Στην εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης, u um. Αρμονική εξίσωση δόνησης

Η αρμονική ταλάντωση είναι ένα φαινόμενο περιοδικής μεταβολής κάποιας ποσότητας, στο οποίο η εξάρτηση από το όρισμα έχει τον χαρακτήρα ημιτονοειδούς ή συνημιτονοειδούς συνάρτησης. Για παράδειγμα, μια ποσότητα που ποικίλλει χρονικά ως εξής κυμαίνεται αρμονικά:

όπου x είναι η τιμή της μεταβαλλόμενης ποσότητας, t είναι χρόνος, οι υπόλοιπες παράμετροι είναι σταθερές: A είναι το πλάτος των ταλαντώσεων, ω είναι η κυκλική συχνότητα των ταλαντώσεων, είναι η πλήρης φάση των ταλαντώσεων, είναι η αρχική φάση του οι ταλαντώσεις.

Γενικευμένη αρμονική ταλάντωση σε διαφορική μορφή

(Οποιαδήποτε μη τετριμμένη λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι μια αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα)

Είδη δονήσεων

Οι ελεύθερες ταλαντώσεις εκτελούνται υπό τη δράση των εσωτερικών δυνάμεων του συστήματος αφού το σύστημα βγει από την ισορροπία. Για να είναι αρμονικές οι ελεύθερες ταλαντώσεις, είναι απαραίτητο το ταλαντωτικό σύστημα να είναι γραμμικό (που περιγράφεται με γραμμικές εξισώσεις κίνησης) και να μην υπάρχει διαρροή ενέργειας σε αυτό (η τελευταία θα προκαλούσε απόσβεση).

Οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εκτελούνται υπό την επίδραση μιας εξωτερικής περιοδικής δύναμης. Για να είναι αρμονικά, αρκεί το σύστημα ταλάντωσης να είναι γραμμικό (περιγράφεται με γραμμικές εξισώσεις κίνησης) και η ίδια η εξωτερική δύναμη να αλλάζει με την πάροδο του χρόνου ως αρμονική ταλάντωση (δηλαδή η χρονική εξάρτηση αυτής της δύναμης να είναι ημιτονοειδής). .

Αρμονική εξίσωση δόνησης

Εξίσωση (1)

δίνει την εξάρτηση της κυμαινόμενης τιμής S από το χρόνο t. αυτή είναι η εξίσωση των ελεύθερων αρμονικών ταλαντώσεων σε ρητή μορφή. Ωστόσο, η εξίσωση των ταλαντώσεων συνήθως νοείται ως διαφορετική εγγραφή αυτής της εξίσωσης, σε διαφορική μορφή. Για βεβαιότητα, παίρνουμε την εξίσωση (1) στη μορφή

Διαφοροποιήστε το δύο φορές ως προς το χρόνο:

Μπορεί να φανεί ότι ισχύει η ακόλουθη σχέση:

που ονομάζεται εξίσωση ελεύθερων αρμονικών ταλαντώσεων (σε διαφορική μορφή). Η εξίσωση (1) είναι μια λύση στη διαφορική εξίσωση (2). Εφόσον η εξίσωση (2) είναι μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης, απαιτούνται δύο αρχικές συνθήκες για να ληφθεί μια πλήρης λύση (δηλαδή, για να προσδιοριστούν οι σταθερές A και   που περιλαμβάνονται στην εξίσωση (1). για παράδειγμα, η θέση και η ταχύτητα ενός ταλαντευτικού συστήματος στο t = 0.

Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένας ταλαντωτής, ο οποίος είναι ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο που βρίσκεται σε ένα αβαρές μη εκτατό νήμα ή σε μια αβαρή ράβδο σε ένα ομοιόμορφο πεδίο βαρυτικών δυνάμεων. Η περίοδος των μικρών ιδιοταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς μήκους l, που αιωρείται ακίνητα σε ένα ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο με επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης g, είναι ίση με

και δεν εξαρτάται από το πλάτος και τη μάζα του εκκρεμούς.

Ένα φυσικό εκκρεμές είναι ένας ταλαντωτής, ο οποίος είναι ένα άκαμπτο σώμα που ταλαντώνεται στο πεδίο οποιωνδήποτε δυνάμεων γύρω από ένα σημείο που δεν είναι το κέντρο μάζας αυτού του σώματος ή ένας σταθερός άξονας κάθετος στην κατεύθυνση των δυνάμεων και δεν διέρχεται από κέντρο μάζας αυτού του σώματος.

Η επιλογή της αρχικής φάσης επιτρέπει, κατά την περιγραφή των αρμονικών ταλαντώσεων, τη μετάβαση από τη συνάρτηση ημιτονοειδούς στη συνημίτονο:

Γενικευμένη αρμονική ταλάντωση σε διαφορική μορφή:

Για να συμβούν ελεύθερες δονήσεις σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο, είναι απαραίτητο η δύναμη που τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας να είναι ανάλογη με τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας και να κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση. :

πού είναι η μάζα του ταλαντούμενου σώματος.

Ένα φυσικό σύστημα στο οποίο μπορούν να υπάρχουν αρμονικές ταλαντώσεις ονομάζεται αρμονικός ταλαντωτής,και η εξίσωση των αρμονικών ταλαντώσεων είναι αρμονική εξίσωση ταλαντωτή.

1.2. Προσθήκη κραδασμών

Δεν είναι ασυνήθιστο για ένα σύστημα να συμμετέχει ταυτόχρονα σε δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες ταλαντώσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις σχηματίζεται μια σύνθετη ταλαντωτική κίνηση, η οποία δημιουργείται με την υπέρθεση (προσθήκη) δονήσεων μεταξύ τους. Προφανώς, οι περιπτώσεις άθροισης των ταλαντώσεων μπορεί να είναι πολύ διαφορετικές. Εξαρτώνται όχι μόνο από τον αριθμό των προστιθέμενων ταλαντώσεων, αλλά και από τις παραμέτρους ταλάντωσης, από τις συχνότητες, τις φάσεις, τα πλάτη, τις κατευθύνσεις τους. Δεν είναι δυνατό να αναθεωρήσουμε όλη την πιθανή ποικιλία περιπτώσεων άθροισης ταλαντώσεων, επομένως θα περιοριστούμε να εξετάσουμε μόνο μεμονωμένα παραδείγματα.

Προσθήκη αρμονικών ταλαντώσεων που κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής

Εξετάστε την προσθήκη εξίσου κατευθυνόμενων ταλαντώσεων της ίδιας περιόδου, αλλά που διαφέρουν στην αρχική φάση και το πλάτος. Οι εξισώσεις των προστιθέμενων ταλαντώσεων δίνονται με την ακόλουθη μορφή:

πού και είναι μετατοπίσεις? και είναι τα πλάτη? και είναι οι αρχικές φάσεις των προστιθέμενων ταλαντώσεων.

Εικ.2.

Είναι βολικό να προσδιοριστεί το πλάτος της προκύπτουσας ταλάντωσης χρησιμοποιώντας ένα διανυσματικό διάγραμμα (Εικ. 2), στο οποίο τα διανύσματα των πλατών και των αθροιστικών ταλαντώσεων απεικονίζονται σε γωνίες και ως προς τον άξονα, και σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, το διάνυσμα πλάτους του προκύπτει η ολική ταλάντωση.

Αν περιστρέψουμε ομοιόμορφα το σύστημα των διανυσμάτων (παραλληλόγραμμο) και προβάλλουμε τα διανύσματα στον άξονα , τότε οι προβολές τους θα εκτελούν αρμονικές ταλαντώσεις σύμφωνα με τις δεδομένες εξισώσεις. Η αμοιβαία διάταξη των διανυσμάτων , και ταυτόχρονα παραμένει αμετάβλητη, επομένως η ταλαντωτική κίνηση της προβολής του διανύσματος που προκύπτει θα είναι επίσης αρμονική.

Αυτό συνεπάγεται το συμπέρασμα ότι η συνολική κίνηση είναι μια αρμονική ταλάντωση με δεδομένη κυκλική συχνότητα. Ορίζουμε το μέτρο πλάτους ΚΑΙπροκύπτουσα διακύμανση. Σε γωνία (από την ισότητα των απέναντι γωνιών ενός παραλληλογράμμου).

Συνεπώς,

από εδώ: .

Σύμφωνα με το θεώρημα του συνημιτόνου,

Η αρχική φάση της προκύπτουσας ταλάντωσης προσδιορίζεται από:

Οι σχέσεις για τη φάση και το πλάτος καθιστούν δυνατό να βρούμε το πλάτος και την αρχική φάση της κίνησης που προκύπτει και να συνθέσουμε την εξίσωσή της: .

κτυπά

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που οι συχνότητες δύο προστιθέμενων ταλαντώσεων διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους και ας είναι τα πλάτη ίδια και οι αρχικές φάσεις, δηλ.

Προσθέτουμε αναλυτικά αυτές τις εξισώσεις:

Ας μεταμορφωθούμε

Ρύζι. 3.

Εφόσον αλλάζει αργά, η τιμή δεν μπορεί να ονομαστεί πλάτος με την πλήρη έννοια της λέξης (το πλάτος είναι σταθερή τιμή). Συμβατικά, αυτή η τιμή μπορεί να ονομαστεί μεταβλητό πλάτος. Το γράφημα τέτοιων διακυμάνσεων φαίνεται στο Σχ.3. Οι προστιθέμενες ταλαντώσεις έχουν τα ίδια πλάτη, αλλά διαφορετικές περιόδους, ενώ οι περίοδοι και διαφέρουν ελαφρώς μεταξύ τους. Κατά την προσθήκη τέτοιων ταλαντώσεων, παρατηρούνται κτυπήματα. Ο αριθμός των παλμών ανά δευτερόλεπτο καθορίζεται από τη διαφορά στις συχνότητες των προστιθέμενων ταλαντώσεων, δηλ.

Οι παλμοί μπορούν να παρατηρηθούν όταν ηχούν δύο πιρούνια συντονισμού, εάν οι συχνότητες και οι δονήσεις είναι κοντά μεταξύ τους.

Πρόσθεση αμοιβαίων κάθετων ταλαντώσεων

Αφήστε ένα υλικό σημείο να συμμετέχει ταυτόχρονα σε δύο αρμονικές ταλαντώσεις που συμβαίνουν με τις ίδιες περιόδους σε δύο αμοιβαία κάθετες διευθύνσεις. Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να συσχετιστεί με αυτές τις κατευθύνσεις τοποθετώντας την αρχή στη θέση ισορροπίας του σημείου. Ας υποδηλώσουμε τη μετατόπιση του σημείου C κατά μήκος των αξόνων και, αντίστοιχα, μέσω και . (Εικ. 4).

Ας εξετάσουμε μερικές ειδικές περιπτώσεις.

1). Οι αρχικές φάσεις των ταλαντώσεων είναι οι ίδιες

Ας επιλέξουμε τη στιγμή της έναρξης της αντίστροφης μέτρησης με τέτοιο τρόπο ώστε οι αρχικές φάσεις και των δύο ταλαντώσεων να είναι ίσες με μηδέν. Τότε οι μετατοπίσεις κατά μήκος των αξόνων και μπορούν να εκφραστούν με τις εξισώσεις:

Διαιρώντας αυτές τις ισότητες ανά όρο, λαμβάνουμε τις εξισώσεις για την τροχιά του σημείου Γ:
ή .

Κατά συνέπεια, ως αποτέλεσμα της προσθήκης δύο αμοιβαίων κάθετων ταλαντώσεων, το σημείο Γ ταλαντώνεται κατά μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος που διέρχεται από την αρχή (Εικ. 4).

Ρύζι. τέσσερις.

2). Η διαφορά αρχικής φάσης είναι :

Οι εξισώσεις ταλάντωσης σε αυτή την περίπτωση έχουν τη μορφή:

Σημειακή εξίσωση τροχιάς:

Κατά συνέπεια, το σημείο C ταλαντώνεται κατά μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος που διέρχεται από την αρχή, αλλά βρίσκεται σε άλλα τεταρτημόρια από την πρώτη περίπτωση. Εύρος ΚΑΙοι προκύπτουσες διακυμάνσεις και στις δύο εξεταζόμενες περιπτώσεις είναι ίσες με:

3). Η διαφορά αρχικής φάσης είναι .

Οι εξισώσεις ταλάντωσης έχουν τη μορφή:

Διαιρέστε την πρώτη εξίσωση με και τη δεύτερη με:

Τετραγωνίζουμε και τις δύο ισότητες και τις προσθέτουμε. Λαμβάνουμε την ακόλουθη εξίσωση για την τροχιά της προκύπτουσας κίνησης του σημείου ταλάντωσης:

Το σημείο ταλάντωσης C κινείται κατά μήκος μιας έλλειψης με ημιάξονες και . Με ίσα πλάτη, η τροχιά της συνολικής κίνησης θα είναι κύκλος. Στη γενική περίπτωση, για , αλλά πολλαπλάσιο, δηλ. , όταν προσθέτουμε αμοιβαία κάθετες ταλαντώσεις, το σημείο ταλάντωσης κινείται κατά μήκος των καμπυλών που ονομάζονται σχήματα Lissajous.

Φιγούρες Lissajous

Φιγούρες Lissajous- κλειστές τροχιές που χαράσσονται από ένα σημείο που εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις σε δύο αμοιβαία κάθετες κατευθύνσεις.

Μελετήθηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο επιστήμονα Jules Antoine Lissajous. Το σχήμα των σχημάτων εξαρτάται από τη σχέση μεταξύ των περιόδων (συχνοτήτων), των φάσεων και των πλάτη και των δύο ταλαντώσεων(Εικ. 5).

Εικ.5.

Στην απλούστερη περίπτωση ισότητας και των δύο περιόδων, τα σχήματα είναι ελλείψεις, οι οποίες, με διαφορά φάσης ή εκφυλίζονται σε ευθύγραμμα τμήματα, και με διαφορά φάσης και ισότητα πλάτους μετατρέπονται σε κύκλο. Εάν οι περίοδοι και των δύο ταλαντώσεων δεν συμπίπτουν ακριβώς, τότε η διαφορά φάσης αλλάζει συνεχώς, με αποτέλεσμα η έλλειψη να παραμορφώνεται συνεχώς. Οι αριθμοί Lissajous δεν παρατηρούνται για σημαντικά διαφορετικές περιόδους. Ωστόσο, εάν οι περίοδοι συσχετίζονται ως ακέραιοι αριθμοί, τότε μετά από ένα χρονικό διάστημα ίσο με το ελάχιστο πολλαπλάσιο και των δύο περιόδων, το κινούμενο σημείο επιστρέφει ξανά στην ίδια θέση - λαμβάνονται σχήματα Lissajous πιο σύνθετης μορφής.
Τα σχήματα Lissajous χωρούν σε ένα ορθογώνιο του οποίου το κέντρο συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων και οι πλευρές είναι παράλληλες με τους άξονες συντεταγμένων και βρίσκονται και στις δύο πλευρές τους σε αποστάσεις ίσες με τα πλάτη της ταλάντωσης (Εικ. 6).

« Φυσική - 11η τάξη "

Η επιτάχυνση είναι η δεύτερη παράγωγος της συντεταγμένης ως προς το χρόνο.

Η στιγμιαία ταχύτητα ενός σημείου είναι η παράγωγος της συντεταγμένης του σημείου ως προς το χρόνο.
Η επιτάχυνση ενός σημείου είναι η παράγωγος της ταχύτητάς του ως προς το χρόνο, ή η δεύτερη παράγωγος της συντεταγμένης ως προς το χρόνο.
Επομένως, η εξίσωση κίνησης του εκκρεμούς μπορεί να γραφτεί ως εξής:

όπου x" είναι η δεύτερη παράγωγος της συντεταγμένης ως προς το χρόνο.

Με ελεύθερες δονήσεις, η συντεταγμένη Χαλλάζει με το χρόνο έτσι ώστε η δεύτερη παράγωγος της συντεταγμένης ως προς το χρόνο να είναι ευθέως ανάλογη με την ίδια τη συντεταγμένη και αντίθετη σε πρόσημο με αυτήν.

Αρμονικές δονήσεις

Από τα μαθηματικά: οι δεύτερες παράγωγοι του ημιτόνου και του συνημιτόνου στο επιχείρημά τους είναι ανάλογες με τις ίδιες τις συναρτήσεις, που λαμβάνονται με το αντίθετο πρόσημο, και καμία άλλη συνάρτηση δεν έχει αυτή την ιδιότητα.
Ως εκ τούτου:
Η συντεταγμένη ενός σώματος που εκτελεί ελεύθερες ταλαντώσεις αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με το νόμο του ημιτόνου ή του συνημιτόνου.

Οι περιοδικές αλλαγές σε μια φυσική ποσότητα ανάλογα με το χρόνο, που συμβαίνουν σύμφωνα με το νόμο του ημιτόνου ή του συνημιτονοειδούς, ονομάζονται αρμονικές δονήσεις.

Πλάτος ταλάντωσης

Εύροςαρμονικές ταλαντώσεις ονομάζεται το δομοστοιχείο της μεγαλύτερης μετατόπισης του σώματος από τη θέση ισορροπίας.

Το πλάτος καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες, ή μάλλον από την ενέργεια που προσδίδεται στο σώμα.

Η γραφική παράσταση των συντεταγμένων του σώματος σε σχέση με το χρόνο είναι ένα συνημιτονικό κύμα.

x = x m cos ω 0 t

Στη συνέχεια, η εξίσωση κίνησης που περιγράφει τις ελεύθερες ταλαντώσεις του εκκρεμούς:

Περίοδος και συχνότητα αρμονικών ταλαντώσεων.

Κατά τη διάρκεια των κραδασμών, οι κινήσεις του σώματος επαναλαμβάνονται περιοδικά.
Το χρονικό διάστημα T κατά το οποίο το σύστημα ολοκληρώνει έναν πλήρη κύκλο ταλαντώσεων ονομάζεται περίοδος ταλάντωσης.

Η συχνότητα ταλάντωσης είναι ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά μονάδα χρόνου.
Αν συμβεί μία ταλάντωση στο χρόνο T, τότε ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά δευτερόλεπτο

Στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI), ονομάζεται μονάδα συχνότητας χέρτζ(Hz) προς τιμήν του Γερμανού φυσικού G. Hertz.

Ο αριθμός των ταλαντώσεων σε 2π s είναι:

Η τιμή του ω 0 είναι η κυκλική (ή κυκλική) συχνότητα ταλάντωσης.
Μετά από χρονικό διάστημα ίσο με μία περίοδο, οι ταλαντώσεις επαναλαμβάνονται.

Η συχνότητα των ελεύθερων κραδασμών ονομάζεται φυσική συχνότηταταλαντωτικό σύστημα.
Συχνά, για συντομία, η κυκλική συχνότητα αναφέρεται απλώς ως συχνότητα.

Εξάρτηση της συχνότητας και της περιόδου των ελεύθερων ταλαντώσεων από τις ιδιότητες του συστήματος.

1.για εκκρεμές ελατηρίου

Η φυσική συχνότητα ταλάντωσης ενός εκκρεμούς ελατηρίου είναι ίση με:

Είναι όσο μεγαλύτερη, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακαμψία του ελατηρίου k, και όσο μικρότερη, τόσο μεγαλύτερη είναι η μάζα σώματος m.
Ένα άκαμπτο ελατήριο προσδίδει μεγαλύτερη επιτάχυνση στο σώμα, αλλάζει την ταχύτητα του σώματος πιο γρήγορα και όσο πιο μαζικό είναι το σώμα, τόσο πιο αργά αλλάζει ταχύτητα υπό την επίδραση της δύναμης.

Η περίοδος ταλάντωσης είναι:

Η περίοδος ταλάντωσης ενός εκκρεμούς ελατηρίου δεν εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης.

2.για εκκρεμές νήματος

Η φυσική συχνότητα των ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς σε μικρές γωνίες απόκλισης του νήματος από την κατακόρυφο εξαρτάται από το μήκος του εκκρεμούς και την επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης:

Η περίοδος αυτών των ταλαντώσεων είναι

Η περίοδος ταλάντωσης ενός εκκρεμούς νήματος σε μικρές γωνίες παραμόρφωσης δεν εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης.

Η περίοδος ταλάντωσης αυξάνεται με το μήκος του εκκρεμούς. Δεν εξαρτάται από τη μάζα του εκκρεμούς.

Όσο μικρότερο g, τόσο μεγαλύτερη είναι η περίοδος ταλάντωσης του εκκρεμούς και, κατά συνέπεια, τόσο πιο αργό τρέχει το ρολόι με το εκκρεμές. Έτσι, ένα ρολόι με ένα εκκρεμές σε μορφή βάρους σε μια ράβδο θα μείνει πίσω σε μια μέρα κατά σχεδόν 3 δευτερόλεπτα εάν σηκωθεί από το υπόγειο στον επάνω όροφο του Πανεπιστημίου της Μόσχας (ύψος 200 m). Και αυτό οφείλεται μόνο στη μείωση της επιτάχυνσης της ελεύθερης πτώσης με το ύψος.

§ 6. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΒασικές φόρμουλες

Αρμονική εξίσωση δόνησης

όπου Χ -μετατόπιση του σημείου ταλάντωσης από τη θέση ισορροπίας. t- χρόνος; ΚΑΙ,ω, φ- αντίστοιχα πλάτος, γωνιακή συχνότητα, αρχική φάση ταλαντώσεων. - φάση ταλαντώσεων αυτή τη στιγμή t.

Συχνότητα γωνιακής ταλάντωσης

όπου ν και Τ είναι η συχνότητα και η περίοδος των ταλαντώσεων.

Η ταχύτητα ενός σημείου που κάνει αρμονικές ταλαντώσεις,

Αρμονική επιτάχυνση

Εύρος ΚΑΙη προκύπτουσα ταλάντωση που προκύπτει με την προσθήκη δύο ταλαντώσεων με τις ίδιες συχνότητες που συμβαίνουν κατά μήκος μιας ευθείας προσδιορίζεται από τον τύπο

όπου ένα 1 και ΚΑΙ 2 - πλάτη των συνιστωσών ταλάντωσης. φ 1 και φ 2 - οι αρχικές τους φάσεις.

Η αρχική φάση φ της προκύπτουσας ταλάντωσης μπορεί να βρεθεί από τον τύπο

Η συχνότητα των παλμών που προκύπτουν από την προσθήκη δύο ταλαντώσεων που συμβαίνουν κατά μήκος της ίδιας ευθείας με διαφορετικές, αλλά κοντινές σε τιμή, συχνότητες ν 1 και ν 2,

Η εξίσωση της τροχιάς ενός σημείου που συμμετέχει σε δύο αμοιβαία κάθετες ταλαντώσεις με πλάτη A 1 και A 2 και αρχικές φάσεις φ 1 και φ 2,

Εάν οι αρχικές φάσεις φ 1 και φ 2 των συνιστωσών ταλάντωσης είναι ίδιες, τότε η εξίσωση τροχιάς παίρνει τη μορφή

δηλ. το σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή.

Στην περίπτωση που η διαφορά φάσης , η εξίσωση παίρνει τη μορφή

δηλ. το σημείο κινείται κατά μήκος μιας έλλειψης.

Διαφορική εξίσωση αρμονικών δονήσεων υλικού σημείου

, ή , όπου m είναι η μάζα του σημείου. κ- συντελεστής οιονεί ελαστικής δύναμης ( κ=tω 2).

Η συνολική ενέργεια ενός υλικού σημείου που κάνει αρμονικές ταλαντώσεις,

Η περίοδος ταλάντωσης ενός σώματος που αιωρείται σε ένα ελατήριο (εκκρεμές ελατηρίου),

όπου Μ- μάζα σώματος; κ- ακαμψία ελατηρίου. Ο τύπος ισχύει για ελαστικούς κραδασμούς εντός των ορίων στα οποία πληρούται ο νόμος του Hooke (με μικρή μάζα του ελατηρίου σε σύγκριση με τη μάζα του σώματος).

Η περίοδος ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς

όπου μεγάλο- μήκος εκκρεμούς. σολ- επιτάχυνση βαρύτητος. Περίοδος ταλάντωσης ενός φυσικού εκκρεμούς

όπου J- η ροπή αδράνειας του ταλαντούμενου σώματος ως προς τον άξονα

διακυμάνσεις? ένα- απόσταση του κέντρου μάζας του εκκρεμούς από τον άξονα ταλάντωσης.

Μειωμένο μήκος ενός φυσικού εκκρεμούς.

Οι παραπάνω τύποι είναι ακριβείς για την περίπτωση απείρως μικρού πλάτους. Για πεπερασμένα πλάτη, αυτοί οι τύποι δίνουν μόνο κατά προσέγγιση αποτελέσματα. Σε πλάτη όχι μεγαλύτερα από το σφάλμα στην τιμή της περιόδου δεν υπερβαίνει το 1%.

Η περίοδος των στρεπτικών δονήσεων ενός σώματος που αιωρείται σε ένα ελαστικό νήμα,

όπου J- η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα που συμπίπτει με το ελαστικό νήμα. κ- η ακαμψία ενός ελαστικού νήματος, ίση με την αναλογία της ελαστικής ροπής που προκύπτει όταν το νήμα συστρέφεται προς τη γωνία κατά την οποία συστρέφεται το νήμα.

Διαφορική εξίσωση απόσβεσης ταλαντώσεων , ή ,

όπου r- συντελεστής αντίστασης. δ - συντελεστής απόσβεσης: ω 0 - φυσική γωνιακή συχνότητα δονήσεων *

Εξίσωση απόσβεσης ταλάντωσης

όπου Στο)- πλάτος των αποσβεσμένων ταλαντώσεων αυτή τη στιγμή t;ω είναι η γωνιακή τους συχνότητα.

Γωνιακή συχνότητα απόσβεσης ταλαντώσεων

О Εξάρτηση του πλάτους των αποσβεσμένων ταλαντώσεων από το χρόνο

Εγώ

όπου ΚΑΙ 0 - πλάτος των ταλαντώσεων αυτή τη στιγμή t=0.

Μείωση λογαριθμικής ταλάντωσης

όπου Στο)και A(t+T)- τα πλάτη δύο διαδοχικών ταλαντώσεων που χωρίζονται χρονικά μεταξύ τους με περίοδο.

Διαφορική εξίσωση εξαναγκασμένων δονήσεων

όπου υπάρχει μια εξωτερική περιοδική δύναμη που δρα σε ένα ταλαντούμενο υλικό σημείο και προκαλεί εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. φά 0 - τιμή πλάτους του?

Πλάτος εξαναγκασμένων δονήσεων

Συχνότητα συντονισμού και πλάτος συντονισμού και

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παράδειγμα 1Το σημείο ταλαντώνεται σύμφωνα με το νόμο x(t)=, όπου Α=2βλέπε Προσδιορισμός αρχικής φάσης φ αν

Χ(0)=cm και Χ , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Απόφαση. Χρησιμοποιούμε την εξίσωση της κίνησης και εκφράζουμε τη μετατόπιση τη στιγμή t=0 έως την αρχική φάση:

Από εδώ βρίσκουμε την αρχική φάση:

* Στους τύπους αρμονικών ταλαντώσεων που δόθηκαν προηγουμένως, η ίδια τιμή συμβολιζόταν απλώς με ω (χωρίς τον δείκτη 0).

Αντικαταστήστε τις δεδομένες τιμές σε αυτήν την έκφραση Χ(0) και ΚΑΙ:φ= = . Η τιμή του ορίσματος ικανοποιείται από δύο τιμές γωνίας:

Για να αποφασίσουμε ποια από αυτές τις τιμές της γωνίας φ ικανοποιεί επίσης την συνθήκη, βρίσκουμε πρώτα:

Αντικαθιστώντας σε αυτήν την έκφραση την τιμή t=0 και εναλλάξ οι τιμές των αρχικών φάσεων και, βρίσκουμε

Τ εντάξει όπως πάντα ΕΝΑ>0 και ω>0, τότε μόνο η πρώτη τιμή της αρχικής φάσης ικανοποιεί τη συνθήκη. Έτσι, η επιθυμητή αρχική φάση

Με βάση την ευρεθείσα τιμή του φ, θα κατασκευάσουμε ένα διανυσματικό διάγραμμα (Εικ. 6.1). Παράδειγμα 2Υλικό σημείο με μάζα t\u003d 5 g εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις με συχνότητα ν =0,5 Hz. Πλάτος ταλάντωσης ΕΝΑ=3 εκ. Να προσδιορίσετε: 1) ταχύτητα υ σημεία τη στιγμή που η μετατόπιση x== 1,5 cm; 2) η μέγιστη δύναμη F max που ασκείται στο σημείο. 3) Εικ. 6,1 συνολική ενέργεια μισημείο ταλάντωσης.

και λαμβάνουμε τον τύπο της ταχύτητας παίρνοντας την πρώτη χρονική παράγωγο της μετατόπισης:

Για να εκφραστεί η ταχύτητα σε όρους μετατόπισης, ο χρόνος πρέπει να εξαιρεθεί από τους τύπους (1) και (2). Για να γίνει αυτό, τετραγωνίζουμε και τις δύο εξισώσεις, διαιρούμε την πρώτη με ΚΑΙ 2 , το δεύτερο στο A 2 ω 2 και προσθέστε:

, ή

Επίλυση της τελευταίας εξίσωσης για υ , εύρημα

Έχοντας πραγματοποιήσει υπολογισμούς σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, λαμβάνουμε

Το σύμβολο συν αντιστοιχεί στην περίπτωση που η κατεύθυνση της ταχύτητας συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ,σύμβολο μείον - όταν η κατεύθυνση της ταχύτητας συμπίπτει με την αρνητική κατεύθυνση του άξονα Χ.

Η μετατόπιση κατά την αρμονική ταλάντωση, εκτός από την εξίσωση (1), μπορεί επίσης να προσδιοριστεί από την εξίσωση

Επαναλαμβάνοντας την ίδια λύση με αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε την ίδια απάντηση.

2. Η δύναμη που ενεργεί σε ένα σημείο, βρίσκουμε σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα:

όπου ένα -επιτάχυνση ενός σημείου, που παίρνουμε παίρνοντας τη χρονική παράγωγο της ταχύτητας:

Αντικαθιστώντας την έκφραση της επιτάχυνσης στον τύπο (3), λαμβάνουμε

Εξ ου και η μέγιστη τιμή της δύναμης

Αντικαθιστώντας σε αυτή την εξίσωση τις τιμές των π, ν, tκαι ΕΝΑ,εύρημα

3. Η συνολική ενέργεια ενός ταλαντευόμενου σημείου είναι το άθροισμα της κινητικής και της δυνητικής ενέργειας που υπολογίζεται για οποιαδήποτε χρονική στιγμή.

Ο ευκολότερος τρόπος υπολογισμού της συνολικής ενέργειας είναι τη στιγμή που η κινητική ενέργεια φτάνει στη μέγιστη τιμή της. Σε αυτό το σημείο, η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν. Άρα η συνολική ενέργεια μιΤο σημείο ταλάντωσης είναι ίσο με τη μέγιστη κινητική ενέργεια

Καθορίζουμε τη μέγιστη ταχύτητα από τον τύπο (2), ρυθμίζοντας: . Αντικαθιστώντας την έκφραση ταχύτητας στον τύπο (4), βρίσκουμε

Αντικαθιστώντας τις τιμές των ποσοτήτων σε αυτόν τον τύπο και πραγματοποιώντας υπολογισμούς, λαμβάνουμε

ή mcJ.

Παράδειγμα 3Στα άκρα μιας λεπτής ράβδου μεγάλο= 1 m και βάρος Μ 3 =400 g μικρές μπάλες ενισχύονται με μάζες Μ 1=200 γρ και Μ 2 = 300 γρ. Η ράβδος ταλαντώνεται γύρω από τον οριζόντιο άξονα, κάθετα προς

δικυκλική ράβδος και διέρχεται από τη μέση της (σημείο Ο στην Εικ. 6.2). Ορίστε την περίοδο Τδονήσεις που προκαλούνται από τη ράβδο.

Απόφαση. Η περίοδος ταλάντωσης ενός φυσικού εκκρεμούς, που είναι μια ράβδος με μπάλες, καθορίζεται από τη σχέση

όπου J- t -το βάρος του? μεγάλο ΑΠΟ - απόσταση από το κέντρο μάζας του εκκρεμούς προς τον άξονα.

Η ροπή αδράνειας αυτού του εκκρεμούς είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας των σφαιρών J 1 και J 2 και ράβδος J 3:

Παίρνοντας τις μπάλες ως υλικά σημεία, εκφράζουμε τις στιγμές αδράνειας τους:

Δεδομένου ότι ο άξονας διέρχεται από το μέσο της ράβδου, τότε η ροπή αδράνειας του γύρω από αυτόν τον άξονα J 3 = =. Αντικατάσταση των παραστάσεων που προκύπτουν J 1 , J 2 και J 3 στον τύπο (2), βρίσκουμε τη συνολική ροπή αδράνειας του φυσικού εκκρεμούς:

Εκτελώντας υπολογισμούς χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, βρίσκουμε

Ρύζι. 6.2 Η μάζα του εκκρεμούς αποτελείται από τις μάζες των σφαιρών και τη μάζα της ράβδου:

Απόσταση μεγάλο ΑΠΟ βρίσκουμε το κέντρο μάζας του εκκρεμούς από τον άξονα ταλάντωσης, με βάση τις ακόλουθες σκέψεις. Αν ο άξονας Χκατευθύνετε κατά μήκος της ράβδου και ευθυγραμμίστε την αρχή με το σημείο O,τότε η επιθυμητή απόσταση μεγάλοισούται με τη συντεταγμένη του κέντρου μάζας του εκκρεμούς, δηλ.

Αντικατάσταση των τιμών των ποσοτήτων Μ 1 , Μ 2 , Μ, μεγάλοκαι πραγματοποιώντας υπολογισμούς, βρίσκουμε

Έχοντας κάνει υπολογισμούς σύμφωνα με τον τύπο (1), λαμβάνουμε την περίοδο ταλάντωσης ενός φυσικού εκκρεμούς:

Παράδειγμα 4Το φυσικό εκκρεμές είναι μια ράβδος με μήκος μεγάλο= 1 m και βάρος 3 t 1 Μεστερεώνεται σε ένα από τα άκρα του με ένα τσέρκι με διάμετρο και μάζα t 1 . Οριζόντιος άξονας Οζ

το εκκρεμές διέρχεται από το μέσο της ράβδου κάθετα προς αυτό (Εικ. 6.3). Ορίστε την περίοδο Τταλαντώσεις ενός τέτοιου εκκρεμούς.

Απόφαση. Η περίοδος ταλάντωσης ενός φυσικού εκκρεμούς καθορίζεται από τον τύπο

(1)

όπου J- τη ροπή αδράνειας του εκκρεμούς ως προς τον άξονα ταλάντωσης. t -το βάρος του? μεγάλοντο - την απόσταση από το κέντρο μάζας του εκκρεμούς έως τον άξονα ταλάντωσης.

Η ροπή αδράνειας του εκκρεμούς είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας της ράβδου J 1 και τσέρκι J 2:

(2).

Η ροπή αδράνειας της ράβδου σε σχέση με τον άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το κέντρο μάζας της καθορίζεται από τον τύπο . Σε αυτήν την περίπτωση t= 3t 1 και

Βρίσκουμε τη ροπή αδράνειας του στεφάνου χρησιμοποιώντας το θεώρημα Steiner ,όπου J- ροπή αδράνειας ως προς έναν αυθαίρετο άξονα. J 0 - ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας παράλληλο προς τον δεδομένο άξονα. ένα -την απόσταση μεταξύ των καθορισμένων αξόνων. Εφαρμόζοντας αυτόν τον τύπο στο τσέρκι, παίρνουμε

Αντικατάσταση εκφράσεων J 1 και J 2 στον τύπο (2), βρίσκουμε τη ροπή αδράνειας του εκκρεμούς ως προς τον άξονα περιστροφής:

Απόσταση μεγάλο ΑΠΟ από τον άξονα του εκκρεμούς έως το κέντρο μάζας του είναι

Αντικαθιστώντας στον τύπο (1) τις εκφράσεις J, μεγάλο c και τη μάζα του εκκρεμούς , βρίσκουμε την περίοδο της ταλάντωσής του:

Αφού υπολογίσουμε με αυτόν τον τύπο, παίρνουμε Τ\u003d 2,17 δευτ.

Παράδειγμα 5Προστίθενται δύο ταλαντώσεις της ίδιας κατεύθυνσης, που εκφράζονται με τις εξισώσεις ; Χ 2 = =, όπου ΚΑΙ 1 = 1 εκ, ΕΝΑ 2 \u003d 2 cm, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Προσδιορίστε τις αρχικές φάσεις φ 1 και φ 2 των συνιστωσών της ταλάντωσης

bani. 2. Βρείτε το πλάτος ΚΑΙκαι η αρχική φάση φ της ταλάντωσης που προκύπτει. Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης που προκύπτει.

Απόφαση. 1. Η εξίσωση της αρμονικής ταλάντωσης έχει τη μορφή

Ας μετατρέψουμε τις εξισώσεις που δίνονται στην συνθήκη του προβλήματος στην ίδια μορφή:

Από τη σύγκριση των παραστάσεων (2) με την ισότητα (1), βρίσκουμε τις αρχικές φάσεις της πρώτης και της δεύτερης ταλάντωσης:

Χαρούμενος και χαρούμενος.

2. Για τον προσδιορισμό του πλάτους ΚΑΙτης προκύπτουσας διακύμανσης, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε το διανυσματικό διάγραμμα που παρουσιάζεται στο ρύζι. 6.4. Σύμφωνα με το θεώρημα του συνημιτόνου, παίρνουμε

πού είναι η διαφορά φάσης των συνιστωσών ταλάντωσης.Αφού , τότε, αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν φ 2 και φ 1 παίρνουμε rad.

Αντικαταστήστε τις τιμές ΚΑΙ 1 , ΚΑΙ 2 και στον τύπο (3) και εκτελέστε τους υπολογισμούς:

ΕΝΑ= 2,65 εκ.

Η εφαπτομένη της αρχικής φάσης φ της προκύπτουσας ταλάντωσης μπορεί να προσδιοριστεί απευθείας από τα Σχ. 6.4: , από όπου και η αρχική φάση

Οι αρμονικές ταλαντώσεις είναι ταλαντώσεις στις οποίες ένα φυσικό μέγεθος αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με έναν αρμονικό (ημιτονοειδές, συνημιτονικό) νόμο. Η εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
ή
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - απόκλιση από τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή t
Α - πλάτος ταλάντωσης, η διάσταση του Α είναι ίδια με τη διάσταση του Χ
ω - κυκλική συχνότητα, rad/s (ακτίνια ανά δευτερόλεπτο)
φ - αρχική φάση, rad
t - χρόνος, s
T - περίοδος ταλάντωσης, s
f - συχνότητα ταλάντωσης, Hz (Hertz)
π - σταθερά περίπου ίση με 3,14, 2π=6,28

Η περίοδος ταλάντωσης, η συχνότητα σε hertz και η κυκλική συχνότητα σχετίζονται με σχέσεις.
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Για να θυμάστε αυτές τις σχέσεις, πρέπει να κατανοήσετε τα ακόλουθα.
Κάθε μία από τις παραμέτρους ω, f, T καθορίζει μοναδικά τις άλλες. Για να περιγράψουμε τις ταλαντώσεις, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε μία από αυτές τις παραμέτρους.

Η περίοδος T είναι ο χρόνος μιας διακύμανσης, είναι βολικό να χρησιμοποιείται για τη χάραξη γραφημάτων διακύμανσης.
Κυκλική συχνότητα ω - χρησιμοποιείται για τη σύνταξη των εξισώσεων των ταλαντώσεων, σας επιτρέπει να πραγματοποιείτε μαθηματικούς υπολογισμούς.
Συχνότητα f - ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά μονάδα χρόνου, χρησιμοποιείται παντού. Σε hertz, μετράμε τη συχνότητα στην οποία συντονίζονται τα ραδιόφωνα, καθώς και το εύρος των κινητών τηλεφώνων. Η συχνότητα των κραδασμών των χορδών μετριέται σε Hertz όταν κουρδίζετε μουσικά όργανα.

Η έκφραση (ωt+φ) ονομάζεται φάση ταλάντωσης, και η τιμή του φ ονομάζεται αρχική φάση, αφού είναι ίση με τη φάση ταλάντωσης τη στιγμή t=0.

Οι συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημιτόνου περιγράφουν τους λόγους των πλευρών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Επομένως, πολλοί δεν καταλαβαίνουν πώς αυτές οι συναρτήσεις σχετίζονται με αρμονικές ταλαντώσεις. Αυτή η σχέση αποδεικνύεται από ένα ομοιόμορφα περιστρεφόμενο διάνυσμα. Η προβολή ενός ομοιόμορφα περιστρεφόμενου διανύσματος κάνει αρμονικές ταλαντώσεις.
Η παρακάτω εικόνα δείχνει ένα παράδειγμα τριών αρμονικών ταλαντώσεων. Ίσο σε συχνότητα, αλλά διαφορετικό σε φάση και πλάτος.