Η απόσταση μεταξύ των παράλληλων ευθειών είναι ίση. Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών

Απόδειξη.

Ας πάρουμε ένα σημείο , που βρίσκεται στη γραμμή ένα, τότε οι συντεταγμένες του σημείου Μ1ικανοποιεί την εξίσωση, δηλαδή η ισότητα, από όπου έχουμε .

Αν font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> σιέχει τη μορφήfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> και αν, έπειτα κανονική εξίσωσηευθεία σιέχει τη μορφήfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Στη συνέχεια στο font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">distance from pointσε ευθεία σιυπολογίζεται με τον τύπο, και στο - σύμφωνα με τον τύπο

Δηλαδή για οποιαδήποτε αξία Γ2απόστασηαπό το σημείο σε ευθεία σιμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο. Και με δεδομένη την ισότητα, που λήφθηκε παραπάνω, τότε ο τελευταίος τύπος θα πάρει τη μορφήfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Το θεώρημα αποδεικνύεται.

2. Επίλυση προβλημάτων εύρεσης της απόστασης μεταξύ παράλληλων ευθειών

Παράδειγμα #1.

Βρείτε την απόσταση μεταξύ παράλληλων ευθειώνκαι Απόφαση.

Λαμβάνουμε τις γενικές εξισώσεις δεδομένων παράλληλων ευθειών.

Για στρέιτ μέγεθος γραμματοσειράς: 12,0 pt line-height:115%;font-family:Verdana">αντιστοιχεί στη γενική εξίσωση μιας γραμμής. Ας περάσουμε από τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας μορφήςfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">στη γενική εξίσωση αυτής της γραμμής:

μέγεθος γραμματοσειράς: 12,0 pt line-height:115%;font-family:Verdana">Μεταβλητοί συντελεστές Χκαι yστις γενικές εξισώσεις που προέκυψαν, οι παράλληλες ευθείες είναι ίσες, επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε αμέσως τον τύπο για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ παράλληλων ευθειών σε ένα επίπεδο:.

Απάντηση: μέγεθος γραμματοσειράς: 12,0 pt line-height:115%;font-family:Verdana">Παράδειγμα #2.

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων εισάγεται στο επίπεδο Oxyκαι δίνονται οι εξισώσεις δύο παράλληλων ευθειώνκαι . Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δεδομένων παράλληλων ευθειών.

Απόφαση:

Η πρώτη λύση.

Κανονικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο μορφήςμέγεθος γραμματοσειράς: 12,0 pt line-height:115%;font-family:Verdana"> σας επιτρέπει να καταγράψετε αμέσως τις συντεταγμένες ενός σημείου Μ1που βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή:μέγεθος γραμματοσειράς: 12,0 pt line-height:115%;font-family:Verdana">. Απόσταση από αυτό το σημείο στη γραμμήίση με την επιθυμητή απόσταση μεταξύ παράλληλων γραμμών. Η εξίσωσηείναι μια κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, επομένως, μπορούμε να υπολογίσουμε αμέσως την απόσταση από το σημείοσε ευθεία font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Η δεύτερη λύση.

Η γενική εξίσωση μιας από τις παράλληλες ευθείες μας έχει ήδη δοθείfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Εδώ είναι η κανονική εξίσωση της γραμμήςστη γενική εξίσωση μιας ευθείας:. Μεταβλητοί συντελεστές Χστις γενικές εξισώσεις, οι δεδομένες παράλληλες ευθείες είναι ίσες (με μια μεταβλητή yοι συντελεστές είναι επίσης ίσοι - είναι ίσοι με μηδέν), επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν τύπο που σας επιτρέπει να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δεδομένων παράλληλων γραμμών:.

Απάντηση: 8

3. Εργασία για το σπίτι

Εργασίες για αυτοέλεγχο

1. Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Όλοι οι στόχοι και στόχοι που τέθηκαν έχουν επιτευχθεί πλήρως. Δύο μαθήματα από την ενότητα " Αμοιβαία τακτοποίησηαντικείμενα σε επίπεδο» με θέμα «Απόσταση από σημείο σε ευθεία. Απόσταση μεταξύ παράλληλων γραμμών» χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων. Το υλικό επιλέγεται σε προσιτό επίπεδο για τους μαθητές, το οποίο θα επιτρέψει την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας με απλούστερες και πιο όμορφες μεθόδους.

5. ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ

1) , Yudina. Βαθμοί 7 - 9: ένα εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα.

2) , Πόζνιακ. Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 του Λυκείου.

3) , Νικόλσκι Μαθηματικά. Τόμος Πρώτος: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας.

4) , Γεωμετρία Πόζνιακ.

6.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Υλικό αναφοράς

Γενική εξίσωση ευθείας:

Ah + Wu + C = 0 ,

που ΚΑΙκαι ΣΤΟόχι ίσο με μηδέν ταυτόχρονα.

Πιθανότητα ΚΑΙκαι ΣΤΟείναι συντεταγμένες κανονικό διάνυσμα ευθεία γραμμή (δηλαδή, ένα διάνυσμα κάθετο στην ευθεία). Στο Α = 0 ευθεία παράλληλη προς τον άξονα OH, στο Β = 0 ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ο Υ .

Στο ΣΤΟ0 παίρνω εξίσωση ευθείας με συντελεστής κλίσης :

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ( Χ 0 , στο 0) και όχι παράλληλα με τον άξοναOY, μοιάζει με:

στο – στο 0 = Μ (Χ – Χ 0) ,

που Μ – κλίση , εφαπτομένοςτη γωνία που σχηματίζει μια δεδομένη ευθεία και τη θετική κατεύθυνση του άξονα OH .

Στο ΚΑΙ font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

που ένα = – ντο / ΕΝΑ , σι = – ντο / σι . Αυτή η γραμμή διέρχεται από τα σημεία (ένα, 0) και (0, σι), δηλ. αποκόπτει στους άξονες συντεταγμένων τμήματα μήκουςένακαι σι .

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο διάφορα σημεία (Χ 1, στο 1) και ( Χ 2, στο 2):

Παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμής περνώντας από το σημείο ( Χ 0 , στο 0) και παράλληλα κατεύθυνση διάνυσμα ευθεία (ένα, σι) :

Κατάσταση παράλληλων ευθειών:

1) για ευθείες γραμμές Ax + Vy + C = 0 καιρεx+μιy+φά = 0: ΑΕ – BD = 0 ,

2) για ευθείες γραμμές στο = Μ Χ+ κ και στο= Π Χ+ q : Μ = Π .

Στο υλικό αυτού του άρθρου, θα αναλύσουμε το ζήτημα της εύρεσης της απόστασης μεταξύ δύο παράλληλων γραμμών, ειδικότερα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων. Η ανάλυση τυπικών παραδειγμάτων θα βοηθήσει στην εδραίωση της θεωρητικής γνώσης που αποκτήθηκε.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ορισμός 1

Απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειώνείναι η απόσταση από κάποιους αυθαίρετο σημείομία από τις παράλληλες ευθείες στην άλλη ευθεία.

Ακολουθεί μια απεικόνιση για σαφήνεια:

Το σχέδιο δείχνει δύο παράλληλες γραμμές. ένακαι σι. Το σημείο Μ 1 ανήκει στην ευθεία a, μια κάθετη προς την ευθεία πέφτει από αυτήν σι. Το τμήμα M 1 H 1 που προκύπτει είναι η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών ένακαι σι.

Ο καθορισμένος ορισμός της απόστασης μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών ισχύει τόσο στο επίπεδο όσο και για τις ευθείες σε τρισδιάστατο χώρο. Εκτός, αυτόν τον ορισμόσχετίζεται με το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα

Όταν δύο ευθείες είναι παράλληλες, όλα τα σημεία της μίας απέχουν ίση απόσταση από την άλλη ευθεία.

Απόδειξη

Ας μας δοθούν δύο παράλληλες ευθείες ένακαι σι. Σε ευθεία γραμμή ένασημεία M 1 και M 2, ρίχνουμε κάθετες από αυτά στην ευθεία σι, δηλώνοντας τις βάσεις τους, αντίστοιχα, ως H 1 και H 2. M 1 H 1 είναι η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών εξ ορισμού, και πρέπει να αποδείξουμε ότι | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | .

Ας υπάρχει επίσης κάποια τομή που τέμνει δύο δεδομένες παράλληλες ευθείες. Η συνθήκη των παράλληλων ευθειών, που εξετάζεται στο αντίστοιχο άρθρο, μας δίνει το δικαίωμα να ισχυριστούμε ότι σε αυτή η υπόθεσηΟι εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες που σχηματίζονται στην τομή της τομής των δεδομένων ευθειών είναι ίσες: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Η ευθεία M 2 H 2 είναι κάθετη στην ευθεία b κατά κατασκευή και, φυσικά, κάθετη στην ευθεία a. Τα τρίγωνα που προκύπτουν M 1 H 1 H 2 και M 2 M 1 H 2 είναι ορθογώνια και ίσα μεταξύ τους ως προς την υποτείνουσα και την οξεία γωνία: M 1 H 2 είναι η κοινή υποτείνουσα, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Με βάση την ισότητα των τριγώνων, μπορούμε να μιλήσουμε για την ισότητα των πλευρών τους, δηλαδή: | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σημειώστε ότι η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών είναι η μικρότερη από τις αποστάσεις από σημεία της μιας ευθείας σε σημεία της άλλης.

Εύρεση της απόστασης μεταξύ παράλληλων ευθειών

Έχουμε ήδη ανακαλύψει ότι, στην πραγματικότητα, για να βρούμε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών, είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε το μήκος της καθέτου που έπεσε από ένα ορισμένο σημείο στη μια ευθεία σε μια άλλη. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να γίνει αυτό. Σε ορισμένα προβλήματα είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. άλλα περιλαμβάνουν τη χρήση σημείων ισότητας ή ομοιότητας τριγώνων κ.λπ. Σε περιπτώσεις που δίνονται οι γραμμές ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες, είναι δυνατός ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο παράλληλων γραμμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων. Ας το εξετάσουμε πιο αναλυτικά.

Ας βάλουμε τις προϋποθέσεις. Ας υποθέσουμε ότι είναι σταθερό ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο δίνονται δύο παράλληλες ευθείες a και b. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η απόσταση μεταξύ των δεδομένων γραμμών.

Θα οικοδομήσουμε τη λύση του προβλήματος στον προσδιορισμό της απόστασης μεταξύ παράλληλων γραμμών: για να βρούμε την απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων παράλληλων ευθειών, είναι απαραίτητο:

Να βρείτε τις συντεταγμένες κάποιου σημείου M 1 που ανήκει σε μία από τις δοθείσες ευθείες.

Υπολογίστε την απόσταση από το σημείο Μ 1 σε μια δεδομένη ευθεία στην οποία δεν ανήκει αυτό το σημείο.

Με βάση τις δεξιότητες εργασίας με τις εξισώσεις μιας ευθείας σε ένα επίπεδο ή στο χώρο, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του σημείου M 1. Κατά την εύρεση της απόστασης από το σημείο M 1 σε μια ευθεία γραμμή, είναι χρήσιμο το υλικό του άρθρου για την εύρεση της απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή.

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα. Έστω ότι η ευθεία a περιγράφεται με τη γενική εξίσωση A x + B y + C 1 = 0 , και η ευθεία b περιγράφεται από την εξίσωση A x + B y + C 2 = 0 . Στη συνέχεια, η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων γραμμών μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

Ας βγάλουμε αυτόν τον τύπο.

Χρησιμοποιούμε κάποιο σημείο М 1 (x 1 , y 1) που ανήκει στην ευθεία a . Στην περίπτωση αυτή, οι συντεταγμένες του σημείου M 1 θα ικανοποιούν την εξίσωση A x 1 + B y 1 + C 1 = 0. Έτσι, η ισότητα είναι δίκαιη: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0; από αυτό παίρνουμε: A x 1 + B y 1 = - C 1 .

Όταν C 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

Με C 2 ≥ 0, η κανονική εξίσωση της ευθείας b θα μοιάζει με αυτό:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

Και μετά για περιπτώσεις που C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

Και για C 2 ≥ 0, η επιθυμητή απόσταση καθορίζεται από τον τύπο M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Έτσι, για οποιαδήποτε τιμή του αριθμού C 2, το μήκος του τμήματος | M 1 H 1 | (από το σημείο M 1 έως τη γραμμή β) υπολογίζεται με τον τύπο: M 1 H 1 \u003d A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Παραπάνω πήραμε: A x 1 + B y 1 \u003d - C 1, τότε μπορούμε να μετατρέψουμε τον τύπο: M 1 H 1 \u003d - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 \u003d C 2 - C 1 A 2 +B2. Έτσι, στην πραγματικότητα, λάβαμε τον τύπο που καθορίζεται στον αλγόριθμο της μεθόδου συντεταγμένων.

Ας αναλύσουμε τη θεωρία με παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες y = 2 3 x - 1 και x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η απόσταση μεταξύ τους.

Απόφαση

Οι αρχικές παραμετρικές εξισώσεις καθιστούν δυνατό τον καθορισμό των συντεταγμένων του σημείου από το οποίο διέρχεται η ευθεία γραμμή, που περιγράφονται από παραμετρικές εξισώσεις. Έτσι, παίρνουμε το σημείο M 1 (4, - 5) . Η απαιτούμενη απόσταση είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου M 1 (4, - 5) μέχρι την ευθεία y = 2 3 x - 1, ας την υπολογίσουμε.

Η δεδομένη εξίσωση μιας ευθείας με κλίση y = 2 3 x - 1 μετατρέπεται σε κανονική εξίσωση ευθείας. Για το σκοπό αυτό, πρώτα κάνουμε τη μετάβαση στη γενική εξίσωση μιας ευθείας:

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

Ας υπολογίσουμε τον παράγοντα ομαλοποίησης: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της τελευταίας εξίσωσης με αυτό και, τέλος, έχουμε την ευκαιρία να γράψουμε την κανονική εξίσωση της ευθείας: 1 13 2 x - 3 y - 3 = 1 13 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.

Για x = 4 και y = - 5, υπολογίζουμε την επιθυμητή απόσταση ως συντελεστή της τιμής της ακραίας ισότητας:

2 13 4 - 3 13 - 5 - 3 13 = 20 13

Απάντηση: 20 13 .

Παράδειγμα 2

Σε ένα σταθερό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y, δίδονται δύο παράλληλες ευθείες, που ορίζονται από τις εξισώσεις x - 3 = 0 και x + 5 0 = y - 1 1 . Είναι απαραίτητο να βρεθεί η απόσταση μεταξύ των δεδομένων παράλληλων ευθειών.

Απόφαση

Οι συνθήκες του προβλήματος ορίζουν μία γενική εξίσωση, που δίνεται από μία από τις αρχικές γραμμές: x-3=0. Ας μετατρέψουμε την αρχική κανονική εξίσωση σε γενική: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . Για τη μεταβλητή x, οι συντελεστές και στις δύο εξισώσεις είναι ίσοι (επίσης ίσοι για y - μηδέν), και επομένως έχουμε την ευκαιρία να εφαρμόσουμε τον τύπο για την εύρεση της απόστασης μεταξύ παράλληλων ευθειών:

M 1 H 1 \u003d C 2 - C 1 A 2 + B 2 \u003d 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 \u003d 8

Απάντηση: 8 .

Τέλος, εξετάστε το πρόβλημα της εύρεσης της απόστασης μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών στον τρισδιάστατο χώρο.

Παράδειγμα 3

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z, δίδονται δύο παράλληλες ευθείες, που περιγράφονται από κανονικές εξισώσειςευθεία στο διάστημα: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 και x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . Βρείτε την απόσταση μεταξύ αυτών των γραμμών.

Απόφαση

Από την εξίσωση x - 3 1 \u003d y - 1 \u003d z + 2 4, οι συντεταγμένες του σημείου από το οποίο διέρχεται η ευθεία γραμμή, που περιγράφεται από αυτήν την εξίσωση, μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν: M 1 (3, 0, - 2 ) . Ας υπολογίσουμε την απόσταση | M 1 H 1 | από το σημείο M 1 έως την ευθεία x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 .

Η ευθεία x + 5 1 \u003d y - 1 - 1 \u003d z - 2 4 διέρχεται από το σημείο M 2 (- 5, 1, 2). Γράφουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 ως b → με συντεταγμένες (1 , - 1 , 4) . Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

Ας υπολογίσουμε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων:

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 i → + 36 j → + 7 k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8, 36 , 7)

Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία στο διάστημα:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

Απάντηση: 1409 3 2 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράπλευρο με αντίθετες πλευρέςπαράλληλη, δηλαδή ξαπλωμένη σε παράλληλες ευθείες (Εικ. 1).

Θεώρημα 1. Για τις ιδιότητες των πλευρών και των γωνιών ενός παραλληλογράμμου.Σε ένα παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, οι απέναντι γωνίες είναι ίσες και το άθροισμα των γωνιών που γειτνιάζουν με τη μία πλευρά του παραλληλογράμμου είναι 180°.

Απόδειξη. Σε αυτό το παραλληλόγραμμο ABCD, σχεδιάστε μια διαγώνιο AC και λάβετε δύο τρίγωνο ABCκαι ADC (Εικ. 2).

Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα, αφού ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (εγκάρσιες γωνίες σε παράλληλες ευθείες), και η πλευρά AC είναι κοινή. Από την ισότητα Δ ABC = Δ ADC προκύπτει ότι AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Το άθροισμα των γωνιών που γειτνιάζουν με μια πλευρά, για παράδειγμα, γωνίες A και D, είναι ίσο με 180 ° ως μία - όψη με παράλληλες γραμμές. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σχόλιο. Η ισότητα των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου σημαίνει ότι τα τμήματα των παράλληλων που κόβονται από τα παράλληλα είναι ίσα.

Συμπέρασμα 1. Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε όλα τα σημεία μιας ευθείας βρίσκονται στην ίδια απόσταση από την άλλη ευθεία.

Απόδειξη. Πράγματι, ας || β (Εικ. 3).

Ας τραβήξουμε από κάποια δύο σημεία Β και Γ της ευθείας b τις κάθετες ΒΑ και ΓΔ στην ευθεία α. Αφού ΑΒ || CD, τότε το σχήμα ABCD είναι παραλληλόγραμμο, και επομένως AB = CD.

Η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών είναι η απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο σε μια από τις ευθείες στην άλλη ευθεία.

Με ό,τι αποδείχθηκε, ισούται με το μήκος της καθέτου που σύρεται από κάποιο σημείο της μιας από τις παράλληλες ευθείες στην άλλη ευθεία.

Παράδειγμα 1Η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι 122 εκ. Η μία πλευρά του είναι 25 εκ. μεγαλύτερη από την άλλη Βρείτε τις πλευρές του παραλληλογράμμου.

Απόφαση. Σύμφωνα με το Θεώρημα 1, οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες. Ας συμβολίσουμε τη μια πλευρά του παραλληλογράμμου ως x, την άλλη ως y. Στη συνέχεια, με συνθήκη $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x = 43, y = 18. Έτσι, οι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι 18, 43, 18 και 43 cm.

Παράδειγμα 2

Απόφαση. Έστω ότι το σχήμα 4 αντιστοιχεί στην κατάσταση του προβλήματος.

Να συμβολίσετε το AB με x και το BC με το y. Κατά συνθήκη, η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι 10 cm, δηλαδή 2(x + y) = 10, ή x + y = 5. Η περίμετρος του τριγώνου ABD είναι 8 cm. Και αφού AB + AD = x + y = 5 , τότε BD = 8 - 5 = 3 . Άρα BD = 3 cm.

Παράδειγμα 3Βρείτε τις γωνίες του παραλληλογράμμου, γνωρίζοντας ότι η μία από αυτές είναι 50° μεγαλύτερη από την άλλη.

Απόφαση. Έστω ότι το σχήμα 5 αντιστοιχεί στην κατάσταση του προβλήματος.

Ας συμβολίσουμε το μέτρο της μοίρας της γωνίας Α ως x. Επειτα μέτρο βαθμούΗ γωνία D είναι x + 50°.

Οι γωνίες BAD και ADC είναι εσωτερικές μονόπλευρες με παράλληλες ευθείες AB και DC και τέμνουσες AD. Τότε το άθροισμα αυτών των ονομαζόμενων γωνιών θα είναι 180°, δηλ.
x + x + 50° = 180° ή x = 65°. Έτσι, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Παράδειγμα 4Οι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι 4,5 dm και 1,2 dm. Απο πάνω οξεία γωνίαέχει σχεδιαστεί διχοτόμος. Σε ποια μέρη χωρίζει τη μεγάλη πλευρά του παραλληλογράμμου;

Απόφαση. Έστω ότι το σχήμα 6 αντιστοιχεί στην κατάσταση του προβλήματος.

Η ΑΕ είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας του παραλληλογράμμου. Επομένως, ∠ 1 = ∠ 2.

Σε αυτό το άρθρο, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος C2 από την Εξέταση Ενιαίου Κράτους, αναλύεται η μέθοδος εύρεσης συντεταγμένων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο. Θυμηθείτε ότι οι γραμμές είναι λοξές εάν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Συγκεκριμένα, εάν μια ευθεία βρίσκεται σε ένα επίπεδο και η δεύτερη γραμμή τέμνει αυτό το επίπεδο σε σημείο που δεν βρίσκεται στην πρώτη γραμμή, τότε τέτοιες γραμμές είναι λοξές (βλ. σχήμα).

Για εύρεση αποστάσεις μεταξύ τεμνόμενων γραμμώναπαραίτητη:

Σχεδιάστε ένα επίπεδο μέσω μιας από τις λοξές γραμμές που είναι παράλληλες με την άλλη λοξή γραμμή.
Ρίξτε μια κάθετη από οποιοδήποτε σημείο της δεύτερης ευθείας στο επίπεδο που προκύπτει. Το μήκος αυτής της κάθετης θα είναι η επιθυμητή απόσταση μεταξύ των γραμμών.

Ας αναλύσουμε αυτόν τον αλγόριθμοαναλυτικότερα στο παράδειγμα επίλυσης προβλήματος Γ2 από την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά.

Απόσταση μεταξύ των γραμμών στο διάστημα

Μια εργασία.σε έναν μόνο κύβο ABCDA 1 σι 1 ντο 1 ρε 1 βρείτε την απόσταση μεταξύ των γραμμών ΒΑ 1 και D.B. 1 .

Ρύζι. 1. Σχέδιο για την εργασία

Απόφαση.Μέσα από το μέσο της διαγωνίου του κύβου D.B. 1 (κουκκ Ο) σχεδιάστε μια ευθεία παράλληλη προς την ευθεία ΕΝΑ 1 σι. Σημεία τομής μιας δεδομένης ευθείας με ακμές προ ΧΡΙΣΤΟΥκαι ΕΝΑ 1 ρε 1 δηλώνουν αντίστοιχα Νκαι Μ. Ευθεία MNβρίσκεται στο αεροπλάνο MNB 1 και παράλληλα με τη γραμμή ΕΝΑ 1 σι, το οποίο δεν βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι η άμεση ΕΝΑ 1 σιπαράλληλα με το επίπεδο MNB 1 με βάση τον παραλληλισμό ευθείας και επιπέδου (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Η επιθυμητή απόσταση μεταξύ των γραμμών διέλευσης είναι ίση με την απόσταση από οποιοδήποτε σημείο της επιλεγμένης γραμμής στο εικονιζόμενο επίπεδο

Τώρα ψάχνουμε την απόσταση από κάποιο σημείο της ευθείας ΕΝΑ 1 σιμέχρι το αεροπλάνο MNBένας . Αυτή η απόσταση, εξ ορισμού, θα είναι η επιθυμητή απόσταση μεταξύ των λοξών γραμμών.

Για να βρούμε αυτήν την απόσταση, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο συντεταγμένων. Εισάγουμε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε η αρχή του να συμπίπτει με το σημείο Β, τον άξονα Χκατευθυνόταν κατά μήκος της άκρης ΒΑ, άξονας Υ- κατά μήκος της πλευράς προ ΧΡΙΣΤΟΥ, άξονας Ζ- κατά μήκος της πλευράς ΒΒ 1 (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Επιλέγουμε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα

Βρίσκουμε την εξίσωση του επιπέδου MNB 1 σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε πρώτα τις συντεταγμένες των σημείων Μ, Νκαι σι 1: Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες συντεταγμένες στη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής και παίρνουμε επόμενο σύστημαεξισώσεις:

Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος παίρνουμε από την τρίτη και μετά από την πρώτη λαμβάνουμε. Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στη γενική εξίσωση της ευθείας:

Σημειώστε ότι διαφορετικά το αεροπλάνο MNB 1 θα περνούσε από την προέλευση. Διαιρούμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης και παίρνουμε:

Η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο καθορίζεται από τον τύπο.

Oh-oh-oh-oh-oh ... καλά, είναι τσίγκινο, σαν να διαβάζεις την πρόταση στον εαυτό σου =) Ωστόσο, τότε η χαλάρωση θα βοηθήσει, ειδικά επειδή αγόρασα κατάλληλα αξεσουάρ σήμερα. Επομένως, ας προχωρήσουμε στην πρώτη ενότητα, ελπίζω, μέχρι το τέλος του άρθρου να κρατήσω μια χαρούμενη διάθεση.

Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών

Η περίπτωση που η αίθουσα τραγουδάει μαζί σε χορωδία. Δύο γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Βοήθεια για ανδρείκελα : παρακαλώ θυμηθείτε μαθηματικό σημάδιδιασταύρωση, θα συμβεί πολύ συχνά. Η καταχώρηση σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με την ευθεία στο σημείο.

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο γραμμές συμπίπτουν αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει τέτοιος αριθμός «λάμδα» που οι ισότητες

Ας εξετάσουμε ευθείες γραμμές και ας συνθέσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάστε με -1 (σύμβολα αλλαγής), και όλους τους συντελεστές της εξίσωσης μειωθεί κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους στις μεταβλητές είναι ανάλογοι: , αλλά.

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι σαφές ότι .

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του «λάμδα» που να πληρούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα συνθέσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές στις μεταβλητές δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σχήμα λύσεων που μόλις εξετάστηκε. Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ παρόμοιος με τον αλγόριθμο για τον έλεγχο των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα, τον οποίο εξετάσαμε στο μάθημα. Η έννοια της γραμμικής (μη) εξάρτησης διανυσμάτων. Διανυσματική βάση. Αλλά υπάρχει ένα πιο πολιτισμένο πακέτο:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών:

Απόφασημε βάση τη μελέτη κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

Για κάθε ενδεχόμενο, θα βάλω μια πέτρα με δείκτες στο σταυροδρόμι:

Οι υπόλοιποι πηδούν πάνω από την πέτρα και συνεχίζουν, κατευθείαν στο Kashchei the Deathless =)

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε ίδιες. Εδώ η ορίζουσα δεν είναι απαραίτητη.

Προφανώς οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, ενώ .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Ετσι,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουν.

Ο παράγοντας αναλογικότητας "λάμδα" είναι εύκολο να φανεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτή η εξίσωση(ταιριάζει σε οποιοδήποτε νούμερο γενικά).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Απάντηση:

Πολύ σύντομα θα μάθετε (ή θα έχετε ήδη μάθει) να λύνετε το εξεταζόμενο πρόβλημα προφορικά κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Από αυτή την άποψη, δεν βλέπω κανένα λόγο να προσφέρω κάτι ανεξάρτητη λύση, είναι καλύτερο να βάλετε ένα άλλο σημαντικό τούβλο στο γεωμετρικό θεμέλιο:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Για άγνοια αυτού η απλούστερη εργασίατιμωρεί αυστηρά τον Αηδόνι τον Ληστή.

Παράδειγμα 2

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Απόφαση: Δηλώστε την άγνωστη γραμμή με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτό; Η γραμμή διέρχεται από το σημείο. Και αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας «ce» είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας «de».

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Απάντηση:

Η γεωμετρία του παραδείγματος φαίνεται απλή:

Η αναλυτική επαλήθευση αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν είναι σωστά απλοποιημένη, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Η αναλυτική επαλήθευση στις περισσότερες περιπτώσεις είναι εύκολο να πραγματοποιηθεί προφορικά. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα καταλάβετε γρήγορα πώς οι ευθείες είναι παράλληλες χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για αυτολύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά. Γιατί πρέπει ακόμα να συναγωνιστείς την Μπάμπα Γιάγκα και εκείνη, ξέρεις, είναι λάτρης των κάθε λογής γρίφους.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Υπάρχει ένας λογικός και όχι πολύ λογικός τρόπος επίλυσης. Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος του μαθήματος.

Κάναμε μια μικρή δουλειά με παράλληλες γραμμές και θα επιστρέψουμε σε αυτές αργότερα. Η περίπτωση των γραμμών που συμπίπτουν είναι λίγο ενδιαφέρον, γι' αυτό σκεφτείτε ένα πρόβλημα που σας είναι πολύ γνωστό σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Εδώ είναι για σας γεωμετρική αίσθησηδύο γραμμικές εξισώσειςμε δύο αγνώστουςείναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) ευθείες σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Απόφαση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Γραφικός τρόποςείναι απλά να σχεδιάσετε τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σε κάθε εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι η λύση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, εξετάσαμε έναν γραφικό τρόπο επίλυσης συστήματα γραμμικών εξισώσεωνμε δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αισθητά μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης δημοτικού αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να γίνει μια σωστή και ΑΚΡΙΒΗ ζωγραφική. Επιπλέον, ορισμένες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής με την αναλυτική μέθοδο. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ορολογικής πρόσθεσης εξισώσεων. Για να αναπτύξετε τις σχετικές δεξιότητες, επισκεφθείτε το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Απάντηση:

Η επαλήθευση είναι ασήμαντη - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Είναι βολικό να χωρίσετε το πρόβλημα σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλούς γεωμετρικά προβλήματα, και θα επικεντρωθώ σε αυτό επανειλημμένα.

Ολοκληρωμένη Λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος:

Ένα ζευγάρι παπούτσια δεν έχει ακόμη φθαρεί, καθώς φτάσαμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος:

Κάθετες γραμμές. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ των γραμμών

Ας ξεκινήσουμε με ένα τυπικό και πολύ σημαντικό έργο. Στο πρώτο μέρος, μάθαμε πώς να χτίζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη με τη δεδομένη και τώρα η καλύβα στα πόδια κοτόπουλου θα γυρίσει 90 μοίρες:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια κάθετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο.

Απόφαση: Είναι γνωστό με την υπόθεση ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Απάντηση:

Ας ξεδιπλώσουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Χμμμ... Πορτοκαλί ουρανός, πορτοκαλί θάλασσα, πορτοκαλί καμήλα.

Αναλυτική επαλήθευσηλύσεις:

1) Εξάγετε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και με τη βοήθεια τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνσυμπεραίνουμε ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Η επαλήθευση, πάλι, είναι εύκολο να εκτελεστεί προφορικά.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών, αν η εξίσωση είναι γνωστή και τελεία.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Υπάρχουν πολλές ενέργειες στην εργασία, επομένως είναι βολικό να τακτοποιήσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Μας ένα διασκεδαστικό ταξίδισυνεχίζει:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Μπροστά μας είναι μια ευθεία λωρίδα του ποταμού και καθήκον μας είναι να φτάσουμε σε αυτήν με τον συντομότερο τρόπο. Δεν υπάρχουν εμπόδια και η βέλτιστη διαδρομή θα είναι η κίνηση κατά μήκος της κάθετης. Δηλαδή, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος.

Η απόσταση στη γεωμετρία παραδοσιακά υποδηλώνεται με το ελληνικό γράμμα "ro", για παράδειγμα: - η απόσταση από το σημείο "em" έως την ευθεία γραμμή "de".

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 8

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Απόφαση: το μόνο που χρειάζεται είναι να αντικαταστήσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να κάνετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν κάνετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. \u003d 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Εξετάστε μια άλλη εργασία σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο:

Η εργασία είναι να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου, το οποίο είναι συμμετρικό στο σημείο ως προς τη γραμμή . Προτείνω να εκτελέσετε τις ενέργειες μόνοι σας, ωστόσο, θα ορίσω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη σε μια ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και οι δύο ενέργειες συζητούνται λεπτομερώς σε αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματοςεύρημα .

Δεν θα είναι περιττό να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης ίση με 2,2 μονάδες.

Εδώ μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς, αλλά στον πύργο ένας μικροϋπολογιστής βοηθάει πολύ, επιτρέποντάς σας να μετράτε κοινά κλάσματα. Το έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα το προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι επίλυσης. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά καλύτερα προσπαθήστε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι καταφέρατε να διασκορπίσετε καλά την εφευρετικότητά σας.

Γωνία μεταξύ δύο γραμμών

Όποια κι αν είναι η γωνία, τότε το τζάμπ:

Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμένακατακόκκινη γωνία.

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση της "κύλισης" της γωνίας είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα, εάν .

Γιατί το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορείτε να τα βγάλετε πέρα με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Το γεγονός είναι ότι στους τύπους με τους οποίους θα βρούμε τις γωνίες, μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αρνητικό αποτέλεσμακαι δεν πρέπει να σας εκπλήσσει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο για μια αρνητική γωνία, είναι επιτακτική ανάγκη να υποδειχθεί ο προσανατολισμός της (δεξιόστροφα) με ένα βέλος.

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Απόφασηκαι Μέθοδος ένα

Εξετάστε δύο γραμμές δίνονται από εξισώσειςσε γενική εικόνα:

Αν ευθεία όχι κάθετο, έπειτα προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Πλέον μεγάλη προσοχήγυρίστε στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα κατεύθυνσης ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου εξαφανίζεται και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό διατυπώθηκε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των γραμμών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, η λύση επισημοποιείται εύκολα σε δύο βήματα:

1) Υπολογίστε κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα κατεύθυνσης ευθειών:
οπότε οι ευθείες δεν είναι κάθετες.

2) Βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών με τον τύπο:

Μέσω αντίστροφη συνάρτησηεύκολο να βρεθεί η ίδια η γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης του τόξου (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντηση, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και την κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση σε μοίρες και σε ακτίνια), που υπολογίζεται με χρήση αριθμομηχανής.

Λοιπόν, μείον, άρα μείον, δεν πειράζει. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στην κατάσταση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και η "στρέψη" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς από αυτήν.

Εάν θέλετε πραγματικά να πάρετε θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση . Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .