Riješite slaugh pronađite normalan temeljni sustav rješenja. Rješavanje homogenih sustava linearnih jednadžbi

Sustavi linearne jednadžbe, za koje su svi slobodni članovi jednaki nuli nazivaju se homogena :

Svaki homogeni sustav uvijek je konzistentan, budući da uvijek jest nula (trivijalno ) riješenje. Postavlja se pitanje pod kojim uvjetima će homogeni sustav imati netrivijalno rješenje.

Teorem 5.2.Homogeni sustav ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang glavne matrice manji broj njezine nepoznanice.

Posljedica. Kvadratni homogeni sustav ima netrivijalno rješenje ako i samo ako determinanta glavne matrice sustava nije jednaka nuli.

Primjer 5.6. Odredite vrijednosti parametra l pri kojima sustav ima netrivijalna rješenja i pronađite ta rješenja:

Riješenje. Ovaj sustav će imati netrivijalno rješenje kada je determinanta glavne matrice jednaka nuli:

Dakle, sustav je netrivijalan kada je l=3 ili l=2. Za l=3, rang glavne matrice sustava je 1. Zatim, ostavljajući samo jednu jednadžbu i pretpostavljajući da g=a I z=b, dobivamo x=b-a, tj.

Za l=2, rang glavne matrice sustava je 2. Zatim, birajući sporednu kao bazu:

dobivamo pojednostavljeni sustav

Odavde to nalazimo x=z/4, y=z/2. vjerujući z=4a, dobivamo

Skup svih rješenja homogenog sustava ima vrlo važan linearno svojstvo : ako stupci X 1 i X 2 - rješenja homogenog sustava AX = 0, zatim svaka njihova linearna kombinacija a x 1 + b x 2 također će biti rješenje za ovaj sustav. Doista, budući da SJEKIRA 1 = 0 I SJEKIRA 2 = 0 , To A(a x 1 + b x 2) = a SJEKIRA 1 + b SJEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zbog ovog svojstva, ako linearni sustav ima više od jednog rješenja, tada će postojati beskonačan broj tih rješenja.

Linearno nezavisni stupci E 1 , E 2 , E k, koji su rješenja homogenog sustava, nazivaju se temeljni sustav rješenja homogeni sustav linearnih jednadžbi ako se opće rješenje tog sustava može napisati kao linearna kombinacija ovih stupaca:

Ako homogeni sustav ima n varijable, a rang glavne matrice sustava je jednak r, To k = n-r.

Primjer 5.7. Pronađite temeljni sustav rješenja sljedeći sustav linearne jednadžbe:

Riješenje. Nađimo rang glavne matrice sustava:

Dakle, skup rješenja ovog sustava jednadžbi tvori linearni podprostor dimenzije n-r= 5 - 2 = 3. Odaberimo minor kao bazu

Zatim, ostavljajući samo osnovne jednadžbe (ostatak će biti linearna kombinacija tih jednadžbi) i osnovne varijable (ostale, tzv. slobodne varijable pomaknemo udesno), dobivamo pojednostavljeni sustav jednadžbi:

vjerujući x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, pronašli smo

, .

vjerujući a= 1, b = c= 0, dobivamo prvo osnovno rješenje; vjerujući b= 1, a = c= 0, dobivamo drugo osnovno rješenje; vjerujući c= 1, a = b= 0, dobivamo treće osnovno rješenje. Kao rezultat toga, normalni fundamentalni sustav rješenja će poprimiti oblik

Korištenje temeljni sustav opće rješenje homogenog sustava može se napisati u obliku

x = aE 1 + biti 2 + cE 3. a

Napomenimo neka svojstva rješenja nehomogenog sustava linearnih jednadžbi AX=B i njihov odnos s pripadajućim homogenim sustavom jednadžbi AX = 0.

Opće rješenje nehomogenog sustavajednak zbroju opće rješenje pripadni homogeni sustav AX = 0 i proizvoljno partikularno rješenje nehomogenog sustava. Doista, neka Y 0 je proizvoljno partikularno rješenje nehomogenog sustava, tj. AY 0 = B, I Y- opće rješenje heterogenog sustava, tj. AY=B. Oduzimajući jednu jednakost od druge, dobivamo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je opće rješenje odgovarajućeg homogenog sustava SJEKIRA=0. Stoga, Y-Y 0 = x, ili Y=Y 0 + x. Q.E.D.

Neka nehomogeni sustav ima oblik AX = B 1 + B 2 . Tada se opće rješenje takvog sustava može napisati kao X = X 1 + x 2 , gdje je AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Ovo svojstvo izražava univerzalno svojstvo bilo kojeg linearnog sustava općenito (algebarskog, diferencijalnog, funkcionalnog itd.). U fizici se ovo svojstvo naziva princip superpozicije, u elektrotehnici i radiotehnici - princip superpozicije. Na primjer, u teoriji linearnog električni krugovi struja u bilo kojem krugu može se dobiti kao algebarski zbroj struje uzrokovane svakim izvorom energije zasebno.

Primjer 1. Naći opće rješenje i neki temeljni sustav rješenja za sustav

Riješenje pronaći pomoću kalkulatora. Algoritam rješenja je isti kao i za sustave linearnih ne homogene jednadžbe.
Radeći samo s redovima, nalazimo rang matrice, bazni minor; Proglašavamo zavisne i slobodne nepoznanice i nalazimo opće rješenje.

Prvi i drugi redak su proporcionalni, precrtajmo jedan od njih:

.
Zavisne varijable – x 2, x 3, x 5, slobodne – x 1, x 4. Iz prve jednadžbe 10x 5 = 0 nalazimo x 5 = 0, zatim

; .
Općenito rješenje je:

Nalazimo temeljni sustav rješenja koji se sastoji od (n-r) rješenja. U našem slučaju n=5, r=3, dakle, temeljni sustav rješenja sastoji se od dva rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno neovisna. Da bi reci bili linearno neovisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata redaka bude jednak broju redaka, odnosno 2. Dovoljno je zadati slobodne nepoznanice x 1 i x 4 vrijednosti iz redaka determinante drugog reda, različite od nule, i izračunajte x 2 , x 3 , x 5 . Najjednostavnija determinanta različita od nule je .
Dakle, prvo rješenje je:

, drugo –

.
Ove dvije odluke čine temeljni sustav odlučivanja. Imajte na umu da temeljni sustav nije jedinstven (možete stvoriti onoliko različitih od nule determinanti koliko želite).

Primjer 2. Naći opće rješenje i temeljni sustav rješenja sustava
Riješenje.

,
slijedi da je rang matrice 3 i jednak broju nepoznato. To znači da sustav nema slobodnih nepoznanica, pa stoga ima jedinstveno rješenje - trivijalno.

vježbanje . Istražite i riješite sustav linearnih jednadžbi.
Primjer 4

vježbanje . Pronađite opća i posebna rješenja svakog sustava.
Riješenje. Zapišimo glavnu matricu sustava:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Reducirajmo matricu na trokutasti pogled. Radit ćemo samo s redovima, jer množenje retka matrice s brojem koji nije nula i njegovo dodavanje u drugi red za sustav znači množenje jednadžbe s istim brojem i njegovo zbrajanje s drugom jednadžbom, što ne mijenja rješenje sustav.
Pomnožite 2. redak s (-5). Dodajmo 2. redak 1.:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Pomnožimo 2. redak s (6). Pomnožite treći redak s (-1). Dodajmo 3. redak 2.:
Nađimo rang matrice.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Istaknuti umanjenik ima najviši red(od mogućih minora) i različit je od nule (it jednak umnošku elementi na obrnutoj dijagonali), stoga je rang(A) = 2.
Ovaj minor je osnovni. Sadrži koeficijente za nepoznanice x 1 , x 2 , što znači da su nepoznanice x 1 , x 2 zavisne (bazične), a x 3 , x 4 , x 5 slobodne.
Transformirajmo matricu, ostavljajući samo bazni minor s lijeve strane.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Sustav s koeficijentima ove matrice je ekvivalentan izvornom sustavu i ima oblik:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo netrivijalno rješenje:
Dobili smo relacije koje zavisne varijable x 1 , x 2 izražavaju kroz slobodne x 3 , x 4 , x 5 , odnosno našli smo zajednička odluka:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Nalazimo temeljni sustav rješenja koji se sastoji od (n-r) rješenja.
U našem slučaju n=5, r=2, dakle, temeljni sustav rješenja sastoji se od 3 rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno neovisna.
Da bi redovi bili linearno neovisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata reda bude jednak broju redova, odnosno 3.
Dovoljno je slobodnim nepoznanicama x 3 , x 4 , x 5 zadati vrijednosti iz redaka determinante 3. reda, različite od nule, i izračunati x 1 , x 2 .
Najjednostavnija determinanta različita od nule je matrica identiteta.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

zadatak . Naći temeljni skup rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi.

Možete naručiti detaljno rješenje tvoj zadatak!!!

Da shvatim što je to temeljni sustav odlučivanja možete pogledati video tutorial za isti primjer klikom. Sada prijeđimo na stvarni opis svih potrebnih radova. To će vam pomoći da detaljnije shvatite bit ovog pitanja.

Kako pronaći temeljni sustav rješenja linearne jednadžbe?

Uzmimo za primjer sljedeći sustav linearnih jednadžbi:

Pronađimo rješenje za ovo linearni sustav jednadžbe Za početak, mi trebate napisati matricu koeficijenata sustava.

Pretvorimo ovu matricu u trokutastu. Prepisujemo prvi redak bez promjena. I svi elementi koji su pod $a_(11)$ moraju biti nule. Da biste umjesto elementa $a_(21)$ napravili nulu, morate od drugog retka oduzeti prvi, a razliku napisati u drugi red. Da biste umjesto elementa $a_(31)$ napravili nulu, morate od trećeg retka oduzeti prvi i upisati razliku u treći red. Da biste umjesto elementa $a_(41)$ napravili nulu, morate od četvrtog retka oduzeti prvi pomnožen s 2 i upisati razliku u četvrti red. Da biste umjesto elementa $a_(31)$ napravili nulu, potrebno je od petog retka oduzeti prvi pomnožen s 2 i upisati razliku u peti redak.

Prepisujemo prvi i drugi redak bez promjena. I svi elementi koji su pod $a_(22)$ moraju biti nule. Da biste umjesto elementa $a_(32)$ napravili nulu, morate od trećeg retka oduzeti drugi pomnožen s 2 i u treći redak napisati razliku. Da biste umjesto elementa $a_(42)$ napravili nulu, morate od četvrtog retka oduzeti sekundu pomnoženu s 2 i upisati razliku u četvrti red. Da biste umjesto elementa $a_(52)$ napravili nulu, potrebno je od petog retka oduzeti sekundu pomnoženu s 3 i upisati razliku u peti redak.

Vidimo to zadnja tri retka su ista, pa ako trećinu oduzmete od četvrte i pete, oni će postati nula.

Prema ovoj matrici Zapiši novi sustav jednadžbe.

Vidimo da imamo samo tri linearno neovisne jednadžbe i pet nepoznanica, pa će se temeljni sustav rješenja sastojati od dva vektora. Pa mi zadnje dvije nepoznanice trebamo pomaknuti udesno.

Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo s posljednjom jednadžbom, prvo izražavamo $x_3$, zatim supstituiramo dobiveni rezultat u drugu jednadžbu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednadžbu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje se nalaze na lijevoj strani izrazile kroz nepoznanice koje su na desnoj strani.

Tada umjesto $x_4$ i $x_5$ možemo zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih pet od ovih brojeva bit će korijen našeg izvornog sustava jednadžbi. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, a zatim obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.

Neka M 0 – skup rješenja homogenog sustava (4) linearnih jednadžbi.

Definicija 6.12. Vektori S 1 ,S 2 , …, sa str, koji su rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi nazivaju se temeljni skup rješenja(skraćeno FNR), ako

1) vektori S 1 ,S 2 , …, sa str linearno neovisni (to jest, nijedno od njih ne može se izraziti u terminima drugih);

2) svako drugo rješenje homogenog sustava linearnih jednadžbi može se izraziti preko rješenja S 1 ,S 2 , …, sa str.

Imajte na umu da ako S 1 ,S 2 , …, sa str– bilo koji f.n.r., zatim izraz k 1× S 1 + k 2× S 2 + … + k str× sa str možete opisati cijeli set M 0 rješenja sustava (4), tako se i zove opći prikaz rješenja sustava (4).

Teorem 6.6. Svaki neodređeni homogeni sustav linearnih jednadžbi ima temeljni skup rješenja.

Način pronalaska temeljnog skupa rješenja je sljedeći:

Naći opće rješenje homogenog sustava linearnih jednadžbi;

graditi ( n – r) parcijalna rješenja ovog sustava, dok se vrijednosti slobodnih nepoznanica moraju formirati Matrica identiteta;

Napisati opći oblik rješenja uključena u M 0 .

Primjer 6.5. Pronađite temeljni skup rješenja za sljedeći sustav:

Riješenje. Pronađimo opće rješenje za ovaj sustav.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ U ovom sustavu postoji pet nepoznanica ( n= 5), od kojih postoje dvije glavne nepoznanice ( r= 2), postoje tri slobodne nepoznanice ( n – r), odnosno temeljni skup rješenja sadrži tri vektora rješenja. Izgradimo ih. Imamo x 1 i x 3 – glavne nepoznanice, x 2 , x 4 , x 5 – slobodne nepoznanice

Vrijednosti slobodnih nepoznanica x 2 , x 4 , x 5 čine matricu identiteta E treći red. Imam te vektore S 1 ,S 2 , S 3 obrazac f.n.r. ovog sustava. Tada će skup rješenja ovog homogenog sustava biti M 0 = {k 1× S 1 + k 2× S 2 + k 3× S 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).

Pronađimo sada uvjete za postojanje rješenja različitih od nule homogenog sustava linearnih jednadžbi, drugim riječima, uvjete za postojanje fundamentalnog skupa rješenja.

Homogen sustav linearnih jednadžbi ima rješenja različita od nule, odnosno neizvjesno je da li

1) rang glavne matrice sustava je manji od broja nepoznanica;

2) u homogenom sustavu linearnih jednadžbi broj jednadžbi je manji od broja nepoznanica;

3) ako je u homogenom sustavu linearnih jednadžbi broj jednadžbi jednak broju nepoznanica, a determinanta glavne matrice jednaka nuli (tj. | A| = 0).

Primjer 6.6. Na kojoj vrijednosti parametra a homogeni sustav linearnih jednadžbi ima rješenja različita od nule?

Riješenje. Sastavimo glavnu matricu ovog sustava i pronađemo njegovu determinantu: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinanta ove matrice jednaka je nuli pri a = –4.

Odgovor: –4.

7. Aritmetika n-dimenzionalni vektorski prostor

Osnovni koncepti

U prethodnim odjeljcima već smo se susreli s konceptom skupa realnih brojeva poredanih određenim redoslijedom. Ovo je matrica retka (ili matrica stupca) i rješenje sustava linearnih jednadžbi s n nepoznato. Ove informacije se mogu sažeti.

Definicija 7.1. n-dimenzionalni aritmetički vektor naziva se uređenim skupom n realni brojevi.

Sredstva A= (a 1 , a 2 , …, a n), gdje ja O R, ja = 1, 2, …, n– opći prikaz vektora. Broj n nazvao dimenzija vektori i brojevi a ja nazivaju se njegovim koordinate.

Na primjer: A= (1, –8, 7, 4, ) – petodimenzionalni vektor.

Sve spremno n-dimenzionalni vektori obično se označavaju kao Rn.

Definicija 7.2. Dva vektora A= (a 1 , a 2 , …, a n) I b= (b 1 , b 2 , …, b n) iste dimenzije jednak ako i samo ako su im odgovarajuće koordinate jednake, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definicija 7.3.Iznos dva n-dimenzionalni vektori A= (a 1 , a 2 , …, a n) I b= (b 1 , b 2 , …, b n) naziva se vektor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Definicija 7.4. Posao pravi broj k vektorirati A= (a 1 , a 2 , …, a n) naziva se vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Definicija 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0). nula(ili nulti vektor).

Lako je provjeriti da radnje (operacije) zbrajanja vektora i njihovog množenja s pravi broj imati sljedeća svojstva: " a, b, c Î Rn, " k, l O R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 O R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definicija 7.6. Gomila Rn s operacijama zbrajanja vektora i njihovog množenja realnim brojem zadanim na njemu naziva se aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.

Sustavi linearnih homogenih jednadžbi- ima oblik ∑a k i x i = 0. gdje je m > n ili m Homogeni sustav linearnih jednadžbi je uvijek konzistentan, budući da je rangA = rangB. Očito ima rješenje koje se sastoji od nula, što se zove trivijalno.

Svrha usluge. Mrežni kalkulator dizajniran je za pronalaženje netrivijalnog i temeljnog rješenja za SLAE. Dobiveno rješenje sprema se u Word datoteku (vidi primjer rješenja).

upute. Odaberite dimenziju matrice:

Svojstva sustava linearnih homogenih jednadžbi

Da bi sustav imao netrivijalna rješenja, potrebno je i dovoljno da rang njegove matrice bude manji od broja nepoznanica.

Teorema. Sustav u slučaju m=n ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je determinanta tog sustava jednaka nuli.

Teorema. Svaka linearna kombinacija rješenja sustava također je rješenje tog sustava.
Definicija. Skup rješenja sustava linearnih homogenih jednadžbi naziva se temeljni sustav rješenja, ako se taj skup sastoji od linearno neovisnih rješenja i svako rješenje sustava je linearna kombinacija tih rješenja.

Teorema. Ako je rang r matrice sustava manji od broja n nepoznanica, tada postoji temeljni sustav rješenja koji se sastoji od (n-r) rješenja.

Algoritam za rješavanje sustava linearnih homogenih jednadžbi

Pronalaženje ranga matrice.
Odaberemo osnovni minor. Razlikujemo zavisne (bazične) i slobodne nepoznanice.
Precrtavamo one jednadžbe sustava čiji koeficijenti nisu uključeni osnovni mol, budući da su posljedice ostalih (po teoremu o bazi minor).
Članove jednadžbi koje sadrže slobodne nepoznanice prenosimo na desna strana. Kao rezultat dobivamo sustav od r jednadžbi s r nepoznanica, ekvivalentan zadanoj, čija je determinanta različita od nule.
Dobiveni sustav rješavamo eliminacijom nepoznanica. Nalazimo odnose koji izražavaju zavisne varijable kroz slobodne.
Ako rang matrice nije jednak broju varijabli, tada nalazimo temeljno rješenje sustava.
U slučaju rang = n imamo trivijalno rješenje.

Primjer. Nađi bazu sustava vektora (a 1, a 2,...,a m), rangiraj i izrazi vektore na bazi baze. Ako je 1 =(0,0,1,-1), i 2 =(1,1,2,0), i 3 =(1,1,1,1), i 4 =(3,2,1 ,4), i 5 =(2,1,0,3).
Zapišimo glavnu matricu sustava:

Pomnožite treći redak s (-3). Dodajmo 4. redak 3.:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Pomnožite 4. redak s (-2). Pomnožimo 5. redak s (3). Dodajmo 5. redak 4.:
Dodajmo 2. redak 1.:
Nađimo rang matrice.
Sustav s koeficijentima ove matrice je ekvivalentan izvornom sustavu i ima oblik:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo netrivijalno rješenje:
Dobili smo relacije koje zavisne varijable x 1 , x 2 , x 3 izražavaju kroz slobodne x 4 , odnosno pronašli smo opće rješenje:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4