Perioodilised kümnendkohad. Harilikud ja kümnendmurrud ning tehted nendega Kuidas näeb välja lõplik kümnendmurd

See artikkel räägib sellest kümnendkohad. Siin mõistame murdarvude kümnendmurdu, tutvustame kümnendmurru mõistet ja toome näiteid kümnendmurdudest. Järgmisena räägime kümnendmurdude numbritest ja anname numbrite nimed. Pärast seda keskendume lõpmatutele kümnendmurdudele, räägime perioodilistest ja mitteperioodilistest murdudest. Järgmisena loetleme põhitehted kümnendmurdudega. Kokkuvõtteks määrame kümnendmurdude asukoha koordinaadikiirel.

Leheküljel navigeerimine.

Murdarvu kümnendmärk

Kümnendkohtade lugemine

Ütleme paar sõna kümnendmurdude lugemise reeglite kohta.

Kümnendmurrud, mis vastavad õigetele harilikele murdudele, loetakse samamoodi nagu neid tavalisi murde, esmalt lisatakse ainult “null täisarv”. Näiteks kümnendmurd 0,12 vastab tavalisele murrule 12/100 (loe "kaksteist sajandikku"), seetõttu loetakse 0,12 kui "null koma kaksteist sajandikku".

Segaarvudele vastavad kümnendmurrud loetakse täpselt samamoodi nagu need segaarvud. Näiteks kümnendmurd 56.002 vastab segaarvule, seega loetakse kümnendmurd 56.002 kui "viiskümmend kuus koma kaks tuhandikku".

Kohad kümnendkohtades

Kümnendmurdude ja ka naturaalarvude kirjutamisel sõltub iga numbri tähendus selle asukohast. Tõepoolest, number 3 kümnendmurrus 0,3 tähendab kolme kümnendikku, kümnendmurrus 0,0003 - kolm kümmet tuhandikku ja kümnendmurrus 30 000,152 - kolme kümnendikku. Nii et saame rääkida kümnendkohad, samuti naturaalarvude numbrite kohta.

Numbrite nimetused kümnendmurrus kuni kümnendkohani kattuvad täielikult naturaalarvude numbrite nimedega. Ja kümnendkohtade nimed pärast koma on näha järgmisest tabelist.

Näiteks kümnendmurrus 37.051 on number 3 kümnendkohal, 7 ühikukohal, 0 kümnendikul, 5 sajandikkohal ja 1 tuhandendikul.

Kohad kümnendmurdudes erinevad ka tähtsuse poolest. Kui kümnendmurru kirjutamisel liigume numbrilt numbrile vasakult paremale, siis liigume alates pensionärid To juunioride auastmed. Näiteks sadade koht on vanem kui kümnendike koht ja miljonite koht on madalam kui sajandikkoht. Antud viimases kümnendmurrus saame rääkida suurematest ja väiksematest numbritest. Näiteks kümnendmurrus 604,9387 vanem (kõrgeim) koht on sadade koht ja juunior (madalaim)- kümnetuhandik number.

Kümnendmurdude puhul toimub laiendamine numbriteks. See sarnaneb naturaalarvude arvudeks laiendamisega. Näiteks 45,6072 laiendus kümnendkohtadesse on järgmine: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Ja liitmise omadused kümnendmurru jaotamisel numbriteks võimaldavad teil liikuda selle kümnendmurru muude esitusviiside juurde, näiteks 45,6072=45+0,6072 või 45,6072=40,6+5,007+0,0002 või 45,6072=724+5,072 0.6.

Kümnendkohtade lõpp

Siiani on räägitud ainult kümnendmurdudest, mille tähistuses on koma järel lõplik arv numbreid. Selliseid murde nimetatakse lõplikeks kümnendkohtadeks.

Definitsioon.

Kümnendkohtade lõpp- Need on kümnendmurrud, mille kirjed sisaldavad lõplikku arvu märke (numbreid).

Siin on mõned näited lõplikest kümnendmurdudest: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Siiski ei saa iga murdosa esitada viimase kümnendkohana. Näiteks murdu 5/13 ei saa asendada võrdse murruga ühe nimetajaga 10, 100, ..., mistõttu ei saa seda teisendada lõplikuks kümnendmurruks. Sellest räägime lähemalt teooria osas, teisendades tavamurrud kümnendkohtadeks.

Lõpmatu kümnendkoha arv: perioodilised ja mitteperioodilised murrud

Kümnendmurru kirjutamisel pärast koma võib eeldada lõpmatu arvu numbrite võimalust. Sel juhul hakkame käsitlema nn lõpmatuid kümnendmurde.

Definitsioon.

Lõpmatu kümnendkoha arv- Need on kümnendmurrud, mis sisaldavad lõpmatu arvu numbreid.

On selge, et me ei saa täiskujul üles kirjutada lõpmatuid kümnendmurde, seega piirdume nende salvestamisel ainult teatud lõpliku arvu numbritega pärast koma ja paneme ellipsi, mis näitab lõputult jätkuvat numbrijada. Siin on mõned näited lõpmatutest kümnendmurdudest: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Kui vaadata tähelepanelikult kahte viimast lõpmatut kümnendmurdu, siis murrus 2.111111111... on selgelt näha lõputult korduv arv 1 ja murdes 69.74152152152... alates kolmandast kümnendkohast korduv arvude rühm. 1, 5 ja 2 on selgelt nähtavad. Selliseid lõpmatuid kümnendmurde nimetatakse perioodilisteks.

Definitsioon.

Perioodilised kümnendkohad(või lihtsalt perioodilised murrud) on lõputud kümnendmurrud, mille salvestamisel teatud kümnendkohast alustades korratakse lõputult mingit arvu või arvude rühma, mida nn. murdosa periood.

Näiteks perioodilise murru 2,111111111... periood on number 1 ja murdosa periood 69,74152152152... on numbrite rühm kujul 152.

Lõpmatute perioodiliste kümnendmurdude jaoks kasutatakse spetsiaalset tähistusvormi. Lühiduse huvides leppisime kokku, et paneme perioodi ühe korra kirja, lisades selle sulgudesse. Näiteks perioodiline murd 2.111111111... kirjutatakse 2,(1) ja perioodiline murd 69.74152152152... kirjutatakse 69.74(152) .

Väärib märkimist, et sama perioodilise kümnendmurru jaoks saab määrata erinevaid perioode. Näiteks perioodilist kümnendmurdu 0,73333... võib lugeda murduks 0,7(3) perioodiga 3 ja ka murduks 0,7(33) perioodiga 33 ja nii edasi 0,7(333), 0,7 (3333), ... Võite vaadata ka perioodilist murru 0,73333 ... nii: 0,733 (3), või nii 0,73 (333) jne. Ebaselguste ja lahknevuste vältimiseks oleme siin nõus võtma kümnendmurru perioodiks kõigist võimalikest korduvate numbrite jadadest lühimat ja alustades kümnendkohani lähimast kohast. See tähendab, et kümnendmurru 0,73333... perioodi loetakse jadaks ühest numbrist 3 ja perioodilisus algab teisest kohast pärast koma, st 0,73333...=0,7(3). Teine näide: perioodilise murru 4,7412121212... periood on 12, perioodilisus algab kolmandast numbrist pärast koma, see tähendab 4,7412121212...=4,74(12).

Lõpmatud kümnendmurrud saadakse kümnendmurrudeks teisendamisel harilikud murrud, mille nimetajad sisaldavad muid algtegureid peale 2 ja 5.

Siinkohal tasub mainida perioodilisi murde perioodiga 9. Toome näiteid selliste murdude kohta: 6.43(9) , 27,(9) . Need murrud on teine tähistus perioodiliste murdude jaoks perioodiga 0 ja need asendatakse tavaliselt perioodiliste murdudega perioodiga 0. Selleks asendatakse periood 9 perioodiga 0 ja järgmise numbri väärtust suurendatakse ühe võrra. Näiteks vormi 7.24(9) perioodiga murd 9 asendatakse perioodilise murruga, mille periood on 0 vormil 7.25(0) või võrdne viimase kümnendmurruga 7.25. Teine näide: 4, (9) = 5, (0) = 5. Murru võrdsus perioodiga 9 ja sellele vastava murru võrdsus perioodiga 0 on hõlpsasti tuvastatav pärast nende kümnendmurdude asendamist võrdsete harilike murrudega.

Lõpetuseks vaatame lähemalt lõpmatuid kümnendmurde, mis ei sisalda lõputult korduvat numbrijada. Neid nimetatakse mitteperioodilisteks.

Definitsioon.

Ühekordsed kümnendkohad(või lihtsalt mitteperioodilised murrud) on lõpmatud kümnendmurrud, millel pole punkti.

Mõnikord on mitteperioodiliste murdude vorm sarnane perioodiliste murdude omaga, näiteks 8.02002000200002... on mitteperioodiline murd. Sellistel juhtudel peaksite erinevuse märkamiseks olema eriti ettevaatlik.

Pange tähele, et mitteperioodilisi murde ei teisendata tavalisteks murdudeks; lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud tähistavad irratsionaalarvu.

Tehted kümnendkohtadega

Üks kümnendmurdudega tehteid on võrdlemine, samuti on määratletud neli põhilist aritmeetilist funktsiooni tehted kümnendkohtadega: liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Vaatleme iga kümnendmurdudega toimingut eraldi.

Kümnendkohtade võrdlus põhiliselt põhinevad võrreldavatele kümnendmurdudele vastavate tavaliste murdude võrdlemisel. Kümnendmurdude teisendamine harilikeks murdudeks on aga üsna töömahukas protsess ja lõpmatuid mitteperioodilisi murde ei saa esitada hariliku murruna, mistõttu on mugav kasutada kümnendmurdude kohapõhist võrdlust. Kümnendmurdude kohapõhine võrdlemine on sarnane naturaalarvude võrdlemisega. Täpsema teabe saamiseks soovitame artiklit uurida: kümnendmurdude võrdlus, reeglid, näited, lahendused.

Liigume edasi järgmise sammu juurde - kümnendkohtade korrutamine. Lõplike kümnendmurdude korrutamine toimub sarnaselt kümnendmurdude lahutamisega, reeglid, näited, naturaalarvude veeruga korrutamise lahendused. Perioodiliste murdude puhul saab korrutamise taandada harilike murdude korrutamiseks. Omakorda taandatakse lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude korrutamine pärast nende ümardamist lõplike kümnendmurdude korrutamiseks. Soovitame artiklis oleva materjali edasiseks uurimiseks: kümnendmurdude korrutamine, reeglid, näited, lahendused.

Koordinaadikiire kümnendkohad

Punktide ja kümnendkohtade vahel on üks-ühele vastavus.

Mõelgem välja, kuidas konstrueeritakse koordinaatkiire punkte, mis vastavad antud kümnendmurrule.

Lõplikud kümnendmurrud ja lõpmatud perioodilised kümnendmurrud saame asendada võrdsete harilike murrudega ning seejärel konstrueerida koordinaatkiire vastavad harilikud murrud. Näiteks kümnendmurd 1,4 vastab harilikule murrule 14/10, nii et punkt koordinaadiga 1,4 eemaldatakse lähtepunktist positiivses suunas 14 lõigu võrra, mis on võrdne kümnendikuga ühiklõigust.

Kümnendmurrud saab märkida koordinaatkiirele, alustades etteantud kümnendmurru jagamisest numbriteks. Näiteks tuleb ehitada punkt koordinaadiga 16.3007, kuna 16.3007=16+0.3+0.0007, siis jõuame sellesse punkti, asetades järjestikku koordinaatide alguspunktist 16 ühikulist segmenti, 3 lõiku, mille pikkus on võrdne kümnendikuga. ühikut ja 7 segmenti, mille pikkus võrdub kümnetuhandikuga ühiku segmendist.

See koordinaatkiire kümnendarvude konstrueerimise meetod võimaldab teil jõuda lõpmatule kümnendmurrule vastavale punktile nii lähedale kui soovite.

Mõnikord on võimalik täpselt joonistada punkt, mis vastab lõpmatule kümnendmurrule. Näiteks, , siis see lõpmatu kümnendmurd 1,41421... vastab koordinaatkiire punktile, mis on koordinaatide alguspunktist 1 ühikulise küljega ruudu diagonaali pikkuse kaugusel.

Koordinaadikiire antud punktile vastava kümnendmurru saamise pöördprotsess on nn. segmendi kümnendmõõtmine. Mõelgem välja, kuidas seda tehakse.

Olgu meie ülesandeks jõuda lähtepunktist koordinaatjoonel antud punkti (või läheneda sellele lõpmatult, kui me sinna ei jõua). Segmendi kümnendmõõtmise abil saame järjestikku eraldada lähtepunktist suvalise arvu ühiku segmente, seejärel segmente, mille pikkus on võrdne kümnendiku ühikuga, seejärel segmendid, mille pikkus on võrdne sajandiku ühikuga jne. Registreerides iga kõrvale pandud pikkusega segmentide arvu, saame koordinaatkiire antud punktile vastava kümnendmurru.

Näiteks ülaltoodud joonisel punkti M jõudmiseks tuleb kõrvale jätta 1 ühikuline segment ja 4 segmenti, mille pikkus on võrdne kümnendikuga ühikust. Seega vastab punkt M kümnendmurrule 1.4.

On selge, et koordinaatkiire punktid, kuhu kümnendmõõtmise käigus ei pääse, vastavad lõpmatutele kümnendmurdudele.

Bibliograafia.

Matemaatika: õpik 5. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lk.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matemaatika. 6. klass: hariv. üldhariduse jaoks institutsioonid / [N. Ya. Vilenkin ja teised]. - 22. väljaanne, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Pidage meeles, kuidas ma ütlesin esimeses kümnendkoha õppetunnis, et on arvulisi murde, mida ei saa kümnendkohtadena esitada (vt õppetundi „Komakohad”)? Samuti õppisime, kuidas arvutada murdude nimetajaid, et näha, kas peale 2 ja 5 on muid numbreid.

Niisiis: ma valetasin. Ja täna õpime, kuidas teisendada absoluutselt mis tahes arvuline murd kümnendkohaks. Samal ajal tutvume terve hulga murdude klassiga, millel on lõpmatu oluline osa.

Perioodiline kümnendkoht on mis tahes kümnend, mis:

Märkimisväärne osa koosneb lõpmatust arvust numbritest;

Teatud ajavahemike järel korratakse olulises osas olevaid numbreid.

Korduvate numbrite komplekti, mis moodustavad olulise osa, nimetatakse murdosa perioodiliseks osaks ja numbrite arvu selles komplektis nimetatakse murdosa perioodiks. Märkimisväärse osa ülejäänud segmenti, mida ei korrata, nimetatakse mitteperioodiliseks osaks.

Kuna määratlusi on palju, tasub mõnda neist murdudest üksikasjalikult kaaluda:

See murdosa esineb kõige sagedamini probleemides. Mitteperioodiline osa: 0; perioodiline osa: 3; perioodi pikkus: 1.

Mitteperioodiline osa: 0,58; perioodiline osa: 3; perioodi pikkus: jälle 1.

Mitteperioodiline osa: 1; perioodiline osa: 54; perioodi pikkus: 2.

Mitteperioodiline osa: 0; perioodiline osa: 641025; perioodi pikkus: 6. Mugavuse huvides eraldatakse korduvad osad üksteisest tühikuga – antud lahenduse puhul pole see vajalik.

Mitteperioodiline osa: 3066; perioodiline osa: 6; perioodi pikkus: 1.

Nagu näete, põhineb perioodilise murru määratlus kontseptsioonil oluline osa arvust. Seetõttu, kui olete unustanud, mis see on, soovitan seda korrata - vaadake õppetundi "".

Üleminek perioodilisele kümnendmurrule

Vaatleme vormi a /b tavalist murdu. Jaotame selle nimetaja algteguriteks. On kaks võimalust.

Laiendus sisaldab ainult tegureid 2 ja 5. Need murrud on kergesti teisendatavad kümnendkohtadeks – vt õppetundi “Komakohad”. Me ei ole sellistest inimestest huvitatud;
Laienduses on midagi muud peale 2 ja 5. Sel juhul ei saa murdu esitada kümnendkohana, kuid selle saab teisendada perioodiliseks kümnendkohaks.

Perioodilise kümnendmurru määratlemiseks peate leidma selle perioodilised ja mitteperioodilised osad. Kuidas? Teisendage murd valeks murruks ja jagage lugeja nurga abil nimetajaga.

Juhtub järgmine:

Kõigepealt läheb lahku terve osa, kui see on olemas;
Pärast koma võib olla mitu numbrit;
Mõne aja pärast hakkavad numbrid käima korda.

See on kõik! Pärast koma korduvaid numbreid tähistatakse perioodilise osaga ja ees olevaid mitteperioodilise osaga.

Ülesanne. Teisendage tavalised murrud perioodilisteks kümnendkohtadeks:

Kõik murrud ilma täisarvuta, seega jagame lugeja lihtsalt nimetajaga nurgaga:

Nagu näete, korratakse jääke. Kirjutame murdosa “õigele” kujule: 1,733 ... = 1,7(3).

Tulemuseks on murdosa: 0,5833 ... = 0,58(3).

Kirjutame selle tavakujul: 4.0909 ... = 4,(09).

Saame murdarvu: 0,4141 ... = 0.(41).

Üleminek perioodiliselt kümnendmurrult harilikule murdarvule

Vaatleme perioodilist kümnendmurdu X = abc (a 1 b 1 c 1). See tuleb teisendada klassikaliseks "kahekorruseliseks". Selleks järgige nelja lihtsat sammu:

Leia murdosa periood, s.o. loe, mitu numbrit on perioodilises osas. Olgu selleks arv k;
Leia avaldise X · 10 k väärtus. See võrdub koma täispunkti nihutamisega paremale – vt õppetundi "Komakohtade korrutamine ja jagamine";
Saadud arvust tuleb lahutada algne avaldis. Sel juhul perioodiline osa “põletatakse” ja jääb alles harilik murd;
Leidke saadud võrrandist X. Teisendame kõik kümnendmurrud tavalisteks murdudeks.

Ülesanne. Teisendage arv tavaliseks valemurruks:

9,(6);
32,(39);
0,30(5);
0,(2475).

Töötame esimese murruga: X = 9, (6) = 9,666 ...

Sulgudes on ainult üks number, seega on punkt k = 1. Järgmiseks korrutame selle murdarvuga 10 k = 10 1 = 10. Saame:

10X = 10 9,6666... = 96,666...

Lahutage algne murd ja lahendage võrrand:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Vaatame nüüd teist murdu. Seega X = 32, (39) = 32,393939...

Periood k = 2, seega korrutage kõik 10-ga k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Lahutage algne murd uuesti ja lahendage võrrand:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Liigume edasi kolmanda murru juurde: X = 0,30(5) = 0,30555... Diagramm on sama, seega annan lihtsalt arvutused:

Periood k = 1 ⇒ korrutage kõik 10-ga k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Lõpuks viimane murd: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Jällegi, mugavuse huvides eraldatakse perioodilised osad üksteisest tühikutega. Meil on:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

murdarv.

Murdarvu kümnendmärk on kahe või enama numbri komplekt vahemikus $0$ kuni $9$, mille vahel on nn \textit (koma).

Näide 1

Näiteks 35,02 $; 100,7 dollarit; 123 $\456,5 $; 54,89 dollarit.

Arvu kümnendkoha vasakpoolseim number ei saa olla null, ainsaks erandiks on see, kui koma on vahetult pärast esimest numbrit $0$.

Näide 2

Näiteks 0,357 $; 0,064 dollarit.

Sageli asendatakse koma komaga. Näiteks 35,02 $; 100,7 dollarit; 123 $\456,5 $; 54,89 dollarit.

Kümnendmääratlus

Definitsioon 1

Kümnendkohad-- need on murdarvud, mis on esitatud kümnendsüsteemis.

Näiteks 121,05 $; 67,9 dollarit; 345,6700 dollarit.

Kümnenditega kirjutatakse kompaktsemalt korralikke murde, mille nimetajateks on numbrid $10$, $100$, $1\000$ jne. ja segaarvud, mille murdosa nimetajateks on numbrid $10$, $100$, $1\000$ jne.

Näiteks hariliku murru $\frac(8)(10)$ saab kirjutada kümnendkohana $0.8$ ja segaarvu $405\frac(8)(100)$ kümnendkohana $405.08$.

Kümnendkohtade lugemine

Tavamurdudele vastavaid kümnendkohti loetakse samamoodi nagu tavalisi murde, ette lisatakse ainult fraas “null täisarvu”. Näiteks tavaline murd $\frac(25)(100)$ (loe "kakskümmend viis sajandikku") vastab kümnendmurrule $0,25 $ (loe "null koma kakskümmend viis sajandikku").

Segaarvudele vastavaid kümnendmurde loetakse samamoodi kui segaarvusid. Näiteks segaarv $43\frac(15)(1000)$ vastab kümnendmurrule $43.015$ (loe “nelikümmend kolm koma viisteist tuhandikku”).

Kohad kümnendkohtades

Kümnendmurru kirjutamisel sõltub iga numbri tähendus selle asukohast. Need. kümnendmurdudes kehtib ka mõiste kategooria.

Kohti kümnendmurdudes kuni kümnendkohani nimetatakse samamoodi kui naturaalarvude kohti. Tabelis on loetletud kümnendkohad pärast koma:

1. pilt.

Näide 3

Näiteks kümnendmurrus $56.328$ on number $5$ kümnendiku kohal, $6$ ühikukohal, $3$ kümnendikul, $2$ sajandikkohal, $8$ tuhandendikul koht.

Kohad kümnendmurdudes eristatakse tähtsuse järgi. Kümnendmurru lugemisel liikuge vasakult paremale - alates vanem auaste juurde noorem.

Näide 4

Näiteks kümnendmurrus $56.328$ on kõige olulisem (kõrgeim) koht kümnendiku koht ja madalaim (madalaim) koht tuhandendike koht.

Kümnendmurdu saab laiendada numbriteks, mis on sarnased naturaalarvu numbrilise lagunemisega.

Näide 5

Näiteks jagame kümnendmurru $37.851 $ numbriteks:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Kümnendkohtade lõpp

2. definitsioon

Kümnendkohtade lõpp nimetatakse kümnendmurrudeks, mille kirjed sisaldavad lõplikku arvu märke (numbreid).

Näiteks 0,138 $; 5,34 dollarit; 56,123456 dollarit; 350 972,54 dollarit.

Iga lõpliku kümnendmurru saab teisendada murdarvuks või segaarvuks.

Näide 6

Näiteks viimane kümnendmurd $7.39$ vastab murdarvule $7\frac(39)(100)$ ja viimane kümnendmurd $0.5$ vastab õigele harilikule murrule $\frac(5)(10)$ (või mis tahes murd, mis on sellega võrdne, näiteks $\frac(1)(2)$ või $\frac(10)(20)$.

Murru teisendamine kümnendkohaks

Murdude teisendamine nimetajatega $10, 100, \dots$ kümnendkohtadeks

Enne mõne õige murdude kümnendkohtadeks teisendamist tuleb need kõigepealt ette valmistada. Sellise ettevalmistuse tulemuseks peaks olema sama arv numbreid lugejas ja sama arv nulle nimetajas.

Korralike harilike murdude kümnendmurdudeks teisendamiseks “eelvalmistamise” olemus seisneb selles, et lugejasse lisatakse vasakule selline arv nulle, et numbrite koguarv võrdub nimetaja nullide arvuga.

Näide 7

Näiteks valmistame ette murdarvu $\frac(43)(1000)$ kümnendkohaks teisendamiseks ja saame $\frac(043)(1000)$. Ja tavaline murd $\frac(83)(100)$ ei vaja ettevalmistust.

Sõnastame reegel õige hariliku murru, mille nimetaja on $10$ või $100$ või $1\000$, $\dots$, teisendamiseks kümnendmurruks:

kirjuta $0$;

pärast seda pane koma;

kirjutage number lugejast üles (vajadusel pärast ettevalmistamist lisage nullid).

Näide 8

Teisendage õige murd $\frac(23)(100)$ kümnendkohaks.

Lahendus.

Nimetaja sisaldab arvu $100$, mis sisaldab $2$ ja kahte nulli. Lugeja sisaldab arvu $23$, mis on kirjutatud $2$.numbritega. See tähendab, et seda murdu ei ole vaja ette valmistada kümnendkohaks teisendamiseks.

Kirjutame $0$, paneme koma ja kirjutame lugejast üles numbri $23$. Saame kümnendmurruks $0,23$.

Vastus: $0,23$.

Näide 9

Kirjutage õige murd $\frac(351)(100000)$ kümnendkohana.

Lahendus.

Selle murru lugeja sisaldab $3$ numbrit ja nimetaja nullide arv on $5$, nii et see tavaline murd tuleb ette valmistada kümnendkohaks teisendamiseks. Selleks tuleb lugejasse vasakule lisada nullid $5-3=2$: $\frac(00351)(100000)$.

Nüüd saame moodustada soovitud kümnendmurru. Selleks kirjuta üles $0$, seejärel lisa koma ja kirjuta üles number lugejast. Saame kümnendmurru $0,00351 $.

Vastus: $0,00351$.

Sõnastame reegel nimetajatega $10$, $100$, $\dots$ sobimatute murdude teisendamiseks kümnendmurdudeks:

kirjutage lugejast number üles;

Kasutage koma, et eraldada paremal pool nii palju nulle, kuivõrd algmurru nimetajas on nulle.

Näide 10

Teisendage vale murd $\frac(12756)(100)$ kümnendkohaks.

Lahendus.

Kirjutame üles numbri lugejast $12756$, seejärel eraldame paremal olevad $2$ numbrid komaga, sest algse murru $2 nimetaja on null. Saame kümnendmurru $127,56 $.

Selles artiklis mõistame, mis on kümnendmurd, millised omadused ja omadused sellel on. Mine! 🙂

Kümnendmurd on tavaliste murdude erijuht (kus nimetaja on 10 kordne).

Definitsioon

Kümnendarvud on murrud, mille nimetajateks on arvud, mis koosnevad ühest ja sellele järgnevatest nullidest. See tähendab, et need on murrud, mille nimetaja on 10, 100, 1000 jne. Muidu võib kümnendmurdu iseloomustada kui murdu, mille nimetaja on 10 või üks kümnendastmest.

Näited murdudest:

, ,

Kümnendmurrud kirjutatakse teisiti kui tavalisi murde. Tehted nende murdosadega erinevad ka tavalistest. Nendega tehtavate toimingute reeglid on suures osas sarnased täisarvudega tehtavate reeglitega. See seletab eelkõige nende nõudlust praktiliste probleemide lahendamise järele.

Murdude esitamine kümnendsüsteemis

Kümnendmurul ei ole nimetajat, see kuvab lugeja numbri. Üldiselt kirjutatakse kümnendmurd järgmise skeemi järgi:

kus X on murdosa täisarv, Y on selle murdosa, "," on koma.

Murru kümnendkoha korrektseks esitamiseks on vaja, et see oleks tavaline murd, st täisarvu osa on esile tõstetud (kui võimalik) ja lugeja, mis on nimetajast väiksem. Seejärel kirjutatakse kümnendmärgistuses täisarvu osa koma (X) ette ja hariliku murru lugeja pärast koma (Y).

Kui lugeja sisaldab vähemate numbritega arvu kui nimetaja nullide arv, siis Y osas täidetakse kümnendmärgistuses puuduv numbrite arv lugeja numbrite ette nullidega.

Näide:

Kui harilik murd on väiksem kui 1, s.o. ei sisalda täisarvu, siis X kümnendkoha vormingus kirjutage 0.

Murdosasse (Y) saab pärast viimast olulist (nullist erinevat) numbrit sisestada suvalise arvu nulle. See ei mõjuta murdosa väärtust. Ja vastupidi, kõik nullid kümnendkoha murdosa lõpus võib ära jätta.

Kümnendkohtade lugemine

X osa loetakse üldiselt järgmiselt: "X täisarvud."

Y-osa loetakse nimetajas oleva arvu järgi. Nimetaja 10 jaoks tuleks lugeda: “Y kümnendikku”, nimetaja 100 jaoks: “Y sajandikku”, nimetaja jaoks 1000: “Y tuhandeid” ja nii edasi... 😉

Teist lugemisviisi, mis põhineb murdosa numbrite arvu lugemisel, peetakse õigemaks. Selleks peate mõistma, et murdarvud asuvad peegelpildis kogu murdosa numbrite suhtes.

Õige lugemise nimed on toodud tabelis:

Sellest lähtuvalt tuleks lugemisel lähtuda murdosa viimase numbri numbri nime järgimisest.

3.5 on "kolm koma viis"
0,016 on "null koma kuusteist tuhandikku"

Suvalise murru teisendamine kümnendkohaks

Kui hariliku murru nimetaja on 10 või mõni kümnendi aste, siis murru teisendamine toimub ülalkirjeldatud viisil. Muudel juhtudel on vaja täiendavaid teisendusi.

Tõlkemeetodeid on 2.

Esimene ülekandemeetod

Lugeja ja nimetaja tuleb korrutada sellise täisarvuga, et nimetaja annab arvu 10 või ühe kümne astmest. Ja siis murru esitatakse kümnendsüsteemis.

Seda meetodit saab kasutada murdude puhul, mille nimetajat saab laiendada ainult 2-ks ja 5-ks. Seega eelmises näites . Kui laiendus sisaldab muid algtegureid (näiteks ), peate kasutama teist meetodit.

Teine tõlkemeetod

2. meetod on lugeja jagamine veerus või kalkulaatoris oleva nimetajaga. Kogu osa, kui üldse, ei osale ümberkujundamises.

Allpool on kirjeldatud pika jagamise reeglit, mille tulemuseks on kümnendmurd (vt Kümnendkohtade jagamine).

Kümnendmurru teisendamine harilikuks murruks

Selleks tuleks lugejaks üles kirjutada selle murdosa (koma paremal pool) ja murdosa lugemise tulemus nimetaja vastavaks arvuks. Järgmisena peate võimaluse korral vähendama saadud fraktsiooni.

Lõplik ja lõpmatu kümnendmurd

Kümnendmurruks nimetatakse lõppmurruks, mille murdosa koosneb lõplikust arvust numbritest.

Kõik ülaltoodud näited sisaldavad viimaseid kümnendmurde. Siiski ei saa iga harilikku murru esitada viimase kümnendkohana. Kui 1. teisendusmeetod ei ole antud murru jaoks rakendatav ja 2. meetod näitab, et jagamist ei saa lõpule viia, saab saada ainult lõpmatu kümnendmurru.

Lõpmatut murdu on võimatu täiskujul kirjutada. Mittetäielikul kujul saab selliseid murde esitada:

soovitud kümnendkohtade arvu vähendamise tulemusena;
perioodilise murruna.

Murdu nimetatakse perioodiliseks, kui pärast koma on võimalik eristada lõputult korduvat numbrijada.

Ülejäänud murde nimetatakse mitteperioodilisteks. Mitteperioodiliste murdude puhul on lubatud ainult 1. esitusviis (ümardamine).

Perioodilise murru näide: 0,8888888... Siin on korduv number 8, mida ilmselgelt korratakse lõpmatuseni, kuna pole põhjust eeldada teisiti. Seda kujundit nimetatakse murdosa periood.

Perioodilised fraktsioonid võivad olla puhtad või segatud. Puhas kümnendmurd on selline, mille punkt algab kohe pärast koma. Segamurrus on enne koma 1 või enam numbrit.

54,33333… – perioodiline puhas kümnendmurd

2.5621212121… – perioodiline segafraktsioon

Lõpmatute kümnendmurdude kirjutamise näited:

2. näide näitab, kuidas perioodilise murru kirjutamisel perioodi õigesti vormindada.

Perioodiliste kümnendmurdude teisendamine tavalisteks murdudeks

Puhta perioodilise murru teisendamiseks tavaliseks perioodiks kirjutage see lugejasse ja nimetajaks arv, mis koosneb üheksast summas, mis on võrdne perioodi numbrite arvuga.

Segatud perioodiline kümnendmurd tõlgitakse järgmiselt:

peate moodustama arvu, mis koosneb arvust pärast koma enne punkti ja esimest punkti;
Saadud arvust lahutage punktile eelnev arv pärast koma. Tulemuseks on hariliku murru lugeja;
nimetajasse peate sisestama arvu, mis koosneb üheksast, mis võrdub perioodi numbrite arvuga, millele järgneb nullid, mille arv on võrdne arvu numbrite arvuga pärast koma enne 1. periood.

Kümnendkohtade võrdlus

Kümnendmurde võrreldakse algselt nende tervete osade kaupa. Murd, mille terve osa on suurem, on suurem.

Kui täisarvu osad on samad, siis võrrelge murdosa vastavate numbrite numbreid, alustades esimesest (kümnendikest). Siin kehtib sama põhimõte: suurem murd on see, millel on rohkem kümnendikke; kui kümnendikud on võrdsed, võrreldakse sajandikuid jne.

Kuna

, kuna võrdsete täisosade ja võrdsete kümnendikutega murdosas on 2. murd suurem sajandikute arv.

Kümnendkohtade liitmine ja lahutamine

Kümnendid liidetakse ja lahutatakse samamoodi nagu täisarvud, kirjutades vastavad numbrid üksteise alla. Selleks peavad teil olema üksteise all komakohad. Siis on nii täisarvu osa ühikud (kümned jne) kui ka murdosa kümnendikud (sajandikud jne) kooskõlas. Murdosa puuduvad numbrid täidetakse nullidega. Otseselt Liitmise ja lahutamise protsess viiakse läbi samamoodi nagu täisarvude puhul.

Kümnendkohtade korrutamine

Kümnendkohtade korrutamiseks peate need kirjutama üksteise alla, joondades viimase numbriga ja pööramata tähelepanu kümnendkohtade asukohale. Siis tuleb arve korrutada samamoodi nagu täisarvude korrutamisel. Pärast tulemuse saamist peaksite mõlemas murdes ümber arvutama kümnendkoha järel olevate numbrite arvu ja eraldama saadud arvu murdarvude koguarvu komaga. Kui numbreid pole piisavalt, asendatakse need nullidega.

Kümnendkohtade korrutamine ja jagamine 10n-ga

Need toimingud on lihtsad ja taanduvad kümnendkoha liigutamiseks. P Korrutamisel nihutatakse koma paremale (murru suurendatakse) numbrite arvu võrra, mis on võrdne nullide arvuga 10n-s, kus n on suvaline täisarv. See tähendab, et teatud arv numbreid kantakse murdosast tervele osale. Jagamisel nihutatakse vastavalt koma vasakule (arv väheneb) ja osa numbreid kantakse täisarvust murdosasse. Kui ülekandmiseks pole piisavalt numbreid, täidetakse puuduvad bitid nullidega.

Kümnend- ja täisarvu jagamine täisarvu ja kümnendkohaga

Kümnendarvu jagamine täisarvuga on sarnane kahe täisarvu jagamisega. Lisaks tuleb arvesse võtta ainult koma asukohta: eemaldades koha numbri, millele järgneb koma, tuleb genereeritud vastuse praeguse numbri järele panna koma. Järgmisena peate jätkama jagamist, kuni saate nulli. Kui dividendis pole täielikuks jagamiseks piisavalt märke, tuleks nendena kasutada nulle.

Samamoodi jagatakse 2 täisarvu veergu, kui kõik dividendi numbrid on eemaldatud ja täielik jagamine pole veel lõppenud. Sel juhul pannakse pärast dividendi viimase numbri eemaldamist saadud vastusesse koma ja eemaldatud numbritena kasutatakse nulle. Need. dividend on siin sisuliselt esindatud kümnendmurruna nulli murdosaga.

Kümnendmurru (või täisarvu) jagamiseks kümnendarvuga peate korrutama dividendi ja jagaja arvuga 10 n, milles nullide arv on võrdne jagaja kümnendkoha järel olevate numbrite arvuga. Nii vabanete koma murdosast, millega soovite jagada. Lisaks langeb jagamisprotsess kokku ülalkirjeldatuga.

Kümnendmurdude graafiline esitus

Kümnendmurrud esitatakse graafiliselt, kasutades koordinaatjoont. Selleks jagatakse üksikud segmendid veel 10 võrdseks osaks, nii nagu joonlauale märgitakse samaaegselt sentimeetrid ja millimeetrid. See tagab, et kümnendkohad kuvatakse täpselt ja neid saab objektiivselt võrrelda.

Selleks, et üksikute segmentide jaotused oleksid identsed, peaksite hoolikalt kaaluma üksiku segmendi pikkust. See peaks olema selline, et oleks võimalik tagada lisajaotuse mugavus.

Pühendame selle materjali nii olulisele teemale nagu kümnendmurrud. Esmalt defineerime põhidefinitsioonid, toome näiteid ja peatume kümnendmurdude reeglitel, aga ka sellel, millised on kümnendmurdude numbrid. Järgmisena toome välja põhitüübid: lõplikud ja lõpmatud, perioodilised ja mitteperioodilised murrud. Viimases osas näitame, kuidas paiknevad murdarvudele vastavad punktid koordinaatide teljel.

Mis on murdarvude kümnendmärk

Murdarvude nn kümnendmärki saab kasutada nii naturaal- kui ka murdarvude puhul. See näeb välja nagu kahe või enama numbri komplekt, mille vahel on koma.

Koma on vajalik kogu osa eraldamiseks murdosast. Reeglina ei ole kümnendmurru viimane number null, välja arvatud juhul, kui koma ilmub kohe pärast esimest nulli.

Millised on näited murdarvudest kümnendsüsteemis? See võib olla 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9 jne.

Mõnest õpikust leiab koma asemel punkti kasutamise (5. 67, 6789. 1011 jne.) Seda võimalust peetakse samaväärseks, kuid see on tüüpilisem ingliskeelsetele allikatele.

Kümnendkohtade määratlus

Ülaltoodud kümnendmurdude kontseptsiooni põhjal saame sõnastada järgmise kümnendmurdu definitsiooni:

Definitsioon 1

Kümnendkohad tähistavad murdarvu kümnendsüsteemis.

Miks me peame kirjutama murde sellel kujul? See annab meile tavaliste ees mõningaid eeliseid, näiteks kompaktsema tähistuse, eriti juhtudel, kui nimetaja sisaldab 1000, 100, 10 jne või segaarvu. Näiteks 6 10 asemel saame määrata 0,6, 25 asemel 10000 - 0,0023, 512 asemel 3 100 - 512,03.

Sellest, kuidas õigesti esitada harilikke murde, mille nimetaja kümnendvormis on kümned, sajad, tuhanded, arutatakse eraldi materjalis.

Kuidas komakohti õigesti lugeda

Kümnendmärkide lugemisel on mõned reeglid. Seega loetakse neid kümnendmurde, mis vastavad nende tavalistele tavalistele vastetele, peaaegu samamoodi, kuid alguses on lisatud sõnad “null kümnendikku”. Seega loetakse kirje 0, 14, mis vastab 14 100-le, kui "null koma neliteist sajandikku".

Kui kümnendmurdu saab seostada segaarvuga, siis loetakse seda samamoodi kui seda arvu. Seega, kui meil on murdosa 56 002, mis vastab 56 2 1000-le, loeme seda kirjet "viiskümmend kuus koma kaks tuhandikku".

Numbri tähendus kümnendmurrus oleneb selle asukohast (sama, mis naturaalarvude puhul). Seega kümnendmurrus 0,7 on seitse kümnendikku, 0,0007 korral kümme tuhandikku ja murdosas 70 000,345 tähendab seitset kümneid tuhandeid täisühikuid. Seega esineb kümnendmurdudes ka kohaväärtuse mõiste.

Enne koma asuvate numbrite nimed on sarnased naturaalarvudes esinevate numbritega. Pärast nende nimed on tabelis selgelt esitatud:

Vaatame näidet.

Näide 1

Meil on kümnendmurd 43 098. Kümnekohal on tal neli, ühikukohal kolm, kümnendikul on null, sajandiku kohal 9 ja tuhandendikul 8.

Kümnendmurdude ridu on tavaks eristada tähtsuse järgi. Kui liigume läbi numbrite vasakult paremale, siis liigume kõige olulisemast kõige vähem oluliseni. Selgub, et sajad on vanemad kui kümned ja miljoniosad on nooremad kui sajandik. Kui võtame selle viimase kümnendmurru, mille me ülaltoodud näitena tõime, on kõrgeim või kõrgeim koht selles sajaline koht ja madalaim ehk madalaim koht 10 tuhande koht.

Iga kümnendmurdu saab laiendada üksikuteks numbriteks, st esitada summana. See toiming tehakse samamoodi nagu naturaalarvude puhul.

Näide 2

Proovime laiendada murdosa 56, 0455 numbriteks.

Me saame:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Kui me mäletame liitmise omadusi, võime seda murdu esitada ka muudel kujul, näiteks summana 56 + 0, 0455 või 56, 0055 + 0, 4 jne.

Mis on kümnendkoha lõpus?

Kõik murrud, millest me eespool rääkisime, on lõplikud kümnendkohad. See tähendab, et numbrite arv pärast koma on lõplik. Tuletame määratluse:

Definitsioon 1

Lõplikud kümnendkohad on kümnendmurru tüüp, millel on pärast komamärki piiratud arv kümnendkohti.

Selliste murdude näited võivad olla 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 jne.

Kõiki neid murde saab teisendada kas segaarvuks (kui nende murdosa väärtus erineb nullist) või tavaliseks murdarvuks (kui täisarvu osa on null). Oleme pühendanud eraldi artikli selle kohta, kuidas seda tehakse. Toome siinkohal välja vaid paar näidet: näiteks saame lõpliku kümnendmurru 5, 63 taandada kujule 5 63 100 ja 0, 2 vastab 2 10-le (või mis tahes muule sellega võrdsele murdarvule, näiteks 4 20 või 1 5.)

Aga vastupidine protsess, s.t. hariliku murru kirjutamine kümnendvormis ei pruugi alati olla võimalik. Seega ei saa 5 13 asendada võrdse murruga, mille nimetaja on 100, 10 jne, mis tähendab, et lõplikku kümnendmurdu sellest ei saa.

Lõpmatute kümnendmurdude põhitüübid: perioodilised ja mitteperioodilised murrud

Eespool märkisime, et lõplikke murde nimetatakse nii, kuna neil on pärast koma lõplik arv numbreid. Siiski võib see olla lõpmatu, sel juhul nimetatakse ka murde endid lõpmatuteks.

2. definitsioon

Lõpmatud kümnendmurrud on need, millel on pärast koma lõpmatu arv numbreid.

Ilmselgelt ei saa selliseid numbreid lihtsalt täismahus üles kirjutada, seega näitame ainult osa neist ja lisame seejärel ellipsi. See märk tähistab kümnendkohtade jada lõputut jätkumist. Lõpmatu kümnendmurdu näidete hulka kuuluvad 0, 143346732…, 3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. jne.

Sellise murru “saba” võib sisaldada mitte ainult näiliselt juhuslikke arvujadasid, vaid ka sama märgi või märgirühma pidevat kordamist. Murrusid, mille arvud vahelduvad pärast koma, nimetatakse perioodilisteks.

3. määratlus

Perioodilised kümnendmurrud on sellised lõpmatud kümnendmurrud, milles üks number või mitmest numbrist koosnev rühm kordub pärast koma. Korduvat osa nimetatakse murdosa perioodiks.

Näiteks murdosa 3 puhul 444444…. periood on number 4 ja 76 puhul 134134134134... - grupp 134.

Kui suur on minimaalne märkide arv, mis võib perioodilise murru tähistusse jätta? Perioodiliste murdude puhul piisab, kui kirjutada kogu periood üks kord sulgudesse. Niisiis, murdosa 3, 444444…. Õige oleks kirjutada 3, (4) ja 76, 134134134134... – 76, (134).

Üldiselt on kirjetel, mille sulgudes on mitu punkti, täpselt sama tähendus: näiteks perioodiline murd 0,677777 on sama, mis 0,6 (7) ja 0,6 (77) jne. Lubatud on ka kirjed kujul 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) jne.

Vigade vältimiseks võtame kasutusele märgistuse ühtsuse. Leppigem kokku, et kirjutame üles ainult ühe punkti (lühima võimaliku arvujada), mis on kümnendkohale kõige lähemal, ja paneme selle sulgudesse.

See tähendab, et ülaltoodud murru puhul loeme põhikirjeks 0, 6 (7) ja näiteks murru 8, 9134343434 puhul kirjutame 8, 91 (34).

Kui hariliku murru nimetaja sisaldab algtegureid, mis ei võrdu 5 ja 2-ga, siis pärast kümnendmärki teisendades saadakse nende tulemuseks lõpmatu hulk murde.

Põhimõtteliselt võime iga lõpliku murdu kirjutada perioodiliseks. Selleks peame lihtsalt lisama paremale lõpmatu arvu nulle. Kuidas see salvestusel välja näeb? Oletame, et meil on lõplik murd 45, 32. Perioodilisel kujul näeb see välja nagu 45, 32 (0). See toiming on võimalik, kuna nullide lisamine suvalisest kümnendmurdust paremale annab tulemuseks sellega võrdse murdosa.

Erilist tähelepanu tuleks pöörata perioodilistele murdudele perioodiga 9, näiteks 4, 89 (9), 31, 6 (9). Need on alternatiivsed tähistused sarnaste murdude jaoks, mille periood on 0, nii et need asendatakse sageli nullpunktiga murdudega kirjutamisel. Sel juhul lisatakse järgmise numbri väärtusele üks ja sulgudes märgitakse (0). Saadud arvude võrdsust saab hõlpsasti kontrollida, esitades need harilike murdudena.

Näiteks võib murdosa 8, 31 (9) asendada vastava murdosaga 8, 32 (0). Või 4, (9) = 5, (0) = 5.

Lõpmatud kümnendmurrud liigitatakse ratsionaalarvudeks. Teisisõnu, mis tahes perioodilist murdu saab esitada tavalise murruna ja vastupidi.

On ka murde, millel ei ole pärast koma lõputult korduvat jada. Sel juhul nimetatakse neid mitteperioodilisteks murdudeks.

4. definitsioon

Mitteperioodilised kümnendmurrud hõlmavad neid lõpmatuid kümnendmurdu, mis ei sisalda pärast koma punkti, s.t. korduv numbrirühm.

Mõnikord näevad mitteperioodilised murded perioodilistega väga sarnased. Näiteks 9, 03003000300003 ... näib esmapilgul olevat punkt, kuid kümnendkohtade üksikasjalik analüüs kinnitab, et tegemist on siiski mitteperioodilise murdega. Selliste numbritega peate olema väga ettevaatlik.

Mitteperioodilisi murde liigitatakse irratsionaalarvudeks. Neid ei muudeta tavalisteks murdudeks.

Põhitehted kümnendkohtadega

Kümnendmurdudega saab teha järgmisi tehteid: võrdlemine, lahutamine, liitmine, jagamine ja korrutamine. Vaatame igaüks neist eraldi.

Kümnendkohtade võrdlemise saab taandada algsetele kümnendkohtadele vastavate murdude võrdlemiseks. Kuid lõpmatuid mitteperioodilisi murde ei saa sellele kujule taandada ja kümnendmurdude teisendamine tavalisteks murdudeks on sageli töömahukas ülesanne. Kuidas saame kiiresti võrrelda toimingut, kui peame seda probleemi lahendamise ajal tegema? Mugav on võrrelda kümnendmurde numbrite kaupa samamoodi nagu naturaalarve. Sellele meetodile pühendame eraldi artikli.

Mõne kümnendmurru liitmiseks teistega on mugav kasutada veergude liitmise meetodit, nagu naturaalarvude puhul. Perioodiliste kümnendmurdude lisamiseks peate need esmalt asendama tavalistega ja loendama vastavalt standardskeemile. Kui ülesande tingimuste kohaselt peame lisama lõpmatuid mitteperioodilisi murde, siis peame need esmalt ümardama teatud numbrini ja seejärel liitma. Mida väiksema numbrini ümardame, seda suurem on arvutuse täpsus. Lõpmatute murdude lahutamiseks, korrutamiseks ja jagamiseks on vajalik ka eelümardamine.

Kümnendmurdude erinevuse leidmine on liitmise pöördväärtus. Põhimõtteliselt saame lahutamise abil leida arvu, mille summa koos lahutatava murdosaga annab meile murdosa, mille me minimeerime. Sellest räägime üksikasjalikumalt eraldi artiklis.

Kümnendmurdude korrutamine toimub samamoodi nagu naturaalarvude puhul. Selleks sobib ka veeru arvutamise meetod. Me taandame selle perioodiliste murdudega toimingu taas harilike murdude korrutamiseks vastavalt juba uuritud reeglitele. Nagu mäletame, tuleb lõpmatud murrud enne arvutusi ümardada.

Kümnendkohtade jagamise protsess on korrutamise pöördvõrdeline. Ülesannete lahendamisel kasutame ka veergarvutusi.

Saate luua täpse vastavuse viimase kümnendmurru ja koordinaatide telje punkti vahel. Mõelgem välja, kuidas märkida teljel punkt, mis vastab täpselt nõutavale kümnendmurrule.

Oleme juba uurinud, kuidas konstrueerida tavamurdudele vastavaid punkte, kuid kümnendmurrud saab sellisele kujule taandada. Näiteks harilik murd 14 10 on sama, mis 1, 4, seega eemaldatakse vastav punkt lähtepunktist positiivses suunas täpselt sama vahemaa võrra:

Saate teha ilma kümnendmurdu tavalisega asendamata, kuid aluseks võtta numbrite järgi laiendamise meetod. Seega, kui meil on vaja märkida punkt, mille koordinaat on 15, 4008, esitame selle arvu esmalt summana 15 + 0, 4 +, 0008. Alustuseks paneme loenduse algusest kõrvale 15 tervet ühiku segmenti positiivses suunas, seejärel 4 kümnendikku ühest segmendist ja seejärel 8 kümnendikku ühest segmendist. Selle tulemusena saame koordinaatpunkti, mis vastab murdarvule 15, 4008.

Lõpmatu kümnendmurru jaoks on parem kasutada seda meetodit, kuna see võimaldab teil jõuda soovitud punktile nii lähedale, kui soovite. Mõnel juhul on võimalik konstrueerida täpne vastavus koordinaatide telje lõpmatule murdarvule: näiteks 2 = 1, 41421. . . , ja seda murdosa saab seostada koordinaatkiire punktiga, mis on 0-st kaugemal ruudu diagonaali pikkuse võrra, mille külg on võrdne ühe ühikulise segmendiga.

Kui leiame teljel mitte punkti, vaid sellele vastava kümnendmurru, siis nimetatakse seda tegevust lõigu kümnendmõõtmiseks. Vaatame, kuidas seda õigesti teha.

Oletame, et peame jõudma nullist koordinaattelje etteantud punktini (või jõudma lõpmatu murru korral võimalikult lähedale). Selleks lükkame järk-järgult ühikulõigud lähtepunktist edasi, kuni jõuame soovitud punkti. Tervete lõikude järel mõõdame vajadusel kümnendikke, sajandikuid ja väiksemaid murde, et vaste oleks võimalikult täpne. Selle tulemusena saime kümnendmurru, mis vastab koordinaatide telje antud punktile.

Ülal näitasime joonist punktiga M. Vaadake uuesti: selle punktini jõudmiseks peate mõõtma ühe ühikulõigu ja neli kümnendikku sellest nullist, kuna see punkt vastab kümnendmurrule 1, 4.

Kui me kümnendsüsteemi mõõtmise käigus punkti ei jõua, tähendab see, et see vastab lõpmatule kümnendmurrule.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter