Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ των παράλληλων επιπέδων. Απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων: ορισμός και παραδείγματα εύρεσης

Απόσταση μεταξύ δύο παράλληλα επίπεδαεκφράζεται με τον τύπο:

Δεν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων και δεν χρειάζεται να τις γνωρίζουμε, αφού η κάθετη μεταξύ των επιπέδων μπορεί να επεκταθεί οπουδήποτε.

Ας βρούμε την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων του Παραδείγματος Νο. 8:

Παράδειγμα 10

.

Απόφαση: Χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Απάντηση:

Πολλοί πιθανώς έχουν μια ερώτηση: για αυτά τα επίπεδα - οι τρεις πρώτοι συντελεστές είναι οι ίδιοι, αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα! Ναι, όχι πάντα.

Παράδειγμα 11

Να βρείτε την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων

Ας ελέγξουμε την αναλογικότητα των συντελεστών: , αλλά, επομένως, τα επίπεδα είναι πράγματι παράλληλα. Οι τρεις πρώτοι συντελεστές είναι αναλογικοί, αλλά όχι ίδιοι. Αλλά η φόρμουλα προβλέπεται για συντελεστές που συμπίπτουν!

Υπάρχουν δύο λύσεις:

1) Βρείτε κάποιο σημείο που ανήκει σε οποιοδήποτε από τα επίπεδα. Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα αεροπλάνο. Για να βρείτε ένα σημείο, ο ευκολότερος τρόπος είναι να μηδενίσετε δύο συντεταγμένες. Ας επαναφέρουμε τα "X" και "Z", μετά: .

Έτσι, το σημείο ανήκει στο δεδομένο επίπεδο. Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο απόστασης από ένα σημείο σε μια γραμμή, που συζητήθηκε στην προηγούμενη ενότητα.

2) Ο δεύτερος τρόπος σχετίζεται με ένα μικρό κόλπο που πρέπει να εφαρμοστεί για να συνεχίσει να χρησιμοποιείται ο τύπος ! Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου".

Τέμνοντα επίπεδα

Η τρίτη, πιο συνηθισμένη περίπτωση, όταν δύο επίπεδα τέμνονται κατά μήκος κάποιας ευθείας:

Δύο επίπεδα τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους με μεταβλητές ΟΧΙ αναλογικό, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του «λάμδα» που να πληρούνται οι ισότητες

Θα σημειώσω αμέσως σημαντικό γεγονός: Αν τα επίπεδα τέμνονται, τότε το σύστημα γραμμικές εξισώσεις ορίζει την εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο. Αλλά για τη διαστημική γραμμή αργότερα.

Ως παράδειγμα, εξετάστε τα αεροπλάνα . Ας συνθέσουμε ένα σύστημα για τους αντίστοιχους συντελεστές:

Από τις δύο πρώτες εξισώσεις προκύπτει ότι, αλλά από την τρίτη εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές, και τα αεροπλάνα τέμνονται.

Ο έλεγχος μπορεί να γίνει "τρελά" σε μία γραμμή:

Έχουμε ήδη αναλύσει τα παράλληλα επίπεδα, τώρα ας μιλήσουμε για κάθετα επίπεδα. Είναι προφανές ότι απείρως πολλοί μπορούν να έλκονται σε οποιοδήποτε επίπεδο. κάθετα επίπεδα, και για να καθορίσετε ένα συγκεκριμένο κάθετο επίπεδο, πρέπει να γνωρίζετε δύο σημεία:

Παράδειγμα 12

Δόθηκε ένα αεροπλάνο . Κατασκευάστε ένα επίπεδο κάθετο στη δεδομένη και που διέρχεται από τα σημεία .

Απόφαση: Αρχίζουμε να αναλύουμε την κατάσταση. Τι γνωρίζουμε για το αεροπλάνο; Δύο σημεία είναι γνωστά. Μπορείτε να βρείτε ένα διάνυσμα παράλληλο στο δεδομένο επίπεδο. Οχι αρκετά. Θα ήταν ωραίο να σκάψουμε κάπου ένα άλλο κατάλληλο διάνυσμα. Εφόσον τα επίπεδα πρέπει να είναι κάθετα, το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου θα ισχύει.

Ένα σχηματικό σχέδιο βοηθά στην πραγματοποίηση αυτού του συλλογισμού:

Για καλύτερη κατανόησηοι εργασίες παραμερίζουν το κανονικό διάνυσμα από ένα σημείο του επιπέδου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δύο αυθαίρετα σημεία μπορούν να βρίσκονται στο χώρο όπως θέλετε και το κάθετο επίπεδο μπορεί να στραφεί προς εμάς από μια εντελώς διαφορετική γωνία. Παρεμπιπτόντως, τώρα μπορείτε να δείτε ξεκάθαρα γιατί ένα σημείο δεν ορίζει ένα κάθετο επίπεδο - ένας άπειρος αριθμός κάθετων επιπέδων θα "περιστρέφεται" γύρω από ένα μόνο σημείο. Επίσης, ένα μόνο διάνυσμα (χωρίς σημεία) δεν θα μας ταιριάζει. Το διάνυσμα είναι ελεύθερο και θα μας «σφραγίσει» με άπειρο αριθμό κάθετων επιπέδων (τα οποία, παρεμπιπτόντως, θα είναι όλα παράλληλα). Από αυτή την άποψη, δύο σημεία παρέχουν την ελάχιστη άκαμπτη δομή.

Ο αλγόριθμος αποσυναρμολογείται, λύνουμε το πρόβλημα:

1) Βρείτε το διάνυσμα .

2) Από την εξίσωση αφαιρέστε το κανονικό διάνυσμα: .

3) Συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου από το σημείο (ήταν δυνατό να πάρουμε και ) και δύο μη γραμμικά διανύσματα :

Το υλικό αυτού του άρθρου σας επιτρέπει να αποκτήσετε την ικανότητα να προσδιορίσετε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων. Ας δώσουμε έναν ορισμό της απόστασης μεταξύ των παράλληλων επιπέδων, πάρουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της και ας εξετάσουμε τη θεωρία σε πρακτικά παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ορισμός 1

Απόσταση μεταξύ παράλληλων επιπέδωνείναι η απόσταση από αυθαίρετο σημείοένα από τα θεωρούμενα παράλληλα επίπεδα με το άλλο επίπεδο.

Έστω δύο παράλληλα επίπεδα ϒ 1 και ϒ 2. Από ένα αυθαίρετο σημείο M 1 του επιπέδου ϒ 1 χαμηλώνουμε την κάθετη M 1 H 1 σε ένα άλλο επίπεδο ϒ 2. Το μήκος της κάθετης M 1 H 1 θα είναι η απόσταση μεταξύ των δεδομένων επιπέδων.

Αυτός ο ορισμός της απόστασης μεταξύ των παράλληλων επιπέδων σχετίζεται με το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα

Αν δύο επίπεδα είναι παράλληλα, τότε όλα τα σημεία του ενός από τα παράλληλα επίπεδα βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το άλλο επίπεδο.

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι δίδονται δύο παράλληλα επίπεδα ϒ 1 και ϒ 2. Για να ληφθεί μια απόδειξη του θεωρήματος, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι οι κάθετοι που πέφτουν από διάφορα αυθαίρετα σημεία ενός επιπέδου σε άλλο επίπεδο είναι ίσες. Ας δίνονται μερικά αυθαίρετα σημεία M 1 και M 2 στο επίπεδο ϒ 1 και οι κάθετες M 1 H 1 και M 2 H 2 στο επίπεδο ϒ 2 έχουν χαμηλώσει από αυτές. Επομένως, πρέπει να αποδείξουμε ότι M 1 H 1 \u003d M 2 H 2.

Οι ευθείες M 1 H 1 και M 2 H 2 είναι παράλληλες, αφού είναι κάθετες σε ένα επίπεδο. Με βάση το αξίωμα ενός απλού επιπέδου που διέρχεται από τρία διάφορα σημεία, που δεν βρίσκονται σε μία ευθεία, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι υπάρχει μόνο ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο παράλληλες ευθείες. Θα υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιο επίπεδο ϒ 3 που διέρχεται από δύο παράλληλες ευθείες M 1 H 1 και M 2 H 2 . Το προφανές γεγονόςείναι ότι το επίπεδο ϒ 3 τέμνει τα επίπεδα ϒ 1 και ϒ 2 κατά μήκος των ευθειών M 1 M 2 και H 1 H 2 , οι οποίες δεν τέμνονται και επομένως είναι παράλληλα (διαφορετικά, τα δεδομένα επίπεδα θα είχαν κοινό σημέιο, κάτι που είναι αδύνατο λόγω του παραλληλισμού τους από την κατάσταση του προβλήματος). Έτσι, παρατηρούμε ένα τετράπλευρο M 1 M 2 H 1 H 2, στο οποίο αντίθετες πλευρέςείναι κατά ζεύγη παράλληλες, δηλ. Το M 1 M 2 H 1 H 2 είναι ένα παραλληλόγραμμο (στην περίπτωση αυτή, ένα ορθογώνιο). Επομένως, οι απέναντι πλευρές αυτού του παραλληλογράμμου είναι ίσες, που σημαίνει | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . Q.E.D.

Σημειώστε επίσης ότι η απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων είναι η μικρότερη από τις αποστάσεις μεταξύ αυθαίρετων σημείων αυτών των επιπέδων.

Εύρεση της απόστασης μεταξύ των παράλληλων επιπέδων

Σύμφωνα με το πρόγραμμα των 10 - 11 κλάσεων, η απόσταση μεταξύ των παραλλήλων επιπέδων καθορίζεται με την κατασκευή μιας κάθετης από οποιοδήποτε σημείο ενός επιπέδου, χαμηλωμένη σε άλλο επίπεδο. μετά την οποία βρίσκεται το μήκος αυτής της καθέτου (χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, σημεία ισότητας ή ομοιότητας τριγώνων ή ορισμό ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης γωνίας).

Στην περίπτωση που έχει ήδη ρυθμιστεί ή είναι δυνατό να οριστεί ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε έχουμε την ευκαιρία να προσδιορίσουμε την απόσταση μεταξύ παράλληλων επιπέδων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων.

Αφήστε δεδομένο τρισδιάστατο χώρο, και σε αυτό - ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και δύο παράλληλα επίπεδα ϒ 1 και ϒ 2 . Ας βρούμε την απόσταση μεταξύ αυτών των επιπέδων, βασιζόμενοι, μεταξύ άλλων, στον ορισμό της απόστασης μεταξύ των επιπέδων που δόθηκε παραπάνω.

Στα αρχικά δεδομένα - επίπεδα ϒ 1 και ϒ 2, και μπορούμε να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες (x 1, y 1, z 1) ενός συγκεκριμένου σημείου M 1 που ανήκει σε ένα από δεδομένα αεροπλάνα: ας είναι το επίπεδο ϒ 1 . Λαμβάνουμε επίσης την κανονική εξίσωση του επιπέδου ϒ 2: cos α · x + cos β · y + cos λ · z - p = 0 . Σε αυτή την περίπτωση, η απαιτούμενη απόσταση | M 1 H 1 | θα είναι ίση με την απόσταση από το σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1) στο επίπεδο ϒ 2 (αντιστοιχεί στην κανονική εξίσωση cosα x + cos β y + cos γ z - p = 0). Στη συνέχεια υπολογίζουμε την απαιτούμενη απόσταση με τον τύπο: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Η εξαγωγή αυτού του τύπου μπορεί να μελετηθεί στο θέμα του υπολογισμού της απόστασης από ένα σημείο σε ένα επίπεδο.

Ας συνοψίσουμε. Για να προσδιοριστεί η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων, είναι απαραίτητο:

Ορισμός 2

Να βρείτε τις συντεταγμένες (x 1 , y 1 , z 1) ενός συγκεκριμένου σημείου M 1 που ανήκει σε ένα από τα αρχικά επίπεδα.

Να ορίσετε την κανονική εξίσωση ενός άλλου επιπέδου με τη μορφή cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ;

Υπολογίστε την απαιτούμενη απόσταση χρησιμοποιώντας τον τύπο: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p .

Εάν σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων το επίπεδο ϒ 1 δίνεται από τη γενική εξίσωση του επιπέδου A x + B y + C z + D 1 = 0, και το επίπεδο ϒ 2 δίνεται από τη γενική εξίσωση A x + B y + C z + D 2 = 0, τότε η απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων πρέπει να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

M 1 H 1 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Ας δείξουμε πώς δεδομένης φόρμουλαςέλαβε.

Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1) στο επίπεδο ϒ 1 . Στην περίπτωση αυτή, οι συντεταγμένες αυτού του σημείου θα αντιστοιχούν στην εξίσωση του επιπέδου A x + B y + C z + D 1 = 0, ή η ισότητα θα είναι αληθής: A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 1 = 0 . Από εδώ παίρνουμε: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0. Η ισότητα που θα προκύψει θα είναι ακόμα χρήσιμη σε εμάς.

Θα περιγραφεί το επίπεδο ϒ 2 κανονική εξίσωσηεπίπεδο A x + B y + C z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 ή - A x + B y + C z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 (ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού Δ 2). Ωστόσο, για οποιαδήποτε τιμή του D 2 η απόσταση | M 1 H 1 | μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

M 1 H 1 = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 2 A 2 + B2 + C2

Τώρα χρησιμοποιούμε την προηγουμένως ληφθείσα ισότητα A x 1 + B y 1 + C z 1 = - D 1 και μετατρέπουμε τον τύπο:

M 1 H 1 = - D 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο παράλληλα επίπεδα ϒ 1 και ϒ 2, που περιγράφονται με τις εξισώσεις x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 και 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0, αντίστοιχα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η απόσταση μεταξύ των δεδομένων επιπέδων.

Απόφαση

Ας λύσουμε το πρόβλημα με δύο τρόπους.

1. Η εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα, η οποία καθορίζεται στην κατάσταση του προβλήματος, καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του σημείου M 1 που ανήκει στο επίπεδο που περιγράφεται από αυτήν την εξίσωση. Ως σημείο M 1 χρησιμοποιούμε το σημείο τομής του επιπέδου ϒ 1 και του άξονα O x . Έτσι, έχουμε: M 1 1 6 , 0 , 0 .

Ας μετατρέψουμε τη γενική εξίσωση του επιπέδου ϒ 2 στην κανονική μορφή:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 3 2 + (- 2) 2 + 2 3 2 = 0 ⇔ ⇔ 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0

Υπολογίστε την απόσταση | M 1 H 1 | από το σημείο M 1 1 6 , 0 , 0 στο επίπεδο 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0:

M 1 H 1 \u003d 3 5 1 6 - 2 5 0 + 2 3 5 0 - 4 \u003d 1 10 - 4 \u003d 3 9 10

Έτσι πήραμε την επιθυμητή απόσταση μεταξύ των αρχικών παράλληλων επιπέδων.

1. Μετατρέπουμε την εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα στη γενική εξίσωση του επιπέδου:

x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 1 = 0

Εξισώνουμε τους συντελεστές για τις μεταβλητές x, y, z στις γενικές εξισώσεις των επιπέδων. Για το σκοπό αυτό, πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της ακραίας ισότητας επί 2:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 40 = 0

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να βρούμε την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων:

M 1 H 1 \u003d D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2 \u003d - 40 - (- 1) 6 2 + (- 4) 2 + (4 3) 2 \u003d 39 100 \u003d 3 9 10.

Απάντηση: 3 9 10 .

Παράδειγμα 2

Δίνονται δύο παράλληλα επίπεδα που περιγράφονται από τις εξισώσεις: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 και 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 . Είναι απαραίτητο να βρεθεί η απόσταση μεταξύ αυτών των επιπέδων.

Απόφαση

Θα είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον δεύτερο τρόπο για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της δεύτερης εξίσωσης με 2 και οι συντελεστές στις εξισώσεις των επιπέδων θα γίνουν ίσοι: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 και 6 x + 4 y - 12 z - 4 = 0. Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:

M 1 H 1 \u003d - 4 - 3 6 2 + 4 2 + (- 12) 2 \u003d 7 196 \u003d 1 2

Ωστόσο, ας προσπαθήσουμε να βρούμε την απάντηση με τον πρώτο τρόπο: ας υποθέσουμε ότι το σημείο M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ανήκει στο επίπεδο 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 . Αντίστοιχα, οι συντεταγμένες αυτού του σημείου αντιστοιχούν στην εξίσωση του επιπέδου και η ισότητα θα είναι αληθής:

6 x 1 + 4 y 1 - 12 z 1 + 3 = 0

Έστω y 1 = 0, z 1 = 0, μετά x 1: 6 x 1 + 4 0 - 12 0 + 3 = 0 ⇔ x 1 = - 1 2

Οπότε η ουσία φτάνει ακριβείς συντεταγμένες: M 1 - 1 2 , 0 , 0 .

Ας μετατρέψουμε τη γενική εξίσωση του επιπέδου 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 σε κανονική μορφή:

3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 3 2 + 2 2 + - 6 = 0 ⇔ 3 7 x + 2 7 y - 6 7 z - 2 7 = 0

Σε αυτήν την περίπτωση, η απαιτούμενη απόσταση μεταξύ των επιπέδων είναι: 3 7 - 1 2 + 2 7 0 - 6 7 0 - 6 7 0 - 2 7 = - 1 2 = 1 2

Απάντηση: 1 2 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Με αυτήν την ηλεκτρονική αριθμομηχανή μπορείτε να βρείτε την απόσταση μεταξύ των αεροπλάνων. δεδομένος λεπτομερής λύσημε εξηγήσεις. Για να βρείτε την απόσταση μεταξύ των επιπέδων, εισαγάγετε τα στοιχεία της εξίσωσης του επιπέδου στα κελιά και κάντε κλικ στο κουμπί "Επίλυση".

×

Προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι αριθμοί (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί αριθμοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να πληκτρολογηθεί με τη μορφή a/b, όπου τα a και b (b>0) είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 κ.λπ.

Απόσταση μεταξύ των επιπέδων - θεωρία

Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ των επιπέδων περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

1. Έλεγχος συγγραμμικότητας κανονικά διανύσματααεροπλάνα.
2. Βρίσκοντας κάποιο σημείο Μ 0 στο πρώτο αεροπλάνο.
3. Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ ενός σημείου Μ 0 και το δεύτερο επίπεδο.

Το κανονικό διάνυσμα της εξίσωσης (2") έχει την ακόλουθη μορφή:

ανήκει στο αεροπλάνο (1):

Η γενική εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή:

Αντικαταστήστε τις τιμές Α Β Γ Δ 1 , ρε 2 σε (9):

Ας απλοποιήσουμε και ας λύσουμε.

Ορισμός.θα καλέσουμε απόσταση από σημείο σε επίπεδοτην ελάχιστη απόσταση από ένα δεδομένο σημείο σε σημεία του επιπέδου m.

Επειδή η ελάχιστη απόσταση από ένα δεδομένο σημείο στα σημεία οποιασδήποτε ευθείας που βρίσκεται στο επίπεδο m είναι η απόσταση από το δεδομένο σημείο έως τη βάση της καθέτου που έπεσε από αυτό στην ευθεία. Η απόσταση από ένα σημείο στο επίπεδο m είναι ίση με την απόσταση από αυτό το σημείο έως τη βάση της καθέτου που έπεσε από αυτό στο επίπεδο m.

Να βρείτε την απόσταση από το σημείο στο επίπεδο που δίνεται από την εξίσωση
(4) . Η εξίσωση μιας κάθετης έπεσε από ένα σημείο
σε ένα αεροπλάνο μοιάζει με:
(12) . Υποκατάστατο (12) σε (4) :.
(13) . Επειδή απόσταση από το σημείο
σε ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου ισούται με
(14) . Συγκεκριμένα, η απόσταση από το επίπεδο από την αρχή του συστήματος είναι
(15) . Όταν το κανονικό διάνυσμα είναι μονάδα, ο τύπος (14) μπορεί να γραφτεί ως
(14’) , ένα (15) :
(15’) . Στην περίπτωση που το κανονικό διάνυσμα είναι μονάδα, η απόλυτη τιμή του ελεύθερου όρου in (4) ίση με την απόσταση από το επίπεδο.

Δήλωση.Επειδή τα παράλληλα επίπεδα μπορούν να έχουν ίδια διανύσματα κατεύθυνσης , τότε τα κανονικά διανύσματα των παράλληλων επιπέδων είναι συγγραμμικά. Οι αποστάσεις από όλα τα σημεία του ενός από τα δύο παράλληλα επίπεδα στο άλλο από αυτά τα επίπεδα είναι ίσες. Πράγματι, η απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο
σε ένα επίπεδο μέσα από ένα σημείο
παράλληλα με το δεδομένο επίπεδο (4) με διανύσματα κατεύθυνσης , δυνάμει του (14) ισοδυναμεί
. Εκείνοι. ίση με την απόσταση από το σημείο
στο ίδιο αεροπλάνο.

Ορισμός.Θα καλέσουμε τον αριθμό ίσο με αυτές τις αποστάσεις, απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων.

Αν οι εξισώσεις δύο επιπέδων γράφονται ως: (17) , τότε η απόσταση μεταξύ τους είναι ίση με την απόσταση από το σημείο
ξαπλωμένος στο δεύτερο αεροπλάνο πριν από το πρώτο. Λόγω της αναλογίας (14) , αυτή η απόσταση είναι
, αλλά επειδή τελεία
βρίσκεται στο δεύτερο επίπεδο και μετά στο διάνυσμα ικανοποιεί την εξίσωση αυτού του επιπέδου, δηλαδή παίρνουμε:
(18) .

23. Αναγωγή της εξίσωσης καμπύλης δεύτερης τάξης σε κανονική μορφή με ταξινόμηση πιθανών τύπων τύπων στην περίπτωση δ≠0

Διορθώνουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και εξετάζουμε τη γενική εξίσωση του δεύτερου βαθμού. (1)

Def: Καλείται το σύνολο των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση 1 καμπύλη δεύτερης τάξης. ομάδα ανώτερων μελών (2) μπορεί να θεωρηθεί ως τετραγωνική μορφή στις συντεταγμένες (x, y) του διανύσματος x. Δεδομένου ότι ο πίνακας είναι Α-συμμετρικός, τότε  ορθοκανονική βάση
από ιδιοδιανύσματαα, στην οποία η μήτρα τετραγωνική μορφήδιαγώνιο και πραγματικό. Έστω ο πίνακας P= ο πίνακας μετάβασης από τη βάση e στη βάση . Τότε
. Τότε (5)
. Λαμβάνοντας υπόψη το 5, γράφουμε την τετραγωνική μορφή 2. (6) Και
(παράγεται εύκολα πολλαπλασιάζοντας το P T AP). Ως εκ τούτου, στη βάση η τετραγωνική μορφή μπορεί να γραφτεί ως
. Εφόσον P T P=I, ο πίνακας Р είναι ορθογώνιος και γεωμετρικά η μετάβαση από τη βάση στη βάση αντιστοιχεί σε μια περιστροφή κατά κάποιο y
γκολ αριστερόστροφα.
. Λόγω της εγκυρότητας του 5.6, ξαναγράφουμε την εξίσωση 1 σε νέες συντεταγμένες. (10)

Ας βάλουμε (11)
. Τότε λ 1 λ 2 =detD=det(P T AP)=detP T detA detP=detA.

Που σημαίνει

Ας χωρίσουμε τις περιπτώσεις:

1)

(13)
. Και:
,
,
.

ΚΑΙ)Ας υποθέσουμε ότι, δηλαδή, όλα τα λ του ίδιου πρόσημου, τότε ο τόπος των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την συνθήκη 13 είναι:

Έλειψη αν το πρόσημο του γ είναι αντίθετο με το πρόσημο του λ

«Φανταστική έλλειψη» αν σημάδι c=σημείο λ

σημείο αν c=0

ΣΤΟ)Αφήνω
, δηλαδή λ 1 και λ 2 διαφορετικών ζωδίων. Τότε θα είναι 13

ένα. εξίσωση υπερβολής:
, ifc≠0

σι. Και ζεύγη τεμνόμενων γραμμών αν c=0

Αναγωγή της εξίσωσης μιας καμπύλης δεύτερης τάξης σε κανονική μορφή με ταξινόμηση πιθανών τύπων στην περίπτωση δ =0

Αμετάβλητα καμπύλης δεύτερης τάξης. Ορισμός κανονική εξίσωσηκαμπύλη δεύτερης τάξης σε αμετάβλητα.

Def: αμετάβλητη καμπύληονομάζονται συναρτήσεις των συντελεστών της εξίσωσης της καμπύλης, οι οποίοι δεν αλλάζουν όταν περνούν από ένα ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες σε άλλο.

Θεώρημα.Για μια καμπύλη δεύτερης τάξης
,
,
είναι αμετάβλητα. Στην απόδειξη εξετάζονται 2 περιπτώσεις: 1) παράλληλη μετάφραση (αλλάζουν οι μεταβλητές, ανοίγουν οι αγκύλες, ομαδοποιούνται) 2) Περιστροφή με χρήση Р.

Ελλειπτική Καμπύλη		- Έλειψη
		- Έλειψη
Καμπύλη υπερβολικού τύπου		Υπερβολή
		Ένα ζευγάρι τεμνόμενων γραμμών
		Παραβολή
		Ζεύγος παράλληλων γραμμών

Αναγωγή της εξίσωσης επιφάνειας δεύτερης τάξης σε κανονική μορφή με ταξινόμηση τύπου στην περίπτωση που όλα λ Εγώ διαφέρουν από το μηδέν.

Στην περίπτωση που όλα τα λ i είναι μη μηδενικά. Η επιφάνεια, μετασχηματίζοντας την τετραγωνική μορφή χρησιμοποιώντας τον πίνακα μετάβασης P (όπως στις καμπύλες μόνο για έναν πίνακα 3x3) και στη συνέχεια μετασχηματίζοντας τις συντεταγμένες και φέρνοντάς τις στην κανονική μορφή, μετατρέπεται στην ακόλουθη μορφή: Τότε έχουμε τα εξής.

			Ελλειψοειδές
			Μονόφυλλο υπερβολοειδές
			Δίφυλλο υπερβολοειδές
			Φανταστικό ελλειψοειδές
	 λ του ίδιου σημείου		φανταστικός κώνος

Αναγωγή της εξίσωσης επιφάνειας δεύτερης τάξης σε κανονική μορφή με ταξινόμηση τύπου στην περίπτωση που ένα από τα λ Εγώ ­ ισούται με μηδέν.

Έστω, για βεβαιότητα, λ 3 =0. Τότε η εξίσωση επιφάνειας θα πάρει τη μορφή:
(4). Αν στις 4
, τότε η εξίσωση γίνεται η εξίσωση μιας κυλινδρικής επιφάνειας.
(5). Και πάλι, υποθέτουμε ότι c≤0, διαφορετικά πολλαπλασιάζουμε το 5 με -1.

			Ελλειπτικός κύλινδρος
			υπερβολικός κύλινδρος
			Φανταστικός ελλειπτικός κύλινδρος
	λi ενός σημείου		Δύο φανταστικά τεμνόμενα επίπεδα	Ευθεία x=0, y=0
	λi διαφορετικά σημάδια
	Αν το λ είναι του ίδιου σημείου		Ελλειπτικό παραβολοειδές
	Εάν διαφορετικά σημάδια		Υπερβολικό παραβολοειδές

Αναγωγή της εξίσωσης μιας επιφάνειας δεύτερης τάξης σε κανονική μορφή με ταξινόμηση τύπων στην περίπτωση που δύο από λ Εγώ είναι ίσα με μηδέν.

Αφήνω
, τότε η εξίσωση επιφάνειας θα έχει τη μορφή: (7) . Είναι ζευγάρι παράλληλα επίπεδα, διαφορετικό όταν λ 1 C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ 1 C>0.

Εάν είναι 2 ≠ 0 ή 3 ≠ 0, κάνουμε αντικατάσταση, υποθέτοντας:
,
. Αντικαθιστώντας σε 7 παίρνουμε:
, όπου
. Είναι καμπύλη δεύτερης τάξης στο επίπεδο ή παραβολικός κύλινδρος.

Θεώρημα 1: Ο χώρος R μπορεί να αποσυντεθεί σε ένα άμεσο άθροισμα αμετάβλητων υποχώρων N 0 (p) και M (p) . Στην περίπτωση αυτή, ο υποχώρος N 0 (p) αποτελείται μόνο από τα δικά τους και τα συνδεδεμένα διανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ=0, και στον υποχώρο M (p) ο μετασχηματισμός είναι αναστρέψιμος (δηλαδή, το λ=0 δεν είναι ιδιοτιμή του μετασχηματισμού Α στον υποχώρο Μ ( p).

Απόδειξη:Για να αποδειχθεί ο πρώτος ισχυρισμός, αρκεί να δείξουμε ότι η τομή των υποχώρων N 0 (p) και M 0 (p) είναι ίση με μηδέν. Υποθέστε το αντίθετο, δηλαδή έστω ότι υπάρχει ένα διάνυσμα y≠0 τέτοιο ώστε yM (p) και yN 0 (p) . Αφού yM (p) , τότε y=A p x.

Όμως από τις ισότητες (8) και (9) προκύπτει ότι υπάρχει ένα διάνυσμα x για το οποίο A p x≠0 και ταυτόχρονα A 2 p x = A p y = 0

Αυτό σημαίνει ότι το x είναι ένα συσχετισμένο διάνυσμα μετασχηματισμού Α με ιδιοτιμή λ=0, που δεν ανήκει στον υποχώρο N 0 (p) , κάτι που είναι αδύνατο, αφού το N 0 (p) αποτελείται από όλα αυτά τα διανύσματα.

Έτσι, αποδείξαμε ότι η τομή των N 0 (p) και M 0 (p) είναι ίση με μηδέν. Εφόσον το άθροισμα των διαστάσεων αυτών των υποχώρων είναι ίσο με n (αυτός είναι ο πυρήνας και η εικόνα του μετασχηματισμού A p), προκύπτει ότι ο χώρος R αποσυντίθεται σε ένα άμεσο άθροισμα αυτών των υποχώρων:

R=M(p) N 0 (p)

Ας αποδείξουμε τώρα τον δεύτερο ισχυρισμό του θεωρήματος, δηλ. ότι στον υποχώρο Μ (ρ) ο μετασχηματισμός Α δεν έχει μηδενική ιδιοτιμή. Πράγματι, αν δεν συνέβαινε αυτό, τότε στο M (p) θα υπήρχε ένα διάνυσμα x≠0 τέτοιο ώστε A p x=0

Όμως αυτή η ισότητα σημαίνει ότι xN 0 (p) , δηλ. είναι ένα κοινό διάνυσμα των M (p) και N 0 (p) , και έχουμε αποδείξει ότι μόνο το μηδέν μπορεί να είναι ένα τέτοιο διάνυσμα.

Θεώρημα 2:Έστω ένας μετασχηματισμός Α του χώρου R έχει k διαφορετικό ιδιοτιμέςλ 1 ,….,λ k . Τότε το R μπορεί να αποσυντεθεί σε ένα άμεσο άθροισμα k αναλλοίωτων υποχώρων N λ 1 (p 1) ,….,N λk (pk) :

R = N λ 1 (p 1) ….N λk (pk)

Καθένας από τους υποχώρους N λi (pi) αποτελείται μόνο από ιδιοδιανύσματα και συναφή διανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ i

Με άλλα λόγια, για κάθε i υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός p i που για όλα τα xN λ i (pi) .

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, δικαστική εντολή, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.