Ako su rangovi matrica jednaki tada. Rang matrice i bazni minor matrice

Definicija. Matrični rang je maksimalni broj linearno neovisnih redaka koji se smatraju vektorima.

Teorem 1 o rangu matrice. Matrični rang je maksimalni red različitog od nule minora matrice.

O pojmu minora smo već govorili na satu o determinantama, a sada ćemo ga generalizirati. Uzmimo neke redove i neke stupce u matrici, a ovo "nešto" treba biti manje od broja redaka i stupaca matrice, a za retke i stupce ovo "nešto" treba biti isti broj. Zatim će na sjecištu koliko redaka i koliko stupaca biti matrica manjeg reda od naše izvorne matrice. Determinanta ove matrice bit će minor k-tog reda ako se spomenuto "nešto" (broj redaka i stupaca) označi s k.

Definicija. manji ( r+1)-ti red, unutar kojeg se nalazi odabrani minor r--ti red, naziva se graniči za dati minor.

Dvije najčešće korištene metode pronalaženje ranga matrice. Ovo je način fringiranja maloljetnika i metoda elementarnih transformacija(po Gaussovoj metodi).

Metoda obrubljivanja minora koristi sljedeći teorem.

Teorem 2 o rangu matrice. Ako je moguće sastaviti mol od elemenata matrice r reda, koji nije jednak nuli, tada je rang matrice jednak r.

Kod metode elementarnih transformacija koristi se sljedeće svojstvo:

Ako se elementarnim transformacijama dobije trapezoidna matrica ekvivalentna izvornoj, tada rang ove matrice je broj redaka u njemu osim redaka koji se u potpunosti sastoje od nula.

Određivanje ranga matrice metodom obrubljivanja minora

Granični minor je minor višeg reda u odnosu na zadani, ako ovaj minor višeg reda sadrži dati minor.

Na primjer, s obzirom na matricu

Uzmimo maloljetnika

rubovi će biti takvi manji:

Algoritam za pronalaženje ranga matrice Sljedeći.

1. Nalazimo minore drugog reda koji nisu jednaki nuli. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada će rang matrice biti jednak jedan ( r =1 ).

2. Ako postoji barem jedan minor drugog reda koji nije jednak nuli, tada sastavljamo granične minore trećeg reda. Ako su svi granični minori trećeg reda nula, tada je rang matrice dva ( r =2 ).

3. Ako barem jedan od graničnih minora trećeg reda nije jednak nuli, tada sastavljamo minore koji ga graniče. Ako su svi granični minori četvrtog reda nula, tada je rang matrice tri ( r =2 ).

4. Nastavite sve dok veličina matrice dopušta.

Primjer 1 Pronađite rang matrice

Odluka. Minor drugog reda .

Uokvirujemo ga. Bit će četiri granična maloljetnika:

Dakle, svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang ove matrice dva ( r =2 ).

Primjer 2 Pronađite rang matrice

Odluka. Rang ove matrice je 1, budući da su svi minori drugog reda ove matrice jednaki nuli (u ovome, kao iu slučaju graničnih minora u sljedeća dva primjera, dragi studenti su pozvani da sami provjere, možda korištenjem pravila za izračunavanje determinanti), a među minorima prvog reda, odnosno među elementima matrice, nema jednakih nuli.

Primjer 3 Pronađite rang matrice

Odluka. Minor drugog reda ove matrice je, a svi minori trećeg reda ove matrice su nula. Stoga je rang ove matrice dva.

Primjer 4 Pronađite rang matrice

Odluka. Rang ove matrice je 3 jer je jedini minor trećeg reda ove matrice 3.

Određivanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija (Gaussovom metodom)

Već u primjeru 1 može se vidjeti da problem određivanja ranga matrice metodom obrubljivanja minora zahtijeva izračunavanje velikog broja determinanti. Međutim, postoji način da se količina izračunavanja svede na minimum. Ova metoda temelji se na korištenju elementarnih matričnih transformacija, a naziva se i Gaussova metoda.

Elementarne transformacije matrice znače sljedeće operacije:

1) množenje bilo kojeg retka ili bilo kojeg stupca matrice brojem koji nije nula;

2) dodavanje elementima bilo kojeg retka ili bilo kojeg stupca matrice odgovarajućih elemenata drugog retka ili stupca, pomnoženih s istim brojem;

3) zamjena dva reda ili stupca matrice;

4) uklanjanje "nultih" redaka, odnosno onih čiji su svi elementi jednaki nuli;

5) brisanje svih proporcionalnih linija, osim jedne.

Teorema. Elementarna transformacija ne mijenja rang matrice. Drugim riječima, ako koristimo elementarne transformacije iz matrice A idi na matricu B, zatim .

Rang matrice je važna numerička karakteristika. Najtipičniji problem koji zahtijeva pronalaženje ranga matrice je provjera kompatibilnosti sustava linearnih algebarskih jednadžbi. U ovom članku dat ćemo pojam ranga matrice i razmotriti metode za njegovo pronalaženje. Radi bolje asimilacije gradiva detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko primjera.

Navigacija po stranici.

Određivanje ranga matrice i potrebnih dodatnih pojmova.

Prije izricanja definicije ranga matrice, potrebno je dobro razumjeti pojam minora, a pronalaženje minora matrice podrazumijeva sposobnost izračunavanja determinante. Stoga preporučamo, ako je potrebno, podsjetiti na teoriju članka, metode za pronalaženje matrične determinante, svojstva determinante.

Uzmite matricu A reda. Neka je k neki prirodni broj koji ne prelazi najmanji od brojeva m i n , tj. .

Definicija.

Manji k-ti red matrica A je determinanta kvadratne matrice reda , sastavljena od elemenata matrice A koji se nalaze u unaprijed odabranih k redaka i k stupaca, a lokacija elemenata matrice A je sačuvana.

Drugim riječima, ako izbrišemo (p–k) redove i (n–k) stupce u matrici A i formiramo matricu od preostalih elemenata, zadržavajući raspored elemenata matrice A, tada je determinanta rezultirajuće matrice minor reda k matrice A.

Pogledajmo definiciju matričnog minora koristeći primjer.

Razmotrimo matricu .

Zapišimo nekoliko minora prvog reda ove matrice. Na primjer, ako odaberemo treći red i drugi stupac matrice A, tada naš izbor odgovara umaniku prvog reda . Drugim riječima, da bismo dobili ovaj minor, prekrižili smo prvi i drugi red, kao i prvi, treći i četvrti stupac iz matrice A, a od preostalog elementa sastavili determinantu. Odaberemo li prvi red i treći stupac matrice A, onda ćemo dobiti minor .

Ilustrirajmo postupak dobivanja razmatranih maloljetnika prvog reda
i .

Dakle, minori prvog reda matrice su sami elementi matrice.

Pokažimo nekoliko maloljetnika drugog reda. Odaberite dva retka i dva stupca. Na primjer, uzmite prvi i drugi red te treći i četvrti stupac. Ovim izborom imamo maloljetnicu drugog reda . Ovaj minor se također može formirati brisanjem trećeg retka, prvog i drugog stupca iz matrice A.

Drugi minor drugog reda matrice A je .

Ilustrirajmo konstrukciju ovih minora drugog reda
i .

Slično se mogu pronaći i minori trećeg reda matrice A. Budući da u matrici A postoje samo tri reda, odabiremo ih sve. Odaberemo li prva tri stupca za ove retke, onda ćemo dobiti minor trećeg reda

Također se može konstruirati brisanjem zadnjeg stupca matrice A.

Još jedan maloljetnik trećeg reda je

dobiveno brisanjem trećeg stupca matrice A.

Ovdje je crtež koji prikazuje konstrukciju ovih minora trećeg reda
i .

Za danu matricu A, nema minora reda većeg od trećeg, budući da .

Koliko minora k-tog reda matrice A reda postoji?

Broj minora reda k može se izračunati kao , gdje i - broj kombinacija od p do k, odnosno od n do k.

Kako konstruirati sve minore reda k matrice A reda p na n?

Trebamo skup brojeva redaka matrice i skup brojeva stupaca. Snimanje svega kombinacije p elemenata po k(odgovarat će odabranim redovima matrice A prilikom konstruiranja minora reda k). Svakoj kombinaciji brojeva redaka uzastopno dodajemo sve kombinacije od n elemenata po k brojeva stupaca. Ovi skupovi kombinacija brojeva redaka i broja stupaca matrice A pomoći će u sastavljanju svih minora reda k.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Pronađite sve minore drugog reda matrice.

Odluka.

Budući da je redoslijed izvorne matrice 3 puta 3, tada će ukupni minori drugog reda biti .

Zapišimo sve kombinacije brojeva 3 do 2 reda matrice A: 1, 2; 1, 3 i 2, 3. Sve kombinacije brojeva stupaca 3 po 2 su 1, 2; 1, 3 i 2, 3.

Uzmite prvi i drugi red matrice A. Odabirom prvog i drugog stupca za ove retke, prvog i trećeg stupca, drugog i trećeg stupca, dobivamo, redom, sporedne

Za prvi i treći red, sa sličnim izborom stupaca, imamo

Ostaje dodati prvi i drugi, prvi i treći, drugi i treći stupac u drugi i treći red:

Dakle, pronađeno je svih devet minora drugog reda matrice A.

Sada možemo prijeći na određivanje ranga matrice.

Definicija.

Matrični rang je najviši red nenulte matrice minor.

Rang matrice A označava se kao Rank(A). Također možete vidjeti oznake Rg(A) ili Rang(A) .

Iz definicija ranga matrice i minora matrice možemo zaključiti da je rang nulte matrice jednak nuli, a rang nenulte matrice je najmanje jedan.

Pronalaženje ranga matrice po definiciji.

Dakle, prva metoda za pronalaženje ranga matrice je metoda manjeg brojanja. Ova metoda se temelji na određivanju ranga matrice.

Trebamo pronaći rang matrice A reda.

Ukratko opišite algoritam rješenje ovog problema metodom popisivanja maloljetnika.

Ako postoji barem jedan element matrice osim nule, tada je rang matrice barem jednak jedan (budući da postoji minor prvog reda koji nije jednak nuli).

Zatim iteriramo nad minorima drugog reda. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan minor drugog reda različit od nule, tada prelazimo na nabrajanje minora trećeg reda, a rang matrice je najmanje jednak dva.

Slično, ako su svi minori trećeg reda nula, tada je rang matrice dva. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda različit od nule, tada je rang matrice najmanje tri i prelazimo na nabrajanje minora četvrtog reda.

Imajte na umu da rang matrice ne može prijeći najmanji od p i n.

Primjer.

Pronađite rang matrice .

Odluka.

Budući da je matrica različita od nule, njen rang nije manji od jedan.

Minor drugog reda je različit od nule, stoga je rang matrice A najmanje dva. Prelazimo na popis maloljetnika trećeg reda. Svi oni stvari.

Svi minori trećeg reda jednaki su nuli. Dakle, rang matrice je dva.

Odgovor:

Rang(A) = 2.

Pronalaženje ranga matrice metodom rubnih minora.

Postoje i druge metode za pronalaženje ranga matrice koje vam omogućuju da dobijete rezultat uz manje računskog rada.

Jedna od ovih metoda je fringing minor metoda.

pozabavimo se pojam graničnog maloljetnika.

Kaže se da manji M ok (k+1)-tog reda matrice A okružuje manji M reda k matrice A ako matrica koja odgovara minoru M ok "sadrži" matricu koja odgovara molu M .

Drugim riječima, matrica koja odgovara obrubljenom minoru M dobiva se iz matrice koja odgovara graničnom minoru M OK brisanjem elemenata jednog retka i jednog stupca.

Na primjer, razmotrite matricu a uzmi maloljetnicu drugog reda. Zapišimo sve granične maloljetnike:

Metoda obrubljivanja minora opravdana je sljedećim teoremom (njegovu formulaciju iznosimo bez dokaza).

Teorema.

Ako su svi minori koji graniče s minorom k-tog reda matrice A reda p po n jednaki nuli, tada su svi minori reda (k + 1) matrice A jednaki nuli.

Dakle, za pronalaženje ranga matrice nije potrebno nabrojati sve minore koji su dovoljno granični. Broj minora koji graniči s minorom k-tog reda matrice A reda nalazi se po formuli . Imajte na umu da nema više minora koji graniče s minorom k-tog reda matrice A nego što ima minora (k + 1)-tog reda matrice A. Stoga je u većini slučajeva korištenje metode graničenja maloljetnika isplativije od jednostavnog nabrajanja svih maloljetnika.

Nastavimo s pronalaženjem ranga matrice metodom rubnih minora. Ukratko opišite algoritam ovu metodu.

Ako je matrica A različita od nule, tada uzimamo bilo koji element matrice A koji je različit od nule kao minor prvog reda. Smatramo njezinim graničnim maloljetnicima. Ako su svi jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan granični minor različit od nule (njegov red je jednak dva), tada prelazimo na razmatranje njegovih graničnih minora. Ako su svi nula, tada je rang(A) = 2. Ako je barem jedan granični minor različit od nule (njegov red je jednak tri), tada smatramo njegove granične minore. itd. Kao rezultat toga, Rank(A) = k ako su svi granični minori (k + 1)-og reda matrice A jednaki nuli, ili Rank(A) = min(p, n) ako postoji nenula mol koji graniči s molom reda (min( p, n) – 1) .

Analizirajmo metodu obrubljivanja minora za pronalaženje ranga matrice na primjeru.

Primjer.

Pronađite rang matrice metodom graničnih maloljetnika.

Odluka.

Budući da je element a 1 1 matrice A različit od nule, uzimamo ga kao minor prvog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula:

Pronađen je granični minor drugog reda različit od nule. Nabrojimo njegove granične maloljetnike (njihove stvari):

Svi minori koji graniče s minorom drugog reda jednaki su nuli, stoga je rang matrice A jednak dva.

Odgovor:

Rang(A) = 2.

Primjer.

Pronađite rang matrice uz pomoć graničnih maloljetnika.

Odluka.

Kao nenulti minor prvog reda uzimamo element a 1 1 = 1 matrice A . Fringing it minor drugog reda nije jednako nuli. Ovaj maloljetnik omeđen je maloljetnikom trećeg reda
. Budući da nije jednaka nuli i za nju ne postoji granični minor, rang matrice A jednak je tri.

Odgovor:

Rang(A) = 3.

Pronalaženje ranga pomoću elementarnih transformacija matrice (Gaussovom metodom).

Razmotrimo još jedan način pronalaženja ranga matrice.

Sljedeće matrične transformacije nazivaju se elementarnim:

permutacija redaka (ili stupaca) matrice;
množenje svih elemenata bilo kojeg retka (stupca) matrice proizvoljnim brojem k koji je različit od nule;
dodatak elementima bilo kojeg retka (stupca) odgovarajućih elemenata drugog retka (stupca) matrice, pomnožen proizvoljnim brojem k.

Matrica B naziva se ekvivalentnom matrici A, ako se B dobije iz A uz pomoć konačnog broja elementarnih transformacija. Ekvivalentnost matrica označava se simbolom "~", odnosno piše se A ~ B.

Pronalaženje ranga matrice pomoću elementarnih matričnih transformacija temelji se na tvrdnji: ako je matrica B dobivena iz matrice A korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, tada je Rank(A) = Rank(B) .

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz svojstava determinante matrice:

Kada se redovi (ili stupci) matrice permutiraju, njezina determinanta mijenja predznak. Ako je jednak nuli, tada pri permutiranju redaka (stupaca) ostaje jednak nuli.
Prilikom množenja svih elemenata bilo kojeg retka (stupca) matrice s proizvoljnim brojem k različitim od nule, determinanta rezultirajuće matrice jednaka je determinanti izvorne matrice, pomnoženoj s k. Ako je determinanta izvorne matrice jednaka nuli, tada će nakon množenja svih elemenata bilo kojeg retka ili stupca brojem k, determinanta rezultirajuće matrice također biti jednaka nuli.
Dodavanje elementima određenog retka (stupca) matrice odgovarajućih elemenata drugog retka (stupca) matrice, pomnoženih nekim brojem k, ne mijenja njegovu determinantu.

Bit metode elementarnih transformacija je matricu, čiji rang trebamo pronaći, dovesti do trapeza (u konkretnom slučaju, do gornjeg trokuta) pomoću elementarnih transformacija.

Čemu služi? Rang matrica ove vrste je vrlo lako pronaći. Jednako je broju redaka koji sadrže barem jedan element koji nije nulti. A budući da se rang matrice ne mijenja tijekom elementarnih transformacija, rezultirajuća vrijednost bit će rang izvorne matrice.

Dajemo ilustracije matrica od kojih jednu treba dobiti nakon transformacija. Njihov oblik ovisi o redoslijedu matrice.

Ove ilustracije su predlošci u koje ćemo transformirati matricu A.

Hajdemo opisati algoritam metode.

Pretpostavimo da trebamo pronaći rang nenulte matrice A reda (p može biti jednako n).

Dakle, . Pomnožimo sve elemente prvog retka matrice A sa . U ovom slučaju dobivamo ekvivalentnu matricu, označavamo je A (1) :

Elementima drugog retka rezultirajuće matrice A (1) dodajemo odgovarajuće elemente prvog retka, pomnožene s . Elementima trećeg retka dodajte odgovarajuće elemente prvog retka, pomnožene s . I tako dalje do p-tog retka. Dobivamo ekvivalentnu matricu, označimo je A (2) :

Ako su svi elementi rezultirajuće matrice koji se nalaze u redovima od drugog do p-tog jednaki nuli, tada je rang ove matrice jednak jedan, a prema tome, rang izvorne matrice je jednako jednom.

Ako postoji barem jedan element različit od nule u recima od drugog do p-tog, onda nastavljamo provoditi transformacije. Štoviše, djelujemo na potpuno isti način, ali samo s dijelom matrice A označenim na slici (2)

Ako je , tada preuređujemo retke i (ili) stupce matrice A (2) tako da "novi" element postane različit od nule.

Određivanje ranga matrice

Razmotrimo matricu \(A\) tipa \((m,n)\). Neka je, radi određenosti, \(m \leq n\). Uzmite \(m\) redaka i odaberite \(m\) stupaca matrice \(A\), na sjecištu ovih redaka i stupaca dobivamo kvadratnu matricu reda \(m\), čija je determinanta pozvao manja narudžba \(m\) matrice \(A\). Ako se ovaj minor razlikuje od 0, zove se osnovni mol i reci da je rang matrice \(A\) \(m\). Ako je ova determinanta jednaka 0, tada se biraju drugi \(m\) stupci, na njihovom sjecištu nalaze se elementi koji tvore drugi minor reda \(m\). Ako je minor 0, nastavljamo postupak. Ako među svim mogućim minorima reda \(m\) nema onih koji nisu nula, odabiremo \(m-1\) retke i stupce iz matrice \(A\), na njihovom presjeku kvadratnu matricu reda \ (m-1\) pojavljuje se , njegova se determinanta naziva manjim redoslijedom \(m-1\) izvorne matrice. Nastavljajući postupak, tražimo minor koji nije nula, prolazeći kroz sve moguće minore, snižavajući njihov redoslijed.

Definicija.

Poziva se minor koji nije nula date matrice najvišeg reda osnovni mol izvorne matrice, naziva se njezin red rang matrice \(A\), redovi i stupci, na čijem se presjeku nalazi osnovni minor, nazivaju se osnovnim recima i stupcima. Rang matrice se označava sa \(rang(A)\).

Iz ove definicije proizlaze jednostavna svojstva ranga matrice: ona je cijeli broj, a rang matrice ne nula zadovoljava nejednakosti: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\ ).

Kako će se promijeniti rang matrice ako se redak prekriže? Dodati neki redak?

Provjerite odgovor

1) Rang se može smanjiti za 1.

2) Rang se može povećati za 1.

Linearna ovisnost i linearna neovisnost matričnih stupaca

Neka je \(A\) matrica tipa \((m,n)\). Razmotrimo stupce matrice \(A\) - to su stupci od \(m\) brojeva svaki. Označimo ih \(A_1,A_2,...,A_n\). Neka su \(c_1,c_2,...,c_n\) neki brojevi.

Definicija.

Stupac \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] naziva se linearna kombinacija stupaca \(A_1,A_2,...,A_n\), brojeva \(c_1,c_2 ,...,c_n\) nazivaju se koeficijenti ove linearne kombinacije.

Definicija.

Neka su dati \(p\) stupci \(A_1, A_2, ..., A_p\). Ako postoje brojevi \(c_1,c_2,...,c_p\) takvi da

1. nisu svi ovi brojevi nula,

2. linearna kombinacija \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) jednaka je nultom stupcu (tj. stupcu čiji su svi elementi nuli), tada kažemo da su stupci \( A_1, A_2, ..., A_p\) linearno ovisni. Ako ne postoje takvi brojevi \(c_1,c_2,...,c_n\) za dati skup stupaca, za stupce se kaže da su linearno neovisni.

Primjer. Razmotrite 2 stupca

\[ A_1=\left(\begin(niz)(c) 1 \\ 0 \end(niz) \desno), A_2=\left(\begin(niz)(c) 0 \\ 1 \end(niz) \desno), \] tada za sve brojeve \(c_1,c_2\) imamo: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(niz)(c) 0 \\ 1 \end(niz) \desno)=\left(\begin(niz)(c) c_1 \\ c_2 \end(niz) \desno). \]

Ova linearna kombinacija jednaka je nultom stupcu ako i samo ako su oba broja \(c_1,c_2\) jednaka nuli. Dakle, ovi stupci su linearno neovisni.

Izjava. Da bi stupci bili linearno ovisni, potrebno je i dovoljno da jedan od njih bude linearna kombinacija ostalih.

Neka su stupci \(A_1,A_2,...,A_m\) linearno ovisni, tj. za neke konstante \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), od kojih nisu sve 0, izvršava se sljedeće: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k =0 \ ] (na desnoj strani - nulti stupac). Neka je, na primjer, \(\lambda _1 \neq 0\). Tada \[ A_1=\zbroj _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] tj. prvi stupac je linearna kombinacija ostalih.

Osnovni mali teorem

Teorema.

Za bilo koju matricu koja nije nula \(A\) vrijedi sljedeće:

1. Osnovni stupci su linearno neovisni.

2. Bilo koji stupac matrice je linearna kombinacija njegovih osnovnih stupaca.

(Isto vrijedi i za žice).

Neka je, radi određenosti, \((m,n)\) tip matrice \(A\), \(rang(A)=r \leq n\), a bazni minor se nalazi u prvom \( r\) matrice redaka i stupaca \(A\). Neka je \(s\) bilo koji broj između 1 i \(m\), \(k\) bilo koji broj između 1 i \(n\). Razmotrimo minor sljedećeg oblika: \[ D=\left| \begin(array)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(niz) \right| , \] tj. osnovnom smo molu dodijelili \(s-\)-ti stupac i \(k-\)-ti red. Prema definiciji ranga matrice, ova determinanta je jednaka nuli (ako smo odabrali \(s\leq r\) ili \(k \leq r\) , tada ovaj minor ima 2 identična stupca ili 2 identična reda, ako je \( s>r\) i \(k>r\) - prema definiciji ranga, minor veličine veće od \(r\) nestaje). Proširujući ovu determinantu preko zadnjeg retka, dobivamo: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks)A_ (ks )=0. \quad \quad(16) \]

Ovdje su brojevi \(A_(kp)\) algebarski komplementi elemenata iz donjeg reda \(D\). Njihove vrijednosti ne ovise o \(k\), jer formiraju se pomoću elemenata iz prvih \(r\) redaka. U ovom slučaju, \(A_(ks)\) je osnovni minor različit od 0. Označite \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks)=c_s \neq 0 \). Prepišimo (16) u novom zapisu: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] ili, dijeleći s \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Ova jednakost vrijedi za bilo koju vrijednost \(k\), pa \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ ( 2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ .................... . ................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_(m1) + \lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Dakle, \(s-\)-ti stupac je linearna kombinacija prvih \(r\) stupaca. Teorem je dokazan.

Komentar.

Osnovni mali teorem podrazumijeva da je rang matrice jednak broju njezinih linearno neovisnih stupaca (koji je jednak broju linearno neovisnih redaka).

Posljedica 1.

Ako je determinanta nula, tada ima stupac koji je linearna kombinacija ostatka stupaca.

Posljedica 2.

Ako je rang matrice manji od broja stupaca, tada su stupci matrice linearno ovisni.

Izračunavanje ranga matrice i pronalaženje baznog minora

Neke transformacije matrice ne mijenjaju njezin rang. Takve se transformacije mogu nazvati elementarnim. Odgovarajuće činjenice mogu se lako provjeriti korištenjem svojstava determinanti i definicije ranga matrice.

1. Preuređivanje stupaca.

2. Množenje elemenata bilo kojeg stupca s faktorom koji nije nula.

3. Dodavanje stupcu bilo kojeg drugog stupca, pomnoženo proizvoljnim brojem.

4. Precrtavanje nulte kolone.

Isto vrijedi i za žice.

Pomoću ovih transformacija matrica se može transformirati u takozvani "trapezoidni" oblik - matricu, ispod čije se glavne dijagonale nalaze samo nule. Za "trapezoidnu" matricu, rang je broj elemenata koji nisu nula na glavnoj dijagonali, a bazni minor je minor čija dijagonala odgovara skupu nenultih elemenata na glavnoj dijagonali transformirane matrice.

Primjer. Razmotrimo matricu

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(niz)\desno). \] Preobrazit ćemo ga pomoću gornjih transformacija. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(niz) \desno) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(niz) \desno) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(niz) \desno) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(niz) \desno)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(niz)\desno). \]

Ovdje dosljedno poduzimamo sljedeće korake: 1) preurediti drugi red prema gore, 2) oduzeti prvi red od ostatka s odgovarajućim faktorom, 3) oduzeti drugi red od trećeg 4 puta, dodati drugi red u četvrti, 4) prekriži nulte redove - treći i četvrti. Naša konačna matrica dobila je željeni oblik: na glavnoj dijagonali su brojevi različiti od nule, a ispod glavne dijagonale nule. Nakon toga, postupak se zaustavlja i broj nenultih elemenata na glavnoj dijagonali jednak je rangu matrice. U ovom slučaju, osnovni minor su prva dva retka i prva dva stupca. Na njihovu presjeku nalazi se matrica reda 2 s determinantom različitom od nule. Istodobno, vraćajući se duž lanca transformacija u suprotnom smjeru, može se pratiti odakle dolazi ovaj ili onaj redak (ovaj ili onaj stupac) u konačnoj matrici, t.j. odrediti osnovne retke i stupce u izvornoj matrici. U ovom slučaju, prva dva retka i prva dva stupca čine osnovni minor.

Neka je A matrica dimenzija m\puta n, a k je prirodan broj koji ne prelazi m i n: k\leqslant\min\(m;n\). Manji k-ti red matrica A je determinanta matrice k-tog reda koju čine elementi na sjecištu proizvoljno odabranih k redaka i k stupaca matrice A . Označavajući minore, brojevi odabranih redaka bit će označeni gornjim indeksima, a odabrani stupci donjim indeksima, poredajući ih uzlaznim redoslijedom.

Primjer 3.4. Napišite minore različitog matrice

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Odluka. Matrica A ima dimenzije 3\x4 . Ima: 12 maloljetnika 1. reda npr. maloljetnika M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 maloljetnika 2. reda, npr. M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 maloljetnika 3. reda, npr.

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

U matrici A m\puta n naziva se minor r-tog reda Osnovni, temeljni, ako je različit od nule, a svi minori (r + 1)-ro reda jednaki su nuli ili uopće ne postoje.

Matrični rang naziva se red baznog mola. U nultoj matrici nema baznog mola. Stoga se pretpostavlja da je rang nulte matrice, po definiciji, nula. Označava se rang matrice A \operatorname(rg)A.

Primjer 3.5. Pronađite sve bazne minore i rang matrice

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Odluka. Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, budući da je treći red ovih determinanti nula. Stoga samo minor drugog reda koji se nalazi u prva dva reda matrice može biti osnovni. Prolazeći kroz 6 mogućih minora, odabiremo različitu od nule

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Svaki od ovih pet maloljetnika je osnovni. Stoga je rang matrice 2.

Napomene 3.2

1. Ako su u matrici svi minori k-tog reda jednaki nuli, tada su i minori višeg reda jednaki nuli. Doista, širenjem minora (k + 1)-ro reda preko bilo kojeg retka, dobivamo zbroj umnožaka elemenata ovog retka s minorima k-tog reda, a oni su jednaki nuli.

2. Rang matrice jednak je najvećem redu minora koji nije nula ove matrice.

3. Ako je kvadratna matrica nedegenerirana, tada je njezin rang jednak njenom redu. Ako je kvadratna matrica degenerirana, tada je njezin rang manji od reda.

4. Oznake se također koriste za rang \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rank)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Blok matrični rang definira se kao rang obične (numeričke) matrice, tj. bez obzira na njegovu blok strukturu. U ovom slučaju, rang matrice blokova nije manji od ranga njenih blokova: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A i \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, budući da su svi minori matrice A (ili B ) također i minori blok matrice (A\mid B) .

Teoremi o baznom molu i o rangu matrice

Razmotrimo glavne teoreme koji izražavaju svojstva linearne ovisnosti i linearne neovisnosti stupaca (redova) matrice.

Teorem 3.1 o osnovnom molu. U proizvoljnoj matrici A, svaki stupac (red) je linearna kombinacija stupaca (redova) u kojoj se nalazi bazni minor.

Doista, bez gubitka općenitosti, pretpostavljamo da se u m\put n matrici A osnovni minor nalazi u prvih r redaka i prvih r stupaca. Razmotrimo odrednicu

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

koji se dobiva dodjeljivanjem odgovarajućih elemenata s-tog retka i k-tog stupca baznom molu matrice A. Imajte na umu da za bilo koje 1\leqslant s\leqslant m a ova determinanta je nula. Ako je s\leqslant r ili k\leqslant r , tada determinanta D sadrži dva identična retka ili dva identična stupca. Ako je s>r i k>r , tada je determinanta D jednaka nuli, budući da je minor reda (r+l)-ro. Proširujući determinantu preko zadnjeg retka, dobivamo

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

gdje su D_(r+1\,j) algebarski komplementi elemenata posljednjeg retka. Imajte na umu da je D_(r+1\,r+1)\ne0 , budući da je ovo osnovni mol. Tako

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), gdje \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Zapisujući posljednju jednakost za s=1,2,\ldots,m , dobivamo

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

oni. k -ti stupac (za bilo koji 1\leqslant k\leqslant n) je linearna kombinacija stupaca osnovnog mola, što je trebalo dokazati.

Osnovni manji teorem služi za dokazivanje sljedećih važnih teorema.

Uvjet da determinanta bude jednaka nuli

Teorem 3.2 (nužan i dovoljan uvjet da determinanta bude jednaka nuli). Da bi determinanta bila jednaka nuli, potrebno je i dovoljno da jedan njezin stupac (jedan od njegovih redaka) bude linearna kombinacija preostalih stupaca (redova).

Doista, nužnost proizlazi iz osnovnog manjeg teorema. Ako je determinanta kvadratne matrice n-tog reda jednaka nuli, tada je njezin rang manji od n, tj. barem jedan stupac nije uključen u osnovni minor. Tada je ovaj odabrani stupac, prema teoremu 3.1, linearna kombinacija stupaca u kojima se nalazi bazni minor. Dodajući, ako je potrebno, ovoj kombinaciji druge stupce s nula koeficijentima, dobivamo da je odabrani stupac linearna kombinacija preostalih stupaca matrice. Dovoljnost proizlazi iz svojstava determinante. Ako je npr. zadnji stupac A_n determinante \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) linearno izraženo u smislu ostatka

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

zatim dodajući u A_n stupac A_1 pomnožen s (-\lambda_1) , zatim stupac A_2 pomnožen s (-\lambda_2) i tako dalje. stupac A_(n-1) pomnožen s (-\lambda_(n-1)) , dobivamo determinantu \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) s nultim stupcem koji je jednak nuli (svojstvo 2 determinante).

Invarijantnost ranga matrice prema elementarnim transformacijama

Teorem 3.3 (o invarijantnosti ranga prema elementarnim transformacijama). Pod elementarnim transformacijama stupaca (redova) matrice, njezin se rang ne mijenja.

Doista, neka. Pretpostavimo da smo kao rezultat jedne elementarne transformacije stupaca matrice A dobili matricu A". Ako je izvršena transformacija tipa I (permutacija dva stupca), tada bilo koji minor (r + l) - ro od red matrice A" ili jednak odgovarajućem minoru (r + l )-ro reda matrice A, ili se od njega razlikuje predznakom (svojstvo 3 determinante). Ako je izvršena transformacija tipa II (množenje stupca brojem \lambda\ne0 ), tada je svaki minor (r+l)-ro reda matrice A" ili jednak odgovarajućem minoru (r+l)- ro reda matrice A , ili se od njega razlikuje množitelj \lambda\ne0 (svojstvo 6 determinante). Ako je izvršena transformacija tipa III (dodavanje jednom stupcu drugog stupca pomnoženo brojem \Lambda), tada bilo koji minor (r + 1)-tog reda matrice A" ili je jednak odgovarajućem minoru (r+1)-tog reda matrice A (svojstvo 9 determinante), ili je jednak zbroju dva minora reda (r+l)-ro matrice A (svojstvo 8 determinante). Prema tome, pod elementarnom transformacijom bilo koje vrste, svi minori (r + l) - ro reda matrice A" jednaki su nuli, budući da su svi minori (r + l) - ro reda matrice A jednak nuli. Dakle, dokazano je da se pod elementarnim transformacijama stupaca matrice ranga ne mogu povećati. Budući da su transformacije inverzne elementarnim elementarnim, rang matrice pod elementarnim transformacijama stupaca ne može se smanjiti, tj. ne mijenjati. slično dokazao da se rang matrice ne mijenja pod elementarnim transformacijama redaka.

Posljedica 1. Ako je jedan red (stupac) matrice linearna kombinacija njegovih ostalih redaka (stupaca), tada se ovaj red (stupac) može izbrisati iz matrice bez promjene njegovog ranga.

Doista, takav niz se može učiniti nultim pomoću elementarnih transformacija, a null niz se ne može uključiti u osnovni mol.

Posljedica 2. Ako se matrica svede na najjednostavniji oblik (1.7), onda

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Doista, matrica najjednostavnijeg oblika (1.7) ima bazni minor r-tog reda.

Posljedica 3. Svaka nesingularna kvadratna matrica je elementarna, drugim riječima, svaka nesingularna kvadratna matrica je ekvivalentna matrici identiteta istog reda.

Doista, ako je A nesingularna kvadratna matrica reda n, onda \operatorname(rg)A=n(vidi točku 3. napomene 3.2). Stoga, svodeći matricu A na najjednostavniji oblik (1.7) elementarnim transformacijama, dobivamo matricu identiteta \Lambda=E_n , budući da \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(vidi Korolar 2). Prema tome, matrica A je ekvivalentna matrici identiteta E_n i iz nje se može dobiti kao rezultat konačnog broja elementarnih transformacija. To znači da je matrica A elementarna.

Teorem 3.4 (o rangu matrice). Rang matrice jednak je maksimalnom broju linearno neovisnih redaka ove matrice.

Doista, neka \operatorname(rg)A=r. Tada matrica A ima r linearno neovisnih redaka. To su redovi u kojima se nalazi osnovni mol. Da su linearno ovisni, tada bi ovaj minor bio jednak nuli prema teoremu 3.2, a rang matrice A ne bi bio jednak r. Pokažimo da je r maksimalni broj linearno neovisnih redaka, tj. bilo koji p redovi su linearno ovisni za p>r . Doista, formiramo matricu B od ovih p redaka. Budući da je matrica B dio matrice A, onda \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

To znači da barem jedan red matrice B nije uključen u osnovni minor ove matrice. Tada je, prema teoremu o baznom molu, jednak linearnoj kombinaciji redaka u kojoj se nalazi bazni minor. Stoga su redovi matrice B linearno ovisni. Dakle, matrica A ima najviše r linearno neovisnih redaka.

Posljedica 1. Maksimalni broj linearno neovisnih redaka u matrici jednak je maksimalnom broju linearno neovisnih stupaca:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Ova tvrdnja proizlazi iz teorema 3.4 ako se primijeni na redove transponirane matrice i uzme u obzir da se minori ne mijenjaju transpozicijom (osobina 1 determinante).

Posljedica 2. Pod elementarnim transformacijama redaka matrice, zadržava se linearna ovisnost (ili linearna neovisnost) bilo kojeg sustava stupaca ove matrice.

Doista, biramo bilo koje k stupaca zadane matrice A i od njih formiramo matricu B. Neka je kao rezultat elementarnih transformacija redaka matrice A dobivena matrica A", a kao rezultat istih transformacija redaka matrice B, dobivena je matrica B". Prema teoremu 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Prema tome, ako bi stupci matrice B bili linearno neovisni, t.j. k=\ime operatora(rg)B(vidi Korolar 1), tada su stupci matrice B" također linearno neovisni, budući da k=\ime operatera(rg)B". Kad bi stupci matrice B bili linearno ovisni (k>\ime operatera(rg)B), tada su i stupci matrice B" također linearno ovisni (k>\operatorname(rg)B"). Stoga, za bilo koji stupac matrice A, linearna ovisnost ili linearna neovisnost je sačuvana pod elementarnim transformacijama redaka.

Napomene 3.3

1. Na temelju posljedica 1 teorema 3.4, svojstvo stupca navedeno u dosljednici 2 vrijedi i za bilo koji sustav redaka matrice ako se elementarne transformacije izvode samo na njegovim stupcima.

2. Korolar 3 teorema 3.3 može se pročistiti na sljedeći način: bilo koja nesingularna kvadratna matrica, koristeći elementarne transformacije samo svojih redaka (ili samo svojih stupaca), može se svesti na matricu identiteta istog reda.

Doista, koristeći samo elementarne transformacije reda, bilo koja matrica A može se svesti na pojednostavljeni oblik \Lambda (slika 1.5) (vidi Teorem 1.1). Budući da je matrica A nesingularna (\det(A)\ne0) , njezini su stupci linearno neovisni. Dakle, stupci matrice \Lambda su također linearno neovisni (korolar 2 teorema 3.4). Stoga se pojednostavljeni oblik \Lambda nesingularne matrice A poklapa s njezinim najjednostavnijim oblikom (slika 1.6) i predstavlja matrica identiteta \Lambda=E (vidi Korolar 3 teorema 3.3). Dakle, transformacijom samo redaka nesingularne matrice, ona se može svesti na identičnu. Slično razmišljanje vrijedi i za elementarne transformacije stupaca nesingularne matrice.

Rang proizvoda i zbroj matrica

Teorem 3.5 (o rangu proizvoda matrica). Rang proizvoda matrica ne prelazi rang faktora:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Doista, neka matrice A i B imaju veličine m\ puta p i p\ puta n. Dodijelimo matrici A matricu C=AB\dvotočka\,(A\sredina C). To se podrazumijeva \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), jer je C dio matrice (A\mid C) (vidi točku 5. napomene 3.2). Imajte na umu da je svaki stupac C_j, prema operaciji množenja matrice, linearna kombinacija stupaca A_1,A_2,\ldots,A_p matrice A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Takav stupac može se obrisati iz matrice (A\mid C) bez promjene njegovog ranga (korolar 1 teorema 3.3). Prekriživši sve stupce matrice C, dobivamo: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Odavde, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Slično, može se dokazati da uvjet \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, i donijeti zaključak o valjanosti teorema.

Posljedica. Ako je a A je dakle nedegenerirana kvadratna matrica \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B i \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, tj. rang matrice se ne mijenja kada se pomnoži s lijeve ili desne strane nesingularnom kvadratnom matricom.

Teorem 3.6 o rangu zbroja matrica. Rang zbroja matrica ne prelazi zbroj rangova pojmova:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Doista, napravimo matricu (A+B\srednja A\sredina B). Imajte na umu da je svaki stupac matrice A+B linearna kombinacija stupaca matrice A i B. Tako \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Uzimajući u obzir da broj linearno neovisnih stupaca u matrici (A\mid B) ne prelazi \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(vidi točku 5. Napomene 3.2), dobivamo traženu nejednakost.

Neka je dana neka matrica:

Odaberite u ovoj matrici proizvoljnih linija i proizvoljnih stupaca
. Zatim odrednica reda, sastavljena od matričnih elemenata
koji se nalazi na sjecištu odabranih redaka i stupaca naziva se sporednim matrica -tog reda
.

Definicija 1.13. Matrični rang
je najveći poredak nenulte minora ove matrice.

Da bi se izračunao rang matrice, treba uzeti u obzir sve njezine minore najmanjeg reda i, ako je barem jedan od njih različit od nule, prijeći na razmatranje minora najvišeg reda. Ovaj pristup određivanju ranga matrice naziva se granična metoda (ili granična manja metoda).

Zadatak 1.4. Metodom obrubljivanja minora odredite rang matrice
.

Uzmimo u obzir graničenje prvog reda, na primjer,
. Zatim prelazimo na razmatranje neke granice drugog reda.

Na primjer,
.

Konačno, analizirajmo obrubljivanje trećeg reda.

Dakle, najviši red nenulte minora je 2, dakle
.

Prilikom rješavanja zadatka 1.4 može se primijetiti da su nizovi graničnih minora drugog reda različiti od nule. U tom smislu dolazi do sljedećeg pojma.

Definicija 1.14. Osnovni minor matrice je svaki nenulti minor čiji je red jednak rangu matrice.

Teorem 1.2.(Osnovni mali teorem). Osnovni redovi (osnovni stupci) linearno su neovisni.

Imajte na umu da su reci (stupci) matrice linearno ovisni ako i samo ako se barem jedan od njih može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih.

Teorem 1.3. Broj linearno neovisnih redaka matrice jednak je broju linearno neovisnih stupaca matrice i jednak je rangu matrice.

Teorem 1.4.(Potreban i dovoljan uvjet da determinanta bude jednaka nuli). Da bi determinanta -ti red jednaka nuli, potrebno je i dovoljno da njegovi redovi (stupci) budu linearno ovisni.

Izračunavanje ranga matrice na temelju njezine definicije previše je glomazno. Ovo postaje posebno važno za matrice visokog reda. S tim u vezi, u praksi se rang matrice izračunava na temelju primjene teorema 10.2 - 10.4, kao i korištenja pojmova ekvivalencije matrice i elementarnih transformacija.

Definicija 1.15. Dvije matrice
i nazivaju se ekvivalentnima ako su im rangovi jednaki, t.j.
.

Ako matrice
i su ekvivalentni, onda napomenu
 .

Teorem 1.5. Rang matrice se ne mijenja od elementarnih transformacija.

Nazvat ćemo elementarne transformacije matrice
bilo koja od sljedećih radnji na matrici:

Zamjena redaka stupcima i stupaca odgovarajućim redcima;

Permutacija redaka matrice;

Precrtavanje linije čiji su svi elementi jednaki nuli;

Množenje bilo kojeg niza brojem koji nije nula;

Dodavanje elemenata jednog retka odgovarajućih elemenata drugog retka pomnoženih s istim brojem
.

Posljedica teorema 1.5. Ako je matrica
dobivene iz matrice koristeći konačan broj elementarnih transformacija, zatim matrice
i su ekvivalentni.

Prilikom izračunavanja ranga matrice, treba je svesti na trapezoidni oblik korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija.

Definicija 1.16. Trapezom ćemo nazvati takav oblik prikaza matrice, kada u graničnom minoru najvećeg reda različitog od nule svi elementi ispod dijagonalnih nestanu. Na primjer:

Ovdje
, matrični elementi
okrenuti na nulu. Tada će oblik reprezentacije takve matrice biti trapezoidni.

U pravilu se matrice svode na trapezoidni oblik pomoću Gaussovog algoritma. Ideja Gaussovog algoritma je da se množenjem elemenata prvog retka matrice s odgovarajućim faktorima postižu da se svi elementi prvog stupca nalaze ispod elementa.
, okrenuo bi se na nulu. Zatim, množenjem elemenata drugog stupca s odgovarajućim množiteljima, postižemo da se svi elementi drugog stupca nalaze ispod elementa
, okrenuo bi se na nulu. Dalje postupite na sličan način.