Βρείτε την προβολή της κορυφής στο επίπεδο. Υπολογισμός αποστάσεων με συντεταγμένες

Η μέθοδος προβολής είναι η βάση της θεωρίας της κατασκευής εικόνων σχεδίασης μηχανολογικά γραφικά. Τις περισσότερες φορές χρησιμοποιείται όταν είναι απαραίτητο να βρεθεί μια εικόνα ενός σώματος με τη μορφή της προβολής του σε ένα επίπεδο ή να ληφθούν δεδομένα σχετικά με τη θέση του στο διάστημα.

Οδηγίες

Στον πολυδιάστατο χώρο, οποιαδήποτε εικόνα ενός αντικειμένου σε ένα επίπεδο μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας προβολή. Ωστόσο, δεν πρέπει να κρίνει κανείς γεωμετρικό σχήμασώματα ή για το σχήμα των απλούστερων εικόνων στη γεωμετρία που βασίζονται σε μία μόνο προβολή ενός σημείου. Πλέον πλήρεις πληροφορίεςσχετικά με την εικόνα γεωμετρικό σώμαδίνει αρκετές προβολές σημείων. Γιατί να χρησιμοποιήσετε προβολές σημείων σώματος σε τουλάχιστον δύο επίπεδα;
Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να χτιστεί προβολήσημείο Α. Για να γίνει αυτό, τοποθετήστε δύο επίπεδα κάθετα μεταξύ τους. Το ένα είναι οριζόντιο, λέγοντάς το οριζόντιο επίπεδοκαι δηλώνει όλες τις προβολές στοιχείων με δείκτη 1. Η δεύτερη είναι κατακόρυφη. Ονομάστε το μετωπικό ανάλογα. επίπεδο, και αντιστοιχίστε δείκτη 2 στις προβολές των στοιχείων Θεωρήστε ότι και τα δύο αυτά επίπεδα είναι άπειρα και αδιαφανή. Η γραμμή των τομών τους γίνεται ο άξονας συντεταγμένων OX.
Στη συνέχεια, αποδεχτείτε ως γεγονός ότι ο χώρος μεταξύ των επιπέδων προβολής χωρίζεται υπό όρους σε τέταρτα. Βρίσκεστε στο πρώτο τρίμηνο και βλέπετε μόνο γραμμές και σημεία που βρίσκονται σε αυτήν την περιοχή δίεδρος γωνία.
Η ουσία της διαδικασίας προβολής είναι να περάσει η δέσμη δεδομένο σημείομέχρι να συναντήσει το δοκάρι επίπεδοπροβολές. Αυτή η μέθοδοςονομάζεται μέθοδος ορθογώνιας προβολής. Σύμφωνα με αυτήν, χαμηλώστε μια κάθετη από το σημείο Α στο οριζόντιο και μετωπικό επίπεδο. Η βάση αυτής της καθέτου θα είναι η οριζόντια προβολή του σημείου Α1 ή η μετωπική προβολή του σημείου Α2. Έτσι θα πάρετε τη θέση αυτού του σημείου στο χώρο δεδομένα αεροπλάναπροβολές.

Συσκευή προβολής

Η συσκευή προβολής (Εικ. 1) περιλαμβάνει τρία επίπεδα προβολής:

π 1 -οριζόντιο επίπεδο προβολής.

π 2 -μετωπικό επίπεδο προβολών.

π 3– επίπεδο προβολής προφίλ .

Τα επίπεδα προβολής είναι αμοιβαία κάθετα ( π 1^ π 2^ π 3), και οι γραμμές τομής τους σχηματίζουν τους άξονες:

Διασταύρωση αεροπλάνων π 1Και π 2σχηματίζουν έναν άξονα 0Χ (π 1∩ π 2 = 0Χ);

Διασταύρωση αεροπλάνων π 1Και π 3σχηματίζουν έναν άξονα 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Διασταύρωση αεροπλάνων π 2Και π 3σχηματίζουν έναν άξονα 0Ζ (π 2∩ π 3 = 0Ζ).

Το σημείο τομής των αξόνων (OX∩OY∩OZ=0) θεωρείται το σημείο εκκίνησης (σημείο 0).

Δεδομένου ότι τα επίπεδα και οι άξονες είναι αμοιβαία κάθετα, μια τέτοια συσκευή είναι παρόμοια Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες

Τα επίπεδα προβολής χωρίζουν ολόκληρο τον χώρο σε οκτώ οκτάντια (στο Σχ. 1 υποδεικνύονται με λατινικούς αριθμούς). Τα επίπεδα προβολής θεωρούνται αδιαφανή και ο θεατής είναι πάντα μέσα Εγώ-ο οκταντ.

Ορθογώνια προβολή με κέντρα προβολής S 1, S 2Και S 3αντίστοιχα για οριζόντια, μετωπικά και προφίλ προβολής επίπεδα.

ΕΝΑ.

Από κέντρα προβολής S 1, S 2Και S 3βγαίνουν οι προβαλλόμενες ακτίνες l 1, l 2Και l 3 ΕΝΑ

- Α'1 ΕΝΑ;

- Α2– μετωπική προβολή του σημείου ΕΝΑ;

- Α 3– προβολή προφίλ σημείου ΕΝΑ.

Ένα σημείο στο χώρο χαρακτηρίζεται από τις συντεταγμένες του ΕΝΑ(x,y,z). Πόντοι Ένα x, Ένα υΚαι A zαντίστοιχα στους άξονες 0Χ, 0YΚαι 0Ζεμφάνιση συντεταγμένων x, yΚαι zσημεία ΕΝΑ. Στο Σχ. Το 1 δίνει όλες τις απαραίτητες σημειώσεις και δείχνει τις συνδέσεις μεταξύ του σημείου ΕΝΑχώρο, τις προβολές και τις συντεταγμένες του.

Σημειακό διάγραμμα

Για να πάρετε μια πλοκή ενός σημείου ΕΝΑ(Εικ. 2), στη συσκευή προβολής (Εικ. 1) το επίπεδο π 1 Α'1 0Χ π 2. Μετά το αεροπλάνο π 3με σημειακή προβολή Α 3, περιστρέψτε αριστερόστροφα γύρω από τον άξονα 0Ζ, μέχρι να ευθυγραμμιστεί με το επίπεδο π 2. Διεύθυνση περιστροφών επιπέδου π 2Και π 3φαίνεται στο Σχ. 1 βέλη. Ταυτόχρονα, ευθεία A 1 A xΚαι A 2 A x 0Χκάθετος Α 1 Α 2, και ευθείες γραμμές A 2 A xΚαι A 3 A xθα βρίσκεται σε κοινό άξονα 0Ζκάθετος Α 2 Α 3. Στη συνέχεια θα ονομάσουμε αυτές τις γραμμές αντίστοιχα κατακόρυφος Και οριζόντιος γραμμές επικοινωνίας.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι κατά τη μετάβαση από τη συσκευή προβολής στο διάγραμμα, το προβαλλόμενο αντικείμενο εξαφανίζεται, αλλά όλες οι πληροφορίες σχετικά με το σχήμα του, γεωμετρικές διαστάσειςκαι η θέση του στο χώρο σώζονται.

ΕΝΑ(x A , y A , z Ax A, y AΚαι z Αστην ακόλουθη σειρά (Εικ. 2). Αυτή η ακολουθία ονομάζεται μέθοδος κατασκευής σημειακού διαγράμματος.

1. Οι άξονες σχεδιάζονται ορθογώνια OX, OYΚαι ΟΖ.

2. Στον άξονα ΒΟΔΙ xAσημεία ΕΝΑκαι να πάρει τη θέση του σημείου Ένα x.

3. Μέσα από το σημείο Ένα xκάθετα στον άξονα ΒΟΔΙ

Ένα xκατά μήκος του άξονα OYαπεικονίζεται η αριθμητική τιμή της συντεταγμένης y Ασημεία ΕΝΑ Α'1στο διάγραμμα.

Ένα xκατά μήκος του άξονα ΟΖαπεικονίζεται η αριθμητική τιμή της συντεταγμένης z Ασημεία ΕΝΑ Α2στο διάγραμμα.

6. Μέσα από το σημείο Α2παράλληλα με τον άξονα ΒΟΔΙχαράσσεται μια οριζόντια γραμμή επικοινωνίας. Η τομή αυτής της γραμμής και του άξονα ΟΖθα δώσει τη θέση του σημείου A z.

7. Σε οριζόντια γραμμή επικοινωνίας από σημείο A zκατά μήκος του άξονα OYαπεικονίζεται η αριθμητική τιμή της συντεταγμένης y Ασημεία ΕΝΑκαι η θέση καθορίζεται προβολή προφίλσημεία Α 3στο διάγραμμα.

Χαρακτηριστικά σημείων

Όλα τα σημεία στο χώρο χωρίζονται σε σημεία ειδικών και γενικών θέσεων.

Σημεία ιδιαίτερης θέσης. Τα σημεία που ανήκουν στη συσκευή προβολής ονομάζονται σημεία ιδιαίτερης θέσης. Αυτά περιλαμβάνουν σημεία που ανήκουν σε επίπεδα προβολής, άξονες, αφετηρίες και κέντρα προβολής. Τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα συγκεκριμένων σημείων θέσης είναι:

Μεταμαθηματικά - μία, δύο ή όλες οι αριθμητικές τιμές συντεταγμένων είναι ίσες με μηδέν και (ή) άπειρο.

Σε ένα διάγραμμα, δύο ή όλες οι προβολές ενός σημείου βρίσκονται στους άξονες και (ή) βρίσκονται στο άπειρο.

Πόντοι γενική θέση. Τα σημεία γενικής θέσης περιλαμβάνουν σημεία που δεν ανήκουν στη συσκευή προβολής. Για παράδειγμα, τελεία ΕΝΑστο Σχ. 1 και 2.

ΣΕ γενική περίπτωσηΟι αριθμητικές τιμές των συντεταγμένων ενός σημείου χαρακτηρίζουν την απόστασή του από το επίπεδο προβολής: συντεταγμένη Χαπό το αεροπλάνο π 3; συντεταγμένη yαπό το αεροπλάνο π 2; συντεταγμένη zαπό το αεροπλάνο π 1. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα σημάδια για τις αριθμητικές τιμές των συντεταγμένων υποδεικνύουν την κατεύθυνση στην οποία το σημείο απομακρύνεται από τα επίπεδα προβολής. Ανάλογα με τον συνδυασμό των σημείων με τις αριθμητικές τιμές των συντεταγμένων ενός σημείου, εξαρτάται σε ποιο οκτάνιο βρίσκεται.

Μέθοδος δύο εικόνων

Στην πράξη, εκτός από τη μέθοδο της πλήρους προβολής, χρησιμοποιείται η μέθοδος των δύο εικόνων. Διαφέρει στο ότι αυτή η μέθοδος εξαλείφει την τρίτη προβολή του αντικειμένου. Για τη λήψη της συσκευής προβολής της μεθόδου δύο εικόνων, το επίπεδο προβολής προφίλ με το κέντρο προβολής του εξαιρείται από την πλήρη συσκευή προβολής (Εικ. 3). Επιπλέον, στον άξονα 0Χεκχωρείται ένα σημείο αναφοράς (σημείο 0 ) και από αυτήν κάθετα στον άξονα 0Χσε επίπεδα προβολής π 1Και π 2τραβήξτε άξονες 0YΚαι 0Ζαντίστοιχα.

Σε αυτή τη συσκευή, ολόκληρος ο χώρος χωρίζεται σε τέσσερα τεταρτημόρια. Στο Σχ. 3 υποδεικνύονται με λατινικούς αριθμούς.

Τα επίπεδα προβολής θεωρούνται αδιαφανή και ο θεατής είναι πάντα μέσα Εγώ-ο τεταρτημόριο.

Ας εξετάσουμε τη λειτουργία της συσκευής χρησιμοποιώντας το παράδειγμα προβολής ενός σημείου ΕΝΑ.

Από κέντρα προβολής S 1Και S 2βγαίνουν οι προβαλλόμενες ακτίνες l 1Και l 2. Αυτές οι ακτίνες περνούν από το σημείο ΕΝΑκαι τέμνοντας με τα επίπεδα προβολής σχηματίζουν τις προβολές του:

- Α'1– οριζόντια προβολή σημείου ΕΝΑ;

- Α2– μετωπική προβολή του σημείου ΕΝΑ.

Για να πάρετε μια πλοκή ενός σημείου ΕΝΑ(Εικ. 4), στη συσκευή προβολής (Εικ. 3) το επίπεδο π 1με την προκύπτουσα προβολή του σημείου Α'1περιστροφή δεξιόστροφα γύρω από έναν άξονα 0Χ, μέχρι να ευθυγραμμιστεί με το επίπεδο π 2. Διεύθυνση περιστροφής επιπέδου π 1φαίνεται στο Σχ. 3 βέλη. Σε αυτή την περίπτωση, στο διάγραμμα ενός σημείου που λαμβάνεται με τη μέθοδο δύο εικόνων, παραμένει μόνο μία κατακόρυφοςγραμμή επικοινωνίας Α 1 Α 2.

Στην πράξη, σχεδιάζοντας ένα σημείο ΕΝΑ(x A , y A , z A) πραγματοποιείται σύμφωνα με τις αριθμητικές τιμές των συντεταγμένων του x A, y AΚαι z Αστην ακόλουθη σειρά (Εικ. 4).

1. Ο άξονας είναι σχεδιασμένος ΒΟΔΙκαι εκχωρείται ένα σημείο αναφοράς (σημείο 0 ).

2. Στον άξονα ΒΟΔΙαπεικονίζεται η αριθμητική τιμή της συντεταγμένης xAσημεία ΕΝΑκαι να πάρει τη θέση του σημείου Ένα x.

3. Μέσα από το σημείο Ένα xκάθετα στον άξονα ΒΟΔΙχαράσσεται μια κάθετη γραμμή επικοινωνίας.

4. Σε κάθετη γραμμή επικοινωνίας από σημείο Ένα xκατά μήκος του άξονα OYαπεικονίζεται η αριθμητική τιμή της συντεταγμένης y Ασημεία ΕΝΑκαι προσδιορίζεται η θέση της οριζόντιας προβολής του σημείου Α'1 OYδεν έχει σχεδιαστεί, αλλά υποτίθεται ότι είναι θετικές αξίεςπου βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ, και τα αρνητικά είναι υψηλότερα.

5. Σε κάθετη γραμμή επικοινωνίας από σημείο Ένα xκατά μήκος του άξονα ΟΖαπεικονίζεται η αριθμητική τιμή της συντεταγμένης z Ασημεία ΕΝΑκαι προσδιορίζεται η θέση της μετωπικής προβολής του σημείου Α2στο διάγραμμα. Πρέπει να σημειωθεί ότι στο διάγραμμα ο άξονας ΟΖδεν σχεδιάζεται, αλλά θεωρείται ότι οι θετικές τιμές του βρίσκονται πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ, και οι αρνητικές είναι χαμηλότερες.

Αγωνιστικά σημεία

Τα σημεία στην ίδια προεξέχουσα δέσμη ονομάζονται ανταγωνιστικά σημεία. Στην κατεύθυνση της προεξέχουσας δέσμης έχουν μια κοινή προβολή για αυτά, δηλ. οι προβολές τους είναι πανομοιότυπες. Χαρακτηριστικό γνώρισμαανταγωνιστικά σημεία στο διάγραμμα είναι η πανομοιότυπη σύμπτωση των προβολών τους με το ίδιο όνομα. Ο ανταγωνισμός έγκειται στην ορατότητα αυτών των προβολών σε σχέση με τον παρατηρητή. Με άλλα λόγια, στο χώρο για έναν παρατηρητή ένα από τα σημεία είναι ορατό, το άλλο όχι. Και, κατά συνέπεια, στο σχέδιο: μία από τις προβολές των ανταγωνιστικών σημείων είναι ορατή και η προβολή του άλλου σημείου είναι αόρατη.

Στο μοντέλο χωρικής προβολής (Εικ. 5) από δύο ανταγωνιστικά σημεία ΕΝΑΚαι ΣΕορατό σημείο ΕΝΑσύμφωνα με δύο αμοιβαία συμπληρωματικά χαρακτηριστικά. Αν κρίνουμε από την αλυσίδα S 1 →A→Bτελεία ΕΝΑπιο κοντά στον παρατηρητή παρά στο σημείο ΣΕ. Και, κατά συνέπεια, πιο μακριά από το επίπεδο προβολής π 1(εκείνοι. z Α > z Α).

Ρύζι. 5 Εικ.6

Αν το ίδιο το σημείο είναι ορατό ΕΝΑ, τότε φαίνεται και η προβολή του Α'1. Σε σχέση με την προβολή που συμπίπτει με αυτήν Β 1. Για λόγους σαφήνειας και, εάν είναι απαραίτητο, στο διάγραμμα, οι αόρατες προβολές σημείων συνήθως περικλείονται σε αγκύλες.

Ας αφαιρέσουμε τα σημεία στο μοντέλο ΕΝΑΚαι ΣΕ. Οι προβολές που συμπίπτουν στο αεροπλάνο θα παραμείνουν π 1και ξεχωριστές προβολές – on π 2. Ας το αφήσουμε υπό όρους μετωπική προβολήπαρατηρητής (⇩) που βρίσκεται στο κέντρο της προβολής S 1. Στη συνέχεια, κατά μήκος της αλυσίδας των εικόνων ⇩ → Α2 → Β 2θα είναι δυνατό να το κρίνουμε αυτό z Α > z Βκαι ότι το ίδιο το σημείο είναι ορατό ΕΝΑκαι την προβολή του Α'1.

Ας εξετάσουμε παρομοίως τα ανταγωνιστικά σημεία ΜΕΚαι ρεσε εμφάνιση σε σχέση με το επίπεδο π 2. Δεδομένου ότι η κοινή προεξέχουσα δέσμη αυτών των σημείων l 2παράλληλα με τον άξονα 0Y, τότε ένα σημάδι της ορατότητας των ανταγωνιστικών σημείων ΜΕΚαι ρεκαθορίζεται από την ανισότητα y C > y D. Επομένως, αυτό το σημείο ρεκλειστό με μια τελεία ΜΕκαι ανάλογα η προβολή του σημείου Δ 2θα καλύπτονται από την προβολή του σημείου Γ 2στην επιφάνεια π 2.

Ας εξετάσουμε πώς καθορίζεται η ορατότητα των ανταγωνιστικών σημείων σε ένα σύνθετο σχέδιο (Εικ. 6).

Αν κρίνουμε από τις τυχαίες προβολές Α'1≡ΣΕ 1τα ίδια τα σημεία ΕΝΑΚαι ΣΕβρίσκονται σε μία προεξέχουσα δοκό παράλληλη προς τον άξονα 0Ζ. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες μπορούν να συγκριθούν z ΑΚαι z Βαυτά τα σημεία. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε το μετωπικό επίπεδο προβολής με ξεχωριστές εικόνες των σημείων. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση z Α > z Β. Από αυτό προκύπτει ότι η προβολή είναι ορατή Α'1.

Πόντοι ντοΚαι ρεστο σύνθετο σχέδιο που εξετάζουμε (Εικ. 6) βρίσκονται επίσης στην ίδια προεξέχουσα δοκό, αλλά μόνο παράλληλα με τον άξονα 0Y. Επομένως, από σύγκριση y C > y Dσυμπεραίνουμε ότι η προβολή C 2 είναι ορατή.

Γενικός κανόνας . Η ορατότητα για αντιστοίχιση προβολών ανταγωνιστικών σημείων προσδιορίζεται συγκρίνοντας τις συντεταγμένες αυτών των σημείων προς την κατεύθυνση μιας κοινής ακτίνας προβολής. Η προβολή του σημείου του οποίου η συντεταγμένη είναι μεγαλύτερη είναι ορατή. Σε αυτή την περίπτωση, οι συντεταγμένες συγκρίνονται στο επίπεδο προβολής με ξεχωριστές εικόνες των σημείων.

Η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο είναι μια ειδική περίπτωση κοινή εργασίαβρίσκοντας την προβολή ενός σημείου σε μια επιφάνεια. Λόγω της απλότητας του υπολογισμού της προβολής ενός σημείου σε μια εφαπτομένη σε μια επιφάνεια, το επίπεδο χρησιμοποιείται ως μηδενική προσέγγιση κατά την επίλυση του γενικού προβλήματος.

Εξετάστε το πρόβλημα της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο που ορίζεται από ένα διάνυσμα ακτίνας

Θα υποθέσουμε ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά. Ας υποθέσουμε ότι στη γενική περίπτωση τα διανύσματα δεν είναι ορθογώνια και δεν έχουν μοναδιαίο μήκος. Το επίπεδο διέρχεται από το σημείο στο οποίο οι παράμετροι είναι ίσες με το μηδέν και τα διανύσματα καθορίζουν τις παραμετρικές κατευθύνσεις. Ένα δεδομένο σημείο έχει μια μοναδική προβολή στο επίπεδο (4.6.1). Ας κατασκευάσουμε μια μονάδα κάθετη στο επίπεδο

Ρύζι. 4.6.1. Προβολή σημείου στο επίπεδο s(u, v)

Ας υπολογίσουμε το διάνυσμα ακτίνας της προβολής ενός σημείου στο επίπεδο ως τη διαφορά μεταξύ του διανύσματος ακτίνας του προβαλλόμενου σημείου και της συνιστώσας του διανύσματος παράλληλου προς το κανονικό στο επίπεδο,

(4.6.4)

Στο Σχ. Το 4.6.1 δείχνει τα διανύσματα του επιπέδου, την αφετηρία του και την προβολή ενός δεδομένου σημείου.

Οι παράμετροι και τα μήκη προβολής σχετίζονται με τις εξισώσεις

όπου το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων προσδιορίζεται από τον τύπο (1.7.13).

Από το σύστημα αυτών των εξισώσεων βρίσκουμε τις παραμέτρους της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο

(4.6.6)

πού είναι οι συντελεστές της πρώτης κύριας τετραγωνική μορφήεπίπεδα (1.7.8), είναι επίσης συμμεταβλητές συνιστώσες του μετρικού τανυστή της επιφάνειας, είναι αντίθετες συνιστώσες του μετρικού τανυστή της επιφάνειας. Εάν τα διανύσματα είναι ορθογώνια, τότε οι τύποι (4.6.6) και (4.6.7) παίρνουν τη μορφή

Η απόσταση από ένα σημείο έως την προβολή του σε ένα επίπεδο γενικά υπολογίζεται ως το μήκος του διανύσματος. Η απόσταση από ένα σημείο έως την προβολή του στο επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί χωρίς να υπολογιστεί η προβολή του σημείου, αλλά με τον υπολογισμό της προβολής του διανύσματος στο κανονικό προς το επίπεδο

(4.6.8)

Ειδικές περιπτώσεις.

Προβολές ενός σημείου σε ορισμένες αναλυτικές επιφάνειες μπορούν να βρεθούν χωρίς να εμπλέκονται αριθμητικές μεθόδους. Για παράδειγμα, για να βρείτε την προβολή ενός σημείου στην επιφάνεια ενός κυκλικού κυλίνδρου, κώνου, σφαίρας ή δακτυλίου, πρέπει να μεταφράσετε το προβαλλόμενο σημείο σε τοπικό σύστημασυντεταγμένες επιφάνειας, όπου είναι εύκολο να βρεθούν οι παράμετροι προβολής. Ομοίως, μπορούν να βρεθούν προεξοχές σε επιφάνειες εξώθησης και περιστροφής. Σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, η θέση του προβαλλόμενου σημείου της προβολής του μπορεί εύκολα να βρεθεί σε άλλες επιφάνειες.

Γενική περίπτωση.

Ας εξετάσουμε το πρόβλημα της προβολής ενός σημείου σε μια επιφάνεια στη γενική περίπτωση. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε όλες τις προβολές ενός σημείου σε μια επιφάνεια. Καθε επιθυμητό σημείοεπιφάνεια ικανοποιεί το σύστημα δύο εξισώσεων

Το σύστημα των εξισώσεων (4.6.9) περιέχει δύο άγνωστα μεγέθη - τις παραμέτρους u και v. Αυτό το πρόβλημα λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το πρόβλημα εύρεσης των προβολών ενός δεδομένου σημείου σε μια καμπύλη.

Στο πρώτο στάδιο, θα προσδιορίσουμε μηδενικές προσεγγίσεις των παραμέτρων επιφάνειας για τις προβολές ενός σημείου και στο δεύτερο στάδιο θα βρούμε τις ακριβείς τιμές των παραμέτρων που καθορίζουν τις προβολές ενός δεδομένου σημείου στην επιφάνεια

Ας περπατήσουμε κατά μήκος της επιφάνειας με βήματα που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους (4.2.4) και (4.2.5), τη μέθοδο μετακίνησης στην παραμετρική περιοχή που περιγράφεται παραπάνω. Ας συμβολίσουμε τις παραμέτρους των σημείων από τα οποία θα περάσουμε . Σε κάθε σημείο θα υπολογίσουμε τα κλιμακωτά γινόμενα των διανυσμάτων

(4.6.10)

Εάν η επιθυμητή λύση βρίσκεται κοντά σε ένα σημείο με παραμέτρους, τότε θα έχουν διαφορετικά σημάδια, καθώς και και θα έχει διαφορετικά σημάδια. Αλλαγή πινακίδων κλιμακωτά προϊόνταυποδεικνύει ότι η επιθυμητή λύση είναι κοντά. Ας πάρουμε τις τιμές ως μηδενική προσέγγιση των παραμέτρων Ξεκινώντας από τη μηδενική προσέγγιση των παραμέτρων, μια από τις μεθόδους λύσης μη γραμμικές εξισώσειςΑς βρούμε μια λύση στο πρόβλημα με δεδομένη ακρίβεια. Για παράδειγμα, στη μέθοδο του Newton κατά την επανάληψη οι προσαυξήσεις των παραμέτρων προβολής βρίσκονται από το σύστημα γραμμικών εξισώσεων

όπου είναι οι μερικές παράγωγοι του διανύσματος ακτίνας ως προς τις παραμέτρους. Επόμενη προσέγγισηοι παράμετροι προβολής σημείου είναι ίσες με . Θα ολοκληρώσουμε τη διαδικασία βελτίωσης των παραμέτρων όταν, στην επόμενη επανάληψη, ικανοποιηθούν οι ανισότητες, όπου είναι το καθορισμένο σφάλμα. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε και όλες τις άλλες ρίζες του συστήματος των εξισώσεων (4.6.9).

Εάν χρειάζεται μόνο να βρείτε την πλησιέστερη προβολή ενός δεδομένου σημείου στην επιφάνεια, τότε μπορείτε να περάσετε από τα ίδια σημεία του γεωμετρικού αντικειμένου και να επιλέξετε αυτό που βρίσκεται πιο κοντά στο δεδομένο σημείο. Οι παράμετροι του πλησιέστερου σημείου και θα πρέπει να επιλεγούν ως η μηδενική προσέγγιση της λύσης του προβλήματος.

Προβολή ενός σημείου σε μια επιφάνεια σε μια δεδομένη κατεύθυνση.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, προκύπτει το πρόβλημα του προσδιορισμού της προβολής ενός σημείου σε μια επιφάνεια όχι κατά μήκος της κανονικής προς αυτήν, αλλά κατά μήκος μιας δεδομένης κατεύθυνσης. Αφήστε την κατεύθυνση προβολής να καθορίζεται από ένα διάνυσμα μοναδιαίου μήκους q. Ας φτιάξουμε μια ευθεία γραμμή

(4.6.12)

περνώντας από ένα δεδομένο σημείο και έχοντας την κατεύθυνση δεδομένο διάνυσμα. Ορίζουμε τις προβολές ενός σημείου σε μια επιφάνεια σε μια δεδομένη κατεύθυνση ως τα σημεία τομής της επιφάνειας με μια ευθεία γραμμή (4.6.12) που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση.

Κεφάλαιο 6. ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΗΜΕΙΟΥ. ΣΥΝΘΕΤΟ ΣΧΕΔΙΟ

§ 32. Σύνθετο σχέδιο σημείου

Για την κατασκευή μιας εικόνας ενός αντικειμένου, τα επιμέρους στοιχεία του απεικονίζονται πρώτα με τη μορφή των απλούστερων στοιχείων του χώρου. Έτσι, όταν απεικονίζεται ένα γεωμετρικό σώμα, θα πρέπει να κατασκευάζονται οι κορυφές του, που αντιπροσωπεύονται από σημεία. άκρες που αντιπροσωπεύονται από ευθείες και καμπύλες γραμμές. πρόσωπα που αντιπροσωπεύονται από αεροπλάνα κ.λπ.

Οι κανόνες για την κατασκευή εικόνων σε σχέδια στα γραφικά μηχανικής βασίζονται στη μέθοδο προβολής. Μία εικόνα (προβολή) ενός γεωμετρικού σώματος δεν μας επιτρέπει να κρίνουμε το γεωμετρικό του σχήμα ή το σχήμα των απλούστερων γεωμετρικών εικόνων που συνθέτουν αυτήν την εικόνα. Έτσι, δεν μπορεί κανείς να κρίνει τη θέση ενός σημείου στο χώρο μόνο από την προβολή του. η θέση του στο χώρο καθορίζεται από δύο προβολές.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα κατασκευής προβολής ενός σημείου ΕΝΑ,που βρίσκεται στο χώρο μιας δίεδρης γωνίας (Εικ. 60). Θα τοποθετήσουμε ένα από τα επίπεδα προβολής οριζόντια και θα το καλέσουμε οριζόντιο επίπεδοπροβολέςκαι δηλώνουν με το γράμμα Σ 1.Προβολές στοιχείων

Τα κενά σε αυτό θα συμβολίζονται με το δείκτη 1: A 1, a 1, S 1 ... και καλέστε οριζόντιες προβολές(σημεία, ευθείες, επίπεδα).

Το δεύτερο επίπεδο θα το τοποθετήσουμε κατακόρυφα μπροστά από τον παρατηρητή, κάθετα στον πρώτο, ας το ονομάσουμε κατακόρυφο επίπεδο προβολήςκαι δηλώνουν Σ 2.Θα υποδηλώσουμε τις προβολές των διαστημικών στοιχείων πάνω του με το δείκτη 2: Α 2, 2 και καλέστε μετωπικές προβολές(σημεία, ευθείες, επίπεδα). Ας ονομάσουμε τη γραμμή τομής των επιπέδων προβολής άξονα προβολής.

Ας προβάλουμε ένα σημείο ΕΝΑορθογώνια και στα δύο επίπεδα προβολής:

AA 1 _|_ P 1 ;AA 1 ^P 1 =A 1 ;

AA 2 _|_ P 2 ;AA 2 ^P 2 =A 2 ;

Ακτίνες προβολής ΑΑ 1 και ΑΑ 2αμοιβαία κάθετα και δημιουργούν ένα προεξέχον επίπεδο στο χώρο AA 1 AA 2,κάθετα και στις δύο πλευρές των προεξοχών. Αυτό το επίπεδο τέμνει τα επίπεδα προβολής κατά μήκος των γραμμών που διέρχονται από τις προεξοχές του σημείου ΕΝΑ.

Για να έχετε ένα επίπεδο σχέδιο, συνδυάστε το οριζόντιο επίπεδο των προβολών Σ 1με το μετωπικό επίπεδο P 2 να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα P 2 / P 1 (Εικ. 61, α). Τότε και οι δύο προβολές του σημείου θα βρίσκονται στην ίδια ευθεία κάθετα στον άξονα P 2 / P 1. Ευθεία Α 1 Α 2,σύνδεση οριζόντια Α'1και μετωπική Α2προβολή ενός σημείου ονομάζεται κάθετη γραμμή επικοινωνίας.

Το επίπεδο σχέδιο που προκύπτει ονομάζεται σύνθετο σχέδιο.Είναι μια εικόνα ενός αντικειμένου σε πολλά συνδυασμένα επίπεδα. Ένα σύνθετο σχέδιο που αποτελείται από δύο ορθογώνιες προεξοχές που συνδέονται μεταξύ τους ονομάζεται δύο προεξοχή. Σε αυτό το σχέδιο, οι οριζόντιες και μετωπικές προεξοχές των σημείων βρίσκονται πάντα στην ίδια κατακόρυφη γραμμή σύνδεσης.

Δύο αλληλοσυνδεόμενες ορθογώνιες προεξοχές ενός σημείου καθορίζουν μοναδικά τη θέση του σε σχέση με τα επίπεδα προβολής. Αν προσδιορίσουμε τη θέση του σημείου ΕΝΑσε σχέση με αυτά τα επίπεδα (Εικ. 61, β) το ύψος του h (AA 1 =h)και βάθος f(AA 2 =f ), μετά αυτάΟι ποσότητες σε ένα σύνθετο σχέδιο υπάρχουν ως τμήματα μιας κάθετης γραμμής επικοινωνίας. Αυτή η περίσταση διευκολύνει την ανακατασκευή του σχεδίου, δηλαδή τον προσδιορισμό από το σχέδιο της θέσης του σημείου σε σχέση με τα επίπεδα προβολής. Για να γίνει αυτό, αρκεί να επαναφέρετε μια κάθετη στο επίπεδο σχεδίασης (θεωρώντας την μετωπική) στο σημείο A 2 του σχεδίου με μήκος ίσο με το βάθος φά. Το άκρο αυτής της καθέτου θα καθορίσει τη θέση του σημείου ΕΝΑσε σχέση με το επίπεδο σχεδίασης.

60.gif

Εικόνα:

61.gif

Εικόνα:

7. Ερωτήσεις αυτοδιαγνωστικού ελέγχου

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΔΟΚΙΜΟΥ

4. Πώς ονομάζεται η απόσταση που καθορίζει τη θέση ενός σημείου σε σχέση με το επίπεδο προβολής; P 1, P 2;

7. Πώς να κατασκευάσετε μια πρόσθετη προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο P 4 _|_ P 2 , P 4 _|_ P 1 , P 5 _|_ P 4 ?

9. Πώς μπορείτε να κατασκευάσετε ένα σύνθετο σχέδιο ενός σημείου χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες του;

33. Στοιχεία μιγαδικού σχεδίου τριών προβολών σημείου

§ 33. Στοιχεία μιγαδικού σχεδίου τριών προβολών σημείου

Για να προσδιορίσετε τη θέση ενός γεωμετρικού σώματος στο χώρο και να λάβετε πρόσθετες πληροφορίες για τις εικόνες του, μπορεί να χρειαστεί να κατασκευαστεί μια τρίτη προβολή. Τότε το τρίτο επίπεδο προβολής βρίσκεται στα δεξιά του παρατηρητή, κάθετα στο οριζόντιο επίπεδο προβολής Σ 1και το μετωπικό επίπεδο των προεξοχών P 2 (Εικ. 62, α). Ως αποτέλεσμα της τομής του μετωπιαίου P 2 και προφίλ P 3 επίπεδα προβολής παίρνουμε έναν νέο άξονα P 2 / P 3 , που βρίσκεται στο σύνθετο σχέδιο παράλληλα με την κατακόρυφη γραμμή επικοινωνίας Α 1 Α 2(Εικ. 62, σι).Προβολή τρίτου σημείου ΕΝΑ- προφίλ - φαίνεται να σχετίζεται με την μετωπική προβολή Α2μια νέα γραμμή επικοινωνίας που ονομάζεται οριζόντια

Ρύζι. 62

Νώε. Οι μετωπικές και προφίλ προβολές των σημείων βρίσκονται πάντα στην ίδια οριζόντια γραμμή σύνδεσης. Εξάλλου A 1 A 2 _|_ Α 2 Α 1Και A 2 A 3 , _| _ P 2 / P 3 .

Η θέση ενός σημείου στο χώρο σε αυτή την περίπτωση χαρακτηρίζεται από την γεωγραφικό πλάτος- την απόσταση από αυτό έως το επίπεδο προφίλ των προβολών P 3, το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα R.

Το μιγαδικό σχέδιο ενός σημείου που προκύπτει ονομάζεται τριών προβολών.

Σε ένα σχέδιο τριών προβολών, το βάθος ενός σημείου ΑΑ 2προβάλλεται χωρίς παραμόρφωση στα επίπεδα P 1 και P 2 (Εικ. 62, ΕΝΑ).Αυτή η περίσταση μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε μια τρίτη - μετωπική προβολή του σημείου ΕΝΑκατά μήκος της οριζόντιας του Α'1και μετωπική Α2προβολές (Εικ. 62, V).Για να γίνει αυτό, πρέπει να σχεδιάσετε μια οριζόντια γραμμή επικοινωνίας μέσω της μετωπικής προβολής του σημείου A 2 A 3 _|_A 2 A 1 .Στη συνέχεια, οπουδήποτε στο σχέδιο, σχεδιάστε τον άξονα προβολής P 2 / P 3 _|_ Α 2 Α 3,μετρήστε το βάθος f ενός σημείου στην οριζόντια πεδίο προβολής και τοποθετήστε το κατά μήκος της οριζόντιας γραμμής σύνδεσης από τον άξονα προβολής P 2 / P 3. Ας πάρουμε μια προβολή προφίλ Α 3σημεία ΕΝΑ.

Έτσι, σε ένα σύνθετο σχέδιο που αποτελείται από τρεις ορθογώνιες προβολές ενός σημείου, δύο προβολές βρίσκονται στην ίδια γραμμή επικοινωνίας. Οι γραμμές επικοινωνίας είναι κάθετες στους αντίστοιχους άξονες προβολής. δύο προβολές ενός σημείου καθορίζουν πλήρως τη θέση της τρίτης προβολής του.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στα σύνθετα σχέδια, κατά κανόνα, τα επίπεδα προβολής δεν περιορίζονται και η θέση τους καθορίζεται με άξονες (Εικ. 62, γ). Σε περιπτώσεις που οι συνθήκες του προβλήματος δεν το απαιτούν,

Αποδεικνύεται ότι οι προβολές των σημείων μπορούν να δοθούν χωρίς να απεικονίζονται άξονες (Εικ. 63, α, β).Ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται αβάσιμο. Οι γραμμές επικοινωνίας μπορούν επίσης να σχεδιαστούν με ένα διάλειμμα (Εικ. 63, β).

62.gif

Εικόνα:

63.gif

Εικόνα:

34. Θέση σημείου σε τρισδιάστατο γωνιακό χώρο

§ 34. Θέση σημείου στο χώρο τρισδιάστατης γωνίας

Η θέση των προβολών των σημείων σε ένα σύνθετο σχέδιο εξαρτάται από τη θέση του σημείου στο χώρο μιας τρισδιάστατης γωνίας. Ας δούμε μερικές περιπτώσεις:

το σημείο βρίσκεται στο διάστημα (βλ. Εικ. 62). Σε αυτή την περίπτωση έχει βάθος, ύψος και πλάτος.

το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο προβολής Σ 1- δεν έχει ύψος, P 2 - δεν έχει βάθος, Pz - δεν έχει πλάτος.

το σημείο βρίσκεται στον άξονα των προβολών, το P 2 / P 1 δεν έχει βάθος και ύψος, το P 2 / P 3 δεν έχει βάθος και γεωγραφικό πλάτος και το P 1 / P 3 δεν έχει ύψος και γεωγραφικό πλάτος.

35. Αγωνιστικά σημεία

§ 35. Αγωνιστικά σημεία

Δύο σημεία στο χώρο μπορούν να εντοπιστούν με διαφορετικούς τρόπους. Σε ξεχωριστή περίπτωση, μπορούν να τοποθετηθούν έτσι ώστε οι προβολές τους σε κάποιο επίπεδο προβολής να συμπίπτουν. Τέτοια σημεία λέγονται ανταγωνιστικές.Στο Σχ. 64, ΕΝΑπαρέχεται μια ολοκληρωμένη σχεδίαση των σημείων ΕΝΑΚαι ΣΕ.Τοποθετούνται έτσι ώστε οι προβολές τους να συμπίπτουν στο επίπεδο P 1 [A 1 == B 1].Τέτοια σημεία λέγονται οριζόντια ανταγωνιστική.Αν οι προβολές των σημείων Α και Βσυμπίπτουν στο αεροπλάνο

Σ 2(Εικ. 64, σι),λέγονται μετωπικά ανταγωνιστικά.Και αν οι προβολές των σημείων ΕΝΑΚαι ΣΕσυμπίπτουν στο επίπεδο P 3 [A 3 == B 3 ] (Εικ. 64, γ), ονομάζονται προφίλ ανταγωνιστών.

Η ορατότητα στο σχέδιο καθορίζεται από τα ανταγωνιστικά σημεία. Για οριζόντια ανταγωνιστικά σημεία θα είναι ορατό αυτό με μεγαλύτερο ύψος, για μετωπικά ανταγωνιστικά σημεία θα είναι ορατό αυτό με μεγαλύτερο βάθος και για ανταγωνιστικά σημεία προφίλ θα είναι ορατό αυτό με μεγαλύτερο γεωγραφικό πλάτος.

64.gif

Εικόνα:

36. Αντικατάσταση επιπέδων προβολής

§ 36. Αντικατάσταση επιπέδων προβολής

Οι ιδιότητες ενός σχεδίου τριών προβολών ενός σημείου επιτρέπουν τη χρήση των οριζόντιων και μετωπικών προεξοχών του για την κατασκευή ενός τρίτου σε άλλα επίπεδα προβολής που εισάγονται για να αντικαταστήσουν τα δεδομένα.

Στο Σχ. 65, ΕΝΑσημείο προβολής ΕΝΑκαι οι προβολές του είναι οριζόντιες Α'1και μετωπική Α2.Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν τα επίπεδα P 2. Ας συμβολίσουμε το νέο επίπεδο προβολής P 4 και ας το τοποθετήσουμε κάθετα στο Σ 1.Στη διασταύρωση των αεροπλάνων Σ 1και P 4 παίρνουμε έναν νέο άξονα P 1 / P 4 . Νέα προβολή σημείου Α 4θα βρίσκεται στις γραμμή επικοινωνίας που διέρχεται από ένα σημείο Α'1και κάθετα στον άξονα P 1 / P 4 .

Από το νέο αεροπλάνο Σ 4αντικαθιστά το μετωπικό επίπεδο προβολής P 2, ύψος σημείου ΕΝΑαπεικονίζεται εξίσου σε πλήρες μέγεθος τόσο στο επίπεδο P 2 όσο και στο επίπεδο P 4.

Αυτή η περίσταση μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη θέση της προβολής Α 4,σε ένα σύστημα αεροπλάνων Σ 1 _|_ Σ 4(Εικ. 65, σι)σε ένα σύνθετο σχέδιο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να μετρήσετε το ύψος του σημείου στο επίπεδο που αντικαθίσταται

ity της προβολής P 2, τοποθετήστε το σε μια νέα γραμμή σύνδεσης από τον νέο άξονα προβολών - και μια νέα προβολή του σημείου Α 4θα κατασκευαστεί.

Εάν εισαχθεί ένα νέο επίπεδο προβολής αντί για το οριζόντιο επίπεδο προβολής, δηλ. P 4 _|_ P 2 (Εικ. 66, ΕΝΑ),τότε στο νέο σύστημα επιπέδων η νέα προβολή του σημείου θα βρίσκεται στην ίδια γραμμή επικοινωνίας με την μετωπική προβολή, και A 2 A 4 _|_.Σε αυτή την περίπτωση, το βάθος του σημείου είναι το ίδιο στο επίπεδο P 1,και στο αεροπλάνο Σ 4.Σε αυτή τη βάση χτίζουν Α 4(Εικ. 66, σι)στη γραμμή επικοινωνίας Α 2 Α 4σε τέτοια απόσταση από τον νέο άξονα P 1 / P 4 σε τι Α'1που βρίσκεται από τον άξονα P 2 / P 1.

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, η κατασκευή νέων πρόσθετων προβολών συνδέεται πάντα με συγκεκριμένες εργασίες. Στο μέλλον, θα εξεταστούν ορισμένα μετρικά και θέσιμα προβλήματα που μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης των επιπέδων προβολής. Σε προβλήματα όπου η εισαγωγή ενός επιπλέον επιπέδου δεν θα δώσει το επιθυμητό αποτέλεσμα, εισάγεται ένα άλλο πρόσθετο επίπεδο, το οποίο ονομάζεται P 5. Τοποθετείται κάθετα στο ήδη εισαγόμενο επίπεδο P 4 (Εικ. 67, α), δηλ. P 5 P 4 και παράγουν μια κατασκευή παρόμοια με αυτές που συζητήθηκαν προηγουμένως. Τώρα οι αποστάσεις μετρώνται στο αντικατασταθέν δεύτερο από τα κύρια επίπεδα προβολής (στο Σχ. 67, σιστην επιφάνεια P 1)και να τα αναβάλουν σε νέα γραμμή επικοινωνίας Α 4 Α 5,από τον νέο άξονα προβολής P 5 / P 4. Στο νέο σύστημα επιπέδων P 4 P 5, προκύπτει ένα νέο σχέδιο δύο προεξοχών, που αποτελείται από ορθογώνιες προεξοχές Α 4και Α 5 , συνδεδεμένο με γραμμή επικοινωνίας

Σε αυτό το άρθρο θα βρούμε απαντήσεις σε ερωτήσεις σχετικά με το πώς να δημιουργήσετε μια προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο και πώς να καθορίσετε τις συντεταγμένες αυτής της προβολής. Στο θεωρητικό μέρος θα βασιστούμε στην έννοια της προβολής. Θα ορίσουμε τους όρους και θα παρέχουμε πληροφορίες με απεικονίσεις. Ας εμπεδώσουμε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν λύνοντας παραδείγματα.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Προβολή, είδη προβολής

Για τη διευκόλυνση της προβολής χωρικών σχημάτων, χρησιμοποιούνται σχέδια που απεικονίζουν αυτές τις εικόνες.
Ορισμός 1
Προβολή μιας φιγούρας σε ένα επίπεδο– σχέδιο χωρικής φιγούρας.

Προφανώς, υπάρχει ένας αριθμός κανόνων που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή μιας προβολής.
Ορισμός 2
Προβολή– η διαδικασία κατασκευής σχεδίου χωρικής φιγούρας σε επίπεδο χρησιμοποιώντας κατασκευαστικούς κανόνες.

Επίπεδο προβολής- αυτό είναι το επίπεδο στο οποίο κατασκευάζεται η εικόνα.

Η χρήση ορισμένων κανόνων καθορίζει τον τύπο της προβολής: κεντρικόςή παράλληλο.

Μια ειδική περίπτωση παράλληλης προβολής είναι η κάθετη προβολή ή η ορθογώνια: στη γεωμετρία χρησιμοποιείται κυρίως. Για το λόγο αυτό, το ίδιο το επίθετο «κάθετος» συχνά παραλείπεται στον λόγο: στη γεωμετρία λένε απλώς «προβολή σχήματος» και με αυτό εννοούν την κατασκευή προβολής με τη μέθοδο της κάθετης προβολής. Σε ειδικές περιπτώσεις βέβαια μπορεί να συμφωνηθεί κάτι άλλο.

Ας σημειώσουμε το γεγονός ότι η προβολή ενός σχήματος σε ένα επίπεδο είναι ουσιαστικά μια προβολή όλων των σημείων αυτού του σχήματος. Επομένως, για να μπορέσουμε να μελετήσουμε ένα χωρικό σχήμα σε ένα σχέδιο, είναι απαραίτητο να αποκτήσουμε τη βασική ικανότητα προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο. Για τι θα μιλήσουμε παρακάτω.

Ας θυμηθούμε ότι πιο συχνά στη γεωμετρία, όταν μιλάμε για προβολή σε ένα επίπεδο, εννοούν τη χρήση μιας κάθετης προβολής.

Ας φτιάξουμε κατασκευές που θα μας δώσουν την ευκαιρία να αποκτήσουμε έναν ορισμό της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Ας πούμε ότι δίνεται ένας τρισδιάστατος χώρος και σε αυτόν υπάρχει ένα επίπεδο α και ένα σημείο Μ 1 που δεν ανήκει στο επίπεδο α. Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο δεδομένο σημείο Μ ΕΝΑκάθετη σε δεδομένο επίπεδο α. Συμβολίζουμε το σημείο τομής της ευθείας α και του επιπέδου α ως H 1, θα χρησιμεύσει ως βάση μιας κάθετης που έχει χαμηλώσει από το σημείο M 1 στο επίπεδο α.

Εάν δοθεί ένα σημείο M 2, που ανήκει σε ένα δεδομένο επίπεδο α, τότε το M 2 θα χρησιμεύσει ως προβολή του εαυτού του στο επίπεδο α.

Ορισμός 3
- αυτό είναι είτε το ίδιο το σημείο (αν ανήκει σε ένα δεδομένο επίπεδο), είτε η βάση μιας κάθετης που πέφτει από ένα δεδομένο σημείο σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Εύρεση των συντεταγμένων της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο, παραδείγματα

Έστω σε τρισδιάστατο χώρο τα εξής: ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z, ένα επίπεδο α, ένα σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1). Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Η λύση προκύπτει προφανώς από τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω για την προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Ας συμβολίσουμε την προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο α ως H 1 . Σύμφωνα με τον ορισμό, H 1 είναι το σημείο τομής ενός δεδομένου επιπέδου α και μιας ευθείας γραμμής a που διασχίζεται από το σημείο M 1 (κάθετο στο επίπεδο). Εκείνοι. Οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ 1 που χρειαζόμαστε είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας α και του επιπέδου α.

Έτσι, για να βρούμε τις συντεταγμένες της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο είναι απαραίτητο:

Λάβετε την εξίσωση του επιπέδου α (αν δεν προσδιορίζεται). Ένα άρθρο σχετικά με τους τύπους εξισώσεων επιπέδου θα σας βοηθήσει εδώ.

Να προσδιορίσετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο M 1 και είναι κάθετη στο επίπεδο α (μελετήστε το θέμα σχετικά με την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο).

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας α και του επιπέδου α (άρθρο - εύρεση των συντεταγμένων του σημείου τομής του επιπέδου και της ευθείας). Τα δεδομένα που θα ληφθούν θα είναι οι συντεταγμένες που χρειαζόμαστε για την προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο α.

Ας δούμε τη θεωρία με πρακτικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 1
Προσδιορίστε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (- 2, 4, 4) στο επίπεδο 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Λύση

Όπως βλέπουμε, μας δίνεται η εξίσωση του επιπέδου, δηλ. δεν χρειάζεται να το μεταγλωττίσετε.

Ας γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής a που διέρχεται από το σημείο M 1 και είναι κάθετη στο δεδομένο επίπεδο. Για τους σκοπούς αυτούς, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α. Εφόσον η ευθεία a είναι κάθετη σε ένα δεδομένο επίπεδο, το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας a είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Ετσι, a → = (2, - 3, 1) – διάνυσμα κατεύθυνσης ευθείας α.

Ας συνθέσουμε τώρα τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο που διέρχεται από το σημείο M 1 (- 2, 4, 4) και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Για να βρείτε τις απαιτούμενες συντεταγμένες, το επόμενο βήμα είναι να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 και του επιπέδου 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Για τους σκοπούς αυτούς, μετακινούμαστε από τις κανονικές εξισώσεις στις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Και ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Έτσι, οι απαιτούμενες συντεταγμένες ενός δεδομένου σημείου M 1 σε ένα δεδομένο επίπεδο α θα είναι: (0, 1, 5).

Απάντηση: (0 , 1 , 5) .
Παράδειγμα 2
Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z τρισδιάστατου χώρου, δίνονται τα σημεία A (0, 0, 2). Β (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) και Μ1 (-1, -2, 5). Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής M 1 στο επίπεδο A B C

Λύση

Πρώτα απ 'όλα, γράφουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Ας γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας a, που θα διέρχεται από το σημείο M 1 κάθετο στο επίπεδο A B C. Το επίπεδο x – 2 y + 2 z – 4 = 0 έχει κανονικό διάνυσμα με συντεταγμένες (1, - 2, 2), δηλ. διάνυσμα a → = (1, - 2, 2) – διάνυσμα κατεύθυνσης ευθείας α.

Τώρα, έχοντας τις συντεταγμένες του σημείου της ευθείας Μ 1 και τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης αυτής της ευθείας, γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας στο διάστημα:

Στη συνέχεια προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής του επιπέδου x – 2 y + 2 z – 4 = 0 και της ευθείας

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε στην εξίσωση του επιπέδου:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Τώρα, χρησιμοποιώντας τις παραμετρικές εξισώσεις x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, βρίσκουμε τις τιμές των μεταβλητών x, y και z για λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Έτσι, η προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο A B C θα έχει συντεταγμένες (- 2, 0, 3).

Απάντηση: (- 2 , 0 , 3) .

Ας σταθούμε χωριστά στο θέμα της εύρεσης των συντεταγμένων της προβολής ενός σημείου σε επίπεδα συντεταγμένων και επίπεδα που είναι παράλληλα προς επίπεδα συντεταγμένων.

Έστω τα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και τα επίπεδα συντεταγμένων O x y, O x z και O y z. Οι συντεταγμένες της προβολής αυτού του σημείου σε αυτά τα επίπεδα θα είναι, αντίστοιχα: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) και (0, y 1, z 1). Ας εξετάσουμε επίσης επίπεδα παράλληλα με τα δεδομένα επίπεδα συντεταγμένων:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Και οι προβολές ενός δεδομένου σημείου M 1 σε αυτά τα επίπεδα θα είναι σημεία με συντεταγμένες x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 και - D A, y 1, z 1.

Ας δείξουμε πώς προέκυψε αυτό το αποτέλεσμα.

Για παράδειγμα, ας ορίσουμε την προβολή του σημείου M 1 (x 1, y 1, z 1) στο επίπεδο A x + D = 0. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις είναι παρόμοιες.

Το δεδομένο επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων O y z και i → = (1, 0, 0) είναι το κανονικό του διάνυσμα. Το ίδιο διάνυσμα χρησιμεύει ως διάνυσμα κατεύθυνσης της κάθετης ευθείας στο επίπεδο O y z. Τότε οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής που διασχίζεται από το σημείο Μ 1 και είναι κάθετη σε ένα δεδομένο επίπεδο θα έχουν τη μορφή:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής αυτής της ευθείας και του δεδομένου επιπέδου. Ας αντικαταστήσουμε πρώτα τις ισότητες στην εξίσωση A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 και πάρουμε: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις απαιτούμενες συντεταγμένες χρησιμοποιώντας τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας με λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Δηλαδή, η προβολή του σημείου M 1 (x 1, y 1, z 1) στο επίπεδο θα είναι ένα σημείο με συντεταγμένες - D A, y 1, z 1.
Παράδειγμα 2
Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (- 6, 0, 1 2) στο επίπεδο συντεταγμένων O x y και στο επίπεδο 2 y - 3 = 0.

Λύση

Το επίπεδο συντεταγμένων O x y θα αντιστοιχεί στην ημιτελή γενική εξίσωση του επιπέδου z = 0. Η προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο z = 0 θα έχει συντεταγμένες (- 6, 0, 0).

Η εξίσωση επιπέδου 2 y - 3 = 0 μπορεί να γραφτεί ως y = 3 2 2. Τώρα απλώς σημειώστε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (- 6, 0, 1 2) στο επίπεδο y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Απάντηση:(- 6 , 0 , 0) και - 6 , 3 2 2 , 1 2

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter