Физический смысл 1 уравнения максвелла. Поляризация световых волн

В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным (Е Q ), так и вихревым (Е B ), поэтому напряженность суммарного поля Е =Е Q +Е B . Так как циркуляция вектора Е Q равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора Е B определяется выражением (137.2), то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D (см. (89.3)):

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где e 0 и m 0 - соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, g - удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей (E= const и B= const) уравнения Максвелла примут вид

т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного - только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса

можно представить полную систему уравнении Максвелла в дифференциальном форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла - интегральная и дифференциальная - эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше:

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).

Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле .

Ток смещения или абсорбционный ток - величина, прямо пропорциональная быстроте изменения электрической индукции. Это понятие используется вклассической электродинамике

Введено Дж. К. Максвеллом при построении теории электромагнитного поля.

Введение тока смещения позволило устранить противоречие в формуле Ампера для циркуляции магнитного поля, которая после добавления туда тока смещения стала непротиворечивой и составила последнее уравнение, позволившее корректно замкнуть систему уравнений (классической) электродинамики.

Строго говоря, ток смещения не является электрическим током, но измеряется в тех же единицах, что и электрический ток.

ного коэффициента) называется поток вектора быстроты изменения электрического поля через некоторую поверхность :

(СИ)

в произвольной среде. Максвелла уравнения сформулированы Дж. К. Максвеллом в 60-х годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Опираясь на эти законы и развивая плодотворную идею М. Фарадея о том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляются посредством электромагнитного поля , Максвелл создал теорию электромагнитных процессов, математически выражаемую Максвелла уравнения Современная форма Максвелла уравнения дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом .

Максвелла уравнения связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, то есть с распределением в пространстве электрических зарядов и токов. В пустоте электромагнитное поле характеризуется двумя векторными величинами, зависящими от пространственных координат и времени: напряжённостью электрического поля Е и магнитной индукцией В . Эти величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, распределение которых в пространстве задаётся плотностью заряда r (зарядом в единице объёма) и плотностью тока j (зарядом, переносимым в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов). Для описания электромагнитных процессов в материальной среде (в веществе), кроме векторов Е и В , вводятся вспомогательные векторные величины, зависящие от состояния и свойств среды: электрическая индукция D и напряжённость магнитного поля Н .

Максвелла уравнения позволяют определить основные характеристики поля (Е, В, D и Н ) в каждой точке пространства в любой момент времени, если известны источники поля j и r как функции координат и времени. Максвелла уравнения могут быть записаны в интегральной или в дифференциальной форме (ниже они даны в абсолютной системе единиц Гаусса; см. СГС система единиц ).

Максвелла уравнения в интегральной форме определяют по заданным зарядам и токам не сами векторы поля Е, В, D, Н в отдельных точках пространства, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля: циркуляцию векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и потоки векторов D и через произвольные замкнутые поверхности.

Первое Максвелла уравнения является обобщением на переменные поля эмпирического Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводниках, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально). Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым.

Первое Максвелла уравнения имеет вид:

то есть циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность j n - проекция плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадке ds , являющейся частью поверхности S, - проекция плотности тока смещения на ту же нормаль, а с = 3×10 10 см/сек - постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме.

Второе Максвелла уравнения является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная ) записывается в виде:

, (1, б)

то есть циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S , ограниченную данным контуром. Здесь n - проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В ; знак минус соответствует Ленца правилу для направления индукционного тока.

Третье Максвелла уравнения выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами):

то есть поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

Четвёртое Максвелла уравнения (обычно называемое Гаусса теоремой ) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов - Кулона закона :

, (1, г)

то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме , ограниченном данной поверхностью).

Если считать, что векторы электромагнитного поля (Е, В, D, Н ) являются непрерывными функциями координат, то, рассматривая циркуляцию векторов Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторов и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от интегральных соотношений (1, а - г) перейти к системе дифференциальных уравнений, справедливых в каждой точке пространства, то есть получить дифференциальную форму Максвелла уравнения (обычно более удобную для решения различных задач):

rot,

Здесь rot и div - дифференциальные операторы ротор (см. Вихрь ) и дивергенция , действующие на векторы Н , Е , и D . Физический смысл уравнений (2) тот же, что и уравнений (1).

Максвелла уравнения в форме (1) или (2) не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Необходимо их дополнить соотношениями, связывающими векторы Е, Н, D, В и j , которые не являются независимыми. Связь между этими векторами определяется свойствами среды и её состоянием, причём D и j выражаются через Е , а - через Н :

D = D (E ), = (Н ), j = j (E ). (3)

Эти три уравнения называются уравнениями состояния, или материальными уравнениями; они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определённую форму. В вакууме D ºЕ и º Н . Совокупность уравнений поля (2) и уравнений состояния (3) образуют полную систему уравнений.

Макроскопические Максвелла уравнения описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами среды. Максвелла уравнения могут быть получены из Лоренца - Максвелла уравнений для микроскопических полей и определённых представлений о строении вещества путём усреднения микрополей по малым пространственно-временным интервалам. Таким способом получаются как основные уравнения поля (2), так и конкретная форма уравнений состояния (3), причём вид уравнений поля не зависит от свойств среды.

Уравнения состояния в общем случае очень сложны, так как векторы D , и j в данной точке пространства в данный момент времени могут зависеть от полей Е и Н во всех точках среды во все предшествующие моменты времени. В некоторых средах векторы D и могут быть отличными от нуля при Е и равных нулю (сегнетоэлектрики и ферромагнетики ). Однако для большинства изотропных сред, вплоть до весьма значительных полей, уравнения состояния имеют простую линейную форму:

D = eE , = mH , j = sE + j c тр. (4)

Здесь e (x, у, z ) - диэлектрическая проницаемость , а m (x, у, z ) - магнитная проницаемость среды, характеризующие соответственно её электрические и магнитные свойства (в выбранной системе единиц для вакуума e = m = 1); величина s(x, у, z ) называется удельной электропроводностью; j cтр - плотность так называемых сторонних токов, то есть токов, поддерживаемых любыми силами, кроме сил электрического поля (например, магнитным полем, диффузией и т. д.). В феноменологической теории Максвелла макроскопические характеристики электромагнитных свойств среды e, m и s должны быть найдены экспериментально. В микроскопической теории Лоренца - Максвелла они могут быть рассчитаны.

Проницаемости e и m фактически определяют тот вклад в электромагнитное поле, который вносят так называемые связанные заряды, входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул вещества. Экспериментальное определение e, m, s позволяет рассчитывать электромагнитное поле в среде, не решая трудную вспомогательную задачу о распределении связанных зарядов и соответствующих им токов в веществе. Плотность заряда r и плотность тока j в Максвелла уравнения - это плотности свободных зарядов и токов, причём вспомогательные векторы Н и D вводятся так, чтобы циркуляция вектора Н определялась только движением свободных зарядов, а поток вектора D - плотностью распределения этих зарядов в пространстве.

Если электромагнитное поле рассматривается в двух граничащих средах, то на поверхности их раздела векторы поля могут претерпевать разрывы (скачки); в этом случае уравнения (2) должны быть дополнены граничными условиями:

[nH ] 2 - [nH ] 1 = ,

[nE ] 2 - [nE ] 1 = 0, (5)

(nD ) 2 - (nD ) 1 = 4ps,

(nB ) 2 - (nB ) 1 = 0.

Здесь j пов и s - плотности поверхностных тока и заряда, квадратные и круглые скобки - соответственно векторное и скалярное произведения векторов, n - единичный вектор нормали к поверхности раздела в направлении от первой среды ко второй (1®2), а индексы относятся к разным сторонам границы раздела.

Основные уравнения для поля (2) линейны, уравнения же состояния (3) могут быть и нелинейными. Обычно нелинейные эффекты обнаруживаются в достаточно сильных полях. В линейных средах [удовлетворяющих соотношениям (4)] и, в частности, в вакууме Максвелла уравнения линейны и, таким образом, оказывается справедливым суперпозиции принцип : при наложении полей они не оказывают влияния друг на друга.

Из Максвелла уравнения вытекает ряд законов сохранения. В частности, из уравнений (1, а) и (1, г) можно получить соотношение (так называемое уравнение непрерывности):

, (6)

представляющее собой закон сохранения электрического заряда: полный ток, протекающий за единицу времени через любую замкнутую поверхность S , равен изменению заряда внутри объёма V , ограниченного этой поверхностью. Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объёме остаётся неизменным.

Из Максвелла уравнения следует, что электромагнитное поле обладает энергией и импульсом (количеством движения). Плотность энергии w (энергии единицы объёма поля) равна:

, (7)

Электромагнитная энергия может перемещаться в пространстве. Плотность потока энергии определяется так называемым вектором Пойнтинга

Направление вектора Пойнтинга перпендикулярно как Е , так и Н и совпадает с направлением распространения электромагнитной энергии, а его величина равна энергии, переносимой в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к вектору П . Если не происходит превращений электромагнитной энергии в другие формы, то, согласно Максвелла уравнения , изменение энергии в некотором объёме за единицу времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую этот объём. Если внутри объёма за счёт электромагнитной энергии выделяется тепло, то закон сохранения энергии записывается в форме:

(9)

Где Q - количество теплоты, выделяемой в единицу времени.

Плотность импульса электромагнитного поля g (импульс единицы объёма поля) связана с плотностью потока энергии соотношением:

Существование импульса электромагнитного поля впервые было обнаружено экспериментально в опытах П. Н. Лебедева по измерению давления света (1899).

Как видно из (7), (8) и (10), электромагнитное поле всегда обладает энергией, а поток энергии и электромагнитный импульс отличны от нуля лишь в случае, когда одновременно существуют и электрическое и магнитное поля (причём эти поля не параллельны друг другу).

Максвелла уравнения приводят к фундаментальному выводу о конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий (равной с = 3×10 10 см/сек ). Это означает, что при изменении плотности заряда или тока в некоторой точке пространства порождаемое ими электромагнитное поле в точке наблюдения изменяется не в тот же момент времени, а спустя время t = R/c , где R - расстояние от элемента тока или заряда до точки наблюдения. Вследствие конечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий возможно существование электромагнитных волн , частным случаем которых (как впервые показал Максвелл) являются световые волны.

Электромагнитные явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта , то есть удовлетворяют принципу относительности. В соответствии с этим Максвелла уравнения не меняют своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (релятивистски инвариантны). Выполнение принципа относительности для электромагнитных процессов оказалось несовместимым с классическими представлениями о пространстве и времени, потребовало пересмотра этих представлений и привело к созданию специальной теории относительности (А. Эйнштейн , 1905; см. Относительности теория ). Форма Максвелла уравнения остаётся неизменной при переходе к новой инерциальной системе отсчёта, если пространств, координаты и время, векторы поля Е, Н, В, D , плотность тока j и плотность заряда r изменяются в соответствии с Лоренца преобразованиями (выражающими новые, релятивистские представления о пространстве и времени). Релятивистски-инвариантная форма Максвелла уравнения подчёркивает тот факт, что электрическое и магнитное поля образуют единое целое.

Максвелла уравнения описывают огромную область явлений. Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важнейшую роль в развитии таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций , магнитная гидродинамика , нелинейная оптика , конструирование ускорителей заряженных частиц , астрофизика и т. д. Максвелла уравнения неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты, то есть когда энергия отдельных квантов электромагнитного поля - фотонов - велика и в процессах участвует сравнительно небольшое число фотонов.

Лит.: Максвелл Дж. К., Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, перевод с английского, М., 1952; Тамм И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; Калашников С. Г., Электричество, М., 1956 (Общий курс физики, т. 2); Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, (перевод с английского], в. 5, 6, 7, М., 1966; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 5 изд., М., 1967 (Теоретическая физика, т. 2); их же, Электродинамика сплошных сред, М., 1959.

Г. Я. Мякишев.

Статья про слово "Максвелла уравнения " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 36718 раз

ТЕМА 4.1. Оптика

4.1.1. Теория распространения
электромагнитных волн Максвелла.
Уравнения Максвелла

Теория Д.К. Максвелла лежит в основе объяснения существования и свойств любых электромагнитных волн, таких, как световые волны, радиоволны, инфракрасное и ультрафиолетовое излучения. Эта теория является феноменологической, т.е. в ней не рассматриваются молекулярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих в среде под действием электрического и магнитного полей. Электрические и магнитные свойства среды характеризуются относительной диэлектрической проницаемостью ε, относительной магнитной проницаемостью m и удельной электрической проводимостью σ. Предполагается, что эти параметры среды определяются из эксперимента.

Теория Максвелла - макроскопическая. Это означает, что рассматриваются макроскопические поля зарядов и токов, пространственные размеры которых неизмеримо больше размеров отдельных молекул и атомов.

Математическим выражением теории Максвелла служит система из четырех уравнений, которые записывают в двух формах - дифференциальной и интегральной.

Дифференциальные уравнения Максвелла получаются из интегральных с помощью двух теорем векторного анализа: теоремы Остроградского-Гаусса и теоремы Стокса.

Рассмотрим теорему Остроградского-Гаусса .

Пусть для характеристики какого-либо поля выбран вектор . Тогда поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, мысленно проведенную в этом поле, равен интегралу от дивергенции вектора , взятому по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью S:

Операция дивергенции над произвольным вектором сводится к пространственной производной вида:

где a x , a y , a z - проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат.

Рассмотрим теорему Стокса .

Пусть для характеристики какого-либо поля выбран вектор . Тогда циркуляция вектора вдоль произвольного замкнутого контура L, мысленно проведенного в этом поле, равна потоку вектора rot через поверхность S, ограниченную замкнутым контуром L:

Векторная операция rot в декартовых координатах выражается так:

Первое уравнение Максвелла

Это уравнение представляет собой обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея:

Однако для произвольного контура выполняется взаимосвязь:

Поскольку в общем случае , то для не изменяющегося во времени контура имеет место соотношение:

Сравнивая (4.1.5) и (4.1.7) с учетом (4.1.6), для произвольного контура L, мысленно проведенного в переменном магнитном поле, можно записать:

Силу тока проводимости можно также представить в виде:

или, окончательно:

Из двух последних уравнений (4.1.47) следует, что , что указывает на поперечность электромагнитной волны. Из первого уравнения (4.1.47) ясно, что вектор Н как результат векторного произведения, должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Аналогично, из второго уравнения (4.1.47) следует, что вектор электрического поля должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Окончательно получается, что для любой электромагнитной волны вектора , и составляют тройку ортогональных векторов (Рис. 4.1.1).

4.1.3. Шкала электромагнитных волн

В зависимости от частоты ν = ω/2π или длины волны в вакууме λ 0 = с/ν, а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн:

радиоволны;
оптическое излучение;
рентгеновское излучение;
гамма-излучение.

Радиволнами называются электромагнитные волны, у которых длина волны в вакууме λ 0 > 5·10 -5 м (ν < 6·10 12 Гц). Весь диапазон радиоволн принято делить на 9 поддиапазонов (Табл. 4.1.1).

Таблица 4.1.1

Оптическим излучением или светом называются электромагнитные волны, у которых длина волны в вакууме лежит в диапазоне 10 нм >λ 0 > 1 мм (границы условны). К оптическому излучению относят инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое излучения.

Инфракрасным (ИК) называются электромагнитные волны, испускаемые нагретыми телами, у которых длина волны в вакууме лежит в диапазоне 1 мм > λ 0 > 770 нм.

Видимым излучением (светом) называются электромагнитные волны, у которых длины волны в вакууме лежат в диапазоне 770 нм > λ 0 > 380 нм. Свет способен вызывать зрительные ощущения в человеческом глазе.

Ультрафиолетовым излучением (УФ) называются электромагнитные волны, у которых длины волны в вакууме лежат в диапазоне 380 нм > λ 0 > 10 нм.

Рентгеновским излучением (рентгеновскими лучами) называются электромагнитные волны, которые возникают при взаимодействии заряженных частиц и фотонов с атомами вещества. Оно характеризуется длинами волны в вакууме в диапазоне с условными границами (10-100 нм) > λ 0 > (0,01-1 пм).

Гамма-излучением (γ-лучами) называются электромагнитные волны с длинами волны в вакууме 0,1 нм > λ 0 . Это излучение испускается возбужденными атомными ядрами при радиоактивных превращениях и ядерных реакциях, а также возникает при распаде частиц, аннигиляции пар "частица-античастица" и других процессах.

4.1.4. Световая волна

Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других - как поток особых частиц (фотонов).

В электромагнитной волне колеблются векторы электрического и магнитного полей. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются наличием колебаний электрического вектора, который называют в этом случае световым вектором . Его изменения в пространстве и времени задаются уравнением плоской волны:

Здесь r - расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения волны.

Отношение скорости световой волны в вакууме с к ее фазовой скорости v в некоторой прозрачной среде называется абсолютным показателем преломления этой среды:

Показатель преломления связан с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями соотношением:

Для подавляющего большинства прозрачных веществ величина μ ≈ 1. Поэтому можно считать, что выполняется:

Значения показателя преломления характеризуют оптическую плотность среды. Среда с большим n будет более оптически плотной.

Длины волн видимого света в вакууме заключены в пределах:

В веществе длины волн будут другими. В случае колебаний с частотой ν длина волны света в вакууме равна:

Используя соотношение (4.1.49), имеем для длины света в веществе формулу:

Частоты видимого света лежат в пределах:

Модуль среднего по времени потока энергии, переносимого волной, называется интенсивностью света I в данной точке пространства. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды волны:

I ∼ A 2

(4.1.56)

Световая волна, как и другие электромагнитные волны, является поперечной, т.е. направления колебаний электрического и магнитного векторов перпендикулярны к направлению ее распространения. В естественном свете присутствуют все направления колебаний электрического и магнитного векторов. Если в волне присутствуют колебания электрического вектора только в одной плоскости (а магнитного вектора в перпендикулярной плоскости), такую волну называют плоскополяризованной (линейно поляризованной) . Есть и более сложные случаи поляризации волн - круговая и эллиптическая. В случае круговой поляризации электрический и магнитный векторы вращаются по кругу с частотой изменения волны.

4.1.5. Геометрическая оптика

Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (∼10 -7 м), поэтому распространение видимого света в первом приближении можно рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых прямых линий, называемых лучами. В предельном случае, когда длина волны света λ→0, законы оптики можно сформулировать на языке геометрии.

Основу геометрической оптики составляют 4 закона:

закон прямолинейного распространения света;
закон независимости световых лучей;
закон отражения света;
закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно . Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия, размеры которых сравнимы с диной волны света, наблюдается отклонение от прямолинейности, тем большее, чем меньше отверстие.

Закон независимости световых лучей утверждает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга . Это означает, что пересечение лучей не мешает каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон справедлив при не слишком больших интенсивностях световых волн.

В основу геометрической оптики был положен принцип Ферма : свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время .

Пусть для прохождения участка ds свету требуется время dt = ds/v, где v - скорость света в данной точке среды. Поскольку v = c/n, то получим:

Следовательно, время τ, необходимое для прохождения пути от точки 1 до точки 2 (Рис. 4.1.2), равно:

Рис. 4.1.2. К принципу Ферма

Имеющая размерность длины величина

называется оптической длиной пути . В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути на показатель преломления:

Следовательно,

Пропорциональность времени прохождения оптической длине пути дает возможность сформулировать принцип Ферма так: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален при движении света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении.

Получим с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света. Пусть свет попадает из точки А в точку В, отразившись от поверхности MN (Рис. 4.1.3).

Рис. 4.1.3. Закон отражения света как следствие принципа Ферма

Прямой путь из А в В прегражден экраном Э. Среда, в которой распространяется луч, однородна, поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности геометрической длины пути. Геометрическая длина произвольно взятого пути равна АО"B = A"O"B, поскольку вспомогательная точка A" является зеркальным отражением точки А, и АО" = A"O". Из Рис. 4.1.3 видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке О, для которой угол отражения равен углу падения. При удалении точки O" от точки О геометрическая длина пути неограниченно возрастает, что противоречит принципу Ферма. Этот результат можно записать так:

Соотношение (4.1.62) выражает закон отражения света : отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Найдем точку, в которой должен преломиться луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая длина пути была минимальной (Рис. 4.1.4).

Рис. 4.1.4. К расчету закона преломления света из принципа Ферма

Для произвольного луча оптическая длина пути равна:

Чтобы найти минимальное значение оптической длины пути, продифференцируем L по х и приравняем производную к нулю:

Множители при n 1 и n 2 равны, соответственно, sinθ и sinθ". Поэтому получаем соотношение:

которое выражает закон преломления света. Используя взаимосвязь показателей преломления с фазовыми скоростями распространения света в средах, можно записать соотношение (4.1.65) в виде:

Следовательно, закон преломления света гласит: преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ.

В (4.1.66) n 12 - относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому. Из (4.1.65) видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения сопровождается более быстрым ростом угла преломления, и при достижении некоторого предельного угла падения угол преломления будет равным 90°:

При углах падения, лежащих в пределах от θ пред пред до 90°, преломленной волны не существует, вся энергия падающей волны переходит в энергию отраженной волны. Это явление называется полным внутренним отражением.

Таблица 4.1.2

Во многих оптических приборах для преломления света используются стеклянные призмы. На Рис. 4.1.5 показан ход луча монохроматического света в призме.

Рис. 4.1.5. Ход лучей в призме

После двукратного преломления луч оказывается отклоненным от первоначального положения на угол δ (угол отклонения ). Угол θ, заключенный между преломляющими гранями, называется преломляющим углом . Угол δ зависит от преломляющего угла θ и показателя преломления призмы. Эта зависимость может быть легко показана для призмы с малым преломляющим углом θ (тонкой призмы) в случае малого угла падения α. Исходя из закона преломления и принимая значение показателя преломления воздуха равным единице, можно записать:

При малых углах α и θ углы α 1 , γ и γ 1 также малы. Поэтому вместо (4.1.69) можно приближенно записать:

Из четырехугольника BQDE, в котором углы при В и D - прямые, найдем, что угол BED равен 180° - θ. Тогда из четырехугольника BСDE находим:

Угол δ из треугольника BED равен:

Подставляя в (4.1.72) результаты (4.1.73) и (4.1.70), получим окончательно:

4.1.6. Преломление в линзе

В практических применениях большое значение имеет преломление света на сферической границе раздела двух сред. Основная деталь оптических приборов - линза - обычно представляет собой стеклянное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями. В частном случае одна из поверхностей линзы может быть плоской. Такую поверхность можно рассматривать как сферическую с бесконечно большим радиусом кривизны.

Линзы могут быть изготовлены не только из стекла, а из любого прозрачного вещества с показателем преломления, превышающим единицу, например, из кварца, каменной соли, пластмасс и других материалов. Поверхности линз могут быть и более сложной формы - цилиндрические, параболические и т.д.

Рассмотрим линзу, ограниченную двумя сферическими преломляющими поверхностями PO 1 Q и PO 2 Q (Рис. 4.1.6).

Рис. 4.1.6. Тонкая линза

Центр первой преломляющей поверхности PO 1 Q лежит в точке С 1 , центр второй поверхности PO 2 Q - в точке С 2 . Будем считать, что расстояние O 1 O 2 мало по сравнению с O 1 С 1 или O 2 С 2 . В таком случае точки O 1 и O 2 можно считать практически совпадающими с точкой О - оптического центра линзы. Всякая прямая, проходящая через оптический центр, называется оптической осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих преломляющих поверхностей, называется главной оптической осью , остальные - побочными осями .

Луч, идущий по какой-либо оптической оси, проходя через тонкую линзу, не меняет своего направления. Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе пересекаются в одной точке F, расположенной на главной оптической оси и называемой главным фокусом .

Покажем, что лучи, исходящие под небольшими углами α из некоторой точки А, лежащей на главной оптической оси, собираются линзой в одну точку А 1 , расположенную также на этой оптической оси и называемую изображением точки А (Рис. 4.1.7).

Рис. 4.1.7. Преломление в тонкой линзе

Построим плоскости, касательные к поверхностям линзы в точках М и N (в местах падения луча на линзу и его выхода из линзы), и проведем в эти точки радиусы R 1 и R 2 кривизны поверхностей линзы. Тогда луч AMNA 1 можно рассматривать как луч, преломленный в тонкой призме с преломляющим углом θ. Учитывая малость углов α, β, α 1 , β 1 и толщины линзы, можно записать:

где а и b - расстояния от источника света А и от его изображения А 1 до оптического центра линзы.

Из треугольников АНА 1 и ВЕВ 1 следует, что:

Принимая во внимание формулы (4.1.75), получим:

Учтено, что для тонкой линзы h 1 ≈ h 2 ≈ h. Поскольку, согласно формуле () для тонкой призмы выполняется: θ = (n-1)δ, то, с помощью (4.1.77) имеем формулу линзы :

В эту формулу не входит величина h, что означает, что расстояние b не зависит от от положения точки М. Следовательно, все лучи, исходящие из точки А, соберутся после преломления разными частями линзы в одной точке А 1 .

Если точка А находится бесконечно далеко от линзы (а = ∞), т.е. если лучи падают на линзу параллельно главной оптической оси, то, согласно формуле (4.1.78), имеем:

Величина b = f называется фокусным расстоянием линзы :

Фокусом линзы называется точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.

Принимая во внимание (4.1.80), формулу линзы (4.1.78) можно сейчас переписать так:

Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы :

Оптическая сила выражается в диоптриях (дп). 1 дп - оптическая сила линзы с фокусным расстоянием в 1 м.

4.1.7. Принцип Гюйгенса

В приближении геометрической оптики свет за преградой не должен проникать в область геометрической тени. В действительности световая волна распространяется во всем пространстве за преградой, проникая проникать в область геометрической тени, причем это проникновение будет тем более существенным, чем меньше размеры отверстия. При диаметре отверстия или ширине щели, сравнимых с длиной волны, приближение геометрической оптики становится совершенно неприменимым.

Качественно поведение света за преградой с отверстием может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса . Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени. Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (Рис. 4.1.8).

Рис. 4.1.8. К принципу Гюйгенса

Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими. Построив огибающую вторичных волн, можно убедиться в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая края преграды.

4.1.8. Интерференция световых волн

Если в среде распространяются одновременно несколько электромагнитных волн, то волны просто накладываются друг на друга, не возмущая одна другую. Это утверждение, подкрепленное опытом, называется принципом суперпозиции.

В случае, когда колебания электрического и магнитного векторов в каждой из волн происходят так, что между соответственными векторами в разных волнах имеется постоянный во времени и в пространстве фазовый сдвиг, такие волны называются когерентными . Очевидно, что условие когерентности может существовать лишь для волн, которые имеют одинаковые частоты и, соответственно, длины волны.

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции , заключающееся в том, что электромагнитные волны в одних точках пространства усиливают, а в других ослабляют друг друга.

Пусть две волны одинаковой частоты, распространяющиеся в одном направлении, возбуждают в некоторой точке пространства колебания:

Эти векторы можно представить как вращающиеся с частотой ω вокруг общего начала коор-динат. Поскольку сдвиг фаз различен, в какой-либо момент времени эти вектора займут различные положения (Рис. 4.1.9).

Рис. 4.1.9. К расчету интерференции волн

Используя теорему косинусов, получим амплитуду результирующего колебания:

Если сдвиг фаз между когерентными колебаниями равен нулю (волны - в фазе), то амплитуда результирующей волны максимальна и равна A = A 1 + A 2 . Пусть амплитуды этих волн равны. В этом случае имеем амплитуду результирующей волны:

Если сдвиг фаз между когерентными колебаниями равен ±π (волны - в противофазе), то амплитуда результирующей волны минимальна и равна A = A 1 - A 2 . Если амплитуды этих волн равны, то в этом случае они гасят друг друга:

Когерентные световые волны можно получить, разделив, например, с помощью зеркал волну, излучаемую одним источником, на две. Если заставить эти волны пройти разные пути, а затем наложить их друг на друга, будет наблюдаться интерференция. Пусть такое разделение происходит в точке О (Рис. 4.1.10).

Рис. 4.1.10. Образование когерентных волн

До точки Р первая волна пройдет в среде с показателем преломления n 1 путь S 1 , вторая волна пройдет в среде с показателем преломления n 2 путь S 2 . Если в точке О фаза колебания была равна ωt, то первая волна возбудит в точке Р колебание

а вторая волна - колебание

то разность фаз оказывается кратной 2π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в фазе. Следовательно, (4.1.93) является условием интерференционного максимума.

Если Δ равна полуцелому числу длин волн в вакууме:

то разность фаз оказывается равной δ = ±(2m + 1)π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (4.1.94) является условием интерференционного минимума.

4.1.9. Дифракция световых волн

Дифракцией называется совокупность явлений, связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. В частности, вследствие дифракции происходит огибание световыми волнами препятствий и проникновение света в область геометрической тени.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия.

Свет, идущий от небольшого яркого источника через круглое отверстие (Рис. 4.1.11) должен по правилам геометрической оптики дать на экране резко ограниченный светлый кружок на темном фоне.

Рис. 4.1.11. Дифракция от круглого отверстия

Такая картина наблюдается при обычных условиях опыта. Но если расстояние от отверстия до экрана в несколько тысяч раз превосходит размеры отверстия, то образуется более сложная картина, которая состоит из совокупности светлых и темных концентрических колец.

Интересный случай дифракции осуществляется с помощью дифракционной решетки, которая представляет собой пластинку, на поверхности которой чередуются узкие параллельные прозрачные и непрозрачные полоски. Сумму ширины прозрачной и непрозрачной полосок называют периодом решетки. Пусть на решетку падает монохроматический свет с длиной волны λ (Рис. 4.1.12). Фронт волны параллелен плоскости решетки.

Рис. 4.1.12. Дифракционная решетка

Разности хода лучей, идущих от соответствующих точек отверстий, например от правых краев (точки А, А 1 , А 2 , ...), или от левых краев (точки В, В 1 , В 2 , ...) имеют одно и то же значение:

Для того, чтобы все пучки усиливали друг друга, необходимо, чтобы разность хода равнялась целому числу длин волн:

где m - целое число.

Это условие позволяет определить те значения углов φ и соответствующие направления, в которых будут наблюдаться максимумы света длины волны λ.

Для данной длины волны может наблюдаться несколько максимумов. Направление, соответствующее m = 0, есть φ = 0. Это - направление первоначального пучка. Соответствущий максимум носит название максимума нулевого порядка. При m = 1 имеем: sinφ 1 = λ/d, при m = 1 имеем: sinφ" 1 = λ/d, т.е. имеется два максимума первого порядка, расположенных симметрично по обеим сторонам от нулевого максимума. Аналогично располагаются максимумы второго, третьего и т.д. порядков.

Отсюда следует, что для волн разной длины λ положения максимумов нулевого порядка совпадают , а положения максимумов первого, второго и т.д. порядков различны: чем больше λ, тем больше соответствующие углы.

Если на решетку падает белый свет, то в плоскости экрана получается ряд цветных изображений щели. На месте нулевого максимума будет изображение щели в белом свете, а по обе стороны от него развернутся цветные полосы от фиолетового к красному концу.

Чем больше общий размер решетки, т.е. чем больше полосок она содержит, тем выше ее качество: увеличение числа полосок увеличивает количество пропускаемого решеткой света (максимумы становятся ярче), и улучшает разрешение близких волн (максимумы становятся резче).

Зная период дифракционной решетки, ее можно использовать для определения длины световой волны, измерив величину угла φ, определяющего положение максимума данного порядка. В этом случае имеем:

Измерение длины световой волны с помощью дифракционной решетки принадлежит к числу наиболее точных методов.

4.1.10. Поляризация световых волн

Поляризованным называется свет, в котором направления колебаний электрического и магнитного векторов упорядочены каким-либо образом. В естественном свете колебания происходят в различных направлениях, быстро и беспорядочно сменяя друг друга.

Различают свет эллиптически поляризованный, поляризованный по кругу, плоскополяризованный. В случае эллиптической или круговой поляризаций электрический и магнитный векторы вращаются в пространстве с частотой, равной частоте волны, причем концы этих векторов описывают либо эллипс, либо круг. Вращение может происходить как по, так и против часовой стрелки. Если вектор вращается в пространстве как правый винт, то поляризацию называют правой, и левой - если вектор вращается в пространстве как левый винт.

Важный частный случай - плоская поляризация. В этом случае вектор электрического поля колеблется в плоскости, проходящей через направление распространения волны и этот вектор. Такую плоскость называют плоскостью колебаний . Вектор магнитного поля колеблется в плоскости, также проходящей через направление распространения волны и этот вектор, но данная плоскость - плоскость поляризации - составляет с плоскостью колебаний прямой угол (Рис. 4.1.13).

Рис. 4.1.13. Структура плоскополяризованной световой волны

Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с помощью устройств, которые называются поляризаторами . Эти устройства свободно пропускают волны с колебаниями, плоскость которых совпадает с плоскостью пропускания поляризатора, и задерживают все другие волны.

Пусть на поляризатор падает плоскополяризованный свет амплитуды А 0 и интенсивности I 0 . Сквозь устройство пройдет составляющая колебания с амплитудой А || = А 0 cosφ, где угол φ - угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью пропускания поляризатора (Рис. 4.1.14).

Рис. 4.1.14. Прохождение плоскополяризованного света через поляризатор

Следовательно, интенсивность прошедшего света определяется выражением:

Это соотношение носит название закона Малюса.

Пусть на пути естественного луча стоят два поляризатора, плоскости пропускания которых составляют угол φ. Из первого поляризатора выйдет плоскополяризованный свет, интенсивность которого I0 составит половину интенсивности естественного неполяризованного света I ест. Используя закон Малюса, получаем:

Максимальная интенсивность получается при φ = 0 (плоскости пропускания поляризаторов параллельны). При φ = 90° интенсивность равна нулю - скрещенные поляризаторы не пропускают свет.

4.1.11. Вращение плоскости
поляризации световых волн

Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают способностью вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через них плоскополяризованного света. К числу таких веществ относятся кристаллы кварц, киноварь и др, некоторые жидкости (скипидар, никотин), растворы оптически активных веществ в оптически неактивных растворителях (водные растворы сахара, винной кислоты и др.)

Угол поворота плоскости поляризации в твердых веществах пропорционален пути l, пройденному лучом в кристалле:

где α - постоянная оптического вращения, различная для разных веществ.

В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути l, пройденному светом в растворе и концентрации с активного вещества:

Здесь [α] - удельная постоянная вращения.

В зависимости от направления вращения вещества подразделяются на право- и левовращающие. Существуют правый и левый кварц, правый и левый сахар и т.д. Молекулы или кристаллы одной модификации являются зеркальным отражением молекул или кристаллов другой модификации.

Если между двумя скрещенными поляризаторами поместить оптически активное вещество, то поле зрения просветляется. Чтобы снова затемнить его, надо повернуть один из поляризаторов на угол, определяемый соотношениями (4.1.99) или (4.11.100). Таким методом можно измерить концентрацию активного вещества в растворе, в частности, концентрацию сахара.

Ток смещения. Для обобщения уравнений электромагнитного поля в вакууме на переменные поля необходимо изменить только одно из написанных ранее уравнений (см. разд. 3.4, 3.12); три уравнения оказываются верными в общем случае. Однако закон полного тока для магнитного поля в случае переменных полей и токов оказывается неверным. В соответствии с этим законом ток должен быть одинаковым для любых двух натянутых на контур поверхностей; если заряд в объеме между выбранными поверхностями меняется, то это утверждение вступает в противоречие с законом сохранения заряда. Например, при зарядке конденсатора (рис. 45) ток через одну из указанных поверхностей равен а через другую (проходящую между пластинами) - нулю. Чтобы снять указанное противоречие, Максвелл ввел в это уравнение ток смещения, пропорциональный скорости изменения электрического поля:

В диэлектрической среде выражение для тока смещения принимает вид:

Первый член представляет собой плотность тока смещения в вакууме, второй - реальный ток, обусловленный движением связанных зарядов при изменении поляризованности. Ток смещения через поверхность равен где Ф - поток вектора через поверхность. Введение тока смещения снимает противоречие с законом сохранения заряда. Например, при зарядке плоского конденсатора ток смещения через поверхность, проходящую между пластинами, равен току по подводящим проводам.

Система уравнений Максвелла в вакууме. После введения тока смещения система уравнений Максвелла в дифференциальной форме принимает вид:

Система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Приведем также запись уравнений Максвелла в дифференциальной форме в системе СГС:

Плотности заряда и тока связаны соотношением

выражающим закон сохранения заряда (это уравнение является следствием уравнений Максвелла).

Уравнения Максвелла в среде имеют вид: дифференциальная форма интегральная форма

и служат для определения четырех величин . К уравнениям Максвелла, в среде надо добавить материальные уравнения связи между , характеризующие электрические и магнитные свойства среды. Для изотропных линейных сред эти уравнения имеют вид:

Из уравнений Максвелла можно получить граничные условия для (см. разд. 3.6, 3.13).

Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

Из уравнений Максвелла можно вывести следующее уравнение для любого объема V, ограниченного поверхностью

Первый член описывает изменение энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме. Видно, что в общем случае для плотности энергии электромагнитного поля оказываются верными формулы, полученные ранее для постоянного электрического и магнитного полей. Второй член представляет собой работу поля над частицами в рассматриваемом объеме. Наконец, третий член описывает поток электромагнитной энергии через ограничивающую объем замкнутую поверхность. Плотность потока энергии в данной точке пространства (вектор Пойнтинга) определяется векторами Е и В в этой же точке:

Последнее выражение справедливо и для плотности потока электромагнитной энергии в веществе. Плотность энергии в среде имеет вид:

Пример 1. Рассмотрим зарядку плоского конденсатора с круглыми пластинами, расположенными на расстоянии . Скорость изменения энергии в цилиндре радиусом (меньше размеров пластин) равна

Напряженность магнитного поля найдем из второго уравнения Максвелла: (справа стоит ток смещения). Получаем, что скорость притока энергии через боковую поверхность цилиндра: равна скорости изменения энергии в объеме.

Релятивистские свойства полей. При переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую изменяются как источники электромагнитного поля (плотности заряда и тока), так и сами поля, но уравнения Максвелла сохраняют свой вид. Проще всего выглядят формулы преобразования для источников - плотность движущегося заряда). Если обозначить за плотность заряда в ИСО, в которой то с учетом сокращения продольных размеров (см. разд. 1.11) получим

Сравнивая с -вектором энергии-импульса, видим, что образуют -вектор, т.е. преобразуются друг через друга так же, как по формулам преобразования Лоренца. Зная, как преобразуются источники поля, можно найти формулы для преобразования Е, В. Они выглядят так:

Здесь - скорость системы отсчета К относительно системы К, преобразования записаны для компонент полей, параллельных и перпендикулярных Инвариантами этих преобразований являются скалярные величины

При с формулы преобразования полей принимают следующий упрощенный вид:

Пример 2. Магнитное поле нерелятивистской частицы. Рассмотрим частицу, которая движется относительно ИСО К с постоянной нерелятивистской скоростью V. В ИСО связанной с движущейся частицей, имеется только электрическое поле Для перехода в ИСО К надо записать формулы

преобразования Учитывая, что в нерелятивистском пределе длины отрезков не меняются, получим (для момента, когда частица проходи в К через начало координат):

При выводе этих формул было использовано равенство

Пример 3. Поляризация диэлектрика при движении в магнитном поле. При движении диэлектрика с нерелятивистской скоростью перпендикулярно линиям индукции магнитного поля происходит его поляризация. В ИСО, связанной с диэлектриком, существует поперечное электрическое поле . Характер поляризации диэлектрика зависит от его формы.

Пример 4. Электрическое поле релятивистской частицы. Рассмотрим частицу, которая движется относительно ИСО К с постоянной релятивистской скоростью V. В ИСО К связанной с движущейся частицей, имеется только электрическое поле Для перехода в ИСО К следует использовать формулы преобразования (92) с Запишем ответ для момента времени, когда частица в ИСО К проходит через начало координат, для точки, лежащей в плоскости При переходе от координат к координатам надо учесть, что (координаты точки измеряются в К одновременно с прохождением частицы через начало координат). В результате получим

Видно, что вектор Е коллинеарен вектору Однако на одном и том же расстоянии от заряда поле в точке, расположенной На линии его движения, меньше, чем в точке, расположенной на перпендикуляре к скорости. Магнитное поле в той же точке определяется выражением:

Отметим, что рассмотренное электрическое поле не является потенциальным.

Подробности Категория: Электричество и магнетизм Опубликовано 05.06.2015 20:46 Просмотров: 12184

Переменные электрическое и магнитное поля при определённых условиях могут порождать друг друга. Они образуют электромагнитное поле, которое вовсе не является их совокупностью. Это единое целое, в котором эти два поля не могут существовать друг без друга.

Из истории

Опыт датского учёного Ханса Кристиана Эрстеда, проведенный в 1821 г., показал, что электрический ток порождает магнитное поле . В свою очередь, изменяющееся магнитное поле способно порождать электрический ток . Это доказал английский физик Майкл Фарадей , открывший в 1831 г. явление электромагнитной индукции. Он же является автором термина «электромагнитное поле».

В те времена в физике была принята концепция дальнодействия Ньютона . Считалось, что все тела действуют друг на друга через пустоту с бесконечно большой скоростью (практически мгновенно) и на любом расстоянии. Предполагалось, что и электрические заряды взаимодействуют подобным образом. Фарадей же считал, что пустоты в природе не существует, а взаимодействие происходит с конечной скоростью через некую материальную среду. Этой средой для электрических зарядов является электромагнитное поле . И оно распространяется со скоростью, равной скорости света .

Теория Максвелла

Объединив результаты предыдущих исследований, английский физик Джеймс Клерк Максвелл в 1864 г. создал теорию электромагнитного поля . Согласно ей, изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, а переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. Конечно, вначале одно из полей создаётся источником зарядов или токов. Но в дальнейшем эти поля уже могут существовать независимо от таких источников, вызывая появление друг друга. То есть, электрическое и магнитное поля являются составляющими единого электромагнитного поля . И всякое изменение одного из них вызывает появление другого. Эта гипотеза составляет основу теории Максвелла. Электрическое поле, порождаемое магнитным полем, является вихревым. Его силовые линии замкнуты.

Эта теория феноменологическая. Это означает, что она создана на основе предположений и наблюдений, и не рассматривает причину, вызывающую возникновение электрических и магнитных полей.

Свойства электромагнитного поля

Электромагнитное поле - это совокупность электрического и магнитного полей, поэтому в каждой точке своего пространства оно описывается двумя основными величинами: напряжённостью электрического поля Е и индукцией магнитного поля В .

Так как электромагнитное поле представляет собой процесс превращения электрического поля в магнитное, а затем магнитного в электрическое, то его состояние постоянно меняется. Распространяясь в пространстве и времени, оно образует электромагнитные волны. В зависимости от частоты и длины эти волны разделяют на радиоволны, терагерцовое излучение, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновское и гамма-излучение .

Векторы напряжённости и индукции электромагнитного поля взаимно перпендикулярны, а плоскость в которой они лежат, перпендикулярна направлению распространения волны.

В теории дальнодействия скорость распространения электромагнитных волн считалась бесконечной большой. Однако Максвелл доказал, что это не так. В веществе электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью, которая зависит от диэлектрической и магнитной проницаемости вещества. Поэтому Теорию Максвелла называют теорией близкодействия.

Экспериментально теорию Максвелла подтвердил в 1888 г. немецкий физик Генрих Рудольф Герц. Он доказал, что электромагнитные волны существуют. Более того, он измерил скорость распространения электромагнитных волн в вакууме, которая оказалась равной скорости света.

В интегральной форме этот закон выглядит так:

Закон Гаусса для магнитного поля

Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю .

Физический смысл этого закона в том, что в природе не существует магнитных зарядов. Полюса магнита разделить невозможно. Силовые линии магнитного поля замкнуты.

Закон индукции Фарадея

Изменение магнитной индукции вызывает появление вихревого электрического поля.

Теорема о циркуляции магнитного поля

В этой теореме описаны источники магнитного пόля , а также сами поля, создаваемые ими.

Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле .

Е – напряжённость электрического поля;

Н – напряжённость магнитного поля;

В – магнитная индукция. Это векторная величина, показывающая, с какой силой магнитное поле действует на заряд величиной q, движущийся со скоростью v;

D – электрическая индукция, или электрическое смещение. Представляет собой векторную величину, равную сумме вектора напряжённости и вектора поляризации. Поляризация вызывается смещением электрических зарядов под действием внешнего электрического поля относительно их положения, когда такое поле отсутствует.

Δ – оператор Набла. Действие этого оператора на конкретное поле называют ротором этого поля.

Δ х Е = rot E

ρ - плотность стороннего электрического заряда;

j - плотность тока - величина, показывающая силу тока, протекающего через единицу площади;

с – скорость света в вакууме.

Изучением электромагнитного поля занимается наука, называемая электродинамикой . Она рассматривает его взаимодействие с телами, имеющими электрический заряд. Такое взаимодействие называется электромагнитным . Классическая электродинамика описывает только непрерывные свойства электромагнитного поля с помощью уравнений Максвелла. Современная квантовая электродинамика считает, что электромагнитное поле обладает также и дискретными (прерывными) свойствами. И такое электромагнитное взаимодействие происходит с помощью неделимых частиц-квантов, не имеющих массы и заряда. Квант электромагнитного поля называют фотоном .

Электромагнитное поле вокруг нас

Электромагнитное поле образуется вокруг любого проводника с переменным током. Источниками электромагнитных полей являются линии электропередач, электродвигатели, трансформаторы, городской электрический транспорт, железнодорожный транспорт, электрическая и электронная бытовая техника – телевизоры, компьютеры, холодильники, утюги, пылесосы, радиотелефоны, мобильные телефоны, электробритвы - словом, всё, что связано с потреблением или передачей электроэнергии. Мощные источники электромагнитных полей – телевизионные передатчики, антенны станций сотовой телефонной связи, радиолокационные станции, СВЧ-печи и др. А так как таких устройств вокруг нас довольно много, то электромагнитные поля окружают нас повсюду. Эти поля воздействуют на окружающую среду и человека. Нельзя сказать, что это влияние всегда негативное. Электрические и магнитные поля существовали вокруг человека давно, но мощность их излучения ещё несколько десятилетий назад был в сотни раз ниже нынешнего.

До определённого уровня электромагнитное излучение может быть безопасным для человека. Так, в медицине с помощью электромагнитного излучения низкой интенсивности заживляют ткани, устраняют воспалительные процессы, оказывают обезболивающее действие. Аппараты УВЧ снимают спазмы гладкой мускулатуры кишечника и желудка, улучшают обменные процессы в клетках организма, снижая тонус капилляров, понижают артериальное давление.

Но сильные электромагнитные поля вызывают сбои в работе сердечно-сосудистой, имунной, эндокринной и нервной систем человека, могут вызывать бессонницу, головные боли, стрессы. Опасность в том, что их воздействие практически незаметно для человека, а нарушения возникают постепенно.

Каким образом защититься от окружающего нас электромагнитного излучения? Полностью это сделать невозможно, поэтому нужно постараться свести к минимуму его воздействие. Прежде всего нужно расположить бытовые приборы таким образом, чтобы они находились подальше от тех мест, где мы находимся чаще всего. Например, не нужно садиться слишком близко к телевизору. Ведь чем дальше расстояние от источника электромагнитного поля, тем слабее оно становится. Очень часто мы оставляем прибор, включенным в розетку. Но электромагнитное поле исчезает, лишь когда прибор отключается от электрической сети.

Влияют на здоровье человека и естественные электромагнитные поля – космическое излучение, магнитное поле Земли.