Επίλυση αλγεβρικών γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα. Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με χρήση αντίστροφου πίνακα

Η μέθοδος του αντίστροφου πίνακα είναι μια ειδική περίπτωση εξίσωση μήτρας

Λύστε το σύστημα με τη μέθοδο matrix

Απόφαση: Γράφουμε το σύστημα σε μορφή μήτρας Βρίσκουμε τη λύση του συστήματος με τον τύπο (δείτε τον τελευταίο τύπο)

Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα με τον τύπο:
, όπου είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα .

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την ορίζουσα:

Εδώ η ορίζουσα επεκτείνεται κατά την πρώτη γραμμή.

Προσοχή! Εάν, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει και είναι αδύνατο να λυθεί το σύστημα με τη μέθοδο του πίνακα. Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα επιλύεται με τη μέθοδο εξάλειψης αγνώστων (μέθοδος Gauss).

Τώρα πρέπει να υπολογίσετε 9 ανηλίκους και να τους γράψετε στον πίνακα των ανηλίκων

Αναφορά:Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε την έννοια των διπλών δεικτών στη γραμμική άλγεβρα. Το πρώτο ψηφίο είναι ο αριθμός γραμμής στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Το δεύτερο ψηφίο είναι ο αριθμός της στήλης στην οποία βρίσκεται το στοιχείο:

Δηλαδή, ένας διπλός δείκτης υποδεικνύει ότι το στοιχείο βρίσκεται στην πρώτη γραμμή, τρίτη στήλη, ενώ, για παράδειγμα, το στοιχείο βρίσκεται στην 3η σειρά, 2η στήλη

Κατά τη διάρκεια της επίλυσης, είναι καλύτερο να περιγράψουμε λεπτομερώς τον υπολογισμό των ανηλίκων, αν και, με μια συγκεκριμένη εμπειρία, μπορούν να προσαρμοστούν ώστε να υπολογίζονται με λάθη προφορικά.

Η σειρά υπολογισμού των ανηλίκων δεν είναι απολύτως σημαντική, εδώ τα υπολόγισα από αριστερά προς τα δεξιά σειρά προς σειρά. Ήταν δυνατός ο υπολογισμός των ανηλίκων με στήλες (αυτό είναι ακόμα πιο βολικό).

Με αυτόν τον τρόπο:

είναι ο πίνακας δευτερευόντων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα .

είναι ο πίνακας των αλγεβρικών προσθηκών.

είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών προσθηκών.

Επαναλαμβάνω, τα βήματα που πραγματοποιήσαμε αναλύθηκαν λεπτομερώς στο μάθημα. Πώς να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα;

Τώρα γράφουμε τον αντίστροφο πίνακα:

Σε καμία περίπτωση δεν μπαίνουμε στον πίνακα, αυτό θα περιπλέξει σοβαρά τους περαιτέρω υπολογισμούς. Η διαίρεση θα έπρεπε να εκτελεστεί εάν όλοι οι αριθμοί του πίνακα ήταν διαιρούμενοι με το 60 χωρίς υπόλοιπο. Αλλά για να προσθέσετε ένα μείον στη μήτρα σε αυτήν την περίπτωση είναι πολύ απαραίτητο, αντίθετα, θα απλοποιήσει τους περαιτέρω υπολογισμούς.

Απομένει να πραγματοποιηθεί ο πολλαπλασιασμός του πίνακα. Μπορείτε να μάθετε πώς να πολλαπλασιάζετε πίνακες στο μάθημα Δράσεις με πίνακες. Παρεμπιπτόντως, υπάρχει ακριβώς το ίδιο παράδειγμα.

Σημειώστε ότι η διαίρεση με το 60 έγινε τελευταίος.
Μερικές φορές μπορεί να μην είναι εντελώς διαιρεμένη, δηλ. μπορεί να πάρει «κακά» κλάσματα. Τι να κάνουμε σε τέτοιες περιπτώσεις, είπα ήδη όταν αναλύσαμε τον κανόνα του Cramer.

Απάντηση:

Παράδειγμα 12

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (τελικό δείγμα και απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Ο πιο καθολικός τρόπος επίλυσης του συστήματος είναι μέθοδος εξάλειψης αγνώστων (μέθοδος Gauss). Δεν είναι τόσο εύκολο να εξηγήσω τον αλγόριθμο με προσιτό τρόπο, αλλά προσπάθησα!.

Σου εύχομαι καλή τύχη!

Απαντήσεις:

Παράδειγμα 3:

Παράδειγμα 6:

Παράδειγμα 8: , . Μπορείτε να προβάλετε ή να κατεβάσετε ένα δείγμα λύσης για αυτό το παράδειγμα (σύνδεσμος παρακάτω).

Παραδείγματα 10, 12:

Συνεχίζουμε να εξετάζουμε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Αυτό το μάθημα είναι το τρίτο για το θέμα. Εάν έχετε μια αόριστη ιδέα για το τι είναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων γενικά, αισθάνεστε σαν τσαγιέρα, τότε σας συνιστώ να ξεκινήσετε με τα βασικά στη σελίδα Στη συνέχεια, είναι χρήσιμο να μελετήσετε το μάθημα.

Η μέθοδος Gauss είναι εύκολη!Γιατί; Ο διάσημος Γερμανός μαθηματικός Johann Carl Friedrich Gauss, κατά τη διάρκεια της ζωής του, έλαβε την αναγνώριση ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών, μια ιδιοφυΐα, ακόμη και το παρατσούκλι «Βασιλιάς των Μαθηματικών». Και κάθε τι έξυπνο, όπως γνωρίζετε, είναι απλό!Παρεμπιπτόντως, όχι μόνο κορόιδα, αλλά και ιδιοφυΐες πέφτουν στα χρήματα - το πορτρέτο του Γκάους επιδεικνύεται σε έναν λογαριασμό 10 γερμανικών μάρκων (πριν από την εισαγωγή του ευρώ) και ο Γκάους εξακολουθεί να χαμογελά μυστηριωδώς στους Γερμανούς από συνηθισμένα γραμματόσημα.

Η μέθοδος Gauss είναι απλή στο ότι ΑΡΚΕΙ Η ΓΝΩΣΗ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΤΗ ΕΜΠΤΗΣ ΤΑΞΗΣ για να την κατακτήσει. Πρέπει να μπορεί να προσθέτει και να πολλαπλασιάζει!Δεν είναι τυχαίο ότι η μέθοδος της διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων εξετάζεται συχνά από τους δασκάλους στα μαθήματα μαθηματικών του σχολείου. Είναι παράδοξο, αλλά η μέθοδος Gauss προκαλεί τις μεγαλύτερες δυσκολίες στους μαθητές. Τίποτα περίεργο - είναι όλα σχετικά με τη μεθοδολογία και θα προσπαθήσω να πω σε μια προσιτή μορφή για τον αλγόριθμο της μεθόδου.

Αρχικά, συστηματοποιούμε λίγο τη γνώση για τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί:

1) Έχετε μια μοναδική λύση.
2) Να έχεις άπειρες λύσεις.
3) Δεν υπάρχουν λύσεις (να είναι ασύμβατες).

Η μέθοδος Gauss είναι το πιο ισχυρό και ευέλικτο εργαλείο για την εύρεση λύσης όποιοςσυστήματα γραμμικών εξισώσεων. Όπως θυμόμαστε Κανόνας Cramer και μέθοδος μήτραςείναι ακατάλληλα σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές. Μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων ΤΕΛΟΣ παντωνοδηγήστε μας στην απάντηση! Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε ξανά τη μέθοδο Gauss για την περίπτωση Νο. 1 (η μόνη λύση στο σύστημα), ένα άρθρο δεσμεύεται για τις καταστάσεις των σημείων Νο. 2-3. Σημειώνω ότι ο ίδιος ο αλγόριθμος της μεθόδου λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο και στις τρεις περιπτώσεις.

Ας επιστρέψουμε στο πιο απλό σύστημα από το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων;
και να το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Το πρώτο βήμα είναι να γράψεις σύστημα εκτεταμένης μήτρας:
. Με ποια αρχή καταγράφονται οι συντελεστές, νομίζω ότι όλοι μπορούν να δουν. Η κάθετη γραμμή μέσα στη μήτρα δεν έχει μαθηματική σημασία - είναι απλώς μια διαγράμμιση για ευκολία σχεδίασης.

Αναφορά: Συνιστώ να θυμάστεόροι γραμμική άλγεβρα.Σύστημα Matrix είναι ένας πίνακας που αποτελείται μόνο από συντελεστές για άγνωστους, σε αυτό το παράδειγμα, ο πίνακας του συστήματος: . Εκτεταμένη μήτρα συστήματος είναι ο ίδιος πίνακας του συστήματος συν μια στήλη ελεύθερων μελών, σε αυτήν την περίπτωση: . Οποιοσδήποτε από τους πίνακες μπορεί να ονομαστεί απλώς μήτρα για συντομία.

Αφού γραφτεί το σύστημα εκτεταμένης μήτρας, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε ορισμένες ενέργειες με αυτό, οι οποίες ονομάζονται επίσης στοιχειώδεις μεταμορφώσεις.

Υπάρχουν οι παρακάτω στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

1) Χορδέςμήτρες μπορεί να αναδιαταχθείμέρη. Για παράδειγμα, στον υπό εξέταση πίνακα, μπορείτε να αναδιατάξετε με ασφάλεια την πρώτη και τη δεύτερη σειρά:

2) Εάν υπάρχουν (ή εμφανίζονται) αναλογικές (ως ειδική περίπτωση - πανομοιότυπες) σειρές στον πίνακα, τότε ακολουθεί διαγράφωαπό τον πίνακα, όλες αυτές οι σειρές εκτός από μία. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τη μήτρα . Σε αυτόν τον πίνακα, οι τρεις τελευταίες σειρές είναι αναλογικές, επομένως αρκεί να αφήσετε μόνο μία από αυτές: .

3) Εάν εμφανίστηκε μια μηδενική γραμμή στον πίνακα κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, τότε ακολουθεί και αυτή διαγράφω. Δεν θα τραβήξω, φυσικά, η μηδενική γραμμή είναι η γραμμή στην οποία μόνο μηδενικά.

4) Η σειρά του πίνακα μπορεί να είναι πολλαπλασιάζω (διαιρώ)για οποιοδήποτε αριθμό μη μηδενικό. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πίνακα . Εδώ είναι σκόπιμο να διαιρέσετε την πρώτη γραμμή με -3 και να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη γραμμή με 2: . Αυτή η ενέργεια είναι πολύ χρήσιμη, καθώς απλοποιεί περαιτέρω μετασχηματισμούς του πίνακα.

5) Αυτή η μεταμόρφωση προκαλεί τις περισσότερες δυσκολίες, αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο. Στη σειρά του πίνακα, μπορείτε προσθέστε μια άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό, διαφορετικό από το μηδέν. Εξετάστε τον πίνακα μας από ένα πρακτικό παράδειγμα: . Αρχικά, θα περιγράψω τη μεταμόρφωση με μεγάλη λεπτομέρεια. Πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά με -2: , και στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί -2: . Τώρα η πρώτη γραμμή μπορεί να διαιρεθεί "πίσω" με -2: . Όπως μπορείτε να δείτε, η γραμμή που είναι ΠΡΟΣΘΗΚΗ LI – δεν έχει αλλάξει. Πάντααλλάζει η γραμμή, ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΠΡΟΣΘΗΚΑΝ UT.

Στην πράξη, φυσικά, δεν ζωγραφίζουν με τόση λεπτομέρεια, αλλά γράφουν πιο σύντομα:

Για άλλη μια φορά: στη δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Η γραμμή συνήθως πολλαπλασιάζεται προφορικά ή σε προσχέδιο, ενώ η νοητική πορεία των υπολογισμών είναι κάπως έτσι:

"Ξαναγράφω τη μήτρα και ξαναγράφω την πρώτη σειρά:"

Πρώτη στήλη πρώτα. Παρακάτω πρέπει να πάρω το μηδέν. Επομένως, πολλαπλασιάζω την παραπάνω μονάδα με -2: και προσθέτω την πρώτη στη δεύτερη γραμμή: 2 + (-2) = 0. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

«Τώρα η δεύτερη στήλη. Πάνω από -1 φορές -2: . Προσθέτω το πρώτο στη δεύτερη γραμμή: 1 + 2 = 3. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: "

«Και η τρίτη στήλη. Πάνω από -5 φορές -2: . Προσθέτω την πρώτη γραμμή στη δεύτερη γραμμή: -7 + 10 = 3. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

Σκεφτείτε προσεκτικά αυτό το παράδειγμα και κατανοήστε τον αλγόριθμο διαδοχικού υπολογισμού, εάν το καταλαβαίνετε αυτό, τότε η μέθοδος Gauss είναι πρακτικά "στην τσέπη σας". Αλλά, φυσικά, εξακολουθούμε να εργαζόμαστε για αυτόν τον μετασχηματισμό.

Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

! ΠΡΟΣΟΧΗ:θεωρούνται χειρισμοί δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει, εάν σας προσφερθεί μια εργασία όπου οι πίνακες δίνονται "από μόνοι τους". Για παράδειγμα, με το "κλασικό" μήτρεςσε καμία περίπτωση δεν πρέπει να αναδιατάξετε κάτι μέσα στους πίνακες!

Ας επιστρέψουμε στο σύστημά μας. Έχει σχεδόν τελειώσει.

Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον αναγάγουμε σε κλιμακωτή όψη:

(1) Η πρώτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Παρεμπιπτόντως, γιατί πολλαπλασιάζουμε την πρώτη σειρά με -2; Για να πάρετε το μηδέν στο κάτω μέρος, που σημαίνει να απαλλαγείτε από μια μεταβλητή στη δεύτερη γραμμή.

(2) Διαιρέστε τη δεύτερη σειρά με το 3.

Ο σκοπός των στοιχειωδών μετασχηματισμών– μετατρέψτε τη μήτρα σε μορφή βήματος: . Στο σχεδιασμό της εργασίας, σχεδιάζουν απευθείας τη "σκάλα" με ένα απλό μολύβι και κυκλώνουν επίσης τους αριθμούς που βρίσκονται στα "σκαλοπάτια". Ο ίδιος ο όρος «βηματική άποψη» δεν είναι εντελώς θεωρητικός· στην επιστημονική και εκπαιδευτική βιβλιογραφία, συχνά ονομάζεται τραπεζοειδής όψηή τριγωνική όψη.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, έχουμε αποκτήσει ισοδύναμοςαρχικό σύστημα εξισώσεων:

Τώρα το σύστημα πρέπει να "ξεστρέψει" προς την αντίθετη κατεύθυνση - από κάτω προς τα πάνω, αυτή η διαδικασία ονομάζεται αντίστροφη μέθοδος Gauss.

Στην κάτω εξίσωση, έχουμε ήδη το τελικό αποτέλεσμα: .

Εξετάστε την πρώτη εξίσωση του συστήματος και αντικαταστήστε την ήδη γνωστή τιμή του "y" σε αυτήν:

Ας εξετάσουμε την πιο κοινή κατάσταση, όταν η μέθοδος Gauss απαιτείται για την επίλυση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Παράδειγμα 1

Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος:

Τώρα θα σχεδιάσω αμέσως το αποτέλεσμα στο οποίο θα καταλήξουμε στην πορεία της λύσης:

Και επαναλαμβάνω, στόχος μας είναι να φέρουμε τη μήτρα σε μια κλιμακωτή μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Από πού να αρχίσετε να αναλαμβάνετε δράση;

Αρχικά, κοιτάξτε τον επάνω αριστερό αριθμό:

Θα έπρεπε να είναι σχεδόν πάντα εδώ μονάδα. Σε γενικές γραμμές, το -1 (και μερικές φορές άλλοι αριθμοί) θα ταιριάζει επίσης, αλλά κατά κάποιο τρόπο παραδοσιακά συνέβαινε μια μονάδα να τοποθετείται συνήθως εκεί. Πώς να οργανώσετε μια μονάδα; Κοιτάμε την πρώτη στήλη - έχουμε μια ολοκληρωμένη μονάδα! Μεταμόρφωση 1: αλλάξτε την πρώτη και την τρίτη γραμμή:

Τώρα η πρώτη γραμμή θα παραμείνει αμετάβλητη μέχρι το τέλος της λύσης. Τώρα μια χαρά.

Η μονάδα πάνω αριστερά είναι οργανωμένη. Τώρα πρέπει να λάβετε μηδενικά σε αυτά τα μέρη:

Τα μηδενικά λαμβάνονται μόνο με τη βοήθεια ενός «δύσκολου» μετασχηματισμού. Αρχικά, ασχολούμαστε με τη δεύτερη γραμμή (2, -1, 3, 13). Τι πρέπει να γίνει για να πάρει το μηδέν στην πρώτη θέση; Πρέπει να στη δεύτερη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -2. Διανοητικά ή σε προσχέδιο, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με -2: (-2, -4, 2, -18). Και πραγματοποιούμε με συνέπεια (πάλι νοερά ή σε προσχέδιο) προσθήκη, στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή, που έχει ήδη πολλαπλασιαστεί με -2:

Το αποτέλεσμα γράφεται στη δεύτερη γραμμή:

Αντίστοιχα ασχολούμαστε με την τρίτη γραμμή (3, 2, -5, -1). Για να πάρετε το μηδέν στην πρώτη θέση, χρειάζεστε στην τρίτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -3. Διανοητικά ή σε προσχέδιο, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με -3: (-3, -6, 3, -27). Και στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί -3:

Το αποτέλεσμα γράφεται στην τρίτη γραμμή:

Στην πράξη, αυτές οι ενέργειες συνήθως εκτελούνται προφορικά και γράφονται σε ένα βήμα:

Δεν χρειάζεται να μετράτε τα πάντα ταυτόχρονα και ταυτόχρονα. Η σειρά των υπολογισμών και η «εισαγωγή» των αποτελεσμάτων σταθερόςκαι συνήθως έτσι: πρώτα ξαναγράφουμε την πρώτη γραμμή, και φουσκώνουμε ήσυχα - ΣΥΝΕΧΕΙΑ και ΠΡΟΣΕΧΤΙΚΑ:

Και έχω ήδη εξετάσει τη νοητική πορεία των ίδιων των υπολογισμών παραπάνω.

Σε αυτό το παράδειγμα, αυτό είναι εύκολο να γίνει, διαιρούμε τη δεύτερη γραμμή με -5 (καθώς όλοι οι αριθμοί διαιρούνται με το 5 χωρίς υπόλοιπο). Ταυτόχρονα, διαιρούμε την τρίτη γραμμή με -2, γιατί όσο μικρότερος είναι ο αριθμός, τόσο πιο απλή είναι η λύση:

Στο τελικό στάδιο των στοιχειωδών μετασχηματισμών, πρέπει να ληφθεί ένα ακόμη μηδέν εδώ:

Για αυτό στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -2:

Προσπαθήστε να αναλύσετε αυτήν την ενέργεια μόνοι σας - πολλαπλασιάστε νοερά τη δεύτερη γραμμή με -2 και πραγματοποιήστε την πρόσθεση.

Η τελευταία ενέργεια που εκτελείται είναι το χτένισμα του αποτελέσματος, διαιρέστε την τρίτη γραμμή με το 3.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, προέκυψε ένα ισοδύναμο αρχικό σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Δροσερός.

Τώρα μπαίνει στο παιχνίδι η αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss. Οι εξισώσεις «ξετυλίγονται» από κάτω προς τα πάνω.

Στην τρίτη εξίσωση, έχουμε ήδη το τελικό αποτέλεσμα:

Ας δούμε τη δεύτερη εξίσωση: . Η έννοια του "z" είναι ήδη γνωστή, επομένως:

Και τέλος, η πρώτη εξίσωση: . Το "Y" και το "Z" είναι γνωστά, το θέμα είναι μικρό:

Απάντηση:

Όπως έχει επανειλημμένα σημειωθεί, για οποιοδήποτε σύστημα εξισώσεων, είναι δυνατό και απαραίτητο να ελεγχθεί η λύση που βρέθηκε, ευτυχώς, αυτό δεν είναι δύσκολο και γρήγορο.

Παράδειγμα 2

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως, ένα δείγμα φινιρίσματος και μια απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σας πορεία δράσηςμπορεί να μην συμπίπτει με την πορεία δράσης μου, και αυτό είναι χαρακτηριστικό της μεθόδου Gauss. Αλλά οι απαντήσεις πρέπει να είναι ίδιες!

Παράδειγμα 3

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε μια βηματική μορφή:

Κοιτάμε το πάνω αριστερό «σκαλοπάτι». Εκεί πρέπει να έχουμε μια μονάδα. Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου άτομα στην πρώτη στήλη, επομένως τίποτα δεν μπορεί να λυθεί με την αναδιάταξη των σειρών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μονάδα πρέπει να οργανωθεί χρησιμοποιώντας έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό. Αυτό μπορεί συνήθως να γίνει με διάφορους τρόπους. Έκανα αυτό: (1) Στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1. Δηλαδή, πολλαπλασιάσαμε νοερά τη δεύτερη γραμμή επί -1 και πραγματοποιήσαμε την πρόσθεση της πρώτης και της δεύτερης γραμμής, ενώ η δεύτερη γραμμή δεν άλλαξε.

Τώρα πάνω αριστερά -1, που μας ταιριάζει μια χαρά. Όποιος θέλει να πάρει +1 μπορεί να εκτελέσει μια επιπλέον χειρονομία: πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με -1 (αλλάξτε το πρόσημό της).

(2) Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με 5 προστέθηκε στη δεύτερη σειρά. Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με 3 προστέθηκε στην τρίτη σειρά.

(3) Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1, κατ 'αρχήν, αυτό είναι για ομορφιά. Το πρόσημο της τρίτης γραμμής άλλαξε επίσης και μετακινήθηκε στη δεύτερη θέση, έτσι στο δεύτερο «σκαλοπάτι είχαμε την επιθυμητή μονάδα.

(4) Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί 2 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

(5) Η τρίτη σειρά χωρίστηκε με 3.

Ένα κακό σημάδι που υποδεικνύει σφάλμα υπολογισμού (λιγότερο συχνά τυπογραφικό λάθος) είναι μια "κακή" κατώτατη γραμμή. Δηλαδή, αν έχουμε κάτι όπως παρακάτω, και, κατά συνέπεια, , τότε με μεγάλο βαθμό πιθανότητας μπορεί να υποστηριχθεί ότι έγινε σφάλμα κατά την πορεία στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Φορτίζουμε την αντίστροφη κίνηση, στο σχεδιασμό των παραδειγμάτων, το ίδιο το σύστημα συχνά δεν ξαναγράφεται και οι εξισώσεις «λαμβάνονται απευθείας από τον δεδομένο πίνακα». Η αντίστροφη κίνηση, σας υπενθυμίζω, λειτουργεί από κάτω προς τα πάνω:
Ναι, εδώ είναι ένα δώρο:

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, είναι κάπως πιο περίπλοκη. Δεν πειράζει αν κάποιος μπερδευτεί. Πλήρης λύση και δείγμα σχεδίου στο τέλος του μαθήματος. Η λύση σας μπορεί να διαφέρει από τη δική μου.

Στο τελευταίο μέρος, εξετάζουμε ορισμένα χαρακτηριστικά του αλγορίθμου Gauss.
Το πρώτο χαρακτηριστικό είναι ότι μερικές φορές λείπουν κάποιες μεταβλητές στις εξισώσεις του συστήματος, για παράδειγμα:

Πώς να γράψετε σωστά τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος; Μίλησα ήδη για αυτή τη στιγμή στο μάθημα. Ο κανόνας του Cramer. Μέθοδος μήτρας. Στον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος, βάζουμε μηδενικά στη θέση των μεταβλητών που λείπουν:

Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι ένα αρκετά εύκολο παράδειγμα, καθώς υπάρχει ήδη ένα μηδέν στην πρώτη στήλη και υπάρχουν λιγότεροι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί για εκτέλεση.

Το δεύτερο χαρακτηριστικό είναι αυτό. Σε όλα τα παραδείγματα που εξετάστηκαν, τοποθετήσαμε είτε –1 είτε +1 στα «βήματα». Θα μπορούσαν να υπάρχουν άλλοι αριθμοί; Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούν. Σκεφτείτε το σύστημα: .

Εδώ στο πάνω αριστερό «σκαλοπάτι» έχουμε ένα δίδυμο. Παρατηρούμε όμως το γεγονός ότι όλοι οι αριθμοί της πρώτης στήλης διαιρούνται με το 2 χωρίς υπόλοιπο - και άλλους δύο και έξι. Και το δίδυμο πάνω αριστερά θα μας ταιριάζει! Στο πρώτο βήμα, πρέπει να εκτελέσετε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1 στη δεύτερη γραμμή. στην τρίτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -3. Έτσι, θα πάρουμε τα επιθυμητά μηδενικά στην πρώτη στήλη.

Ή ένα άλλο υποθετικό παράδειγμα: . Εδώ μας ταιριάζει και το τριπλό στο δεύτερο «σκαλοπάτι», αφού το 12 (το μέρος που πρέπει να πάρουμε το μηδέν) διαιρείται με το 3 χωρίς υπόλοιπο. Είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί ο ακόλουθος μετασχηματισμός: στην τρίτη γραμμή, προσθέστε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με -4, ως αποτέλεσμα της οποίας θα ληφθεί το μηδέν που χρειαζόμαστε.

Η μέθοδος Gauss είναι καθολική, αλλά υπάρχει μια ιδιαιτερότητα. Μπορείτε να μάθετε με σιγουριά πώς να επιλύετε συστήματα με άλλες μεθόδους (μέθοδος Cramer, μέθοδος μήτρας) κυριολεκτικά από την πρώτη φορά - υπάρχει ένας πολύ άκαμπτος αλγόριθμος. Αλλά για να αισθάνεστε σίγουροι για τη μέθοδο Gauss, θα πρέπει να «γεμίσετε το χέρι σας» και να λύσετε τουλάχιστον 5-10 δέκα συστήματα. Επομένως, στην αρχή μπορεί να υπάρξει σύγχυση, λάθη στους υπολογισμούς και δεν υπάρχει τίποτα ασυνήθιστο ή τραγικό σε αυτό.

Βροχερός φθινοπωρινός καιρός έξω από το παράθυρο .... Επομένως, για όλους, ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 5

Να λύσετε ένα σύστημα 4 γραμμικών εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Ένα τέτοιο έργο στην πράξη δεν είναι τόσο σπάνιο. Νομίζω ότι ακόμη και μια τσαγιέρα που έχει μελετήσει λεπτομερώς αυτήν τη σελίδα κατανοεί τον αλγόριθμο για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος διαισθητικά. Βασικά το ίδιο - απλώς περισσότερη δράση.

Στο μάθημα εξετάζονται οι περιπτώσεις που το σύστημα δεν έχει λύσεις (ασυνεπές) ή έχει άπειρες λύσεις. Μη συμβατά συστήματα και συστήματα με κοινή λύση. Εκεί μπορείτε να διορθώσετε τον εξεταζόμενο αλγόριθμο της μεθόδου Gauss.

Σου εύχομαι καλή τύχη!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών τον φέρνουμε στη φόρμα βήματος.

Πραγματοποιήθηκαν στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:
(1) Η πρώτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1.Προσοχή! Εδώ μπορεί να είναι δελεαστικό να αφαιρέσετε την πρώτη από την τρίτη γραμμή, δεν συνιστώ ανεπιφύλακτα την αφαίρεση - ο κίνδυνος σφάλματος αυξάνεται πολύ. Απλώς διπλώνουμε!
(2) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε (πολλαπλασιάστηκε με -1). Η δεύτερη και η τρίτη γραμμή έχουν αλλάξει.Σημείωση ότι στα «σκαλιά» δεν αρκούμε μόνο σε ένα, αλλά και με -1, που είναι ακόμα πιο βολικό.
(3) Στην τρίτη γραμμή, προσθέστε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 5.
(4) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε (πολλαπλασιάστηκε με -1). Η τρίτη γραμμή χωρίστηκε με το 14.

Αντίστροφη κίνηση:


Απάντηση: .

Παράδειγμα 4: Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε μια βηματική μορφή:

Μετατροπές που πραγματοποιήθηκαν:
(1) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην πρώτη γραμμή. Έτσι, η επιθυμητή μονάδα οργανώνεται στο επάνω αριστερό «σκαλοπάτι».
(2) Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη επί 7 προστέθηκε στη δεύτερη σειρά. Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη επί 6 προστέθηκε στην τρίτη σειρά.

Με το δεύτερο «βήμα» όλα είναι χειρότερα , οι «υποψήφιοι» για αυτό είναι οι αριθμοί 17 και 23 και χρειαζόμαστε είτε ένα είτε -1. Οι μετασχηματισμοί (3) και (4) θα στοχεύουν στην απόκτηση της επιθυμητής μονάδας

(3) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -1.
(4) Η τρίτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με -3, προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή.
Λαμβάνεται το απαραίτητο στο δεύτερο σκαλοπάτι .
(5) Στην τρίτη γραμμή προστίθεται η δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη επί 6.
(6) Η δεύτερη σειρά πολλαπλασιάστηκε με -1, η τρίτη σειρά διαιρέθηκε με -83..Προφανώς, το επίπεδο καθορίζεται μοναδικά από τρία διαφορετικά σημεία που δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή. Επομένως, οι ονομασίες των αεροπλάνων με τρία γράμματα είναι αρκετά δημοφιλείς - σύμφωνα με τα σημεία που τους ανήκουν, για παράδειγμα,. .Εάν ελεύθερα μέλη

Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας nης τάξης

Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφη μήτρασε σχέση με τον πίνακα A, εάν A * A -1 = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της νης τάξης.

Μήτρα ταυτότητας- ένας τέτοιος τετράγωνος πίνακας, στον οποίο όλα τα στοιχεία κατά μήκος της κύριας διαγωνίου, που περνούν από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία, είναι ένα και τα υπόλοιπα είναι μηδενικά, για παράδειγμα:

αντίστροφη μήτραμπορεί να υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακεςεκείνοι. για τους πίνακες που έχουν τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών.

Θεώρημα συνθήκης ύπαρξης αντίστροφου πίνακα

Για να έχει μια μήτρα αντίστροφη μήτρα, είναι απαραίτητο και επαρκές να είναι μη εκφυλισμένος.

Ο πίνακας A = (A1, A2,...A n) ονομάζεται μη εκφυλισμένοςαν τα διανύσματα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης ενός πίνακα ονομάζεται κατάταξη του πίνακα. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι για να υπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση με τη διάστασή του, δηλ. r = n.

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

1. Γράψτε τον πίνακα Α στον πίνακα για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss και στα δεξιά (στη θέση των δεξιών τμημάτων των εξισώσεων) αντιστοιχίστε τον πίνακα Ε σε αυτόν.
2. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, φέρτε τον πίνακα A σε έναν πίνακα που αποτελείται από μεμονωμένες στήλες. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί ταυτόχρονα ο πίνακας Ε.
3. Εάν είναι απαραίτητο, αναδιατάξτε τις σειρές (εξισώσεις) του τελευταίου πίνακα έτσι ώστε ο πίνακας ταυτότητας Ε να λαμβάνεται κάτω από τον πίνακα Α του αρχικού πίνακα.
4. Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα A -1, ο οποίος βρίσκεται στον τελευταίο πίνακα κάτω από τον πίνακα E του αρχικού πίνακα.

Παράδειγμα 1

Για τον πίνακα A, βρείτε τον αντίστροφο πίνακα A -1

Λύση: Καταγράφουμε τον πίνακα A και στα δεξιά εκχωρούμε τον πίνακα ταυτότητας E. Χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς Jordan, ανάγουμε τον πίνακα A στον πίνακα ταυτότητας E. Οι υπολογισμοί φαίνονται στον Πίνακα 31.1.

Ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό πίνακα Α και τον αντίστροφο πίνακα Α -1.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του πίνακα, λαμβάνεται ο πίνακας ταυτότητας. Επομένως, οι υπολογισμοί είναι σωστοί.

Απάντηση:

Επίλυση εξισώσεων μήτρας

Οι εξισώσεις μήτρας μπορεί να μοιάζουν με:

AX = B, XA = B, AXB = C,

όπου A, B, C δίνονται πίνακες, X είναι ο επιθυμητός πίνακας.

Οι εξισώσεις μήτρας λύνονται πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με αντίστροφους πίνακες.

Για παράδειγμα, για να βρείτε τον πίνακα από μια εξίσωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτήν την εξίσωση επί στα αριστερά.

Επομένως, για να βρείτε μια λύση στην εξίσωση, πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και να τον πολλαπλασιάσετε με τον πίνακα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

Ομοίως λύνονται και άλλες εξισώσεις.

Παράδειγμα 2

Να λύσετε την εξίσωση AX = B αν

Απόφαση: Εφόσον το αντίστροφο του πίνακα είναι ίσο (βλ. παράδειγμα 1)

Μέθοδος matrix στην οικονομική ανάλυση

Μαζί με άλλα βρίσκουν και εφαρμογή μεθόδους μήτρας. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται σε γραμμική άλγεβρα και διανυσματική μήτρα. Τέτοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της ανάλυσης πολύπλοκων και πολυδιάστατων οικονομικών φαινομένων. Τις περισσότερες φορές, αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν είναι απαραίτητο να συγκριθεί η λειτουργία των οργανισμών και τα δομικά τους τμήματα.

Κατά τη διαδικασία εφαρμογής μεθόδων ανάλυσης μήτρας, μπορούν να διακριθούν διάφορα στάδια.

Στο πρώτο στάδιοπραγματοποιείται ο σχηματισμός ενός συστήματος οικονομικών δεικτών και στη βάση του συντάσσεται ένας πίνακας αρχικών δεδομένων, ο οποίος είναι ένας πίνακας στον οποίο εμφανίζονται οι αριθμοί του συστήματος στις επιμέρους γραμμές του (i = 1,2,....,n), και κατά μήκος των κάθετων γραφημάτων - αριθμοί δεικτών (j = 1,2,....,m).

Στο δεύτερο στάδιογια κάθε κάθετη στήλη, αποκαλύπτεται η μεγαλύτερη από τις διαθέσιμες τιμές των δεικτών, η οποία λαμβάνεται ως μονάδα.

Μετά από αυτό, όλα τα ποσά που απεικονίζονται σε αυτή τη στήλη διαιρούνται με τη μεγαλύτερη τιμή και σχηματίζεται ένας πίνακας τυποποιημένων συντελεστών.

Στο τρίτο στάδιοόλα τα συστατικά του πίνακα είναι τετράγωνα. Εάν έχουν διαφορετική σημασία, τότε σε κάθε δείκτη του πίνακα εκχωρείται ένας συγκεκριμένος συντελεστής στάθμισης κ. Η αξία του τελευταίου καθορίζεται από ειδικό.

Στο τελευταίο τέταρτο στάδιοβρέθηκαν τιμές βαθμολογιών Rjομαδοποιούνται με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά.

Οι παραπάνω μέθοδοι μήτρας θα πρέπει να χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, σε μια συγκριτική ανάλυση διαφόρων επενδυτικών σχεδίων, καθώς και στην αξιολόγηση άλλων δεικτών οικονομικής απόδοσης των οργανισμών.

Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή λύνει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μήτρας. Δίνεται μια πολύ αναλυτική λύση. Για να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, επιλέξτε τον αριθμό των μεταβλητών. Επιλέξτε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα. Στη συνέχεια, εισάγετε τα δεδομένα στα κελιά και κάντε κλικ στο κουμπί "Υπολογισμός".

×

Προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι αριθμοί (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί αριθμοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να πληκτρολογηθεί ως a/b, όπου το a και το b είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 κ.λπ.

Μέθοδος μήτρας επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Θεωρήστε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό του αντίστροφου πίνακα, έχουμε ΕΝΑ −1 ΕΝΑ=μι, όπου μιείναι η μήτρα ταυτότητας. Επομένως, το (4) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Έτσι, για να λυθεί το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (1) (ή (2)), αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το αντίστροφο σε ΕΝΑμήτρα ανά διάνυσμα περιορισμού σι.

Παραδείγματα επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα

Παράδειγμα 1. Λύστε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα:

Ας βρούμε το αντίστροφο του πίνακα Α με τη μέθοδο Jordan-Gauss. Στη δεξιά πλευρά της μήτρας ΕΝΑγράψτε τον πίνακα ταυτότητας:

Ας εξαιρέσουμε τα στοιχεία της 1ης στήλης του πίνακα κάτω από την κύρια διαγώνιο. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις σειρές 2,3 με τη σειρά 1, πολλαπλασιαζόμενες με -1/3, -1/3, αντίστοιχα:

Ας εξαιρέσουμε τα στοιχεία της 2ης στήλης του πίνακα κάτω από την κύρια διαγώνιο. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τη γραμμή 3 με τη γραμμή 2 πολλαπλασιασμένη με -24/51:

Ας εξαιρέσουμε τα στοιχεία της 2ης στήλης του πίνακα πάνω από την κύρια διαγώνιο. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τη σειρά 1 με τη σειρά 2, πολλαπλασιαζόμενη με -3/17:

Διαχωρίστε τη δεξιά πλευρά της μήτρας. Ο προκύπτων πίνακας είναι το αντίστροφο του ΕΝΑ :

Μορφή μήτρας γραφής συστήματος γραμμικών εξισώσεων: τσεκούρι=β, όπου

Υπολογίστε όλα τα αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα ΕΝΑ:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Ο αντίστροφος πίνακας υπολογίζεται από την παρακάτω παράσταση.

Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται από τον άνθρωπο από την αρχαιότητα και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Η μέθοδος του πίνακα επιτρέπει την εύρεση λύσεων σε SLAE (σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων) οποιασδήποτε πολυπλοκότητας. Η όλη διαδικασία επίλυσης SLAE καταλήγει σε δύο βασικά βήματα:

Προσδιορισμός του αντίστροφου πίνακα με βάση τον κύριο πίνακα:

Πολλαπλασιασμός του αντίστροφου πίνακα που προκύπτει με το διάνυσμα στήλης των λύσεων.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα SLAE της ακόλουθης μορφής:

\[\αριστερά\(\αρχή(μήτρα) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(μήτρας)\δεξιά.\]

Ας ξεκινήσουμε να λύνουμε αυτήν την εξίσωση γράφοντας τον πίνακα του συστήματος:

Πίνακας δεξιάς πλευράς:

Ας ορίσουμε έναν αντίστροφο πίνακα. Μπορείτε να βρείτε έναν πίνακα 2ης τάξης ως εξής: 1 - ο ίδιος ο πίνακας πρέπει να είναι μη ενικός. 2 - τα στοιχεία του που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο εναλλάσσονται και για τα στοιχεία της δευτερεύουσας διαγωνίου εκτελούμε μια αλλαγή πρόσημου προς το αντίθετο, μετά την οποία διαιρούμε τα ληφθέντα στοιχεία με την ορίζουσα μήτρας. Παίρνουμε:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ start(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 πίνακες θεωρούνται ίσοι αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα. Ως αποτέλεσμα, έχουμε την ακόλουθη απάντηση της λύσης SLAE:

Πού μπορώ να λύσω ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix online;

Μπορείτε να λύσετε το σύστημα εξισώσεων στην ιστοσελίδα μας. Ο δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε μια διαδικτυακή εξίσωση οποιασδήποτε πολυπλοκότητας σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στην ιστοσελίδα μας. Και αν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα μας Vkontakte.

Θέμα 2. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

Ορισμός 1. Σύστημα Μγραμμικές εξισώσεις με nΤο άγνωστο είναι ένα σύστημα της μορφής:

πού και είναι αριθμοί.

Ορισμός 2. Η λύση του συστήματος (Ι) είναι ένα τέτοιο σύνολο αγνώστων, στο οποίο κάθε εξίσωση αυτού του συστήματος μετατρέπεται σε ταυτότητα.

Ορισμός 3. Το σύστημα (Ι) ονομάζεται άρθρωσηαν έχει τουλάχιστον μία λύση και ασύμβατεςαν δεν έχει λύσεις. Το σύστημα άρθρωσης ονομάζεται βέβαιοςεάν έχει μια μοναδική λύση, και αβέβαιοςσε διαφορετική περίπτωση.

Ορισμός 4. Εξίσωση τύπου

που ονομάζεται μηδέν, και μια εξίσωση της μορφής

που ονομάζεται ασύμβατες. Προφανώς, ένα σύστημα εξισώσεων που περιέχει μια ασυνεπή εξίσωση είναι ασυνεπές.

Ορισμός 5. Τα δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων λέγονται ισοδύναμοςαν κάθε λύση ενός συστήματος είναι λύση ενός άλλου και, αντιστρόφως, κάθε λύση του δεύτερου συστήματος είναι λύση του πρώτου.

Σημειογραφία πίνακα για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Εξετάστε το σύστημα (I) (βλ. §1).

Σημαίνω:

Πίνακας συντελεστών για αγνώστους

Matrix - στήλη ελεύθερων μελών

Matrix - στήλη αγνώστων

.

Ορισμός 1.Ο πίνακας ονομάζεται η κύρια μήτρα του συστήματος(I), και ο πίνακας είναι ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος (I).

Σύμφωνα με τον ορισμό της ισότητας πίνακα, το σύστημα (I) αντιστοιχεί στην ισότητα πίνακα:

.

Η δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας με τον ορισμό του γινομένου των πινάκων ( βλέπε ορισμό 3 § 5 κεφάλαιο 1) μπορεί να παραγοντοποιηθεί:

, δηλ.

Ισότητα (2) που ονομάζεται σημειογραφία μήτρας του συστήματος (I).

Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.

Αφήστε το σύστημα (I) (βλ. §1) m=n, δηλ. ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων και ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι μη εκφυλισμένος, δηλ. . Τότε το σύστημα (Ι) από την §1 έχει μια μοναδική λύση

όπου ∆ = det Aκάλεσε το κύριο καθοριστικός παράγοντας συστήματος(Ι), ∆ Εγώλαμβάνεται από την ορίζουσα Δ με αντικατάσταση Εγώ-η στήλη στη στήλη των ελεύθερων μελών του συστήματος (I).

Παράδειγμα Λύστε το σύστημα με τη μέθοδο του Cramer:

.

Με τύπους (3) .

Υπολογίζουμε τους ορίζοντες του συστήματος:

,

,

.

Για να λάβουμε την ορίζουσα, έχουμε αντικαταστήσει την πρώτη στήλη στην ορίζουσα με μια στήλη ελεύθερων όρων. Αντικαθιστώντας τη 2η στήλη στην ορίζουσα με μια στήλη ελεύθερων μελών, λαμβάνουμε ; Ομοίως, αντικαθιστώντας την 3η στήλη στην ορίζουσα με μια στήλη ελεύθερων μελών, λαμβάνουμε . Λύση συστήματος:

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με χρήση αντίστροφου πίνακα.

Αφήστε το σύστημα (I) (βλ. §1) m=nκαι η κύρια μήτρα του συστήματος είναι μη εκφυλισμένη. Γράφουμε το σύστημα (I) σε μορφή πίνακα ( βλέπε §2):

επειδή μήτρα ΕΝΑείναι μη εκφυλισμένο, τότε έχει αντίστροφη μήτρα ( βλέπε Θεώρημα 1 §6 του Κεφαλαίου 1). Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης (2) στη μήτρα, λοιπόν

Εξ ορισμού του αντίστροφου πίνακα . Από την ισότητα (3) έχουμε

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα

.

Σημαίνω

Στο παράδειγμα (§ 3) υπολογίσαμε την ορίζουσα άρα τον πίνακα ΕΝΑέχει αντίστροφο πίνακα. Τότε σε ισχύ (4) , δηλ.

. (5)

Βρείτε τον πίνακα ( βλέπε §6 κεφάλαιο 1)

, , ,

, , ,

,

.

Μέθοδος Gauss.

Δίνεται το σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

. (ΕΓΩ)

Απαιτείται να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος (I) ή να βεβαιωθείτε ότι το σύστημα είναι ασυνεπές.

Ορισμός 1.Ας ονομάσουμε τον στοιχειώδη μετασχηματισμό του συστήματος(I) οποιαδήποτε από τις τρεις ενέργειες:

1) διαγραφή της μηδενικής εξίσωσης.

2) προσθέτοντας και στα δύο μέρη της εξίσωσης τα αντίστοιχα μέρη της άλλης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενα με τον αριθμό l.

3) εναλλαγή όρων στις εξισώσεις του συστήματος έτσι ώστε οι άγνωστοι με τους ίδιους αριθμούς σε όλες τις εξισώσεις να καταλαμβάνουν τις ίδιες θέσεις, δηλ. αν για παράδειγμα στην 1η εξίσωση αλλάξαμε τον 2ο και τον 3ο όρο, τότε το ίδιο πρέπει να γίνει σε όλες τις εξισώσεις του συστήματος.

Η μέθοδος Gauss συνίσταται στο γεγονός ότι το σύστημα (Ι) με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα, η λύση του οποίου βρίσκεται άμεσα ή διαπιστώνεται η μη επιλυτότητά του.

Όπως περιγράφεται στην §2, το σύστημα (Ι) καθορίζεται μοναδικά από τον εκτεταμένο πίνακα του και οποιοσδήποτε στοιχειώδης μετασχηματισμός του συστήματος (Ι) αντιστοιχεί σε έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό του εκτεταμένου πίνακα:

.

Ο μετασχηματισμός 1) αντιστοιχεί στη διαγραφή της μηδενικής γραμμής στον πίνακα, ο μετασχηματισμός 2) ισοδυναμεί με την προσθήκη στην αντίστοιχη γραμμή του πίνακα η άλλη σειρά πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό l, ο μετασχηματισμός 3) είναι ισοδύναμος με την αναδιάταξη των στηλών στον πίνακα .

Είναι εύκολο να δούμε ότι, αντίθετα, κάθε στοιχειώδης μετασχηματισμός του πίνακα αντιστοιχεί σε έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό του συστήματος (Ι). Ενόψει των όσων ειπώθηκαν, αντί για πράξεις με το σύστημα (Ι), θα εργαστούμε με τον επαυξημένο πίνακα αυτού του συστήματος.

Στον πίνακα, η 1η στήλη αποτελείται από συντελεστές στο x 1, 2η στήλη - από τους συντελεστές στο x 2και τα λοιπά. Σε περίπτωση αναδιάταξης στηλών, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι αυτή η προϋπόθεση παραβιάζεται. Για παράδειγμα, αν ανταλλάξουμε την 1η και τη 2η στήλη, τότε τώρα στην 1η στήλη θα υπάρχουν συντελεστές στο x 2, και στη 2η στήλη - συντελεστές στο x 1.

Θα λύσουμε το σύστημα (Ι) με τη μέθοδο Gauss.

1. Διαγράψτε όλες τις μηδενικές σειρές στον πίνακα, εάν υπάρχουν (δηλαδή, διαγράψτε όλες τις μηδενικές εξισώσεις στο σύστημα (I).

2. Ελέγξτε αν υπάρχει μια γραμμή μεταξύ των σειρών του πίνακα στην οποία όλα τα στοιχεία εκτός από το τελευταίο είναι ίσα με μηδέν (ας ονομάσουμε μια τέτοια σειρά ασυνεπής). Προφανώς, μια τέτοια γραμμή αντιστοιχεί σε μια ασυνεπή εξίσωση στο σύστημα (Ι), επομένως, το σύστημα (Ι) δεν έχει λύσεις, και εδώ τελειώνει η διαδικασία.

3. Ας μην περιέχει ο πίνακας ασυνεπείς σειρές (το σύστημα (Ι) δεν περιέχει ασυνεπείς εξισώσεις). Αν a 11 = 0, τότε βρίσκουμε στην 1η σειρά κάποιο στοιχείο (εκτός από το τελευταίο) που είναι διαφορετικό από το μηδέν και αναδιατάσσουμε τις στήλες έτσι ώστε να μην υπάρχει μηδέν στην 1η σειρά στην 1η θέση. Τώρα υποθέτουμε ότι (δηλαδή, ανταλλάσσουμε τους αντίστοιχους όρους στις εξισώσεις του συστήματος (Ι)).

4. Πολλαπλασιάστε την 1η σειρά με και προσθέστε το αποτέλεσμα στη 2η σειρά, στη συνέχεια πολλαπλασιάστε την 1η σειρά με και προσθέστε το αποτέλεσμα στην 3η σειρά κ.λπ. Προφανώς, αυτή η διαδικασία ισοδυναμεί με την εξάλειψη του αγνώστου x 1από όλες τις εξισώσεις του συστήματος (Ι), εκτός από την 1η. Στον νέο πίνακα, παίρνουμε μηδενικά στην 1η στήλη κάτω από το στοιχείο ένα 11:

.

5. Διαγράψτε όλες τις μηδενικές σειρές στον πίνακα, εάν υπάρχουν, ελέγξτε εάν υπάρχει ασυνεπής σειρά (αν υπάρχει, τότε το σύστημα είναι ασυνεπές και η λύση τελειώνει εκεί). Ας ελέγξουμε αν a 22 / =0, αν ναι, τότε βρίσκουμε ένα στοιχείο στη 2η σειρά που είναι διαφορετικό από το μηδέν και αναδιατάσσουμε τις στήλες έτσι ώστε . Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία της 2ης σειράς κατά και προσθέτουμε με τα αντίστοιχα στοιχεία της 3ης σειράς, μετά - τα στοιχεία της 2ης σειράς και προσθέτουμε με τα αντίστοιχα στοιχεία της 4ης σειράς κ.λπ., μέχρι να πάρουμε μηδενικά κάτω από ένα 22 /

.

Οι ενέργειες που γίνονται είναι ισοδύναμες με την εξάλειψη του αγνώστου x 2από όλες τις εξισώσεις του συστήματος (Ι), εκτός από την 1η και τη 2η. Δεδομένου ότι ο αριθμός των σειρών είναι πεπερασμένος, επομένως, μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων, θα λάβουμε ότι είτε το σύστημα είναι ασυνεπές, είτε θα καταλήξουμε σε έναν πίνακα βημάτων ( βλέπε ορισμό 2 §7 κεφάλαιο 1) :

,

Ας γράψουμε το σύστημα εξισώσεων που αντιστοιχεί στον πίνακα . Αυτό το σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα (I)

.

Από την τελευταία εξίσωση εκφράζουμε ; αντικαθιστούμε στην προηγούμενη εξίσωση, βρίσκουμε κ.λπ., μέχρι να πάρουμε .

Παρατήρηση 1.Έτσι, όταν λύνουμε το σύστημα (Ι) με τη μέθοδο Gauss, φτάνουμε σε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις.

1. Το σύστημα (I) είναι ασυνεπές.

2. Το σύστημα (I) έχει μια μοναδική λύση εάν ο αριθμός των σειρών στον πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων ().

3. Το σύστημα (I) έχει άπειρο αριθμό λύσεων εάν ο αριθμός των σειρών στον πίνακα είναι μικρότερος από τον αριθμό των αγνώστων ().

Επομένως ισχύει το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα.Το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων είτε είναι ασυνεπές, είτε έχει μια μοναδική λύση, είτε υπάρχει ένα άπειρο σύνολο λύσεων.

Παραδείγματα. Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss ή να αποδείξετε την ασυνέπειά του:

σι) ;

α) Ας ξαναγράψουμε το δεδομένο σύστημα με τη μορφή:

.

Ανταλλάξαμε την 1η και τη 2η εξίσωση του αρχικού συστήματος για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς (αντί για κλάσματα, θα λειτουργήσουμε μόνο με ακέραιους αριθμούς χρησιμοποιώντας μια τέτοια μετάθεση).

Συνθέτουμε έναν διευρυμένο πίνακα:

.

Δεν υπάρχουν μηδενικές γραμμές. χωρίς ασυμβίβαστες γραμμές, εξαιρούμε τον 1ο άγνωστο από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, εκτός από την 1η. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία της 1ης σειράς του πίνακα με "-2" και τα προσθέτουμε στα αντίστοιχα στοιχεία της 2ης σειράς, που ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό της 1ης εξίσωσης με "-2" και την προσθήκη της στο 2η εξίσωση. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία της 1ης σειράς με "-3" και τα προσθέτουμε στα αντίστοιχα στοιχεία της τρίτης σειράς, δηλ. πολλαπλασιάστε τη 2η εξίσωση του δεδομένου συστήματος με το "-3" και προσθέστε την στην 3η εξίσωση. Παίρνω

.

Ο πίνακας αντιστοιχεί σε ένα σύστημα εξισώσεων). - (βλ. Ορισμός 3 § 7 του Κεφαλαίου 1).