Logaritmi: primjeri i rješenja. Logaritam - svojstva, formule, graf Osnovna svojstva logaritma

\(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)

Objasnimo to jednostavnije. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednako je potenciji na koju se mora podići \(2\) da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

Primjeri:	\(\log_(5)(25)=2\)	jer \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	jer \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma obično se piše na njegovoj razini, a baza se piše u indeksu bliže znaku logaritma. A ovaj unos glasi ovako: "logaritam od dvadeset pet na bazu pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: na koju potenciju treba podići bazu da dobijete argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koju potenciju treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očito onaj drugi. Zato:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? Koja snaga čini bilo koji broj jedan? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobilo \(\sqrt(7)\)? Prvo, svaki broj na prvu potenciju jednak je samom sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koju potenciju treba podići \(3\) da bi se dobilo \(\sqrt(3)\)? Iz znamo da je to razlomačka potencija, što znači da je kvadratni korijen potencija od \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Riješenje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Moramo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga kao x. Sada upotrijebimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Lijeva desna strelica\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Što povezuje \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer oba broja mogu biti predstavljena dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		S lijeve strane koristimo svojstva stupnja: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Baze su jednake, prelazimo na jednakost pokazatelja
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe s \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovor : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednadžbu: \(3^(x)=9\). Samo spojite \(x\) da jednakost funkcionira. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednadžbu: \(3^(x)=8\). Čemu je jednako x? To je bit.

Najpametniji će reći: “X je malo manje od dva.” Kako točno napisati ovaj broj? Da bi se odgovorilo na ovo pitanje, izumljen je logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim naglasiti da \(\log_(3)(8)\), poput svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratko. Jer da ga želimo napisati kao decimalu, izgledalo bi ovako: \(1,892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednadžbu \(4^(5x-4)=10\)

Riješenje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) ne mogu se dovesti u istu bazu. To znači da ne možete bez logaritma. Upotrijebimo definiciju logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenimo jednadžbu tako da X bude s lijeve strane
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prije nas. Pomaknimo \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao običan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednadžbu s 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovo je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali oni ne biraju odgovor.

Odgovor : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koji pozitivan broj osim jedan \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama postoje dvije koje se javljaju toliko često da je za logaritme s njima izmišljen poseban kratki zapis:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam se piše kao \(\ln(a)\).

To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše \(\lg(a)\).

To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove “Osnovni logaritamski identitet” i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo izravno proizlazi iz definicije. Pogledajmo kako je točno nastala ova formula.

Prisjetimo se kratke oznake definicije logaritma:

ako \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Odnosno, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\). Ispalo je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Možete pronaći i druga svojstva logaritama. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Riješenje :

Odgovor : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. Vrijedi i obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada umjesto dva možete napisati \(\log_(2)(4)\).

Ali \(\log_(3)(9)\) također je jednako \(2\), što znači da možemo pisati i \(2=\log_(3)(9)\) . Isto tako s \(\log_(5)(25)\), i s \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispada

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Prema tome, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (bilo u jednadžbi, izrazu ili nejednadžbi) - jednostavno zapišemo kvadrat baze kao argument.

Isto je i s trojkom – može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \)... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

I s jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite značenje izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Riješenje :

Odgovor : \(1\)

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: log a x i log a g. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

log a x+ log a g=log a (x · g);
log a x− trupac a g=log a (x : g).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je jednaka logaritmu kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne rade!

Ove formule pomoći će vam izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju “Što je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:

Log 6 4 + log 6 9.

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez gotovo ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:
[Natpis za sliku]

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

[Natpis za sliku]

Mislim da posljednji primjer zahtijeva malo pojašnjenja. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je zadan log logaritma a x. Zatim za bilo koji broj c takav da c> 0 i c≠ 1, vrijedi jednakost:
[Natpis za sliku]
Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:
[Natpis za sliku]

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

[Natpis za sliku]

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

[Natpis za sliku]

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

[Natpis za sliku]

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje pokazatelj stupnja stajališta u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. To je ono što se zove: osnovni logaritamski identitet.

Zapravo, što će se dogoditi ako broj b podići na takvu snagu da broj b ovoj moći daje broj a? Tako je: dobivate isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:
[Natpis za sliku]

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

[Natpis za sliku]

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - prije su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i “naprednim” učenicima.

log a a= 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam prema bilo kojoj bazi a iz ove same baze jednako je jedan.
log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Jer a 0 = 1 izravna je posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Slijedi iz njegove definicije. I tako logaritam broja b na temelju A definira se kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije proizlazi da je izračun x=log a b, ekvivalentno je rješavanju jednadžbe a x =b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućuje opravdanje da ako b=a c, zatim logaritam broja b na temelju a jednaki S. Također je jasno da je tema logaritma usko povezana s temom potencije broja.

S logaritmima, kao i sa svim brojevima, možete operacije zbrajanja, oduzimanja i transformirati na svaki mogući način. Ali zbog činjenice da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede svoja posebna pravila, koja se nazivaju glavna svojstva.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama.

Uzmimo dva logaritma s istim bazama: log a x I prijavite se. Tada je moguće izvoditi operacije zbrajanja i oduzimanja:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

Iz teorem o logaritamskom kvocijentu Može se dobiti još jedno svojstvo logaritma. Opće je poznato da log a 1 = 0, dakle

log a 1 /b=log a 1 - log a b= -log a b.

To znači da postoji jednakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi dva recipročna broja iz istog razloga međusobno će se razlikovati isključivo predznakom. Tako:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Nastavljamo proučavati logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o računanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo razumjeti izračun logaritama po definiciji. Zatim, pogledajmo kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga, usredotočit ćemo se na izračunavanje logaritama kroz početno navedene vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, naučimo kako koristiti logaritamske tablice. Cjelokupna teorija je opremljena primjerima s detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Računanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima to je moguće izvesti vrlo brzo i jednostavno nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo pobliže kako se taj proces odvija.

Njegova suština je predstaviti broj b u obliku a c, iz kojeg je, po definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, sljedeći lanac jednakosti odgovara pronalaženju logaritma: log a b=log a a c =c.

Dakle, izračunavanje logaritma po definiciji se svodi na pronalaženje broja c tako da je a c = b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

Uzimajući u obzir informacije iz prethodnih odlomaka, kada je broj ispod znaka logaritma dan određenom potencijom baze logaritma, možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Pokažimo rješenja na primjerima.

Primjer.

Nađite log 2 2 −3, a također izračunajte prirodni logaritam broja e 5,3.

Riješenje.

Definicija logaritma nam omogućuje da odmah kažemo da je log 2 2 −3 =−3. Zaista, broj ispod znaka logaritma jednak je bazi 2 na −3 potenciju.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5,3 =5,3.

Odgovor:

log 2 2 −3 =−3 i lne 5,3 =5,3.

Ako broj b ispod znaka logaritma nije naveden kao potencija baze logaritma, tada morate pažljivo pogledati je li moguće doći do prikaza broja b u obliku a c . Često je ovaj prikaz prilično očigledan, pogotovo kada je broj ispod znaka logaritma jednak bazi na potenciju 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Riješenje.

Lako je vidjeti da je 25=5 2, što vam omogućuje izračunavanje prvog logaritma: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Prijeđimo na računanje drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao potencija broja 7: (pogledajte ako je potrebno). Stoga, .

Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti , iz čega zaključujemo da . Prema tome, po definiciji logaritma .

Ukratko bi se rješenje moglo napisati na sljedeći način: .

Odgovor:

log 5 25=2 , I .

Kad se pod znakom logaritma nalazi dovoljno velik prirodan broj, nije na odmet rastaviti ga na proste faktore. Često pomaže predstaviti takav broj kao neku potenciju baze logaritma i stoga izračunati taj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Riješenje.

Neka svojstva logaritama omogućuju vam da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma od jedan i svojstvo logaritma od broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1. Odnosno, kada ispod znaka logaritma stoji broj 1 ili broj a jednak osnovici logaritma, tada su u tim slučajevima logaritmi jednaki 0 odnosno 1.

Primjer.

Čemu su jednaki logaritmi i log10?

Riješenje.

Budući da , onda iz definicije logaritma slijedi .

U drugom primjeru broj 10 ispod znaka logaritma poklapa se sa svojom bazom, pa je decimalni logaritam desetice jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1.

Odgovor:

I lg10=1 .

Imajte na umu da izračun logaritama po definiciji (o čemu smo raspravljali u prethodnom paragrafu) podrazumijeva korištenje jednakosti log a a p =p, što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako predstavi kao potencija određenog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu , što odgovara jednom od svojstava logaritama. Pogledajmo primjer pronalaženja logaritma koji ilustrira korištenje ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam.

Riješenje.

Odgovor:

Svojstva logaritama koja nisu gore spomenuta također se koriste u izračunima, ali o tome ćemo govoriti u sljedećim paragrafima.

Pronalaženje logaritama preko drugih poznatih logaritama

Informacije u ovom odlomku nastavljaju temu korištenja svojstava logaritama pri njihovom izračunavanju. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritama koriste za izražavanje izvornog logaritma u smislu drugog logaritma, čija je vrijednost poznata. Navedimo primjer radi pojašnjenja. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963, tada možemo pronaći, na primjer, log 2 6 radeći malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma umnoška. Međutim, puno je češće potrebno koristiti širi arsenal svojstava logaritama kako bi se preko zadanih izračunao izvorni logaritam.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 na bazu 60 ako znate da je log 60 2=a i log 60 5=b.

Riješenje.

Dakle, moramo pronaći dnevnik 60 27 . Lako je vidjeti da je 27 = 3 3 , a izvorni logaritam, zbog svojstva logaritma potencije, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Pogledajmo sada kako izraziti log 60 3 kroz poznate logaritme. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućuje nam da zapisujemo log jednakosti 60 60=1. S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Tako, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stoga, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Na kraju izračunavamo izvorni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Odgovor:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Zasebno je vrijedno spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prijelaz s logaritama s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se od izvornog logaritma, koristeći formulu prijelaza, prelazi na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za te baze postoje tablice logaritama koje omogućuju izračunavanje njihovih vrijednosti s određenim stupnjem točnost. U sljedećem paragrafu pokazat ćemo kako se to radi.

Logaritamske tablice i njihova upotreba

Za približan izračun mogu se koristiti vrijednosti logaritma logaritamske tablice. Najčešće korištena tablica logaritma baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sustavu, zgodno je koristiti tablicu logaritama temeljenu na bazi deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tablica omogućuje vam da pronađete vrijednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (s tri decimalna mjesta) s točnošću od jedne desettisućinke. Analizirat ćemo princip pronalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama na konkretnom primjeru - ovako je jasnije. Pronađimo log1.256.

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije znamenke broja 1,256, odnosno nalazimo 1,2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treća znamenka broja 1.256 (znamenka 5) nalazi se u prvom ili zadnjem retku lijevo od dvostrukog retka (taj je broj zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka izvornog broja 1.256 (znamenka 6) nalazi se u prvom ili zadnjem retku desno od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen zelenom crtom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama logaritamske tablice na sjecištu označenog retka i označenih stupaca (ovi su brojevi označeni narančastom bojom). Zbroj označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma točno do četvrte decimale, tj. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je li moguće pomoću gornje tablice pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalne točke, kao i onih koji izlaze iz raspona od 1 do 9,999? Da, možete. Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Izračunajmo lg102,76332. Prvo morate zapisati broj u standardnom obliku: 102,76332=1,0276332·10 2. Nakon toga mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, dok je izvorni decimalni logaritam približno jednak logaritmu dobivenog broja, odnosno uzimamo log102,76332≈lg1,028·10 2. Sada primjenjujemo svojstva logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Konačno, nalazimo vrijednost logaritma lg1,028 iz tablice decimalnih logaritama lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kao rezultat toga, cijeli postupak izračuna logaritma izgleda ovako: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Zaključno, vrijedi napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je upotrijebiti formulu prijelaza za odlazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale izračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma imamo . Iz tablice decimalnih logaritama nalazimo log3≈0,4771 i log2≈0,3010. Tako, .

Bibliografija.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).

Daju se osnovna svojstva logaritma, graf logaritma, domena definiranja, skup vrijednosti, osnovne formule, rastuće i opadajuće. Razmatra se nalaženje izvoda logaritma. Kao i integral, ekspanzija u potencijski niz i reprezentacija pomoću kompleksnih brojeva.

Sadržaj

Domena, skup vrijednosti, rastuće, opadajuće

Logaritam je monotona funkcija, pa nema ekstrema. Glavna svojstva logaritma prikazana su u tablici.


Domena	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Raspon vrijednosti	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotonija	monotono raste	monotono opada
Nule, y = 0	x = 1	x = 1
Točke presjeka s osi ordinata, x = 0	Ne	Ne
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privatne vrijednosti

Logaritam s bazom 10 naziva se decimalni logaritam i označava se na sljedeći način:

Logaritam prema bazi e nazvao prirodni logaritam:

Osnovne formule za logaritme

Svojstva logaritma koja proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice

Formula za zamjenu baze

Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kod logaritmiranja umnošci faktora pretvaraju se u zbroje članova.
Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Tijekom potenciranja, dana baza se podiže na stupanj ekspresije nad kojim se vrši potenciranje. U tom se slučaju zbrojevi članova pretvaraju u umnoške faktora.

Dokaz osnovnih formula za logaritme

Formule vezane uz logaritme slijede iz formula za eksponencijalne funkcije i iz definicije inverzne funkcije.

Razmotrimo svojstvo eksponencijalne funkcije
.
Zatim
.
Primijenimo svojstvo eksponencijalne funkcije
:
.

Dokažimo formulu zamjene baze.
;
.
Uz pretpostavku c = b, imamo:

Inverzna funkcija

Inverz logaritma s bazom a je eksponencijalna funkcija s eksponentom a.

Ako tada

Derivacija logaritma

Derivacija logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Da bismo pronašli izvod logaritma, on se mora svesti na bazu e.
;
.

Sastavni

Integral logaritma izračunava se integriranjem po dijelovima: .
Tako,

Izrazi koji koriste složene brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
.
Izrazimo kompleksan broj z preko modula r i argument φ :
.
Tada, koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Ili

Međutim, argument φ nije jedinstveno definiran. Ako stavite
, gdje je n cijeli broj,
onda će to biti isti broj za različite n.

Stoga logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije funkcija s jednom vrijednošću.

Proširenje niza potencija

Kada dođe do ekspanzije:

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

Vidi također: