Rööpküliku külgnevate nurkade omadus. "paralleelogramm ja selle omadused"

Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed. Järgmisel joonisel on rööpkülik ABCD. Selle külg AB on paralleelne küljega CD ja külg BC paralleelne küljega AD.

Nagu võite arvata, on rööpkülik kumer nelinurk. Vaatleme rööpküliku põhiomadusi.

Rööpküliku omadused

1. Rööpküliku vastasnurgad ja vastasküljed on võrdsed. Tõestame seda omadust - vaatleme järgmisel joonisel esitatud rööpkülikut.

Diagonaal BD jagab selle kaheks võrdseks kolmnurgaks: ABD ja CBD. Need on võrdsed piki külge BD ja kahte sellega külgnevat nurka, kuna nurgad asetsevad risti paralleelsete sirgete BC ja AD ning AB ja CD lõikepunktis BD. Seetõttu AB = CD ja
eKr = AD. Ja nurkade 1, 2, 3 ja 4 võrdsusest järeldub, et nurk A = nurk1 + nurk3 = nurk2 + nurk4 = nurk C.

2. Rööpküliku diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks. Olgu punkt O rööpküliku ABCD diagonaalide AC ja BD lõikepunkt.

Siis on kolmnurk AOB ja kolmnurk COD üksteisega võrdsed piki külge ja kahte külgnevat nurka. (AB = CD, kuna need on rööpküliku vastasküljed. Ja nurk1 = nurk2 ja nurk3 = nurk4 on nagu ristnurgad, kui sirged AB ja CD lõikuvad vastavalt lõikudega AC ja BD.) Sellest järeldub, et AO = OC ja OB = OD, mida ja oli vaja tõestada.

Kõik peamised omadused on illustreeritud järgmisel kolmel joonisel.

Parallelogrammi kontseptsioon

Definitsioon 1

Paralleelogramm on nelinurk, mille vastasküljed on üksteisega paralleelsed (joonis 1).

1. pilt.

Rööpkülikul on kaks peamised omadused. Vaatleme neid ilma tõenditeta.

Atribuut 1: Rööpküliku vastasküljed ja nurgad on vastavalt võrdsed.

Atribuut 2: Rööpkülikule tõmmatud diagonaalid poolitatakse nende lõikepunkti järgi.

Rööpküliku märgid

Vaatleme rööpküliku kolme tunnust ja esitame need teoreemide kujul.

1. teoreem

Kui nelinurga kaks külge on üksteisega võrdsed ja ka paralleelsed, siis on see nelinurk rööpkülik.

Tõestus.

Olgu meile antud nelinurk $ABCD$. Milles $AB||CD$ ja $AB=CD$ Joonestame sellesse diagonaali $AC$ (joonis 2).

Joonis 2.

Vaatleme paralleelseid sirgeid $AB$ ja $CD$ ning nende sekanti $AC$. Siis

\[\angle CAB=\angle DCA\]

nagu risti-rästi nurgad.

Vastavalt $I$ kolmnurkade võrdsuse kriteeriumile

kuna $AC$ on nende oma ühine pool, ja $AB=CD$ tingimuse järgi. Tähendab

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Vaatleme sirgeid $AD$ ja $CB$ ning nende sekanti $AC$ viimase võrdsusega üle lamamisnurkade saame, et $AD||CB$.) Järelikult on see nelinurk definitsiooni järgi $1$.

Teoreem on tõestatud.

2. teoreem

Kui nelinurga vastasküljed on üksteisega võrdsed, siis on tegemist rööpkülikuga.

Tõestus.

Olgu meile antud nelinurk $ABCD$. Milles $AD=BC$ ja $AB=CD$. Joonistame sellesse diagonaali $AC$ (joonis 3).

Joonis 3.

Kuna $AD=BC$, $AB=CD$ ja $AC$ on ühine külg, siis kolmnurkade võrdsuse kriteeriumi $III$ järgi,

\[\kolmnurk DAC=\kolmnurk ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Vaatleme sirgeid $AD$ ja $CB$ ning nende sekanti $AC$ viimase valemisnurkade võrra, mille saame $AD||CB$. Seetõttu on see nelinurk definitsiooni $1$ järgi rööpkülik.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Vaatleme sirgeid $AB$ ja $CD$ ning nende sekanti $AC$ viimase lamamisnurkade võrra, mille saame $AB||CD$. Seetõttu on 1. definitsiooni järgi see nelinurk rööpkülik.

Teoreem on tõestatud.

3. teoreem

Kui nelinurka tõmmatud diagonaalid jagada nende lõikepunkti järgi kaheks võrdseks osaks, siis on see nelinurk rööpkülik.

Tõestus.

Olgu meile antud nelinurk $ABCD$. Joonistame sellesse diagonaalid $AC$ ja $BD$. Laske neil ristuda punktis $O$ (joonis 4).

Joonis 4.

Kuna tingimuse järgi $BO=OD,\AO=OC$ ja nurgad $\angle COB=\nurk DOA$ on vertikaalsed, siis kolmnurkade võrdsuse kriteeriumi $I$ järgi

\[\kolmnurk BOC=\kolmnurk AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Vaatleme sirgeid $BC$ ja $AD$ ning nende sekanti $BD$ viimase võrdsusega üle lamamisnurkade saame, et $BC||AD$. Samuti $BC=AD$. Seetõttu on teoreemi $1$ järgi see nelinurk rööpkülik.

Tunni kokkuvõte.

Algebra 8. klass

Õpetaja Sysoy A.K.

Kool 1828

Tunni teema: “Parallelogramm ja selle omadused”

Tunni tüüp: kombineeritud

Tunni eesmärgid:

1) Tagada uue mõiste - rööpküliku ja selle omaduste assimilatsioon

2) Jätkata oskuste ja lahendusoskuste arendamist geomeetrilised probleemid;

3) Kultuuri arendamine matemaatiline kõne

Tunniplaan:

1. Aja organiseerimine

(1. slaid)

Slaid näitab Lewis Carrolli avaldust. Õpilasi teavitatakse tunni eesmärgist. Kontrollitakse õpilaste valmisolekut tunniks.

2. Teadmiste uuendamine

(Slaid 2)

Tahvlil on ülesanded suuline töö. Õpetaja kutsub õpilasi nende probleemide üle järele mõtlema ja käe tõstma nende poole, kes mõistavad, kuidas probleemi lahendada. Pärast kahe ülesande lahendamist kutsutakse nurkade summa teoreemi tõestamiseks tahvlile üliõpilane, kes teeb iseseisvalt joonisel lisakonstruktsioone ja tõestab teoreemi suuliselt.

Õpilased kasutavad hulknurga nurkade summa valemit:

3. Põhiosa

(Slaid 3)

Rööpküliku definitsioon tahvlil. Õpetaja räägib uuest joonisest ja sõnastab definitsiooni, tehes joonise abil vajalikud selgitused. Seejärel näitab ta esitluse ruudulisel osal markeri ja joonlaua abil rööpküliku joonistamist (võimalik on mitu juhtumit)

(4. slaid)

Õpetaja sõnastab rööpküliku esimese omaduse. Kutsub õpilasi joonise järgi jutustama, mis on ette antud ja mida on vaja tõestada. Pärast seda ilmub tahvlile antud ülesanne. Õpilased arvavad (võib-olla õpetaja abiga), et nõutavad võrdsused tuleb tõestada kolmnurkade võrdsuste kaudu, mille saab diagonaali tõmmates (tahvlile ilmub diagonaal). Järgmisena arvavad õpilased, miks kolmnurgad on ühtsed, ja nimetavad märgi, et kolmnurgad on võrdsed (ilmub sobiv vorm). Nad edastavad verbaalselt fakte, mis on vajalikud kolmnurkade võrdseks muutmiseks (nagu nad neid nimetavad, ilmub vastav visualiseerimine). Järgmisena sõnastavad õpilased omaduse võrdsed kolmnurgad, ilmub see tõestuse punktina 3 ja seejärel sooritavad nad iseseisvalt teoreemi tõestuse suuliselt.

(5. slaid)

Õpetaja sõnastab rööpküliku teise omaduse. Tahvlile ilmub rööpküliku joonis. Õpetaja soovitab pildi abil öelda, mida antakse ja mida on vaja tõestada. Pärast seda, kui õpilased on õigesti aru andnud, mis on antud ja mida on vaja tõestada, ilmub teoreemi tingimus. Õpilased arvavad, et diagonaalide osade võrdsust saab tõestada kolmnurkade võrdsuse kauduAOB Ja C.O.D.. Kasutades rööpküliku eelmist omadust, võib oletada, et küljed on võrdsedAB Ja CD. Siis saavad nad aru, et nad peavad leidma võrdsed nurgad ja paralleelsete joonte omadusi kasutades tõestama külgnevate joonte võrdsust. võrdsed osapooled nurgad Need etapid on visualiseeritud slaidil. Kolmnurkade võrdsusest tuleneb teoreemi tõesus - õpilased ütlevad selle välja ja slaidile ilmub vastav visualiseering.

(6. slaid)

Õpetaja sõnastab rööpküliku kolmanda omaduse. Olenevalt tunni lõpuni jäänud ajast võib õpetaja anda õpilastele võimaluse seda omadust iseseisvalt tõestada või piirduda selle sõnastamisega ning jätta tõestuse ise õpilaste hooleks. kodutöö. Tõestus võib põhineda sissekirjutatud hulknurga nurkade summal, mida korrati tunni alguses, või kahe paralleelse sirge sisemiste ühekülgsete nurkade summal.AD Ja B.C., ja näiteks sekantAB.

4. Materjali kinnitamine

Selles etapis kasutavad õpilased probleemide lahendamiseks varem õpitud teoreeme. Õpilased valivad ideid probleemi iseseisvaks lahendamiseks. Sest võimalikud variandid Kujundust on palju ja need kõik sõltuvad sellest, kuidas õpilased probleemile lahendust otsivad, probleemide lahenduse visualiseerimine puudub ning õpilased koostavad iseseisvalt iga lahendusetapi eraldi tahvlile. lahenduse märkmikusse salvestamine.

(Slaid 7)

Ilmub ülesande tingimus. Õpetaja soovitab sõnastada “Antud” vastavalt tingimusele. Pärast seda, kui õpilased koostavad õigesti lühike märkus tingimustel, kuvatakse tahvlile "Antud". Probleemi lahendamise protsess võib välja näha järgmine:

Joonistame kõrguse BH (visualiseeritud)

Kolmnurk AHB on täisnurkne kolmnurk. Nurk A võrdne nurgaga C ja võrdub 30 0 (vastavalt rööpküliku vastasnurkade omadusele). 2BH =AB (30 0 tolli nurga vastas asuva jala omaduse järgi täisnurkne kolmnurk). Seega AB = 13 cm.

AB = CD, BC = AD (omaduse järgi vastasküljed rööpkülikuna) Seega AB = CD = 13 cm. Kuna rööpküliku ümbermõõt on 50 cm, siis BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 cm.

Vastus: AB = CD = 13 cm, BC = AD = 12 cm.

(8. slaid)

Ilmub ülesande tingimus. Õpetaja soovitab sõnastada “Antud” vastavalt tingimusele. Seejärel ilmub ekraanile "Antud". Punaste joonte abil tõstetakse esile nelinurk, mille kohta peate tõestama, et see on rööpkülik. Probleemi lahendamise protsess võib välja näha järgmine:

Sest BK ja MD on sama sirgega risti, siis sirged BK ja MD on paralleelsed.

Läbi külgnevad nurgad saab näidata, et sisemiste ühekülgsete nurkade summa sirgetel BM ja KD ning sekant MD on võrdne 180 0. Seetõttu on need jooned paralleelsed.

Kuna nelinurga BMDK vastasküljed on paarikaupa paralleelsed, siis on see nelinurk rööpkülik.

5. Tunni lõpp. Tulemuste käitumine.

(8. slaid)

Slaidile ilmuvad küsimused uus teema, millele õpilased vastavad.

Vallaeelarve haridusasutus

Savinskaja keskmine üldhariduslik kool

Uurimine

Parallelogramm ja selle uued omadused

Lõpetanud: 8B klassi õpilane

MBOU Savinskaja keskkool

Kuznetsova Svetlana, 14-aastane

Juhataja: matemaatikaõpetaja

Tulchevskaja N.A.

lk Savino

Ivanovo piirkond, Venemaa

2016. aasta

I. Sissejuhatus ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________lehekülg 3

II. Rööpküliku ajaloost _________________________________________lk 4

III Rööpküliku lisaomadused _______________________________lk 4

IV. Omaduste tõendamine _____________________________________________ lk 5

V. Ülesannete lahendamine lisaomaduste abil __________lk 8

VI. Rööpküliku omaduste rakendamine elus ______________________lk 11

VII. Järeldus ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________õõ lehel

VIII. Kirjandus ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________õõõõküna lk 13

Sissejuhatus

"Võrdsete meelte seas

juures muude tingimuste võrdsus

see, kes tunneb geomeetriat, on parem"

(Blaise Pascal).

Geomeetria tundides teemat “Parallelogramm” õppides vaatlesime rööpküliku kahte omadust ja kolme tunnust, kuid ülesandeid lahendama hakates selgus, et sellest ei piisa.

Mul tekkis küsimus: kas rööpkülikul on muid omadusi ja kuidas need aitavad ülesannete lahendamisel?

Ja otsustasin uurida rööpküliku lisaomadusi ja näidata, kuidas neid saab ülesannete lahendamisel rakendada.

Õppeaine : rööpkülik

Õppeobjekt : rööpküliku omadused
Töö eesmärk:

rööpküliku lisaomaduste formuleerimine ja tõendamine, mida koolis ei õpita;

nende omaduste rakendamine probleemide lahendamiseks.

Ülesanded:

Uurige rööpküliku välimuse ajalugu ja selle omaduste kujunemise ajalugu;

Otsi Lisalugemist uuritavas küsimuses;

Uurida rööpküliku lisaomadusi ja tõestada neid;

Näidake nende omaduste rakendust probleemide lahendamisel;

Mõelge rööpküliku omaduste rakendamisele elus.
Uurimismeetodid:

Töö haridus- ja teadusvaldkonnaga populaarne kirjandus, Interneti-ressursid;

Teoreetilise materjali uurimine;

Rööpküliku lisaomaduste abil lahendatavate probleemide tuvastamine;

Vaatlus, võrdlus, analüüs, analoogia.

Uuringu kestus : 3 kuud: jaanuar-märts 2016

Geomeetria õpikust loeme rööpküliku definitsiooni: Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Sõna "parallelogramm" tõlgitakse kui " paralleelsed jooned"(alates Kreeka sõnad Parallelos - paralleel ja gramme - joon), võttis selle termini kasutusele Euclid. Oma raamatus Elements tõestas Euclid järgmised omadused Rööpkülik: Rööpküliku vastasküljed ja nurgad on võrdsed ning diagonaal poolitab selle. Eukleides ei maini rööpküliku lõikepunkti. See arenes välja alles keskaja lõpupoole täielik teooria rööpkülikud Ja alles 17. sajandil ilmusid õpikutesse rööpkülikute teoreemid, mida tõestati Eukleidese teoreemi abil rööpküliku omaduste kohta.

III Rööpküliku lisaomadused

Geomeetria õpikus on rööpkülikule antud ainult 2 omadust:

Vastasnurgad ja küljed on võrdsed

Rööpküliku diagonaalid lõikuvad ja poolitatakse lõikepunktiga.

Geomeetria erinevatest allikatest leiate järgmised lisaomadused:

Rööpküliku külgnevate nurkade summa on 180 0

Rööpküliku nurga poolitaja lõikab sellest ära võrdhaarne kolmnurk;

Rööpküliku vastasnurkade poolitajad asuvad paralleelsel sirgel;

Rööpküliku külgnevate nurkade poolitajad lõikuvad täisnurga all;

Kui rööpküliku kõigi nurkade poolitajad ristuvad, moodustavad nad ristküliku;

Rööpküliku vastasnurkade kaugused sama diagonaalini on võrdsed.

Kui ühendate rööpküliku vastassuunalised tipud vastaskülgede keskpunktidega, saate teise rööpküliku.

Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle külgnevate külgede ruutude kahekordse summaga.

Kui tõmbate rööpkülikule kõrgused kahest vastasnurgast, saate ristküliku.

IV Rööpküliku omaduste tõendamine

Rööpküliku külgnevate nurkade summa on 180 0

Antud:

ABCD – rööpkülik

Tõesta:

A+
B=

Tõestus:

A ja
B – sisemised ühepoolsed nurgad paralleelsete joontega BC AD ja sekant AB, mis tähendab
A+
B=

Arvestades: ABCD - rööpkülik,

AK poolitaja
A.

Tõesta: AVK – võrdhaarne

Tõestus:

1)
1=
3 (risti asetseb eKr AD ja sekant AK),

2)
2=
3 kuna AK on poolitaja,

tähendab 1=
2.

3) ABC – võrdhaarne, kuna kolmnurga 2 nurka on võrdsed

. Rööpküliku nurga poolitaja lõikab sellest ära võrdhaarse kolmnurga

Arvestades: ABCD on rööpkülik,

AK – poolitaja A,

CP - poolitaja C.

Tõesta: AK║ SR

Tõestus:

1) 1=2, sest AK on poolitaja

2) 4=5, sest CP – poolitaja

3) 3=1 (risti asetsevad nurgad

BC ║ AD ja AK-sekant),

4) A =C (rööpküliku omaduse järgi), mis tähendab 2=3=4=5.

4) Lõigetest 3 ja 4 tuleneb, et 1 = 4 ja need nurgad vastavad sirgjoontele AK ja CP ning käändele BC,

see tähendab AK ║ CP (joonte paralleelsuse alusel)

. Rööpküliku vastasnurkade poolitajad asuvad paralleelsel sirgel

Rööpküliku külgnevate nurkade poolitajad lõikuvad täisnurga all

Arvestades: ABCD - rööpkülik,

AK-poolitaja A,

DP poolitaja D

Tõesta: DP AK.

Tõestus:

1) 1=2, sest AK - poolitaja

Olgu 1=2=x, siis A=2x,

2) 3=4, sest D Р – poolitaja

Olgu 3=4=y, siis D=2y

3) A + D =180 0, sest rööpküliku külgnevate nurkade summa on 180

2) Kaaluge A OD

1+3=90 0, siis
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Rööpküliku kõigi nurkade poolitajad lõikumisel moodustavad ristküliku

Arvestades: ABCD - rööpkülik, AK-poolitaja A,

DP-poolitaja D,

CM poolitaja C,

BF - poolitaja B .

Tõesta: KRNS - ristkülik

Tõestus:

Eelmise omaduse põhjal 8=7=6=5=90 0 ,

tähendab, et KRNS on ristkülik.

Rööpküliku vastasnurkade kaugused sama diagonaalini on võrdsed.

Arvestades: ABCD-parallelogramm, AC-diagonaal.

VC AC, D.P. A.C.

Tõesta: BC=DP

Tõestus: 1) DCP = KAB, sisemiste ristidena, mis asuvad AB ║ CD ja sekant AC-ga.

2) AKB= CDP (piki külge ja kahte külgnevat nurka AB=CD CD P=AB K).

Ja võrdsetes kolmnurkades on vastavad küljed võrdsed, mis tähendab DP=BK.

Kui ühendate rööpküliku vastassuunalised tipud vastaskülgede keskpunktidega, saate teise rööpküliku.

Arvestades: ABCD rööpkülik.

Tõesta: VKDP on rööpkülik.

Tõestus:

1) BP=KD (AD=BC, punktid K ja P

jaga need küljed pooleks)

2) BP ║ KD (vale AD-l eKr)

Kui nelinurga vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed, siis on nelinurk rööpkülik.

Kui tõmbate rööpkülikule kõrgused kahest vastasnurgast, saate ristküliku.

Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle külgnevate külgede ruutude kahekordse summaga.

Arvestades: ABCD on rööpkülik. BD ja AC on diagonaalid.

Tõesta: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Tõestus: 1)KÜSI: A.C. ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (Pythagorase teoreemi järgi)

3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²

4) SC = BP = N(kõrgus )

5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A TO 2 + H 2 +PD 2

6) Lase D K=A P=x, Siis C TOD : H 2 = CD 2 - X 2 Pythagorase teoreemi järgi )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A TO 2 +PD 2

8) A TO=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ IND² = 2 KOOSD²-2 X² + AD 2 +2 AD X+ X 2 +AD 2 -2 AD X+ X 2 ,
AC²+ IND² = 2 CD 2 +2 AD 2 =2 (CD 2 +AD 2 ).

V . Probleemide lahendamine nende omaduste abil

Rööpküliku ühe küljega külgneva kahe nurga poolitajate lõikepunkt kuulub vastasküljele. Rööpküliku lühim külg on 5 . Leia selle suur külg.

Arvestades: ABCD on rööpkülik,

AK – poolitaja
A,

D K – poolitaja
D, AB=5

Otsi: Päike

otsus

Lahendus

Sest AK - poolitaja
Ja siis ABC on võrdhaarne.

Sest D K – poolitaja
D, siis DCK – võrdhaarne

DC = C K = 5

Seejärel BC=VC+SC=5+5=10

Vastus: 10

2. Leidke rööpküliku ümbermõõt, kui selle ühe nurga poolitaja jagab rööpküliku külje 7 cm ja 14 cm pikkusteks lõikudeks.

1 juhtum

Arvestades:
A,

VK=14 cm, KS=7 cm

Leia: P rööpkülik

Lahendus

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Sest AK – poolitaja
Ja siis ABC on võrdhaarne.

AB=BK= 14 cm

Siis P = 2 (14 + 21) = 70 (cm)

toimumas

Arvestades: ABCD on rööpkülik,

D K – poolitaja
D

VK=14 cm, KS=7 cm

Otsi: P rööpkülik

Lahendus

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Sest D K – poolitaja
D, siis DCK – võrdhaarne

DC = C K = 7

Siis P = 2 (21 + 7) = 56 (cm)

Vastus: 70 cm või 56 cm

3. Rööpküliku küljed on 10 cm ja 3 cm Suurema küljega külgneva nurga poolitajad jagavad vastaskülje kolmeks lõiguks. Leidke need segmendid.

1 juhtum: poolitajad lõikuvad väljaspool rööpkülikut

Arvestades: ABCD – rööpkülik, AK – poolitaja
A,

D K – poolitaja
D , AB=3 cm, BC=10 cm

Otsi: VM, MN, NC

Lahendus

Sest AM - poolitaja
Ja siis on AVM võrdhaarne.

Sest DN – poolitaja
D, siis DCN – võrdhaarne

DC=CN=3

Siis MN = 10 – (BM + NC) = 10 – (3+3) = 4 cm

Juhtum 2: poolitajad lõikuvad rööpküliku sees

Sest AN - poolitaja
Ja siis on ABN võrdhaarne.

AB = BN = 3 D

Ja lükandvõre tuleks viia ukseavas vajalikule kaugusele

Parallelogrammmehhanism- neljavardaline mehhanism, mille lülid moodustavad rööpküliku. Seda kasutatakse translatsioonilise liikumise teostamiseks hingedega mehhanismide abil.

Paralleelogramm fikseeritud lingiga- üks lüli on liikumatu, vastand teeb õõtsuvat liigutust, jäädes liikumatuga paralleelseks. Kaks üksteise taha ühendatud rööpkülikut annavad otslülile kaks vabadusastet, jättes selle statsionaarse lüliga paralleelseks.

Näited: busside klaasipuhastid, tõstukid, statiivid, riidepuud, autode vedrustused.

Paralleelogramm fikseeritud liigendiga- kasutatakse rööpküliku omadust säilitada konstantne kolme punkti vahekauguste suhe. Näide: pantograafi joonistamine – seade jooniste skaleerimiseks.

Romb- kõik lülid on ühepikkused, vastassuunaliste hingede paari lähenemine (kokkutõmbumine) viib kahe ülejäänud hinge lahku nihkumiseni. Kõik lingid töötavad tihendatud kujul.

Näited - auto rombikujuline tungraud, trammi pantograaf.

Käärid või X-kujuline mehhanism, tuntud ka kui Nürnbergi käärid- romb versioon - kaks lüli, mis on keskelt hingega ühendatud. Mehhanismi eelised on kompaktsus ja lihtsus, puuduseks on kahe libiseva paari olemasolu. Kaks (või enam) sellist järjestikku ühendatud mehhanismi moodustavad keskel teemandi(d). Kasutatakse tõstukites ja laste mänguasjades.

VII Järeldus

Kes on lapsepõlvest saati matemaatikat õppinud?

ta arendab tähelepanu, treenib oma aju,

oma tahtmist, kasvatab visadust

ja sihikindlus eesmärkide saavutamisel

A. Markuševitš

Töö käigus tõestasin rööpküliku lisaomadusi.

Olin veendunud, et neid omadusi kasutades saab probleeme kiiremini lahendada.

Näitasin konkreetsete probleemide lahendamise näidete abil, kuidas neid omadusi rakendatakse.

Õppisin palju rööpküliku kohta, mida meie geomeetriaõpikus pole

Veendusin, et geomeetria tundmine on elus väga oluline läbi rööpküliku omaduste rakendamise näidete.

Minu uurimistöö eesmärk on täidetud.

Matemaatiliste teadmiste tähtsusest annab tunnistust asjaolu, et asutati auhind inimesele, kes avaldab raamatu inimesest, kes elas kogu oma elu ilma matemaatika abita. Seda auhinda pole veel ükski inimene saanud.

VIII Kirjandus

Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed. Rööpküliku pindala on võrdne selle aluse (a) ja kõrguse (h) korrutisega. Selle ala leiate ka kahe külje ja nurga ning diagonaalide kaudu.

Rööpküliku omadused

1. Vastasküljed on identsed.

Kõigepealt joonistame diagonaali $AC$ . Saame kaks kolmnurka: $ABC$ ja $ADC$.

Kuna $ABCD$ on rööpkülik, kehtib järgmine:

$AD || BC \Paremnool \nurk 1 = \nurk 2$ nagu risti lamades.

$AB || CD \Paremnool \angle3 = \angle 4$ nagu risti lamades.

Seetõttu (teise kriteeriumi järgi: ja $AC$ on tavaline).

Ja see tähendab $\kolmnurk ABC = \kolmnurk ADC$, siis $AB = CD$ ja $AD = BC$ .

2. Vastasnurgad on identsed.

Tõendi järgi omadused 1 Me teame seda $\nurk 1 = \nurk 2, \nurk 3 = \nurk 4$. Seega on vastasnurkade summa: $\nurk 1 + \nurk 3 = \nurk 2 + \nurk 4$. Võttes arvesse, et $\kolmnurk ABC = \kolmnurk ADC$ saame $\nurk A = \nurk C $ , $\nurk B = \nurk D $ .

3. Diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks.

Kõrval vara 1 teame, et vastasküljed on identsed: $AB = CD$ . Jällegi pange tähele risti asetsevaid võrdseid nurki.

Seega on selge, et $\kolmnurk AOB = \kolmnurk COD$ kolmnurkade (kaks nurka ja nendevaheline külg) teise võrdusmärgi järgi. See tähendab, $BO = OD$ (vastasnurgad $\nurk 2$ ja $\nurk 1$ ) ja $AO = OC$ (vastasnurgad $\nurk 3$ ja $ \nurk 4$ vastavalt).

Rööpküliku märgid

Kui teie ülesandes on ainult üks tunnus, siis on joonis rööpkülik ja saate kasutada kõiki selle joonise omadusi.

Parema meeldejätmise huvides pange tähele, et rööpkülikumärk vastab järgmisele küsimusele - "kuidas teada saada?". See tähendab, kuidas teada saada, et antud kujund on rööpkülik.

1. Rööpkülik on nelinurk, mille kaks külge on võrdsed ja paralleelsed.

$AB = CD$ ; $AB || CD \Paremnool ABCD$- rööpkülik.

Vaatame lähemalt. Miks $AD || eKr $?

$\kolmnurk ABC = \kolmnurk ADC$ Kõrval vara 1: $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ asetseb risti, kui $AB $ ja $CD $ ning sekant $AC $ on paralleelsed.

Aga kui $\kolmnurk ABC = \kolmnurk ADC$, siis $\angle 3 = \angle 4 $ (asub $AD || BC $ ($\angle 3 $ ja $\angle 4 $ - risti asetsevad on samuti võrdsed).

Esimene märk on õige.

2. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on võrdsed.

$AB = CD $ , $AD = BC \Paremnool ABCD $ on rööpkülik.

Mõelgem sellele märgile. Joonistame uuesti diagonaali $AC$.

Kõrval vara 1$\kolmnurk ABC = \kolmnurk ACD$.

Sellest järeldub, et: $\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC $ Ja $\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD $, see tähendab, et $ABCD$ on rööpkülik.

Teine märk on õige.

3. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasnurgad on võrdsed.

$\nurk A = \nurk C$ , $\nurk B = \nurk D \paremnool ABCD$- rööpkülik.

$2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) $(kuna $\nurk A = \nurk C$ , $\nurk B = \nurk D$ tingimuse järgi).

Selgub, $\alpha + \beta = 180^(\circ) $. Kuid $\alpha $ ja $\beta $ on sekantis $AB $ sisemised ühepoolsed.