С помощью логической связки или связываются суждения. Основные логические связки

(А  В)  (Ā  )

Чтобы заложить основу для нечеткой логики, необходимо расширить содержание таких логических операций, как отрицание, дизъюнкция, конъюнкция и импликация применительно к высказываниям, которые имеют не числовые, а лингвистические значения истинности. Другими словами, мы должны уметь вычислять значение истинности высказывания и , зная лингвистические значения истинности высказываний и . При рассмотрении этой проблемы полезно иметь в виду, что если - нечеткое подмножество универсального множества и , то два следующих утверждения эквивалентны:

Таким образом, вопрос «Что является значением истинности высказывания и , если заданы лингвистические значения истинности и ?» аналогичен вопросу, который мы поставили в § 3: «Какова степень принадлежности элемента множеству, если заданы степени принадлежности элемента множествам и ?»

Чтобы ответить на последний вопрос, мы использовали принцип обобщения. Будем придерживаться той же процедуры для обобщения смысла отрицания не , а также связок и , или и влечет применительно к лингвистическим значениям истинности.

В частности, если - точка в , представляющая значение истинности высказывания «» (или просто ), где - элемент универсального множества , то значение истинности высказывания не (или) определяется выражением

. (6.7)

Предположим теперь, что - не точка в , а нечеткое подмножество интервала , представленное в виде

где - точки в , а - их степени принадлежности множеству . Тогда, применяя принцип обобщения (3.80) к (6.7), получим выражения для как нечеткого подмножества интервала , т. е.

В частности, если значение истинности есть истинно , т. е.

, (6.10)

то значение истинности ложно можно записать в виде

. (6.11)

Например, если

то значение истинности высказывания не имеет вид

Замечание 6.1. Следует отметить, что если

то согласно (3.33), имеем

Однако если

То же самое относится и к лингвистическим неопределенностям. Например, согласно определению неопределенности очень (см. (5.38)),

С другой стороны, значение истинности высказывания очень равно

Перейдем к бинарным связкам. Пусть и - лингвистические значения истинности высказываний и соответственно. Для простоты будем пользоваться теми же обозначениями, что и в случае, когда и – точки в:

имея при этом в виду, что в случае, когда и - точки в , операции , и сводятся к операциям min (конъюнкция), max (дизъюнкция) и вычитания из единицы соответственно.

где и - точки в , а и - соответствующие им степени принадлежности множествам и , то, применяя принцип обобщения к , получим

Таким образом, значение истинности высказывания и есть нечеткое подмножество интервала , носитель которого состоит из точек вида

с соответствующими степенями принадлежности . Отметим, что выражение (6.25) эквивалентно выражению (3.107) для функции принадлежности пересечения нечетких множеств, имеющих нечеткие функции принадлежности.

Пример 6.2. Предположим, что

Тогда, используя (6.25), получаем

(6.28)

Аналогично, для значения истинности высказывания или получим

(6.29)

Значение истинности высказывания зависит от того, как определена связка для числовых значений истинности. Так, если для случая, когда и - точки в , мы положим (см. (8.24))

то, применив принцип обобщения, получим (см. замечание 3.20)

(6.31)

для случая, когда и - нечеткие подмножества интервала .

Замечание 6.3. Важно четко понимать разницу между связкой и в терме, скажем, истинный и не очень истинный и символом в высказывании истинный не истинный . В первом случае нас интересует смысл терма истинный и не истинный , и связка и определяется отношением

(6.32)

где - смысл терма (см. определение 5.1). Напротив, в случае терма истинный не истинный нас в основном интересует значение истинности высказывания истинный не истинный , которое получается из равенства (см. (6.19))

Таким образом, в (6.32)символ обозначает операцию пересечения нечетких множеств, а в (6.33) символ обозначает операцию конъюнкции. Проиллюстрируем это различие на простом примере. Пусть , а и - нечеткие подмножества множества , определяемые следующим образом:

в то время как

Отметим, что такое же различие имеет место и в случае отрицания не и операции , как указывалось в замечании 6.1.

Замечание 6.4. Следует отметить, что, применяя принцип обобщения (3.96) к вычислению значений , и , мы молчаливо предполагали, что и - невзаимодействующие нечеткие переменные в смысле замечания 3.20. Если и - взаимодействующие переменные, то необходимо применять принцип обобщения не в форме (3.96), а в форме (3.97). Интересно заметить, что вопрос о возможном взаимодействии между и возникает даже в том случае, когда и - точки в , а не нечеткие переменные.

Замечание 6.5. Применяя принцип обобщения с целью определения операций , , и применительно к лингвистическим значениям истинности, мы в сущности рассматриваем нечеткую логику как обобщение многозначной логики. В таком же смысле можно рассматривать классическую трёхзначную логику как обобщение двузначной логики (см. (6.64))., от 0 до 1.истинный и ложный , можно заключить, что

что согласуется с (6.25).

Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как

элементы, из соединения которых возникают сложные структуры.

Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: а, Ь, с, d,... Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения - то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква “а” представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это “а” представляет истину или ложь. Если под “а” мы подразумеваем суждение “Кенгуру живут в Австралии”, мы подразумеваем истину; если же под “а” мы подразумеваем суждение “Кенгуру живут в Сибири”, мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы “а”, “Ь”, “с” и т.д. - это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов “однако”, “так как”, “или” и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова “суждение”, обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово “высказывание”, обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение “Неверно, что...”. Отрицание обычно обозначается знаком “-”, стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: “-а” читается “Неверно, что а”. Пример: “Неверно, что Земля - шар”.

Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания - внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой “есть”, то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: “Земля не шар”. Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: “Неверно, что Земля - шар”, то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы “и”, “а”, “но”, “однако” и т.п.

Чаще всего конъюнкция обозначается значком “&”. Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

а & Ь. Пример: “В корзине у деда лежали подберезовики и маслята”. Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: -“В корзине у деда лежали подберезовики” и “В корзине у деда лежали маслята”.

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз “или”. Обычно она обозначается знаком “v”. Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: а v Ь.

Союз “или” в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое “или” - когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое “или” (часто заменяется парой союзов “либо..., либо...”) - когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции - строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответствует союз “если... то”. Она обозначается знаком “->”. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: а -> Ь. Пример: “Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается”. Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй - консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз “если... то” обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе - следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной. 4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: “Всякий приезжий, желающий поселиться на нашем благословенном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чужестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить”. Боишься - тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать суждение, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

Логическим умножением или конъюнкцией называется операция, выражаемая связкой «и» и обозначаемая точкой « » (или знаками & или  ). Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Таблица истинности функции логического умножения

		F= А  В

Логическим сложением или дизъюнкцией называется операция, выражаемая связкой “или” (в неразделительном смысле этого слова) и обозначаемая «+» (или знаком  ). Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Таблица истинности функции логического сложения

		F= А  В

Импликацией называется операция, выражаемая связками “если..., то”, “из... следует”. Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В – ложно.

Таблица истинности логической функции «импликация»

		F= А  В

В обычной речи связка “если..., то” описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Высказывания А и В, образующие составное высказывание A В, могут быть совершенно не связаны по содержанию. Рассматривается только их истинность или ложность.

Логическим равенством или эквиваленцией (или двойной импликацией ) называется операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, "необходимо и достаточно”, “... равносильно...”, и обозначается знаком  или ~ . Высказывание АВ истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Таблица истинности логической функции «эквиваленция»

		F= А  В

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

А  В = Ā  В.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А  В = (Ā  В)  ( А).

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Для каждого составного высказывания можно построить таблицу истинности, которая будет определять его истинность или ложность при различных комбинациях исходных значений простых высказываний. Для примера рассмотрим таблицу истинности логического выражения (А  В)  (Ā  )

Таблица истинности

Пример . Определите результат логической операции F = (A  B)  (C  D) при заданных значениях логических переменных A, B, C – истина, D – ложь.

Решение .

						(A  B)  (C  D)

Из построенной таблицы истинности следует, что F=1

Сформулируем основные правила образования новых предложений из исходных с помощью основных связок и союзов обычного разговорного языка. Одних только правил русского языка бывает недостаточно, так как иногда в одно и то же предложение, сформулированное на русском языке, мы вкладываем разный смысл. Для примера рассмотрим оборот речи «Если, то», с помощью которого сформулируем два предложения:

1) «Если Миша сдаст экзамен на отлично, то пойдет на дискотеку».
2) «Если Миша не сдаст экзамен на отлично, то на дискотеку не пойдет».

Вопрос: в этих предложениях говорится об одном и том же или существует ситуация, когда одно из предложений является верным, а другое ложным? Другими словами, спрашивается, равносильны ли эти предложения.

До тех пор, пока мы четко нс определим правила построения подобного рода фраз, на вопрос ответить однозначно нельзя. С одной стороны, формулируя первое предложение, мы часто подразумеваем и второе предложение. Однако посмотрим на эти предложения с другой стороны.

Вначале запишем схемы предложений. Для этого предложение «Миша сдаст экзамен на отлично» обозначим буквой А , а предложение «Миша пойдет на дискотеку» - буквой В. Тогда данные предложения схематично можно записать так:

I) «Если А , то В», 2) «Если не А , то не В».

Теперь подставим вместо А и В другие предюжения. Вместо А возьмем: «Стол сделан из дуба», вместо В «Стол является деревянным». Тогда получим другую пару предложений:

1) «Если стол дубовый, то он деревянный»,
2) «Если стол не дубовый, то он не деревянный».

Так как эти предложения построены по тем же схемам, что первые два, значит, равносильность первой пары предложений должна означать равносильность второй пары. Однако первое предложение в обыденной речи, очевидно, является верным высказыванием, так как дуб - это дерево, а второе предложение по общепринятому смыслу ложно, так как стол может быть сделан из другого дерева, например из сосны.

Таким образом, в общем случае предложения, построенные по схемам «Если А , то В» и «Если не А, то не В », нельзя считать логически одинаковыми.

Итак, для того чтобы исключить двусмысленность при конструкции предложений, нужны четкие правила, позволяющие определять истинность или ложность получаемого предложения в зависимости от истинности или ложности исходных предложений А и В.

Придадим союзам «и», «или», а также схемам «если, то», «тогда и только тогда», «неверно, что» однозначный логический смысл.

Пусть буквы А и В обозначают произвольные предложения. Начнем с простых ситуаций.

1. Знак отрицания ~| (-i) или. Выражение ~li (-Л, А ) читается: «не А» или «неверно, что А».

Значения предложения ~А определим таблицей, из которой видно, что предложение ~л истинно в точности тогда, когда исходное предложение А ложно:

При формулировке простых по структуре предложений частицу «не» иногда можно «проносить вовнутрь» предложения. Например, предложение

«Неверно, что число V6 целое» можно сформулировать так: «Число л/6 не целое». Также предложение «Неверно, что прямые а и b пересекаются» формулируют: «Прямые а и b нс псрссскаются».

Часто объект, который не обладает каким-то свойством, называют термином с частицей «не». Например, целое число, не являющееся четным, называется нечетным. Поэтому одинаково правильно говорить «Целое число нечетное» и «Целое число не является четным». Но без оговорки, что число целое, мы имеем разные по смыслу предложения. Например, «Число 0,2 не является четным» - истина, а предложение «Число 0,2 нечетное» - ложь.

Рассмотрим словосочетание «нечетная функция». Здесь мы имеем самостоятельный термин и слово «нечетная» нельзя писать и произносить раздельно, то есть предложение «Функция является нечетной» не является отрицанием предложения «Функция является четной». Действительно, существует пример функции, при котором оба предложения ложны. Например, функция )т=х+ не является четной и не является нечетной (постарайтесь объяснить это).

2. Знак конъюнкции л. Выражение ЛлВ читается: «А и В». Иногда конъюнкция обозначается знаком &.

Значения предложения АлВ в зависимости от составляющих его предложений А и В определены таблицей:

Таким образом, предложение АлВ истинно только в одном случае, когда оба предложения А и В истинны. В остальных случаях это предложение ложно. При формулировке предложения АлВ вместо союза «и» можно использовать другие союзы, имеющие тот же логический смысл одновременного выполнения каждого из предложений: «а», «но».

Пример 1.3.1. Предложение «Число 111 нс делится на 2, но делится на 3» - символически можно записать 1АлВ, где А = «111 делится на 2», В = « 111 делится на 3».

3. Знак дизъюнкции v. Выражения AvB читается: «А или В».

Значения предложения AvB определены таблицей:

Из таблицы видно, что предложение «А или В» истинно в тех случаях, когда хотя бы одно из предложений А или В истинно, а в случае, когда оба предложения А и В ложны, предложение AvB принимает ложное значение.

Иногда из содержания предложений А и В вытекает, что предложения не могут быть одновременно истинны. В этом случае предложение формулируют с помощью союза «либо». Например, предложение «Число либо положительное, либо отрицательное» также имеет вид «А или В », но вместе с тем имеет такой подтекст, что одновременно и положительным, и отрицательным число быть не может.

Сформулированные выше правила, по всей видимости, вопросов не вызывают. Перейдем к рассмотренной в начале пункта схеме «Если А, то В».

4. Знак импликации -Выражение А->В читается: «Если А, то В». Иногда для обозначения этой связки используется другое обозначение стрелки =>, а также знак z>. Наряду с фразой «Если А , то В» используют другие, аналогичные ей: «В тогда, когда А », «А только тогда, когда В».

Мотивируем определение значений предложения А->В. Основная трудность, которая здесь возникает, состоит в присвоении значения предложению Л-»# для тех случаев, когда А ложно. Чтобы разумно определить значения, вспомним рассмотренное выше верное предложение: «Если стол дубовый, то он деревянный». Здесь А = «Стол дубовый», В = «Стол деревянный». Пусть стол сделан из сосны. Тогда А ложно, В истинно. Пусть стол будет железным. Тогда А ложно и В ложно. В обоих случаях предложение А ложно, а получаемое предложение «Если А , то В» истинно. При этом оба эти случая реально возможны. Конечно, возможен случай, когда мы имеем дубовый стол, тогда Aw В одновременно истинны. А вот примера истинного предложения А->В, когда А=и> В=л , не существует.

Таким образом, случаи, когда А=и , В=и, или А=л у В=и , или А=л , В=л, должны определять истинное предложение И лишь один случай, при

котором А=и , В-л, означает, что предложение А->В ложно.

Итак, в математической логике значения предложения Т-задаются приведенной таблицей:

В дальнейшем всюду фраза «Если А , то В» будет пониматься именно так. Здесь предложение А называется посылкой , или условием , а В - заключением.

Пример 13.2. Родители пообещали своему сыну Пете: если он успешно окончит университет, они купят ему машину. Известно, что сын университет не окончил, а машину ему родители все-таки купили. Можно ли утверждать, что слова родителей были ложью?

Чтобы ответить на вопрос, рассмотрим предложения: А = «Сын оканчивает университет», В = «Ему покупают машину». При этом А=л, В=и. Обещание родителей имеет вид А^>В. По определению это предложение при заданных значениях А и В верно (третья строка таблицы). Поэтому с точки зрения логики слова родителей верны. А вот если бы их сын окончил институт, а машину ему не купили, в этом случае (и ни в каком другом) обещание было бы не выполнено.

Теперь рассмотрим еще одну логическую связку, которую часто имеют в виду, когда говорят слова «если, то». Например, если в условиях примера 1.3.2 родители предполагали, что в случае, если их сын Петя нс окончит институт, они не купят ему машину, правильно было бы сказать: «Машина будет куплена в том и только в том случае, если Петя окончит институт».

5. Знак эквиваленции или. Выражение А читается: «А тогда и только тогда, когда В». Возможны другие формулировки: «А в том и только в том случае, если В », «А в точности тогда, когда В» и т. п.

Значения предложения АВ задаются таблицей:

В случаях, когда А и В принимают одинаковые значения, предложение АВ верно, в остальных случаях предложение ложно.

Нетрудно заметить, что фраза «А тогда и только тогда, когда В» состоит из двух фраз: «А тогда, когда В» и «А только тогда, когда В». Первое предложение записывается В->А, а второе А^>В. Эти два предложения одновременно истинны в двух случаях: А=и, В=и , а также А=л, В=л.

Итак, мы определили пять знаков: л (конъюнкция), v (дизъюнкция), -> (импликация), (эквиваленция), 1 (отрицание), которые называют

логическими сеялками. Эти знаки позволяют из данных предложений А и В получать новые предложения. При этом значение (истины или лжи) нового предложения однозначно определяется значениями предложений А и В. Правило получения нового предложения из исходных предложений называется логической операцией. Таким образом, каждая из логических связок определяет логическую операцию, которая имеет такое же название что и соответствующая ей связка.

Рассмотренные операции можно использовать и для высказываний, и для предикатов. Например, соединив два одноместных предиката «Число,т больше 3» и «Число х отрицательное» знаком дизъюнкции, получим одноместный предикат: «Число х больше 3 или огри нательное». Единственно, для того чтобы соединить два предиката логической связкой, нужно, чтобы была задана некоторая общая область D допустимых объектов, которые можно подставлять в данные предикаты вместо переменных.

Определим еще две логические связки, называемые кваитора.ми, которые позволяют из одноместных предикатов получать высказывания. Термин «квантор» в переводе с латинского языка означает «сколько». Поэтому эти знаки используются для ответа на вопрос о том, сколько объектов удовлетворяют предложению А у - все или хотя бы один.

Возьмем произвольный предикат, у которого выделим переменную, от которой зависит его значение. Обозначим его А(х).

6. Квантор общности V. Данный знак происходит от английского слова АН и является сокращением следующих слов: «вес», «каждый», «всякий», «любой».

Выражение Vj&4(y) означает, что предикат А(х) выполняется для всех допустимых объектов х. Читается: «Для всех икс а от икс».

7. Квантор существования 3. Данный знак происходит от английского слова Exist и является сокращением следующих слов: «существует», «найдется», «хотя бы один», «некоторый».

Выражение Зх4(*) означает, что предикат А(х) выполняется хотя бы для одного из допустимых объектов.v. Читается: «Существует икс а от икс».

Пример 1.3.3. Пусть переменная х обозначает студента вуза. Рассмотрим предложение А(х) = «Студент л: имеет машину». Тогда VxA(x) означает, что все студенты вузов имеют машину. Это ложное высказывание. Предложение ЭхА(х) означает, что некоторые студенты имеют машину, что является верным утверждением.

Таким образом, изначально мы имели предикат, значение которого зависело от значения переменной дг. После выполнения операций были получены именно высказывания, значения которых уже нс зависят от переменной х.

Пусть имеется формула Л(х), содержащая свободную переменную х. Тогда утверждение о том, что формула А(х) является тождественно истинной, кратко запишется Vj&4(jc).

Операция получения предложения с помощью кванторов называется квантификацией. При использовании выражений УхА(х) и 3хА(х) также говорят: «На переменную х навесили квантор» или «Переменную х связали квантором».

Заметим, что кванторные операции применимы не только к одноместным предикатам. Если будет дан двуместный предикат А{ху), то можно связать переменную л - квантором и образовать предложение /хА(ху), истинность которого будет зависеть уже только от одной переменной у, и мы будем иметь одноместный предикат. В этой записи переменная х называется связанной квантором , а переменная у - свободной. В общем случае, применив кванторную операцию к любой из переменных /7-местного предиката, в итоге получим (н-1)-местный предикат.

Кванторами можно связать любое количество переменных. Если имеем двуместный предикат А(ху), то формально можно получить 8 высказываний.

связав каждую переменную каким-то квантором: VjcfyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(ху), 3yVxA(ху), 3xVyA(xy), /уЭхА(ху), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху). Некоторые предложения имеют один и тот же смысл, например первое и второе (предикат А должен принимать истинное значение для любых значений * и у), а также седьмое и восьмое. Остальные выражения в общем случае дают разные по истинности высказывания.

Пример 1.3.4. Пусть в классе всего два мальчика - Петя и Коля. Для самостоятельного решения были заданы три задачи, обозначим их числами 1, 2, 3. Петя решил задачи 1 и 2, а Коля - одну задачу с номером 3. Введем предикат А(ху), который означает, что мальчик * решил задачу у. Здесь переменная х обозначает имя мальчика, а переменная у - номер задачи. Рассмотрим следующие высказывания.

Vx3yA(xy) = «Каждый мальчик решил хотя бы одну задачу» - истинное высказывание, так как и Петя решил две задачи, и Коля решил по крайней мерс одну задачу.

3_yVx4(.*,y) = «Найдется задача, которую решили все мальчики класса» - ложь, так как такой задачи нет (и 1-ю и 2-ю задачи решил только Петя, а 3-ю - только Коля).
3xVyA(x,y) = «Хотя бы один мальчик решил все задачи» - ложное утверждение.

V_yEx,4(;c,y) = «Каждая задача решена хотя бы одним учеником» - истина, так задача с номером 1 решена Петей, задача с номером 2 также решена Петей, а задача 3 решена Колей.

Из рассмотренного примера можно сделать вывод: порядок записи кванторов влияет на логический смысл предложения. Поэтому четкая формулировка предложения должна однозначно предполагать, в каком порядке идут кванторы общности и существования.

Упражнение. Самостоятельно проанализируйте значения высказываний из примера 1.3.4 в предположении, что Петя решил задачи с номерами 2 и 3.

В общем случае из предиката А(х) можно получить два высказывания - /хА(х) и 3x4(x). Однако очень часто записанная формула А{х) понимается именно как высказывание Vx4(.x), хотя квантор общности при записи или формулировке опускают. Например, записав д- 2 >0, имеют в виду, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Полная запись высказывания такова: Улг(дг?0). Запись (4х + 6у):2, где*, у - целые числа, предполагает, что указанная сумма всегда делится на 2, то есть четна. Чтобы это подчеркнуть, следует записать V*Vy((4.x + 6jy):2).

Определенные в двух последних пунктах математические знаки и знаки логических связок составляют алфавит математического языка.

Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: a, b, c, d, … Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения – то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква «a» представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это «a» представляет истину или ложь. Если под «a» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Австралии», мы подразумеваем истину; если же под «а» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Сибири», мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы «a», «b», «c» и т.д. – это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «так как», «или» и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова «суждение», обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово «высказывание», обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение «Неверно, что…». Отрицание обычно обозначается знаком «¬», стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: «¬а» читается «Неверно, что а». Пример: «Неверно, что Земля – шар».

Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания – внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой «есть», то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: «Земля не шар». Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: «Неверно, что Земля – шар», то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы «и», «а», «но», «однако» и т.п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком «&». Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

a & b. Пример: «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята». Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: – «В корзине у деда лежали подберезовики» и «В корзине у деда лежали маслята».

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз «или». Обычно она обозначается знаком «v». Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: a v b.

Союз «или» в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое «или» – когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое «или» (часто заменяется парой союзов «либо…, либо…») – когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции – строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответствует союз «если… то». Она обозначается знаком «->». Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a -> b. Пример: «Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз «если… то» обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие. Отсюда и названия членов импликации.

4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: «Всякий приезжий, желающий поселиться на нашем благословенном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чужестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить». Боишься – тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать суждение, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

| |