Как найти n от числа а. Калькулятор процентов онлайн

В данной статье мы опишем, как найти процент от числа , долю одного числа от другого. Где-то классе в пятом, на занимательных уроках математики дети начинают изучать такую тему как «проценты» . Тогда для любителей посчитать открывается увлекательный мир процентных соотношений и дробных чисел. Учителя дают для решения почтенное количество любопытных, увлекательных задач на определение процентов. Но в школьные годы дети думают, что им не обязательно пригодятся эти знания, а зря! Ведь эта тема всегда актуальна, тесно связана с повседневной жизнью и вполне может пригодиться в различных жизненных ситуациях.

Для чего важно уметь находить проценты от чисел

Уметь просчитывать проценты необходимо, однозначно, каждому. Вы спросите - почему? Просто любой человек практически ежедневно сталкивается с ценами на товары и услуги в тех или иных предприятиях и заведениях. Почти каждый второй имеет кредит, рассрочку, у многих есть сберегательные вклады в банках, и, возможно, даже не в одном. Налоги, страховка, покупки - в нашем мире почти везде задействованы проценты. Эта тема касается как финансовой, экономической так и других сфер нашей жизни. Но при решении детских задач из учебников 5-6 классов нет столько подводных камней, как при расчете взрослого кредита.

В школьной программе есть 3 закономерности для решения задач в процентах:

нахождение процента от числа;

нахождение процентного соотношения чисел

нахождение самого числа исходя из его же процента .

Не стоит забывать о том, что вычисление процентов очень часто используются в обыденности. Примером этого служит применение их в расчетах бюджета вашей семьи. Многие семьи берут кредиты такие как: «Автокредит», «Потребительский кредит», «Кредит на образование» ну и конечно же « Жилищный кредит», имеющий так же другое, более привычное нам название - «Ипотека».

Как обозначается процент от числа

Известно, что процент обозначается значком «%» . Используют разные определения термина.

Первое, известное всем: процент, это одна сотая часть числа.
Второе - это плата, взимаемая банком или иными лицами, выдающими финансовые средства в кредит, за их пользование. Это понятие крайне часто встречается людям в повседневной жизни.

Процента от числа - история происхождения понятия

Мало кто задумывался, откуда взялся этот термин. А ведь слово «процент» родом из Римской империи. Слово «pro centum» мало о чем Вам может рассказать. А ведь буквальное его обозначение означает «со ста» или же «за сотню». Сама идея выражать части целого в множестве равных долей родилась давным-давно еще в древнем Вавилоне. Тогда люди использовали шестидесятеричные дроби при своих расчетах. Люди жившие в Вавилоне оставили нам «на память» реестры, по которым рассчитывали проценты для подсчета суммы долга, «набежавшей» по процентам у заемщика.

Проценты имели огромную известность еще в Других государствах Древности. Люди, знающие точную науку математику, в Индии высчитывали проценты по тройному правилу использовали при своих расчетах пропорции. Римляне же, например, были профессионалами этой сферы, ведь они называли процентом те деньги, который неплательщик вынужден вернуть тому, кто их выдал, причем за каждую сотню. Еще тогда Парламент Рима принял максимум допустимого процента, который брали с должника, потому как бывали случаи, когда заимодатели чрезмерно старались получить свои процентные деньги. И именно от Римлян понятие процентов перешло ко всем остальным народам.

Кому нужно знать - как считать проценты?

Бухгалтер. Ему просто необходимо знать, как считать проценты. В любой компании, на любой работе, есть человек занимающийся начислением заработной платы. Рассчитывающий, вычитающий, умножающий ваши кровные, заработанные честным трудом, деньги. Кто это? Конечно бухгалтер. Например, он занимается вычетом процента от заработной платы. Этим процентом является налог, который на данный момент составляет 13% от дохода.
Банковский служащий. Ему тоже просто необходимо знание процента. Для чего? Да потому что именно этот сотрудник занимается кредитами, ипотеками, финансовыми вложениями. Он рассчитывает то, куда уходят деньги людей. Предоставляет информацию о том, сколько человек переплатит или получит в процессе сделки с банком.
Окулист. Врач, осматривающий глазное дно, изучающий то, насколько хорошо человек видит. Он определяет зрение. Он выпишет очки. Но со зрением, как и с очками, не все так просто - все мы индивидуальны, соответственно и зрение у нас разное. У кого то +(-) 1, а у кого то +(-) 0,75. И окулист как никто другой, знает толк в этом. И понять ему это дает не только образование, но и знание процентного соотношения.

Применение нахождения процентов в разных областях

Финансовое. Тут все элементарно - это та самая сумма, которую кредитозаемщик платит кредитору за то, что второй предоставил первому денежные средства во временное пользование. При этом условия выдачи оба лица оговаривают предварительно и индивидуально, закрепив финансовые отношения документально.

Лексика бизнеса. В бизнесе есть такое понятие - «работать за проценты». Означает это то, что человек готов работать и получать вознаграждение которое исчисляют из прибыли и оборота предприятия.

Значение в экономике. Некоторую сумму от прибыли, которую «заимодатель» выплачивает «кредитору» за денежный капитал, взятый в ссуду. Источником процентов является прибавочная стоимость, которая формируется при использовании его ссудного капитала.

Процент ссудный . Это, своего рода, отчисление за временное пользование финансами. Категория, которая функционирует в кредитных отношениях. Вкратце - это отношения между займодавцом и кредитозаемщиком, где у каждый заинтересован по своему при нахождении и получении процента. Это не является кредитом, потому как ссудный процент является лишь стоимостью прибыли от продукта. Получается, что сам процент - это просто вычет прибыли из суммы, которая находится в распоряжении заемщика.

Процент депозитный. Отчисление процентов за сохранение денежных средств в хранилищах, которую банк или иной кредитозаемщик берет. Есть два участника данных отношений. Первое лицо (займодавец) - клиент банка, второе (кредитозаемщик) - сам банк.

Как найти проценты — формула нахождения процента от числа (2 формулы с примерами)

Есть две простых формулы нахождения процентов от числа:

1. Первая формула, как можно посчитать процент от числа - нужное число разделить на сто и умножить на то количество процентов, которое необходимо.

X/100*Y=...
Где X - общее число, из которого нужно извлечь процент, Y - искомый процент от нее.

Пример из жизни: Вам нужно перевести 300 рублей родственнику на Камчатку. Вы воспользовались платежной системой «Жмотфинанс», в которой процент за перевод составляет 16% от суммы платежа. Таким образом нам нужно узнать, сколько будет 16 процентов от числа 300. Делим 300 на 100 и умножаем на 16. (300/100*16) = 48. Это и будет та сумма, которую заберет себе жадная платежная система.

2. И вторая, более простая формула - умножить число, из которого нужно извлечь (X) на 0,Y - где Y - это кол-во искомых процентов , получится нужная сумма процентов .

X* 0, Y... =
Где так же: X - общее число, Y - искомый процент от нее.

Пример из жизни: допустим, вы снова обратились в фирму «Жмотфинанс», которая за те же 16% готова осуществить перевод ваших средств в любую точку России. Но теперь вам нужно отправить другому родственнику, живущему во Владивостоке и уже другую сумму — 500 руб. Значит, нам нужно получить процент от числа 500. Для этого просто умножаем 500 на 0,16 (500*0,16) = 80. Грабительские 80 рублей в качестве процентов за перевод уходят в доход этой жадной компании.

Напоследок помните - алгебра, геометрия, физика, химия и многие другие науки пригодятся вам всегда. А умение найти процент от числа может даже послужить выгодой для вас в будущем. Числа и цифры играют важнейшую роль в будущем человека. А способность находить в уме проценты от любого числа может значительно облегчить вам жизнь и поможет избежать в нелепых и неловких ситуаций в повседневном обиходе.

Видео о расчете доли

Наш мир состоит из схем и последовательностей. Они повсюду: день сменяется ночью, животные мигрируют в своем порядке. У животных даже есть чувство расстояния и количества. Главная концепция математики - это пространство и количество, встроенные в наш мозг. В природе все взаимосвязано с этой наукой. Возможно, некоторые люди не задумываются над этим. Но это так. Великие представители разных культур открыли язык математики для описания Вселенной. И на их основе человек в современном мире пользуется ею в жизни. К примеру, процент от числа в основном затрагивает экономику, финансовую и демографическую сторону нашей жизни. Таким образом, даже эта незначительная часть великой науки имеет отношение к каждой семье. В современном мире уже не обойтись без определенных познаний в той или иной области.

Зачем человеку математические расчеты в жизни?

Это нужно для равномерного развития во всех отношениях, для рационального использования расходов семьи. Информация из данной статьи может пригодиться каждому из нас. Кому-то будет полезно освежить знания, полученные еще на школьной скамье, а некоторым людям необходимо заполнить брешь в образовании. Ведь не секрет, что многие из нас могли относиться к обучению в школе несерьезно. Когда мы были детьми, то считали, что некоторые темы слишком сложны и вообще не пригодятся нам в жизни. Особенно нужны знания о том, как находить процент от числа. Математика есть везде: в биологии, химии, астрономии. Она учит думать нестандартно. Развивает математическую логику, раскрывает творческие способности. Как сказал один умный человек: «Математика - это особый вид искусства». Чтобы представить все нюансы, нужно включать фантазии и абстрактное мышление. А для того чтобы все это было интересно, необходим высокий уровень преподавания точных наук и правильное восприятие. Знания вычислений (процент от числа) упрощают жизнь в материальном и другом отношении.

Когда в жизни применяется расчет процента?

Это необходимо для сравнения, восприятия (например, человек состоит из 66% воды, а медуза - из 98%). В экономике используется процент от числа (можно вычислить прибыль в бизнесе ((3000 - 2000) : 2000) · 100% = 50%). Также эти знания пригодятся для анализа величин (например, в июне - 100% зарплата, в июле - на 50% выше, 100 + 50 = 150%, (50: 150) умножаем на 100%, получается (1: 3) х 100 = 33%, т. е. на 33% зарплата была меньше, чем в июле). Высчитать процент от числа будет легко, если один раз вникнуть в суть задачи. Если вы усвоите материал о нахождении части от числа и наоборот, то трудностей с вычислением процентов не будет. Например, найдем 2/5 части от 20. Решение: 20 х 2/5 = 20 х 2: 5 = 8. Теперь можно понять, как производить расчеты по процентам.

Расчет процента от числа

Для того чтобы разобраться в теме, желательно начать с самых ее азов. Один процент - это одна сотая от числа: 1/100, или 0,01. Два процента - это 2/100, или 0,02. Двадцать процентов = 20/100 = 1/5 = 0,2. Так же 75% = 75/100 = 3/4 = 0,75. Сейчас высчитаем, допустим, 25% от 80. Рассмотрим пример. 25% = 25/100 = 0,25 = 1/4, а 80 х 0,25 = 20. Еще один способ: 80 х 25/100 = 80 х 1: 4 = 20. Как видно, на результат решения не влияет форма записи числа. Или высчитаем 20% от 150. Простой пример: 20% = 0,2. 150 х 0,2 = 30. Выше упоминалось, что такие вычисления необходимы при составлении бюджетной книги семьи. Попробуем подсчитать самостоятельно свой бюджет (расходы и доходы), рассмотрев предложенный пример.

Бюджетные расчеты семьи

Родители получают: мама - восемь тысяч, папа - шесть тысяч. Всего четырнадцать тысяч (100%). Нужно найти процентный доход в бюджет семьи обоих родителей. Применим правило нахождения процента от числа. Чтобы найти процент зарплаты, нужно умножить сумму на сто и разделить на четырнадцать тысяч. (6000 х 100: 14 000 = 42,85%). Далее: (8000 х 100: 14 000 = 57,14%). Теперь рассмотрим расходы семьи и процент от суммы.

Расходы семьи

Коммунальные услуги - 800 рублей (800 х 100: 14 000 = 5,7%).
Электроэнергия - 490 рублей (490 х 100: 14 000 = 3,5%).
Оплата стационарного телефона - 250 рублей (250 х 100: 14 000 = 1,7%).
Питание - 5000 рублей (5000 х 100: 14 000 = 35,71%).
Одежда - 3900 рублей (3900 х 100: 14 000 = 27,85%).
Медикаменты - 510 рублей (510 х 100: 14 000 = 3,64%).
Моющие средства - 220 рублей (220 х 100: 14 000 = 1,57%).
Покупка бензина и прочее для машины - 1000 рублей (1000 х 100: 14 000 = 7,1%).
Оплата школьного питания - 500 рублей (500 х 100: 14 000 = 3,57%).
Всего 12 670 рублей (12 670 х 100: 14 000 = 90,5%).

Вывод: 90,5% расходов от числа, т. е. от зарплаты родителей. Почти 10% остается на всякий непредвиденный случай. В мире существуют формулы, которые желательно запомнить. Они пригодятся везде. Следующий подраздел статьи мы как раз и посвятим этой теме.

Формулы

Приведем пример существующих формул:

В = А х Р: 100%; А = В х 100% : Р;
Р = В: А х 100%; В = А х (1 + Р: 100%);
В = А х (1 - Р: 100%);
А = (В х 100%) : (100% + Р).

Также список продолжают формулы:

А = (В х 100%) : (100% - Р);
В = А х (1 + Р: 100%) х n.

Обозначения: В - будущая стоимость; А - текущая стоимость; Р - процентная ставка за определенный период; n - количество всех вычислительных периодов.

Приведем пример. Задача № 1: необходимо найти В, которое составляет 6% от 36. Решение: В = 36 х 6: 100 = 2,16. Ответ: В = 2,16.

Задача № 2. Сколько процентов составляет число 37 от 21? Решение: 37: 21 х 100 = 176%. Ответ: 176%.

Задача № 3. Найдем число на 17% меньше, чем 30. Решение: 30 х (1 - 17: 100%) = 30 х 0,83 = 24,9. Ответ: число 24,9 меньше на 17% от 30.

На наглядном примере мы видим, что нет ничего сложного в решении задач с процентами. Главное, чтобы заранее был развит интерес к этой теме. И даже если отсутствуют знания, их можно восполнить, прочитав до конца эту статью.

Факторы, развивающие интерес к учебе

Заметно, что если уделить немного времени решению процентных задач, то у любого проснется интерес, и математика станет неотъемлемой частью жизни. Но начинать учиться необходимо еще с детского сада. А еще лучше с самого рождения. Ребенок легче воспринимает науку в эти годы. Бытует мнение, что если упустить обучение до трех лет, то позже будет труднее привить ребенку любовь к школе, урокам. Существуют факторы, которые формируют заинтересованность человека к математике: доброе отношение учителя, внимание родителей, похвала и правильная активная методика обучения (попытаться увлечь ребенка и превратить задачу в захватывающее приключение). Ведь даже самая сложная задача может стать увлекательной. Учитель должен быть в первую очередь психологом и находить подход к каждому ученику, готовить индивидуальные занятия. Это сможет развить уверенность и чувство собственного достоинства в детях.

Добросовестный учитель разрабатывает разные соревнования, сценки, математический КВН для того, чтобы дети полюбили его науку и другие предметы в школе и дошкольном учреждении. Это разжигает энтузиазм в детях. Обучение через сказку понравится всем. Некоторые преподаватели дают задания домой, к примеру, написать сказочное сочинение на тему «Путешествие в страну математики». И дети включают свое воображение и пишут увлекательные истории. В этом случае ребята действительно полюбят школу! И тогда, повзрослев, дети найдут применение математике в любой области жизни. Да, всему человечеству стоит расширять свои познания в сфере процентных вычислений, несмотря на то что эта тема - одна из сложнейших. В каких классах изучаются задачи на проценты? Подробно эту тему разбирают только в пятых, шестых классах. Позже этому посвящается незначительная часть времени. Поэтому каждому, кто сталкивается с процентными вычислениями, придется вспомнить математику средних классов. Как оказалось, это сделать несложно. Кто придумал это?

История возникновения процентных задач

Латинское выражение pro centum определяется как «за сотню», «со ста». Но произошло оно от итальянского слова, которое пишется как «сто». Однако еще существует предположение, что знак «%» (процент) появился через оплошность писателя книги. Он вместо «сто» напечатал %. Один инженер из Нидерландов как первооткрыватель выпустил в мир процентную таблицу расчетов в 1584 г. Сначала эта наука применялась в торговых областях, затем постепенно проценты стали использовать в технических работах, науке, хозяйственных делах, статистике. Можно сделать вывод, что математика и использование процентных вычислений очень пригодятся в жизни.

Калькулятор процентов предназначен для расчёта основных математических задач связанных с процентами. В частности позволяет:

Вычислить процент от числа.
Определить, сколько процентов составляет одно число от другого.
Прибавить или вычесть процент от числа.
Найти число, зная его определённый процент.
Посчитать, на сколько процентов одно число больше другого.

Результат может быть округлён до необходимого знака после запятой.

Вычесть % из числа Сбросить

Округлять результат до 1 2 3 4 5 6 7 8 9 знака после запятой

Формулы расчёта процентов

Какое число соответствует 24% от числа 286?
Определяем 1% от числа 286: 286 / 100 = 2.86.
Рассчитываем 24%: 24 · 2.86 = 68.64.
Ответ: 68.64%.
Формула вычисления x% от числа y: x · y / 100.
Сколько процентов составляет число 36 от 450?
Определяем коэффициент зависимости: 36 / 450 = 0.08.
Переводим результат в проценты: 0.08 · 100 = 8%.
Ответ: 8%.
Формула для определения, какой процент составляет число x от y: x · 100 / y.
От какой величины число 8 составляет 32%?
Определяем 1% значения: 8 / 32 = 0.25.
Вычисляем 100% величины: 0.25 · 100 = 25.
Ответ: 25.
Формула для определения числа, если x составляет его y %: x · 100 / y.
На сколько процентов число 128 больше 104?
Определяем разницу значений: 128 - 104 = 24.
Находим процент от числа: 24 / 104 = 0.23.
Переводим результат в проценты: 0.23 · 100 = 23%.
Ответ: 23%.
Формула для определения насколько число x больше числа y: (x - y) · 100 / x.
Сколько будет, если прибавить 12% к числу 20?
Определяем 1% от числа 20: 20 / 100 = 0.2.
Рассчитываем 12%: 0.2 · 12 = 2,4.
Добавляем полученное значение: 20 + 2.4 = 22.4.
Ответ: 22.4.
Формула для прибавления x% к числу y: x · y / 100 + y.
Сколько будет, если вычесть 44% из числа 78?
Определяем 1% от числа 78: 78 / 100 = 0.78.
Рассчитываем 44%: 0.78 · 44 = 34.32.
Вычитаем полученное значение: 78 - 34.32 = 43.68.
Ответ: 43.68.
Формула для вычитания x% из числа y: y - x · y / 100.

Примеры школьных заданий

Из запланированной дистанции в 32 км Том пробежал только 76%. Сколько километров пробежал мальчик?
Решение: для вычислений подходит первый калькулятор. В первую ячейку вставляем 76, во вторую - 32.
Получаем: Том пробежал 24.32 км.

Фермер Купер собрал с поля 500 кг кукурузы. 160 кг из этой массы оказалось неспелой. Сколько процентов от общего числа составила неспелая кукуруза?
Решение: для расчёта подходит второй калькулятор. В первое окошко записываем число 160, во второе - 500.
Получаем: 32% кукурузы оказалось неспелой.

Майкл прочитал своей подруге на ночь 112 страниц, что составляет 32% всей книги. Сколько страниц в книге?
Решение: используем для расчёта третий калькулятор. Вставляем в первую ячейку значение 112, а во вторую - 32.
Получаем: в книге 350 страниц.

Длина маршрута, по которому ходил автобус №42, составляла 48 километров. После добавления трёх дополнительных остановок расстояние от начальной до конечной станции изменилось до 78 километров. На сколько процентов изменилась длина маршрута?
Решение: используем для вычисления четвёртый калькулятор. В первую ячейку вбиваем число 78, во вторую - 48.
Получаем: длина маршрута выросла на 62.5%.

Братство металла и макулатуры в мае сдало на лом 320 кг цветного металла, а в июне на 30% больше. Сколько металла сдали ребята из братства в июне?
Решение: для расчёта будем использовать пятый калькулятор. В первую ячейку вставляем число 30, а во второе число 320.
Получаем: в июне братство сдало 416 кг металла.

Энди прорыл во вторник 3 метра туннеля, а в среду в связи с отъездом друга в Ирландию - на 22% меньше. Сколько метров туннеля прорыл Энди в среду?
Решение: в данном случае подходит шестой калькулятор. В первую ячейку вставляем 22, во вторую - 3.
Получаем: в среду мальчик прорыл 2.34 метра туннеля.

Как считать проценты на обычном калькуляторе

Найти процент от числа возможно и на самом обычном калькуляторе. Для этого необходимо найти кнопку проценты - %. Давайте вычислим 24% от числа 398:

Вводим число 398;
Нажимаем кнопку умножения (X);
Вводим число 24;
Нажимаем кнопку процента (%).

Вычислительное устройство покажет ответ: 95.52.

Правила записи чисел, имеющих дробную часть, предусматривают несколько форматов, основными из которых являются «десятичный» и «обыкновенный». Обыкновенные дроби, в свою очередь, могут быть записаны в форматах, называемых «неправильными» и «смешанными». Для выделения целой части из дробного числа каждого из этих вариантов записи удобнее применять различающиеся способы.

Инструкция

Отбросьте дробную часть, если надо выделить из положительной дроби, записанной в смешанном формате. В такой дроби целая часть перед дробной - например, 12 ⅔. В этой дроби целой частью будет число 12. Если смешанная дробь имеет знак, то полученное таким способом число уменьшайте на единицу. Необходимость этого действия вытекает из определения целой части числа, согласно она не может быть больше значения исходной дроби. Например, целой частью дроби -12 ⅔ является число -13.

Разделите без остатка числитель исходной дроби на ее знаменатель, если она записана в неправильном обыкновенном формате. Если исходное число имеет положительный знак, то полученный результат и будет целой частью. Например, целая часть дроби 716/51 равна 14. Если же исходное число отрицательно, то и здесь от результата следует отнять единицу - например, вычисление целой части дроби -716/51 должно дать число -15.

Считайте ноль целой частью положительной дроби, записанной в обыкновенном формате и при этом не являющейся ни смешанной, ни неправильной. Например, это к дроби 48/51. Если исходная дробь меньше нуля, то, как и в предыдущих случаях, результат нужно на один. Например, целой частью дроби -48/51 следует считать число -1.

Отбросьте все знаки, стоящие после десятичной запятой, если выделить надо из положительного числа, записанного в формате десятичной дроби. В этом случае именно разделительная

Проценты - одно из понятий прикладной математики, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно прочитать или услышать, что, например, в выборах приняли участие 56,3% избирателей, рейтинг победителя конкурса равен 74%, промышленное производство увеличилось на 3,2%, банк начисляет 8% годовых, молоко содержит 1,5% жира, ткань содержит 100% хлопка и т.д. Ясно, что понимание такой информации необходимо в современном обществе.

Одним процентом от любой величины - денежной суммы, числа учащихся школы и т.д. - называется одна сотая ее часть. Обозначается процент знаком %, Таким образом,
1% - это 0,01, или \(\frac{1}{100} \) часть величины

Приведем примеры:
- 1% от минимальной заработной платы 2300 р. (сентябрь 2007 г.) - это 2300/100 = 23 рубля;
- 1% от населения России, равного примерно 145 млн. человек (2007 г.), - это 1,45 млн. человек;
- 3%-я концентрация раствора соли - это 3 г соли в 100 г раствора (напомним, что концентрация раствора - это часть, которую составляет масса растворенного вещества от массы всего раствора).

Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя. Поэтому, например, надпись на этикетке "хлопок 100%" означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников.

Слово "процент" происходит от латинского pro centum, означающего "от сотни" или "на 100". Это словосочетание можно встретить и в современной речи. Например, говорят: "Из каждых 100 участников лотереи 7 участников получили призы". Если понимать это выражение буквально, то это утверждение, разумеется, неверно: ясно, что можно выбрать 100 человек, участвующих в лотерее и не получивших призы. В действительности точный смысл этого выражения состоит в том, что призы получили 7% участников лотереи, и именно такое понимание соответствует происхождению слова "процент": 7% - это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.

Знак "%" получил распространение в конце XVII века. В 1685 году в Париже была издана книга "Руководство по коммерческой арифметике" Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали "cto" (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это "с/о" за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход.

Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби, выражающей часть величины.

Чтобы выразить проценты числом, нужно количество процентов разделить на 100. Например:

\(58\% = \frac{58}{100} = 0,58; \;\;\; 4,5\% = \frac{4,5}{100} = 0,045; \;\;\; 200\% = \frac{200}{100} = 2 \)

Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100:

\(0,58 = (0,58 \cdot 100)\% = 58\% \) \(0,045 = (0,045 \cdot 100)\% = 4,5\% \)

В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, пятая часть - 20%, три пятых - 60% и т.д.

Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов. Например, в сообщениях "Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50%" и "Минимальная заработная плата повышена с февраля в 1,5 раз" говорится об одном и том же. Точно так же увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза - это значит увеличить на 200%, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%.

Аналогично
- увеличить на 300% - это значит увеличить в 4 раза,
- уменьшить на 80% - это значит уменьшить в 5 раз.

Задачи на проценты

Поскольку проценты можно выразить дробями, то задачи на проценты являются, по существу, теми же задачами на дроби. В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% ("целое"), а ее часть b выражается числом p%.

В зависимости от того, что неизвестно - а, b или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.

1. Нахождение процента от числа.
Чтобы найти \(\frac{p}{100} \) от a, надо a умножить на \(\frac{p}{100} \):

\(b = a \cdot \frac{p}{100} \)

Итак, чтобы найти р% от числа, надо это число умножить на дробь \(\frac{p}{100} \). Например, 20% от 45 кг равны 45 0,2 = 9 кг, а 118% от х равны 1,18x

2. Нахождение числа по его проценту.
Чтобы найти число по его части b, выраженной дробью \(\frac{p}{100} , \; (p \neq 0) \), надо b разделить на \(\frac{p}{100} \):
\(a = b: \frac{p}{100} \)

Таким образом, чтобы найти число по его части, составляющей р% этого числа, надо эту часть разделить на \(\frac{p}{100} \). Например, если 8% длины отрезка составляют 2,4 см, то длина всего отрезка равна 2,4:0,08 = 240:8 = 30 см.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а \((a \neq 0) \), надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а затем эту часть выразить в процентах:

\(p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \) Значит, чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.
Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляют \(\frac{9 \cdot 100}{180} = 5\% \) раствора.

Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел.

Нетрудно заметить, что формулы

\(b = a \cdot \frac{p}{100}, \;\; a = b: \frac{p}{100}, \;\; p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \;\; (a,b,p \neq 0) \) взаимосвязаны, а именно, две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Поэтому первую формулу считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби, и, при желании, можно ею пользоваться, чтобы найти любую из неизвестных величин a, b и p.

Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на дроби.

Простой процентный рост

Когда человек не вносит своевременную плату за квартиру, на него налагается штраф, который называется "пеня" (от латинского роеnа - наказание). Так, если пеня составляет 0,1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки, то, например, за 19 дней просрочки сумма составит 1,9% от суммы квартплаты. Поэтому вместе, скажем, с 1000 р. квартплаты человек должен будет внести пеню 1000 0,019 = 19 р., а всего 1019 р.

Ясно, что в разных городах и у разных людей квартплата, размер пени и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл составить общую формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S - ежемесячная квартплата, пеня составляет р% квартплаты за каждый день просрочки, а n - число просроченных дней. Сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим S n .
Тогда за n дней просрочки пеня составит рn% от S, или \(\frac{pn}{100}S \), а всего придется заплатить \(S + \frac{pn}{100}S = \left(1+ \frac{pn}{100} \right) S \)
Таким образом:
\(S_n = \left(1+ \frac{pn}{100} \right) S \)

Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов. Как и выше, нетрудно убедиться, что в этом случае
\(S_n = \left(1- \frac{pn}{100} \right) S \)

Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная величина в действительности убывает. Рост в этом случае "отрицательный".

Сложный процентный рост

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем через определенный договором срок, например, через год) принята следующая система выплаты доходов: за первый год нахождения внесенной суммы на счете доход составляет, например, 10% от нее. В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход - "проценты", как его обычно называют.

Если же вкладчик этого не сделал, то проценты присоединяются к начальному вкладу (капитализируются), и поэтому в конце следующего года 10% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 1000 р. и ни разу в течение трех лет не будет брать деньги со счета.

10% от 1000 р. составляют 0,1 1000 = 100 р., следовательно, через год на его счете будет
1000 + 100 = 1100 (р.)

10% от новой суммы 1100 р. составляют 0,1 1100 = 110 р., следовательно, через 2 года на его счете будет
1100 + 110 = 1210 (р.)

10% от новой суммы 1210 р. составляют 0,1 1210 = 121 р., следовательно, через 3 года на его счете будет
1210 + 121 = 1331 (р.)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, "лобовом" подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 20 лет. Между тем подсчет можно вести значительно проще.

А именно, через год начальная сумма увеличится на 10%, то есть составит 110% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,1 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 = 1,1 2 раз.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 2 = 1,1 3 раз. При таком способе рассуждений получаем решение нашей задачи значительно более простое: 1,1 3 1000 = 1,331 1000 - 1331 (р.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна S n р.

Величина p% от S составляет \(\frac{p}{100}S \) р., и через год на счете окажется сумма
\(S_1 = S+ \frac{p}{100}S = \left(1+ \frac{p}{100} \right)S \)
то есть начальная сумма увеличится в \(1+ \frac{p}{100} \) раз.

За следующий год сумма S 1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма
\(S_2 = \left(1+ \frac{p}{100} \right)S_1 = \left(1+ \frac{p}{100} \right) \left(1+ \frac{p}{100} \right)S = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^2 S \)

Аналогично \(S_3 = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^3 S \) и т.д. Другими словами, справедливо равенство
\(S_n = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^n S \)

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста , или просто формулой сложных процентов.