσεις $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ και $x-2$ είναι πανομοιότυπες για όλες τις τιμές της μεταβλητής εκτός από $2$.

Ορισμός 1

Πανομοιότυπα ίσαΟι εκφράσεις είναι εκείνες που είναι ίσες για όλες τις έγκυρες τιμές της μεταβλητής.

Ένας πανομοιότυπος μετασχηματισμός είναι κάθε αντικατάσταση της αρχικής έκφρασης με μια πανομοιότυπη έκφραση Τέτοιοι μετασχηματισμοί περιλαμβάνουν την εκτέλεση ενεργειών: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, τοποθέτηση κοινού παράγοντα εκτός αγκύλων, αναγωγή. αλγεβρικά κλάσματαΠρος την κοινό παρονομαστή, αναγωγή αλγεβρικών κλασμάτων, αναγωγή ομοίων όρων κ.λπ. Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ότι ένας αριθμός μετασχηματισμών, όπως η μείωση, η μείωση παρόμοιων όρων, μπορούν να αλλάξουν τις επιτρεπόμενες τιμές της μεταβλητής.

Τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη ταυτοτήτων

Φέρτε την αριστερή πλευρά της ταυτότητας προς τα δεξιά ή το αντίστροφο χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς ταυτότητας

Μείωση και των δύο πλευρών στην ίδια έκφραση χρησιμοποιώντας πανομοιότυπους μετασχηματισμούς

Μεταφέρετε τις εκφράσεις σε ένα μέρος της παράστασης σε ένα άλλο και αποδείξτε ότι η διαφορά που προκύπτει είναι ίση με $0$

Ποια από τις παραπάνω τεχνικές θα χρησιμοποιήσετε για να αποδείξετε μια δεδομένη ταυτότητα εξαρτάται από την αρχική ταυτότητα.

Παράδειγμα 2

Αποδείξτε την ταυτότητα $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Λύση:Για να αποδείξουμε αυτήν την ταυτότητα, χρησιμοποιούμε την πρώτη από τις παραπάνω μεθόδους, δηλαδή, θα μετασχηματίσουμε την αριστερή πλευρά της ταυτότητας μέχρι να γίνει ίση με τη δεξιά.

Ας εξετάσουμε την αριστερή πλευρά της ταυτότητας: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - αντιπροσωπεύει τη διαφορά δύο πολυωνύμων. Σε αυτή την περίπτωση, το πρώτο πολυώνυμο είναι το τετράγωνο του αθροίσματος τριών όρων Για να τετραγωνίσουμε το άθροισμα πολλών όρων, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Για να το κάνουμε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με ένα πολυώνυμο Θυμηθείτε ότι για να γίνει αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον κοινό παράγοντα πίσω από τις αγκύλες με κάθε όρο του πολυωνύμου στις αγκύλες.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Τώρα ας επιστρέψουμε στο αρχικό πολυώνυμο, θα πάρει τη μορφή:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Λάβετε υπόψη ότι πριν από το στήριγμα υπάρχει το σύμβολο "-", που σημαίνει ότι όταν ανοίγουν οι αγκύλες, όλα τα σημάδια που βρίσκονταν στις αγκύλες αλλάζουν προς το αντίθετο.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους και μετά λαμβάνουμε ότι τα μονώνυμα $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ και $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ αλληλοακυρώνονται, δηλ. το άθροισμά τους είναι $0 $.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Αυτό σημαίνει ότι μέσα από πανομοιότυπους μετασχηματισμούς πήραμε ταυτόσημη έκφρασηστην αριστερή πλευρά της αρχικής ταυτότητας

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Σημειώστε ότι η έκφραση που προκύπτει δείχνει ότι η αρχική ταυτότητα είναι αληθής.

Λάβετε υπόψη ότι στην αρχική ταυτότητα επιτρέπονται όλες οι τιμές της μεταβλητής, πράγμα που σημαίνει ότι αποδείξαμε την ταυτότητα χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς ταυτότητας και ισχύει για όλες τις πιθανές τιμές της μεταβλητής.