Eksponentfunktsioonide kalkulaator Internetis. Eksponentvõrrandite lahendamine matemaatikas

7. klassi matemaatikakursusel puutume esimest korda kokku kahe muutujaga võrrandid, kuid neid uuritakse ainult kahe tundmatuga võrrandisüsteemide kontekstis. Seetõttu langeb silmist terve rida ülesandeid, mille puhul kehtestatakse võrrandi koefitsientidele teatud tingimused, mis neid piiravad. Lisaks jäetakse tähelepanuta ka sellised ülesannete lahendamise meetodid nagu “Lahenda võrrand naturaal- või täisarvudes”, kuigi ühtse riigieksami materjalides ja sisseastumiseksamitel leidub sedalaadi ülesandeid üha sagedamini.

Millist võrrandit nimetatakse kahe muutujaga võrrandiks?

Näiteks võrrandid 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 või xy = 12 on kahe muutuja võrrandid.

Vaatleme võrrandit 2x – y = 1. See muutub tõeseks, kui x = 2 ja y = 3, seega on see muutuja väärtuste paar vaadeldava võrrandi lahendus.

Seega on mis tahes kahe muutujaga võrrandi lahenduseks järjestatud paaride komplekt (x; y), muutujate väärtused, mis muudavad selle võrrandi tõeliseks arvuliseks võrduseks.

Kahe tundmatuga võrrand võib:

A) on üks lahendus. Näiteks võrrandil x 2 + 5y 2 = 0 on kordumatu lahend (0; 0);

b) on mitu lahendust. Näiteks (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 on 4 lahendust: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) pole lahendusi. Näiteks võrrandil x 2 + y 2 + 1 = 0 pole lahendeid;

G) lahendusi on lõputult palju. Näiteks x + y = 3. Selle võrrandi lahenditeks on arvud, mille summa on 3. Selle võrrandi lahendite hulga saab kirjutada kujul (k; 3 – k), kus k on mis tahes reaalne number.

Peamised meetodid kahe muutujaga võrrandite lahendamiseks on meetodid, mis põhinevad faktoringuavaldistel, täisruudu eraldamisel, ruutvõrrandi omadusi kasutades, piiratud avaldistel ja hindamismeetoditel. Võrrand muundatakse tavaliselt kujule, millest saab süsteemi tundmatute leidmiseks.

Faktoriseerimine

Näide 1.

Lahendage võrrand: xy – 2 = 2x – y.

Lahendus.

Rühmitame faktoriseerimise eesmärgil terminid:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Igast sulust võtame välja ühise teguri:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (y – 2) = 0. Meil ​​on:

y = 2, x – mis tahes reaalarv või x = -1, y – mis tahes reaalarv.

Seega vastuseks on kõik paarid kujul (x; 2), x € R ja (-1; y), y € R.

Mittenegatiivsete arvude võrdsus nulliga

Näide 2.

Lahendage võrrand: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Lahendus.

Rühmitamine:

(9x 2 – 12x + 4) + (4a 2 – 12a + 9) = 0. Nüüd saab iga klambri kokku voltida, kasutades ruudulise vahe valemit.

(3x – 2) 2 + (2a – 3) 2 = 0.

Kahe mittenegatiivse avaldise summa on null ainult siis, kui 3x – 2 = 0 ja 2y – 3 = 0.

See tähendab, et x = 2/3 ja y = 3/2.

Vastus: (2/3; 3/2).

Hindamismeetod

Näide 3.

Lahendage võrrand: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Lahendus.

Igas sulus valime täieliku ruudu:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hindame sulgudes olevate väljendite tähendus.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ja (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, siis võrrandi vasak pool on alati vähemalt 2. Võrdsus on võimalik, kui:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ja (y – 2) 2 + 2 = 2, mis tähendab, et x = -1, y = 2.

Vastus: (-1; 2).

Tutvume teise meetodiga kahe teise astme muutujaga võrrandite lahendamiseks. See meetod seisneb võrrandi käsitlemises kui ruut mõne muutuja suhtes.

Näide 4.

Lahendage võrrand: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Lahendus.

Lahendame võrrandi x ruutvõrrandina. Leiame diskrimineerija:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4 (√y – 2) 2 . Võrrandil on lahendus ainult siis, kui D = 0, st kui y = 4. Asendame y väärtuse algse võrrandiga ja leiame, et x = 3.

Vastus: (3; 4).

Sageli näitavad nad kahe tundmatuga võrrandites piirangud muutujatele.

Näide 5.

Lahendage võrrand täisarvudes: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Lahendus.

Kirjutame võrrandi ümber kujul x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Saadud võrrandi parem pool jagamisel 5-ga annab jäägi 2. Seega x 2 ei jagu 5-ga. arv, mis ei jagu 5-ga, annab jäägi 1 või 4. Seega on võrdsus võimatu ja lahendeid pole.

Vastus: pole juuri.

Näide 6.

Lahendage võrrand: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Lahendus.

Tõstkem esile igas sulus olevad täielikud ruudud:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Võrrandi vasak pool on alati suurem kui 3 või sellega võrdne. Võrdsus on võimalik tingimusel |x| – 2 = 0 ja y + 3 = 0. Seega x = ± 2, y = -3.

Vastus: (2; -3) ja (-2; -3).

Näide 7.

Iga võrrandit rahuldava negatiivse täisarvu (x;y) paari jaoks
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, arvutage summa (x + y). Palun märkige vastuses väikseim summa.

Lahendus.

Valime täielikud ruudud:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4 a + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kuna x ja y on täisarvud, on ka nende ruudud täisarvud. Kui liidame 1 + 36, saame kahe täisarvu ruutude summaks 37. Seega:

(x – y) 2 = 36 ja (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ja (y + 2) 2 = 36.

Neid süsteeme lahendades ja arvestades, et x ja y on negatiivsed, leiame lahendid: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Vastus: -17.

Ärge heitke meelt, kui teil on raskusi kahe tundmatuga võrrandite lahendamisega. Veidi harjutades saate hakkama mis tahes võrrandiga.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas lahendada kahe muutuja võrrandeid?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Teenuse eesmärk. Maatrikskalkulaator on mõeldud lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks maatriksmeetodil (vt sarnaste ülesannete lahendamise näidet).

Juhised. Internetis lahendamiseks tuleb valida võrrandi tüüp ja määrata vastavate maatriksite dimensioon.

Võrrandi tüüp: A·X = B X A = B A·X·B = C
Maatriksi A mõõtmed
Maatriksi B mõõtmed 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Maatriksi C mõõtmed 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

kus A, B, C on määratud maatriksid, X on soovitud maatriks. Maatriksvõrrandid kujul (1), (2) ja (3) lahendatakse pöördmaatriksi A -1 kaudu. Kui on antud avaldis A·X - B = C, siis tuleb esmalt liita maatriksid C + B ja leida lahendus avaldisele A·X = D, kus D = C + B (). Kui on antud avaldis A*X = B 2, siis tuleb maatriks B esmalt ruudustada. Samuti on soovitatav tutvuda maatriksite põhitoimingutega.

Näide nr 1. Harjutus. Leidke maatriksvõrrandi lahendus
Lahendus. Tähistame:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: A·X·B = C.
Maatriksi A determinant on võrdne detA=-1
Kuna A on mitteainsuse maatriks, siis on olemas pöördmaatriks A -1 . Korrutage vasakpoolse võrrandi mõlemad pooled A -1-ga: korrutage selle võrrandi mõlemad pooled vasakul väärtusega A -1 ja paremal pool B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 · C · B -1 . Kuna A A -1 = B B -1 = E ja E X = X E = X, siis X = A -1 C B -1

Pöördmaatriks A -1:
Leiame pöördmaatriksi B -1.
Transponeeritud maatriks B T:
Pöördmaatriks B -1:
Maatriksi X otsime valemiga: X = A -1 ·C · B -1

Vastus:

Näide nr 2. Harjutus. Maatriksvõrrandi lahendamine
Lahendus. Tähistame:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: A·X = B.
Maatriksi A determinant on detA=0
Kuna A on singulaarmaatriks (determinant on 0), siis pole võrrandil lahendust.

Näide nr 3. Harjutus. Leidke maatriksvõrrandi lahendus
Lahendus. Tähistame:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: X A = B.
Maatriksi A determinant on detA=-60
Kuna A on mitteainsuse maatriks, siis on olemas pöördmaatriks A -1 . Korrutame parempoolse võrrandi mõlemad pooled A -1-ga: X A A -1 = B A -1, kust leiame, et X = B A -1
Leiame pöördmaatriksi A -1 .
Transponeeritud maatriks A T:
Pöördmaatriks A -1:
Maatriksi X otsime valemiga: X = B A -1


Vastus: >

Lõpueksami ettevalmistamise etapis peavad keskkooliõpilased täiendama oma teadmisi teemal "Eksponentvõrrandid". Viimaste aastate kogemus näitab, et sellised ülesanded valmistavad koolilastele teatud raskusi. Seetõttu peavad gümnaasiumiõpilased, olenemata nende ettevalmistustasemest, põhjalikult valdama teooriat, meeles pidama valemeid ja mõistma selliste võrrandite lahendamise põhimõtet. Olles õppinud seda tüüpi probleemidega toime tulema, võivad lõpetajad matemaatika ühtse riigieksami sooritamisel loota kõrgetele tulemustele.

Olge valmis eksamiteks Shkolkovoga!

Käsitletud materjale üle vaadates seisavad paljud õpilased silmitsi võrrandite lahendamiseks vajalike valemite leidmise probleemiga. Kooliõpik pole alati käepärast ja internetist mõne teema kohta vajaliku info väljavalimine võtab kaua aega.

Shkolkovo haridusportaal kutsub õpilasi kasutama meie teadmistebaasi. Rakendame täiesti uut lõputestiks valmistumise meetodit. Meie veebisaidil õppides saate tuvastada lüngad teadmistes ja pöörata tähelepanu ülesannetele, mis põhjustavad kõige rohkem raskusi.

Shkolkovo õpetajad kogusid, süstematiseerisid ja esitasid kõik ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks vajalikud materjalid kõige lihtsamal ja ligipääsetavamal kujul.

Peamised definitsioonid ja valemid on toodud jaotises "Teoreetiline taust".

Materjali paremaks mõistmiseks soovitame harjutada ülesannete täitmist. Arvutusalgoritmi mõistmiseks vaadake hoolikalt läbi sellel lehel esitatud eksponentsiaalvõrrandite näited koos lahendustega. Pärast seda jätkake jaotises "Kataloogid" olevate ülesannete täitmist. Võite alustada kõige lihtsamatest ülesannetest või minna otse mitme tundmatu või mitme tundmatuga keeruliste eksponentsiaalvõrrandite lahendamise juurde. Meie kodulehel olevat harjutuste andmebaasi täiendatakse ja uuendatakse pidevalt.

Need näited indikaatoritega, mis teile raskusi tekitasid, saab lisada lemmikute hulka. Nii saate need kiiresti üles leida ja õpetajaga lahendust arutada.

Ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks õppige iga päev Shkolkovo portaalis!

Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene kasutas võrrandeid iidsetel aegadel ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Astme- ehk eksponentsiaalvõrrandid on võrrandid, milles muutujad on astmetes ja alus on arv. Näiteks:

Eksponentvõrrandi lahendamine taandub kahele üsna lihtsale sammule:

1. Peate kontrollima, kas paremal ja vasakul oleva võrrandi alused on samad. Kui põhjused ei ole samad, otsime selle näite lahendamise võimalusi.

2. Pärast aluste muutumist võrdsustame astmed ja lahendame saadud uue võrrandi.

Oletame, et meile antakse järgmise kujuga eksponentsiaalvõrrand:

Selle võrrandi lahendamist tasub alustada aluse analüüsiga. Alused on erinevad - 2 ja 4, kuid lahendamiseks peame need olema samad, seega teisendame 4 järgmise valemiga -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Lisame algsele võrrandile:

Võtame selle sulgudest välja \

väljendame \

Kuna kraadid on samad, jätame need kõrvale:

Vastus: \

Kus ma saan lahendada eksponentsiaalvõrrandi veebilahendaja abil?

Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https://site. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil mõne sekundiga lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandid. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Meie veebisaidil saate vaadata ka videojuhiseid ja õppida võrrandit lahendama. Ja kui teil on veel küsimusi, võite neid esitada meie VKontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.

Selles videos analüüsime tervet lineaarsete võrrandite komplekti, mis lahendatakse sama algoritmi abil – seepärast nimetatakse neid kõige lihtsamateks.

Kõigepealt defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist nimetatakse kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimese astmeni.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarvõrrandid taandatakse algoritmi abil lihtsaimaks:

1. Laiendage sulgusid, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Andke võrdusmärgist vasakule ja paremale sarnased terminid;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Loomulikult ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui midagi sellist nagu $0\cdot x=8$ selgub, s.t. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, on siis, kui võrrand on taandatud konstruktsioonile $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, millise $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, s.t. õige arvuline võrdsus.

Nüüd vaatame, kuidas see kõik toimib, kasutades reaalseid näiteid.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate laiendama sulgusid, kui neid on (nagu meie viimases näites);
2. Seejärel ühendage sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. liigutage kõik muutujaga seonduv – selle sisalduvad terminid – ühele poole ja kõik, mis jääb ilma muutujata, teisele poole.

Seejärel peate reeglina andma saadud võrdsuse mõlemale küljele sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga “x” ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või plusside ja miinuste arvutamisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või on lahendiks terve arvsirge, s.t. suvaline number. Vaatleme neid peensusi tänases õppetükis. Kuid nagu te juba aru saite, alustame kõige lihtsamate ülesannetega.

Lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Esiteks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui need on olemas.
2. Isoleerime muutujad, st. Me liigutame kõik, mis sisaldab X-i, ühele poole ja kõik ilma X-ita teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga “x”.

Muidugi ei tööta see skeem alati, selles on teatud peensusi ja nippe ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimene samm nõuab sulgude avamist. Kuid need pole selles näites, seega jätame selle sammu vahele. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Pange tähele: me räägime ainult üksikutest terminitest. Paneme selle kirja:

Esitame sarnaseid termineid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu liigume edasi neljanda sammu juurde: jagage koefitsiendiga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Nii et saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Näeme selles ülesandes sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama kujundust, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. muutujate eraldamine:

Siin on mõned sarnased:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Siin on mitu sulgu, kuid neid ei korruta mitte millegagi, neile lihtsalt eelnevad erinevad märgid. Jagame need lahti:

Teostame meile juba teadaoleva teise sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Teeme matemaatika:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on olemas, võib nende hulgas olla null - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui teised; te ei tohiks seda mingil viisil diskrimineerida ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude avamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide abil: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Selle lihtsa tõsiasja mõistmine aitab teil vältida rumalaid ja haiget tekitavaid vigu keskkoolis, kui selliseid asju peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerukamate võrrandite juurde. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerukamaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori plaani kohaselt lahendame lineaarvõrrandit, siis teisendusprotsessi käigus tühistatakse kindlasti kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monoomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Vaatame nüüd privaatsust:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned sarnased:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastusesse selle:

\[\varnothing\]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu toiminguid. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned sarnased:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Neid kahte avaldist näitena kasutades veendusime taas, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei pruugi kõik nii lihtne olla: juuri võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju juuri. Meie puhul käsitlesime kahte võrrandit, mõlemal lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid avada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama X-ga. Pange tähele: korrutab iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatud.

Ja alles pärast seda, kui need näiliselt elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud teisendused on lõpule viidud, saate avada sulg selle seisukohast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on lõpetatud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allpool lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et ma pööran neile väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele tähelepanu. Sest võrrandite lahendamine on alati elementaarsete teisenduste jada, kus suutmatus lihtsaid toiminguid selgelt ja asjatundlikult sooritada viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad jälle nii lihtsaid võrrandeid lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvid need oskused automaatsuseni. Enam ei pea te iga kord nii palju teisendusi tegema, vaid kirjutate kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme natuke privaatsust:

Siin on mõned sarnased:

Lõpetame viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus olid meil ruutfunktsiooniga koefitsiendid, tühistasid need üksteist, mis muudab võrrandi lineaarseks, mitte ruutkeskseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu hoolikalt läbi: korrutage iga element esimesest sulust iga teise elemendiga. Pärast teisendusi peaks olema kokku neli uut terminit:

Nüüd tehkem hoolikalt iga liikme korrutamist:

Liigutame terminid "X"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Taaskord oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, mis sisaldavad rohkem kui ühte liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga alates teine; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena on meil neli ametiaega.

Algebralise summa kohta

Selle viimase näitega tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame 1–7 $ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutada ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule “üks” lisame veel ühe arvu, nimelt “miinus seitse”. Nii erineb algebraline summa tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Lõpuks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerukamad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdarvudega

Selliste ülesannete lahendamiseks peame oma algoritmile lisama veel ühe sammu. Kuid kõigepealt tuletan teile meelde meie algoritmi:

1. Avage klambrid.
2. Eraldi muutujad.
3. Tooge sarnased.
4. Jagage suhtega.

Kahjuks ei osutu see imeline algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobivaks, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis nii vasakul kui ka paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks tuleb algoritmile lisada veel üks samm, mida saab teha nii enne kui ka pärast esimest toimingut, nimelt murdudest vabanemist. Nii et algoritm on järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage klambrid.
3. Eraldi muutujad.
4. Tooge sarnased.
5. Jagage suhtega.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks saab seda teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud oma nimetajas numbrilised, s.t. Kõikjal on nimetaja vaid number. Seega, kui me korrutame võrrandi mõlemad pooled selle arvuga, vabaneme murdosadest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et sul on kaks sulgu, ei tähenda, et pead kumbki korrutama "neljaga". Paneme kirja:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd laiendame:

Eraldame muutuja:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Saime lõpplahenduse kätte, liigume edasi teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem on lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma teile täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil on kuskil ruutfunktsioone, tõenäoliselt vähendatakse neid edasiste teisenduste käigus.
• Lineaarvõrrandites on kolme tüüpi juuri, isegi kõige lihtsamates: üks juur, kogu arvurida on juur ja mitte ühtegi juurt.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika edasiseks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile ja lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, palju muud huvitavat ootab teid!