Lõplikud vektorruumid, nende omadused ja näited. vektorruum

Vikipeediast, vabast entsüklopeediast

vektor(või lineaarne) ruumi- matemaatiline struktuur, mis on elementide kogum, mida nimetatakse vektoriteks, mille jaoks on määratletud üksteise liitmise ja arvuga korrutamise operatsioonid - skalaar. Need toimingud alluvad kaheksale aksioomile. Skalaarid võivad olla reaal-, kompleks- või mis tahes muu arvuvälja elemendid. Sellise ruumi erijuhtum on tavaline kolmemõõtmeline eukleidiline ruum, mille vektoreid kasutatakse näiteks füüsiliste jõudude kujutamiseks. Samas tuleb tähele panna, et vektorit kui vektorruumi elementi ei pea täpsustama suunatud segmendi kujul . Mõiste "vektori" üldistamine mis tahes laadi vektorruumi elemendile mitte ainult ei põhjusta terminite segadust, vaid võimaldab meil mõista või isegi ette näha mitmeid tulemusi, mis kehtivad suvalise iseloomuga ruumide puhul. .

Vektorruumid on lineaaralgebra uurimisobjektiks. Vektorruumi üks peamisi omadusi on selle mõõde. Mõõtmed on ruumi lineaarselt sõltumatute elementide maksimaalne arv, st jämedat geomeetrilist kirjeldust kasutades suundade arv, mis on üksteise suhtes väljendamatud ainult skalaariga liitmise ja korrutamise operatsioonide kaudu. Vektorruumi saab varustada lisastruktuuridega, nagu norm või punktkorrutis. Sellised ruumid esinevad arvutuses loomulikult, valdavalt lõpmatumõõtmeliste funktsiooniruumidena ( Inglise), kus vektorid on funktsioonid . Paljud analüüsiprobleemid nõuavad välja selgitamist, kas vektorite jada läheneb sellele antud vektor. Selliste küsimuste käsitlemine on võimalik lisastruktuuriga vektorruumides, enamasti sobiva topoloogiaga, mis võimaldab defineerida läheduse ja pidevuse mõisteid. Sellised topoloogilised vektorruumid, eriti Banachi ja Hilberti ruumid, võimaldavad sügavamat uurimist.

Lineaaralgebra uurib lisaks vektoritele rohkem ka tensoreid kõrge auaste(skalaari peetakse järgu 0 tensoriks, vektorit 1. järgu tensoriks).

Esimesed tööd, mis ennetasid vektorruumi mõiste kasutuselevõttu, pärinevad 17. sajandist. Just siis arenesid analüütiline geomeetria, maatriksite õpetus, lineaarvõrrandisüsteemid ja eukleidilised vektorid.

Definitsioon

Lineaarne, või vektorruum $V\backslash vasak(F\backslash parem)$üle põllu $F$ on tellitud neljakordne $(V,F,+,\backslash cdot)$, Kus

• $V$- mittetühi suvalise iseloomuga elementide kogum, mida nimetatakse vektorid;
• $F$- (algebraline) väli, mille elemente nimetatakse skalaarid;
• Toiming määratletud täiendused vektorid $V\backslash \; korda\; V\backslash \; kuni\; V$, sobitades iga elemendipaari $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ komplektid $V$ $V$ neile helistades summa ja tähistatud $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Toiming määratletud vektorite korrutamine skalaaridega $F\; korda\; V\; kuni\; V$, mis sobib iga elemendiga $\backslash lambda$ väljad $F$ ja iga element $\backslash mathbf(x)$ komplektid $V$ komplekti ainus element $V$, tähistatud $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$ või $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Vektorruumid, mis on määratletud sama elementide kogumiga, kuid üle erinevate väljade, on erinevad vektorruumid (näiteks reaalarvude paaride hulk $\backslash mathbb(R)^2$ võib olla kahemõõtmeline vektorruum üle reaalarvude välja või ühemõõtmeline - üle kompleksarvude välja).

Kõige lihtsamad omadused

1. Vektorruum on liitmise järgi Abeli ​​rühm.
2. neutraalne element $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ kellelegi $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Kellelegi $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ vastandelement $-\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ on ainus, mis tuleneb rühma omadustest.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ kellelegi $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ iga $\backslash alpha\; \backslash in\; F$ Ja $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ kellelegi $\backslash alpha\; \backslash in\; F$.

Seotud määratlused ja omadused

alamruum

Algebraline määratlus: Lineaarne alamruum või vektori alamruum on mittetühi alamhulk $K$ lineaarne ruum $V$ selline, et $K$ on ise lineaarne ruum punktis defineeritute suhtes $V$ liitmise ja skalaariga korrutamise tehted. Kõikide alamruumide kogumit tähistatakse tavaliselt kui $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Et alamhulk oleks alamruum, on see vajalik ja piisav

1. mis tahes vektori jaoks $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ kuulus ka $K$, iga $\backslash alpha\backslash in\; F$;
2. mis tahes vektorite jaoks $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ kuulus ka $K$.

Kaks viimast väidet on samaväärsed järgmistega:

Mis tahes vektorite jaoks $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ kuulus ka $K$ iga $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

Täpsemalt, ainult ühest nullvektorist koosnev vektorruum on mis tahes ruumi alamruum; iga ruum on iseenda alamruum. Alamruume, mis nende kahega ei lange kokku, nimetatakse oma või mittetriviaalne.

Alamruumi omadused

• Mis tahes alamruumide perekonna ristumiskoht on jällegi alamruum;
• Alamruumide summa $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ defineeritud kui kogum, mis sisaldab kõiki võimalikke elementide summasid $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Lõpliku alamruumide perekonna summa on jällegi alamruum.

Lineaarsed kombinatsioonid

Vaate lõppsumma

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Lineaarset kombinatsiooni nimetatakse:

Alus. Mõõtmed

Vektorid $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ helistas lineaarselt sõltuv, kui nende mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Vastasel juhul nimetatakse neid vektoreid lineaarselt sõltumatu.

See määratlus võimaldab teha järgmist üldistust: lõpmatu hulk vektorid alates $V$ helistas lineaarselt sõltuv, kui mõni lõplik selle alamhulk ja lineaarselt sõltumatu, kui mõni lõplik alamhulk on lineaarselt sõltumatu.

Põhiomadused:

• Ükskõik milline $n$ lineaarselt sõltumatud elemendid $n$-mõõtmeline ruumivorm alus see ruum.
• Mis tahes vektor $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ saab esitada (unikaalselt) põhielementide lõpliku lineaarse kombinatsioonina:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Lineaarne kest

Lineaarne kest $\backslash mathcal\; V(X)$ alamhulgad $X$ lineaarne ruum $V$- kõigi alamruumide ristumiskoht $V$ sisaldavad $X$.

Lineaarne kest on alamruum $V$.

Lineaarset kesta nimetatakse ka alamruum loodud $X$. Öeldakse ka, et lineaarne ulatus $\backslash mathcal\; V(X)$- ruum, üle venitatud trobikond $X$.

Lineaarne kest $\backslash mathcal\; V(X)$ koosneb kõigist võimalikest lineaarsetest kombinatsioonidest erinevatest elementide lõplikest alamsüsteemidest $X$. Eelkõige siis, kui $X$ on siis lõplik hulk $\backslash mathcal\; V(X)$ koosneb kõigist elementide lineaarsetest kombinatsioonidest $X$. Seega kuulub nullvektor alati lineaarsesse ulatusse.

Kui $X$ on lineaarselt sõltumatu hulk, siis on see alus $\backslash mathcal\; V(X)$ ja määrab seeläbi selle mõõtme.

Näited

• Nullruum, mille ainus element on null.
• Kõigi funktsioonide ruum $X\backslash -le\; F$ lõpliku toega moodustab vektorruumi, mille mõõtmed on võrdsed $X$.
• Reaalarvude välja võib vaadelda kui kontiinumdimensioonilist vektorruumi ratsionaalarvude välja kohal.
• Iga väli on ühemõõtmeline ruum iseenda kohal.

Täiendavad struktuurid

Vaata ka

Kirjutage ülevaade artiklist "Vektoriruum"

Märkmed

Kirjandus

• Gelfand I.M. Loengud lineaaralgebrast. - 5. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 lk. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I.M. Loengud lineaaralgebrast. 5. väljaanne - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 lk. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Lineaaralgebra ja geomeetria. 2. väljaanne - M .: Nauka, 1986. - 304 lk.
• Kostrikin A.I. Sissejuhatus algebrasse. 2. osa: Lineaaralgebra. - 3. - M .: Nauka ., 2004. - 368 lk. - (Ülikooli õpik).
• Maltsev A.I. Lineaaralgebra alused. - 3. - M .: Nauka, 1970. - 400 lk.

• Postnikov M.M. Lineaaralgebra (geomeetria loengud. II semester). - 2. - M .: Nauka, 1986. - 400 lk.
• Strang G. Lineaaralgebra ja selle rakendused = Lineaaralgebra ja selle rakendused. - M .: Mir, 1980. - 454 lk.
• Iljin V. A., Poznyak E. G. Lineaaralgebra. 6. väljaanne - M .: Fizmatlit, 2010. - 280 lk. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmosh P. Lõpliku mõõtmega vektorruumid = lõpliku mõõtmega vektorruumid. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 263 lk.
• Faddeev D.K. Loengud algebrast. - 5. - Peterburi. : Lan, 2007. - 416 lk.
• Šafarevitš I.R., Remizov A.O. Lineaaralgebra ja geomeetria. - 1. - M .: Fizmatlit, 2009. - 511 lk.
• Schreyer O., Shperner G. Sissejuhatus lineaaralgebrasse geomeetrilises esituses = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (tõlgitud saksa keelest). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 lk.

Vektorid ja maatriksid Vektorid Põhimõisted Vektorite liigid Tehted vektoritega Ruumi tüübid maatriksid Põhimõisted muud

Vektoriruumi iseloomustav väljavõte

Kutuzov kõndis mööda ridu, aeg-ajalt peatudes ja rääkides lahked sõnad ohvitserid, keda ta tundis Türgi sõda ja mõnikord sõdurid. Kingadele pilku heites raputas ta mitu korda nukralt pead ja osutas neile Austria kindralile sellise näoilmega, et näis, et too ei teinud kellelegi etteheiteid, kuid ta ei saanud jätta vaatamata, kui halb see oli. Rügemendiülem jooksis iga kord ette, kartes rügemendi kohta ülemjuhataja sõna kahe silma vahele jätta. Kutuzovi selja taga, nii kaugel, et iga nõrgalt öeldud sõna oli kuulda, kõndis 20-liikmeline mees. Kaaskonna härrad ajasid omavahel juttu ja vahel naersid. Lähim ülemjuhataja selja taga oli ilus adjutant. See oli prints Bolkonsky. Tema kõrval oli tema seltsimees Nesvitski, kõrge ohvitser, äärmiselt paks, lahke ja naeratav. ilus nägu ja märjad silmad; Vaevalt suutis Nesvitski end naermast tagasi hoida, teda erutas tema kõrval kõndiv mustjas husaarohvitser. Husaariohvitser vaatas naeratamata, oma fikseeritud silmade ilmet muutmata tõsise näoga rügemendiülema selja taha ja matkis iga tema liigutust. Iga kord, kui rügemendiülem värises ja ettepoole kummardus, täpselt samamoodi, täpselt samamoodi, värises husaariohvitser ja kummardus ettepoole. Nesvitski naeris ja tõukas teisi naljakat meest vaatama.
Kutuzov kõndis aeglaselt ja loiult mööda tuhandest silmast, mis nende pistikupesast välja veeresid, järgnedes bossile. Olles 3. kompaniiga tasa teinud, jäi ta järsku seisma. Kaaskond, kes seda peatust ette ei näinud, tungis tahtmatult talle kallale.
- Ah, Timokhin! - ütles ülemjuhataja, tundes ära punase ninaga kapteni, kes sinise mantli pärast kannatas.
Tundus, et venitada ei saa Lisaks kuidas Timohhin välja venitati, samal ajal kui rügemendiülem teda noomis. Aga sel hetkel pöördus ülemjuhataja tema poole, kapten tõmbas end üles nii, et tundus, et kui ülemjuhataja oleks teda veidi rohkem vaadanud, poleks kapten vastu pidanud. ; ja seetõttu pöördus Kutuzov, ilmselt oma seisukohta mõistdes ja kaptenile, vastupidi, kõike head soovides, kähku ära. Vaevumärgatav naeratus jooksis üle Kutuzovi lihava haavatud näo.
"Veel üks Izmailovski seltsimees," ütles ta. "Vapper ohvitser!" Kas olete sellega rahul? küsis Kutuzov rügemendiülemalt.
Ja rügemendiülem, justkui peeglist peegeldumas, enda jaoks nähtamatult, husaarohvitseris, värises, läks edasi ja vastas:
„Väga rahul, teie Ekstsellents.
"Me kõik pole nõrkade külgedeta," ütles Kutuzov naeratades ja temast eemaldudes. "Tal oli kiindumus Bacchusesse.
Rügemendiülem kartis, et tema pole selles süüdi, ega vastanud. Ohvitser märkas sel hetkel kapteni punase nina ja kokkusurutud kõhuga nägu ning matkis tema nägu ja kehahoiakut nii sarnaselt, et Nesvitski ei suutnud naerda.
Kutuzov pöördus ümber. Oli ilmselge, et ohvitser suutis oma nägu kontrollida nii, nagu tahtis: hetkel, kui Kutuzov ümber pööras, suutis ohvitser teha grimassi ja võtta pärast seda kõige tõsisema, lugupidavama ja süütuma ilme.
Kolmas seltskond oli viimane ja Kutuzov arvas, ilmselt mäletas midagi. Prints Andrei astus seltskonnast välja ja ütles vaikselt prantsuse keeles:
- Te andsite käsu meelde tuletada selles rügemendis alandatud Dolokhovit.
- Kus on Dolokhov? küsis Kutuzov.
Dolohhov, kes oli juba riietatud sõdurihalli mantlisse, ei oodanud kutsumist. Blondi sihvakas figuur selge sinised silmad sõdur astus rindelt välja. Ta astus ülemjuhataja juurde ja pani valvuri.
— Nõuda? - Kortsutas kergelt kulmu, küsis Kutuzov.
"See on Dolokhov," ütles prints Andrei.
– A! ütles Kutuzov. – Loodan, et see õppetund parandab teid, teenige hästi. Keiser on armuline. Ja ma ei unusta sind, kui sa seda väärid.
Selged sinised silmad vaatasid ülemjuhatajat sama julgelt kui rügemendiülemat, justkui rebiksid nad oma näoilmega maha konventsionaalsuse loori, mis ülemjuhatajat seni sõdurist eraldas.
"Ma palun teilt üht asja, teie Ekstsellents," ütles ta oma kõlava, kindla ja kiirustamatu häälega. "Ma palun teil anda mulle võimalus oma süü heastada ja tõestada oma pühendumust keisrile ja Venemaale.
Kutuzov pöördus ära. Ta näol sähvatas sama naeratus, mis tol ajal, kui ta kapten Timokhinist ära pööras. Ta pöördus ära ja tegi grimassi, justkui sooviks sellega väljendada, et kõik, mida Dolokhov talle rääkis ja kõik, mida ta võis talle öelda, teadis ta juba pikka-pikka aega, et see kõik on talle juba tüdinud ja see kõik oli üldse mitte see, mida ta vajas.. Ta pöördus ja kõndis vankri poole.
Rügement tegi end kompaniides korda ja suundus Braunaust mitte kaugele määratud korteritesse, kus loodeti pärast raskeid üleminekuid jalanõud jalga panna, riietuda ja puhata.
- Kas sa ei teeskle mulle, Prokhor Ignatich? - ütles rügemendiülem, tiirutades koha poole liikunud 3. kompanii ja sõites selle ees kõndiva kapten Timokhini juurde. Rügemendiülema nägu väljendas pärast õnnelikult lahkunud ülevaatust korvamatut rõõmu. - Kuninglik teenistus ... te ei saa ... teine ​​kord katkestate esiotsa ... Ma olen esimene, kes vabandab, teate mind ... Tänan teid väga! Ja ta sirutas kätt komandörile.
"Vabandage, kindral, kas ma julgen!" - vastas kapten, ninaga punaseks tõmbudes, naeratades ja paljastades naeratusega kahe esihamba puudumise, mille Ismaeli lähedal tagumik välja lõi.
- Jah, öelge härra Dolokhovile, et ma ei unusta teda, et ta oleks rahulik. Jah, palun öelge, ma tahtsin kogu aeg küsida, mis ta on, kuidas ta käitub? Ja kõik...
"Ta on oma teenistuses väga abivalmis, teie Ekstsellents ... aga karahter ..." ütles Timokhin.
- Ja mis on tegelane? küsis rügemendiülem.
"Ta leiab, teie Ekstsellents, mitu päeva," ütles kapten, "ta on tark, haritud ja lahke. Ja see on metsaline. Poolas tappis ta juudi, kui te palun teate...
- Noh, jah, noh, jah, - ütles rügemendiülem, - peate ikkagi ebaõnne sattunud noormehest kaasa tundma. Pealegi suured ühendused… Nii et sa…
"Ma kuulan, teie Ekstsellents," ütles Timokhin naeratades, andes tunda, et ta mõistab ülemuse soove.
- Jah Jah.
Rügemendiülem leidis Dolokhovi ridadest ja ohjeldas tema hobust.
"Enne esimest juhtumit epaulette," ütles ta talle.
Dolohhov vaatas ringi, ei öelnud midagi ega muutnud oma pilkavalt naeratava suu ilmet.
"Noh, see on hea," jätkas rügemendiülem. "Inimesed saavad minu käest klaasi viina," lisas ta, et sõdurid kuuleksid. - Tänan teid kõiki! Jumal õnnistagu! - Ja ta, olles ühest ettevõttest mööda saanud, sõitis teise juurde.
- Noh, ta, eks hea mees; Sa võid temaga koos teenida,” ütles Timokhini alamjuhataja tema kõrval kõndivale ohvitserile.
- Üks sõna, punane! ... (rügemendi ülemat kutsuti punaseks kuningaks) - ütles alamohvitser naerdes.
Võimude rõõmus meeleolu pärast ülevaatamist läks sõduritele üle. Rotal oli lõbus. Sõdurite hääled rääkisid igalt poolt.
- Kuidas nad ütlesid, Kutuzov viltu, ühe silma kohta?
- Kuid mitte! Täiesti viltu.
- Mitte... vend, suuremate silmadega kui sina. Saapad ja kaelarihmad - vaatasid kõike ringi ...
- Kuidas ta, mu vend, mu jalgu vaatab ... noh! Mõtle…
- Ja teine ​​on austerlane, ta oli temaga nagu kriidiga määritud. Nagu jahu, valge. Ma olen tee, kuidas nad laskemoona puhastavad!
- Mida, Fedeshow! ... ütles ta, võib-olla, kui valvurid alustasid, kas sa seisid lähemal? Nad ütlesid kõik, Bunaparte ise seisab Brunovis.
- Bunaparte seisab! valetad, loll! Mida ei tea! Nüüd on preislane mässuline. Seetõttu rahustab austerlane teda. Niipea kui ta lepib, algab sõda Bounaparte'iga. Ja siis, ütleb ta, Brunovis Bunaparte seisab! On ilmselge, et ta on idioot. Sa kuula rohkem.
„Vaadake, neetud üürnikud! Viies seltskond, vaata, keerab juba külasse, keedavad putru ja kohale me veel ei jõua.
- Anna mulle kreeker, neetud.
"Kas sa andsid eile tubakat?" See on kõik, vend. Noh, Jumal on sinuga.
- Kui nad vaid peatuksid, muidu ei söö te enam viis miili propremi.
- Tore, kuidas sakslased meile jalutuskärud andsid. Mine, tead: see on oluline!
- Ja siin, vend, läksid inimesed täiesti hulluks. Seal näis kõik olevat poolakas, kõik oli Vene kroonist; ja nüüd, vend, on soliidne sakslane läinud.
- Laulukirjutajad ees! - Ma kuulsin kapteni kisa.
Ja seltskonna ette jooksis välja paarkümmend inimest erinevatest ridadest. Trummar laulab end ümber lauluraamatute poole ja alustas käega vehkides venivat sõdurilaulu, mis algas: "Eks koit, päike murdus..." ja lõppes sõnadega: "See , vennad, on meile au koos Kamensky isaga ..." Türgis ja nüüd lauldi Austrias, ainult muudatusega, et "Kamensky isa" asemele lisati sõnad: "Kutuzovi isa".
Nende sõdurite maharebimine viimased sõnad ja kätega vehkides, nagu viskaks ta midagi maapinnale, vaatas trummar, umbes neljakümneaastane kuiv ja nägus sõdur, karmilt ringi laulukirjutajatest sõdurite poole ja keeras silmad viltu. Seejärel, veendudes, et kõigi pilgud on temale suunatud, näis ta ettevaatlikult kahe käega tõstvat pea kohale mõne nähtamatu, hinnalise asja, hoidis seda mitu sekundit niisama ja viskas järsku selle meeleheitlikult:
Oh, sina, mu varikatus, mu varikatus!
"Canopy my new..." kostus paarkümmend häält ja lusikamees hüppas laskemoona raskusest hoolimata reipalt ette ja kõndis õlgu liigutades ja lusikatega ähvardades seltskonna ees tagurpidi. Sõdurid, käed laulu taktis õõtsudes, kõndisid avara sammuga, tabades tahtmatult vastu jalga. Seltskonna selja tagant kostis rataste hääli, vedrude kriginat ja hobuste kolinat.
Kutuzov koos saatjaskonnaga oli naasmas linna. Ülemjuhataja andis märku, et rahvas peaks ka edaspidi vabalt kõndima ning tema näol ja kõigil kaaskonna nägudel väljendus rõõm laulu kõlamisest, tantsivast sõdurist ning rõõmsast ja reipast. kompanii marssivad sõdurid. Teises reas, parempoolsest tiivast, kust vanker kompaniid ette sõitis, jäi tahes-tahtmata silma sinisilmne sõdur Dolohhov, kes kulges eriti reipalt ja graatsiliselt laulu taktis ning vaatas sinisilmsete näkku. möödujad sellise näoilmega, nagu haletseks kõiki, kes sel ajal seltskonnaga ei käinud. Rügemendiülemat matkiv Kutuzovi saatjaskonnast pärit husaarikornet jäi vankrist maha ja sõitis Dolohhovi juurde.
Husaarikornet Žerkov kuulus omal ajal Peterburis sellesse Dolohhovi juhitud vägivaldsesse seltskonda. Žerkov kohtus Dolokhoviga välismaal sõdurina, kuid ei pidanud vajalikuks teda tunnustada. Nüüd, pärast Kutuzovi vestlust alandatud inimesega, pöördus ta tema poole vana sõbra rõõmuga:
- Kallis sõber, kuidas läheb? - ütles ta laulu kõlades, võrdsustades oma hobuse sammu seltskonna sammuga.
- Ma olen nagu? - vastas Dolokhov külmalt, - nagu näete.
Elav laul pidas eriti tähtsaks Žerkovi kõnelevat jultunud lõbusust ja Dolohhovi vastuste tahtlikku külmust.
- Kuidas te siis võimudega läbi saate? küsis Žerkov.
- Mitte midagi, head inimesed. Kuidas te peakorterisse sattusite?
- Lähetatud, olen valves.
Nad vaikisid.
"Lasin pistriku paremast varrukast välja," ütles laul, tekitades tahtmatult rõõmsa, rõõmsa tunde. Nende vestlus oleks ilmselt olnud teistsugune, kui nad poleks rääkinud laulu kõlades.
- Mis on tõsi, austerlased said peksa? küsis Dolokhov.
“Kurat teab, öeldakse.
"Mul on hea meel," vastas Dolokhov lühidalt ja selgelt, nagu laul nõudis.
"Noh, tulge meie juurde, kui vaarao õhtul pantib," ütles Žerkov.
Või on sul palju raha?
- Tule.
- See on keelatud. Ta andis tõotuse. Ma ei joo ega mängi enne, kui see on tehtud.
Noh, enne esimest asja...
- Sa näed seda seal.
Jälle nad vaikisid.
"Tulge sisse, kui teil on midagi vaja, kõik peakorteris aitavad ..." ütles Žerkov.
Dolokhov naeratas.
"Parem ärge muretsege. Mida vaja, seda ma ei küsi, võtan ise.
"Jah, ma olen nii...
- Noh, mina ka.
- Hüvasti.
- Ole tervislik…
... ja kõrgel ja kaugel,
Kodu poolel...
Žerkov puudutas kannustega oma hobust, mis kolm korda erutudes, jalaga, teadmata, kust alustada, hakkama sai ja galoppis, möödudes seltskonnast ja jõudes vankrile järele, samuti lauluga õigel ajal.

Ülevaatelt naastes läks Kutuzov Austria kindrali saatel oma kabinetti ja käskis adjutandile helistades anda endale mõned paberid saabuvate vägede seisukorra kohta ning kirjad, mis saadi ertshertsog Ferdinandilt, kes juhatas esiarmeed. . Vürst Andrei Bolkonsky astus nõutavate paberitega ülemjuhataja kabinetti. Lauale pandud plaani ees istus Kutuzov ja Hofkriegsrati austerlasest liige.
"Ah ..." ütles Kutuzov Bolkonskile tagasi vaadates, justkui kutsuks see adjutandi ootama kutsuv sõna ja jätkas prantsuse keeles alanud vestlust.
"Ma ütlen ainult üht, kindral," ütles Kutuzov meeldiva ilme ja intonatsiooni elegantsiga, sundides kuulama iga rahulikult öeldud sõna. Oli näha, et Kutuzov kuulas end mõnuga. - Ma ütlen ainult üht, kindral, et kui asi sõltuks minu isiklikust soovist, oleks Tema Majesteedi keiser Franzi tahe juba ammu täidetud. Ma oleksin ammu liitunud ertshertsogiga. Ja uskuge mu au, et mulle isiklikult oleks rõõm anda armee kõrgem juhtimine minust rohkem üle teadlikule ja osavale kindralile, nagu Austria, ja kogu selle raske vastutuse panemine mulle isiklikult oleks rõõm. . Kuid asjaolud on meist tugevamad, kindral.
Ja Kutuzov naeratas sellise ilmega, nagu oleks ta öelnud: "Teil on täielik õigus mind mitte uskuda ja isegi mind ei huvita, kas sa usud mind või mitte, aga sul pole põhjust seda mulle öelda. Ja see on kogu mõte."
Austria kindral näis olevat rahulolematu, kuid ei osanud Kutuzovile sama tooniga vastata.
"Vastupidi," ütles ta nuriseval ja vihasel toonil, nii vastupidiselt tema lausutud sõnade meelitavale tähendusele, "vastupidi, teie Ekstsellents osales ühine põhjus kõrgelt hinnatud tema Majesteeti poolt; kuid usume, et tõeline aeglustumine jätab kuulsusrikkad Vene väed ja nende komandörid ilma nendest loorberitest, mida nad on harjunud lahingus lõikama, ”lõpetas ta ilmselt ettevalmistatud fraasi.
Kutuzov kummardus naeratust muutmata.
- Ja ma olen nii veendunud ja viimase kirja põhjal, mille Tema Kõrgus Ertshertsog Ferdinand mind austas, eeldan, et Austria väed sellise osava abilise nagu kindral Macki juhtimisel on nüüd juba saavutanud otsustava võidu ega ole enam. vajame meie abi," ütles Kutuzov.
Kindral kortsutas kulmu. Kuigi austerlaste lüüasaamisest positiivseid uudiseid polnud, oli liiga palju asjaolusid, mis kinnitasid üldisi ebasoodsaid kuulujutte; ja seetõttu oli Kutuzovi oletus austerlaste võidu kohta väga sarnane mõnitamisega. Kuid Kutuzov naeratas tasaselt, ikka sama ilmega, mis ütles, et tal on õigus seda eeldada. Tõepoolest, viimane kiri, mille ta Macki armeelt sai, andis talle teada võidust ja armee kõige soodsamast strateegilisest positsioonist.
"Andke mulle see kiri siia," ütles Kutuzov prints Andrei poole pöördudes. - Siin sa oled, kui tahad seda näha. - Ja Kutuzov, pilkavalt naeratus huultel, luges järgmise lõigu ertshertsog Ferdinandi kirjast Saksa-Austria kindralilt: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Abballichtlien, sere ganzero verelliten. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er [Meil on täielikult kontsentreeritud jõud, umbes 70 000 inimest, et saaksime rünnata ja võita vaenlast, kui ta ületab Lechi. Kuna meile juba kuulub Ulm, saame säilitada Doonau mõlema kalda juhtimise eelise, seega iga minut, kui vaenlane ei ületa Lechi, ületa Doonau, torma oma sideliinile, ületa Doonau madalamale ja vaenlane. , kui ta otsustab pöörata kogu oma jõu meie ustavate liitlaste poole, et takistada oma kavatsuse täitumist. Seega jääme rõõmsalt ootama aega, mil keiserlik Vene armee täiesti valmis ja siis leiame koos hõlpsasti võimaluse vaenlase saatuse ettevalmistamiseks, mida ta väärib.

Golovizin V.V. Loengud algebrast ja geomeetriast. 4

Loengud algebrast ja geomeetriast. 2. semester.

Loeng 22. Vektorruumid.

Lühisisu: vektorruumi määratlus, selle lihtsamad omadused, vektorite süsteemid, vektorite süsteemi lineaarne kombinatsioon, triviaalne ja mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon, lineaarselt sõltuvad ja sõltumatud vektorite süsteemid, süsteemi lineaarse sõltuvuse või sõltumatuse tingimused vektorite, vektorite süsteemi alamsüsteemide, aritmeetilise vektorruumi veergude süsteemid.

punkt 1. Vektorruumi definitsioon ja selle lihtsamad omadused.

Siin kordame lugeja mugavuse huvides 1. loengu punkti 13 sisu.

Definitsioon. Olgu suvaline mittetühi hulk, mille elemente nimetame vektoriteks, K-väljaks, mille elemente nimetame skalaarideks. Olgu hulgal defineeritud sisemine binaaralgebraline tehe, mida tähistame märgiga + ja nimetame vektorite liitmiseks. Olgu hulgal defineeritud ka väline binaaralgebraline tehe, mida nimetame vektori korrutamiseks skalaariga ja tähistame korrutamismärgiga. Teisisõnu on määratletud kaks vastendust:

Hulka koos nende kahe algebralise tehtega nimetatakse vektorruumiks välja K kohal, kui kehtivad järgmised aksioomid:

1. Liitmine on assotsiatiivne, s.t.

2. On olemas nullvektor, s.t.

3. Iga vektori jaoks on vastand:

Vektorile x vastanduvat vektorit y tähistatakse tavaliselt -x-ga, nii et

4. Liitmine on kommutatiivne, st. .

5. Vektori korrutamine skalaariga järgib assotsiatiivsuse seadust, s.t.

kus korrutis on väljal K määratletud skalaaride korrutis.

6. , kus 1 on välja K ühik.

7. Vektori korrutamine skalaariga on distributiivne vektori liitmise suhtes:

8. Vektori korrutamine skalaariga on distributiivne skalaaride liitmise suhtes: .

Definitsioon. Reaalarvude välja kohal olevat vektorruumi nimetatakse reaalvektoriruumiks.

Teoreem. (Vektoriruumide lihtsaimad omadused.)

1. Vektorruumis on ainult üks nullvektor.

2. Vektorruumis on igal vektoril ainulaadne vastand.

3. või
.

4. .

Tõestus. 1) Nullvektori unikaalsust tõestatakse samamoodi nagu identsusmaatriksi kordumatust ja üldiselt mis tahes sisemise binaaralgebralise tehte neutraalse elemendi kordumatust.

Olgu 0 vektorruumi V nullvektor. Siis. Lase
on teine ​​nullvektor. Siis. Võtame esimese juhtumi
, ja teises
. Siis
Ja
, kust see järeldub
, jne.

2a) Kõigepealt tõestame, et nullskalaari ja mis tahes vektori korrutis on võrdne nullvektoriga.

Lase
. Seejärel, rakendades vektorruumi aksioome, saame:

Liitmise osas on vektorruum Abeli ​​rühm ja tühistamisseadus kehtib igas rühmas. Reduktsiooniseadust rakendades tähendab viimane võrdsus

.

2b) Nüüd tõestame väidet 4). Lase
on suvaline vektor. Siis

Sellest järeldub kohe, et vektor
on x-i vastand.

2c) Lase nüüd
. Seejärel rakendades vektorruumi aksioome,
Ja
saame:

2d) Lase
ja oletame, et
. Sest
, kus K on väli, siis on olemas
. Korrutame võrdsuse
vasakule
:
, kust järgneb
või
või
.

Teoreem on tõestatud.

punkt 2. Vektorruumide näited.

1) Ühe muutuja arvuliste reaalfunktsioonide hulk, mis on pidev intervallil (0; 1) tavaliste funktsioonide liitmise ja funktsiooni arvuga korrutamise operatsioonide suhtes.

2) Polünoomide hulk ühest tähest koos koefitsientidega väljast K polünoomide liitmise ja polünoomide skalaariga korrutamise suhtes.

3) Määra kompleksarvud kompleksarvude liitmise ja reaalarvuga korrutamise kohta.

4) Maatriksite liitmise ja skalaariga maatriksi korrutamise suhtes sama suurusega maatriksite kogum väljast K pärit elementidega.

Järgmine näide on näite 4 oluline erijuhtum.

5) Olgu suvaline naturaalarv. Tähistatakse kõigi veergude hulgaga kõrgusega n, st maatriksite komplekt K-suurusega väljal
.

Hulk on vektorruum välja K kohal ja seda nimetatakse kõrguse n veergude aritmeetiliseks vektorruumiks välja K kohal.

Eelkõige, kui suvalise välja K asemel võtame reaalarvude välja, siis vektorruumi
nimetatakse n kõrgusega veergude tegelikuks aritmeetiliseks vektorruumiks.

Samamoodi on maatriksite kogum üle K suurusega välja vektoriruum
või muul juhul stringid pikkusega n. Seda tähistatakse ka n pikkuste stringide aritmeetilise vektorruumiga ja seda nimetatakse ka välja K kohal.

punkt 3. Vektorruumi vektorite süsteemid.

Definitsioon. Vektorruumi vektorite süsteem on selle ruumi mis tahes lõplik mittetühi vektorite hulk.

Määramine:
.

Definitsioon. Väljendus

, (1)

kus on välja K skalaarid, on vektorruumi V vektorid, nimetatakse vektorite süsteemi lineaarseks kombinatsiooniks
. Skalaare nimetatakse selle lineaarse kombinatsiooni koefitsientideks.

Definitsioon. Kui lineaarse kombinatsiooni (1) kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga, siis nimetatakse sellist lineaarset kombinatsiooni triviaalseks, vastasel juhul on see mittetriviaalne.

Näide. Lase
kolmest vektorist koosnev süsteem vektorruumis V. Siis

on antud vektorite süsteemi triviaalne lineaarne kombinatsioon;

on antud vektorite süsteemi mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon, kuna selle kombinatsiooni esimene koefitsient
.

Definitsioon. Kui vektorruumi V mis tahes vektorit x saab esitada järgmiselt:

siis ütleme, et vektor x on lineaarselt väljendatud süsteemi vektoritega
. Sel juhul ütleme ka, et süsteem
tähistab lineaarselt vektorit x.

Kommenteeri. Selles ja eelmises definitsioonis jäetakse sageli sõna "lineaarne" välja ja öeldakse, et süsteem esindab vektorit või väljendatakse vektorit süsteemi vektoritega jne.

Näide. Lase
on kahe veeru süsteem kõrgusega 2 veergude aritmeetilises reaalvektori ruumis. Siis veerg
lineaarselt väljendatud süsteemi veergude või see süsteem veerud tähistab lineaarselt veergu x. Tõesti,

punkt 4. Lineaarselt sõltuvad ja lineaarselt sõltumatud vektorite süsteemid vektorruumis.

Kuna nullskalaari korrutis mis tahes vektoriga on nullvektor ja nullvektorite summa on võrdne nullvektoriga, siis mis tahes vektorite süsteemi korral on võrdsus

Sellest järeldub, et nullvektorit väljendatakse lineaarselt mis tahes vektorisüsteemi vektoritega või teisisõnu, mis tahes vektorisüsteem esindab lineaarselt nullvektorit.

Näide. Lase
. Sel juhul nullveerg saab lineaarselt väljendada süsteemi veergude kaudu rohkem kui ühel viisil:

või

Nende nullvektori lineaarse esituse meetodite eristamiseks tutvustame järgmist määratlust.

Definitsioon. Kui võrdsus

ja kõik koefitsiendid , siis ütleme, et süsteem
esindab nullvektorit triviaalselt. Kui võrdsuses (3) on vähemalt üks koefitsientidest
ei ole võrdne nulliga, siis ütleme, et vektorite süsteem
esindab nullvektorit mittetriviaalsel viisil.

Viimasest näitest näeme, et on olemas vektorite süsteeme, mis võivad nullvektorit esitada mittetriviaalsel viisil. Järgmisest näitest näeme, et on vektorite süsteeme, mis ei suuda nullvektorit mitte-triviaalselt esitada.

Näide. Lase
on kahest veerust koosnev süsteem vektorruumist. Mõelge võrdsusele:

,

Kus
tundmatud koefitsiendid. Kasutades veeru skalaariga (arvuga) korrutamise ja veergude liitmise reegleid, saame võrdsuse:

.

Maatriksvõrdsuse definitsioonist tuleneb, et
Ja
.

Seega ei saa antud süsteem nullveergu mittetriviaalselt esitada.

Ülaltoodud näidetest järeldub, et vektorsüsteeme on kahte tüüpi. Mõned süsteemid esindavad nullvektorit mittetriviaalsel viisil, teised aga mitte. Pange tähele veel kord, et iga vektorite süsteem esindab nullvektorit triviaalselt.

Definitsioon. Vektorruumi vektorisüsteemi, mis esindab nullvektorit AINULT triviaalselt, peetakse lineaarselt sõltumatuks.

Definitsioon. Vektorruumi vektorite süsteemi, mis võib mittetriviaalselt kujutada nullvektorit, nimetatakse lineaarselt sõltuvaks.

Viimase määratluse saab esitada üksikasjalikumal kujul.

Definitsioon. Vektorsüsteem
vektorruumi V nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui väljal K on selline nullist erinev skalaaride hulk

Kommenteeri. Igasugune vektorite süsteem
võib nullvektorit esitada triviaalselt:

Kuid sellest ei piisa, et teada saada, kas antud vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv või lineaarselt sõltumatu. Definitsioonist järeldub, et lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem ei saa esitada nullvektorit mittetriviaalsel viisil, vaid ainult triviaalsel viisil. Seetõttu on antud vektorite süsteemi lineaarse sõltumatuse kontrollimiseks vaja kaaluda nulli esitamist selle vektorite süsteemi suvalise lineaarse kombinatsiooniga:

Kui see võrdsus on võimatu, eeldusel, et vähemalt üks selle lineaarse kombinatsiooni koefitsient on nullist erinev, on see süsteem definitsiooni järgi lineaarselt sõltumatu.

Nii et eelmise lõigu näidetes veerusüsteem
on lineaarselt sõltumatu ja veergude süsteem
on lineaarselt sõltuv.

Samamoodi on tõestatud veergude süsteemi lineaarne sõltumatus ,, ... ,

ruumist , kus K on suvaline väli, n on suvaline naturaalarv.

Järgmised teoreemid annavad mitmeid kriteeriume vektorsüsteemide lineaarsele sõltuvusele ja vastavalt ka lineaarsele sõltumatusele.

Teoreem. (Vajalik ja piisav tingimus vektorsüsteemi lineaarseks sõltuvuseks.)

Vektoriruumis olev vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui süsteemi üks vektoritest on lineaarselt väljendatud selle süsteemi teiste vektoritega.

Tõestus. Vajadus. Las süsteem
lineaarselt sõltuv. Siis esitab see definitsiooni järgi nullvektorit mittetriviaalsel viisil, st. selle vektorite süsteemi mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektoriga:

kus vähemalt üks selle lineaarse kombinatsiooni koefitsient ei ole võrdne nulliga. Lase
,
.

Jagage eelmise võrdsuse mõlemad osad selle nullist erineva koefitsiendiga (st korrutage koefitsiendiga :

Tähistage:
, Kus.

need. süsteemi üks vektor on lineaarselt väljendatud selle süsteemi teiste vektorite kaudu jne.

Adekvaatsus. Olgu üks süsteemi vektoritest lineaarselt väljendatud selle süsteemi teiste vektorite kaudu:

Liigutame vektorit V parem pool see võrdsus:

Kuna koefitsient vektori juures võrdub
, siis on nulli mittetriviaalne esitus vektorisüsteemi abil
, mis tähendab, et see vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv jne.

Teoreem on tõestatud.

Tagajärg.

1. Vektoriruumi vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu siis ja ainult siis, kui süsteemi ükski vektor ei ole lineaarselt väljendatud selle süsteemi teiste vektoritega.

2. Nullvektorit või kahte võrdset vektorit sisaldav vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Tõestus.

1) Vajadus. Olgu süsteem lineaarselt sõltumatu. Oletame vastupidist ja on olemas süsteemivektor, mida väljendatakse lineaarselt selle süsteemi teiste vektorite kaudu. Siis on süsteem teoreemi järgi lineaarselt sõltuv ja me jõuame vastuoluni.

Adekvaatsus. Ärgu ühtki süsteemi vektorit väljendataks teistega. Oletame vastupidist. Olgu süsteem lineaarselt sõltuv, aga siis teoreemist järeldub, et on olemas süsteemivektor, mis väljendub lineaarselt selle süsteemi teiste vektorite kaudu ja jõuame jällegi vastuoluni.

2a) Olgu süsteemis nullvektor. Oletame kindluse huvides, et vektor
:. Siis võrdsus

need. süsteemi üks vektor on lineaarselt väljendatud selle süsteemi teiste vektorite kaudu. Teoreemist järeldub, et selline vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv jne.

Pange tähele, et seda fakti saab tõestada otse lineaarselt sõltuva vektorite süsteemi definitsioonist.

Sest
, siis on järgmine võrdsus ilmne

See on nullvektori mittetriviaalne esitus, mis tähendab, et süsteem
on lineaarselt sõltuv.

2b) Olgu süsteemil kaks võrdset vektorit. Laske kindluse mõttes
. Siis võrdsus

Need. esimest vektorit väljendatakse lineaarselt sama süsteemi teiste vektoritega. Teoreemist järeldub, et antud süsteem on lineaarselt sõltuv jne.

Sarnaselt eelmisele saab seda väidet tõestada ka otse lineaarselt sõltuva süsteemi definitsioonist.

Tõepoolest, alates
, siis võrdsus

need. meil on nullvektori mittetriviaalne esitus.

Tagajärg on tõestatud.

Teoreem (Ühe vektori süsteemi lineaarsest sõltuvusest.

Ühest vektorist koosnev süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui see vektor on null.

Tõestus.

Vajadus. Las süsteem
lineaarselt sõltuv, s.t. nullvektori mittetriviaalne esitus on olemas

,

Kus
Ja
. Vektorruumi lihtsamatest omadustest järeldub, et siis
.

Adekvaatsus. Koosneb süsteem ühest nullvektorist
. Siis see süsteem esindab nullvektorit mittetriviaalselt

,

kust järgneb süsteemi lineaarne sõltuvus
.

Teoreem on tõestatud.

Tagajärg. Ühest vektorist koosnev süsteem on lineaarselt sõltumatu siis ja ainult siis, kui see vektor on nullist erinev.

Tõestus jäetakse harjutuseks lugejale.

Loeng 6. Vektorruum.

Peamised küsimused.

1. Vektori lineaarruum.

2. Ruumi alus ja mõõde.

3. Ruumi orientatsioon.

4. Vektori dekomponeerimine baasi järgi.

5. Vektori koordinaadid.

1. Vektori lineaarruum.

Mis tahes laadi elementidest koosnev komplekt, milles lineaarsed operatsioonid: kutsutakse kahe elemendi liitmine ja elemendi korrutamine arvuga ruumid, ja nende elemendid on vektorid see ruum ja on tähistatud samamoodi nagu vektorkogused geomeetrias: . Vektorid sellistel abstraktsetel ruumidel pole reeglina tavaliste geomeetriliste vektoritega midagi ühist. Abstraktsete ruumide elementideks võivad olla funktsioonid, arvude süsteem, maatriksid jne ning konkreetsel juhul tavalised vektorid. Seetõttu nimetatakse selliseid ruume vektorruumid .

Vektorruumid on Näiteks, kollineaarsete vektorite kogum, mida tähistatakse V1 , koplanaarsete vektorite hulk V2 , tavaliste (reaalruumi)vektorite hulk V3 .

Selle konkreetse juhtumi jaoks saame anda vektorruumi järgmise definitsiooni.

Definitsioon 1. Vektorite hulka nimetatakse vektorruum, kui hulga mis tahes vektorite lineaarne kombinatsioon on ka selle hulga vektor. Vektoreid endid nimetatakse elemendid vektorruum.

Olulisem nii teoreetiliselt kui ka rakenduslikult on vektorruumi üldine (abstraktne) mõiste.

2. definitsioon. Trobikond R elemendid , milles mis tahes kahe elemendi ja summa on määratletud ning mis tahes elemendi jaoks nimetatakse https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> vektor(või lineaarne) ruumi, ja selle elemendid on vektorid, kui vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise operatsioonid rahuldavad järgmised tingimused (aksioomid) :

1) liitmine on kommutatiivne, st.gif" width="184" height="25">;

3) on olemas selline element (nullvektor), et mis tahes https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"height="27">;

5) mis tahes vektorite ja arvu λ korral kehtib võrdsus;

6) mis tahes vektorite ja arvude jaoks λ Ja µ võrdsus kehtib https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> ja kõik numbrid λ Ja µ õiglane ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Vektorruumi defineerivatest aksioomidest järgige lihtsaimat tagajärjed :

1. Vektorruumis on ainult üks null – element – ​​nullvektor.

2. Vektorruumis on igal vektoril ainulaadne vastandvektor.

3. Iga elemendi puhul on võrdsus täidetud.

4. Mis tahes reaalarvu jaoks λ ja nullvektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> on vektor, mis rahuldab võrdsuse https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Niisiis, tõepoolest, ja kõigi palju geomeetrilised vektorid on lineaarne (vektori)ruum, kuna selle hulga elementide jaoks on defineeritud liitmise ja arvuga korrutamise toimingud, mis rahuldavad formuleeritud aksioome.

2. Ruumi alus ja mõõde.

Vektorruumi põhimõisted on aluse ja dimensiooni mõisted.

Definitsioon. Lineaarselt sõltumatute vektorite hulka, mis on võetud kindlas järjekorras, mille kaudu mis tahes ruumivektorit lineaarselt väljendatakse, nimetatakse alus see ruum. Vektorid. Aluse moodustavaid ruume nimetatakse põhilised .

Suvalisel sirgel paikneva vektorite hulga alust võib pidada selle joonvektori üheks kollineaarseks .

Lennuki alusel nimetame sellel tasapinnal kahte mittekollineaarset vektorit, mis on võetud teatud järjekorras https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Kui baasvektorid on paarikaupa risti (ortogonaalsed), siis nimetatakse baasiks ortogonaalne, ja kui neil vektoritel on pikkus, võrdne ühega, siis nimetatakse alust ortonormaalne .

Suurim arv nimetatakse lineaarselt sõltumatuteks ruumivektoriteks dimensioon see ruum, st ruumi mõõde langeb kokku selle ruumi baasvektorite arvuga.

Niisiis, vastavalt nendele määratlustele:

1. Ühemõõtmeline ruum V1 on sirgjoon ja alus koosneb üks kollineaarne vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Tavaline ruum on kolmemõõtmeline ruum V3 , mille alus koosneb kolm mittetasapinnalist vektorid.

Siit näeme, et baasvektorite arv sirgel, tasapinnal, reaalruumis langeb kokku sellega, mida geomeetrias tavaliselt nimetatakse sirge, tasandi, ruumi mõõtmete (mõõtme) arvuks. Seetõttu on loomulik võtta kasutusele üldisem määratlus.

Definitsioon. vektorruum R helistas n- mõõtmetega, kui see sisaldab maksimaalselt n lineaarselt sõltumatud vektorid ja tähistatakse R n. Number n helistas dimensioon ruumi.

Vastavalt ruumi mõõtmetele jagatakse lõpliku mõõtmega Ja lõpmatu mõõtmega. Nullruumi mõõde on definitsiooni järgi null.

Märkus 1. Igas ruumis saate määrata nii palju aluseid, kui soovite, kuid kõik selle ruumi alused koosnevad samast arvust vektoritest.

Märkus 2. IN n- dimensioonilises vektorruumis on aluseks mis tahes järjestatud kogum n lineaarselt sõltumatud vektorid.

3. Ruumi orientatsioon.

Laske baasvektorid ruumis V3 on ühine algus Ja tellitud, st näidatakse, millist vektorit peetakse esimeseks, millist - teiseks ja millist - kolmandaks. Näiteks baasis järjestatakse vektorid vastavalt indekseerimisele.

Selle eest ruumi orienteerimiseks on vaja panna mingi alus ja kuulutada see positiivseks .

Võib näidata, et ruumi kõigi aluste hulk jaguneb kahte klassi, see tähendab kahte mittelõikuvasse alamhulka.

a) kõik ühte alamhulka (klassi) kuuluvatel alustel on sama orientatsioon (sama nimega alused);

b) mis tahes kaks alust, mis kuuluvad mitmesugused alamhulgad (klassid), on vastupidine orientatsioon, ( erinevad nimed alused).

Kui üks kahest ruumi aluste klassist on kuulutatud positiivseks ja teine ​​on negatiivne, siis ütleme, et see ruum orienteeritud .

Sageli kutsutakse ruumi orienteerides mingeid aluseid õige, samas kui teised on vasakpoolsed .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> kutsuti õige, kui kolmanda vektori lõpust vaadeldes on esimese vektori lühim pööre https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> viiakse läbi vastupäeva(Joon. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Riis. 1.8. Parem alus (a) ja vasak alus (b)

Tavaliselt kuulutatakse ruumi õige alus positiivseks aluseks

Ruumi paremat (vasakpoolset) alust saab määrata ka "parema" ("vasakpoolse") kruvi või klambri reegli abil.

Sellega analoogselt mõiste parem ja vasak kolmikud mittekomplementaarsed vektorid, mis tuleb järjestada (joonis 1.8).

Seega sisse üldine juhtum kahel mittetasapinnaliste vektorite järjestatud kolmikul on ruumis sama orientatsioon (neil on sama nimi) V3 kui nad on mõlemad parempoolsed või mõlemad vasakpoolsed, ja - vastupidine orientatsioon (vastupidine), kui üks neist on parem ja teine ​​vasak.

Sama tehakse ka ruumi puhul V2 (lennukid).

4. Vektori dekomponeerimine baasi järgi.

Arutluskäigu lihtsuse huvides käsitleme seda küsimust kolmemõõtmelise vektorruumi näitel R3 .

Olgu https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> selle ruumi suvaline vektor.

4.3.1 Lineaarruumi määratlus

Lase ā , , - mõne komplekti elemendid ā , , L ja λ , μ - reaalarvud, λ , μ R..

Hulk L nimetatakselineaarne võivektorruum, kui on määratletud kaks toimingut:

1 0 . Lisand. Iga selle hulga elementide paar on seotud sama hulga elemendiga, mida nimetatakse nende summaks

ā + =

2°.Korrutamine arvuga. Igaüks tegelik arv λ ja element ā L määratakse sama komplekti element λ ā L ja on täidetud järgmised omadused:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. on olemas null element
, selline, et ā +=ā ;

4. on olemas vastandelement -
selline, et ā +(-ā )=.

Kui λ , μ - reaalarvud, siis:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Lineaarruumi ā elemendid, , ... nimetatakse vektoriteks.

Harjutus. Näidake endale, et need hulgad moodustavad lineaarseid ruume:

1) Geomeetriliste vektorite hulk tasapinnal;

2) Geomeetriliste vektorite kogum kolmemõõtmelises ruumis;

3) teatud astme polünoomide hulk;

4) Sama mõõtmega maatriksite hulk.

4.3.2 Lineaarselt sõltuvad ja sõltumatud vektorid. Ruumi mõõtmed ja alus

Lineaarne kombinatsioon vektorid ā 1 , ā 2 , …, ā n Lnimetatakse vormi sama ruumi vektoriks:

,

Kus λ i - reaalarvud.

Vektorid ā 1 , .. , ā n helistaslineaarselt sõltumatu, kui nende lineaarne kombinatsioon on nullvektor siis ja ainult siis, kui kõik λ i on võrdsed nulliga, see on

λ i=0

Kui lineaarne kombinatsioon on nullvektor ja vähemalt üks λ i on nullist erinev, siis nimetatakse neid vektoreid lineaarselt sõltuvateks. Viimane tähendab, et vähemalt ühte vektoritest saab esitada teiste vektorite lineaarse kombinatsioonina. Tõepoolest, olgu ja näiteks
. Siis
, Kus

.

Maksimaalselt lineaarselt sõltumatut järjestatud vektorite süsteemi nimetatakse alus ruumi L. Alusvektorite arvu nimetatakse dimensioon ruumi.

Oletame, et on olemas n lineaarselt sõltumatud vektorid, siis ruumi nimetatakse n-mõõtmeline. Teisi ruumivektoreid saab esitada lineaarse kombinatsioonina n baasvektorid. aluse kohta n- mõõtmete ruumi saab võtta ükskõik milline n selle ruumi lineaarselt sõltumatud vektorid.

Näide 17. Leidke antud lineaarruumide alus ja mõõde:

a) vektorite komplektid, mis asuvad joonel (kollineaarsed mõne joonega)

b) tasapinnale kuuluvate vektorite hulk

c) kolmemõõtmelise ruumi vektorite hulk

d) polünoomide hulk, mille aste on maksimaalselt kaks.

Lahendus.

A) Kõik kaks vektorit, mis asuvad sirgel, on lineaarselt sõltuvad, kuna vektorid on kollineaarsed
, See
, λ - skalaar. Seetõttu on selle ruumi aluseks ainult üks (ükskõik milline) vektor peale nulli.

Tavaliselt on see ruum R, selle mõõde on 1.

b) mis tahes kaks mittekollineaarset vektorit
on lineaarselt sõltumatud ja mis tahes kolm vektorit tasapinnal on lineaarselt sõltuvad. Iga vektori jaoks , seal on numbrid  Ja  selline, et
. Ruumi nimetatakse kahemõõtmeliseks, tähistatakse R 2 .

Kahemõõtmelise ruumi aluse moodustavad mis tahes kaks mittekollineaarset vektorit.

V) Kõik kolm mittetasatasandilist vektorit on lineaarselt sõltumatud, need moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse R 3 .

G) Kõige rohkem kahe astme polünoomide ruumi aluseks saab valida järgmised kolm vektorit: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 on polünoom, võrdne ühega). See ruum saab olema kolmemõõtmeline.