Kuidas lahendada võrrandit b. Kuidas lahendada võrrandeid murdarvudega

Juhised

Märge:π kirjutatakse pi; ruutjuur kui sqrt().

Samm 1. Sisestage näide, mis koosneb murdosadest.

2. samm. Klõpsake nuppu "Lahenda".

3. samm. Hankige üksikasjalikud tulemused.

Tagamaks, et kalkulaator arvutab murde õigesti, sisestage murdosa eraldatuna märgiga “/”. Näiteks: . Kalkulaator arvutab võrrandi ja isegi näitab graafikul, miks see tulemus saadi.

Mis on võrrand murdosadega

Murdarvu võrrand on võrrand, milles koefitsiendid on murdarvud. Lineaarvõrrandid murdudega lahendatakse standardskeemi järgi: tundmatud kantakse ühele, teadaolevad teisele poole.

Vaatame näidet:

Tundmatutega murrud kantakse vasakule ja teised murdu paremale. Kui arvud kantakse üle võrdusmärgist, muutub numbrite märk vastupidiseks:

Nüüd peate tegema ainult mõlema võrdsuse poole toimingud:

Tulemuseks on tavaline lineaarvõrrand. Nüüd peate jagama vasaku ja parema külje muutuja koefitsiendiga.

Lahendage võrgus murdudega võrrandeid värskendatud: 7. oktoobril 2018: Teaduslikud artiklid.Ru

Analüüsime kahte tüüpi võrrandisüsteemide lahendusi:

1. Süsteemi lahendamine asendusmeetodil.
2. Süsteemi lahendamine süsteemivõrrandite terminite kaupa liitmise (lahutamise) teel.

Selleks, et lahendada võrrandisüsteemi asendusmeetodi abil peate järgima lihtsat algoritmi:
1. Ekspress. Mis tahes võrrandist väljendame ühte muutujat.
2. Asendus. Asendame saadud väärtuse väljendatud muutuja asemel teise võrrandiga.
3. Lahendage saadud võrrand ühe muutujaga. Leiame süsteemile lahenduse.

Lahendada süsteem termini kaupa liitmise (lahutamise) meetodil vaja:
1. Vali muutuja, millele teeme identsed koefitsiendid.
2. Liidame või lahutame võrrandeid, mille tulemuseks on ühe muutujaga võrrand.
3. Lahendage saadud lineaarvõrrand. Leiame süsteemile lahenduse.

Süsteemi lahenduseks on funktsioonigraafikute lõikepunktid.

Vaatleme üksikasjalikult näidete abil süsteemide lahendust.

Näide nr 1:

Lahendame asendusmeetodil

Võrrandisüsteemi lahendamine asendusmeetodil

2x+5y=1 (1 võrrand)
x-10y = 3 (2. võrrand)

1. Ekspress
Näha on, et teises võrrandis on muutuja x koefitsiendiga 1, mis tähendab, et muutujat x on kõige lihtsam väljendada teisest võrrandist.
x=3+10 a

2.Pärast seda, kui oleme selle väljendanud, asendame esimesse võrrandisse muutuja x asemel 3+10y.
2(3+10a)+5a=1

3. Lahendage saadud võrrand ühe muutujaga.
2(3+10a)+5a=1 (avage sulud)
6+20a+5a=1
25a = 1-6
25 a = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Võrrandisüsteemi lahenduseks on graafikute lõikepunktid, seepärast tuleb leida x ja y, kuna lõikepunkt koosneb x-st ja y-st Leiame x, esimeses punktis, kus seda väljendasime, asendame y.
x=3+10 a
x=3+10*(-0,2)=1

Punkte on tavaks kirjutada esiteks muutuja x ja teiseks muutuja y.
Vastus: (1; -0,2)

Näide nr 2:

Lahendame terminikaupa liitmise (lahutamise) meetodil.

Võrrandisüsteemi lahendamine liitmismeetodil

3x-2y=1 (1 võrrand)
2x-3y = -10 (2. võrrand)

1. Valime muutuja, oletame, et valime x. Esimeses võrrandis on muutuja x koefitsient 3, teises - 2. Peame muutma koefitsiendid samaks, selleks on meil õigus võrrandid korrutada või jagada mis tahes arvuga. Korrutame esimese võrrandi 2-ga ja teise 3-ga ning saame koefitsiendiks 6.

3x-2a=1 |*2
6x-4a = 2

2x-3a = -10 |*3
6x-9a = -30

2. Muutuja x vabanemiseks lahutage esimesest võrrandist teine. Lahendage lineaarvõrrand.
__6x-4a = 2

5a=32 | :5
y = 6,4

3. Leidke x. Asendame leitud y mis tahes võrrandis, oletame, et esimeses võrrandis.
3x-2a = 1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Lõikepunkt on x=4,6; y = 6,4
Vastus: (4,6; 6,4)

Kas soovite eksamiteks valmistuda tasuta? Juhendaja võrgus tasuta. Ilma naljata.

Teenuse eesmärk. Maatrikskalkulaator on mõeldud lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks maatriksmeetodil (vt sarnaste ülesannete lahendamise näidet).

Juhised. Internetis lahendamiseks tuleb valida võrrandi tüüp ja määrata vastavate maatriksite dimensioon. kus A, B, C on määratud maatriksid, X on soovitud maatriks. Maatriksvõrrandid kujul (1), (2) ja (3) lahendatakse pöördmaatriksi A -1 kaudu. Kui on antud avaldis A·X - B = C, siis tuleb esmalt liita maatriksid C + B ja leida lahendus avaldisele A·X = D, kus D = C + B. Kui on antud avaldis A*X = B 2, siis tuleb maatriks B esmalt ruudustada.

Samuti on soovitatav tutvuda maatriksite põhitoimingutega.

Näide nr 1. Harjutus. Leidke maatriksvõrrandi lahendus
Lahendus. Tähistame:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: A·X·B = C.
Maatriksi A determinant on võrdne detA=-1
Kuna A on mitteainsuse maatriks, siis on olemas pöördmaatriks A -1 . Korrutage vasakpoolse võrrandi mõlemad pooled A -1-ga: korrutage selle võrrandi mõlemad pooled vasakul väärtusega A -1 ja paremal pool B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 · C · B -1 . Kuna A A -1 = B B -1 = E ja E X = X E = X, siis X = A -1 C B -1

Pöördmaatriks A -1:
Leiame pöördmaatriksi B -1.
Transponeeritud maatriks B T:
Pöördmaatriks B -1:
Maatriksi X otsime valemiga: X = A -1 ·C · B -1

Vastus:

Näide nr 2. Harjutus. Maatriksvõrrandi lahendamine
Lahendus. Tähistame:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: A·X = B.
Maatriksi A determinant on detA=0
Kuna A on singulaarmaatriks (determinant on 0), siis pole võrrandil lahendust.

Näide nr 3. Harjutus. Leidke maatriksvõrrandi lahendus
Lahendus. Tähistame:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: X A = B.
Maatriksi A determinant on detA=-60
Kuna A on mitteainsuse maatriks, siis on olemas pöördmaatriks A -1 . Korrutame parempoolse võrrandi mõlemad pooled A -1-ga: X A A -1 = B A -1, kust leiame, et X = B A -1
Leiame pöördmaatriksi A -1 .
Transponeeritud maatriks A T:
Pöördmaatriks A -1:
Maatriksi X otsime valemiga: X = B A -1


Vastus: >

Selles videos analüüsime tervet lineaarsete võrrandite komplekti, mis lahendatakse sama algoritmi abil – seepärast nimetatakse neid kõige lihtsamateks.

Kõigepealt defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist nimetatakse kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimese astmeni.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarvõrrandid taandatakse algoritmi abil lihtsaimaks:

1. Laiendage sulgusid, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Andke võrdusmärgist vasakule ja paremale sarnased terminid;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Loomulikult ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui midagi sellist nagu $0\cdot x=8$ selgub, s.t. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, on siis, kui võrrand on taandatud konstruktsioonile $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, millise $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, s.t. õige arvuline võrdsus.

Nüüd vaatame, kuidas see kõik toimib, kasutades reaalseid näiteid.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate laiendama sulgusid, kui neid on (nagu meie viimases näites);
2. Seejärel ühendage sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. liigutage kõik muutujaga seonduv – selle sisalduvad terminid – ühele poole ja kõik, mis jääb ilma muutujata, teisele poole.

Siis tuleb reeglina saadud võrdsust mõlemale poole tuua sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga “x” ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või plusside ja miinuste arvutamisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või on lahendiks terve arvsirge, s.t. suvaline number. Vaatleme neid peensusi tänases õppetükis. Kuid nagu te juba aru saite, alustame kõige lihtsamate ülesannetega.

Lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Esiteks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui need on olemas.
2. Isoleerime muutujad, st. Me liigutame kõik, mis sisaldab X-i, ühele poole ja kõik ilma X-ita teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga “x”.

Muidugi ei tööta see skeem alati, selles on teatud peensusi ja nippe ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimene samm nõuab sulgude avamist. Kuid need pole selles näites, seega jätame selle sammu vahele. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Pange tähele: me räägime ainult üksikutest terminitest. Paneme selle kirja:

Esitame sarnaseid termineid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu liigume edasi neljanda sammu juurde: jagage koefitsiendiga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Nii et saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Näeme selles ülesandes sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama kujundust, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. muutujate eraldamine:

Siin on mõned sarnased:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Siin on mitu sulgu, kuid neid ei korruta mitte millegagi, neile lihtsalt eelnevad erinevad märgid. Jagame need lahti:

Teostame meile juba teadaoleva teise sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Teeme matemaatika:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on olemas, võib nende hulgas olla null - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui teised; te ei tohiks seda mingil viisil diskrimineerida ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude avamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide abil: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Selle lihtsa tõsiasja mõistmine aitab teil vältida rumalaid ja haiget tekitavaid vigu keskkoolis, kui selliseid asju peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerukamate võrrandite juurde. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerukamaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori plaani kohaselt lahendame lineaarvõrrandit, siis teisendusprotsessi käigus tühistatakse kindlasti kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monoomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Vaatame nüüd privaatsust:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned sarnased:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastusesse selle:

\[\varnothing\]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu toiminguid. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned sarnased:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Neid kahte avaldist näitena kasutades veendusime taas, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei pruugi kõik nii lihtne olla: juuri võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju juuri. Meie puhul käsitlesime kahte võrrandit, mõlemal lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid avada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama X-ga. Pange tähele: korrutab iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatud.

Ja alles pärast seda, kui need näiliselt elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud teisendused on lõpule viidud, saate avada sulg selle seisukohast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on lõpetatud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allpool lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et ma pööran neile väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele tähelepanu. Sest võrrandite lahendamine on alati elementaarsete teisenduste jada, kus suutmatus lihtsaid toiminguid selgelt ja asjatundlikult sooritada viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad jälle nii lihtsaid võrrandeid lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvid need oskused automaatsuseni. Enam ei pea te iga kord nii palju teisendusi tegema, vaid kirjutate kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme natuke privaatsust:

Siin on mõned sarnased:

Lõpetame viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus olid meil ruutfunktsiooniga koefitsiendid, tühistasid need üksteist, mis muudab võrrandi lineaarseks, mitte ruutkeskseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu hoolikalt läbi: korrutage iga element esimesest sulust iga teise elemendiga. Pärast teisendusi peaks olema kokku neli uut terminit:

Nüüd tehkem hoolikalt iga liikme korrutamist:

Liigutame terminid "X"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Taaskord oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, mis sisaldavad rohkem kui ühte liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga alates teine; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena on meil neli ametiaega.

Algebralise summa kohta

Selle viimase näitega tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame 1–7 $ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutada ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule “üks” lisame veel ühe arvu, nimelt “miinus seitse”. Nii erineb algebraline summa tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Lõpuks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerukamad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdarvudega

Selliste ülesannete lahendamiseks peame oma algoritmile lisama veel ühe sammu. Kuid kõigepealt tuletan teile meelde meie algoritmi:

1. Avage klambrid.
2. Eraldi muutujad.
3. Tooge sarnased.
4. Jagage suhtega.

Kahjuks ei osutu see imeline algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobivaks, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis nii vasakul kui ka paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks tuleb algoritmile lisada veel üks samm, mida saab teha nii enne kui ka pärast esimest toimingut, nimelt murdudest vabanemist. Nii et algoritm on järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage klambrid.
3. Eraldi muutujad.
4. Tooge sarnased.
5. Jagage suhtega.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks saab seda teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud oma nimetajas numbrilised, s.t. Kõikjal on nimetaja vaid number. Seega, kui me korrutame võrrandi mõlemad pooled selle arvuga, vabaneme murdudest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et sul on kaks sulgu, ei tähenda, et pead kumbki korrutama "neljaga". Paneme kirja:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd laiendame:

Eraldame muutuja:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Saime lõpplahenduse kätte, liigume edasi teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem on lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma teile täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil on kuskil ruutfunktsioone, tõenäoliselt vähendatakse neid edasiste teisenduste käigus.
• Lineaarvõrrandites on kolme tüüpi juuri, isegi kõige lihtsamates: üks juur, kogu arvurida on juur ja mitte ühtegi juurt.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika edasiseks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile ja lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, palju muud huvitavat ootab teid!

Ruutvõrrandeid õpitakse 8. klassis, seega pole siin midagi keerulist. Oskus neid lahendada on absoluutselt vajalik.

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus koefitsiendid a, b ja c on suvalised arvud ja a ≠ 0.

Enne konkreetsete lahendusmeetodite uurimist pange tähele, et kõik ruutvõrrandid võib jagada kolme klassi:

1. ei oma juuri;
2. neil on täpselt üks juur;
3. Neil on kaks erinevat juurt.

See on oluline erinevus ruutvõrrandite ja lineaarsete võrrandite vahel, kus juur on alati olemas ja ainulaadne. Kuidas teha kindlaks, mitu juurt võrrandil on? Selle jaoks on imeline asi - diskrimineeriv.

Diskrimineeriv

Olgu antud ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0. Siis on diskriminandiks lihtsalt arv D = b 2 − 4ac.

Peate seda valemit peast teadma. Kust see tuleb, pole praegu oluline. Oluline on veel üks asi: diskriminandi märgi abil saate määrata ruutvõrrandi juurte arvu. Nimelt:

1. Kui D< 0, корней нет;
2. Kui D = 0, on täpselt üks juur;
3. Kui D > 0, on kaks juurt.

Pange tähele: diskriminant näitab juurte arvu ja mitte üldse nende märke, nagu paljud inimesed mingil põhjusel usuvad. Vaadake näiteid ja saate ise kõigest aru:

Ülesanne. Kui palju juuri on ruutvõrranditel:

1. x 2 – 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 – 6x + 9 = 0.

Kirjutame välja esimese võrrandi koefitsiendid ja leiame diskrimineerija:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Seega on diskriminant positiivne, seega on võrrandil kaks erinevat juurt. Analüüsime teist võrrandit sarnasel viisil:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant on negatiivne, juured puuduvad. Viimane järelejäänud võrrand on:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant on null – juur on üks.

Pange tähele, et iga võrrandi jaoks on koefitsiendid üles kirjutatud. Jah, see on pikk, jah, see on tüütu, kuid te ei aja tõenäosust segamini ega tee rumalaid vigu. Valige ise: kiirus või kvaliteet.

Muide, kui saate asjast aru, ei pea te mõne aja pärast kõiki koefitsiente üles kirjutama. Selliseid toiminguid teete oma peas. Enamik inimesi hakkab seda tegema kuskil pärast 50-70 lahendatud võrrandit – üldiselt mitte nii palju.

Ruutvõrrandi juured

Liigume nüüd edasi lahenduse enda juurde. Kui diskriminant D > 0, saab juured leida valemite abil:

Ruutvõrrandi juurte põhivalem

Kui D = 0, võite kasutada mõnda neist valemitest - saate sama arvu, mis on vastuseks. Lõpuks, kui D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Esimene võrrand:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ võrrandil on kaks juurt. Otsime need üles:

Teine võrrand:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ võrrandil on jällegi kaks juurt. Otsime nad üles

\[\begin(joona) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(joonda)\]

Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ võrrandil on üks juur. Kasutada võib mis tahes valemit. Näiteks esimene:

Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui tead valemeid ja oskad lugeda, siis probleeme ei teki. Kõige sagedamini tekivad vead negatiivsete koefitsientide asendamisel valemis. Siingi aitab ülalkirjeldatud tehnika: vaadake valemit sõna otseses mõttes, kirjutage iga samm üles - ja varsti saate vigadest lahti.

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Juhtub, et ruutvõrrand erineb veidi definitsioonis esitatust. Näiteks:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

On lihtne märgata, et nendel võrranditel puudub üks terminitest. Selliseid ruutvõrrandeid on isegi lihtsam lahendada kui standardseid: need ei nõua isegi diskriminandi arvutamist. Niisiis, tutvustame uut kontseptsiooni:

Võrrandit ax 2 + bx + c = 0 nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks, kui b = 0 või c = 0, s.t. muutuja x ehk vaba elemendi koefitsient on võrdne nulliga.

Muidugi on võimalik väga keeruline juhtum, kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga: b = c = 0. Sel juhul on võrrand kujul ax 2 = 0. Ilmselgelt on sellisel võrrandil üks juur: x = 0.

Vaatleme ülejäänud juhtumeid. Olgu b = 0, siis saame mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 + c = 0. Teisendame seda veidi:

Kuna aritmeetiline ruutjuur eksisteerib ainult mittenegatiivsel arvul, on viimane võrdsus mõttekas ainult juhul, kui (−c /a) ≥ 0. Järeldus:

1. Kui mittetäielikus ruutvõrrandis kujul ax 2 + c = 0 on ebavõrdsus (−c /a) ≥ 0 täidetud, on kaks juurt. Valem on toodud ülal;
2. Kui (-c /a)< 0, корней нет.

Nagu näete, ei olnud diskriminanti vaja – mittetäielike ruutvõrrandite puhul pole keerulisi arvutusi üldse. Tegelikult pole isegi vaja meeles pidada ebavõrdsust (−c /a) ≥ 0. Piisab kui väljendada väärtust x 2 ja vaadata, mis on võrdusmärgi teisel poolel. Kui on positiivne arv, on kaks juurt. Kui see on negatiivne, pole juuri üldse.

Vaatame nüüd võrrandeid kujul ax 2 + bx = 0, milles vaba element on võrdne nulliga. Siin on kõik lihtne: alati on kaks juurt. Piisab polünoomi arvutamisest:

Ühise teguri väljavõtmine sulgudest

Korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null. Siit tulevad juured. Kokkuvõtteks vaatame mõnda neist võrranditest:

Ülesanne. Lahendage ruutvõrrandid:

1. x 2 – 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Juured puuduvad, sest ruut ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.