Ostrogradov Gaussov teorem za vektor električne indukcije. Ostrogradsky–Gaussov teorem

Cilj sata: Ostrogradski–Gaussov teorem postavio je ruski matematičar i mehaničar Mihail Vasiljevič Ostrogradski u obliku općeg matematičkog teorema i njemački matematičar Carl Friedrich Gauss. Ovaj se teorem može koristiti pri proučavanju fizike na specijaliziranoj razini, budući da omogućuje racionalnije izračune električnih polja.

Vektor električne indukcije

Da bi se izveo Ostrogradsky-Gaussov teorem, potrebno je uvesti tako važne pomoćne koncepte kao što su vektor električne indukcije i tok ovog vektora F.

Poznato je da se elektrostatsko polje često prikazuje pomoću linija sile. Pretpostavimo da smo odredili napetost u točki koja se nalazi na granici između dva medija: zraka (=1) i vode (=81). U ovom trenutku, pri prelasku iz zraka u vodu, jakost električnog polja prema formuli smanjit će se za 81 puta. Ako zanemarimo vodljivost vode, tada će se za isto toliko smanjiti i broj linija sile. Pri rješavanju različitih problema proračuna polja, zbog diskontinuiteta vektora napona na granici između medija i na dielektriku, stvaraju se određene neugodnosti. Da bi ih se izbjeglo, uvodi se novi vektor koji se naziva vektor električne indukcije:

Vektor električne indukcije jednak je umnošku vektora i električne konstante i dielektrične konstante medija u određenoj točki.

Očito je da se pri prolasku kroz granicu dvaju dielektrika broj linija električne indukcije ne mijenja za polje točkastog naboja (1).

U SI sustavu vektor električne indukcije mjeri se u kulonima po kvadratnom metru (C/m2). Izraz (1) pokazuje da brojčana vrijednost vektora ne ovisi o svojstvima medija. Vektorsko polje se grafički prikazuje slično kao i polje intenziteta (npr. za točkasti naboj vidi sl. 1). Za vektorsko polje vrijedi princip superpozicije:

Tok električne indukcije

Vektor električne indukcije karakterizira električno polje u svakoj točki prostora. Možete uvesti drugu količinu koja ovisi o vrijednostima vektora ne u jednoj točki, već u svim točkama površine ograničene ravnom zatvorenom konturom.

Da bismo to učinili, razmotrimo ravni zatvoreni vodič (strujni krug) s površinom S, smješten u jednolično električno polje. Normala na ravninu vodiča zaklapa kut sa smjerom vektora električne indukcije (slika 2).

Protok električne indukcije kroz površinu S je veličina jednaka umnošku modula vektora indukcije s površinom S i kosinusa kuta između vektora i normale:

Derivacija Ostrogradsky–Gaussovog teorema

Ovaj teorem nam omogućuje da pronađemo tok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu unutar koje se nalaze električni naboji.

Neka se najprije jedan točkasti naboj q nalazi u središtu kugle proizvoljnog radijusa r 1 (slika 3). Zatim ; . Izračunajmo ukupni tok indukcije koji prolazi cijelom površinom ove kugle: ; (). Ako uzmemo sferu polumjera , tada je i F = q. Ako nacrtamo sferu koja ne pokriva naboj q, tada je ukupni tok F = 0 (budući da će svaka linija ući u površinu i izaći iz nje drugi put).

Dakle, F = q ako se naboj nalazi unutar zatvorene površine i F = 0 ako se naboj nalazi izvan zatvorene površine. Protok F ne ovisi o obliku plohe. Također je neovisan o rasporedu naboja unutar površine. To znači da dobiveni rezultat vrijedi ne samo za jedan naboj, već i za bilo koji broj proizvoljno lociranih naboja, ako samo pod q mislimo na algebarski zbroj svih naboja koji se nalaze unutar površine.

Gaussov teorem: tok električne indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju svih naboja koji se nalaze unutar površine: .

Iz formule je jasno da je dimenzija električnog toka jednaka dimenziji električnog naboja. Stoga je jedinica toka električne indukcije kulon (C).

Napomena: ako je polje neuniformno i površina kroz koju se određuje tok nije ravnina, tada se ta površina može podijeliti na infinitezimalne elemente ds i svaki element se može smatrati ravnim, a polje u njegovoj blizini jednolikim. Stoga, za bilo koje električno polje, tok vektora električne indukcije kroz površinski element je: dF=. Kao rezultat integracije, ukupni tok kroz zatvorenu površinu S u bilo kojem nehomogenom električnom polju jednak je: , gdje je q algebarski zbroj svih naboja okruženih zatvorenom površinom S. Izrazimo posljednju jednadžbu preko jakosti električnog polja (za vakuum): .

Ovo je jedna od Maxwellovih temeljnih jednadžbi za elektromagnetsko polje, zapisana u integralnom obliku. Pokazuje da su izvor vremenski konstantnog električnog polja stacionarni električni naboji.

Primjena Gaussovog teorema

Polje kontinuirano raspodijeljenih naboja

Odredimo sada jakost polja za nekoliko slučajeva koristeći Ostrogradsky-Gaussov teorem.

1. Električno polje jednoliko nabijene sferne površine.

Kugla polumjera R. Neka je naboj +q jednoliko raspoređen po sfernoj površini polumjera R. Raspodjela naboja po površini karakterizirana je gustoćom površinskog naboja (slika 4). Gustoća površinskog naboja je omjer naboja i površine na kojoj je raspoređen. . U SI.

Odredimo jakost polja:

a) izvan sferne površine,
b) unutar sferne površine.

a) Uzmite točku A, koja se nalazi na udaljenosti r>R od središta nabijene sferne površine. Nacrtajmo u mislima kroz nju sfernu plohu S polumjera r, koja ima zajedničko središte s nabijenom sfernom plohom. Iz razmatranja simetrije očito je da su silnice radijalne linije okomite na plohu S i jednoliko prodiru ovu plohu, tj. napetost u svim točkama ove površine je konstantne veličine. Primijenimo Ostrogradsky-Gaussov teorem na ovu sfernu površinu S radijusa r. Stoga je ukupni tok kroz sferu N = E? S; N=E. Na drugoj strani . Izjednačavamo: . Dakle: za r>R.

Dakle: napetost koju stvara jednoliko nabijena kuglasta površina izvan nje jednaka je kao da je cijeli naboj u njezinu središtu (sl. 5).

b) Odredimo jakost polja u točkama koje leže unutar nabijene sferne površine. Uzmimo točku B udaljenu od središta sfere . Tada je E = 0 na r

2. Jakost polja jednoliko nabijene beskonačne ravnine

Razmotrimo električno polje koje stvara beskonačna ravnina, nabijena konstantnom gustoćom u svim točkama ravnine. Zbog simetrije možemo pretpostaviti da su zatezne linije okomite na ravninu i usmjerene od nje u oba smjera (slika 6).

Odaberimo točku A koja leži desno od ravnine i izračunajmo u ovoj točki koristeći Ostrogradsky-Gaussov teorem. Kao zatvorenu plohu odaberemo cilindričnu plohu tako da je bočna ploha valjka paralelna sa silnicama, a njegova baza paralelna s ravninom i baza prolazi točkom A (slika 7). Izračunajmo tok napetosti kroz razmatranu cilindričnu površinu. Tok kroz bočnu plohu je 0, jer linije napetosti su paralelne s bočnom površinom. Tada se ukupni tok sastoji od tokova i koji prolaze kroz baze cilindra i . Oba ova toka su pozitivna =+; =; =; ==; N=2.

– presjek ravnine koji leži unutar odabrane cilindrične površine. Naboj unutar ove površine je q.

Zatim ; – može se uzeti kao točkasti naboj) s točkom A. Za pronalaženje ukupnog polja potrebno je geometrijski zbrojiti sva polja koja stvara svaki element: ; .

Zakon međudjelovanja električnih naboja - Coulombov zakon - može se drugačije formulirati, u obliku tzv. Gaussovog teorema. Gaussov teorem je dobiven kao posljedica Coulombovog zakona i principa superpozicije. Dokaz se temelji na obrnutoj proporcionalnosti sile međudjelovanja dva točkasta naboja s kvadratom udaljenosti između njih. Stoga je Gaussov teorem primjenjiv na bilo koje fizičko polje u kojem vrijede zakon inverznog kvadrata i princip superpozicije, na primjer, na gravitacijsko polje.

Riža. 9. Pravci jakosti električnog polja točkastog naboja koji sijeku zatvorenu plohu X

Da bismo formulirali Gaussov teorem, vratimo se na sliku silnica električnog polja stacionarnog točkastog naboja. Linije polja usamljenog točkastog naboja su simetrično smještene radijalne ravne linije (slika 7). Možete nacrtati bilo koji broj takvih linija. Označimo njihov ukupni broj s Tada je gustoća linija polja na udaljenosti od naboja, tj. broj linija koje sijeku jediničnu površinu kugle polumjera jednaka Uspoređujući ovaj odnos s izrazom za jakost polja naboja točkasti naboj (4), vidimo da je gustoća linija proporcionalna jakosti polja. Ove količine možemo numerički izjednačiti pravilnim odabirom ukupnog broja linija polja N:

Dakle, površina kugle bilo kojeg polumjera koja obuhvaća točkasti naboj siječe isti broj linija sile. To znači da su linije sile kontinuirane: u intervalu između bilo koje dvije koncentrične sfere različitih radijusa niti jedna linija nije prekinuta niti su dodane nove. Budući da su linije polja kontinuirane, isti broj linija polja siječe bilo koju zatvorenu površinu (slika 9) koja pokriva naboj

Linije sile imaju smjer. U slučaju pozitivnog naboja, oni izlaze iz zatvorene površine koja okružuje naboj, kao što je prikazano na sl. 9. U slučaju negativnog naboja idu unutar površine. Ako se broj izlaznih linija smatra pozitivnim, a broj ulaznih linija negativnim, tada u formuli (8) možemo izostaviti predznak modula naboja i napisati ga u obliku

Tijek napetosti. Uvedimo sada koncept protoka vektora jakosti polja kroz površinu. Proizvoljno polje može se mentalno podijeliti na mala područja u kojima se intenzitet mijenja u veličini i smjeru tako malo da se unutar tog područja polje može smatrati uniformnim. U svakom takvom području, linije sile su paralelne ravne linije i imaju konstantnu gustoću.

Riža. 10. Odrediti tok vektora jakosti polja kroz mjesto

Promotrimo koliko linija sile prodire kroz malo područje, smjer normale na koji sa smjerom linija napetosti tvori kut a (slika 10). Neka je projekcija na ravninu okomitu na silnice. Budući da je broj vodova koji se križaju isti, a gustoća vodova, prema prihvaćenom uvjetu, jednaka modulu jakosti polja E, tada

Vrijednost a je projekcija vektora E na pravac normale na mjesto

Stoga je broj dalekovoda koji prelaze to područje jednak

Umnožak se naziva tok jakosti polja kroz površinu. Formula (10) pokazuje da je tok vektora E kroz površinu jednak broju linija polja koje sijeku tu površinu. Imajte na umu da je tok vektora intenziteta, kao i broj linija polja koje prolaze kroz površinu, skalar.

Riža. 11. Tok vektora napetosti E kroz mjesto

Ovisnost protoka o orijentaciji mjesta u odnosu na linije sile ilustrirana je na sl.

Tok jakosti polja kroz proizvoljnu površinu zbroj je tokova kroz elementarna područja na koja se ta površina može podijeliti. Na temelju relacija (9) i (10), može se reći da tok jakosti polja točkastog naboja kroz bilo koju zatvorenu površinu 2 koja obavija naboj (vidi sliku 9), kao broj linija polja koje izlaze iz ova površina je jednaka U ovom slučaju, normalni vektor na elementarne površine zatvorene površine treba biti usmjeren prema van. Ako je naboj unutar površine negativan, tada linije polja ulaze unutar te površine i tok vektora jakosti polja povezan s nabojem je također negativan.

Ako unutar zatvorene površine postoji više naboja, tada će se u skladu s načelom superpozicije tokovi njihovih jakosti polja zbrajati. Ukupni tok bit će jednak gdje se pod treba shvatiti kao algebarski zbroj svih naboja smještenih unutar površine.

Ako unutar zatvorene površine nema električnih naboja ili je njihov algebarski zbroj jednak nuli, tada je ukupni tok jakosti polja kroz tu površinu jednak nuli: koliko linija sile ulazi u volumen omeđen površinom, toliko ih izlazi van.

Sada konačno možemo formulirati Gaussov teorem: tok vektora jakosti električnog polja E u vakuumu kroz bilo koju zatvorenu površinu proporcionalan je ukupnom naboju unutar te površine. Matematički, Gaussov teorem izražava se istom formulom (9), gdje se pod misli na algebarski zbroj naboja. U apsolutnom elektrostatičkom

u SGSE sustavu jedinica koeficijent i Gaussov teorem zapisani su u obliku

U SI i tok napetosti kroz zatvorenu površinu izražava se formulom

Gaussov teorem ima široku primjenu u elektrostatici. U nekim slučajevima može se koristiti za jednostavno izračunavanje polja stvorenih simetrično smještenim nabojima.

Polja simetričnih izvora. Primijenimo Gaussov teorem da izračunamo intenzitet električnog polja jednoliko nabijenog na površini kuglice polumjera . Definitivno ćemo pretpostaviti da je njegov naboj pozitivan. Raspodjela naboja koji stvaraju polje ima sfernu simetriju. Stoga i polje ima istu simetriju. Silnice takvog polja usmjerene su duž polumjera, a modul intenziteta je isti u svim točkama jednako udaljenim od središta lopte.

Da bismo pronašli jakost polja na udaljenosti od središta lopte, nacrtajmo u mislima sfernu površinu polumjera koncentričnu s loptom. Budući da je u svim točkama te kugle jakost polja usmjerena okomito na njezinu površinu i jednaka je isti u apsolutnoj vrijednosti, protok intenziteta jednostavno je jednak umnošku jakosti polja i površine kugle:

Ali ova se količina također može izraziti pomoću Gaussovog teorema. Ako nas zanima polje izvan lopte, tj. tada, na primjer, u SI i, uspoređujući s (13), nalazimo

U sustavu jedinica SGSE, očito,

Dakle, izvan lopte, jakost polja je ista kao kod točkastog naboja smještenog u središtu lopte. Ako nas zanima polje unutar lopte, tj. budući da se cijeli naboj raspoređen po površini lopte nalazi izvan sfere koju smo mentalno nacrtali. Dakle, unutar lopte nema polja:

Slično, koristeći Gaussov teorem, može se izračunati elektrostatičko polje stvoreno beskonačno nabijenim

ravnina s konstantnom gustoćom u svim točkama ravnine. Zbog simetrije možemo pretpostaviti da su silnice okomite na ravninu, usmjerene od nje u oba smjera i posvuda imaju jednaku gustoću. Doista, ako je gustoća linija polja u različitim točkama različita, tada bi pomicanje nabijene ravnine duž same sebe dovelo do promjene polja u tim točkama, što je u suprotnosti sa simetrijom sustava - takav pomak ne bi trebao promijeniti polje. Drugim riječima, polje beskonačne jednoliko nabijene ravnine je jednoliko.

Kao zatvorenu plohu za primjenu Gaussovog teorema odaberemo plohu valjka konstruiranu na sljedeći način: generatrisa cilindra je paralelna sa silnicama, a baze imaju površine paralelne s nabijenom ravninom i leže na suprotnim stranama od nje. (slika 12). Tok jakosti polja kroz bočnu plohu jednak je nuli, pa je ukupni fluks kroz zatvorenu plohu jednak zbroju fluksova kroz baze cilindra:

Riža. 12. Prema proračunu jakosti polja jednoliko nabijene ravnine

Prema Gaussovoj teoremi, isti tok je određen nabojem onog dijela ravnine koji leži unutar cilindra, au SI je jednak Uspoređujući ove izraze za tok, nalazimo

U SGSE sustavu jakost polja jednoliko nabijene beskonačne ravnine dana je formulom

Za jednoliko nabijenu ploču konačnih dimenzija dobiveni izrazi približno vrijede u području koje se nalazi dovoljno daleko od rubova ploče i ne previše daleko od njezine površine. U blizini rubova ploče, polje više neće biti uniformno i njegove će linije polja biti savijene. Na vrlo velikim udaljenostima u usporedbi s veličinom ploče, polje opada s udaljenošću na isti način kao i polje točkastog naboja.

Drugi primjeri polja stvorenih simetrično raspodijeljenim izvorima uključuju polje jednoliko nabijenog po duljini beskonačne pravocrtne niti, polje jednoliko nabijenog beskonačnog kružnog cilindra, polje lopte,

jednoliko nabijen po cijelom volumenu itd. Gaussov teorem omogućuje jednostavno izračunavanje jakosti polja u svim tim slučajevima.

Gaussov teorem daje odnos između polja i njegovih izvora, na neki način suprotan onome koji daje Coulombov zakon, koji omogućuje određivanje električnog polja iz zadanih naboja. Koristeći Gaussov teorem, možete odrediti ukupni naboj u bilo kojem području prostora u kojem je poznata distribucija električnog polja.

Koja je razlika između pojmova dugodometnog i kratkodometnog djelovanja pri opisivanju međudjelovanja električnih naboja? U kojoj se mjeri ovi koncepti mogu primijeniti na gravitacijske interakcije?

Što je jakost električnog polja? Što znače kada se naziva karakteristika sile električnog polja?

Kako se može procijeniti smjer i veličina jakosti polja u određenoj točki iz uzorka linija polja?

Mogu li se silnice električnog polja sijeći? Navedite razloge za svoj odgovor.

Nacrtajte kvalitativnu sliku linija elektrostatskog polja dvaju naboja tako da je .

Tijek jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu izražava se različitim formulama (11) i (12) u jedinicama GSE i SI. Kako se to može pomiriti s geometrijskim značenjem protoka, određenim brojem linija sila koje prelaze površinu?

Kako upotrijebiti Gaussov teorem za pronalaženje jakosti električnog polja kada su naboji koji ga stvaraju simetrično raspoređeni?

Kako primijeniti formule (14) i (15) za izračunavanje jakosti polja kuglice s negativnim nabojem?

Gaussov teorem i geometrija fizičkog prostora. Pogledajmo dokaz Gaussovog teorema s malo drugačijeg gledišta. Vratimo se na formulu (7) iz koje je zaključeno da kroz bilo koju sfernu površinu koja okružuje naboj prolazi isti broj linija sile. Ovaj zaključak proizlazi iz činjenice da dolazi do smanjenja nazivnika obje strane jednakosti.

S desne strane nastao je zbog činjenice da je sila međudjelovanja između naboja, opisana Coulombovim zakonom, obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između naboja. S lijeve strane, izgled je povezan s geometrijom: površina sfere proporcionalna je kvadratu njezina radijusa.

Proporcionalnost površine prema kvadratu linearnih dimenzija obilježje je euklidske geometrije u trodimenzionalnom prostoru. Doista, proporcionalnost površina upravo s kvadratima linearnih dimenzija, a ne s bilo kojim drugim cijelim stupnjem, svojstvena je prostoru

tri dimenzije. Činjenica da je taj eksponent točno jednak dva, a ne razlikuje se od dva, čak ni za zanemarivo malo, ukazuje da ovaj trodimenzionalni prostor nije zakrivljen, odnosno da je njegova geometrija upravo euklidska.

Dakle, Gaussov teorem je manifestacija svojstava fizičkog prostora u temeljnom zakonu međudjelovanja električnih naboja.

Ideju o bliskoj povezanosti temeljnih zakona fizike i svojstava prostora izrazili su mnogi izvanredni umovi davno prije nego što su sami ti zakoni uspostavljeni. Tako je I. Kant, tri desetljeća prije otkrića Coulombova zakona, o svojstvima prostora napisao: “Trodimenzionalnost nastaje, očito, zato što tvari u postojećem svijetu djeluju jedna na drugu tako da je sila djelovanja obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti.”

Coulombov zakon i Gaussov teorem zapravo predstavljaju isti zakon prirode izražen u različitim oblicima. Coulombov zakon odražava koncept dugodometnog djelovanja, dok Gaussov teorem proizlazi iz ideje polja sile koja ispunjava prostor, odnosno iz koncepta kratkodometnog djelovanja. U elektrostatici, izvor polja sile je naboj, a karakteristika polja povezana s izvorom - tok intenziteta - ne može se promijeniti u praznom prostoru gdje nema drugih naboja. Budući da se tok vizualno može zamisliti kao skup linija polja, nepromjenjivost toka se očituje u kontinuitetu tih linija.

Gaussov teorem, koji se temelji na obrnutoj proporcionalnosti međudjelovanja kvadratu udaljenosti i na principu superpozicije (aditivnosti međudjelovanja), primjenjiv je na svako fizičko polje u kojem djeluje obrnuti kvadratni zakon. To posebno vrijedi i za gravitacijsko polje. Jasno je da to nije samo slučajnost, već odraz činjenice da se i električna i gravitacijska interakcija odvijaju u trodimenzionalnom euklidskom fizičkom prostoru.

Na kojem se obilježju zakona međudjelovanja električnih naboja temelji Gaussov teorem?

Dokažite na temelju Gaussovog teorema da je jakost električnog polja točkastog naboja obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti. Koja se svojstva prostorne simetrije koriste u ovom dokazu?

Kako se geometrija fizičkog prostora odražava u Coulombovom zakonu i Gaussovom teoremu? Koje obilježje ovih zakona ukazuje na euklidsku prirodu geometrije i trodimenzionalnost fizičkog prostora?

Glavni primijenjeni zadatak elektrostatike je proračun električnih polja stvorenih u raznim uređajima i uređajima. Općenito, ovaj problem se rješava pomoću Coulombovog zakona i principa superpozicije. Međutim, ovaj zadatak postaje vrlo kompliciran kada se razmatra veliki broj točkastih ili prostorno raspoređenih naboja. Još veće poteškoće nastaju kada u prostoru postoje dielektrici ili vodiči, kada pod utjecajem vanjskog polja E 0 dolazi do preraspodjele mikroskopskih naboja, stvarajući vlastito dodatno polje E. Stoga, za praktično rješavanje ovih problema, pomoćne metode i tehnike su koji koriste složeni matematički aparat. Razmotrit ćemo najjednostavniju metodu koja se temelji na primjeni Ostrogradsky–Gaussovog teorema. Da bismo formulirali ovaj teorem, uvodimo nekoliko novih pojmova:

A) gustoća naboja

Ako je nabijeno tijelo veliko, tada morate znati raspodjelu naboja unutar tijela.

Volumna gustoća naboja– mjereno nabojem po jedinici volumena:

Gustoća površinskog naboja– mjereno nabojem po jedinici površine tijela (kada je naboj raspoređen po površini):

Linearna gustoća naboja(raspodjela naboja duž vodiča):

b) vektor elektrostatske indukcije

Vektor elektrostatske indukcije (vektor električnog pomaka) je vektorska veličina koja karakterizira električno polje.

Vektor jednak umnošku vektora o apsolutnoj dielektričnoj konstanti medija u danoj točki:

Provjerimo dimenziju D u SI jedinicama:

, jer
,

tada se dimenzije D i E ne podudaraju, a njihove numeričke vrijednosti su također različite.

Iz definicije slijedi da za vektorsko polje vrijedi isti princip superpozicije kao i za polje :

Polje grafički prikazano indukcijskim linijama, baš kao i polje . Indukcijske crte povlače se tako da se tangenta u svakoj točki poklapa s pravcem , a broj linija jednak je numeričkoj vrijednosti D na danoj lokaciji.

Da bismo razumjeli smisao uvoda Pogledajmo primjer.

	ε> 1	Na granici šupljine s dielektrikom koncentrirani su pridruženi negativni naboji i Polje se smanjuje za faktor  i gustoća se naglo smanjuje.
Za isti slučaj: D = Eεε 0	, zatim: linije nastaviti kontinuirano. Linije započeti uz besplatne naknade (na na bilo kojem - vezanom ili slobodnom), a na dielektričnoj granici njihova gustoća ostaje nepromijenjena. Tako– kontinuitet indukcijskih linija uvelike olakšava proračun , i poznavanje veze S možete pronaći vektor .

V) vektorski tok elektrostatske indukcije

Promotrite plohu S u električnom polju i odaberite smjer normale

1. Ako je polje uniformno, tada je broj linija polja kroz površinu S:

2. Ako je polje neuniformno, tada se ploha dijeli na infinitezimalne elemente dS, koji se smatraju ravnima i polje oko njih je jednoliko. Dakle, tok kroz površinski element je: dN = D n dS,

a ukupni protok kroz bilo koju površinu je:

(6)

Indukcijski tok N je skalarna veličina; ovisno o  može biti > 0 ili< 0, или = 0.

Vektorski tok jakosti električnog polja. Neka mala platforma DS(Sl. 1.2) sijeku silnice električnog polja čiji je smjer s normalom n kut na ovu stranicu a. Uz pretpostavku da vektor napetosti E ne mijenja unutar stranice DS, definirajmo protok vektora napetosti kroz platformu DS Kako

DFE =E DS cos a.(1.3)

Budući da je gustoća vodova jednaka brojčanoj vrijednosti napetosti E, zatim broj dalekovoda koji prelaze to područjeDS, bit će brojčano jednaka vrijednosti protokaDFEkroz površinuDS. Predstavimo desnu stranu izraza (1.3) kao skalarni produkt vektora E IDS= nDS, Gdje n– jedinični vektor normalan na površinuDS. Za elementarno područje d S izraz (1.3) ima oblik

dFE = E d S

Preko cijele stranice S tok vektora napetosti računa se kao integral po površini

Strujanje vektora električne indukcije. Tok vektora električne indukcije određuje se slično kao i tok vektora jakosti električnog polja

dFD = D d S

Postoji određena nejasnoća u definicijama protoka zbog činjenice da za svaku površinu dva normale u suprotnom smjeru. Za zatvorenu površinu, vanjska normala se smatra pozitivnom.

Gaussov teorem. Razmotrimo točka pozitivna električno punjenje q, koji se nalazi unutar proizvoljne zatvorene površine S(Slika 1.3). Tok vektora indukcije kroz površinski element d S jednaki
(1.4)

Komponenta d S D = d S cos apovršinski element d S u smjeru vektora indukcijeDsmatrati elementom sferne površine radijusa r, u čijem se središtu nalazi nabojq.

S obzirom da d S D/ r 2 je jednako elementarno tjelesno kut dw, ispod koje od mjesta gdje se nalazi nabojqpovršinski element d vidljiv S, transformiramo izraz (1.4) u oblik d FD = q d w / 4 str, odakle je nakon integracije po cijelom prostoru oko naboja, tj. unutar prostornog kuta od 0 do 4str, dobivamo

FD = q.

Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je naboju unutar te površine..

Ako proizvoljna zatvorena površina S ne pokriva točkasti naboj q(Sl. 1.4), zatim, konstruirajući stožastu plohu s vrhom u točki gdje se nalazi naboj, dijelimo plohu S na dva dijela: S 1 i S 2. Vektor protoka D kroz površinu S nalazimo kao algebarski zbroj tokova kroz površine S 1 i S 2:

.

Obje površine od točke gdje se nalazi naboj q vidljiv iz jednog čvrstog kuta w. Stoga su tokovi jednaki

Budući da pri proračunu protoka kroz zatvorenu površinu koristimo vanjska normala na površinu, lako je vidjeti da tok F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Ukupni protok F D= 0. To znači da protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika ne ovisi o nabojima koji se nalaze izvan ove površine.

Ako je električno polje stvoreno sustavom točkastih naboja q 1 , q 2 ,¼ , qn, koji je prekriven zatvorenom površinom S, tada se, u skladu s načelom superpozicije, tok vektora indukcije kroz tu površinu određuje kao zbroj tokova koje stvara svaki od naboja. Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je algebarskom zbroju naboja koje ta površina pokriva.:

Treba napomenuti da su optužbe q i ne moraju biti točkasti, nužan uvjet je da nabijena površina mora biti potpuno prekrivena površinom. Ako se u prostoru omeđenom zatvorenom plohom S, električni naboj distribuira kontinuirano, tada treba pretpostaviti da je svaki elementarni volumen d V ima naboj. U ovom slučaju, na desnoj strani izraza (1.5), algebarski zbroj naboja zamijenjen je integracijom po volumenu unutar zatvorene površine S:

(1.6)

Izraz (1.6) je najopćenitija formulacija Gaussov teorem: protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je ukupnom naboju u volumenu koji pokriva ova površina i ne ovisi o nabojima koji se nalaze izvan površine koja se razmatra. Gaussov teorem također se može napisati za tok vektora jakosti električnog polja:

.

Važno svojstvo električnog polja proizlazi iz Gaussovog teoreme: linije sile počinju ili završavaju samo na električnim nabojima ili idu u beskonačnost. Naglasimo još jednom da unatoč tome što jakost električnog polja E i električna indukcija D ovise o položaju u prostoru svih naboja, tokovi tih vektora kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S određuju se samo oni naboji koji se nalaze unutar površine S.

Diferencijalni oblik Gaussovog teorema. Imajte na umu da integralni oblik Gaussov teorem karakterizira odnos između izvora električnog polja (naboja) i karakteristika električnog polja (napetost ili indukcija) u volumenu V proizvoljna, ali dovoljna za formiranje integralnih odnosa, veličina. Dijeljenjem volumena V za male količine V i, dobivamo izraz

vrijedi i u cjelini i za svaki pojam. Transformirajmo dobiveni izraz na sljedeći način:

(1.7)

i razmotrite granicu kojoj teži izraz na desnoj strani jednakosti, zatvoren u vitičaste zagrade, za neograničeno dijeljenje volumena V. U matematici se ta granica naziva divergencija vektor (u ovom slučaju vektor električne indukcije D):

Vektorska divergencija D u kartezijevim koordinatama:

Tako se izraz (1.7) transformira u oblik:

.

Uzimajući u obzir da kod neograničenog dijeljenja zbroj na lijevoj strani zadnjeg izraza prelazi u volumenski integral, dobivamo

Rezultirajući odnos mora biti zadovoljen za bilo koji proizvoljno odabrani volumen V. To je moguće samo ako su vrijednosti integranda u svakoj točki prostora iste. Prema tome, divergencija vektora D povezana je s gustoćom naboja u istoj točki jednakošću

ili za vektor jakosti elektrostatičkog polja

Ove jednakosti izražavaju Gaussov teorem u diferencijalni oblik.

Imajte na umu da se u procesu prijelaza na diferencijalni oblik Gaussovog teorema dobiva relacija koja ima opći karakter:

.

Izraz se naziva formula Gauss-Ostrogradskog i povezuje volumenski integral divergencije vektora s protokom tog vektora kroz zatvorenu površinu koja ograničava volumen.

Pitanja

1) Koji je fizikalni smisao Gaussovog teorema za elektrostatsko polje u vakuumu

2) U središtu kocke nalazi se točkasti nabojq. Što je tok vektora? E:

a) kroz punu površinu kocke; b) kroz jednu od ploha kocke.

Hoće li se odgovori promijeniti ako:

a) naboj nije u središtu kocke, već unutar nje ; b) naboj je izvan kocke.

3) Što su linearna, površinska, volumna gustoća naboja.

4) Navedite odnos volumena i gustoće površinskog naboja.

5) Može li polje izvan suprotno i jednoliko nabijenih paralelnih beskonačnih ravnina biti različito od nule?

6) Električni dipol smješten je unutar zatvorene površine. Koliki je protok kroz ovu površinu

Najteže je proučavati električne pojave u nejednolikoj električnoj okolini. U takvom mediju ε ima različite vrijednosti, naglo se mijenjajući na dielektričnoj granici. Pretpostavimo da smo odredili jakost polja na granici između dva medija: ε 1 =1 (vakuum ili zrak) i ε 2 =3 (tekućina - ulje). Na sučelju, tijekom prijelaza iz vakuuma u dielektrik, jakost polja se smanjuje tri puta, a tok vektora jakosti smanjuje se za isti iznos (slika 12.25, a). Nagla promjena vektora jakosti elektrostatskog polja na granici između dva medija stvara određene poteškoće pri izračunavanju polja. Što se tiče Gaussovog teorema, on pod ovim uvjetima općenito gubi smisao.

Budući da su polarizabilnost i napon različitih dielektrika različiti, broj linija polja u svakom dielektriku također će biti različit. Ova se poteškoća može otkloniti uvođenjem nove fizikalne karakteristike polja, električne indukcije D (ili vektora električni pomak ).

Prema formuli

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =konst

Množenjem svih dijelova ovih jednakosti s električnom konstantom ε 0 dobivamo

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =konst.

Uvedimo oznaku ε 0 εE=D tada će predzadnja relacija poprimiti oblik

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Vektor D, jednak umnošku jakosti električnog polja u dielektriku i njegove apsolutne dielektrične konstante, naziva sevektor električnog pomaka

(12.45)

Jedinica za električni pomak – privjesak po kvadratnom metru(C/m2).

Električni pomak je vektorska veličina i može se također izraziti kao

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Za razliku od napona E, električni pomak D je konstantan u svim dielektricima (slika 12.25, b). Stoga je prikladno karakterizirati električno polje u nehomogenom dielektričnom mediju ne intenzitetom E, već vektorom pomaka D. Vektor D opisuje elektrostatsko polje stvoreno slobodnim nabojima (tj. u vakuumu), ali s njihovom raspodjelom u prostoru kao u prisutnosti dielektrika, budući da vezani naboji koji nastaju u dielektricima mogu uzrokovati preraspodjelu slobodnih naboja stvarajući polje.

Vektorsko polje se grafički prikazuje električnim linijama pomaka na isti način kao i polje prikazana linijama sile.

Linija električnog pomaka - to su linije čije se tangente u svakoj točki podudaraju u smjeru s vektorom električnog pomaka.

Pravci vektora E mogu počinjati i završavati na bilo kojim nabojima – slobodnim i vezanim, dok pravci vektoraD- samo uz besplatne naknade. Vektorske linijeDZa razliku od zateznih linija, one su kontinuirane.

Budući da vektor električnog pomaka ne doživljava diskontinuitet na sučelju između dva medija, sve indukcijske linije koje proizlaze iz naboja okruženih nekom zatvorenom površinom proći će kroz njega. Stoga za vektor električnog pomaka Gaussov teorem u potpunosti zadržava svoje značenje za nehomogen dielektrični medij.

Gaussov teorem za elektrostatsko polje u dielektriku : tok vektora električnog pomaka kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju naboja sadržanih unutar te površine.

(12.47)