Які основні властивості невизначеного інтегралу. Найпростіші властивості інтегралів

У статті ми перерахуємо основні властивості певного інтеграла. Більшість цих властивостей доводяться на основі понять певного інтегралу Рімана та Дарбу.

Обчислення певного інтеграла часто-густо проводиться з допомогою перших п'яти властивостей, отже ми будемо за потреби ними посилатися. Інші властивості певного інтеграла в основному застосовуються для оцінки різних виразів.

Перш ніж перейти до основним властивостям певного інтегралу, умовимося, що a не перевищує b .

Для функції y = f(x) , визначеної при x = a справедлива рівність .

Тобто значення певного інтеграла з збігаються межами інтегрування дорівнює нулю. Ця властивість є наслідком визначення інтеграла Рімана, тому що в цьому випадку кожна інтегральна сума для будь-якого розбиття проміжку та будь-якого вибору точок дорівнює нулю, тому що, отже, межею інтегральних сум є нуль.

Для функції, що інтегрується на відрізку, виконується .

Іншими словами, при зміні верхньої та нижньої меж інтегрування місцями значення певного інтеграла змінюється на протилежне. Ця властивість певного інтеграла також випливає з поняття інтеграла Рімана, тільки нумерацію розбиття відрізка слід починати з точки x = b.

для інтегрованих на відрізку функцій y = f(x) та y = g(x) .

Доведення.

Запишемо інтегральну суму функції для даного розбиття відрізка та вибору точок :

де - інтегральні суми функцій y = f(x) і y = g(x) для даного розбиття відрізка відповідно.

Переходячи до межі при отримаємо , що у визначенню інтеграла Рімана рівносильно утвердженню доведеного якості.

Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу. Тобто для інтегрованої на відрізку функції y = f(x) і довільного числа k справедлива рівність .

Доказ цієї властивості певного інтеграла абсолютно схожий на попередній:


Нехай функція y = f(x) інтегрована на інтервалі X, причому і тоді .

Ця властивість справедлива як для, так і для або.

Доказ можна провести, спираючись на попередні властивості певного інтегралу.

Якщо функція інтегрована на відрізку, вона інтегрована і будь-якому внутрішньому відрізку.

Доказ ґрунтується на властивості сум Дарбу: якщо до наявного розбиття відрізка додати нові точки, то нижня сума Дарбу не зменшиться, а верхня – не збільшиться.

Якщо функція y = f(x) інтегрована на відрізку й у будь-якого значення аргументу , то .

Ця властивість доводиться через визначення інтеграла Рімана: будь-яка інтегральна сума для будь-якого вибору точок розбиття відрізка і точок при буде невід'ємною (не позитивною).

Слідство.

Для інтегрованих на відрізку функцій y = f(x) та y = g(x) справедливі нерівності:


Це твердження означає, що допустиме інтегрування нерівностей. Цим наслідком ми користуватимемося під час доказу наступних властивостей.

Нехай функція y = f(x) інтегрована на відрізку тоді справедлива нерівність .

Доведення.

Очевидно, що . У попередній властивості ми з'ясували, що нерівність можна почленно інтегрувати, тому справедливо . Цю подвійну нерівність можна записати як .

Нехай функції y = f(x) та y = g(x) інтегруються на відрізку і для будь-якого значення аргументу , тоді , де і .

Доказ проводиться аналогічно. Так як m і M – найменше та найбільше значення функції y = f(x) на відрізку, то . Примноження подвійної нерівності на невід'ємну функцію y = g(x) призводить до наступної подвійної нерівності . Інтегруючи його на відрізку, прийдемо до твердження, що доводиться.

У диференціальному обчисленні вирішується завдання: під цією функцією ƒ(х) знайти її похідну(або диференціал). Інтегральне обчислення вирішує обернену задачу: знайти функцію F(x), знаючи її похідну F "(x) = ƒ (х) (або диференціал). Шукану функцію F (x) називають первісної функції ƒ (х).

Функція F(x) називається первісноїфункції ƒ(х) на інтервалі (а; b), якщо для будь-якого х є (а;b) виконується рівність

F "(x)=ƒ(x) (або dF(x)=ƒ(x)dx).

Наприклад, Первинної функції у=х 2 , х є R, є функція, так як

Очевидно, що першорядними будуть також будь-які функції

де С - постійна, оскільки

Теоpeма 29. 1. Якщо функція F(x) є первісною функцією ƒ(х) на (а;b), то безліч всіх первісних для ƒ(х) задається формулою F(x)+С, де С - постійне число.

▲ Функція F(x)+С є первісною ƒ(х).

Справді, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Нехай Ф(х) - деяка інша, відмінна від F(x), первісна функції ƒ(х) , тобто Ф "(x)=ƒ(х). Тоді для будь-якого х є(а;b) маємо

І це означає (див. слідство 25. 1), що

де С – постійне число. Отже, Ф(х)=F(x)+С.▼

Безліч всіх попередньообрізних функцій F(x)+З для ƒ(х) називається невизначеним інтегралом від функції ƒ(х)і позначається символом ∫ ƒ(х) dx.

Таким чином, за визначенням

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Тут ƒ(х) називається підінтегральною функцією, ƒ(x)dx підінтегральним виразом,х - змінної інтегрування, ∫ -знаком невизначеного інтегралу.

Операція знаходження невизначеного інтеграла від функції називається інтегруванням цієї функції.

Геометрично невизначений інтеграл є сімейством «паралельних» кривих у=F(x)+C (кожному числовому значенню відповідає певна крива сімейства) (див. рис. 166). Графік кожної первісної (кривої) називається інтегральної кривої.

Чи для будь-якої функції існує невизначений інтеграл?

Має місце теорема, яка стверджує, що «будь-яка безперервна на (а; b) функція має на цьому проміжку первісну», а отже, і невизначений інтеграл.

Зазначимо ряд властивостей невизначеного інтеграла, які з його визначення.

1. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, а похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(х).

Дійсно, d(∫ ƒ(х) dx)=d(F(x)+С)=dF(x)+d(C)=F "(x) dx =ƒ(х) dx

(∫ ƒ(x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Завдяки цій властивості правильність інтегрування перевіряється диференціюванням. Наприклад, рівність

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

правильно, оскільки (х 3 +4х+С)"=3x 2 +4.

2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної:

∫dF(x)= F(x)+C.

Справді,

3. Постійний множник можна виносити за знак інтегралу:

α ≠ 0 – постійна.

Справді,

(Поклали З 1 /а=С.)

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми кінцевого числа безперервних функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від доданків:

Нехай F"(x)=ƒ(х) та G"(x)=g(x). Тоді

де 1 ±С 2 =С.

5. (Інваріантність формули інтегрування).

Якщо , де u = φ (х) - довільна функція, що має безперервну похідну.

▲ Нехай х - незалежна змінна, ƒ(х) - безперервна функція і F(x) - її перетворювальна. Тоді

Покладемо тепер u = ф (х), де ф (х) - безперервно-диференційована функція. Розглянемо складну функцію F(u)=F(φ(x)). З огляду на інвараїнтність форми першого диференціала функції (див. с. 160) маємо

Звідси▼

Таким чином, формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від того, чи є змінна інтегрування незалежною змінною чи будь-якою функцією від неї, що має безперервну похідну.

Так, із формули шляхом заміни х на u (u = φ (х)) отримуємо

Зокрема,

Приклад 29.1.Знайти інтеграл

де З=C1+З 2 +З 3 +З 4 .

Приклад 29.2.Знайти інтеграл Рішення:

• 29.3. Таблиця основних невизначених інтегралів

Користуючись тим, що інтегрування є дія, зворотне диференціювання, можна отримати таблицю основних інтегралів шляхом звернення відповідних формул диференціального обчислення (таблиця диференціалів) та використання властивостей невизначеного інтеграла.

Наприклад, так як

d(sin u)=cos u . du,

Висновок низки формул таблиці буде при розгляді основних методів інтегрування.

Інтеграли в таблиці, що наводиться нижче, називаються табличними. Їх слід знати напам'ять. У інтегральному обчисленні немає найпростіших і універсальних правил відшукання первісних від елементарних функцій, як і диференціальному обчисленні. Методи знаходження преобразних (тобто інтегрування функції) зводяться до вказівки прийомів, що приводять даний (шуканий) інтеграл до табличного. Отже, необхідно знати табличні інтеграли та вміти їх впізнавати.

Зазначимо, що в таблиці основних інтегралів змінна інтегрування і може позначати як незалежну змінну, так і функцію від незалежної змінної (відповідно до властивості інваріантності формули інтегрування).

У справедливості наведених нижче формул можна переконатися, взявши диференціал правої частини, який дорівнюватиме підінтегральному виразу в лівій частині формули.

Доведемо, наприклад, справедливість формули 2. Функція 1/u визначена і безперервна всім значень і, відмінних від нуля.

Якщо u > 0, то ln|u|=lnu, тоді Тому

Якщо u<0, то ln|u|=ln(-u). НоЗначить

Отже, формула 2 вірна. Аналогічно, перевіримо формулу 15:

Таблиця основних інтегралів

Друзі! Запрошуємо вас до обговорення. Якщо ви маєте свою думку, напишіть нам у коментарі.

Дані властивості використовуються для здійснення перетворень інтеграла з метою його приведення до одного з елементарних інтегралів та подальшого обчислення.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Причому a ≠ 0

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 та 5:

Причому a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо то

8. Властивість:

Якщо то

Фактично дана властивість є окремим випадком інтегрування за допомогою методу заміни змінної , який більш докладно розглянутий у наступному розділі.

Розглянемо приклад:

Спочатку ми застосували властивість 5, потім властивість 4, скористалися таблицею первісних і отримали результат.

Алгоритм нашого онлайн калькулятора інтегралів підтримує всі перелічені вище властивості і легко знайде докладне рішення для вашого інтеграла.

Первісна і невизначений інтеграл.

Первоподібною функцією f(x) на проміжку (a; b) називається така функція F(x), що виконується рівність для будь-якого х із заданого проміжку.

Якщо взяти до уваги той факт, що похідна від константи С дорівнює нулю, то справедлива рівність . Таким чином, функція f(x) має безліч первісних F(x)+C, для довільної константи, причому ці первісні відрізняються один від одного на довільну постійну величину.

Все безліч первісних функцій f(x) називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається .

Вираз називають підінтегральним виразом, а f(x) – підінтегральною функцією. Подинтегральное вираз є диференціал функції f(x).

Дія знаходження невідомої функції по заданому диференціалу називається невизначеним інтегруванням, тому що результатом інтегрування є не одна функція F(x), а безліч її первісних F(x)+C.

Табличні інтеграли

Найпростіші властивості інтегралів

1. Похідна результату інтегрування дорівнює підінтегральної функції.

2. Невизначений інтеграл диференціала функції дорівнює сумі самої функції та довільної константи.

3. Коефіцієнт можна виносити за знак невизначеного інтегралу.

4. Невизначений інтеграл суми/різниці функцій дорівнює сумі/різниці невизначених інтегралів функцій.

Проміжні рівності першої та другої властивостей невизначеного інтеграла наведені для пояснення.

Для доказу третьої та четвертої властивостей достатньо знайти похідні від правих частин рівностей:

Ці похідні рівні підінтегральним функцій, що є доказом з першої якості. Воно ж використовується в останніх переходах.

Таким чином, завдання інтегрування є зворотним завданням диференціювання, причому між цими завданнями дуже тісний зв'язок:

перше властивість дозволяє проводити перевірку інтегрування. Щоб перевірити правильність виконаного інтегрування, достатньо обчислити похідну отриманого результату. Якщо отримана результаті диференціювання функція виявиться рівної підінтегральної функції, це означатиме, що інтегрування проведено правильно;

друга властивість невизначеного інтеграла дозволяє за відомим диференціалом функції знайти її первісну. У цьому властивості засноване безпосереднє обчислення невизначених інтегралів.

1.4.Інваріантність форм інтегрування.

Інваріантне інтегрування - вид інтегрування для функцій, аргументом яких є елементи групи або точки однорідного простору (будь-яку точку такого простору можна перевести в іншу задану дію групи).

функції f(x)зводиться до обчислення інтеграла від диференціальної форми f.w, де

Явна ф-ла для r(х)наводиться нижче. Умова погодження має вигляд .

тут Tg означає оператор зсуву X за допомогою gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Нехай X = G - топологія, група, що діє собі лівими зрушеннями. І. в. існує тоді й лише тоді, коли G локально компактна (зокрема, на нескінченномірних групах І. і. не існує). Для підмножини І. в. Характеристичні функції cA (рівний 1 на A і 0 поза А) задає ліву міру Xаара m(A). Визначальною властивістю цього заходу є інваріантність при лівих зрушеннях: m(g-1A)=m(А)для всіх gОG. Ліва міра Хаара на групі визначена однозначно з точністю до скалярного множника. Якщо відома міра Хаара m, то І. в. функції f надається формулою . Аналогічні властивості має правий захід Хаара. Існує безперервний гомоморфізм (відображення, що зберігає групову властивість) DG групи G групу (щодо множення) покладе. чисел, для якого

де dmr і dmi - правий і лівий заходи Хаара. Функцію DG(g) зв. модулем групи G. Якщо , то група G зв. унімодулярний; у цьому випадку правий і лівий заходи Хаара збігаються. Компактні, напівпрості та нільпотентні (зокрема, комутативні) групи унімодулярні. Якщо G - n-вимірна група Лі і q1, ..., qn - базис у просторі лівоінваріантних 1-форм на G, то ліва міра Хаара на G задається n-формою . У локальних координатах для обчислення

форм qi можна скористатися будь-якою матричною реалізацією групи G: матрична 1-форма g-1dg лівоінваріантна, а її коеф. є лівоінваріантними скалярними 1-формами, у тому числі і вибирається шуканий базис. Напр., повна матрична група GL(n, R) унімодулярна та міра Хаара на ній задається формою. Нехай X=G/H - однорідне простір, котрій локально компактна група G є групою перетворень, а замкнута підгрупа Н - стабілізатором певної точки. Для того, щоб на X існувало І. і., необхідно і достатньо, щоб для всіх hОH виконувалася рівність DG(h)=DH(h). Зокрема, це правильно у разі, коли Н компактна чи напівпроста. Повної теорії І. в. на нескінченномірних різноманіттях немає.

Заміна змінних.

Основним завданням диференціального обчисленняє знаходження похідної f'(x)або диференціала df=f'(x)dxфункції f(x).В інтегральному численні вирішується обернена задача. За заданою функцією f(x) потрібно знайти таку функцію F(x),що F'(х)=f(x)або dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Таким чином, основним завданням інтегрального обчисленняє відновлення функції F(x)за відомою похідною (диференціалу) цієї функції. Інтегральне обчислення має численні додатки у геометрії, механіці, фізиці та техніці. Воно дає загальний метод знаходження площ, обсягів, центрів важкості тощо.

Визначення. ФункціяF(x), , називається первісною для функціїf(x) на множині Х, якщо вона диференційована для будь-якого іF'(x)=f(x) абоdF(x)=f(x)dx.

Теорема. Будь-яка безперервна на відрізку [a;b] функціяf(x) має на цьому відрізку первіснуF(x).

Теорема. ЯкщоF 1 (x) таF 2 (x) – дві різні первісні однієї й тієї ж функціїf(x) на безлічі х, то вони відрізняються один від одного постійним доданком, тобто.F 2 (x)=F 1x)+C де С - постійна.

Невизначений інтеграл, його властивості.

Визначення. СукупністьF(x)+З усіх первісних функційf(x) на множині Х називається невизначеним інтегралом і позначається:

- (1)

У формулі (1) f(x)dxназивається підінтегральним виразом,f(x) - підінтегральної функцією, х - змінної інтегрування,а З – постійної інтеграції.

Розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які з його визначення.

1. Похідна з невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

та .

2. Невизначений інтеграл від диференціалу певної функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

3. Постійний множник а (а≠0) можна виносити за знак невизначеного інтеграла:

4. Невизначений інтеграл від суми алгебри кінцевого числа функцій дорівнює сумі алгебри інтегралів від цих функцій:

5. ЯкщоF(x) – первісна функціяf(x), то:

6 (інваріантність формул інтегрування). Будь-яка формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо змінну інтегрування замінити будь-якою функцією цієї змінної, що диференціюється:

деu - функція, що диференціюється.

Таблиця невизначених інтегралів.

Наведемо основні правила інтегрування функций.

Наведемо таблицю основних невизначених інтегралів(Зазначимо, що тут, як і в диференціальному обчисленні, буква uможе позначати як незалежну змінну (u=x), так і функцію від незалежної змінної (u=u(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u|> |a|).(|u|< |a|).

Інтеграли 1 – 17 називають табличними.

Деякі з наведених вище формул таблиці інтегралів, які не мають аналога в таблиці похідних, перевіряються диференціюванням їх правих частин.

Заміна змінної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

Інтегрування підстановкою (заміна змінної). Нехай потрібно обчислити інтеграл

, що не є табличним. Суть методу підстановки полягає в тому, що в інтегралі змінну хзамінюють змінною tза формулою x = φ (t),звідки dx=φ’(t)dt.

Теорема. Нехай функціяx = φ (t) визначена та диференційована на деякій множині Т і нехай Х – безліч значень цієї функції, на якій визначено функціюf(x). Тоді якщо на множині Х функціяf(