Hebben de vierkanten gelijke oppervlakten? Eigenschappen van oppervlakten van polygonen Gelijke polygonen hebben gelijke oppervlakten

VIII klasse: Onderwerp 3. Gebieden van figuren. De stelling van Pythagoras.

1. Het concept van gebied. Figuren van gelijke grootte.

Als lengte een numeriek kenmerk van een lijn is, dan is oppervlakte een numeriek kenmerk van een gesloten figuur. Ondanks dat we het begrip ruimte goed kennen uit het dagelijks leven, is het niet eenvoudig om dit begrip strikt te definiëren. Het blijkt dat het gebied van een gesloten figuur elke niet-negatieve grootheid kan worden genoemd met het volgende eigenschappen van het meten van de oppervlakten van figuren:

Gelijke figuren hebben gelijke oppervlakten. Als een gegeven gesloten figuur is verdeeld in verschillende gesloten figuren, dan is de oppervlakte van de figuur gelijk aan de som van de oppervlakten van de samenstellende figuren (de figuur in figuur 1 is verdeeld in N figuren; in dit geval het gebied van de figuur, waar Si- vierkant i-de figuur).

In principe zou het mogelijk zijn om een ​​reeks grootheden te bedenken die de geformuleerde eigenschappen hebben en daarom het gebied van de figuur karakteriseren. Maar de meest bekende en handige waarde is degene die de oppervlakte van een vierkant karakteriseert als het vierkant van zijn zijde. Laten we deze “overeenkomst” de derde eigenschap noemen van het meten van de oppervlakten van figuren:

De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van zijn zijde (Figuur 2).

Met deze definitie wordt de oppervlakte van de figuren gemeten in vierkante eenheden ( cm 2, km 2, ha=100M 2).

Figuren met gelijke oppervlakten worden genoemd gelijk in grootte .

Opmerking: Gelijke figuren hebben gelijke oppervlakten, dat wil zeggen, gelijke figuren zijn even groot. Maar figuren van gelijke grootte zijn niet altijd gelijk (Figuur 3 toont bijvoorbeeld een vierkant en een gelijkbenige driehoek die uit gelijke rechthoekige driehoeken bestaan ​​(trouwens, zulke figuren genaamd gelijk samengesteld ); het is duidelijk dat het vierkant en de driehoek even groot zijn, maar niet gelijk, aangezien ze elkaar niet overlappen).

Vervolgens zullen we formules afleiden voor het berekenen van de oppervlakten van alle hoofdtypen polygonen (inclusief de bekende formule voor het vinden van de oppervlakte van een rechthoek), gebaseerd op de geformuleerde eigenschappen van het meten van de oppervlakten van figuren.

2. Oppervlakte van een rechthoek. Gebied van een parallellogram.

Formule voor het berekenen van de oppervlakte van een rechthoek: De oppervlakte van een rechthoek is gelijk aan het product van de twee aangrenzende zijden (Figuur 4).

Gegeven:

ABCD- rechthoek;

ADVERTENTIE=A, AB=B.

Bewijzen: SABCD=A× B.

Bewijs:

1. Verleng de zijkant AB voor een segment B.P.=A, en de zijkant ADVERTENTIE- voor een segment D.V.=B. Laten we een parallellogram bouwen april(Figuur 4). Sinds Ð A=90°, april- rechthoek. Waarin AP=A+B=AV, Þ april– een vierkant met zijde ( A+B).

2. Laten we aangeven BCÇ camper=T, CDÇ PR=Q. Dan BCQP– een vierkant met een zijde A, CDVT– een vierkant met een zijde B, CQRT- rechthoek met zijden A En B.

Formule voor het berekenen van de oppervlakte van een parallellogram: De oppervlakte van een parallellogram is gelijk aan het product van de hoogte en de basis (Figuur 5).

Opmerking: De basis van een parallellogram wordt gewoonlijk de zijde genoemd waarop de hoogte is getekend; Het is duidelijk dat elke zijde van een parallellogram als basis kan dienen.

Gegeven:

ABCD– p/g;

B.H.^ADVERTENTIE, HÎ ADVERTENTIE.

Bewijzen: SABCD=ADVERTENTIE× B.H..

Bewijs:

1. Laten we het naar de basis brengen ADVERTENTIE hoogte CF(Figuur 5).

2. BCïê HF, B.H.ïê CF, Þ BCFH- p/g per definitie. D H=90°, Þ BCFH- rechthoek.

3. BCFH– p/g, Þ volgens de p/g-eigenschap B.H.=CF, Þ D BAH=D CDF langs de hypotenusa en het been ( AB=CD volgens St. p/g, B.H.=CF).

4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=B.H.× BC=B.H.× ADVERTENTIE. #

3. Oppervlakte van een driehoek.

Formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek: De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de helft van het product van de hoogte en de basis (Figuur 6).

Opmerking: In dit geval is de basis van de driehoek de zijde waarnaar de hoogte is getekend. Elk van de drie zijden van een driehoek kan als basis dienen.

Gegeven:

BD^A.C., DÎ A.C..

Bewijzen: .

Bewijs:

1. Laten we D voltooien abc naar p/j ABKC door langs de bovenkant te gaan B direct BKïê A.C. en via de bovenkant C- direct CKïê AB(Figuur 6).

2. D abc=D KCB aan drie zijden ( BC- algemeen, AB=KC En A.C.=K.B. volgens St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Gevolg 2: Als we p/u D abc met hoogte AH., aangetrokken tot de hypotenusa BC, Dat . Dus, in p/u D-ke hoogte getrokken naar de hypotenusa is gelijk aan de verhouding van het product van zijn benen tot de hypotenusa . Deze relatie wordt vrij vaak gebruikt bij het oplossen van problemen.

4. Uitvloeisels uit de formule voor het vinden van de oppervlakte van een driehoek: de verhouding van de gebieden van driehoeken met gelijke hoogte of basis; gelijke driehoeken in cijfers; eigenschap van de gebieden van driehoeken gevormd door de diagonalen van een convexe vierhoek.

Uit de formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek volgen op een elementaire manier twee gevolgen:

1. Verhouding van de oppervlakten van driehoeken met gelijke hoogte gelijk aan de verhouding van hun bases (in figuur 8 ).

2. Verhouding van de oppervlakten van driehoeken met gelijke bases gelijk aan de verhouding van hun hoogten (in figuur 9 ).

Opmerking: Bij het oplossen van problemen kom je heel vaak driehoeken met een gemeenschappelijke hoogte tegen. In dit geval liggen hun bases in de regel op dezelfde rechte lijn en is het hoekpunt tegenover de bases gebruikelijk (bijvoorbeeld in figuur 10 S 1:S 2:S 3=A:B:C). Je zou de totale hoogte van zulke driehoeken moeten leren zien.

Ook levert de formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek nuttige feiten op waarmee u deze kunt vinden gelijke driehoeken in cijfers:

1. De mediaan van een willekeurige driehoek verdeelt deze in twee gelijke driehoeken (in Figuur 11 bij D A.B.M. en D ACM hoogte AH.– algemeen, en de gronden B.M. En CM. gelijk per definitie van mediaan; hieruit volgt dat D A.B.M. en D ACM even groot).

2. De diagonalen van een parallellogram verdelen het in vier gelijke driehoeken (in figuur 12 AO– mediaan van de driehoek ABD door de eigenschap van diagonalen p/g, Þ vanwege de eerdere eigenschappen van driehoeken ABO En ADO gelijk in grootte; omdat B.O.– mediaan van de driehoek abc, driehoeken ABO En BCO gelijk in grootte; omdat CO– mediaan van de driehoek BCD, driehoeken BCO En DCO gelijk in grootte; Dus, S D ADO=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. De diagonalen van een trapezium verdelen het in vier driehoeken; twee ervan, grenzend aan de zijkanten, zijn even groot (Figuur 13).

Gegeven:

ABCD– trapezium;

BCïê ADVERTENTIE; A.C.Ç BD=O.

Bewijzen: S D ABO=S D DCO.

Bewijs:

1. Laten we de hoogten tekenen B.F. En CH(Figuur 13). Dan D ABD en D ACD baseren ADVERTENTIE– algemeen en hoogten B.F. En CH gelijkwaardig; E S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Als je de diagonalen van een convexe vierhoek tekent (Figuur 14), worden vier driehoeken gevormd, waarvan de gebieden met elkaar in verband staan ​​door een zeer gemakkelijk te onthouden verhouding. De afleiding van deze relatie is uitsluitend afhankelijk van de formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek; het wordt echter vrij zelden in de literatuur aangetroffen. Omdat ze nuttig is bij het oplossen van problemen, verdient de relatie die hieronder zal worden geformuleerd en bewezen bijzondere aandacht:

Eigenschap van de gebieden van driehoeken gevormd door de diagonalen van een convexe vierhoek: Als de diagonalen van een convexe vierhoek ABCD kruisen elkaar op een punt O en vervolgens (Afbeelding 14).

ABCD– convexe vierhoek;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" breedte = "149" hoogte = "20">.

Bewijs:

1. B.F.– totale hoogte D AOB en D BOC; Þ S D AOB:S D BOC=AO:CO.

2. D.H.– totale hoogte D AOD en D KABELJAUW.; Þ S D AOD:S D KABELJAUW.=AO:CO.

5. Verhouding van de oppervlakten van driehoeken met gelijke hoeken.

Stelling over de verhouding van de oppervlakten van driehoeken met gelijke hoeken: De gebieden van driehoeken die gelijke hoeken hebben, zijn gerelateerd als de producten van de zijden die deze hoeken omsluiten (Figuur 15).

Gegeven:

D abc, D A 1B 1C 1;

Ð BAC=Ð B 1A 1C 1.

Bewijzen:

.

Bewijs:

1. Leg het op de straal AB lijnstuk AB 2=A 1B 1, en op de balk A.C.- lijnstuk A.C. 2=A 1C 1 (Figuur 15). Dan D AB 2C 2=D A 1B 1C 1 aan twee zijden en de hoek daartussen ( AB 2=A 1B 1 en A.C. 2=A 1C 1 door constructie, en Р B 2A.C. 2=р B 1A 1C 1 per voorwaarde). Middelen, .

2. Verbind de punten C En B 2.

3. CH– totale hoogte D AB 2C en D abc, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Eigenschap van de bissectrice van een driehoek.

Met behulp van de stellingen over de verhouding van de oppervlakten van driehoeken met gelijke hoeken, en over de verhouding van de oppervlakten van driehoeken met gelijke hoogte, bewijzen we eenvoudigweg een feit dat uiterst nuttig is bij het oplossen van problemen en niet direct verband houdt met de oppervlakten van figuren :

Driehoek bissectrice eigenschap: De bissectrice van een driehoek verdeelt de zijde waarnaar deze wordt getrokken in segmenten die evenredig zijn met de aangrenzende zijden.

Gegeven:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" breedte = "61" hoogte = "37">.

Bewijs:

1..gif" breedte = "72 hoogte = 40" hoogte = "40">.

3. Uit punt 1 en 2 krijgen we: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" breedte = "61" hoogte = "37">. #

Opmerking: Omdat de uiterste leden of middelste leden in de juiste verhouding kunnen worden verwisseld, is het handiger om de eigenschap van de bissectrice van een driehoek in de volgende vorm te onthouden (Figuur 16): .

7. Gebied van een trapezium.

Formule voor het berekenen van de oppervlakte van een trapezium: De oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het product van zijn hoogte en de helft van de som van zijn bases.

Gegeven:

ABCD– trapezium;

BCïê ADVERTENTIE;

B.H.- hoogte.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" breedte = "127" hoogte = "36">.

Bewijs:

1. Laten we een diagonaal tekenen BD en hoogte DF(Figuur 17). BHDF– rechthoek, Þ B.H. = DF.

Gevolg: De verhouding van de oppervlakken van trapeziums met gelijke hoogte is gelijk aan de verhouding van hun middellijnen (of de verhouding van de som van de bases).

8. Oppervlakte van een vierhoek met onderling loodrechte diagonalen.

Formule voor het berekenen van de oppervlakte van een vierhoek met onderling loodrechte diagonalen: De oppervlakte van een vierhoek met onderling loodrechte diagonalen is gelijk aan de helft van het product van zijn diagonalen.

ABCD– vierhoek;

A.C.^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" breedte = "104" hoogte = "36">.

Bewijs:

1. Laten we aangeven A.C.Ç BD=O. Omdat de A.C.^BD, AO– hoogte D ABD, A CO– hoogte D CBD(Figuur 18a en 18b voor respectievelijk de gevallen van convexe en niet-convexe vierhoeken).

2.
(de tekens “+” of “-” komen respectievelijk overeen met de gevallen van convexe en niet-convexe vierhoeken). #

De stelling van Pythagoras speelt een uiterst belangrijke rol bij het oplossen van een breed scala aan problemen; Hiermee kun je de onbekende zijde van een rechthoekige driehoek vinden op basis van de twee bekende zijden. Er zijn veel bekende bewijzen van de stelling van Pythagoras. Laten we de eenvoudigste ervan presenteren, gebaseerd op formules voor het berekenen van de oppervlakten van een vierkant en een driehoek:

De stelling van Pythagoras: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hypotenusa gelijk aan de som van de vierkanten van de benen.

Gegeven:

D abc– p/u;

Ð A=90°.

Bewijzen:

BC 2=AB 2+A.C. 2.

Bewijs:

1. Laten we aangeven A.C.=A, AB=B. Laten we het op de straal zetten AB lijnstuk B.P.=A en op de balk A.C.- lijnstuk CV=B(Figuur 19). Laten we het punt doornemen P direct PRïê AV, en door het punt V- direct VRïê AP. Dan april- p/g per definitie. Bovendien, aangezien Р A=90°, april- rechthoek. En omdat AV=A+B=AP, april– een vierkant met een zijde A+B, En SAPRV=(A+B)2. Vervolgens verdelen we de zijkant PR punt Q in segmenten PQ=B En QR=A, en de zijkant camper– punt T in segmenten RT=B En TV=A.

2. D abc=D PQB=D RTQ=D VCT aan twee kanten, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, BC=QB=TQ=C.T. en https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Omdat BC=QB=TQ=C.T., CBQT- ruit Tegelijkertijd QBC=180°-(р abc+Ð PBQ)=180°-(Р abc+Ð ACB)=Ð BAC=90°; E CBQT- vierkant, en SCBQT=BC 2.

4. . Dus, BC 2=AB 2+A.C. 2. #

De inverse stelling van Pythagoras is een teken van een rechthoekige driehoek, dat wil zeggen dat je kunt controleren of de driehoek rechthoekig is aan de hand van drie bekende zijden.

Converse stelling van Pythagoras: Als het kwadraat van een zijde van een driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de andere twee zijden, dan is de driehoek rechthoekig en is de langste zijde de hypotenusa.

Gegeven:

BC 2=AB 2+A.C. 2.

Bewijzen: D abc– p/u;

Ð A=90°.

Bewijs:

1. Construeer een rechte hoek A 1 en leg de segmenten op de zijkanten A 1B 1=AB En A 1C 1=A.C.(Figuur 20). In de resulterende p/u D A 1B 1C 1 volgens de stelling van Pythagoras B 1C 12=A 1B 12+A 1C 12=AB 2+A.C. 2; maar volgens de voorwaarde AB 2+A.C. 2=BC 2; E B 1C 12=BC 2, Þ B 1C 1=BC.

2. D abc=D A 1B 1C 1 aan drie zijden ( A 1B 1=AB En A 1C 1=A.C. door constructie, B 1C 1=BC vanaf punt 1), Þ Ð A=Ð A 1=90°, Þ D abc- p/u. #

Rechthoekige driehoeken waarvan de zijdelengtes in natuurlijke getallen worden uitgedrukt, worden genoemd Pythagoras-driehoeken , en de drielingen van de overeenkomstige natuurlijke getallen zijn Drieling van Pythagoras . Het is handig om Pythagoras-drietallen te onthouden (het grootste van deze getallen is gelijk aan de som van de kwadraten van de andere twee). Hier zijn enkele Pythagoras-triples:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Een rechthoekige driehoek met zijden 3, 4, 5 werd in Egypte gebruikt om rechte hoeken te construeren, en dus dergelijke driehoek genaamd Egyptische .

10. Herons formule.

Met de formule van Heron kun je de oppervlakte van een willekeurige driehoek vinden vanaf de drie bekende zijden en is onmisbaar bij het oplossen van veel problemen.

Formule van Heron: Oppervlakte van een driehoek met zijden A, B En C wordt berekend met behulp van de volgende formule: , waar is de halve omtrek van de driehoek.

Gegeven:

BC=A; A.C.=B; AB=C.). Dan .

4. Vervang de resulterende uitdrukking voor hoogte in de formule voor het berekenen van de oppervlakte van de driehoek: . #

Bron van baan: Beslissing 2746.-13. OGE 2017 Wiskunde, I.V. Jasjtsjenko. 36 opties.

Taak 11. De zijkant van een ruit is 12, en de afstand vanaf het snijpunt van de diagonalen van de ruit tot deze is 1. Zoek het gebied van deze ruit.

Oplossing.

Het gebied van een ruit kan op dezelfde manier worden berekend als het gebied van een parallellogram, dat wil zeggen als het product van de hoogte h van de ruit door de lengte van de zijde a waarnaar deze wordt getrokken:

In de figuur toont de rode lijn samen met de zwarte lijn de hoogte h van de ruit, die gelijk is (aangezien de lengtes van de zwarte en rode lijnen gelijk zijn). De lengte van de zijde is a=12, ook afhankelijk van de omstandigheden van het probleem. We krijgen het gebied van de ruit:

Antwoord: 24.

Taak 12. Een ruit is afgebeeld op geruit papier met een vierkant formaat van 1x1. Zoek de lengte van de langere diagonaal.

Oplossing.

In de figuur tonen de blauwe lijnen de diagonalen van de ruit. Het is te zien dat de grote diagonaal 12 cellen is.

Antwoord: 12.

Taak 13. Welke van de volgende uitspraken zijn waar?

1) Er is een rechthoek waarvan de diagonalen onderling loodrecht staan.

2) Alle vierkanten hebben gelijke oppervlakten.

3) Eén van de hoeken van een driehoek is altijd niet groter dan 60 graden.

Schrijf als reactie de nummers van de geselecteerde uitspraken op zonder spaties, komma's of andere extra tekens.

Oplossing.

1) Juist. Dit is een rechthoek die verandert in een vierkant.

‘Ezelsbrug’ Het bewijs van de stelling van Pythagoras werd in de kringen van studenten uit de Middeleeuwen als zeer moeilijk beschouwd en werd soms Pons Asinorum ‘ezelsbrug’ of elefuga genoemd – ‘vlucht van de ellendige’, omdat sommige ‘ellendige’ studenten die had geen serieuze wiskundige opleiding en vluchtte voor de meetkunde. Zwakke studenten die stellingen uit het hoofd leerden, zonder het te begrijpen, en daarom de bijnaam 'ezels' kregen, waren niet in staat de stelling van Pythagoras te overwinnen, die voor hen als een onoverkomelijke brug diende.

Gegeven: ABC, C=90°, B=60°, AB=12 cm AC=10 cm Vind: SABC Oraal oplossen CA B Gegeven: ABC, C=90°, AB=18 cm, BC=9 cm Vind: B , A Antwoord: A=30º, B=60º Antwoord: 30 cm²

C² = a 2 + b 2 a b c C A B c = a 2 + b cbа In een rechthoekige driehoek zijn a en b de benen, c de hypotenusa. Vul de tafel. b =c²-a² a =c²-b² b 2 =c²-a² a 2 =c²-b²

Oplossing 3. ACD is rechthoekig, D=45° DAC=45°ACD - gelijkbenig CD = AC = 4 SADC = 8. Dus de oppervlakte van de hele figuur S ABCB = SABC + SADC = Gegeven: AB=2 3, BC=2, B= 90 ACD=90 BAC=3 0, D=45 Vind: S ABCB. Probleem 30º D C B A Oppervlakte van de hele figuur S ABCB = SABC + SADC 2. ABC is rechthoekig, SABC = 2 3; BAG=30° AC = 2BC = 4.

497 Een van de diagonalen van een parallellogram is de hoogte. Zoek deze diagonaal als de omtrek van het parallellogram 50 cm is en het verschil tussen aangrenzende zijden 1 cm is AD CB Gegeven: ABCD - parallellogram, BD AD, P ABCD = 50 cm, AB-AD = 1 cm Vind: BD. Oplossing. Zij AD=x cm, dan AB=(x+1) cm P ABCD =2·(AB+AD), dan 50=2·(x+1+x) 25=2x+1 x=12, dus AD=12 cm, AB=13 cm 1. AD=12 cm , AB=13 cm 2. Vind BD met behulp van de stelling van Pythagoras: AB²=ВD²+AD² BD=5 (cm) 12 cm 13 cm

BC bij 6 cm Zoek: BC, CD, AD. " title="Probleem De oppervlakte van een rechthoekig trapezium is 120 cm² en de hoogte is 8 cm. Vind alle zijden van het trapezium als een van de basissen 6 cm groter is dan de andere. D BC A N Gegeven : ABCD - trapezium, AB AD , S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC bij 6 cm Zoek: BC, CD, AD." class="link_thumb"> 16 !} Probleem De oppervlakte van een rechthoekig trapezium is 120 cm² en de hoogte is 8 cm. Vind alle zijden van het trapezium als een van de basissen 6 cm groter is dan de andere. D BC A N Gegeven: ABCD - trapezium, AB AD, S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC bij 6 cm Zoek: BC, CD, AD. Oplossing. Zij BC=x cm, dan AD=(x+6) cm Omdat S ABCD = ·8·(x+6+x)=120, 4(2x+6)=120 2x+6 = 30 x = 12, wat betekent BC 12 cm, AD=18 cm AB=8 cm, BC= 12 cm, AD=18 cm Extra constructie: CH AD, dan is ABCN een rechthoek. CH=AB=8 cm, AH=BC=12 cm, dan HD=AD-AH=6 cm 12 cm 18 cm 6 cm Vind CD met behulp van de stelling van Pythagoras: CD2=CH2+HD2 CD=8²+6²CD=10 (cm ) Antwoord: AB=8 cm, BC=12 cm, CD=10 cm, AD=18 cm. BC bij 6 cm Zoek: BC, CD, AD. "> BC met 6 cm. Bereken: BC, CD, AD. Oplossing. Zij BC=x cm, dan AD=(x+6) cm Omdat S ABCD = ·8·(x+6+x)= 120, 4 (2x+6)=120 2x+6 = 30 x = 12, dus BC 12 cm, AD=18 cm 1. 2. AB=8 cm, BC=12 cm, AD=18 cm Extra formatie: CH AD, dan is ABCN een rechthoek CH=AB=8 cm, AH=BC=12 cm, dan HD=AD-AH=6 cm 12 cm 18 cm 6 cm Vind CD met behulp van de stelling van Pythagoras: CD²=CH²+HD² CD=8² +6²CD=10 (cm) Antwoord: AB=8 cm, BC=12 cm, CD=10 cm, AD=18 cm."> BC bij 6 cm. Zoek: BC, CD, AD. " title="Probleem De oppervlakte van een rechthoekig trapezium is 120 cm² en de hoogte is 8 cm. Vind alle zijden van het trapezium als een van de basissen 6 cm groter is dan de andere. D BC A N Gegeven : ABCD - trapezium, AB AD , S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC bij 6 cm Zoek: BC, CD, AD."> title="Probleem De oppervlakte van een rechthoekig trapezium is 120 cm² en de hoogte is 8 cm. Vind alle zijden van het trapezium als een van de basissen 6 cm groter is dan de andere. D BC A N Gegeven: ABCD - trapezium, AB AD, S ABCD = 120 cm², AB = 8 cm, AD>BC bij 6 cm Zoek: BC, CD, AD."> !} AB C M N Gegeven: ABC, BC=7,5 cm, AC=3,2 cm, AM BC, BN AC, AM=2,4 cm Vind: BN Oplossing: SABC =½AM·CB=½·2,4 ·7,5=9 cm² S ABC =½BN· AC BN=2·S ABC:AC=2·9:3.2=5,625 cm Antwoord: 5,625 cm Twee zijden van de driehoek zijn 7,5 cm en 4 cm De hoogte naar de grootste zijde getrokken is gelijk aan 2,4 cm Bereken de hoogte aangetrokken tot de kleinste van deze kanten. 470

De oppervlakte van een rechthoekige driehoek is 168 cm². Vind zijn poten als de verhouding van hun lengtes 7:12 is. A C B Gegeven: ABC, C = 90º, AC: BC = 7:12, S ABC = 168 cm² Zoek: AC, BC. Oplossing: SABC =½AC·BC 168=½7x·12x 168=42x² x=2 AC=14 cm, BC=24 cm Antwoord: 14 cm en 24 cm 472

Eigenschappen van gebieden 10. Gelijke polygonen hebben gelijke gebieden. D B EEN C N ABC = NFD F

Eigenschappen van gebieden 20. Als een veelhoek uit meerdere veelhoeken bestaat, is de oppervlakte gelijk aan de som van de oppervlakten van deze veelhoeken. C B D EEN F

Eigenschappen van gebieden 30. De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van zijn zijde. 3 cm S=9 cm 2 Gebruik de eigenschappen van gebieden om de oppervlakten van de figuren te vinden

Oppervlakte-eenheden 1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2

Oppervlakte-eenheden 1 km 2 1 ha 1 a 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm 2: 100: 100

Oppervlakte van een rechthoek b S Laten we bewijzen dat S = ab a a VIERKANT MET ZIJDE a 2 a+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (a+b) 2 S 2 ab = 2 S S = ab b 2 b: 2

De vloer van de kamer, die de vorm heeft van een rechthoek met zijden van 5, 5 m en 6 m, moet bedekt zijn met rechthoekig parket. De lengte van elke parketplank is 30 cm en de breedte is 5 cm Hoeveel van dergelijke planken zijn er nodig om de vloer te bedekken? 6 m 5,5 m 5 cm 30 cm

De oppervlakten van de vierkanten die aan de zijkanten van de rechthoek zijn gebouwd, zijn 64 cm 2 en 121 cm 2. Zoek de oppervlakte van de rechthoek. 121 cm 2 S-? 64cm2

De zijden van elk van de rechthoeken ABCD en ARMK zijn gelijk aan 6 cm en 10 cm. Zoek de oppervlakte van de figuur bestaande uit alle punten die bij ten minste één van deze rechthoeken horen. A 10 cm P B 6 cm 10 cm D K C 6 cm M

ABCD is een rechthoek, AC is een diagonaal. Zoek de oppervlakte van driehoek ABC. A a D АBC = ADC b SABC = B C

ABCD is een rechthoek. Vind: SABF. B CE = DE, C F E A D SABCD = Q

AB = BC = 3, AF = 5, Zoek: SABCDEF. BEF = 2. C 3 D E 3 A 2 5 F

S=102 C De punten K, M, T en E bevinden zich respectievelijk 5 op zijden AD, AB, BC en DC van vierkant E ABCD zodat KD=7, AK=3, AM=5, BT=8, CE=5 . Zoek het gebied van de vierhoek KMTE. D T B 2 8 M 5 7 K 3 A

De oppervlakte van de vijfhoek ABCD is 48 cm 2. Zoek de oppervlakte en omtrek van het vierkant ABCD. C B O A 1) 48: 3 * 4 = 64 (cm 2) SАВСD 2) AB = 8 (cm), PАВСD = 8 * 4 = 32 (cm) D

ABCD en MDKP zijn gelijke vierkanten. AB = 8 cm Zoek de oppervlakte van de vierhoek ASKM. B C 64 cm 2 8 cm 32 cm 2 D A 32 cm 2 M K 32 cm 2 R

ABCD en DСМK zijn vierkanten. AB = 6 cm Zoek het gebied van de vierhoek OSPD. C H 6 cm A O M R D K

ABCD – rechthoek; M, K, P, T zijn de middelpunten van de zijkanten, AB = 6 cm, AD = 12 cm Zoek de oppervlakte van de vierhoek MKRT. H K 6 cm M A C R T 12 cm D

ABCD – rechthoek; M, K, P, T zijn de middelpunten van de zijkanten, AB = 16 cm, BC = 10 cm. Vind de oppervlakte van de zeshoek AMKSRT. C P 10 cm K B D T M 16 cm A