Πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων 8. Αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων

Θέμα μαθήματος: Πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικά κλάσματα.

Στόχοι μαθήματος:

Εκμάθηση:

1. επαναλάβετε τους κανόνες της πρόσθεσης και της αφαίρεσης αριθμητικά κλάσματαμε ίδιοι παρονομαστές
2. Εισαγωγή κανόνων για την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.
3. να σχηματίσει την ικανότητα να εκτελεί πρόσθεση και αφαίρεση με αλγεβρικά κλάσματα.

Ανάπτυξη:

1. ανάπτυξη σκέψης, προσοχής, μνήμης, ικανότητας ανάλυσης, σύγκρισης, σύγκρισης.
2. Διεύρυνση των οριζόντων των μαθητών·

1. αναπλήρωση λεξιλογίου?

Εκπαιδευτικός:

1. αναφέρω γνωστικό ενδιαφέρονστο θέμα.
2. Καλλιεργήστε μια κουλτούρα πνευματικής εργασίας

Εξοπλισμός:

1. κάρτες - δοκιμαστικές εργασίες;
2. ένας υπολογιστής;
3. προβολέας;
4. οθόνη;
5. παρουσίαση μαθήματος

Ρητό:

Δεν μπορείς να μάθεις μαθηματικά βλέποντας τον διπλανό σου να τα κάνει!

Διαφάνεια 2.

Πλάνο μαθήματος.

1. Αναφορά του σκοπού και του θέματος του μαθήματος (2 λεπτά).
2. Ενημέρωση των βασικών γνώσεων και δεξιοτήτων των μαθητών (4 λεπτά).
3. Προφορική εργασία (5 λεπτά).
4. Εκμάθηση νέου υλικού (8 λεπτά).
5. Φυσική αγωγή (2 λεπτά);
6. Ενοποίηση νέου υλικού (10 λεπτά).
7. Δοκιμή πολλαπλών επιλογών (10 λεπτά).
8. Το αποτέλεσμα του μαθήματος, συμπεράσματα (2 λεπτά).
9. Εργασία για το σπίτι. (2 λεπτά).

Διαφάνεια 3.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.

I. Οργανωτική στιγμή:

1) μήνυμα του θέματος του μαθήματος.

2) επικοινωνία των στόχων και των σκοπών του μαθήματος.

II. Ενημέρωση γνώσεων:

Τι είναι ένα αλγεβρικό κλάσμα; Δώσε παραδείγματα.

Τι σημαίνει μείωση ενός αλγεβρικού κλάσματος;

Πώς να φέρετε τα αλγεβρικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή;

διαφάνεια 4.

III. Προφορική εργασία:

1. Διαβάστε τα κλάσματα:
2. Βρείτε μια έκφραση που είναι περιττή α) (α + γ) 2; β) ; σε) ; Ζ) .
3. Επαναφορά μερικώς διαγραμμένων εγγραφών: για μείωση σε κοινό παρονομαστή

Διαφάνεια 5.

1. βρες το λάθος

διαφάνεια 6.

1. Για κάθε κλάσμα, βρείτε το κλάσμα ίσο με αυτό, χρησιμοποιώντας τον αριθμό αντιστοιχίας - γράμμα:

1) ; 2) 3) .

Α) β) σε) .

διαφάνεια 7.8

IV. Εκμάθηση νέου υλικού.
1) Επαναλάβετε τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση αριθμητικών κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Στη συνέχεια, λύστε προφορικά τα ακόλουθα παραδείγματα:

2) Θυμηθείτε τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης πολυωνύμων και γράψτε τις παρακάτω ασκήσεις στον πίνακα:

3) Οι μαθητές θα πρέπει να προτείνουν κανόνες για να κάνουν τα ακόλουθα παραδείγματα γραμμένα στον πίνακα:

Συζητείται η λύση των παραδειγμάτων. Εάν οι μαθητές δεν μπορούν να αντεπεξέλθουν μόνοι τους, εξηγεί ο δάσκαλος.

διαφάνεια 9.

Οι κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης αλγεβρικών κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές γράφονται σε ένα τετράδιο.
, .

διαφάνεια 10.

V. Φυσική αγωγή για τα μάτια

Άσκηση 1. Κάντε 15 ταλαντευτικές κινήσειςμάτια οριζόντια από τα δεξιά προς τα αριστερά και μετά από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Άσκηση 2. Κάντε 15 ταλαντευτικές κινήσεις των ματιών κάθετα πάνω - κάτω και κάτω - πάνω.

Άσκηση 3. Επίσης 15, αλλά κυκλική περιστροφικές κινήσειςμάτια από αριστερά προς τα δεξιά.

Άσκηση 4. Το ίδιο, αλλά από δεξιά προς τα αριστερά.

Άσκηση 5. Κάντε 15 κυκλικές περιστροφικές κινήσεις με τα μάτια σας, πρώτα προς τα δεξιά και μετά προς αριστερή πλευρά, σαν να σχεδιάζει μια φιγούρα οκτώ στρωμένη στο πλάι με τα μάτια της.

VI. Ενοποίηση νέου υλικού.
1) Μπροστινή εργασία.

1) Λύστε εργασίες

№ 462 (1,3)

2) Προσθέστε κλάσματα:

3) Αφαίρεση κλασμάτων:

4) Εκτελέστε ενέργειες.

Διαφάνεια 11.

2) Ατομική εργασία.
Τέσσερις μαθητές εκτελούν ανεξάρτητη εργασία στον πίνακα, που προτείνεται στις κάρτες.

Κάρτα 1.

Κάρτα 2.

Κάρτα 3.

Κάρτα 4.

Τα υπόλοιπα σε τετράδια: Εκτελέστε πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων:
ένα)σι)
σε)

VII. Εκτέλεση εργασιών σε ομάδες και ανάλυση των αποτελεσμάτων.

Σε κάθε ομάδα δίνονται δοκιμαστικές εργασίες, αφού ολοκληρώσουν τις οποίες λαμβάνουν μια λέξη - το όνομα ενός διάσημου μαθηματικού.

	Ασκηση	Πιθανή απάντηση	Γράμμα
		x + 10

	Ασκηση	Πιθανή απάντηση	Γράμμα

	Ασκηση	Πιθανή απάντηση	Γράμμα

	Ασκηση	Πιθανή απάντηση	Γράμμα

Πίνακας απαντήσεων:

ΑΡΙΘΜΟΣ δουλειας
Γράμμα

Ελέγξτε την ποιότητα της εργασίας.

Πήρατε το όνομα ενός διάσημου μαθηματικού από τα γράμματα που λάβατε;

Αν απαντήσατε σωστά σε όλες τις ερωτήσεις, πήρατε βαθμολογία "ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΟ"!!!

Εάν κάνατε ένα λάθος σε ένα βήμα - όχι κακό, αλλά ο επιστήμονας πιθανότατα θα προσβλήθηκε. Έχετε βαθμολογηθεί "ΚΑΛΟΣ"!

Εάν κάνατε λάθος σε δύο βήματα, τότε δεν άκατε καλά τον δάσκαλο στο μάθημα και θα πρέπει να διαβάσετε το θέμα στο σχολικό βιβλίο της άλγεβρας. Έχετε βαθμολογηθεί ως "ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ".

Εάν κάνατε λάθος σε περισσότερα από δύο βήματα, τότε δεν ακούσατε καθόλου τον δάσκαλο στο μάθημα και θα πρέπει να διαβάσετε πολύ προσεκτικά το εγχειρίδιο της άλγεβρας. Έχετε βαθμολογηθεί ως "ΜΗ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΤΙΚΟΣ".

Διαφάνεια 13-17.

Όταν είναι διαθέσιμος χρόνος, οι εργασίες επιλύονται:
1. Να αποδείξετε ότι η έκφραση
για όλες τις τιμές του a2 παίρνει θετικές τιμές.
2. Παρουσιάστε ένα κλάσμα ως άθροισμα ή διαφορά μιας ακέραιας παράστασης και ενός κλάσματος:
ένα); προ ΧΡΙΣΤΟΥ)

3. Γνωρίζοντας ότι, βρείτε την τιμή του κλάσματος:
ένα); προ ΧΡΙΣΤΟΥ)

VIII. Συνοψίζοντας.

Εγώ X. Εργασία για το σπίτι:Διαβάστε την ύλη του σχολικού βιβλίου σελ.26, μάθετε τους κανόνες αυτής της παραγράφου. Επίλυση προβλημάτων Νο. 462(2,4); Κάντε 5 παραδείγματα για την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων. βρείτε πληροφορίες για τους μαθηματικούς των οποίων τα ονόματα ακούσαμε σήμερα.

να σχηματίσει την ικανότητα να εκτελεί ενέργειες (πρόσθεση και αφαίρεση) με αλγεβρικά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, με βάση τον κανόνα της πρόσθεσης και της αφαίρεσης συνηθισμένα κλάσματαμε διαφορετικούς παρονομαστές?

επαναλάβετε και ενοποιήστε την πρόσθεση και την αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.

Εξοπλισμός: Υλικό επίδειξης.

Εργασίες ενημέρωσης γνώσεων:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Αλγόριθμος για την πρόσθεση και την αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κοινά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές:

1. Μετατρέψτε αυτά τα κλάσματα στον μικρότερο κοινό παρονομαστή.
2. Προσθέστε ή αφαιρέστε τα κλάσματα που προκύπτουν.

2) Αλγόριθμος αναγωγής αλγεβρικών κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.

1. Ας βρούμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε ένα από τα κλάσματα: αυτοί θα είναι τα γινόμενα εκείνων των παραγόντων που βρίσκονται στον κοινό (νέο) παρονομαστή, αλλά δεν είναι στον παλιό παρονομαστή.

3) Πρότυπα για ανεξάρτητη εργασία με αυτοέλεγχο:

3) Κάρτα για το στάδιο του προβληματισμού.

1. Αυτό το θέμα είναι ξεκάθαρο για μένα.
2. Ξέρω πώς να βρίσκω πρόσθετους παράγοντες για κάθε ένα από τα κλάσματα.
3. Μπορώ να βρω νέους αριθμητές για κάθε ένα από τα κλάσματα.
4. Στην ανεξάρτητη δουλειά τα κατάφερα.
5. Μπόρεσα να καταλάβω τον λόγο του λάθους που έκανα στην ανεξάρτητη δουλειά μου.
6. Είμαι ικανοποιημένος με τη δουλειά μου στην τάξη.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

1. Αυτοδιάθεση στη δραστηριότητα.

Στόχοι σταδίου:

1. Ένταξη μαθητών σε μαθησιακές δραστηριότητες: συνέχεια του ταξιδιού στη χώρα «Αλγεβρικές εκφράσεις».
2. Προσδιορισμός του περιεχομένου του μαθήματος: συνέχιση της εργασίας με αλγεβρικά κλάσματα.

Οργάνωση εκπαιδευτική διαδικασίαστο βήμα 1:

Καλημέρα παιδιά! Συνεχίζουμε το συναρπαστικό μας ταξίδι στη χώρα «Αλγεβρικές Εκφράσεις».

Ποιους «κατοίκους» της χώρας συναντήσαμε στα προηγούμενα μαθήματα; (Με αλγεβρικές εκφράσεις.)

Τι μπορούμε να κάνουμε με γνωστές αλγεβρικές εκφράσεις; (Πρόσθεση και αφαίρεση.)

Οι οποίες εξέχον χαρακτηριστικόαλγεβρικά κλάσματα που ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε; (Προσθέτουμε και αφαιρούμε κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή.)

Σωστά. Αλλά όλοι μαζί καταλαβαίνουμε καλά ότι οι δεξιότητες για την εκτέλεση ενεργειών με αλγεβρικά κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές δεν είναι αρκετές. Τι άλλο πιστεύετε ότι πρέπει να μάθουμε να κάνουμε; (Εκτελέστε ενέργειες με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές.)

Μπράβο! Θα συνεχίσουμε το ταξίδι μας τότε; (Ναί!)

2. Πραγματοποίηση γνώσεων και επιδιόρθωση δυσκολιών σε δραστηριότητες.

Στόχοι σταδίου:

1. Ενημερώστε τις γνώσεις σχετικά με την εκτέλεση ενεργειών με κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, μεθόδους προφορικών υπολογισμών.
2. Διορθώστε τη δυσκολία.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο 2:

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα στον πίνακα για την εκτέλεση ενεργειών με κλάσματα:

5) -=-==.

Οι μαθητές ενθαρρύνονται να εκφράσουν τις λύσεις τους σε μια δυνατή ομιλία.

Στο πρώτο παράδειγμα, τα παιδιά δίνουν εύκολα τη σωστή απάντηση, θυμούνται τον αλγόριθμο για την εκτέλεση ενεργειών με αλγεβρικά κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.

Όταν το σχόλιο στο παράδειγμα #2 έχει ήδη γίνει, ο δάσκαλος εστιάζει στο παράδειγμα #2:

Παιδιά, δείτε τι έχουμε ενδιαφέρον στο παράδειγμα νούμερο 2; (Δεν πραγματοποιήσαμε μόνο πράξεις με αλγεβρικά κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές, αλλά πραγματοποιήσαμε και τη μείωση του αλγεβρικού κλάσματος που προέκυψε: βγάλαμε το σύμβολο μείον από αγκύλες, στον αριθμητή και στον παρονομαστή πήραμε ίδιοι πολλαπλασιαστές, με το οποίο στη συνέχεια μειώσαμε το αποτέλεσμα.)

Είναι πολύ καλό που δεν έχετε ξεχάσει ότι η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος ισχύει όχι μόνο για τα συνηθισμένα, αλλά και για τα αλγεβρικά κλάσματα!

Ποιος θα σχολιάσει τη λύση των τριών παρακάτω παραδειγμάτων για όλους;

Πιθανότατα, θα υπάρχει ένας μαθητής που θα μπορεί εύκολα να λύσει το παράδειγμα 3.

Τι χρησιμοποιήσατε όταν λύσατε το παράδειγμα 3; (Ο αλγόριθμος για την πρόσθεση και την αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές με βοήθησε.)

Πώς ακριβώς ενεργήσατε; (Μείωσα τα αλγεβρικά κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή του 15 και μετά τα πρόσθεσα.)

Φοβερο! Και πώς τα πάμε με τα δύο τελευταία παραδείγματα;

Όταν πρόκειται για τα επόμενα δύο παραδείγματα, τα παιδιά (ο καθένας για τον εαυτό του) διορθώνουν τη δυσκολία που έχει προκύψει.

Τα λόγια των μαθητών είναι κάπως έτσι:

Δυσκολεύομαι να συμπληρώσω τα παραδείγματα 4-5, γιατί μπροστά μου υπάρχουν αλγεβρικά κλάσματα, όχι με «ίδιους» παρονομαστές, και αυτοί οι διαφορετικοί παρονομαστές περιλαμβάνουν μεταβλητές (Νο. 4), και στο Νο. 5 υπάρχουν κυριολεκτικές εκφράσεις στους παρονομαστές! ..”

Δεν ελήφθησαν απαντήσεις στις εργασίες 4–5.

3. Εντοπισμός του τόπου και των αιτιών των δυσκολιών και καθορισμός του στόχου της δραστηριότητας.

Στόχοι σταδίου:

1. Διορθώστε το διακριτικό περιουσία εργασίαςπου προκαλούσε δυσκολία στις μαθησιακές δραστηριότητες.
2. Δηλώστε το σκοπό και το θέμα του μαθήματος.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο 3:

Παιδιά? Πού προέκυψε η δυσκολία; (Στα παραδείγματα 4-5.)

Γιατί, όταν τα λύνετε, δεν είστε έτοιμοι να συζητήσετε τη λύση και να δώσετε μια απάντηση; (Επειδή τα αλγεβρικά κλάσματα που προτείνονται σε αυτές τις εργασίες έχουν διαφορετικούς παρονομαστές και είμαστε εξοικειωμένοι με τον αλγόριθμο για την εκτέλεση πράξεων με αλγεβρικά κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.

Τι άλλο χρειάζεται για να μπορούμε να κάνουμε; (Πρέπει να μάθετε πώς να προσθέτετε και να αφαιρείτε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές.)

Συμφωνώ μαζί σου. Πώς μπορούμε να διατυπώσουμε το θέμα του σημερινού μας μαθήματος; (Πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.)

Το θέμα του μαθήματος είναι γραμμένο σε τετράδια.

4. Χτίζοντας ένα έργο για να βγούμε από τη δυσκολία.

Σκοπός της σκηνής:

1. Τα παιδιά χτίζουν έναν νέο τρόπο να κάνουν πράγματα.
2. Διορθώνοντας τον αλγόριθμο για την αναγωγή αλγεβρικών κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο 4:

Ποιος είναι ο σκοπός του μαθήματος μας σήμερα; (Μάθετε να προσθέτετε και να αφαιρείτε αλγεβρικά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές.)

Πώς να είσαι; (Για να γίνει αυτό, πρέπει να δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο για περαιτέρω εργασία με αλγεβρικά κλάσματα.)

Τι πρέπει να καταλήξουμε για να πετύχουμε τον στόχο του μαθήματος; (Ένας αλγόριθμος για να φέρουμε αλγεβρικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, ώστε αργότερα να μπορούμε να εργαστούμε σύμφωνα με τον συνήθη κανόνα για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.)

Η εργασία μπορεί να οργανωθεί σε ομάδες, σε κάθε ομάδα δίνεται ένα χαρτί και ένας μαρκαδόρος. Οι μαθητές μπορούν να προσφέρουν τις δικές τους παραλλαγές του αλγορίθμου με τη μορφή λίστας βημάτων. Έχετε 5 λεπτά για να δουλέψετε. Οι ομάδες δημοσιεύουν τις επιλογές τους για έναν αλγόριθμο ή κανόνα και, στη συνέχεια, αναλύεται κάθε επιλογή.

Πιθανότατα, ένας από τους μαθητές θα σχεδιάσει σίγουρα μια αναλογία του αλγορίθμου του με τον αλγόριθμο για την πρόσθεση και την αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές: πρώτα, φέρνουν τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους πρόσθετους παράγοντες και στη συνέχεια προσθέτουν και αφαιρούν το προκύπτουν κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές.

Στη συνέχεια, μια ενιαία παραλλαγή προκύπτει από αυτό. Μπορεί να είναι έτσι:

1. Αναλύουμε όλους τους παρονομαστές σε παράγοντες.
2. Από τον πρώτο παρονομαστή γράφουμε το γινόμενο όλων των παραγόντων του, από τους υπόλοιπους παρονομαστές εκχωρούμε τους παράγοντες που λείπουν σε αυτό το γινόμενο. Το προϊόν που προκύπτει θα είναι ο κοινός (νέος) παρονομαστής.
3. Ας βρούμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε ένα από τα κλάσματα: αυτοί θα είναι τα γινόμενα εκείνων των παραγόντων που βρίσκονται στον νέο παρονομαστή, αλλά δεν είναι στον παλιό παρονομαστή.
4. Ας βρούμε έναν νέο αριθμητή για κάθε κλάσμα: θα είναι το γινόμενο του παλιού αριθμητή και ένας πρόσθετος παράγοντας.
5. Ας γράψουμε κάθε κλάσμα με νέο αριθμητή και κοινό (νέο) παρονομαστή.

Λοιπόν, ας εφαρμόσουμε τον κανόνα μας για να ολοκληρώσουμε τις άλυτες προτεινόμενες εργασίες. Κάθε εργασία (4, 5) εκφωνείται με τη σειρά από κάποιους μαθητές της τάξης, ο δάσκαλος διορθώνει τη λύση στον πίνακα.

Είμαστε απλά ιδιοφυΐες! Έχουμε φτιάξει έναν αλγόριθμο για την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Με κοινές προσπάθειες έχουμε εξαλείψει τη δυσκολία, αφού πλέον έχουμε έναν πραγματικό «οδηγό» (αλγόριθμο) στη χώρα άγνωστη σε εμάς «Αλγεβρικά κλάσματα»!

5. Πρωτογενής εμπέδωση στον εξωτερικό λόγο.

Σκοπός της σκηνής:

1. Εκπαιδεύστε την ικανότητα να φέρετε αλγεβρικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
2. Οργανώστε την προφορά του μελετημένου περιεχομένου του κανόνα-αλγόριθμου στην εξωτερική ομιλία.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο 5:

Παιδιά, αλλά όλοι ξέρουμε καλά ότι το να κοιτάς και να γνωρίζεις τον «χάρτη της περιοχής» δεν είναι ταξίδι. Τι πρέπει να κάνουμε για να διεισδύσουμε βαθύτερα και περισσότερο στον κόσμο των αλγεβρικών κλασμάτων; (Πρέπει να λύσουμε παραδείγματα και γενικά να εξασκηθούμε στην επίλυση παραδειγμάτων, προκειμένου να ενοποιήσουμε τον νέο μας αλγόριθμο.)

Αρκετά σωστό. Ως εκ τούτου, προτείνω να ξεκινήσουμε τη μελέτη μας.

Ο μαθητής προφέρει προφορικά το σχέδιο της απόφασής του, ο δάσκαλος διορθώνει αν υπάρχουν κάποιες ανακρίβειες.

Ακούγεται περίπου έτσι:

Πρέπει να επιλέξουμε έναν αριθμό που θα διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 5. Αυτός είναι ο αριθμός 10. Στη συνέχεια επιλέγουμε τις μεταβλητές στο βαθμό που χρειαζόμαστε. Άρα ο νέος μας παρονομαστής θα είναι 10xy. Επιλέγουμε επιπλέον πολλαπλασιαστές. Στο πρώτο κλάσμα: 5y, στο δεύτερο: 2x. Πολλαπλασιάζουμε τους επιλεγμένους πρόσθετους συντελεστές με κάθε παλιό αριθμητή. Παίρνουμε αλγεβρικά κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, εκτελούμε την αφαίρεση σύμφωνα με τον κανόνα που είναι ήδη γνωστός σε εμάς.

Ειμαι ικανοποιημενη. Και τώρα η μεγάλη μας ομάδα θα χωριστεί σε ζευγάρια, και θα συνεχίσουμε την ενδιαφέρουσα πορεία μας.

Νο. 133 (α, δ). Οι μαθητές εργάζονται σε ζευγάρια, λέγοντας μεταξύ τους τη λύση:

α) +=+= =;

δ) +=+= =.

6. Ανεξάρτητη εργασίαμε αυτοέλεγχο.

Στόχοι σταδίου:

1. Εκτελέστε ανεξάρτητη εργασία.
2. Πραγματοποιήστε έναν αυτοέλεγχο σε σχέση με το προετοιμασμένο πρότυπο αυτοελέγχου.
3. Οι μαθητές θα καταγράψουν τις δυσκολίες, θα εντοπίσουν τις αιτίες των λαθών και θα διορθώσουν τα λάθη.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο 6:

Παρατήρησα προσεκτικά τη δουλειά σας και κατέληξα στο συμπέρασμα ότι ο καθένας από εσάς είναι ήδη έτοιμος να σκεφτεί ανεξάρτητα τρόπους και να βρει λύσεις σε παραδείγματα για το σημερινό μας θέμα. Ως εκ τούτου, σας προσφέρω μια μικρή ανεξάρτητη εργασία, μετά την οποία θα σας προσφερθεί ένα πρότυπο με τη σωστή λύση και απάντηση.

Αρ. 134 (α, β): εκτελέστε εργασίες σε επιλογές.

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, πραγματοποιείται τυπικός έλεγχος. Κατά τον έλεγχο των λύσεων, οι μαθητές σημειώνουν «+» τη σωστή λύση, «;» δεν είναι σωστή απόφαση. Είναι επιθυμητό οι μαθητές που κάνουν λάθη να εξηγούν τον λόγο για τον οποίο έκαναν λάθος την εργασία.

Τα λάθη αναλύονται και διορθώνονται.

Λοιπόν, ποιες δυσκολίες συναντήσατε στο δρόμο σας; (Έκανα λάθος όταν άνοιξα αγκύλες που προηγούνται με το σύμβολο μείον.)

Ποιος είναι ο λόγος για αυτό; (Απλά λόγω απροσεξίας, αλλά στο μέλλον θα είμαι πιο προσεκτικός!)

Τι άλλο φαινόταν δύσκολο; (Δυσκολεύτηκα να βρω πρόσθετους παράγοντες για τα κλάσματα;)

Θα πρέπει οπωσδήποτε να μελετήσετε πιο αναλυτικά το βήμα 3 του αλγορίθμου για να μην προκύψει τέτοιο πρόβλημα στο μέλλον!

Υπήρχαν άλλες δυσκολίες; (Και απλά δεν έφερα παρόμοιους όρους).

Και θα το φτιάξουμε. Όταν έχετε κάνει ό,τι είναι δυνατό σύμφωνα με τον νέο αλγόριθμο, πρέπει να θυμάστε το υλικό που μελετήσατε για μεγάλο χρονικό διάστημα. Ειδικότερα, φέρνοντας παρόμοιους όρους, ή αναγωγή κλασμάτων κ.λπ.

7. Ένταξη νέας γνώσης στο σύστημα γνώσης.

Σκοπός του σταδίου: να επαναλάβει και να ενοποιήσει τον αλγόριθμο για την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές που μελετήθηκε στο μάθημα.

8. Αναστοχασμός μαθήματος.

Ο σκοπός του σταδίου: να διορθώσουν το νέο περιεχόμενο, να αξιολογήσουν τις δικές τους δραστηριότητες.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο 8:

Ποιος ήταν ο στόχος μας στην αρχή του μαθήματος; (Μάθετε πώς να προσθέτετε και να αφαιρείτε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές.)

Τι καταλήξαμε για να πετύχουμε τον στόχο; (Ένας αλγόριθμος για την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.)

Τι άλλο χρησιμοποιήσαμε; (Προσυπολογίσαμε τους παρονομαστές, επιλέξαμε LCM για τους συντελεστές και πρόσθετους παράγοντες για τους αριθμητές.)

Τώρα πάρτε λίγο χρωματιστό στυλό ή μαρκαδόρο και σημειώστε με το σύμβολο «+» εκείνες τις δηλώσεις με τις οποίες συμφωνείτε:

Κάθε μαθητής έχει μια κάρτα με φράσεις. Τα παιδιά σημειώνουν και δείχνουν στον δάσκαλο.

Μπράβο!

Εργασία για το σπίτι: παράγραφος 4 (σχολικό βιβλίο); Νο 126, 127 (βιβλίο εργασιών).

Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε λεπτομερώς πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων. Ας ξεκινήσουμε με την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Μετά από αυτό, γράφουμε τον αντίστοιχο κανόνα για κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Συμπερασματικά, θα δείξουμε πώς προσθέτουμε ένα αλγεβρικό κλάσμα σε ένα πολυώνυμο και πώς κάνουμε την αφαίρεσή τους. Παραδοσιακά, θα παρέχουμε όλες τις πληροφορίες με χαρακτηριστικά παραδείγματα με μια εξήγηση για κάθε βήμα της διαδικασίας λύσης.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Όταν οι παρονομαστές είναι ίδιοι

Οι αρχές μεταφέρονται στα αλγεβρικά κλάσματα. Γνωρίζουμε ότι κατά την πρόσθεση και την αφαίρεση κοινών κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, οι αριθμητές τους προστίθενται ή αφαιρούνται, αλλά ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος. Για παράδειγμα, και .

Ομοίως διατυπώνεται κανόνας πρόσθεσης και αφαίρεσης αλγεβρικών κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές: για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε αλγεβρικά κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τους αριθμητές των κλασμάτων, αντίστοιχα, και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή.

Από αυτόν τον κανόνα προκύπτει ότι ως αποτέλεσμα της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης αλγεβρικών κλασμάτων, προκύπτει ένα νέο αλγεβρικό κλάσμα (σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, ένα πολυώνυμο, ένα μονώνυμο ή ένας αριθμός).

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα της εφαρμογής του ηχητικού κανόνα.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το άθροισμα των αλγεβρικών κλασμάτων και .

Απόφαση.

Πρέπει να προσθέσουμε αλγεβρικά κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Ο κανόνας μας λέει ότι πρέπει να προσθέσουμε τους αριθμητές αυτών των κλασμάτων και να αφήσουμε τον παρονομαστή ίδιο. Άρα, προσθέστε τα πολυώνυμα στους αριθμητές: x 2 +2 x y−5+3−x y= x 2 +(2 x y−x y)−5+3=x 2 +x y−2. Επομένως, το άθροισμα των αρχικών κλασμάτων είναι .

Στην πράξη, η λύση συνήθως γράφεται εν συντομία με τη μορφή μιας αλυσίδας ισοτήτων, που αντικατοπτρίζει όλες τις ενέργειες που εκτελούνται. Στην περίπτωσή μας σύντομη είσοδοςη λύση είναι:

Απάντηση:

.

Σημειώστε ότι εάν, ως αποτέλεσμα της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης αλγεβρικών κλασμάτων, προκύπτει ένα ανάγιμο κλάσμα, τότε είναι επιθυμητό να το μειώσετε.

Παράδειγμα.

Αφαιρέστε ένα κλάσμα από ένα αλγεβρικό κλάσμα.

Απόφαση.

Δεδομένου ότι οι παρονομαστές των αλγεβρικών κλασμάτων είναι ίσοι, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσουμε τον παρονομαστή τον ίδιο: .

Είναι εύκολο να δούμε ότι είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί η αναγωγή ενός αλγεβρικού κλάσματος. Για να γίνει αυτό, μετατρέπουμε τον παρονομαστή του εφαρμόζοντας τύπος διαφοράς τετραγώνων. Εχουμε .

Απάντηση:

.

Ομοίως προσθέστε ή αφαιρέστε τρία και μεγάλη ποσότητααλγεβρικά κλάσματα με ίδιους παρονομαστές. Για παράδειγμα, .

Πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Θυμηθείτε πώς εκτελούμε την πρόσθεση και την αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές: πρώτα τα φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή και μετά προσθέτουμε αυτά τα κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Για παράδειγμα, ή .

Υπάρχει ένα παρόμοιο κανόνας πρόσθεσης και αφαίρεσης αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές:

• Πρώτον, όλα τα κλάσματα ανάγονται σε έναν κοινό παρονομαστή.
• μετά την οποία γίνεται η πρόσθεση και η αφαίρεση των κλασμάτων που προκύπτουν με τους ίδιους παρονομαστές.

Για την επιτυχή εφαρμογή του φωνητικού κανόνα, πρέπει να κατανοήσετε καλά την αναγωγή των αλγεβρικών κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή. Αυτό θα κάνουμε.

Φέρνοντας αλγεβρικά κλάσματα σε κοινό παρονομαστή.

Το να φέρουμε αλγεβρικά κλάσματα σε κοινό παρονομαστή είναι μετασχηματισμός ταυτότηταςαρχικά κλάσματα, μετά τα οποία οι παρονομαστές όλων των κλασμάτων γίνονται οι ίδιοι. Είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τα ακόλουθα αλγόριθμος για την αναγωγή αλγεβρικών κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή:

• πρώτο είναι κοινό παρονομαστήαλγεβρικά κλάσματα;
• Επιπλέον, προσδιορίζονται πρόσθετοι παράγοντες για κάθε ένα από τα κλάσματα, για τα οποία ο κοινός παρονομαστής διαιρείται με τους παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων.
• Τέλος, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των αρχικών αλγεβρικών κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους αντίστοιχους πρόσθετους συντελεστές.

Παράδειγμα.

Δώστε αλγεβρικά κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή.

Απόφαση.

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε τον κοινό παρονομαστή των αλγεβρικών κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, αποσυνθέτουμε τους παρονομαστές όλων των κλασμάτων σε παράγοντες: 2 a 3 −4 a 2 =2 a 2 (a−2), 3 a 2 −6 a=3 a (a−2) και 4 a 5 −16 a 3 =4 a 3 (a−2) (a+2). Από εδώ βρίσκουμε τον κοινό παρονομαστή 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

Τώρα προχωράμε στην εύρεση πρόσθετων παραγόντων. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε τον κοινό παρονομαστή με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος (είναι βολικό να πάρουμε την επέκτασή του), έχουμε 12 a 3 (a−2) (a+2):(2 a 2 (a−2))=6 a (a+2). Έτσι, ο πρόσθετος παράγοντας για το πρώτο κλάσμα είναι 6·a·(a+2) . Ομοίως, βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για το δεύτερο και το τρίτο κλάσματα: 12 a 3 (a−2) (a+2):(3 a (a−2))=4 a 2 (a+2)και 12 a 3 (a−2) (a+2):(4 a 3 (a−2) (a+2))=3.

Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων με τους αντίστοιχους πρόσθετους παράγοντες:

Αυτό ολοκληρώνει την αναγωγή των αρχικών αλγεβρικών κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή. Εάν είναι απαραίτητο, τα κλάσματα που προκύπτουν μπορούν να μετατραπούν στη μορφή αλγεβρικών κλασμάτων πολλαπλασιάζοντας πολυώνυμα και μονοώνυμα σε αριθμητές και παρονομαστές.

Έτσι, καταλάβαμε την αναγωγή των αλγεβρικών κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή. Τώρα είμαστε έτοιμοι να κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Ναι, σχεδόν ξεχάσαμε να σας προειδοποιήσουμε: είναι βολικό να αφήσετε τον κοινό παρονομαστή με τη μορφή προϊόντος μέχρι την τελευταία στιγμή - ίσως χρειαστεί να μειώσετε το κλάσμα που θα ληφθεί μετά την πρόσθεση ή την αφαίρεση.

Παράδειγμα.

Εκτελέστε πρόσθεση αλγεβρικών κλασμάτων και .

Απόφαση.

Προφανώς, τα αρχικά κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως για να τα προσθέσετε, πρέπει πρώτα να τα φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τους παρονομαστές: x 2 + x \u003d x (x + 1) , και x 2 +3 x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2) , καθώς οι ρίζες τετράγωνο τριώνυμο x 2 +3 x+2 είναι οι αριθμοί −1 και −2 . Από εδώ βρίσκουμε τον κοινό παρονομαστή, έχει τη μορφή x·(x+1)·(x+2) . Τότε ο πρόσθετος παράγοντας του πρώτου κλάσματος θα είναι x + 2 και το δεύτερο κλάσμα - x.

Έτσι, και .

Απομένει να προσθέσουμε τα κλάσματα που μειώνονται σε έναν κοινό παρονομαστή:

Το κλάσμα που προκύπτει μπορεί να μειωθεί. Πράγματι, αν ο αριθμητής βγάλει τα δύο από αγκύλες, τότε γίνεται ορατός ο κοινός παράγοντας x + 1, με τον οποίο μειώνεται το κλάσμα:.

Τέλος, αντιπροσωπεύουμε το κλάσμα που προκύπτει ως αλγεβρικό, για το οποίο αντικαθιστούμε το γινόμενο στον παρονομαστή με ένα πολυώνυμο: .

Ας βγάλουμε σύντομη λύση, λαμβάνοντας υπόψη όλο το σκεπτικό μας:

Απάντηση:

.

Και κάτι ακόμα: καλό είναι να προ-μετασχηματίσετε τα αλγεβρικά κλάσματα πριν τα προσθέσετε ή αφαιρέσετε για να τα απλοποιήσετε (αν, φυσικά, υπάρχει τέτοια δυνατότητα).

Παράδειγμα.

Αφαιρέστε αλγεβρικά κλάσματα και .

Απόφαση.

Ας κάνουμε μερικούς μετασχηματισμούς αλγεβρικών κλασμάτων, ίσως απλοποιήσουν τη διαδικασία επίλυσης. Αρχικά, βγάζουμε τους αριθμητικούς συντελεστές των μεταβλητών στον παρονομαστή: και . Είναι ήδη ενδιαφέρον - ο κοινός παράγοντας των παρονομαστών των κλασμάτων έχει γίνει ορατός.

Το βίντεο μάθημα "Πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές" είναι οπτικό βοήθημα, που δίνει θεωρητικό υλικό, οι αλγόριθμοι και τα χαρακτηριστικά εκτέλεσης πράξεων αφαίρεσης, πρόσθεσης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Με τη βοήθεια του εγχειριδίου, είναι πιο εύκολο για τον δάσκαλο να σχηματίσει την ικανότητα των μαθητών να εκτελούν πράξεις με αλγεβρικά κλάσματα. Κατά τη διάρκεια του βίντεο φροντιστηρίου εξετάζονται μια σειρά από παραδείγματα, η λύση των οποίων περιγράφεται αναλυτικά, δίνοντας προσοχή σε σημαντικές λεπτομέρειες.

Η χρήση ενός μαθήματος βίντεο σε ένα μάθημα μαθηματικών δίνει τη δυνατότητα στον δάσκαλο να επιτύχει τους μαθησιακούς στόχους πιο γρήγορα και να αυξήσει την αποτελεσματικότητα της μάθησης. Η ορατότητα της επίδειξης βοηθά τους μαθητές να θυμούνται το υλικό, να το κατακτούν πιο βαθιά, έτσι το βίντεο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συνοδεύσει την εξήγηση του δασκάλου. Εάν αυτό το βίντεο χρησιμοποιηθεί ως μέρος του μαθήματος, τότε ο χρόνος του δασκάλου ελευθερώνεται για ενίσχυση ατομική δουλειάκαι τη χρήση άλλων εργαλείων μάθησης για τη βελτίωση της μαθησιακής αποτελεσματικότητας.

Η επίδειξη ξεκινά με την εισαγωγή του θέματος του εκπαιδευτικού βίντεο. Σημειώνεται ότι η εκτέλεση πράξεων αφαίρεσης, πρόσθεσης αλγεβρικών κλασμάτων είναι παρόμοια με την εκτέλεση πράξεων με συνηθισμένα κλάσματα. Ο μηχανισμός αφαίρεσης, πρόσθεσης για συνηθισμένα κλάσματα ανακαλείται - τα κλάσματα μειώνονται σε έναν κοινό παρονομαστή, μετά τον οποίο οι ίδιες οι πράξεις εκτελούνται απευθείας.

Ο αλγόριθμος της αφαίρεσης, της πρόσθεσης αλγεβρικών κλασμάτων εκφράζεται και περιγράφεται στην οθόνη. Αποτελείται από δύο βήματα - αναγωγή των κλασμάτων στους ίδιους παρονομαστές και στη συνέχεια εκτέλεση της πρόσθεσης (ή αφαίρεσης) κλασμάτων με ίσους παρονομαστές. Η εφαρμογή του αλγορίθμου εξετάζεται στο παράδειγμα εύρεσης των τιμών των παραστάσεων a/4b 2 -a 2 /6b 3 , καθώς και x/(x+y)-x/(x-y). Σημειώνεται ότι για να λυθεί το πρώτο παράδειγμα, είναι απαραίτητο να φέρουμε και τα δύο κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Αυτός ο παρονομαστής θα είναι 12b 3 . Η μεταφορά αυτών των κλασμάτων στον παρονομαστή 12b 3 συζητήθηκε λεπτομερώς στο τελευταίο εκπαιδευτικό βίντεο. Ο μετασχηματισμός έχει ως αποτέλεσμα δύο κλάσματα με ίσους παρονομαστές 3ab/12b 3 και 2a 2 /12b 3 . Αυτά τα κλάσματα προστίθενται σύμφωνα με τον κανόνα για την πρόσθεση κλασμάτων με ίσους παρονομαστές. Αφού προσθέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων, το αποτέλεσμα είναι το κλάσμα (3ab+2a 2)/12b 3 . Παρακάτω περιγράφεται η λύση του παραδείγματος x/(x+y)-x/(x-y). Μετά την αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή, προκύπτουν τα κλάσματα (x 2 -xy) / (x 2 -y 2) και (x 2 + xy) / (x 2 -y 2). Σύμφωνα με τον κανόνα για την αφαίρεση κλασμάτων με ίσους παρονομαστές, εκτελούμε μια πράξη με αριθμητές, μετά την οποία παίρνουμε ένα κλάσμα -2xy / (x 2 -y 2).

Σημειώνεται ότι το πιο δύσκολο βήμα στην επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης, αφαίρεσης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές είναι η αναγωγή τους σε κοινό παρονομαστή. Δίνονται συμβουλές για το πώς να αναπτύξετε εύκολα δεξιότητες για την επίλυση αυτών των προβλημάτων. Κατανοήστε τον κοινό παρονομαστή ενός κλάσματος. Αποτελείται από έναν αριθμητικό συντελεστή με μια μεταβλητή αυξημένη σε ισχύ. Μπορεί να φανεί ότι η έκφραση μπορεί να διαιρεθεί με τους παρονομαστές του πρώτου και του δεύτερου κλάσματος. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμητικός συντελεστής 12 είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμητικών συντελεστών των κλασμάτων 4 και 6. Και η μεταβλητή b περιέχει και τους δύο παρονομαστές 4b 2 και 6b 3 . Σε αυτήν την περίπτωση, ο κοινός παρονομαστής περιέχει τη μεταβλητή στο μεγαλύτερο βαθμό μεταξύ των παρονομαστών των αρχικών κλασμάτων. Εξετάζεται επίσης η εύρεση κοινού παρονομαστή για τα x/(x+y) και x/(x-y). Σημειώνεται ότι ο κοινός παρονομαστής (x+y)(x-y) διαιρείται με κάθε παρονομαστή. Έτσι, η λύση του προβλήματος καταλήγει στην εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των διαθέσιμων αριθμητικών συντελεστών, καθώς και στην εύρεση του υψηλότερου εκθέτη για μια μεταβλητή γράμματος που εμφανίζεται πολλές φορές. Στη συνέχεια, αφού συλλέξετε αυτά τα μέρη κοινό προϊόννα πάρει έναν κοινό παρονομαστή.

Ένας αλγόριθμος για την εύρεση κοινού παρονομαστή για πολλά κλάσματα εκφράζεται και διατυπώνεται στην οθόνη. Αυτός ο αλγόριθμος αποτελείται από τέσσερα στάδια, στο πρώτο εκ των οποίων παραγοντοποιούνται οι παρονομαστές. Στο δεύτερο στάδιο του αλγορίθμου, βρίσκεται το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των διαθέσιμων δεδομένων των συντελεστών που περιλαμβάνονται στους παρονομαστές των κλασμάτων. Στο τρίτο στάδιο συντάσσεται ένα προϊόν που περιλαμβάνει τους κυριολεκτικούς συντελεστές των επεκτάσεων των παρονομαστών, ενώ επιλέγεται στο μεγαλύτερο βαθμό ο κυριολεκτικός δείκτης που υπάρχει σε πολλούς παρονομαστές. Στο τέταρτο στάδιο, οι αριθμητικοί και αλφαβητικοί παράγοντες που βρέθηκαν στα προηγούμενα στάδια συγκεντρώνονται σε ένα γινόμενο. Αυτός θα είναι ο κοινός παρονομαστής. Γίνεται μια παρατήρηση στον εξεταζόμενο αλγόριθμο. Στο παράδειγμα εύρεσης του κοινού παρονομαστή των κλασμάτων a / 4b 2 και a 2 /6b 3, σημειώνεται ότι εκτός από το 12b 3 υπάρχουν και άλλοι παρονομαστές 24b 3 και 48a 2 b 3 . Και για κάθε σύνολο κλασμάτων, υπάρχουν πολλοί κοινοί παρονομαστές. Ωστόσο, ο παρονομαστής 12b 3 είναι ο απλούστερος και πιο βολικός, επομένως ονομάζεται και ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής των αρχικών κλασμάτων. Πρόσθετοι παράγοντες είναι το αποτέλεσμα του μερικού κοινού παρονομαστή και του αρχικού παρονομαστή του κλάσματος. Αποδεικνύεται λεπτομερώς μέσω κινούμενων εικόνων, πώς ο αριθμητής, ο παρονομαστής των κλασμάτων πολλαπλασιάζεται με έναν επιπλέον παράγοντα.

Περαιτέρω, προτείνεται να εξεταστεί ο αλγόριθμος για την αναγωγή αλγεβρικών κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή σε απλούστερη μορφή, ώστε να είναι πιο κατανοητός για τους μαθητές. Αποτελείται επίσης από τέσσερα βήματα, το πρώτο από τα οποία είναι η παραγοντοποίηση των παρονομαστών. Στη συνέχεια προτείνεται να γραφτούν όλοι οι παράγοντες από τον πρώτο παρονομαστή, να συμπληρωθεί το γινόμενο με τους συντελεστές που λείπουν από τους υπόλοιπους παρονομαστές. Έτσι, βρίσκεται ένας κοινός παρονομαστής. Βρίσκονται πρόσθετοι παράγοντες για κάθε κλάσμα από εκείνους τους παράγοντες του παρονομαστή που δεν εμπίπτουν στον κοινό παρονομαστή. Το τέταρτο βήμα είναι να προσδιοριστεί για κάθε κλάσμα ένας νέος αριθμητής, ο οποίος είναι το γινόμενο του παλιού αριθμητή και ενός πρόσθετου παράγοντα. Στη συνέχεια κάθε κλάσμα γράφεται με νέο αριθμητή και παρονομαστή.

Το ακόλουθο παράδειγμα περιγράφει μια απλοποίηση της έκφρασης 3a/(4a 2 -1)-(a+1)/(2a 2 +a). Στο πρώτο στάδιο της λύσης, οι παρονομαστές κάθε κλάσματος αποσυντίθενται σε παράγοντες. Για τα προϊόντα, ο κοινός παράγοντας είναι (2a + 1). Συμπληρώνοντας το γινόμενο με τους υπόλοιπους παράγοντες (2a-1) και a, προκύπτει ένας κοινός παρονομαστής της μορφής a (2a-1) (2a + 1). Κατασκευάζεται ένας βοηθητικός πίνακας, στον οποίο υποδεικνύονται ο κοινός παρονομαστής, οι παρονομαστές, οι πρόσθετοι παράγοντες. Στο δεύτερο στάδιο της λύσης, κάθε αριθμητής πολλαπλασιάζεται με έναν επιπλέον παράγοντα, εκτελείται αφαίρεση. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα (a 2 -a + 1) / a (2a-1) (2a + 1).

Το Παράδειγμα 3 θεωρεί μια απλοποίηση της έκφρασης b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b). Η λύση αναλύεται επίσης σταδιακά, εφιστάται η προσοχή βασικά χαρακτηριστικάπεριγράφονται αναλυτικά οι πράξεις, η αναγωγή των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή, η εκτέλεση πράξεων με τον αριθμητή. Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών και μετά τον μετασχηματισμό, προκύπτει ένα κλάσμα (2a 3 +6a 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2 .

Το μάθημα βίντεο "Πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές" μπορεί να χρησιμεύσει ως μέσο αύξησης της αποτελεσματικότητας ενός μαθήματος μαθηματικών σε αυτό το θέμα. Το εγχειρίδιο θα είναι χρήσιμο στον δάσκαλο που εξ αποστάσεως εκπαίδευση, Για οπτική παρουσίαση εκπαιδευτικό υλικό. Για τους μαθητές, μπορεί να προταθεί ένα μάθημα βίντεο αυτοδιδασκαλίας, αφού εξηγεί αναλυτικά και με σαφήνεια τα χαρακτηριστικά διενέργειας των μελετημένων πράξεων.

Πώς γίνεται η πρόσθεση αλγεβρικών (ορθολογικών) κλασμάτων;

Για να προσθέσετε αλγεβρικά κλάσματα, χρειάζεστε:

1) Βρείτε το μικρότερο από αυτά τα κλάσματα.

2) Βρείτε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα (για αυτό πρέπει να διαιρέσετε τον νέο παρονομαστή με τον παλιό).

3) Πολλαπλασιάστε τον πρόσθετο παράγοντα με τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

4) Εκτελέστε την πρόσθεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές

(Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο).

Παραδείγματα πρόσθεσης αλγεβρικών κλασμάτων.

Ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής είναι το άθροισμα όλων των παραγόντων που λαμβάνονται στην υψηλότερη ισχύ. ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηισούται με αβ.

Για να βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα σε κάθε κλάσμα, διαιρούμε τον νέο παρονομαστή με τον παλιό. αβ:α=β, αβ:(αβ)=1.

Ο αριθμητής έχει έναν κοινό παράγοντα α. Το βγάζουμε από την αγκύλη και μειώνουμε το κλάσμα κατά ένα:

Οι παρονομαστές αυτών των κλασμάτων είναι πολυώνυμα, επομένως πρέπει να δοκιμαστούν. Στον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος υπάρχει ένας κοινός παράγοντας x, στο δεύτερο - 5. Τους βγάζουμε από αγκύλες:

Ο κοινός παρονομαστής αποτελείται από όλους τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στον παρονομαστή και είναι ίσος με 5x(x-5).

Για να βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα σε κάθε κλάσμα, διαιρούμε τον νέο παρονομαστή με τον παλιό.

(Αν δεν σας αρέσει η διαίρεση, μπορείτε να την κάνετε διαφορετικά. Μιλάμε ως εξής: τι χρειάζεστε για να πολλαπλασιάσετε τον παλιό παρονομαστή για να πάρετε έναν νέο; Για να πάρετε 5x(x-5) από το x (x-5 ), πρέπει να πολλαπλασιάσετε την πρώτη παράσταση με 5. Για να πάρετε από το 5 (x-5) στο 5x(x-5), πρέπει να πολλαπλασιάσετε την 1η παράσταση με το x. Έτσι, ο πρόσθετος παράγοντας στο πρώτο κλάσμα είναι 5, στο δεύτερο - x).

Στον αριθμητή - πλήρες τετράγωνοδιαφορές. Το συμπτύσσουμε σύμφωνα με τον τύπο και μειώνουμε το κλάσμα κατά (x-5):

Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ένα πολυώνυμο. Δεν συνυπολογίζει παράγοντες, οπότε ο κοινός παρονομαστής αυτών των κλασμάτων είναι ίσο με το γινόμενοπαρονομαστές m(m+3):

Πολυώνυμα στους παρονομαστές των κλασμάτων,. Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα x στον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και το 2 στον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:

Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος σε αγκύλες είναι η διαφορά των τετραγώνων.