Μέγιστη ταχύτητα εκκρεμούς ελατηρίου. ΕΝΑ

Σώματα υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης, της οποίας η δυναμική ενέργεια είναι ανάλογη με το τετράγωνο της μετατόπισης του σώματος από τη θέση ισορροπίας:

όπου k είναι η ακαμψία του ελατηρίου.

Με ελεύθερες μηχανικές δονήσεις, η κινητική και η πιθανή ενέργεια αλλάζουν περιοδικά. Στη μέγιστη απόκλιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας, η ταχύτητά του, και επομένως η κινητική ενέργεια, εξαφανίζεται. Σε αυτή τη θέση, η δυναμική ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος φτάνει τη μέγιστη τιμή της. Για ένα φορτίο σε ένα οριζόντια τοποθετημένο ελατήριο, η δυναμική ενέργεια είναι η ενέργεια των ελαστικών παραμορφώσεων του ελατηρίου.

Όταν το σώμα στην κίνησή του διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, η ταχύτητά του είναι μέγιστη. Αυτή τη στιγμή, έχει τη μέγιστη κινητική και την ελάχιστη δυναμική ενέργεια. Αυξάνουν κινητική ενέργειασυμβαίνει λόγω μείωσης δυναμική ενέργεια. Με περαιτέρω κίνηση, η δυναμική ενέργεια αρχίζει να αυξάνεται λόγω της μείωσης της κινητικής ενέργειας κ.λπ.

Έτσι, κατά τις αρμονικές ταλαντώσεις, συμβαίνει περιοδικός μετασχηματισμός της κινητικής ενέργειας σε δυναμική ενέργεια και αντίστροφα.

Αν δεν υπάρχει τριβή στο ταλαντευόμενο σύστημα, τότε το σύνολο μηχανική ενέργειαπαραμένει αμετάβλητο κατά τις ελεύθερες δονήσεις.

Για φορτίο ελατηρίου:

Η έναρξη της ταλαντευτικής κίνησης του σώματος πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας το κουμπί Έναρξη. Το κουμπί Διακοπή σάς επιτρέπει να σταματήσετε τη διαδικασία ανά πάσα στιγμή.

Δείχνει γραφικά τη σχέση μεταξύ δυναμικών και κινητικών ενεργειών κατά τη διάρκεια ταλαντώσεων ανά πάσα στιγμή. Σημειώστε ότι ελλείψει εξασθένησης συνολική ενέργειατου ταλαντωτικού συστήματος παραμένει αμετάβλητο, η δυναμική ενέργεια φτάνει στο μέγιστο κατά τη μέγιστη απόκλιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας και η κινητική ενέργεια παίρνει μέγιστη αξίαόταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας.

(1.7.1)

Εάν η μπάλα μετατοπιστεί από τη θέση ισορροπίας κατά μια απόσταση x, τότε η επιμήκυνση του ελατηρίου θα γίνει ίση με Δl 0 + x. Τότε η δύναμη που προκύπτει θα πάρει την τιμή:

Λαμβάνοντας υπόψη τη συνθήκη ισορροπίας (1.7.1), λαμβάνουμε:

Το σύμβολο μείον δείχνει ότι η μετατόπιση και η δύναμη βρίσκονται σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Η ελαστική δύναμη f έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Είναι ανάλογο με τη μετατόπιση της μπάλας από τη θέση ισορροπίας.
2. Κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας.

Για να πείτε στο σύστημα τη μετατόπιση x, πρέπει να εκτελέσετε αντίστροφα ελαστική δύναμηδουλειά:

Αυτό εργασία σε εξέλιξηγια να δημιουργήσετε ένα απόθεμα δυναμικής ενέργειας του συστήματος:

Κάτω από τη δράση μιας ελαστικής δύναμης, η μπάλα θα κινηθεί προς τη θέση ισορροπίας με διαρκώς αυξανόμενη ταχύτητα. Επομένως, η δυναμική ενέργεια του συστήματος θα μειωθεί, αλλά η κινητική ενέργεια θα αυξηθεί (παραμελούμε τη μάζα του ελατηρίου). Έχοντας έρθει στη θέση ισορροπίας, η μπάλα θα συνεχίσει να κινείται με αδράνεια. Αυτή είναι μια αργή κίνηση και θα σταματήσει όταν η κινητική ενέργεια μετατραπεί πλήρως σε δυναμικό. Στη συνέχεια, η ίδια διαδικασία θα προχωρήσει όταν η μπάλα μπει μέσα αντίστροφη κατεύθυνση. Εάν δεν υπάρχει τριβή στο σύστημα, η μπάλα θα ταλαντώνεται επ' αόριστον.

Η εξίσωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα σε αυτή την περίπτωση είναι:

Ας μετατρέψουμε την εξίσωση ως εξής:

Εισάγοντας τη σημείωση , παίρνουμε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωσηδεύτερη παραγγελία:

Με άμεση αντικατάσταση, είναι εύκολο να επαληθευτεί αυτό κοινή απόφασηΗ εξίσωση (1.7.8) έχει τη μορφή:

όπου a είναι το πλάτος και φ η αρχική φάση της ταλάντωσης - σταθερές. Επομένως, η διακύμανση εκκρεμές ελατηρίουείναι αρμονική (Εικ. 1.7.2).

Ρύζι. 1.7.2. αρμονική ταλάντωση

Λόγω της περιοδικότητας του συνημιτόνου, διάφορες καταστάσεις του ταλαντωτικού συστήματος επαναλαμβάνονται μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα (περίοδος ταλάντωσης) Τ, κατά το οποίο η φάση της ταλάντωσης δέχεται προσαύξηση 2π. Μπορείτε να υπολογίσετε την περίοδο χρησιμοποιώντας την εξίσωση:

από όπου ακολουθεί:

Ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά μονάδα χρόνου ονομάζεται συχνότητα:

Μονάδα συχνότητας είναι η συχνότητα μιας τέτοιας ταλάντωσης, η περίοδος της οποίας είναι 1 s. Αυτή η μονάδα ονομάζεται 1 Hz.

Από την (1.7.11) προκύπτει ότι:

Επομένως, ω 0 είναι ο αριθμός των ταλαντώσεων που γίνονται σε 2π δευτερόλεπτα. Η τιμή ω 0 ονομάζεται κυκλική ή κυκλική συχνότητα. Χρησιμοποιώντας τα (1.7.12) και (1.7.13), γράφουμε:

Διαφοροποιώντας το () ως προς το χρόνο, λαμβάνουμε μια έκφραση για την ταχύτητα της μπάλας:

Από την (1.7.15) προκύπτει ότι η ταχύτητα αλλάζει επίσης σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο και είναι μπροστά από τη μετατόπιση φάσης κατά ½π. Διαφοροποιώντας (1.7.15), παίρνουμε την επιτάχυνση:

1.7.2. Μαθηματικό εκκρεμές

Μαθηματικό εκκρεμέςονομάζεται εξιδανικευμένο σύστημα που αποτελείται από ένα μη εκτατό αβαρές νήμαπάνω στο οποίο αιωρείται ένα σώμα, του οποίου ολόκληρη η μάζα είναι συγκεντρωμένη σε ένα σημείο.

Η απόκλιση του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας χαρακτηρίζεται από τη γωνία φ που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο (Εικ. 1.7.3).

Ρύζι. 1.7.3. Μαθηματικό εκκρεμές

Όταν το εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας, ροπή, που τείνει να επαναφέρει το εκκρεμές στη θέση ισορροπίας του:

Ας γράψουμε τη δυναμική εξίσωση για το εκκρεμές περιστροφική κίνηση, δεδομένου ότι η ροπή αδράνειας του είναι ίση με ml 2:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να μεταφερθεί στη μορφή:

Περιοριζόμαστε στην περίπτωση των μικρών διακυμάνσεων sinφ ≈ φ και εισάγουμε τον συμβολισμό:

Η εξίσωση (1.7.19) μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

που συμπίπτει σε μορφή με την εξίσωση των ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς ελατηρίου. Επομένως, η λύση του θα είναι μια αρμονική ταλάντωση:

Από την (1.7.20) προκύπτει ότι η συχνότητα κυκλικής ταλάντωσης μαθηματικό εκκρεμέςεξαρτάται από το μήκος και την επιτάχυνσή του ελεύθερη πτώση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την περίοδο ταλάντωσης () και (1.7.20), παίρνουμε τη γνωστή σχέση:

1.7.3. φυσικό εκκρεμές

Το φυσικό εκκρεμές ονομάζεται στερεόςικανό να ταλαντώνεται γύρω σταθερό σημείο, που δεν συμπίπτει με το κέντρο αδράνειας. Στη θέση ισορροπίας, το κέντρο αδράνειας του εκκρεμούς C βρίσκεται κάτω από το σημείο ανάρτησης O στην ίδια κατακόρυφο (Εικ. 1.7.4).

Ρύζι. 1.7.4. φυσικό εκκρεμές

Όταν το εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας κατά μια γωνία φ, προκύπτει μια ροπή που τείνει να επαναφέρει το εκκρεμές στη θέση ισορροπίας:

όπου m είναι η μάζα του εκκρεμούς, l είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου ανάρτησης και του κέντρου αδράνειας του εκκρεμούς.

Ας γράψουμε την εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης για το εκκρεμές, λαμβάνοντας υπόψη ότι η ροπή αδράνειας είναι ίση με I:

Για μικρές διακυμάνσεις sinφ ≈ φ. Στη συνέχεια, εισάγοντας τη σημειογραφία:

που συμπίπτει και ως προς τη μορφή με την εξίσωση των ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς ελατηρίου. Από τις εξισώσεις (1.7.27) και (1.7.26) προκύπτει ότι για μικρές αποκλίσεις φυσικό εκκρεμέςαπό τη θέση ισορροπίας, εκτελεί μια αρμονική ταλάντωση, η συχνότητα της οποίας εξαρτάται από τη μάζα του εκκρεμούς, τη ροπή αδράνειας και την απόσταση μεταξύ του άξονα περιστροφής και του κέντρου αδράνειας. Χρησιμοποιώντας το (1.7.26), μπορείτε να υπολογίσετε την περίοδο ταλάντωσης:

Συγκρίνοντας τους τύπους (1.7.28) και () παίρνουμε ότι ένα μαθηματικό εκκρεμές με μήκος:

θα έχει την ίδια περίοδο ταλάντωσης με το θεωρούμενο φυσικό εκκρεμές. Η ποσότητα (1.7.29) ονομάζεται μειωμένο μήκοςφυσικό εκκρεμές. Επομένως, το μειωμένο μήκος ενός φυσικού εκκρεμούς είναι το μήκος ενός τέτοιου μαθηματικού εκκρεμούς, του οποίου η περίοδος ταλάντωσης είναι ίση με την περίοδο ταλάντωσης ενός δεδομένου φυσικού εκκρεμούς.

Ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή που συνδέει το σημείο ανάρτησης με το κέντρο αδράνειας, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση του μειωμένου μήκους από τον άξονα περιστροφής, ονομάζεται κέντρο ταλάντευσηςφυσικό εκκρεμές. Σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner, η ροπή αδράνειας ενός φυσικού εκκρεμούς είναι:

όπου I 0 είναι η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο αδράνειας. Αντικαθιστώντας το (1.7.30) με το (1.7.29), παίρνουμε:

Επομένως, το μειωμένο μήκος είναι πάντα μεγαλύτερο από την απόσταση μεταξύ του σημείου ανάρτησης και του κέντρου αδράνειας του εκκρεμούς, έτσι ώστε το σημείο ανάρτησης και το κέντρο αιώρησης να βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπό το κέντρο της αδράνειας.

1.7.4. Ενέργεια αρμονικών δονήσεων

Κατά την αρμονική ταλάντωση, υπάρχει περιοδικός αμοιβαίος μετασχηματισμός της κινητικής ενέργειας του ταλαντούμενου σώματος E k και της δυναμικής ενέργειας E p, λόγω της δράσης μιας οιονεί ελαστικής δύναμης. Από αυτές τις ενέργειες προστίθεται η συνολική ενέργεια Ε του ταλαντευτικού συστήματος:

Ας γράψουμε την τελευταία έκφραση

Αλλά k \u003d mω 2, οπότε παίρνουμε την έκφραση για τη συνολική ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος

Έτσι, η συνολική ενέργεια μιας αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους και του τετραγώνου της κυκλικής συχνότητας της ταλάντωσης.

1.7.5. απόσβεση κραδασμών .

Κατά τη μελέτη αρμονικές δονήσειςδυνάμεις τριβής και αντίστασης που υπάρχουν σε πραγματικά συστήματα. Η δράση αυτών των δυνάμεων αλλάζει σημαντικά τη φύση της κίνησης, η ταλάντωση γίνεται ξεθώριασμα.

Εάν, εκτός από την οιονεί ελαστική δύναμη, στο σύστημα δρουν οι δυνάμεις αντίστασης του μέσου (δυνάμεις τριβής), τότε ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μπορεί να γραφτεί ως εξής:

όπου r είναι ο συντελεστής τριβής, ο οποίος χαρακτηρίζει τις ιδιότητες του μέσου να ανθίσταται στην κίνηση. Αντικαθιστούμε το (1.7.34b) με το (1.7.34a):

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης φαίνεται στο Σχ. 1.7.5 ως συμπαγής καμπύλη 1 και μια διακεκομμένη γραμμή 2 δείχνει την αλλαγή στο πλάτος:

Σε πολύ χαμηλή τριβή, η περίοδος της απόσβεσης ταλάντωσης είναι κοντά στην περίοδο της μη απόσβεσης ελεύθερη ταλάντωση(1.7.35.b)

Ο ρυθμός μείωσης του πλάτους ταλάντωσης καθορίζεται από συντελεστής απόσβεσης: όσο μεγαλύτερο το β, τόσο ισχυρότερο είναι το επιβραδυντικό αποτέλεσμα του μέσου και τόσο πιο γρήγορα μειώνεται το πλάτος. Στην πράξη, συχνά χαρακτηρίζεται ο βαθμός εξασθένησης λογαριθμική μείωση απόσβεσης, που σημαίνει με αυτό μια τιμή ίση με φυσικός λογάριθμοςο λόγος δύο διαδοχικών πλάτη ταλάντωσης που χωρίζονται από ένα χρονικό διάστημα ίσο με την περίοδο ταλάντωσης:

;

Επομένως, ο συντελεστής απόσβεσης και λογαριθμική μείωσηΟι εξασθενήσεις συνδέονται με μια μάλλον απλή εξάρτηση:

Με ισχυρή απόσβεση, μπορεί να φανεί από τον τύπο (1.7.37) ότι η περίοδος ταλάντωσης είναι ένα φανταστικό μέγεθος. Το κίνημα σε αυτή την περίπτωση καλείται ήδη απεριοδικός. Το γράφημα απεριοδικής κίνησης φαίνεται στο Σχ. 1.7.6. Συνεχής και απόσβεση ταλαντώσεωνπου ονομάζεται το δικό ή Ελεύθερος. Προκύπτουν λόγω της αρχικής μετατόπισης ή αρχική ταχύτητακαι εκτελούνται ερήμην εξωτερική επιρροήαπό την αρχικά αποθηκευμένη ενέργεια.

1.7.6. Αναγκαστικοί κραδασμοί. Απήχηση .

αναγκασμένος ταλαντώσεις είναι αυτές που συμβαίνουν στο σύστημα με τη συμμετοχή εξωτερική δύναμη, το οποίο ποικίλλει σύμφωνα με τον περιοδικό νόμο.

Ας υποθέσουμε ότι σε υλικό σημείοεκτός από την οιονεί ελαστική δύναμη και τη δύναμη τριβής, δρα και μια εξωτερική κινητήρια δύναμη

,

όπου F 0 - πλάτος. ω - κυκλική συχνότητα ταλαντώσεων της κινητήριας δύναμης. Συνθέτουμε μια διαφορική εξίσωση (δεύτερος νόμος του Νεύτωνα):

,

Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης (1.7.39) είναι ευθέως ανάλογο με το πλάτος της κινητήριας δύναμης και έχει σύνθετος εθισμόςστον συντελεστή εξασθένησης του μέσου και στις κυκλικές συχνότητες των φυσικών και εξαναγκασμένων ταλαντώσεων. Αν για το σύστημα δίνονται ω 0 και β, τότε το πλάτος εξαναγκασμένες δονήσειςέχει μέγιστη τιμή σε κάποια ορισμένη συχνότητακαλείται καταναγκαστική δύναμη ηχηρός.

Το ίδιο το φαινόμενο - φτάνοντας το μέγιστο πλάτος για δεδομένο ω 0 και β - ονομάζεται απήχηση.

Ρύζι. 1.7.7. Απήχηση

Ελλείψει αντίστασης, το πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων στον συντονισμό είναι απείρως μεγάλο. Στην περίπτωση αυτή, από ω res = ω 0, δηλ. Ο συντονισμός σε ένα σύστημα χωρίς απόσβεση εμφανίζεται όταν η συχνότητα της κινητήριας δύναμης συμπίπτει με τη συχνότητα των φυσικών ταλαντώσεων. Γραφική εξάρτηση του πλάτους των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων από την κυκλική συχνότητα της κινητήριας δύναμης στο διαφορετικές έννοιεςΟ συντελεστής εξασθένησης φαίνεται στο σχ. πέντε.

Ο μηχανικός συντονισμός μπορεί να είναι τόσο ευεργετικός όσο και επιζήμιος. Η επιβλαβής επίδραση του συντονισμού οφείλεται κυρίως στην καταστροφή που μπορεί να προκαλέσει. Έτσι, στην τεχνολογία, λαμβάνοντας υπόψη διαφορετικούς κραδασμούς, είναι απαραίτητο να παρέχουμε πιθανά περιστατικάσυνθήκες συντονισμού, διαφορετικά μπορεί να υπάρξει καταστροφή και καταστροφή. Τα σώματα έχουν συνήθως πολλές φυσικές συχνότητες δόνησης και, κατά συνέπεια, αρκετές συχνότητες συντονισμού.

Εάν ο συντελεστής εξασθένησης των εσωτερικών οργάνων ενός ατόμου δεν θα ήταν μεγάλος, τότε τα ηχητικά φαινόμενα που προέκυψαν σε αυτά τα όργανα υπό την επίδραση εξωτερικών δονήσεων ή ηχητικά κύματα, θα μπορούσε να οδηγήσει σε τραγικές συνέπειες: ρήξη οργάνων, βλάβη στους συνδέσμους κ.λπ. Ωστόσο, τέτοια φαινόμενα πρακτικά δεν παρατηρούνται υπό μέτριες εξωτερικές επιρροές, καθώς ο συντελεστής εξασθένησης των βιολογικών συστημάτων είναι αρκετά μεγάλος. Παρόλα αυτά, ηχηρά φαινόμενα υπό τη δράση των εξωτερικών μηχανικές δονήσειςπραγματοποιούνται κατά τη διάρκεια εσωτερικά όργανα. Αυτό, προφανώς, είναι ένας από τους λόγους για τον αρνητικό αντίκτυπο των υπερηχητικών ταλαντώσεων και δονήσεων στο ανθρώπινο σώμα.

1.7.7. Αυτοταλαντώσεις

Υπάρχουν επίσης τέτοια ταλαντευτικά συστήματα που ρυθμίζουν από μόνα τους την περιοδική αναπλήρωση της σπατάλης ενέργειας και επομένως μπορούν να παρουσιάζουν διακυμάνσεις για μεγάλο χρονικό διάστημα.

Οι μη απόσβεση ταλαντώσεις που υπάρχουν σε οποιοδήποτε σύστημα απουσία μεταβλητής εξωτερικής επιρροής ονομάζονται αυτοταλαντώσειςκαι τα ίδια τα συστήματα αυτοταλαντούμενο.

Το πλάτος και η συχνότητα των αυτοταλαντώσεων εξαρτώνται από τις ιδιότητες στο ίδιο το αυτοταλαντούμενο σύστημα· σε αντίθεση με τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, δεν καθορίζονται από εξωτερικές επιρροές.

Σε πολλές περιπτώσεις, τα αυτοταλαντούμενα συστήματα μπορούν να αναπαρασταθούν από τρία κύρια στοιχεία (Εικ. 1.7.8): 1) το πραγματικό ταλαντούμενο σύστημα. 2) πηγή ενέργειας? 3) ένας ρυθμιστής της παροχής ενέργειας στο πραγματικό σύστημα ταλάντωσης. Ταλαντούμενο σύστημα ανά κανάλι ανατροφοδότηση(Εικ. 6) επηρεάζει τον ρυθμιστή, ενημερώνοντας τον ρυθμιστή για την κατάσταση αυτού του συστήματος.

Ένα κλασικό παράδειγμα ενός μηχανικού αυτοταλαντούμενου συστήματος είναι ένα ρολόι στο οποίο ένα εκκρεμές ή μια ζυγαριά είναι ένα σύστημα ταλάντωσης, ένα ελατήριο ή ένα ανυψωμένο βάρος είναι μια πηγή ενέργειας και μια άγκυρα είναι ένας ρυθμιστής της ενέργειας που εισέρχεται από μια πηγή σε ταλαντωτικό σύστημα.

Πολλά βιολογικά συστήματα(καρδιά, πνεύμονες κ.λπ.) αυτοταλαντώνονται. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ηλεκτρομαγνητικού αυτοταλαντούμενου συστήματος είναι οι γεννήτριες αυτοταλαντούμενων ταλαντώσεων.

1.7.8. Προσθήκη κραδασμών προς μία κατεύθυνση

Εξετάστε την προσθήκη δύο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας κατεύθυνσης και ίδιας συχνότητας:

x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 \u003d a 2 cos (ω 0 t + α 2).

Μια αρμονική ταλάντωση μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας ένα διάνυσμα, το μήκος του οποίου είναι ίσο με το πλάτος των ταλαντώσεων και η κατεύθυνση σχηματίζει μια γωνία με κάποιον άξονα ίσο με την αρχική φάση των ταλαντώσεων. Αν αυτό το διάνυσμα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτηταω 0 , τότε η προβολή του στον επιλεγμένο άξονα θα αλλάξει σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο. Με βάση αυτό, επιλέγουμε κάποιον άξονα Χ και αναπαριστάνουμε τις ταλαντώσεις χρησιμοποιώντας τα διανύσματα a 1 και a 2 (Εικ. 1.7.9).

Από το σχήμα 1.7.6 προκύπτει ότι

.

Τα σχήματα στα οποία οι ταλαντώσεις απεικονίζονται γραφικά ως διανύσματα σε ένα επίπεδο ονομάζονται διανυσματικά διαγράμματα.

Προκύπτει από τον τύπο 1.7.40. Ότι αν η διαφορά φάσης και των δύο ταλαντώσεων είναι ίση με μηδέν, το πλάτος της ταλάντωσης που προκύπτει είναι ίσο με το άθροισμα των πλατών των προστιθέμενων ταλαντώσεων. Αν η διαφορά φάσης των προστιθέμενων ταλαντώσεων είναι ίση με , τότε το πλάτος της προκύπτουσας ταλάντωσης είναι ίσο με . Εάν οι συχνότητες των προστιθέμενων ταλαντώσεων δεν είναι ίδιες, τότε τα διανύσματα που αντιστοιχούν σε αυτές τις ταλαντώσεις θα περιστρέφονται με διαφορετικές ταχύτητες. Σε αυτή την περίπτωση, το διάνυσμα που προκύπτει πάλλεται σε μέγεθος και περιστρέφεται με μη σταθερό ρυθμό. Κατά συνέπεια, ως αποτέλεσμα της πρόσθεσης, δεν προκύπτει αρμονική ταλάντωση, αλλά μια πολύπλοκη ταλαντωτική διαδικασία.

1.7.9. κτυπά

Θεωρήστε την προσθήκη δύο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας κατεύθυνσης, ελαφρώς διαφορετικών σε συχνότητα. Έστω η συχνότητα ενός από αυτά ίση με ω , και η συχνότητα του δεύτερου ω + Δω, και Δω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \u003d a cos ωt, x 2 \u003d a cos (ω + ∆ω) t.

Προσθέτοντας αυτές τις εκφράσεις και χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των συνημίτονων, έχουμε:

Οι ταλαντώσεις (1.7.41) μπορούν να θεωρηθούν ως αρμονική ταλάντωση με συχνότητα ω, το πλάτος της οποίας ποικίλλει σύμφωνα με το νόμο. Αυτή η συνάρτηση είναι περιοδική με συχνότητα διπλάσια από τη συχνότητα της έκφρασης κάτω από το σύμβολο της ενότητας, δηλ. με συχνότητα Δω. Έτσι, η συχνότητα των παλμών πλάτους, που ονομάζεται συχνότητα παλμού, είναι ίση με τη διαφορά στις συχνότητες των προστιθέμενων ταλαντώσεων.

1.7.10. Προσθήκη αμοιβαίων κάθετων δονήσεων (σχήματα Lissajous)

Εάν ένα υλικό σημείο ταλαντώνεται τόσο κατά μήκος του άξονα x όσο και κατά μήκος του άξονα y, τότε θα κινηθεί κατά μήκος κάποιας καμπυλόγραμμης τροχιάς. Έστω η συχνότητα ταλάντωσης η ίδια και η αρχική φάση της πρώτης ταλάντωσης ίση με μηδέν, τότε γράφουμε τις εξισώσεις ταλάντωσης με τη μορφή:

Η εξίσωση (1.7.43) είναι η εξίσωση μιας έλλειψης, οι άξονες της οποίας είναι αυθαίρετα προσανατολισμένοι σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων x και y. Ο προσανατολισμός της έλλειψης και το μέγεθος των ημιαξόνων της εξαρτώνται από τα πλάτη a και b και τη διαφορά φάσης α. Ας δούμε μερικές ειδικές περιπτώσεις:

(m=0, ±1, ±2, …). Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση έχει τη μορφή

Αυτή είναι η εξίσωση μιας έλλειψης, οι άξονες της οποίας συμπίπτουν με τους άξονες συντεταγμένων και οι ημιάξονες της είναι ίσοι με τα πλάτη (Εικ. 1.7.12). Αν τα πλάτη είναι ίσα, τότε η έλλειψη γίνεται κύκλος.

Εικ.1.7.12

Εάν οι συχνότητες των αμοιβαία κάθετων ταλαντώσεων διαφέρουν κατά ένα μικρό ποσό Δω, μπορούν να θεωρηθούν ως ταλαντώσεις της ίδιας συχνότητας, αλλά με αργά μεταβαλλόμενη διαφορά φάσης. Σε αυτή την περίπτωση, οι εξισώσεις ταλάντωσης μπορούν να γραφτούν

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

και η έκφραση ∆ωt+α θεωρείται ως διαφορά φάσης που αργά αλλάζει με το χρόνο σύμφωνα με γραμμικό νόμο. Η προκύπτουσα κίνηση σε αυτή την περίπτωση ακολουθεί μια αργά μεταβαλλόμενη καμπύλη, η οποία θα πάρει διαδοχικά τη μορφή που αντιστοιχεί σε όλες τις τιμές της διαφοράς φάσης από -π έως +π.

Εάν οι συχνότητες των αμοιβαία κάθετων ταλαντώσεων δεν είναι ίδιες, τότε η τροχιά της προκύπτουσας κίνησης έχει τη μορφή μάλλον πολύπλοκων καμπυλών που ονομάζονται Φιγούρες Lissajous. Έστω, για παράδειγμα, οι συχνότητες των προστιθέμενων ταλαντώσεων συσχετίζονται ως 1 : 2 και διαφορά φάσης π/2. Τότε οι εξισώσεις ταλάντωσης έχουν τη μορφή

x=a cos ωt, y=b cos.

Ενώ κατά μήκος του άξονα x το σημείο καταφέρνει να μετακινηθεί από τη μια ακραία θέση στην άλλη, κατά μήκος του άξονα y, αφήνοντας τη θέση μηδέν, καταφέρνει να φτάσει σε μια ακραία θέση, μετά σε μια άλλη και να επιστρέψει. Η όψη καμπύλης φαίνεται στο σχ. 1.7.13. Η καμπύλη με τον ίδιο λόγο συχνότητας, αλλά η διαφορά φάσης ίση με μηδέν φαίνεται στο Σχ. 1.7.14. Ο λόγος των συχνοτήτων των προστιθέμενων ταλαντώσεων είναι αντίστροφος προς τον λόγο του αριθμού των σημείων τομής των σχημάτων Lissajous με ευθείες παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων. Επομένως, με την εμφάνιση των σχημάτων Lissajous, μπορεί κανείς να προσδιορίσει την αναλογία των συχνοτήτων των προστιθέμενων ταλαντώσεων ή μια άγνωστη συχνότητα. Εάν μία από τις συχνότητες είναι γνωστή.

Εικ.1.7.13

Εικ.1.7.14

Όσο πιο κοντά στην ενότητα είναι το ορθολογικό κλάσμα που εκφράζει την αναλογία των συχνοτήτων δόνησης, τόσο πιο περίπλοκα είναι τα σχήματα Lissajous που προκύπτουν.

1.7.11. Διάδοση κυμάτων σε ελαστικό μέσο

Εάν σε οποιοδήποτε μέρος ενός ελαστικού (στερεού υγρού ή αέριου) μέσου διεγείρονται δονήσεις των σωματιδίων του, τότε λόγω της αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων, αυτή η δόνηση θα διαδοθεί στο μέσο από σωματίδιο σε σωματίδιο με μια ορισμένη ταχύτητα υ. η διαδικασία διάδοσης των δονήσεων στο χώρο ονομάζεται κύμα.

Τα σωματίδια του μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα δεν εμπλέκονται από το κύμα σε μεταφορική κίνηση, ταλαντώνονται μόνο γύρω από τις θέσεις ισορροπίας τους.

Ανάλογα με τις κατευθύνσεις των ταλαντώσεων των σωματιδίων σε σχέση με την κατεύθυνση στην οποία διαδίδεται το κύμα, υπάρχουν διαμήκης και εγκάρσιοςκυματιστά. Σε ένα διαμήκη κύμα, τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται κατά τη διάδοση του κύματος. Σε ένα εγκάρσιο κύμα, τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται σε κατευθύνσεις κάθετες προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Ελαστικά εγκάρσια κύματα μπορούν να προκύψουν μόνο σε μέσο με αντίσταση διάτμησης. Επομένως, σε υγρά και αέρια μέσα, μπορούν να εμφανιστούν μόνο διαμήκη κύματα. Σε ένα στερεό μέσο, ​​είναι δυνατή η εμφάνιση τόσο διαμήκων όσο και εγκάρσιων κυμάτων.

Στο σχ. Το 1.7.12 δείχνει την κίνηση των σωματιδίων κατά τη διάδοση σε ένα μέσο εγκάρσιου κύματος. Οι αριθμοί 1, 2 κ.λπ. δηλώνουν σωματίδια που υστερούν το ένα πίσω από το άλλο κατά απόσταση ίση με (¼ υT), δηλ. από την απόσταση που διανύει το κύμα στο ένα τέταρτο της περιόδου των ταλαντώσεων που κάνουν τα σωματίδια. Τη στιγμή που λαμβάνεται ως μηδέν, το κύμα, που διαδίδεται κατά μήκος του άξονα από αριστερά προς τα δεξιά, έφτασε στο σωματίδιο 1, με αποτέλεσμα το σωματίδιο να αρχίσει να κινείται προς τα πάνω από τη θέση ισορροπίας, παρασύροντας τα επόμενα σωματίδια μαζί του. Μετά από ένα τέταρτο της περιόδου, το σωματίδιο 1 φτάνει στην ανώτατη θέση ισορροπίας του σωματιδίου 2. Μετά από ένα άλλο τέταρτο της περιόδου, το πρώτο μέρος θα περάσει τη θέση ισορροπίας, κινούμενο προς την κατεύθυνση από πάνω προς τα κάτω, το δεύτερο σωματίδιο θα φτάσει στο ανώτερο θέση, και το τρίτο σωματίδιο θα αρχίσει να κινείται προς τα πάνω από τη θέση ισορροπίας. Τη χρονική στιγμή ίση με Τ, το πρώτο σωματίδιο θα ολοκληρώσει τον πλήρη κύκλο ταλάντωσης και θα βρίσκεται στην ίδια κατάσταση κίνησης με την αρχική στιγμή. Το κύμα τη στιγμή που το T, έχοντας περάσει τη διαδρομή (υT), θα φτάσει στο σωματίδιο 5.

Στο Σχ. Το 1.7.13 δείχνει την κίνηση των σωματιδίων κατά τη διάδοση σε ένα μέσο διαμήκους κύματος. Όλες οι εκτιμήσεις σχετικά με τη συμπεριφορά των σωματιδίων σε ένα εγκάρσιο κύμα μπορούν επίσης να εφαρμοστούν σε αυτήν την περίπτωση με τις μετατοπίσεις προς τα πάνω και προς τα κάτω να αντικαθίστανται από μετατοπίσεις προς τα δεξιά και προς τα αριστερά.

Από το σχήμα φαίνεται ότι κατά τη διάδοση ενός διαμήκους κύματος στο μέσο δημιουργούνται εναλλασσόμενες συμπυκνώσεις και αραίωση σωματιδίων (τα σημεία συμπύκνωσης κυκλώνονται στο σχήμα με μια διακεκομμένη γραμμή), κινούμενα προς την κατεύθυνση της διάδοσης του κύματος με ταχύτητα υ.

Ρύζι. 1.7.15

Ρύζι. 1.7.16

Στο σχ. Τα 1.7.15 και 1.7.16 δείχνουν ταλαντώσεις σωματιδίων των οποίων οι θέσεις και οι ισορροπίες βρίσκονται στον άξονα Χ.Στην πραγματικότητα, όχι μόνο τα σωματίδια ταλαντώνονται κατά μήκος του άξονα Χ,αλλά μια συλλογή σωματιδίων που περικλείονται σε έναν ορισμένο όγκο. Εξαπλωμένη από τις πηγές των ταλαντώσεων, η κυματική διαδικασία καλύπτει όλο και περισσότερα μέρη του χώρου, ο τόπος των σημείων, στον οποίο φτάνουν οι ταλαντώσεις τη στιγμή t, ονομάζεται μέτωπο κύματος(ή μέτωπο κυμάτων). Το μέτωπο κύματος είναι η επιφάνεια που χωρίζει το τμήμα του χώρου που ήδη εμπλέκεται στην κυματική διαδικασία από την περιοχή στην οποία δεν έχουν ακόμη προκύψει ταλαντώσεις.

Ο τόπος των σημείων που ταλαντώνονται στην ίδια φάση ονομάζεται επιφάνεια κύματος . Η επιφάνεια του κύματος μπορεί να τραβηχτεί μέσω οποιουδήποτε σημείου του χώρου που καλύπτεται από τη διαδικασία του κύματος. Κατά συνέπεια, υπάρχει άπειρος αριθμός επιφανειών κύματος, ενώ υπάρχει μόνο ένα μέτωπο κύματος ανά πάσα στιγμή. Οι επιφάνειες των κυμάτων παραμένουν ακίνητες (διέρχονται από τις θέσεις ισορροπίας των σωματιδίων που ταλαντώνονται στην ίδια φάση ). Το μέτωπο του κύματος κινείται συνεχώς.

Οι επιφάνειες κυμάτων μπορεί να έχουν οποιοδήποτε σχήμα. Στις απλούστερες περιπτώσεις έχουν σχήμα επιπέδου ή σφαίρας. Αντίστοιχα, το κύμα σε αυτές τις περιπτώσεις ονομάζεται επίπεδο ή σφαιρικό. Σε ένα επίπεδο κύμα, οι επιφάνειες κυμάτων είναι ένα σύνολο επιπέδων παράλληλων μεταξύ τους, σε ένα σφαιρικό κύμα - ένα σύνολο ομόκεντρων σφαιρών.

Ρύζι. 1.7.17

Αφήστε ένα επίπεδο κύμα να διαδοθεί κατά μήκος του άξονα Χ. Τότε όλα τα σημεία της σφαίρας, οι θέσεις, οι ισορροπίες των οποίων έχουν την ίδια συντεταγμένη Χ(αλλά η διαφορά στις τιμές συντεταγμένων yκαι z),ταλαντώνονται στην ίδια φάση.

Στο Σχ. Το 1.7.17 δείχνει μια καμπύλη που δίνει μια μετατόπιση ξ από τη θέση ισορροπίας σημείων με διαφορετικά Χκάποια στιγμή. Αυτό το σχέδιο δεν πρέπει να λαμβάνεται ως ορατή εικόνα ενός κύματος. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα συναρτήσεων ξ (x, t)για κάποια σταθερά σημείο στο χρόνο t.Ένα τέτοιο γράφημα μπορεί να κατασκευαστεί τόσο για διαμήκη όσο και για εγκάρσια κύματα.

Η απόσταση λ, για ένα μικρό κύμα που διαδίδεται σε χρόνο ίσο με την περίοδο ταλάντωσης των σωματιδίων του μέσου, ονομάζεται μήκος κύματος. Είναι προφανές ότι

όπου υ είναι η ταχύτητα του κύματος, T η περίοδος ταλάντωσης. Το μήκος κύματος μπορεί επίσης να οριστεί ως η απόσταση μεταξύ των πλησιέστερων σημείων του μέσου, που ταλαντώνονται με διαφορά φάσης ίση με 2π (βλ. Εικ. 1.7.14).

Αντικαθιστώντας στη σχέση (1.7.45) T έως 1/ν (ν είναι η συχνότητα ταλάντωσης), παίρνουμε

Αυτός ο τύπος μπορεί επίσης να επιτευχθεί από τις ακόλουθες σκέψεις. Σε ένα δευτερόλεπτο, η πηγή κύματος εκτελεί ν ταλαντώσεις, δημιουργώντας στο μέσο κατά τη διάρκεια κάθε ταλάντωσης μια «κορυφή» και μια «γούρνα» του κύματος. Όταν η πηγή ολοκληρώσει τη ν -η ταλάντωση, η πρώτη «ράχη» θα έχει χρόνο να διανύσει το μονοπάτι υ. Κατά συνέπεια, ν «κορυφές» και «γούρνες» του κύματος πρέπει να χωρούν στο μήκος υ.

1.7.12. Εξίσωση επίπεδων κυμάτων

Η κυματική εξίσωση είναι μια έκφραση που δίνει τη μετατόπιση ενός ταλαντούμενου σωματιδίου σε συνάρτηση με τις συντεταγμένες του x, y, z και του χρόνου t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(εννοεί τις συντεταγμένες της θέσης ισορροπίας του σωματιδίου). Αυτή η συνάρτηση πρέπει να είναι περιοδική ως προς το χρόνο t , και σε σχέση με τις συντεταγμένες x, y, z. . Η περιοδικότητα στο χρόνο προκύπτει από το γεγονός ότι τα σημεία χωρίζονται μεταξύ τους σε απόσταση λ , κυμαίνονται με τον ίδιο τρόπο.

Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ξ στην περίπτωση ενός επίπεδου κύματος, υποθέτοντας ότι οι ταλαντώσεις είναι αρμονικές. Για απλοποίηση, κατευθύνουμε τους άξονες συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας Χ συμπίπτει με την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τότε οι επιφάνειες των κυμάτων θα είναι κάθετες στον άξονα Χ και εφόσον όλα τα σημεία της επιφάνειας του κύματος ταλαντώνονται εξίσου, η μετατόπιση ξ θα εξαρτηθεί μόνο από Χ και t:

ξ = ξ (x, t) .

Εικ.1.7.18

Έστω ταλαντώσεις σημείων που βρίσκονται στο επίπεδο Χ = 0 (Εικ. 1.7.18), έχουν τη μορφή

Ας βρούμε τον τύπο ταλάντωσης των σημείων στο επίπεδο που αντιστοιχεί σε μια αυθαίρετη τιμή Χ . Να πάω μακριά από το αεροπλάνο Χ=0 σε αυτό το επίπεδο, το κύμα θέλει χρόνο ( υ είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος). Κατά συνέπεια, ταλαντώσεις σωματιδίων που βρίσκονται στο επίπεδο Χ , θα μείνει πίσω στο χρόνο τ από δονήσεις σωματιδίων στο επίπεδο Χ = 0 , δηλ. θα μοιάζει

Ετσι, εξίσωση επίπεδου κύματος(διαμήκης και εγκάρσια), που διαδίδεται προς την κατεύθυνση του άξονα Χ , ως εξής:

Αυτή η έκφραση ορίζει τη σχέση μεταξύ του χρόνου t και εκείνο το μέρος Χ , στην οποία η φάση έχει σταθερή τιμή. Η προκύπτουσα τιμή dx/dt δίνει την ταχύτητα με την οποία κινείται η δεδομένη τιμή φάσης. Διαφοροποιώντας την έκφραση (1.7.48), λαμβάνουμε

Η εξίσωση ενός κύματος που διαδίδεται με κατεύθυνση φθίνουσας Χ :

Κατά την εξαγωγή του τύπου (1.7.53), υποθέσαμε ότι το πλάτος ταλάντωσης δεν εξαρτάται από Χ . Για ένα επίπεδο κύμα, αυτό παρατηρείται όταν η ενέργεια του κύματος δεν απορροφάται από το μέσο. Κατά τη διάδοση σε ένα μέσο απορρόφησης ενέργειας, η ένταση του κύματος μειώνεται σταδιακά με την απόσταση από την πηγή των ταλαντώσεων - παρατηρείται εξασθένηση του κύματος. Η εμπειρία δείχνει ότι σε ένα ομοιογενές μέσο μια τέτοια απόσβεση συμβαίνει σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο:

Αντίστοιχα εξίσωση επίπεδου κύματος, λαμβάνοντας υπόψη την απόσβεση, έχει την ακόλουθη μορφή:

(1.7.54)

(a 0 είναι το πλάτος στα σημεία του επιπέδου x = 0).

Όταν πραγματοποιούνται ταλαντώσεις στο σχολείο, απεικονίζονται με δύο από τα πιο απλά παραδείγματα: ένα βάρος σε ένα ελατήριο και ένα μαθηματικό εκκρεμές (δηλαδή, ένα σημειακό βάρος σε ένα μη εκτατό νήμα) στο πεδίο της βαρύτητας. Και στις δύο περιπτώσεις, παρατηρείται μια σημαντική κανονικότητα στις ταλαντώσεις: η περίοδός τους δεν εξαρτάται από το πλάτος -τουλάχιστον όσο αυτό το πλάτος παραμένει μικρό- αλλά καθορίζεται μόνο από τις μηχανικές ιδιότητες του συστήματος.

Τώρα ας συνδυάσουμε αυτά τα δύο παραδείγματα και ας εξετάσουμε τις δονήσεις ενός βάρους που αιωρείται σε ένα εφελκυστικό ελατήριο σε ένα βαρυτικό πεδίο (Εικ. 1).

Για λόγους απλότητας, παραμελούμε την τρίτη διάσταση και υποθέτουμε ότι αυτό το εκκρεμές ελατηρίου ταλαντώνεται αυστηρά στο επίπεδο του σχήματος. Σε αυτή την περίπτωση, το βάρος (το οποίο θεωρείται επίσης σημείο βάρους) μπορεί να κινηθεί σε κατακόρυφο επίπεδο σε αυθαίρετη κατεύθυνση, και όχι μόνο πάνω-κάτω ή αριστερά και δεξιά, όπως φαίνεται στο Σχ. 2. Αλλά αν πάλι περιοριστούμε σε μικρές μόνο αποκλίσεις από τη θέση ισορροπίας, τότε οι οριζόντιες και κάθετες ταλαντώσεις συμβαίνουν σχεδόν ανεξάρτητα, με τις δικές τους περιόδους T xκαι T y.

Φαίνεται ότι εφόσον αυτές οι ταλαντώσεις καθορίζονται από εντελώς διαφορετικές δυνάμεις και χαρακτηριστικά του συστήματος, τότε οι περίοδοι τους μπορεί να είναι εντελώς αυθαίρετες, σε καμία περίπτωση να μην συνδέονται μεταξύ τους. Αποδεικνύεται - όχι!

Μια εργασία

Αποδεικνύωότι για ένα τέτοιο εκκρεμές η περίοδος των οριζόντιων ταλαντώσεων είναι πάντα μεγαλύτερη από την περίοδο των κάθετων: T x > T y.

Ενδειξη

Στην αρχή, το πρόβλημα μπορεί να σας εκπλήξει από το γεγονός ότι φαίνεται ότι τίποτα δεν δίνεται σε αυτό, αλλά κάτι πρέπει να αποδειχθεί. Αλλά δεν υπάρχει τίποτα λάθος εδώ. Όταν το πρόβλημα διατυπώνεται με αυτόν τον τρόπο, σημαίνει ότι μπορείτε να εισαγάγετε για τον εαυτό σας κάποια σημειογραφία που χρειάζεστε, να υπολογίσετε μαζί τους τι απαιτείται και στη συνέχεια να καταλήξετε σε ένα συμπέρασμα που είναι ήδη δεν εξαρτάταιαπό αυτές τις αξίες. Κάντε το για αυτήν την εργασία. Πάρτε τους τύπους για τις περιόδους αιώρησης, σκεφτείτε τις σχετικές ποσότητες και συγκρίνετε τις δύο περιόδους μεταξύ τους διαιρώντας τη μία με την άλλη.

Απόφαση

Η περίοδος ταλάντωσης του βάρους μάζας Μσε ένα ενισχυτικό ελατήριο κκαι μήκος μεγάλο 0 είναι

.

Αυτός ο τύπος δεν αλλάζει ακόμα κι αν το βάρος αιωρείται στο βαρυτικό πεδίο με επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης σολ. Φυσικά, η θέση ισορροπίας του βάρους θα μετατοπιστεί σε ύψος Δ L = mg/k- είναι με τέτοια επιμήκυνση του ελατηρίου που η ελαστική δύναμη αντισταθμίζει τη δύναμη της βαρύτητας. Αλλά η περίοδος κάθετης ταλάντωσης γύρω από αυτή τη νέα θέση ισορροπίας με το τεντωμένο ελατήριο θα παραμείνει η ίδια.

Η περίοδος των οριζόντιων ταλαντώσεων ενός τεντωμένου εκκρεμούς εκφράζεται ως προς τη βαρυτική επιτάχυνση σολκαι το δικό του πλήρηςμήκος L = L 0 +Δ μεγάλο:

.

Είναι χάρη στο πρόσθετο τέντωμα στο βαρυτικό πεδίο που το διαπιστώνουμε

Αυτή είναι η όλη λύση.

Επίλογος

Παρά την φαινομενική απλότητά του, ένα εκκρεμές σε ένα ελατήριο είναι ένα σύστημα που είναι αρκετά πλούσιο σε φαινόμενα. Αυτό είναι ένα από τα πιο απλά παραδείγματα ενός χαριτωμένου φαινομένου - του συντονισμού Fermi. Συνίσταται σε αυτό. Σε γενικές γραμμές, εάν το βάρος με κάποιο τρόπο τραβηχτεί και απελευθερωθεί, τότε θα ταλαντωθεί τόσο κατακόρυφα όσο και οριζόντια. Αυτοί οι δύο τύποι ταλάντωσης απλώς θα επικαλύπτονται και δεν θα παρεμβαίνουν μεταξύ τους. Αν όμως οι περίοδοι κάθετων και οριζόντιων ταλαντώσεων σχετίζονται με τη σχέση T x = 2T y, τότε οι οριζόντιες και κάθετες ταλαντώσεις, σαν παρά τη θέλησή τους, σταδιακά θα μετατραπούν μεταξύ τους, όπως στο κινούμενο σχέδιο στα δεξιά. Η ενέργεια των κραδασμών θα αντλείται, όπως ήταν, από κάθετες δονήσεις σε οριζόντιες δονήσεις και αντίστροφα.

Μοιάζει με αυτό: τραβάτε το βάρος προς τα κάτω και το αφήνετε. Στην αρχή, ταλαντώνεται μόνο πάνω-κάτω, μετά από μόνος του αρχίζει να ταλαντεύεται στα πλάγια, για μια στιγμή η ταλάντωση γίνεται σχεδόν εντελώς οριζόντια και μετά επιστρέφει ξανά στην κατακόρυφη. Παραδόξως, μια αυστηρά κάθετη ταλάντωση αποδεικνύεται ασταθής.

Εξήγηση αυτού του αξιοσημείωτου αποτελέσματος, καθώς και της μαγικής αναλογίας T x:T y= 2:1, αυτό είναι. Σημειώστε με Χκαι yαποκλίσεις του βάρους από τη θέση ισορροπίας (άξονας yκατευθύνεται προς τα πάνω). Με μια τέτοια απόκλιση, η δυναμική ενέργεια αυξάνεται κατά το ποσό

Αυτή είναι μια ακριβής φόρμουλα, είναι κατάλληλη για οποιεσδήποτε αποκλίσεις, μεγάλες και μικρές. Αλλα αν Χκαι yμικρό, πολύ λιγότερο μεγάλο, τότε η έκφραση είναι περίπου ίση με

συν άλλους όρους που περιέχουν ακόμη υψηλότερους βαθμούς απόκλισης. Ποσότητες U yκαι U xείναι συνηθισμένες δυναμικές ενέργειες από τις οποίες προκύπτουν κάθετες και οριζόντιες ταλαντώσεις. Και εδώ είναι η τιμή που επισημαίνεται με μπλε χρώμα Uxyείναι ένα ειδικό πρόσθετο που δημιουργεί ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗανάμεσα σε αυτές τις δονήσεις. Λόγω αυτής της μικρής αλληλεπίδρασης, οι κάθετες δονήσεις επηρεάζουν τους οριζόντιους κραδασμούς και το αντίστροφο. Αυτό γίνεται αρκετά διαφανές εάν πραγματοποιήσουμε περαιτέρω τους υπολογισμούς και γράψουμε την εξίσωση για οριζόντιες και κάθετες ταλαντώσεις:

όπου η σημειογραφία

Χωρίς την μπλε προσθήκη, θα είχαμε τις συνήθεις ανεξάρτητες ταλαντώσεις κάθετα και οριζόντια με συχνότητες ωyκαι ω x. Αυτό το πρόσθετο παίζει ρόλο κινητήρια δύναμη, αντλώντας επιπλέον κραδασμούς. Αν οι συχνότητες ωyκαι ω xείναι αυθαίρετες, τότε αυτή η μικρή δύναμη δεν οδηγεί σε κανένα σημαντικό αποτέλεσμα. Αν όμως η σχέση ωy = 2ω x, δημιουργείται συντονισμός: η κινητήρια δύναμη και για τους δύο τύπους ταλαντώσεων περιέχει μια συνιστώσα με την ίδια συχνότητα με την ίδια την ταλάντωση. Ως αποτέλεσμα, αυτή η δύναμη δημιουργεί αργά αλλά σταθερά έναν τύπο ταλάντωσης και καταστέλλει έναν άλλο. Έτσι ρέουν οι οριζόντιες και οι κάθετες δονήσεις μεταξύ τους.

Πρόσθετες ομορφιές προκύπτουν εάν, σε αυτό το παράδειγμα, ληφθεί ειλικρινά υπόψη η τρίτη διάσταση. Υποθέτουμε ότι το βάρος μπορεί να συμπιέσει-ξεσφίξει το ελατήριο κατακόρυφα και να αιωρείται σαν εκκρεμές σε δύο οριζόντιες κατευθύνσεις. Στη συνέχεια, όταν πληρούται η συνθήκη συντονισμού, όταν το βλέπουμε από ψηλά, το βάρος καταγράφει μια αστρική τροχιά, όπως, για παράδειγμα, στο Σχ. 3. Αυτό συμβαίνει γιατί το επίπεδο ταλάντωσης δεν μένει ακίνητο, αλλά περιστρέφεται – όχι όμως ομαλά, αλλά σαν σε άλματα. Όσο η ταλάντευση πηγαίνει από πλευρά σε πλευρά, αυτό το επίπεδο συγκρατείται περισσότερο ή λιγότερο και η στροφή συμβαίνει σε αυτό το σύντομο διάστημα όταν η ταλάντευση είναι σχεδόν κάθετη. Καλούμε τους αναγνώστες να σκεφτούν μόνοι τους ποιοι είναι οι λόγοι αυτής της συμπεριφοράς και τι καθορίζει τη γωνία περιστροφής του επιπέδου. Και όσοι θέλουν να βουτήξουν με τα πόδια σε αυτό το αρκετά βαθύ έργο, μπορούν να ανατρέξουν στο άρθρο Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring , το οποίο όχι μόνο παρέχει μια λεπτομερή ανάλυση του προβλήματος, αλλά επίσης μιλά για την ιστορία του και τη σύνδεση αυτού του προβλήματος με άλλα τμήματα της φυσικής, ιδίως με την ατομική φυσική.

Ένα εκκρεμές ελατηρίου είναι ένα ταλαντευόμενο σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο με μάζα m και ένα ελατήριο. Θεωρήστε ένα οριζόντιο εκκρεμές ελατηρίου (Εικ. 13.12, α). Είναι ένα ογκώδες σώμα τρυπημένο στη μέση και τοποθετημένο σε μια οριζόντια ράβδο, κατά μήκος της οποίας μπορεί να γλιστρήσει χωρίς τριβή (ιδανικό σύστημα ταλάντωσης). Η ράβδος στερεώνεται ανάμεσα σε δύο κάθετα στηρίγματα. Ένα αβαρές ελατήριο είναι στερεωμένο στο σώμα στο ένα άκρο. Το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σε ένα στήριγμα, το οποίο στην απλούστερη περίπτωση βρίσκεται σε ηρεμία σε σχέση με το αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς στο οποίο ταλαντώνεται το εκκρεμές. Στην αρχή, το ελατήριο δεν παραμορφώνεται και το σώμα βρίσκεται σε θέση ισορροπίας C. Εάν, τεντώνοντας ή συμπιέζοντας το ελατήριο, το σώμα βγει από την ισορροπία, τότε από την πλευρά του παραμορφωμένου ελατηρίου, θα αρχίσει μια ελαστική δύναμη να ενεργήσει σε αυτό, κατευθυνόμενο πάντα προς τη θέση ισορροπίας. Ας συμπιέσουμε το ελατήριο, μετακινώντας το σώμα στη θέση Α, και ελευθερώνουμε το \((\upsilon_0=0).\) Κάτω από τη δράση της ελαστικής δύναμης, θα κινηθεί πιο γρήγορα. Σε αυτή την περίπτωση, στη θέση Α, η μέγιστη ελαστική δύναμη ασκεί στο σώμα, αφού εδώ η απόλυτη επιμήκυνση x m του ελατηρίου είναι η μεγαλύτερη. Επομένως, σε αυτή τη θέση, η επιτάχυνση είναι μέγιστη. Όταν το σώμα κινείται στη θέση ισορροπίας, η απόλυτη επιμήκυνση του ελατηρίου μειώνεται και κατά συνέπεια μειώνεται η επιτάχυνση που προκαλεί η ελαστική δύναμη. Επειδή όμως η επιτάχυνση κατά τη διάρκεια αυτής της κίνησης συνκατευθύνεται με την ταχύτητα, η ταχύτητα του εκκρεμούς αυξάνεται και στη θέση ισορροπίας θα είναι μέγιστη. Έχοντας φτάσει στη θέση ισορροπίας C, το σώμα δεν θα σταματήσει (αν και σε αυτή τη θέση το ελατήριο δεν παραμορφώνεται και η ελαστική δύναμη είναι μηδέν), αλλά έχοντας μια ταχύτητα, θα κινηθεί περαιτέρω με αδράνεια, τεντώνοντας το ελατήριο. Η ελαστική δύναμη που προκύπτει κατευθύνεται τώρα ενάντια στην κίνηση του σώματος και την επιβραδύνει. Στο σημείο D, η ταχύτητα του σώματος θα είναι ίση με το μηδέν και η επιτάχυνση είναι μέγιστη, το σώμα θα σταματήσει για μια στιγμή, μετά την οποία, υπό τη δράση της ελαστικής δύναμης, θα αρχίσει να κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση, στη θέση ισορροπίας. Αφού το ξαναπεράσει με αδράνεια, το σώμα, συμπιέζοντας το ελατήριο και επιβραδύνοντας την κίνηση, θα φτάσει στο σημείο Α (αφού δεν υπάρχει τριβή), δηλ. κάνει πλήρη εξέλιξη. Μετά από αυτό, η κίνηση του σώματος θα επαναληφθεί με την περιγραφόμενη ακολουθία. Έτσι, οι αιτίες των ελεύθερων ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς ελατηρίου είναι η δράση της ελαστικής δύναμης που συμβαίνει όταν το ελατήριο παραμορφώνεται και η αδράνεια του σώματος.

Σύμφωνα με το νόμο του Hooke \(~F_x=-kx.\) Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Newton \(~F_x = ma_x.\) Επομένως, \(~ma_x = -kx.\) Ως εκ τούτου

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) ή \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - δυναμική εξίσωση κίνησης εκκρεμούς ελατηρίου.

Βλέπουμε ότι η επιτάχυνση είναι ευθέως ανάλογη της μετατόπισης και κατευθύνεται αντίθετα προς αυτήν. Συγκρίνοντας την εξίσωση που προκύπτει με την εξίσωση των αρμονικών ταλαντώσεων \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) βλέπουμε ότι το εκκρεμές ελατηρίου εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις με κυκλική συχνότητα \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) Αφού \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) τότε

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) είναι η περίοδος ταλάντωσης του εκκρεμούς ελατηρίου.

Ο ίδιος τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της περιόδου ταλάντωσης ενός κάθετου εκκρεμούς ελατηρίου (Εικ. 13.12. β). Πράγματι, στη θέση ισορροπίας, λόγω της δράσης της βαρύτητας, το ελατήριο έχει ήδη τεντωθεί κατά ένα ορισμένο ποσό x 0, που καθορίζεται από τη σχέση \(~mg=kx_0.\) Όταν το εκκρεμές μετατοπίζεται από τη θέση ισορροπίας Οεπί Χπροβολή ελαστικής δύναμης \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) και σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Αντικαθιστώντας εδώ την τιμή \( ~kx_0 =mg,\) λαμβάνουμε την εξίσωση κίνησης του εκκρεμούς \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) που συμπίπτει με την εξίσωση κίνησης του οριζόντιου εκκρεμούς.

Λογοτεχνία

Aksenovich L. A. Φυσική στο γυμνάσιο: Θεωρία. Καθήκοντα. Δοκιμές: Proc. επίδομα για ιδρύματα που παρέχουν γενική. περιβάλλοντα, εκπαίδευση / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Εκδ. Κ. Σ. Φαρίνο. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 377-378.

1. Η δράση στο σώμα ελαστικής δύναμης ανάλογης με τη μετατόπιση του σώματος x από τη θέση ισορροπίας και πάντα κατευθυνόμενης προς τη θέση αυτή.

2. Η αδράνεια ενός ταλαντούμενου σώματος, λόγω της οποίας δεν σταματά στη θέση ισορροπίας (όταν η ελαστική δύναμη εξαφανίζεται), αλλά συνεχίζει να κινείται προς την ίδια κατεύθυνση.

Η έκφραση για την κυκλική συχνότητα είναι:

όπου w είναι η κυκλική συχνότητα, k είναι η ακαμψία του ελατηρίου, m είναι η μάζα.

Αυτός ο τύπος δείχνει ότι η συχνότητα των ελεύθερων ταλαντώσεων δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες και καθορίζεται πλήρως από τα χαρακτηριστικά του ίδιου του συστήματος ταλάντωσης - σε αυτήν την περίπτωση, η ακαμψία k και η μάζα m.

Αυτή η έκφραση ορίζει περίοδος ελεύθερης ταλάντωσης εκκρεμούς ελατηρίου.

Τέλος εργασίας -

Αυτό το θέμα ανήκει σε:

Ταχύτητα ταξιδιού μέση ταχύτητα εδάφους στιγμιαία ταχύτητα/ταχύτητα οδήγησης

Η κινηματική σημείων είναι ένα τμήμα της κινηματικής που μελετά τη μαθηματική περιγραφή της κίνησης των υλικών σημείων. Το κύριο καθήκον της κινηματικής είναι .. το κύριο καθήκον της μηχανικής είναι να προσδιορίζει τη θέση ενός σώματος ανά πάσα στιγμή.. η μηχανική κίνηση είναι μια αλλαγή στη θέση ενός σώματος στο χώρο με την πάροδο του χρόνου σε σχέση με άλλα σώματα ..

Εάν χρειάζεστε επιπλέον υλικό για αυτό το θέμα ή δεν βρήκατε αυτό που αναζητούσατε, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την αναζήτηση στη βάση δεδομένων των έργων μας:

Τι θα κάνουμε με το υλικό που λάβαμε:

Εάν αυτό το υλικό αποδείχθηκε χρήσιμο για εσάς, μπορείτε να το αποθηκεύσετε στη σελίδα σας στα κοινωνικά δίκτυα:

τιτίβισμα

Όλα τα θέματα σε αυτήν την ενότητα:

Ελαστική κυματική ενέργεια
διάνυσμα πυκνότητας ενεργειακής ροής του φυσικού πεδίου. αριθμητικά ίσο με ενέργεια

Ο νόμος του Maxwell για την κατανομή των μορίων σύμφωνα με τις ταχύτητες της θερμικής κίνησης
Ο νόμος του Maxwell περιγράφεται από κάποια συνάρτηση f(v), που ονομάζεται συνάρτηση κατανομής ταχύτητας των μορίων. Αν διαιρέσουμε το εύρος ταχυτήτων των μορίων σε μικρά διαστήματα ίσα με dv, τότε

Θερμότητα
Η θερμότητα είναι μία από τις δύο μεθόδους μεταφοράς ενέργειας που είναι γνωστές στη σύγχρονη φυσική επιστήμη - ένα μέτρο μεταφοράς διαταραγμένης κίνησης. Η ποσότητα της ενέργειας που μεταφέρεται ονομάζεται ποσότητα θερμότητας.

Θερμομηχανές και ψυκτικές μηχανές. Κύκλος Carnot
Ο κύκλος Carnot είναι ένας ιδανικός θερμοδυναμικός κύκλος. Θερμικός κινητήρας Carnot σε λειτουργία