Osnovni elementi prizme. Volumen i površina pravilne četverokutne prizme

Uz pomoć ove video lekcije svatko će se moći samostalno upoznati s temom „Pojam poliedra. Prizma. Površina prizme." Tijekom sata nastavnik će govoriti o tome što su geometrijski likovi poput poliedra i prizme, dati odgovarajuće definicije i objasniti njihovu bit na konkretnim primjerima.

Uz pomoć ove lekcije svatko će se moći samostalno upoznati s temom „Pojam poliedra. Prizma. Površina prizme."

Definicija. Plohu koja se sastoji od poligona i omeđuje određeno geometrijsko tijelo nazvat ćemo poliedarska ploha ili poliedar.

Razmotrite sljedeće primjere poliedara:

1. Tetraedar ABCD je ploha sastavljena od četiri trokuta: ABC, A.D.B., BDC I ADC(Sl. 1).

Riža. 1

2. Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je ploha sastavljena od šest paralelograma (slika 2).

Riža. 2

Glavni elementi poliedra su površine, bridovi i vrhovi.

Lica su poligoni koji čine poliedar.

Rubovi su strane lica.

Vrhovi su krajevi bridova.

Razmotrimo tetraedar ABCD(Sl. 1). Naznačimo njegove glavne elemente.

Rubovi: trokuti ABC, ADB, BDC, ADC.

Rebra: AB, AC, BC, DC, OGLAS, BD.

Vrhovi: A, B, C, D.

Razmotrimo paralelopiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(slika 2).

Rubovi: paralelogrami AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

Rebra: AA 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Vrhovi: A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

Važan poseban slučaj poliedra je prizma.

ABCA 1 U 1 SA 1(slika 3).

Riža. 3

Jednaki trokuti ABC I A 1 B 1 C 1 koji se nalaze u paralelnim ravninama α i β tako da bridovi AA 1, BB 1, SS 1 paralelno.

To je ABCA 1 U 1 SA 1- trokutasta prizma ako:

1) Trokuti ABC I A 1 B 1 C 1 su jednaki.

2) Trokuti ABC I A 1 B 1 C 1 koji se nalaze u paralelnim ravninama α i β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Rebra AA 1, BB 1, SS 1 paralelno.

ABC I A 1 B 1 C 1- baza prizme.

AA 1, BB 1, SS 1- bočna rebra prizme.

Ako iz proizvoljne točke H 1 jedna ravnina (npr. β) spušta okomicu NN 1 na ravninu α, tada se ta okomica naziva visina prizme.

Definicija. Ako su bočni rubovi okomiti na baze, tada se prizma naziva ravnom, inače se naziva nagnutom.

Razmotrimo trokutastu prizmu ABCA 1 U 1 SA 1(slika 4). Ova prizma je ravna. To jest, njegova bočna rebra su okomita na baze.

Na primjer, rebro AA 1 okomito na ravninu ABC. Rub AA 1 je visina ove prizme.

Riža. 4

Imajte na umu da bočno lice AA 1 B 1 B okomito na baze ABC I A 1 B 1 C 1, budući da prolazi kroz okomicu AA 1 do baza.

Sada razmotrite nagnutu prizmu ABCA 1 U 1 SA 1(slika 5). Ovdje bočni rub nije okomit na ravninu baze. Ako se izostavi iz točke A 1 okomito A 1 N na ABC, tada će ta okomica biti visina prizme. Imajte na umu da segment AN je projekcija segmenta AA 1 do aviona ABC.

Zatim kut između pravca AA 1 i avion ABC je kut između ravne linije AA 1 i nju AN projekcija na ravninu, odnosno kut A 1 AN.

Riža. 5

Razmotrimo četverokutnu prizmu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(slika 6). Da vidimo kako će ispasti.

1) Četverokut ABCD jednak četverokutu A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Četverokuti ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Četverokuti ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 smještena tako da su bočna rebra paralelna, tj. AA 1 ║VV 1 ║SS 1 ║DD 1.

Definicija. Dijagonala prizme je isječak koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj plohi.

Na primjer, AC 1- dijagonala četverokutne prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definicija. Ako bočni rub AA 1 okomito na ravninu baze, onda se takva prizma zove pravac.

Riža. 6

Poseban slučaj četverokutne prizme je nama poznati paralelopiped. Paralelopiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prikazano na sl. 7.

Pogledajmo kako to radi:

1) Baze sadrže jednake likove. U ovom slučaju - jednaki paralelogrami ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Paralelogrami ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 leže u paralelnim ravninama α i β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Paralelogrami ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 raspoređeni na takav način da su bočna rebra međusobno paralelna: AA 1 ║VV 1 ║SS 1 ║DD 1.

Riža. 7

Od točke A 1 ispustimo okomicu AN do aviona ABC. Segment linije A 1 N je visina.

Pogledajmo kako je strukturirana heksagonalna prizma (slika 8).

1) Baza sadrži jednake šesterokute A B C D E F I A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: A B C D E F= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Ravnine šesterokuta A B C D E F I A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 paralelne, odnosno baze leže u paralelnim ravninama: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Šesterokuti A B C D E F I A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 raspoređeni tako da su sva bočna rebra međusobno paralelna: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Riža. 8

Definicija. Ako je bilo koji bočni brid okomit na ravninu baze, tada se takva šesterokutna prizma naziva ravnom.

Definicija. Pravilna prizma se naziva pravilnom ako su joj baze pravilni mnogokuti.

Razmotrimo pravilnu trokutastu prizmu ABCA 1 U 1 SA 1.

Riža. 9

Trokutasta prizma ABCA 1 U 1 SA 1- pravilan, to znači da baze sadrže pravilne trokute, odnosno da su sve stranice tih trokuta jednake. Također, ova prizma je ravna. To znači da je bočni rub okomit na ravninu baze. To znači da su sve bočne strane jednaki pravokutnici.

Dakle, ako je trokutasta prizma ABCA 1 U 1 SA 1- je točno, tada:

1) Bočni brid je okomit na ravninu baze, odnosno to je visina: AA 1 ⊥ ABC.

2) Osnovica je pravilan trokut: ∆ ABC- točno.

Definicija. Ukupna površina prizme je zbroj površina svih njezinih lica. Određeni S puna.

Definicija. Bočna površina je zbroj površina svih bočnih stranica. Određeni S strana.

Prizma ima dvije baze. Tada je ukupna površina prizme:

S puni = S bočni + 2S glavni.

Bočna površina ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme.

Dokaz ćemo provesti na primjeru trokutaste prizme.

S obzirom: ABCA 1 U 1 SA 1- ravna prizma, tj. AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = h.

Dokazati: S strana = P glavna ∙ h.

Riža. 10

Dokaz.

Trokutasta prizma ABCA 1 U 1 SA 1- ravno, to znači AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - pravokutnici.

Nađimo površinu bočne površine kao zbroj površina pravokutnika AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S strana = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P glavni ∙ h.

Dobivamo S strana = P glavni ∙ h, Q.E.D.

Upoznali smo se s poliedrima, prizmama i njihovim varijantama. Dokazali smo teorem o bočnoj plohi prizme. U sljedećoj lekciji ćemo rješavati probleme prizme.

Geometrija. Razredi 10-11: udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova (osnovne i specijalizirane razine) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i prošireno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str. : ilustr.
Geometrija. Razredi 10-11: Udžbenik za općeobrazovne ustanove / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr.
Geometrija. 10. razred: Udžbenik za općeobrazovne ustanove s produbljenim i specijalističkim studijem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 str. :il.

Iclass().
Shkolo.ru ().
Stara škola ().
WikiHow().

Koliki je najmanji broj stranica koje prizma može imati? Koliko vrhova i bridova ima takva prizma?
Postoji li prizma koja ima točno 100 rubova?
Bočno rebro je nagnuto prema ravnini baze pod kutom od 60°. Odredi visinu prizme ako je bočni brid 6 cm.
U pravilnoj trokutastoj prizmi svi bridovi su jednaki. Površina njegove bočne površine je 27 cm 2. Pronađite ukupnu površinu prizme.

Stereometrija je grana geometrije koja proučava figure koje ne leže u istoj ravnini. Jedan od predmeta proučavanja stereometrije su prizme. U članku ćemo definirati prizmu s geometrijskog gledišta, a također ćemo ukratko navesti svojstva koja su joj karakteristična.

Geometrijski lik

Definicija prizme u geometriji je sljedeća: to je prostorna figura koja se sastoji od dva identična n-kuta smještena u paralelnim ravninama, međusobno povezani svojim vrhovima.

Nabaviti prizmu nije teško. Zamislimo da postoje dva identična n-kuta, gdje je n broj stranica ili vrhova. Postavimo ih tako da budu međusobno paralelni. Nakon toga vrhove jednog poligona treba spojiti s odgovarajućim vrhovima drugog poligona. Dobivena figura sastojat će se od dvije n-kutne stranice, koje se nazivaju bazama, i n četverokutnih stranica, koje su općenito paralelogrami. Skup paralelograma čini bočnu plohu figure.

Postoji još jedan način da se geometrijski dobije dotični lik. Dakle, ako uzmemo n-kut i prenesemo ga u drugu ravninu pomoću paralelnih odsječaka jednakih duljina, tada ćemo u novoj ravnini dobiti izvorni poligon. Oba poligona i svi paralelni segmenti izvučeni iz njihovih vrhova tvore prizmu.

Gornja slika to pokazuje.Zove se tako jer su mu baze trokuti.

Elementi koji čine figuru

Gore je dana definicija prizme, iz koje je jasno da su glavni elementi figure njezini rubovi ili strane, koji ograničavaju sve unutarnje točke prizme od vanjskog prostora. Bilo koje lice dotične figure pripada jednom od dva tipa:

bočno;
osnove.

Ima n bočnih dijelova, a to su paralelogrami ili njihove posebne vrste (pravokutnik, kvadrat). Općenito, bočne strane se razlikuju jedna od druge. Postoje samo dvije strane baze; one su n-kuti i međusobno su jednake. Dakle, svaka prizma ima n+2 stranice.

Osim stranica, lik karakteriziraju i njegovi vrhovi. Oni predstavljaju točke u kojima se dodiruju tri lica istovremeno. Štoviše, dvije od tri strane uvijek pripadaju bočnoj površini, a jedna bazi. Dakle, u prizmi nema posebno dodijeljenog vrha, kao, na primjer, u piramidi, svi su jednaki. Broj vrhova figure je 2*n (n komada za svaku bazu).

Konačno, treći važan element prizme su njena rebra. To su segmenti određene duljine koji nastaju kao rezultat sjecišta stranica figure. Poput lica, rubovi također imaju dvije različite vrste:

ili formirana samo sa strane;
ili nastaju na spoju paralelograma i stranice n-kutne baze.

Broj bridova je dakle jednak 3*n, a njih 2*n pripadaju drugom od navedenih tipova.

Vrste prizmi

Postoji nekoliko načina za klasifikaciju prizmi. Međutim, svi se temelje na dvije značajke figure:

o vrsti n-ugljične baze;
na strani tipa.

Prvo, okrenimo se drugoj značajki i dajmo definiciju ravne linije. Ako je barem jedna strana opći paralelogram, tada se lik naziva koso ili koso. Ako su svi paralelogrami pravokutnici ili kvadrati, tada će prizma biti ravna.

Definicija se također može dati malo drugačije: ravna figura je prizma čiji su bočni rubovi i lica okomiti na njezine baze. Slika prikazuje dvije četverokutne figure. Lijeva je ravna, desna je nagnuta.

Sada prijeđimo na klasifikaciju prema vrsti n-kuta koji leži na bazama. Može imati iste strane i kutove ili različite. U prvom slučaju poligon se naziva pravilnim. Ako predmetni lik u svojoj osnovi ima mnogokut s jednakim stranicama i kutovima i ravan je, tada se naziva pravilnim. Prema ovoj definiciji, pravilna prizma u svojoj bazi može imati jednakostranični trokut, kvadrat, pravilan peterokut ili šesterokut i tako dalje. Navedene regularne brojke prikazane su na slici.

Linearni parametri prizmi

Za opisivanje veličina dotičnih figura koriste se sljedeći parametri:

visina;
strane baze;
duljina bočnih rebara;
volumetrijske dijagonale;
dijagonale stranica i baza.

Za pravilne prizme sve su te veličine međusobno povezane. Na primjer, duljine bočnih rebara su iste i jednake su visini. Za određenu n-kutnu pravilnu figuru postoje formule koje vam omogućuju određivanje svih ostalih pomoću bilo koja dva linearna parametra.

Površina figure

Ako se pozovemo na gore danu definiciju prizme, tada neće biti teško razumjeti što predstavlja površina figure. Ploha je površina svih lica. Za ravnu prizmu izračunava se po formuli:

S = 2*S o + P o *h

gdje je S o površina baze, P o je opseg n-kuta na bazi, h je visina (udaljenost između baza).

Volumen figure

Uz površinu za vježbanje važno je znati i volumen prizme. Može se odrediti pomoću sljedeće formule:

Ovaj izraz vrijedi za apsolutno bilo koju vrstu prizme, uključujući one koje su nagnute i formirane od nepravilnih poligona.

Za ispravne, to je funkcija duljine stranice baze i visine figure. Za odgovarajuću n-kutnu prizmu, formula za V ima specifičan oblik.

Prizma je geometrijska trodimenzionalna figura čije se karakteristike i svojstva proučavaju u srednjim školama. U pravilu se pri proučavanju uzimaju u obzir količine poput volumena i površine. U ovom ćemo članku raspravljati o malo drugačijem pitanju: predstavit ćemo metodu za određivanje duljine dijagonala prizme na primjeru četverokutne figure.

Koji oblik nazivamo prizmom?

U geometriji je dana sljedeća definicija prizme: to je trodimenzionalni lik omeđen dvjema mnogokutnim identičnim stranicama koje su međusobno paralelne i određenim brojem paralelograma. Slika ispod prikazuje primjer prizme koja odgovara ovoj definiciji.

Vidimo da su dva crvena peterokuta međusobno jednaka i da se nalaze u dvije paralelne ravnine. Pet ružičastih paralelograma povezuje te peterokute u čvrsti objekt - prizmu. Dva peterokuta nazivaju se bazama figure, a njegovi paralelogrami su bočne strane.

Prizme mogu biti ravne ili kose, a nazivaju se i pravokutne ili kose. Razlika između njih leži u kutovima između baze i bočnih rubova. Za pravokutnu prizmu svi su ti kutovi jednaki 90o.

Na temelju broja stranica ili vrhova mnogokuta u podnožju govore o trokutnim, peterokutnim, četverokutnim prizmama i tako dalje. Štoviše, ako je ovaj poligon pravilan, a sama prizma ravna, tada se takva figura naziva pravilnom.

Prizma prikazana na prethodnoj slici je peterokutna nagnuta. Ispod je peterokutna prava prizma, koja je pravilna.

Prikladno je izvršiti sve izračune, uključujući metodu za određivanje dijagonala prizme, posebno za ispravne brojke.

Koji elementi karakteriziraju prizmu?

Elementi figure su komponente koje je tvore. Konkretno za prizmu, mogu se razlikovati tri glavne vrste elemenata:

vrhovi;
rubovi ili strane;
rebra

Lica se smatraju bazama i bočnim ravninama, koje u općem slučaju predstavljaju paralelograme. U prizmi, svaka stranica je uvijek jedna od dvije vrste: ili je poligon ili paralelogram.

Rubovi prizme su oni segmenti koji ograničavaju svaku stranu figure. Kao i lica, rubovi također postoje u dvije vrste: oni koji pripadaju bazi i bočnoj površini ili oni koji pripadaju samo bočnoj površini. Prvih je uvijek dvostruko više nego drugih, bez obzira na vrstu prizme.

Vrhovi su sjecišta triju bridova prizme, od kojih dva leže u ravnini baze, a treći pripada dvjema bočnim stranama. Svi vrhovi prizme su u ravninama baza lika.

Brojevi opisanih elemenata povezani su u jednu jednakost koja ima sljedeći oblik:

P = B + C - 2.

Ovdje je P broj bridova, B - vrhova, C - stranica. Ova se jednakost naziva Eulerov teorem za poliedar.

Slika prikazuje trokutastu pravilnu prizmu. Svatko može računati da ima 6 vrhova, 5 stranica i 9 bridova. Ove brojke su u skladu s Eulerovim teoremom.

Dijagonale prizme

Nakon svojstava poput volumena i površine, u geometrijskim problemima često se susrećemo s podatkom o duljini pojedine dijagonale dotičnog lika, koji je ili zadan ili ga je potrebno pronaći pomoću drugih poznatih parametara. Razmotrimo koje dijagonale ima prizma.

Sve dijagonale mogu se podijeliti u dvije vrste:

Leži u ravnini lica. Oni povezuju nesusjedne vrhove bilo mnogokuta na bazi prizme ili paralelograma na bočnoj površini. Vrijednost duljina takvih dijagonala određuje se na temelju poznavanja duljina odgovarajućih bridova i kutova između njih. Za određivanje dijagonala paralelograma uvijek se koriste svojstva trokuta.
Prizme leže unutar volumena. Te dijagonale povezuju različite vrhove dviju baza. Ove dijagonale su potpuno unutar figure. Njihove duljine je nešto teže izračunati nego za prethodni tip. Metoda izračuna uključuje uzimanje u obzir duljina rebara i baze, te paralelograma. Za ravne i pravilne prizme izračun je relativno jednostavan jer se provodi korištenjem Pitagorinog poučka i svojstava trigonometrijskih funkcija.

Dijagonale stranica četverokutne pravilne prizme

Na gornjoj slici prikazane su četiri identične ravne prizme, a dani su i parametri njihovih bridova. Na prizmama dijagonale A, dijagonale B i dijagonale C isprekidana crvena linija prikazuje dijagonale triju različitih lica. Budući da je prizma ravna crta visine 5 cm, a da joj je osnovica pravokutnik sa stranicama 3 cm i 2 cm, nije teško pronaći označene dijagonale. Da biste to učinili, morate koristiti Pitagorin teorem.

Duljina dijagonale baze prizme (dijagonala A) jednaka je:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.

Za bočnu plohu prizme, dijagonala je jednaka (vidi dijagonalu B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.

Konačno, duljina druge bočne dijagonale je (vidi dijagonalu C):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.

Duljina unutarnje dijagonale

Izračunajmo sada duljinu dijagonale četverokutne prizme, koja je prikazana na prethodnoj slici (Dijagonala D). To nije tako teško učiniti ako primijetite da je to hipotenuza trokuta u kojem će katete biti visina prizme (5 cm) i dijagonala D A prikazana na slici gore lijevo (dijagonala A). Tada dobivamo:

D D = √(DA 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.

Pravilna četverokutna prizma

Dijagonala pravilne prizme, čija je baza kvadrat, izračunava se na isti način kao u gornjem primjeru. Odgovarajuća formula je:

D = √(2*a 2 +c 2).

Gdje su a i c duljine stranice baze odnosno bočnog ruba.

Imajte na umu da smo u izračunima koristili samo Pitagorin teorem. Za određivanje duljina dijagonala pravilnih prizmi s velikim brojem vrhova (pentagonalnih, šesterokutnih i tako dalje) već je potrebno koristiti trigonometrijske funkcije.

U školskom kurikulumu za tečaj stereometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravninama. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove baze su 2 identična pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika, ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma?

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut čije su baze 2 kvadrata, a bočne strane su prikazane pravokutnicima. Drugi naziv za ovu geometrijsku figuru je ravni paralelopiped.

Dolje je prikazan crtež koji prikazuje četverokutnu prizmu.

Vidite i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. To uključuje:

Ponekad u geometrijskim problemima možete naići na pojam presjeka. Definicija će zvučati ovako: odjeljak su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju ravnini rezanja. Presjek može biti okomit (siječe rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutnu prizmu također se uzima u obzir dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se mogu konstruirati je 2), koji prolazi kroz 2 brida i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na takav način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je krnja prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različite relacije i formule. Neki od njih poznati su iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli područje baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za područje kvadrata).

Površina i volumen

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati područje njezine baze i visine:

V = Sbas h

Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a²·h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake duljine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezin razvoj.

Iz crteža se vidi da bočnu plohu čine 4 jednaka pravokutnika. Njegova površina izračunava se kao umnožak opsega baze i visine figure:

S strana = Posn h

Uzimajući u obzir da je opseg kvadrata jednak P = 4a, formula ima oblik:

S strana = 4a h

Za kocku:

S strana = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, bočnoj površini morate dodati 2 osnovne površine:

Pun = Sstrana + 2Smain

U odnosu na četverokutnu pravilnu prizmu, formula izgleda ovako:

Ukupno = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Pun = 6a²

Znajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često se javljaju zadaci u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne plohe, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:

duljina osnovne stranice: a = Sstrana / 4h = √(V / h);
visina ili duljina bočnog rebra: h = Sstrana / 4a = V / a²;
osnovna površina: Sbas = V/h;
bočno lice: Strana gr = Sstrana / 4.

Da biste odredili koliko područje ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:

Sdiag = ah√2

Da biste izračunali dijagonalu prizme, upotrijebite formulu:

dnagrada = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti zadane odnose, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema s rješenjima

Evo nekih zadataka koji se nalaze na državnoj maturi iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju koja ima oblik pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm.Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali s dvostruko dužom bazom?

To treba obrazložiti na sljedeći način. Količina pijeska u prvoj i drugoj posudi nije se promijenila, tj. njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete označiti sa a. U ovom slučaju, za prvu kutiju volumen tvari će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Jer V₁ = V₂, možemo izjednačiti izraze:

10a² = 4ha²

Nakon smanjenja obje strane jednadžbe za a², dobivamo:

Kao rezultat toga, nova razina pijeska bit će h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je ispravna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.

Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da se u osnovici nalazi kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne plohe ima istu veličinu, stoga i bočna ploha ima oblik kvadrata koji je jednak osnovici. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina nalazi se pomoću formule za kocku:

Pun = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba se renovira. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koji je najniži trošak tapeta za sobu ako 1 m² košta 50 rubalja?

Budući da su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a zidovi okomiti na vodoravne površine, možemo zaključiti da se radi o pravilnoj prizmi. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Područje će biti prekriveno tapetama Sstrana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50·30 = 1500 rubalja

Dakle, za rješavanje problema koji uključuju pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.