Τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης. Προσδιορισμός τοπικών ακραίων σημείων συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Ορισμός:Το σημείο x0 ονομάζεται σημείο τοπικού μέγιστου (ή ελάχιστου) μιας συνάρτησης εάν σε κάποια γειτονιά του σημείου x0 η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη (ή τη μικρότερη) τιμή, δηλ. για όλα τα x από κάποια γειτονιά του σημείου x0 η συνθήκη f(x) f(x0) (ή f(x) f(x0)) ικανοποιείται.

Οι τοπικοί μέγιστοι ή ελάχιστοι πόντοι συνδυάζονται συνηθισμένο όνομα- σημεία τοπικού άκρου της συνάρτησης.

Σημειώστε ότι σε τοπικά ακραία σημεία, η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της μόνο σε μια συγκεκριμένη τοπική περιοχή. Μπορεί να υπάρξουν περιπτώσεις όπου σύμφωνα με την τιμή уmaxуmin.

Απαραίτητο σημάδι ύπαρξης τοπικού άκρου μιας συνάρτησης

Θεώρημα . Αν συνεχής λειτουργία y = f(x) έχει τοπικό άκρο στο σημείο x0, τότε σε αυτό το σημείο η πρώτη παράγωγος είναι είτε μηδέν είτε δεν υπάρχει, δηλ. ένα τοπικό άκρο εμφανίζεται σε κρίσιμα σημεία του πρώτου είδους.

Σε τοπικά ακραία σημεία, είτε η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα 0x, είτε υπάρχουν δύο εφαπτομένες (βλ. σχήμα). Σημειώστε ότι κρίσιμα σημείααποτελούν απαραίτητη αλλά ανεπαρκή συνθήκη για ένα τοπικό εξτρέμ. Ένα τοπικό άκρο εμφανίζεται μόνο σε κρίσιμα σημεία του πρώτου είδους, αλλά δεν εμφανίζεται σε όλα τα κρίσιμα σημεία ένα τοπικό άκρο.

Για παράδειγμα: μια κυβική παραβολή y = x3 έχει ένα κρίσιμο σημείο x0 = 0, στο οποίο η παράγωγος y/(0)=0, αλλά το κρίσιμο σημείο x0=0 δεν είναι ένα ακραίο σημείο, αλλά ένα σημείο καμπής σε αυτό (βλ. παρακάτω).

Επαρκές σημάδι ύπαρξης τοπικού άκρου μιας συνάρτησης

Θεώρημα . Εάν, όταν το όρισμα διέρχεται από ένα κρίσιμο σημείο του πρώτου είδους από αριστερά προς τα δεξιά, η πρώτη παράγωγος y / (x)

αλλάζει πρόσημο από «+» σε «-», τότε η συνεχής συνάρτηση y(x) σε αυτό το κρίσιμο σημείο έχει ένα τοπικό μέγιστο.

αλλάζει πρόσημο από «-» σε «+», τότε η συνεχής συνάρτηση y(x) έχει ένα τοπικό ελάχιστο σε αυτό το κρίσιμο σημείο

δεν αλλάζει πρόσημο, τότε σε αυτό το κρίσιμο σημείο δεν υπάρχει τοπικό άκρο, υπάρχει ένα σημείο καμπής εδώ.

Για ένα τοπικό μέγιστο, η περιοχή της αύξουσας συνάρτησης (y/0) αντικαθίσταται από την περιοχή της φθίνουσας συνάρτησης (y/0). Για ένα τοπικό ελάχιστο, η περιοχή της φθίνουσας συνάρτησης (y/0) αντικαθίσταται από την περιοχή της αύξουσας συνάρτησης (y/0).

Παράδειγμα: Εξετάστε τη συνάρτηση y = x3 + 9x2 + 15x - 9 για μονοτονία, ακρότατο και κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Ας βρούμε κρίσιμα σημεία του πρώτου είδους ορίζοντας την παράγωγο (y/) και εξισώνοντάς την με μηδέν: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Ας αποφασίσουμε τετραγωνικό τριώνυμοχρησιμοποιώντας ένα διακριτικό:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Χωρίζουμε τον αριθμητικό άξονα σε 3 περιοχές με κρίσιμα σημεία και προσδιορίζουμε τα πρόσημα της παραγώγου (y/) σε αυτές. Χρησιμοποιώντας αυτά τα ζώδια θα βρούμε περιοχές μονοτονίας (αύξησης και φθίνουσας) συναρτήσεων και αλλάζοντας τα ζώδια θα προσδιορίσουμε τα σημεία τοπικού άκρου (μέγιστο και ελάχιστο).

Παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα της έρευνας σε μορφή πίνακα, από τον οποίο μπορούν να εξαχθούν τα ακόλουθα συμπεράσματα:

• 1. Στο διάστημα y /(-10) 0 η συνάρτηση αυξάνεται μονοτονικά (το πρόσημο της παραγώγου y υπολογίστηκε χρησιμοποιώντας το σημείο ελέγχου x = -10 που λήφθηκε σε αυτό το διάστημα).
• 2. Στο διάστημα (-5 ; -1) y /(-2) 0 η συνάρτηση μειώνεται μονότονα (το πρόσημο της παραγώγου y υπολογίστηκε χρησιμοποιώντας το σημείο ελέγχου x = -2, που λαμβάνεται σε αυτό το διάστημα).
• 3. Στο διάστημα y /(0) 0, η συνάρτηση αυξάνεται μονότονα (το πρόσημο της παραγώγου y υπολογίστηκε χρησιμοποιώντας το σημείο ελέγχου x = 0, που λαμβάνεται σε αυτό το διάστημα).
• 4. Όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο x1k = -5, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από «+» σε «-», επομένως αυτό το σημείο είναι ένα τοπικό μέγιστο σημείο
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. Όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο x2k = -1, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από «-» σε «+», επομένως αυτό το σημείο είναι ένα τοπικό ελάχιστο σημείο
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5; -1) -1

3) Θα κατασκευάσουμε ένα γράφημα με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης χρησιμοποιώντας πρόσθετους υπολογισμούς τιμών συνάρτησης σε σημεία ελέγχου:

χτίζουμε ορθογώνιο σύστημαΟξυ συντεταγμένες;

Δείχνουμε με συντεταγμένες τα σημεία του μέγιστου (-5; 16) και του ελάχιστου (-1;-16).

για να διευκρινίσουμε το γράφημα, υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στα σημεία ελέγχου, επιλέγοντάς τα αριστερά και δεξιά από τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία και μέσα στο μέσο διάστημα, για παράδειγμα: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

γ(0)= -9 (-6;9); (-3;0) και (0;-9) - υπολογισμένα σημεία ελέγχου που σχεδιάζουμε για την κατασκευή του γραφήματος.

Δείχνουμε το γράφημα με τη μορφή καμπύλης κυρτή προς τα πάνω στο μέγιστο σημείο και κυρτή προς τα κάτω στο ελάχιστο σημείο και να διέρχεται από τα υπολογιζόμενα σημεία ελέγχου.

$E \υποσύνολο \mathbb(R)^(n)$. Λένε ότι το $f$ έχει τοπικό μέγιστοστο σημείο $x_(0) \σε E$, αν υπάρχει μια γειτονιά $U$ του σημείου $x_(0)$ τέτοια ώστε για όλα τα $x \in U$ η ανισότητα $f\left(x\right ) \leqslant f είναι ικανοποιημένη \left(x_(0)\right)$.

Το τοπικό μέγιστο ονομάζεται αυστηρός , εάν η γειτονιά $U$ μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε για όλα τα $x \σε U$ διαφορετικά από τα $x_(0)$ να υπάρχει $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Ορισμός
Έστω $f$ πραγματική λειτουργίαστο ανοιχτό σύνολο $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Λένε ότι το $f$ έχει τοπικό ελάχιστοστο σημείο $x_(0) \σε E$, αν υπάρχει μια γειτονιά $U$ του σημείου $x_(0)$ τέτοια ώστε για όλα τα $x \in U$ η ανισότητα $f\left(x\right ) \geqslant f ικανοποιείται \left(x_(0)\right)$.

Ένα τοπικό ελάχιστο ονομάζεται αυστηρό εάν μπορεί να επιλεγεί μια γειτονιά $U$ έτσι ώστε για όλα τα $x \in U$ διαφορετική από $x_(0)$ να υπάρχει $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\δεξιά)$.

Το τοπικό άκρο συνδυάζει τις έννοιες του τοπικού ελάχιστου και του τοπικού μέγιστου.

Θεώρημα ( απαραίτητη προϋπόθεσηάκρο της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης)
Έστω η $f$ μια πραγματική συνάρτηση στο ανοιχτό σύνολο $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Εάν στο σημείο $x_(0) \στο E$ η συνάρτηση $f$ έχει τοπικό άκρο σε αυτό το σημείο, τότε $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Ίσο με μηδέν διαφορικό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι όλα είναι ίσα με μηδέν, δηλ. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Στη μονοδιάστατη περίπτωση αυτό είναι – . Ας υποδηλώσουμε $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, όπου το $h$ είναι αυθαίρετο διάνυσμα. Η συνάρτηση $\phi$ ορίζεται για τιμές $t$ που είναι αρκετά μικρές σε απόλυτη τιμή. Επιπλέον, είναι διαφοροποιήσιμο σε σχέση με , και $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Έστω το $f$ να έχει ένα τοπικό μέγιστο στο σημείο x $0$. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση $\phi$ στο $t = 0$ έχει ένα τοπικό μέγιστο και, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Έτσι, πήραμε ότι $df \left(x_(0)\right) = 0$, δηλ. Η συνάρτηση $f$ στο σημείο $x_(0)$ είναι ίση με μηδέν σε οποιοδήποτε διάνυσμα $h$.

Ορισμός
Σημεία στα οποία η διαφορά είναι μηδέν, δηλ. εκείνες στις οποίες όλες οι επιμέρους παράγωγοι είναι ίσες με μηδέν λέγονται ακίνητες. Κρίσιμα σημείαΟι συναρτήσεις $f$ είναι εκείνα τα σημεία στα οποία η $f$ δεν είναι διαφοροποιήσιμη ή ισούται με μηδέν. Εάν το σημείο είναι ακίνητο, τότε δεν προκύπτει από αυτό ότι η συνάρτηση έχει ακρότατο σε αυτό το σημείο.

Παράδειγμα 1.
Έστω $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Τότε $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, οπότε το $\left(0,0\right)$ είναι ένα ακίνητο σημείο, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ακρότατο σε αυτό το σημείο. Πράγματι, $f \left(0,0\right) = 0$, αλλά είναι εύκολο να δούμε ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου $\left(0,0\right)$ η συνάρτηση παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές.

Παράδειγμα 2.
Η συνάρτηση $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ έχει ένα ακίνητο σημείο στην αρχή της, αλλά είναι σαφές ότι δεν υπάρχει άκρο σε αυτό το σημείο.

Θεώρημα ( επαρκής κατάστασηακραίο).
Έστω η συνάρτηση $f$ δύο φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμη στο ανοιχτό σύνολο $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Έστω $x_(0) \σε E$ ένα σταθερό σημείο και $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Τότε

1. αν $Q_(x_(0))$ – , τότε η συνάρτηση $f$ στο σημείο $x_(0)$ έχει ένα τοπικό άκρο, δηλαδή, ένα ελάχιστο εάν η φόρμα είναι θετική οριστική, και ένα μέγιστο εάν η φόρμα είναι αρνητική οριστική?
2. Αν τετραγωνική μορφήΤο $Q_(x_(0))$ δεν έχει οριστεί, τότε η συνάρτηση $f$ στο σημείο $x_(0)$ δεν έχει ακρότατο.

Ας χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σύμφωνα με τον τύπο του Taylor (12.7 σελ. 292). Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης στο σημείο $x_(0)$ είναι ίσες με μηδέν, λαμβάνουμε $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ δεξιά) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\μερική x_(i) \μερική x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ όπου $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ και $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ για $h \rightarrow 0$, μετά δεξί μέροςθα είναι θετικό για οποιοδήποτε διάνυσμα $h$ αρκετά μικρού μήκους.
Έτσι, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι σε μια συγκεκριμένη γειτονιά του σημείου $x_(0)$ ισχύει η ανισότητα $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ αν μόνο $ x \neq x_ (0)$ (βάζουμε $x=x_(0)+h$\δεξιά). Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο $x_(0)$ η συνάρτηση έχει ένα αυστηρό τοπικό ελάχιστο, και έτσι αποδεικνύεται το πρώτο μέρος του θεωρήματός μας.
Ας υποθέσουμε τώρα ότι $Q_(x_(0))$ – αόριστος τύπος. Στη συνέχεια, υπάρχουν διανύσματα $h_(1)$, $h_(2)$ τέτοια ώστε $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Τότε παίρνουμε $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ αριστερά[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Για αρκετά μικρό $t>0$, το δεξί η πλευρά είναι θετική. Αυτό σημαίνει ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου $x_(0)$ η συνάρτηση $f$ παίρνει τιμές $f \left(x\right)$ μεγαλύτερες από $f \left(x_(0)\right)$.
Ομοίως, βρίσκουμε ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου $x_(0)$ η συνάρτηση $f$ παίρνει τιμές μικρότερες από $f \left(x_(0)\right)$. Αυτό, μαζί με το προηγούμενο, σημαίνει ότι στο σημείο $x_(0)$ η συνάρτηση $f$ δεν έχει ακρότατο.

Ας σκεφτούμε ειδική περίπτωσηαυτού του θεωρήματος για μια συνάρτηση $f \left(x,y\right)$ δύο μεταβλητών που ορίζονται σε μια συγκεκριμένη γειτονιά του σημείου $\left(x_(0),y_(0)\right)$ και έχουν συνεχή μερική παράγωγα του πρώτου σε αυτή τη γειτονιά και δεύτερες τάξεις. Ας υποθέσουμε ότι το $\left(x_(0),y_(0)\right)$ είναι ένα ακίνητο σημείο και δηλώνει το $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0 ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Τότε το προηγούμενο θεώρημα παίρνει την ακόλουθη μορφή.

Θεώρημα
Έστω $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Επειτα:

1. αν $\Delta>0$, τότε η συνάρτηση $f$ έχει ένα τοπικό άκρο στο σημείο $\left(x_(0),y_(0)\right)$, δηλαδή ένα ελάχιστο αν $a_(11)> 0$ , και μέγιστο εάν $a_(11)<0$;
2. αν $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Αλγόριθμος για την εύρεση του άκρου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών:

1. Εύρεση σταθερών σημείων.
2. Βρείτε το διαφορικό 2ης τάξης σε όλα τα ακίνητα σημεία
3. Χρησιμοποιώντας την επαρκή συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, θεωρούμε μια διαφορά 2ης τάξης σε κάθε ακίνητο σημείο

1. Διερευνήστε τη συνάρτηση για το άκρο $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Λύση

   Ας βρούμε τα μερικά παράγωγα 1ης τάξης: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\μερική f)(\μερική y)= 0\end(περιπτώσεις) \Δεξί βέλος \αρχή(περιπτώσεις)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(περιπτώσεις) \Rightarrow \begin(περιπτώσεις)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(περιπτώσεις)$$ Από τη 2η εξίσωση εκφράζουμε $x=4 \cdot y^(2)$ - αντικαταστήστε την στην 1η εξίσωση: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Ως αποτέλεσμα, λαμβάνονται 2 σταθερά σημεία:
   1) $y=0 \Δεξί βέλος x = 0, M_(1) = \αριστερά(0, 0\δεξιά)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Ας ελέγξουμε αν ικανοποιείται η επαρκής προϋπόθεση για ένα ακραίο:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Για το σημείο $M_(1)= \αριστερά(0,0\δεξιά)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Για το σημείο $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\μερική^(2) f)(\μερική x \μερική y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\μερική^(2) f)(\μερική y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, που σημαίνει ότι στο σημείο $M_(2)$ υπάρχει ένα άκρο, και αφού $A_(2)> 0$, τότε αυτό είναι το ελάχιστο.
   Απάντηση: Το σημείο $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $f$.
   

2. Διερευνήστε τη συνάρτηση για το άκρο $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Λύση

   Ας βρούμε σταθερά σημεία: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2,$$
   Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases = x = 1\end(περιπτώσεις) \Δεξί βέλος x = -1$$
   Το $M_(0) \left(-1, 2\right)$ είναι ένα ακίνητο σημείο.
   Ας ελέγξουμε αν πληρούται η επαρκής προϋπόθεση για το άκρο: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Απάντηση: δεν υπάρχουν ακρότητες.
   

Χρονικό όριο: 0

Πλοήγηση (μόνο αριθμοί εργασίας)

Ολοκληρώθηκαν 0 από 4 εργασίες

Πληροφορίες

Κάντε αυτό το κουίζ για να ελέγξετε τις γνώσεις σας για το θέμα που μόλις διαβάσατε: Τοπικό άκρο συναρτήσεων πολλαπλών μεταβλητών.

Έχετε κάνει ήδη το τεστ στο παρελθόν. Δεν μπορείς να το ξαναρχίσεις.

Δοκιμαστική φόρτωση...

Πρέπει να συνδεθείτε ή να εγγραφείτε για να ξεκινήσετε τη δοκιμή.

Πρέπει να ολοκληρώσετε τις ακόλουθες δοκιμές για να ξεκινήσετε αυτό:

Αποτελέσματα

Σωστές απαντήσεις: 0 από 4

Ο χρόνος σου:

Ο χρόνος τελείωσε

Σημειώσατε 0 στους 0 βαθμούς (0)

Το αποτέλεσμά σας καταγράφηκε στον πίνακα κατάταξης

1. Με απάντηση
2. Με σήμα προβολής

Εργασία 1 από 4

1 .

Αριθμός πόντων: 1

Διερευνήστε τη συνάρτηση $f$ για ακρότατα: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

σωστά


Λανθασμένος


1. Εργασία 2 από 4

   2 .

   Αριθμός πόντων: 1

   Η συνάρτηση $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ έχει ακρότατο

Η συνάρτηση λέγεται ότι έχει στο εσωτερικό σημείο
περιοχή ρε τοπικό μέγιστο(ελάχιστο), αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου
, για κάθε σημείο
που κρατά την ανισότητα

Αν μια συνάρτηση έχει σε ένα σημείο
τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο, τότε λέμε ότι έχει σε αυτό το σημείο τοπικό εξτρέμ(ή απλά ένα ακραίο).

Θεώρημα (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ακραίου). Αν η διαφοροποιήσιμη συνάρτηση φτάσει σε ένα άκρο στο σημείο
, τότε κάθε μερική παράγωγος πρώτης τάξης της συνάρτησης σε αυτό το σημείο γίνεται μηδέν.

Τα σημεία στα οποία εξαφανίζονται όλες οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης ονομάζονται ακίνητα σημεία της συνάρτησης
. Οι συντεταγμένες αυτών των σημείων μπορούν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα των εξισώσεις

.

Η απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός άκρου στην περίπτωση μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης μπορεί να διατυπωθεί εν συντομία ως εξής:

Υπάρχουν περιπτώσεις που σε επιμέρους σημεία κάποιες επιμέρους παράγωγοι έχουν άπειρες τιμές ή δεν υπάρχουν (ενώ οι υπόλοιπες είναι ίσες με μηδέν). Τέτοια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.Αυτά τα σημεία θα πρέπει επίσης να θεωρούνται «ύποπτα» για ένα ακραίο, όπως και τα ακίνητα.

Στην περίπτωση συνάρτησης δύο μεταβλητών, η απαραίτητη προϋπόθεση για το άκρο, δηλαδή η ισότητα προς το μηδέν των μερικών παραγώγων (διαφορικό) στο ακραίο σημείο, έχει γεωμετρική ερμηνεία: εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια
στο ακραίο σημείο πρέπει να είναι παράλληλο με το επίπεδο
.

20. Επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ακραίου

Η εκπλήρωση της απαραίτητης προϋπόθεσης για την ύπαρξη ακραίου σε κάποιο σημείο δεν εγγυάται καθόλου την ύπαρξη ακραίου εκεί. Ως παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε την παντού διαφοροποιήσιμη συνάρτηση
. Τόσο οι μερικές παράγωγοί του όσο και η ίδια η συνάρτηση εξαφανίζονται στο σημείο
. Ωστόσο, σε οποιαδήποτε γειτονιά αυτού του σημείου υπάρχουν και τα δύο θετικά (μεγάλα
), και αρνητικό (μικρότερο
) τις τιμές αυτής της συνάρτησης. Επομένως, σε αυτό το σημείο, εξ ορισμού, δεν παρατηρείται ακρότητα. Επομένως, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε επαρκείς συνθήκες υπό τις οποίες ένα σημείο που υπάρχει υποψία ότι είναι ακρότατο είναι ένα ακραίο σημείο της υπό μελέτη συνάρτησης.

Ας εξετάσουμε την περίπτωση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση
καθορισμένη, συνεχής και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους μέχρι και δεύτερης τάξης συμπεριλαμβανομένων στη γειτονιά κάποιου σημείου
, που είναι το ακίνητο σημείο της συνάρτησης
, δηλαδή ικανοποιεί τις προϋποθέσεις

,
.

Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

Θεώρημα (επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ακραίου). Αφήστε τη λειτουργία
ικανοποιεί τις παραπάνω προϋποθέσεις, δηλαδή: είναι διαφοροποιήσιμο σε κάποια γειτονιά ενός ακίνητου σημείου
και είναι δύο φορές διαφοροποιήσιμο στο ίδιο το σημείο
. Τότε αν

Αν
τότε η συνάρτηση
στο σημείο
φτάνει

τοπικό μέγιστοστο
Και

τοπικό ελάχιστοστο
.

Σε γενικές γραμμές, για τη λειτουργία
ικανή συνθήκη για ύπαρξη στο σημείο
τοπικόςελάχιστο(ανώτατο όριο) είναι θετικός(αρνητικός) βεβαιότητα της δεύτερης διαφοράς.

Με άλλα λόγια, ισχύει η ακόλουθη δήλωση.

Θεώρημα . Αν στο σημείο
για λειτουργία

για οποιαδήποτε όχι ίση με μηδέν ταυτόχρονα
, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ελάχιστο(παρόμοιο με ανώτατο όριο, Αν
).

Παράδειγμα 18.Βρείτε τοπικά ακραία σημεία μιας συνάρτησης

Λύση. Ας βρούμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης και ας τις εξισώσουμε με το μηδέν:

Επιλύοντας αυτό το σύστημα, βρίσκουμε δύο πιθανά ακραία σημεία:

Ας βρούμε τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης για αυτήν τη συνάρτηση:

Στο πρώτο ακίνητο σημείο λοιπόν και
Ως εκ τούτου, απαιτείται πρόσθετη έρευνα σε αυτό το σημείο. Τιμή συνάρτησης
σε αυτό το σημείο είναι μηδέν:
Περαιτέρω,

στο

ΕΝΑ

στο

Επομένως, σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου
λειτουργία
παίρνει τις τιμές ως μεγάλες
, και μικρότερο
, και, επομένως, στο σημείο
λειτουργία
, εξ ορισμού, δεν έχει τοπικό άκρο.

Στο δεύτερο ακίνητο σημείο



επομένως, επομένως, αφού
μετά στο σημείο
η συνάρτηση έχει ένα τοπικό μέγιστο.

$E \υποσύνολο \mathbb(R)^(n)$. Λένε ότι το $f$ έχει τοπικό μέγιστοστο σημείο $x_(0) \σε E$, αν υπάρχει μια γειτονιά $U$ του σημείου $x_(0)$ τέτοια ώστε για όλα τα $x \in U$ η ανισότητα $f\left(x\right ) \leqslant f είναι ικανοποιημένη \left(x_(0)\right)$.

Το τοπικό μέγιστο ονομάζεται αυστηρός , εάν η γειτονιά $U$ μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε για όλα τα $x \σε U$ διαφορετικά από τα $x_(0)$ να υπάρχει $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Ορισμός
Έστω η $f$ μια πραγματική συνάρτηση στο ανοιχτό σύνολο $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Λένε ότι το $f$ έχει τοπικό ελάχιστοστο σημείο $x_(0) \σε E$, αν υπάρχει μια γειτονιά $U$ του σημείου $x_(0)$ τέτοια ώστε για όλα τα $x \in U$ η ανισότητα $f\left(x\right ) \geqslant f ικανοποιείται \left(x_(0)\right)$.

Ένα τοπικό ελάχιστο ονομάζεται αυστηρό εάν μπορεί να επιλεγεί μια γειτονιά $U$ έτσι ώστε για όλα τα $x \in U$ διαφορετική από $x_(0)$ να υπάρχει $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\δεξιά)$.

Το τοπικό άκρο συνδυάζει τις έννοιες του τοπικού ελάχιστου και του τοπικού μέγιστου.

Θεώρημα (απαραίτητη προϋπόθεση για το άκρο μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης)
Έστω η $f$ μια πραγματική συνάρτηση στο ανοιχτό σύνολο $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Εάν στο σημείο $x_(0) \στο E$ η συνάρτηση $f$ έχει τοπικό άκρο σε αυτό το σημείο, τότε $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Ίσο με μηδέν διαφορικό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι όλα είναι ίσα με μηδέν, δηλ. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Στη μονοδιάστατη περίπτωση αυτό είναι – . Ας συμβολίσουμε $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, όπου το $h$ είναι ένα αυθαίρετο διάνυσμα. Η συνάρτηση $\phi$ ορίζεται για τιμές $t$ που είναι αρκετά μικρές σε απόλυτη τιμή. Επιπλέον, είναι διαφοροποιήσιμο σε σχέση με , και $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Έστω το $f$ να έχει ένα τοπικό μέγιστο στο σημείο x $0$. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση $\phi$ στο $t = 0$ έχει ένα τοπικό μέγιστο και, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Έτσι, πήραμε ότι $df \left(x_(0)\right) = 0$, δηλ. Η συνάρτηση $f$ στο σημείο $x_(0)$ είναι ίση με μηδέν σε οποιοδήποτε διάνυσμα $h$.

Ορισμός
Σημεία στα οποία η διαφορά είναι μηδέν, δηλ. εκείνες στις οποίες όλες οι επιμέρους παράγωγοι είναι ίσες με μηδέν λέγονται ακίνητες. Κρίσιμα σημείαΟι συναρτήσεις $f$ είναι εκείνα τα σημεία στα οποία η $f$ δεν είναι διαφοροποιήσιμη ή ισούται με μηδέν. Εάν το σημείο είναι ακίνητο, τότε δεν προκύπτει από αυτό ότι η συνάρτηση έχει ακρότατο σε αυτό το σημείο.

Παράδειγμα 1.
Έστω $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Τότε $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, οπότε το $\left(0,0\right)$ είναι ένα ακίνητο σημείο, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ακρότατο σε αυτό το σημείο. Πράγματι, $f \left(0,0\right) = 0$, αλλά είναι εύκολο να δούμε ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου $\left(0,0\right)$ η συνάρτηση παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές.

Παράδειγμα 2.
Η συνάρτηση $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ έχει ένα ακίνητο σημείο στην αρχή της, αλλά είναι σαφές ότι δεν υπάρχει άκρο σε αυτό το σημείο.

Θεώρημα (επαρκής συνθήκη για ακραίο).
Έστω η συνάρτηση $f$ δύο φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμη στο ανοιχτό σύνολο $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Έστω $x_(0) \σε E$ ένα σταθερό σημείο και $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Τότε

1. αν $Q_(x_(0))$ – , τότε η συνάρτηση $f$ στο σημείο $x_(0)$ έχει ένα τοπικό άκρο, δηλαδή, ένα ελάχιστο εάν η φόρμα είναι θετική οριστική, και ένα μέγιστο εάν η φόρμα είναι αρνητική οριστική?
2. αν η τετραγωνική μορφή $Q_(x_(0))$ δεν έχει οριστεί, τότε η συνάρτηση $f$ στο σημείο $x_(0)$ δεν έχει ακρότατο.

Ας χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σύμφωνα με τον τύπο του Taylor (12.7 σελ. 292). Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης στο σημείο $x_(0)$ είναι ίσες με μηδέν, λαμβάνουμε $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ δεξιά) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\μερική x_(i) \μερική x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ όπου $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ και $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ για $h \rightarrow 0$, τότε η δεξιά πλευρά θα είναι θετική για οποιοδήποτε διάνυσμα $h$ αρκετά μικρού μήκους.
Έτσι, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι σε μια συγκεκριμένη γειτονιά του σημείου $x_(0)$ ισχύει η ανισότητα $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ αν μόνο $ x \neq x_ (0)$ (βάζουμε $x=x_(0)+h$\δεξιά). Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο $x_(0)$ η συνάρτηση έχει ένα αυστηρό τοπικό ελάχιστο, και έτσι αποδεικνύεται το πρώτο μέρος του θεωρήματός μας.
Ας υποθέσουμε τώρα ότι το $Q_(x_(0))$ είναι αόριστος τύπος. Στη συνέχεια, υπάρχουν διανύσματα $h_(1)$, $h_(2)$ τέτοια ώστε $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Τότε παίρνουμε $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ αριστερά[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Για αρκετά μικρό $t>0$, το δεξί η πλευρά είναι θετική. Αυτό σημαίνει ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου $x_(0)$ η συνάρτηση $f$ παίρνει τιμές $f \left(x\right)$ μεγαλύτερες από $f \left(x_(0)\right)$.
Ομοίως, βρίσκουμε ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου $x_(0)$ η συνάρτηση $f$ παίρνει τιμές μικρότερες από $f \left(x_(0)\right)$. Αυτό, μαζί με το προηγούμενο, σημαίνει ότι στο σημείο $x_(0)$ η συνάρτηση $f$ δεν έχει ακρότατο.

Ας εξετάσουμε μια ειδική περίπτωση αυτού του θεωρήματος για τη συνάρτηση $f \left(x,y\right)$ δύο μεταβλητών, που ορίζονται σε κάποια γειτονιά του σημείου $\left(x_(0),y_(0)\right )$ και έχοντας συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης. Ας υποθέσουμε ότι το $\left(x_(0),y_(0)\right)$ είναι ένα ακίνητο σημείο και δηλώνει το $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0 ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Τότε το προηγούμενο θεώρημα παίρνει την ακόλουθη μορφή.

Θεώρημα
Έστω $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Επειτα:

1. αν $\Delta>0$, τότε η συνάρτηση $f$ έχει ένα τοπικό άκρο στο σημείο $\left(x_(0),y_(0)\right)$, δηλαδή ένα ελάχιστο αν $a_(11)> 0$ , και μέγιστο εάν $a_(11)<0$;
2. αν $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Αλγόριθμος για την εύρεση του άκρου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών:

1. Εύρεση σταθερών σημείων.
2. Βρείτε το διαφορικό 2ης τάξης σε όλα τα ακίνητα σημεία
3. Χρησιμοποιώντας την επαρκή συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, θεωρούμε τη διαφορά 2ης τάξης σε κάθε ακίνητο σημείο

1. Διερευνήστε τη συνάρτηση για το άκρο $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Λύση

   Ας βρούμε τα μερικά παράγωγα 1ης τάξης: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\μερική f)(\μερική y)= 0\end(περιπτώσεις) \Δεξί βέλος \αρχή(περιπτώσεις)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(περιπτώσεις) \Rightarrow \begin(περιπτώσεις)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(περιπτώσεις)$$ Από τη 2η εξίσωση εκφράζουμε $x=4 \cdot y^(2)$ - αντικαταστήστε την στην 1η εξίσωση: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Ως αποτέλεσμα, λαμβάνονται 2 σταθερά σημεία:
   1) $y=0 \Δεξί βέλος x = 0, M_(1) = \αριστερά(0, 0\δεξιά)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Ας ελέγξουμε αν ικανοποιείται η επαρκής προϋπόθεση για ένα ακραίο:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Για το σημείο $M_(1)= \αριστερά(0,0\δεξιά)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Για το σημείο $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\μερική^(2) f)(\μερική x \μερική y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\μερική^(2) f)(\μερική y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, που σημαίνει ότι στο σημείο $M_(2)$ υπάρχει ένα άκρο, και αφού $A_(2)> 0$, τότε αυτό είναι το ελάχιστο.
   Απάντηση: Το σημείο $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $f$.
   

2. Διερευνήστε τη συνάρτηση για το άκρο $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Λύση

   Ας βρούμε σταθερά σημεία: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2,$$
   Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases = x = 1\end(περιπτώσεις) \Δεξί βέλος x = -1$$
   Το $M_(0) \left(-1, 2\right)$ είναι ένα ακίνητο σημείο.
   Ας ελέγξουμε αν πληρούται η επαρκής προϋπόθεση για το άκρο: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Απάντηση: δεν υπάρχουν ακρότητες.
   

Χρονικό όριο: 0

Πλοήγηση (μόνο αριθμοί εργασίας)

Ολοκληρώθηκαν 0 από 4 εργασίες

Πληροφορίες

Κάντε αυτό το κουίζ για να ελέγξετε τις γνώσεις σας για το θέμα που μόλις διαβάσατε: Τοπικό άκρο συναρτήσεων πολλαπλών μεταβλητών.

Έχετε κάνει ήδη το τεστ στο παρελθόν. Δεν μπορείς να το ξαναρχίσεις.

Δοκιμαστική φόρτωση...

Πρέπει να συνδεθείτε ή να εγγραφείτε για να ξεκινήσετε τη δοκιμή.

Πρέπει να ολοκληρώσετε τις ακόλουθες δοκιμές για να ξεκινήσετε αυτό:

Αποτελέσματα

Σωστές απαντήσεις: 0 από 4

Ο χρόνος σου:

Ο χρόνος τελείωσε

Σημειώσατε 0 στους 0 βαθμούς (0)

Το αποτέλεσμά σας καταγράφηκε στον πίνακα κατάταξης

1. Με απάντηση
2. Με σήμα προβολής

Εργασία 1 από 4

1 .

Αριθμός πόντων: 1

Διερευνήστε τη συνάρτηση $f$ για ακρότατα: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

σωστά


Λανθασμένος


1. Εργασία 2 από 4

   2 .

   Αριθμός πόντων: 1

   Η συνάρτηση $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ έχει ακρότατο

Το ακραίο σημείο μιας συνάρτησης είναι το σημείο στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης στο οποίο η τιμή της συνάρτησης παίρνει μια ελάχιστη ή μέγιστη τιμή. Οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία ονομάζονται ακραίες (ελάχιστες και μέγιστες) της συνάρτησης.

Ορισμός. Τελεία Χ1 τομέα συνάρτησης φά(Χ) λέγεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης , εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία αρκετά κοντά σε αυτήν, που βρίσκονται δεξιά και αριστερά της (δηλαδή ισχύει η ανισότητα φά(Χ0 ) > φά(Χ 0 + Δ Χ) Χ1 ανώτατο όριο.

Ορισμός. Τελεία Χ2 τομέα συνάρτησης φά(Χ) λέγεται ελάχιστο σημείο της συνάρτησης, εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μικρότερη από τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία αρκετά κοντά σε αυτήν, που βρίσκονται δεξιά και αριστερά της (δηλαδή ισχύει η ανισότητα φά(Χ0 ) < φά(Χ 0 + Δ Χ) ). Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση έχει στο σημείο Χ2 ελάχιστο.

Ας πούμε σημείο Χ1 - μέγιστο σημείο της λειτουργίας φά(Χ) . Στη συνέχεια στο διάστημα μέχρι Χ1 η λειτουργία αυξάνεται, άρα η παράγωγος της συνάρτησης Πάνω απο το μηδέν (φά "(Χ) > 0 ), και στο διάστημα μετά Χ1 η συνάρτηση μειώνεται, επομένως, παράγωγο συνάρτησηςλιγότερο από μηδέν ( φά "(Χ) < 0 ). Тогда в точке Χ1

Ας υποθέσουμε επίσης ότι το σημείο Χ2 - ελάχιστο σημείο της συνάρτησης φά(Χ) . Στη συνέχεια στο διάστημα μέχρι Χ2 η συνάρτηση είναι φθίνουσα και η παράγωγος της συνάρτησης είναι μικρότερη από το μηδέν ( φά "(Χ) < 0 ), а в интервале после Χ2 η συνάρτηση αυξάνεται και η παράγωγος της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από το μηδέν ( φά "(Χ) > 0 ). Σε αυτή την περίπτωση και στο σημείο Χ2 η παράγωγος της συνάρτησης είναι μηδέν ή δεν υπάρχει.

Θεώρημα Fermat (απαραίτητο σημάδι ύπαρξης ακρότατου συνάρτησης). Αν το σημείο Χ0 - ακραίο σημείο της συνάρτησης φά(Χ) τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν ( φά "(Χ) = 0 ) ή δεν υπάρχει.

Ορισμός. Τα σημεία στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μηδέν ή δεν υπάρχει λέγονται κρίσιμα σημεία .

Παράδειγμα 1.Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση.

Στο σημείο Χ= 0 η παράγωγος της συνάρτησης είναι μηδέν, άρα το σημείο Χ= 0 είναι το κρίσιμο σημείο. Ωστόσο, όπως φαίνεται στο γράφημα της συνάρτησης, αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, οπότε το σημείο Χ= 0 δεν είναι το ακραίο σημείο αυτής της συνάρτησης.

Έτσι, οι συνθήκες ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει είναι απαραίτητες προϋποθέσεις για ένα άκρο, αλλά όχι επαρκείς, αφού μπορούν να δοθούν άλλα παραδείγματα συναρτήσεων για τις οποίες πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ακρότατο στο αντίστοιχο σημείο. Να γιατί πρέπει να υπάρχουν επαρκή στοιχεία, επιτρέποντας σε κάποιον να κρίνει εάν υπάρχει ακρότατο σε ένα συγκεκριμένο κρίσιμο σημείο και τι είδους άκρο είναι - μέγιστο ή ελάχιστο.

Θεώρημα (το πρώτο επαρκές σημάδι ύπαρξης ακρότατου συνάρτησης).Κρίσιμο σημείο Χ0 φά(Χ) εάν, κατά τη διέλευση από αυτό το σημείο, η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο και εάν το πρόσημο αλλάξει από "συν" σε "μείον", τότε είναι μέγιστο σημείο και αν από "μείον" σε "συν", τότε είναι ένα ελάχιστο σημείο.

Αν είναι κοντά στο σημείο Χ0 , στα αριστερά και στα δεξιά της, η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της, αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είτε μειώνεται μόνο είτε αυξάνεται μόνο σε μια συγκεκριμένη γειτονιά του σημείου Χ0 . Στην προκειμένη περίπτωση, στο σημείο Χ0 δεν υπάρχει ακραίο.

Ετσι, για να προσδιορίσετε τα ακραία σημεία της συνάρτησης, πρέπει να κάνετε τα εξής :

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2. Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν και προσδιορίστε τα κρίσιμα σημεία.
3. Διανοητικά ή σε χαρτί, σημειώστε τα κρίσιμα σημεία στην αριθμογραμμή και προσδιορίστε τα πρόσημα της παραγώγου της συνάρτησης στα διαστήματα που προκύπτουν. Εάν το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από «συν» σε «μείον», τότε το κρίσιμο σημείο είναι το μέγιστο σημείο και αν από «μείον» σε «συν», τότε το ελάχιστο σημείο.
4. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα ακραία σημεία.

Παράδειγμα 2.Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης .

Λύση. Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:

Ας εξισώσουμε την παράγωγο με μηδέν για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία:

.

Εφόσον για οποιεσδήποτε τιμές του "x" ο παρονομαστής δεν είναι ίσος με μηδέν, εξισώνουμε τον αριθμητή με μηδέν:

Έχει ένα κρίσιμο σημείο Χ= 3. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα που οριοθετούνται από αυτό το σημείο:

στην περιοχή από μείον άπειρο έως 3 - ένα σύμβολο μείον, δηλαδή, η συνάρτηση μειώνεται,

στο διάστημα από το 3 έως το συν άπειρο υπάρχει ένα σύμβολο συν, δηλαδή, η συνάρτηση αυξάνεται.

περίοδος δηλαδή Χ= 3 είναι το ελάχιστο σημείο.

Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο:

Έτσι, το ακραίο σημείο της συνάρτησης βρίσκεται: (3; 0), και είναι το ελάχιστο σημείο.

Θεώρημα (το δεύτερο επαρκές σημάδι ύπαρξης ακρότατου συνάρτησης).Κρίσιμο σημείο Χ0 είναι το ακραίο σημείο της συνάρτησης φά(Χ) αν η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο δεν είναι ίση με μηδέν ( φά ""(Χ) ≠ 0 ), και αν η δεύτερη παράγωγος είναι μεγαλύτερη από μηδέν ( φά ""(Χ) > 0 ), τότε το μέγιστο σημείο και αν η δεύτερη παράγωγος είναι μικρότερη από το μηδέν ( φά ""(Χ) < 0 ), то точкой минимума.

Σημείωση 1. Αν στο σημείο Χ0 Εάν εξαφανιστούν τόσο το πρώτο όσο και το δεύτερο παράγωγο, τότε σε αυτό το σημείο είναι αδύνατο να κριθεί η παρουσία ενός ακραίου με βάση το δεύτερο επαρκές κριτήριο. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το πρώτο επαρκές κριτήριο για το άκρο μιας συνάρτησης.

Παρατήρηση 2. Το δεύτερο επαρκές κριτήριο για το άκρο μιας συνάρτησης δεν ισχύει ακόμη και όταν η πρώτη παράγωγος δεν υπάρχει σε ακίνητο σημείο (τότε δεν υπάρχει ούτε η δεύτερη παράγωγος). Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει επίσης να χρησιμοποιήσετε το πρώτο επαρκές σημάδι μιας ακραίας συνάρτησης.

Τοπική φύση των άκρων της συνάρτησης

Από τους παραπάνω ορισμούς προκύπτει ότι το άκρο της συνάρτησης έχει τοπική φύση - είναι το μεγαλύτερο και μικρότερη τιμήσυναρτήσεις σε σύγκριση με κοντινές τιμές.

Ας υποθέσουμε ότι εξετάζετε τα κέρδη σας σε μια περίοδο ενός έτους. Εάν τον Μάιο κερδίσατε 45.000 ρούβλια και τον Απρίλιο 42.000 ρούβλια και τον Ιούνιο 39.000 ρούβλια, τότε τα κέρδη Μαΐου είναι το μέγιστο της συνάρτησης κερδών σε σύγκριση με τις κοντινές τιμές. Αλλά τον Οκτώβριο κερδίσατε 71.000 ρούβλια, τον Σεπτέμβριο 75.000 ρούβλια και τον Νοέμβριο 74.000 ρούβλια, επομένως τα κέρδη Οκτωβρίου είναι το ελάχιστο της συνάρτησης κερδών σε σύγκριση με τις κοντινές τιμές. Και μπορείτε εύκολα να δείτε ότι το μέγιστο μεταξύ των τιμών του Απριλίου-Μαΐου-Ιουνίου είναι μικρότερο από το ελάχιστο του Σεπτεμβρίου-Οκτωβρίου-Νοεμβρίου.

Σε γενικές γραμμές, σε ένα διάστημα μια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά άκρα και μπορεί να αποδειχθεί ότι κάποιο ελάχιστο της συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε μέγιστο. Έτσι, για τη συνάρτηση που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, .

Δηλαδή, δεν πρέπει να πιστεύουμε ότι το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης είναι, αντίστοιχα, οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της σε ολόκληρο το υπό εξέταση τμήμα. Στο μέγιστο σημείο, η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή μόνο σε σύγκριση με εκείνες τις τιμές που έχει σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά στο μέγιστο σημείο και στο ελάχιστο σημείο έχει τη μικρότερη τιμή μόνο σε σύγκριση με αυτές τις τιμές ότι έχει σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά στο ελάχιστο σημείο.

Επομένως, μπορούμε να διευκρινίσουμε την παραπάνω έννοια των ακραίων σημείων μιας συνάρτησης και να καλέσουμε ελάχιστα σημεία τοπικά ελάχιστα σημεία και μέγιστα σημεία τοπικά μέγιστα σημεία.

Ψάχνουμε μαζί τα άκρα της συνάρτησης

Παράδειγμα 3.

Λύση: Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Το παράγωγό του υπάρχει επίσης σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Επομένως, σε σε αυτήν την περίπτωσηκρίσιμα σημεία είναι μόνο εκείνα στα οποία, δηλ. , από πού και . Κρίσιμα σημεία και διαιρέστε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε τρία διαστήματα μονοτονίας: . Ας επιλέξουμε ένα σημείο ελέγχου σε καθένα από αυτά και ας βρούμε το πρόσημο της παραγώγου σε αυτό το σημείο.

Για το διάστημα, το σημείο ελέγχου μπορεί να είναι: εύρεση. Παίρνοντας ένα σημείο στο διάστημα, παίρνουμε, και παίρνοντας ένα σημείο στο διάστημα, έχουμε. Έτσι, στα διαστήματα και , και στο διάστημα . Σύμφωνα με το πρώτο επαρκές κριτήριο για ένα άκρο, δεν υπάρχει ακρότατο στο σημείο (καθώς η παράγωγος διατηρεί το πρόσημά της στο διάστημα) και στο σημείο η συνάρτηση έχει ελάχιστο (αφού η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν όταν περνά μέσα από αυτό το σημείο). Ας βρούμε τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης: , a . Στο διάστημα η συνάρτηση μειώνεται, αφού σε αυτό το διάστημα , και στο διάστημα αυξάνεται, αφού σε αυτό το διάστημα .

Για να διευκρινίσουμε την κατασκευή του γραφήματος, βρίσκουμε τα σημεία τομής του με τους άξονες συντεταγμένων. Όταν λάβουμε μια εξίσωση της οποίας οι ρίζες είναι και, δηλ., έχουν βρεθεί δύο σημεία (0; 0) και (4; 0) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες που λάβαμε, κατασκευάζουμε ένα γράφημα (δείτε την αρχή του παραδείγματος).

Παράδειγμα 4.Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης και φτιάξτε τη γραφική παράσταση της.

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, εκτός από το σημείο, δηλ. .

Για να συντομεύσετε τη μελέτη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι αυτή η συνάρτηση είναι ομοιόμορφη, αφού . Επομένως, η γραφική παράσταση του είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Oyκαι η μελέτη μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο για το μεσοδιάστημα.

Εύρεση της παραγώγου και κρίσιμα σημεία της συνάρτησης:

1) ;

2) ,

αλλά η συνάρτηση υφίσταται μια ασυνέχεια σε αυτό το σημείο, επομένως δεν μπορεί να είναι ένα ακραίο σημείο.

Ετσι, δεδομένη λειτουργίαέχει δύο κρίσιμα σημεία: και . Λαμβάνοντας υπόψη την ισοτιμία της συνάρτησης, θα ελέγξουμε μόνο το σημείο χρησιμοποιώντας το δεύτερο επαρκές κριτήριο για ένα άκρο. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο και προσδιορίστε το πρόσημο του στο: παίρνουμε . Αφού και , είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης, και .

Για να φτιάξω περισσότερα πλήρη θέασχετικά με το γράφημα μιας συνάρτησης, ας μάθουμε τη συμπεριφορά της στα όρια του τομέα ορισμού:

(εδώ το σύμβολο υποδηλώνει την επιθυμία Χστο μηδέν από τα δεξιά, και Χπαραμένει θετικό? ομοίως σημαίνει φιλοδοξία Χστο μηδέν από τα αριστερά, και Χπαραμένει αρνητικό). Έτσι, εάν , τότε . Στη συνέχεια, βρίσκουμε

,

εκείνοι. αν τότε .

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τους άξονες. Η εικόνα βρίσκεται στην αρχή του παραδείγματος.

Συνεχίζουμε να ψάχνουμε για ακρότατα της συνάρτησης μαζί

Παράδειγμα 8.Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης.

Λύση. Ας βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Εφόσον η ανισότητα πρέπει να ικανοποιηθεί, λαμβάνουμε από .

Ας βρούμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης:

Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.