Основи теорії ймовірностей та математичної статистики. Основні поняття теорії ймовірностей та математичної статистики

Теорія ймовірностей та математична статистика

• Агекян Т.А. Основи теорії помилок для астрономів та фізиків (2-ге вид.). М: Наука, 1972 (djvu, 2.44 M)
• Агекян Т.А. Теорія ймовірностей для астрономів та фізиків. М: Наука, 1974 (djvu, 2.59 M)
• Андерсон Т. Статистичний аналіз часових рядів. М: Мир, 1976 (djvu, 14 M)
• Бакельман І.Я. Вернер О.Л. Кантор Б.Є. Введення у диференціальну геометрію "загалом". М: Наука, 1973 (djvu, 5.71 M)
• Бернштейн С.М. Теорія імовірності. М.-Л.: ГІ, 1927 (djvu, 4.51 M)
• Біллінгслі П. Збіжність імовірнісних заходів. М: Наука, 1977 (djvu, 3.96 M)
• Бокс Дж. Дженкінс Г. Аналіз тимчасових рядів: прогноз та управління. Випуск 1. М: Мир, 1974 (djvu, 3.38 M)
• Бокс Дж. Дженкінс Г. Аналіз тимчасових рядів: прогноз та управління. Випуск 2. М: Мир, 1974 (djvu, 1.72 M)
• Борель Е. Імовірність та достовірність. М: Наука, 1969 (djvu, 1.19 M)
• Ван дер Варден Б.Л. Математична статистика. М: ІЛ, 1960 (djvu, 6.90 M)
• Вапник В.М. Відновлення залежностей за емпіричними даними. М: Наука, 1979 (djvu, 6.18 M)
• Вентцель Є.С. Введення у дослідження операцій. М: Радянське радіо, 1964 (djvu, 8.43 M)
• Вентцель Є.С. Елементи теорії ігор (2-ге вид.). Серія: Популярні лекції з математики. Випуск 32. М: Наука, 1961 (djvu, 648 K)
• Венцтель О.С. Теорія ймовірностей (4-те вид.). М: Наука, 1969 (djvu, 8.05 M)
• Венцтель Є.С., Овчаров Л.А. Теорія імовірності. Завдання та вправи. М: Наука, 1969 (djvu, 7.71 M)
• Віленкін Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум з теорії ймовірностей з елементами комбінаторики та математичної статистики. М: Просвітництво, 1979 (djvu, 1.12 M)
• Гмурман В.Є. Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики (3-тє вид.). М: Вища. шк., 1979 (djvu, 4.24 M)
• Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика (4-те вид.). М: Вища школа, 1972 (djvu, 3.75 M)
• Гніденко Б.В., Колмогоров А.М. Граничні розподіли сум незалежних випадкових величин. М.-Л.: ГІТТЛ, 1949 (djvu, 6.26 M)
• Гнеденко Б.В., Хінчін А.Я. Елементарне запровадження теорію ймовірностей (7-е вид.). М: Наука, 1970 (djvu, 2.48 M)
• Дуб Дж.Л. Імовірнісні процеси. М: ІЛ, 1956 (djvu, 8.48 M)
• Девід Г. Порядкові статистики. М: Наука, 1979 (djvu, 2.87 M)
• Ібрагімов І.А., Ліннік Ю.В. Незалежні та стаціонарно пов'язані величини. М: Наука, 1965 (djvu, 6.05 M)
• Ідьє Ст, Драйард Д., Джеймс Ф., Рус М., Садул Б. Статистичні методи в експериментальній фізиці. М.: Атоміздат, 1976 (djvu, 5.95 M)
• Камалов М.К. Розподіл квадратичних форм у вибірках із нормальної сукупності. Ташкент: АН УзРСР, 1958 (djvu, 6.29 M)
• Кассандрова О.М., Лебедєв В.В. Обробка результатів спостережень. М: Наука, 1970 (djvu, 867 K)
• Кац М. Імовірність та суміжні питання у фізиці. М: Мир, 1965 (djvu, 3.67 M)
• Кац М. Кілька ймовірнісних завдань фізики та математики. М: Наука, 1967 (djvu, 1.50 M)
• Кац М. Статистична незалежність у теорії ймовірностей, аналізі та теорії чисел. М: ІЛ, 1963 (djvu, 964 K)
• Кендал М., Моран П. Геометричні ймовірності. М: Наука, 1972 (djvu, 1.40 M)
• Кендал М., Стюарт А. Том 2. Статистичні висновки та зв'язки. М: Наука, 1973 (djvu, 10 M)
• Кендалл М., Стюарт А. Том 3. Багатомірний статистичний аналіз та часові ряди. М: Наука, 1976 (djvu, 7.96 M)
• Кендал М., Стюарт А. Том. 1. Теорія розподілів. М: Наука, 1965 (djvu, 6.02 M)
• Колмогоров А.М. Основні поняття теорії ймовірностей (2-ге вид.) М.: Наука, 1974 (djvu, 2.14 M)
• Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Випадкові розміщення. М: Наука, 1976 (djvu, 2.96 M)
• Крамер Г. Математичні методи статистики (2-ге вид.). М: Мир, 1976 (djvu, 9.63 M)
• Леман Еге. Перевірка статистичних гіпотез. М: Наука. 1979 (djvu, 5.18 M)
• Лінник Ю.В., Островський І.В. Розкладання випадкових величин та векторів. М: Наука, 1972 (djvu, 4.86 M)
• Лихолетов І.І., Мацкевич І.П. Керівництво до вирішення завдань з вищої математики, теорії ймовірностей та математичної статистики (2-ге вид.). Мн.: Вище. школа, 1969 (djvu, 4.99 M)
• Лоев М. Теорія ймовірностей. М: ІЛ, 1962 (djvu, 7.38 M)
• Малахов О.М. Кумулянтний аналіз випадкових негаусових процесів та їх перетворень. М: Рад. радіо, 1978 (djvu, 6.72 M)
• Мешалкін Л.Д. Збірник завдань з теорії ймовірностей. М: МДУ, 1963 (djvu, 1 004 K)
• Митропольський А.К. Теорія моментів. М.-Л.: ГІКСЛ, 1933 (djvu, 4.49 M)
• Митропольський А.К. Техніка статистичних обчислень (2-ге вид.). М: Наука, 1971 (djvu, 8.35 M)
• Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Імовірність. М.: Світ, 1969 (djvu, 4.82 M)
• Налімов В.В. Застосування математичної статистики під час аналізу речовини. М: ГІФМЛ, 1960 (djvu, 4.11 M)
• Невє Ж. Математичні основи теорії ймовірностей. М.: Світ, 1969 (djvu, 3.62 M)
• Престон К. Математика. Нове у зарубіжній науці No.7. Гіббсівські стани на рахункових множинах. М: Мир, 1977 (djvu, 2.15 M)
• Савельєв Л.Я. Елементарна теорія імовірностей. Частина 1. Новосибірськ: НГУ, 2005 (

Багато хто, зіткнувшись із поняттям «теорія ймовірності», лякається, думаючи, що це щось непосильне, дуже складне. Але все насправді не таке трагічно. Сьогодні ми розглянемо основне поняття теорії ймовірності, навчимося вирішувати завдання на конкретних прикладах.

Наука

Що ж вивчає такий розділ математики, як теорія ймовірності? Вона відзначає закономірності та величин. Вперше цим питанням зацікавилися вчені ще у вісімнадцятому столітті, коли вивчали азартні ігри. Основне поняття теорії ймовірності – подія. Це будь-який факт, який констатується досвідом чи спостереженням. Але що таке досвід? Ще одне основне поняття теорії ймовірності. Воно означає, що це склад обставин створено невипадково, і з певною метою. Щодо спостереження, то тут дослідник сам не бере участі в досвіді, а просто є свідком цих подій, він ніяк не впливає на те, що відбувається.

Події

Ми дізналися, що основне поняття теорії ймовірності – це подія, але не розглянули класифікацію. Усі вони поділяються на такі категорії:

• Достовірні.
• Неможливі.
• Випадкові.

Незалежно від того, які це події, за якими спостерігають або створюють у ході досвіду, всі вони схильні до даної класифікації. Пропонуємо з кожним із видів познайомитися окремо.

Достовірна подія

Це така обставина, перед якою зроблено необхідний комплекс заходів. Для того, щоб краще вникнути в суть, краще навести кілька прикладів. Цьому закону підпорядковані і фізика, і хімія, і економіка, і математика. Теорія ймовірності включає таке важливе поняття як достовірна подія. Наведемо приклади:

• Ми працюємо та отримуємо винагороду у вигляді заробітної плати.
• Здали добре іспити, пройшли конкурс, за це отримуємо винагороду у вигляді вступу до навчального закладу.
• Ми вклали гроші в банк, за потреби отримаємо їх назад.

Такі події є достовірними. Якщо ми виконали всі необхідні умови, обов'язково отримаємо очікуваний результат.

Неможливі події

Наразі ми розглядаємо елементи теорії ймовірності. Пропонуємо перейти до пояснення наступного виду події, а саме – неможливої. Спочатку обмовимо найважливіше правило - ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Від цього формулювання не можна відступати під час вирішення завдань. Для пояснення наведемо приклади таких подій:

• Вода замерзла за температури плюс десять (це неможливо).
• Відсутність електроенергії ніяк не впливає на виробництво (так само неможливо, як і в попередньому прикладі).

Більше прикладів наводити не варто, оскільки описані вище дуже яскраво відбивають суть цієї категорії. Неможлива подія ніколи не станеться під час досвіду за жодних обставин.

Випадкові події

Вивчаючи елементи особливу увагу варто приділити саме цьому виду події. Саме їх і вивчає ця наука. В результаті досвіду може щось статися чи ні. Крім цього, випробування може проводитися необмежену кількість разів. Яскравими прикладами можуть бути:

• Кидок монети – це досвід, або випробування, випадання орла – це подія.
• Витягування м'ячика з мішка наосліп - випробування, попалася червона куля - це подія і таке інше.

Таких прикладів може бути необмежену кількість, але загалом суть має бути зрозумілою. Для узагальнення та систематизування отриманих знань про події наведено таблицю. Теорія ймовірності вивчає лише останній вид із усіх представлених.

назва	визначення
Достовірні	Події, що відбуваються зі стовідсотковою гарантією за дотримання деяких умов.	Вступ до навчального закладу при гарній сдачі вступного іспиту.
Неможливі	Події, які ніколи не відбудуться за жодних умов.	Йде сніг за температури повітря плюс тридцять градусів за Цельсієм.
Випадкові	Подія, яка може статися чи ні під час проведення досвіду/випробування.	Влучання або промах під час кидання баскетбольного м'яча в кільце.

Закони

Теорія ймовірності - це наука, що вивчає можливість випадання будь-якої події. Як і інші, вона має певні правила. Існують такі закони теорії ймовірності:

• Схожість послідовностей випадкових величин.
• Закон великих чисел.

При розрахунку можливості складного можна використовувати комплекс простих подій для досягнення результату більш легким та швидким шляхом. Зазначимо, закони теорії ймовірності легко доводяться з допомогою деяких теорем. Пропонуємо спочатку познайомитися з першим законом.

Збіжність послідовностей випадкових величин

Зазначимо, що видів збіжності кілька:

• Послідовність випадкових величин схожа на ймовірність.
• Майже неможливе.
• Середньоквадратична збіжність.
• Збіжність із розподілу.

Так, з літа, дуже важко вникнути в суть. Наведемо визначення, які допоможуть розібратися у цій темі. Спочатку перший вид. Послідовність називають схожій по ймовірності, якщо дотримано таке умова: n прагне нескінченності, число, якого прагне послідовність, більше нуля і наближена до одиниці.

Переходимо до наступного виду, майже напевно. Говорять, що послідовність сходиться майже напевнодо випадкової величини при n, що прагне нескінченності, і Р, що прагне величини, наближеної до одиниці.

Наступний тип - це збіжність середньоквадратична. При використанні СК-збіжності вивчення випадкових векторних процесів зводиться до вивчення їх координатних випадкових процесів.

Залишився останній тип, давайте розберемо коротко і його, щоб переходити безпосередньо до вирішення завдань. Збіжність за розподілом має ще одну назву - «слабке», далі пояснимо, чому. Слабка збіжність- Це збіжність функцій розподілу у всіх точках безперервності граничної функції розподілу.

Обов'язково виконаємо обіцянку: слабка збіжність відрізняється від усіх перелічених вище тим, що випадкова величина не визначена на імовірнісному просторі. Це можливо тому, що умова формується виключно за допомогою функцій розподілу.

Закон великих чисел

Відмінними помічниками при доказі цього закону стануть теореми теорії ймовірності, такі як:

• Нерівність Чебишева.
• Теорема Чебишева.
• Узагальнена теорема Чебишева.
• Теорема Маркова.

Якщо будемо розглядати всі ці теореми, то це питання може затягнутися на кілька десятків аркушів. А в нас основне завдання - це застосування теорії ймовірності на практиці. Пропонуємо вам зараз цим і зайнятися. Але перед цим розглянемо аксіоми теорії ймовірностей, вони будуть основними помічниками під час вирішення завдань.

Аксіоми

З першої ми вже познайомилися, коли говорили про неможливу подію. Давайте згадувати: ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю. Приклад ми наводили дуже яскравий і незабутній: випав сніг при температурі повітря тридцять градусів за Цельсієм.

Друга звучить так: достовірна подія відбувається з ймовірністю, що дорівнює одиниці. Тепер покажемо, як записати з допомогою математичної мови: Р(В)=1.

Третя: Випадкова подія може статися чи ні, але можливість завжди варіюється в межах від нуля до одиниці. Чим ближче значення до одиниці, тим більше шансів; якщо значення наближається до нуля, ймовірність дуже мала. Запишемо це математичною мовою: 0<Р(С)<1.

Розглянемо останню, четверту аксіому, яка звучить так: ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей. Записуємо математичною мовою: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Аксіоми теорії ймовірностей - це найпростіші правила, які не важко запам'ятати. Спробуємо вирішити деякі завдання, спираючись на вже здобуті знання.

Лотерейний квиток

Для початку розглянемо найпростіший приклад – лотерея. Уявіть, що ви придбали один лотерейний квиток на удачу. Яка ймовірність, що ви виграєте не менше двадцяти карбованців? Загалом у тиражі бере участь тисяча квитків, один із яких має приз у п'ятсот рублів, десять по сто рублів, п'ятдесят по двадцять рублів, а сто – по п'ять. Завдання з теорії ймовірності засновані на тому, щоб знайти можливість удачі. Зараз разом розберемо рішення вище за представлене завдання.

Якщо ми буквою А позначимо виграш у п'ятсот рублів, то ймовірність випадання А дорівнюватиме 0,001. Як ми це здобули? Просто необхідно кількість "щасливих" квитків розділити на їх загальне число (в даному випадку: 1/1000).

В - це виграш у сто рублів, ймовірність дорівнюватиме 0,01. Зараз ми діяли за тим же принципом, що й у минулій дії (10/1000)

С – виграш дорівнює двадцяти рублям. Знаходимо можливість, вона дорівнює 0,05.

Решта квитків нас не цікавить, бо їхній призовий фонд менший від заданого в умові. Застосуємо четверту аксіому: Імовірність виграти щонайменше двадцяти рублів становить Р(А)+Р(В)+Р(С). Буквою Р позначається ймовірність походження цієї події, ми в попередніх діях вже їх знайшли. Залишилося лише скласти необхідні дані, у відповіді ми отримуємо 0,061. Це і буде відповіддю питання завдання.

Карткова колода

Завдання з теорії ймовірності бувають і складнішими, наприклад візьмемо наступне завдання. Перед вами колода із тридцяти шести карт. Ваше завдання - витягнути дві карти поспіль, не перемішуючи стос, перша та друга карти повинні бути тузами, масть значення не має.

Для початку знайдемо ймовірність того, що перша карта буде тузом, для цього чотири ділимо на тридцять шість. Відклали його убік. Дістаємо другу карту, це буде туз із ймовірністю три тридцять п'ятих. Імовірність другої події залежить від того, яку карту ми витягли першою, нам цікаво, чи це був туз чи ні. З цього випливає, що подія залежить від події А.

Наступною дією знаходимо ймовірність одночасного здійснення, тобто перемножуємо А і В. Їх твір перебуває таким чином: ймовірність однієї події множимо на умовну вірогідність іншої, яку ми обчислюємо, припускаючи, що перша подія сталася, тобто першою картою ми витягли туз.

Щоб стало зрозуміло, дамо позначення такому елементу, як події. Обчислюється вона, припускаючи, що подія відбулася. Розраховується так: Р(В/А).

Продовжимо розв'язання нашого завдання: Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А) або Р(А*В)=Р(В)*Р(А/В). Імовірність дорівнює (4/36) * ((3/35)/(4/36). Обчислюємо, округляючи до сотих. Ми маємо: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Імовірність того, що ми витягнемо два тузи поспіль, дорівнює дев'яти сотим.Значення дуже мало, з цього випливає, що і ймовірність походження події вкрай мала.

Забутий номер

Пропонуємо розібрати кілька варіантів завдань, які вивчає теорія ймовірності. Приклади вирішення деяких з них ви вже бачили в цій статті, спробуємо вирішити таке завдання: хлопчик забув останню цифру номера телефону свого друга, але оскільки дзвінок був дуже важливим, то почав набирати все по черзі. Нам необхідно вирахувати ймовірність того, що він зателефонує не більше трьох разів. Розв'язання задачі найпростіше, якщо відомі правила, закони та аксіоми теорії ймовірності.

Перед тим, як дивитися рішення, спробуйте вирішити самостійно. Нам відомо, що остання цифра може бути від нуля до дев'яти, тобто лише десять значень. Можливість набрати необхідну становить 1/10.

Далі нам потрібно розглядати варіанти походження події, припустимо, що хлопчик вгадав і одразу набрав потрібну, ймовірність такої події дорівнює 1/10. Другий варіант: перший дзвінок промах, а другий у ціль. Розрахуємо можливість такої події: 9/10 множимо на 1/9, в результаті отримуємо також 1/10. Третій варіант: перший і другий дзвінок виявилися не за адресою, тільки з третього хлопчик потрапив туди, куди хотів. Обчислюємо можливість такої події: 9/10 множимо на 8/9 і на 1/8, отримуємо в результаті 1/10. Інші варіанти за умовою завдання нас не цікавлять, тому нам залишилося скласти отримані результати, в результаті ми маємо 3/10. Відповідь: ймовірність того, що хлопчик зателефонує не більше трьох разів, дорівнює 0,3.

Картки з числами

Перед вами дев'ять карток, на кожній із яких написано число від однієї до дев'яти, цифри не повторюються. Їх поклали в коробку та ретельно перемішали. Вам необхідно розрахувати ймовірність того, що

• випаде парне число;
• двозначне.

Перед тим як переходити до рішення, зауважимо, що m – це кількість вдалих випадків, а n – це загальна кількість варіантів. Знайдемо ймовірність того, що число буде парним. Не важко порахувати, що парних чисел чотири, це і буде наша m, всього можливо дев'ять варіантів, тобто m=9. Тоді ймовірність дорівнює 0,44 чи 4/9.

Розглядаємо другий випадок: кількість варіантів дев'ять, а вдалих результатів взагалі бути не може, тобто m дорівнює нулю. Імовірність того, що витягнута картка міститиме двозначне число, так само дорівнює нулю.

ВСТУП

Багато речей нам незрозумілі не тому, що наші поняття слабкі;
але тому, що ці речі не входять до кола наших понять.
Козьма Прутков

Основна мета вивчення математики в середніх спеціальних навчальних закладах полягає в тому, щоб дати студентам набір математичних знань та навичок, необхідних для вивчення інших програмних дисциплін, які використовують у тій чи іншій мірі математику, для вміння виконувати практичні розрахунки, для формування та розвитку логічного мислення.

У цій роботі послідовно вводяться всі базові поняття розділу математики "Основи теорії ймовірностей та математичної статистики", передбачені програмою та Державними освітніми стандартами середньої професійної освіти (Міністерство освіти Російської Федерації. М., 2002 р.), формулюються основні теореми, більшість яких не доводиться . Розглядаються основні завдання та методи їх вирішення та технології застосування цих методів до вирішення практичних завдань. Виклад супроводжується докладними коментарями та численними прикладами.

Методичні вказівки можуть бути використані для первинного ознайомлення з матеріалом, що вивчається, при конспектуванні лекцій, для підготовки до практичних занять, для закріплення отриманих знань, умінь і навичок. Крім того, посібник буде корисним і студентам-старшокурсникам як довідковий посібник, що дозволяє швидко відновити в пам'яті те, що було вивчено раніше.

Наприкінці роботи наведено приклади та завдання, які студенти можуть виконувати у режимі самоконтролю.

Методичні вказівки призначені для студентів заочної та денної форм навчання.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

Теорія ймовірностей вивчає об'єктивні закономірності масових подій. Вона є теоретичною базою для математичної статистики, яка займається розробкою методів збирання, опису та обробки результатів спостережень. Шляхом спостережень (випробувань, експериментів), тобто. досвіду у сенсі слова, відбувається пізнання явищ дійсного світу.

У своїй практичній діяльності часто зустрічаємося з явищами, результат яких неможливо передбачити, результат яких залежить від випадку.

Випадкове явище можна охарактеризувати ставленням числа його наступів до випробувань, у кожному з яких за однакових умов усіх випробувань воно могло наступити або не наступити.

Теорія ймовірностей є розділ математики, у якому вивчаються випадкові явища (події) і виявляються закономірності при їх повторенні.

Математична статистика - це розділ математики, який має своїм предметом вивчення методів збору, систематизації, обробки та використання статистичних даних для отримання науково обґрунтованих висновків та прийняття рішень.

При цьому під статистичними даними розуміється сукупність чисел, які представляють кількісні характеристики цікавих для нас ознак об'єктів, що вивчаються. Статистичні дані виходять у результаті спеціально поставлених дослідів, спостережень.

Статистичні дані за своєю сутністю залежить від багатьох випадкових чинників, тому математична статистика тісно пов'язані з теорією ймовірностей, що є її теоретичної основою.

I. ІМОВІРНІСТЬ. ТЕОРЕМИ ДОДАТКУ ТА ПРИМНОЖЕННЯ МОЖЛИВОСТЕЙ

1.1. Основні поняття комбінаторики

У розділі математики, який називається комбінаторикою, вирішуються деякі завдання, пов'язані з розглядом множин та складанням різних комбінацій з елементів цих множин. Наприклад, якщо взяти 10 різних цифр 0, 1, 2, 3,: , 9 і складати з них комбінації, будемо отримувати різні числа, наприклад 143, 431, 5671, 1207, 43 і т.п.

Ми бачимо, що деякі з таких комбінацій відрізняються лише порядком цифр (наприклад, 143 і 431), інші - цифрами, що входять до них (наприклад, 5671 і 1207), треті різняться і числом цифр (наприклад, 143 і 43).

Таким чином, отримані комбінації задовольняють різні умови.

Залежно від правил складання можна виділити три типи комбінацій: перестановки, розміщення, поєднання.

Попередньо познайомимось із поняттям факторіалу.

Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно називають n-факторіалом і пишуть.

Обчислити: а); б); в).

Рішення. а) .

б) Так як і , то можна винести за дужки

Тоді отримаємо

в) .

Перестановки.

p align="justify"> Комбінація з n елементів, які відрізняються один від одного тільки порядком елементів, називаються перестановками.

Перестановки позначаються символом Р n , де n-число елементів, що входять до кожної перестановки. ( Р- перша літера французького слова permutation- Перестановка).

Число перестановок можна обчислити за формулою

або за допомогою факторіалу:

Запам'ятаємо, що 0!=1 та 1!=1.

Приклад 2. Скільки можна розставляти на одній полиці шість різних книг?

Рішення. Потрібне число методів дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобто.

Розміщення.

Розміщеннями з mелементів у nу кожному називаються такі з'єднання, які відрізняються один від одного або самими елементами (хоча б одним), або порядком з розташування.

Розміщення позначаються символом , де m- Число всіх наявних елементів, n- Число елементів у кожній комбінації. ( А-перша літера французького слова arrangement, Що означає "розміщення, упорядкування").

При цьому вважають, що nm.

Число розміщень можна обчислити за формулою

,

тобто. число всіх можливих розміщень з mелементів по nодно твору nпослідовних цілих чисел, з яких є більше m.

Запишемо цю формулу у факторіальній формі:

Приклад 3. Скільки варіантів розподілу трьох путівок до санаторію різного профілю можна скласти для п'яти претендентів?

Рішення. Шукане число варіантів дорівнює кількості розміщень з 5 елементів по 3 елементи, тобто.

.

Поєднання.

Поєднаннями називаються всі можливі комбінації з mелементів по n, які відрізняються один від одного принаймні хоча б одним елементом (тут mі n-натуральні числа, причому n m).

Число поєднань з mелементів по nпозначаються ( З-перша буква французького слова combination- Поєднання).

У загальному випадку число з mелементів по nдорівнює кількості розміщень з mелементів по n, поділеному на число перестановок з nелементів:

Використовуючи для чисел розміщень та перестановок факторіальні формули, отримаємо:

Приклад 4. У бригаді з 25 чоловік потрібно виділити чотирьох для роботи на певній ділянці. Скільки способами це можна зробити?

Рішення. Оскільки порядок обраних чотирьох осіб немає значення, це можна зробити способами.

Знаходимо за першою формулою

.

Крім того, при вирішенні задач використовуються такі формули, що виражають основні властивості поєднань:

(За визначенням вважають і);

.

1.2. Розв'язання комбінаторних завдань

Завдання 1. На факультеті вивчається 16 предметів. На понеділок потрібно в розклад поставити 3 предмети. Скільки можна це зробити?

Рішення. Способів постановки на розклад трьох предметів з 16 стільки, скільки можна скласти розміщень з 16 елементів по 3.

Завдання 2. З 15 об'єктів слід відібрати 10 об'єктів. Скільки способами це можна зробити?

Завдання 3. У змаганнях взяли участь чотири команди. Скільки варіантів розподілу місць між ними можливо?

.

Завдання 4. Скільки способами можна скласти дозор з трьох солдатів і одного офіцера, якщо є 80 солдатів і 3 офіцери?

Рішення. Солдат у дозор можна вибрати

методами, а офіцерів методами. Так як з кожною командою з солдатів може піти будь-який офіцер, то є способів.

Завдання 5. Знайти , якщо відомо, що .

Так як , то отримаємо

,

,

За визначенням поєднання слід, що , . Т.о. .

1.3. Концепція випадкової події. Види подій. Ймовірність події

Будь-яка дія, явище, спостереження з кількома різними наслідками, що реалізується при даному комплексі умов, будемо називати випробуванням.

Результат цієї дії чи спостереження називається подією .

Якщо подія за заданих умов може статися або не відбутися, вона називається випадковим . У тому випадку, коли подія повинна неодмінно відбутися, її називають достовірним , а в тому випадку, коли воно свідомо не може статися, - неможливим.

Події називаються несумісними якщо кожен раз можлива поява тільки одного з них.

Події називаються спільними якщо в даних умовах поява однієї з цих подій не виключає появу іншого при тому ж випробуванні.

Події називаються протилежними , якщо за умов випробування вони, будучи єдиними його результатами, несовместны.

Події прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту: А, В, С, Д, : .

Повною системою подій А 1 , А 2 , А 3 , : , А n називається сукупність несумісних подій, наступ хоча одного з яких обов'язково при даному випробуванні.

Якщо повна система складається з двох несумісних подій, такі події називаються протилежними і позначаються А і .

приклад. У коробці є 30 пронумерованих куль. Встановити, які з таких подій є неможливими, достовірними, протилежними:

дістали пронумеровану кулю (А);

дістали кулю з парним номером (В);

дістали кулю з непарним номером (С);

дістали кулю без номера (Д).

Які їх утворюють повну групу?

Рішення . А- достовірна подія; Д- неможлива подія;

В і З- Протилежні події.

Повну групу подій складають Аі Д, Ві З.

Імовірність події розглядається як міра об'єктивної можливості появи випадкової події.

1.4. Класичне визначення ймовірності

Число, що є виразом міри об'єктивної можливості настання події, називається ймовірністю цієї події і позначається символом Р(А).

Визначення. Ймовірністю події Аназивається відношення числа результатів m, що сприяють настанню цієї події Адо числа nвсіх результатів (неспільних, єдино можливих і рівноможливих), тобто. .

Отже, знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, підрахувати всі можливі несовместные результати n,вибрати число цікавих для нас результатів m і обчислити ставлення mдо n.

З цього визначення випливають такі характеристики:

Імовірність будь-якого випробування є невід'ємним числом, що не перевищує одиниці.

Дійсно, число m подій, що шукаються, укладено в межах . Розділивши обидві частини на n, отримаємо

2. Можливість достовірного події дорівнює одиниці, т.к. .

3. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю, оскільки .

Завдання 1. У лотереї із 1000 квитків є 200 виграшних. Виймають навмання один квиток. Чому дорівнює можливість того, що цей квиток виграшний?

Рішення. Загальна кількість різних результатів є n=1000. Число результатів, що сприяють отриманню виграшу, становить m=200. Згідно з формулою, отримаємо

.

Завдання 2. У партії із 18 деталей перебувають 4 браковані. Навмання вибирають 5 деталей. Знайти ймовірність того, що із цих 5 деталей дві виявляться бракованими.

Рішення. Число всіх рівноможливих незалежних результатів nдорівнює кількості поєднань з 18 по 5 тобто.

Підрахуємо число m, що сприяють події А. Серед 5 взятих навмання деталей має бути 3 якісних та 2 бракованих. Число способів вибірки двох бракованих деталей з 4 наявних бракованих дорівнює кількості поєднань з 4 по 2:

Число способів вибірки трьох якісних деталей з 14 наявних якісних дорівнює

.

Будь-яка група якісних деталей може комбінуватися з будь-якою групою бракованих деталей, тому загальна кількість комбінацій mскладає

Шукана ймовірність події А дорівнює відношенню числа результатів m, що сприяють цій події, до n всіх рівноможливих незалежних результатів:

.

Сумою кінцевого числа подій називається подія, що полягає у настанні хоча б одного з них.

Суму двох подій позначають символом А+В, а суму nподій символом А1+А2+: +Аn.

Теорема складання ймовірностей.

Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Наслідок 1. Якщо подія А 1 , А 2 , : , А n утворюють повну систему, то сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці.

.

Завдання 1. Є 100 лотерейних білетів. Відомо, що на 5 квитків потрапляє виграш по 20000 руб., на 10 – по 15000 руб., на 15 – по 10000 руб. і на решту нічого. Знайти ймовірність того, що на куплений квиток буде отримано виграш не менше ніж 10000 руб.

Рішення. Нехай А, У, і С- події, які у тому, що у куплений квиток падає виграш, рівний відповідно 20000, 15000 і 10000 крб. оскільки події А, В та С несумісні, то

Завдання 2. На заочне відділення технікуму надходять контрольні роботи з математики з міст А, Ві З. Імовірність надходження контрольної роботи з міста Адорівнює 0,6, із міста У- 0,1. Знайти ймовірність того, що чергова контрольна робота надійде із міста З.

Мама мила раму

Під завісу тривалих літніх канікул настав час потихеньку повертатися до вищої математики та урочисто відкрити порожній Вердовський файл, щоб розпочати створення нового розділу – . Зізнаюся, нелегко даються перші рядки, але перший крок – це пів шляху, тому я пропоную всім уважно проштудувати вступну статтю, після чого освоювати тему буде вдвічі простіше! Анітрохи не перебільшую. …Напередодні чергового 1 вересня згадується перший клас та буквар…. Букви складаються у склади, склади в слова, слова в короткі речення – Мама мила раму. Впоратися з тервером та математичною статистикою так само просто, як навчитися читати! Однак для цього необхідно знати ключові терміни, поняття та позначення, а також деякі специфічні правила, яким і присвячено цей урок.

Але спочатку прийміть мої вітання з початком (продовженням, завершенням, потрібне відзначити) навчального року та прийміть подарунок. Найкращий подарунок – це книга, і для самостійної роботи я рекомендую наступну літературу:

1) Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика

Легендарний навчальний посібник, який витримав понад десять перевидань. Відрізняється зрозумілістю і граничною простою викладу матеріалу, а перші розділи так і зовсім доступні, думаю, вже для учнів 6-7-х класів.

2) Гмурман В.Є. Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики

Решник того ж таки Володимира Юхимовича з докладно розібраними прикладами та завданнями.

ОБОВ'ЯЗКОВОзавантажте обидві книги з Інтернету або роздобудьте їх паперові оригінали! Підійде і версія 60-70-х років, що навіть краще для чайників. Хоча фраза "теорія ймовірностей для чайників" звучить досить безглуздо, оскільки майже все обмежується елементарними арифметичними діями. Проскакують, щоправда, подекуди похідніі інтегралиале це тільки місцями.

Я постараюся досягти тієї ж ясності викладу, але маю попередити, що мій курс орієнтований на вирішення задачта теоретичні викладки зведені до мінімуму. Таким чином, якщо вам потрібна розгорнута теорія, доказ теорем (теорем-теорем!), будь ласка, зверніться до підручника. Ну, а хто хоче навчитися вирішувати завданняз теорії ймовірностей та математичної статистики у найкоротші терміни, йдіть за мною!

Для початку вистачить =)

У міру прочитання статей доцільно знайомитись (хоча б бігло) з додатковими завданнями розглянутих видів. На сторінці Готові рішення з вищої математикибудуть розміщуватись відповідні pdf-ки з прикладами рішень. Також значну допомогу нададуть ІДЗ 18.1 Рябушко(простіше) та вирішені ІДЗ за збіркою Чудесенко(складніше).

1) Сумоюдвох подій і називається подія, яка полягає в тому, що настане абоподія абоподія абообидві події одночасно. У тому випадку, якщо події несумісні, останній варіант відпадає, тобто може наступити абоподія абоподія.

Правило поширюється і на більшу кількість доданків, наприклад, подію полягає в тому, що станеться хоча б однез подій , а якщо події несумісні – то одне і лише однеподія із цієї суми: абоподія , абоподія , абоподія , абоподія , абоподія.

Прикладів маса:

Події (при кидку гральної кістки не випаде 5 очок) полягає в тому, що випаде або 1, або 2, або 3, або 4, або 6 очок.

Подія (випаде не більшедвох очок) полягає в тому, що з'явиться 1 або 2окуляри.

Подія (буде парна кількість очок) полягає в тому, що випаде або 2 або 4 або 6 очок.

Подія полягає в тому, що з колоди буде вилучено карту червоної масті (черва абобубна), а подія – у тому, що буде вилучено «картинку» (валет абодама абокороль аботуз).

Трохи цікавіша справа із спільними подіями:

Подія полягає в тому, що з колоди буде вилучено трефу. абосімка абосімка треф. Згідно з цим вище визначенням, хоча б щось- або будь-яка трефа або будь-яка сімка або їх "перетин" - сімка треф. Легко підрахувати, що даній події відповідає 12 елементарних результатів (9 трефових карт + 3 сімки, що залишилися).

Подія полягає в тому, що завтра о 12.00 настане Хоча б одна з сумованих подій, а саме:

- або буде лише дощ / лише гроза / лише сонце;
- або настане лише якась пара подій (дощ + гроза / дощ + сонце / гроза + сонце);
- або всі три події з'являться одночасно.

Тобто, подія включає 7 можливих результатів.

Другий стовп алгебри подій:

2) Творомдвох подій і називають подію, яка полягає в спільній появі цих подій, іншими словами, множення означає, що за деяких обставин настане іподія , іподія. Аналогічне твердження справедливе і для більшої кількості подій, наприклад, твір передбачає, що за певних умов відбудеться іподія , іподія , іподія, …, іподія.

Розглянемо випробування, в якому підкидаються дві монети та наступні події:

- На 1-й монеті випаде орел;
- На 1-й монеті випаде решка;
– на 2-й монеті випаде орел;
- На 2-й монеті випаде решка.

Тоді:
іна 2-й) випаде орел;
– подія полягає в тому, що на обох монетах (на 1-й іна 2-й) випаде решка;
– подія полягає в тому, що на 1-й монеті випаде орел іна 2-й монеті решка;
– подія полягає в тому, що на 1-й монеті випаде решка іна 2-й монеті орел.

Неважко помітити, що події несумісні (т.к. не може, наприклад, випасти 2 орла і в той же час 2 решки)і утворюють повну групу (оскільки враховані Усеможливі наслідки кидка двох монет). Давайте підсумуємо дані події: . Як інтерпретувати цей запис? Дуже просто – множення означає логічну зв'язку І, А додавання - АБО. Таким чином, суму легко прочитати зрозумілою людською мовою: «випадуть два орли абодві решки абона 1-й монеті випаде орел іна 2-й решка абона 1-й монеті випаде решка іна 2-й монеті орел »

Це був приклад, коли в одному випробуваннізадіяно кілька об'єктів, у разі – дві монети. Інша поширена у практичних завданнях схема – це повторні випробування , коли, наприклад, той самий гральний кубик кидається 3 рази поспіль. Як демонстрацію розглянемо такі події:

– у 1-му кидку випаде 4 очки;
– у 2-му кидку випаде 5 очок;
– у 3-му кидку випаде 6 очок.

Тоді подія полягає в тому, що в 1-му кидку випаде 4 очки іу 2-му кидку випаде 5 очок іу 3-му кидку випаде 6 очок. Очевидно, що у випадку з кубиком буде значно більше комбінацій (виходів), ніж коли б ми підкидали монету.

…Розумію, що, можливо, розбираються не дуже цікаві приклади, але це речі, що часто зустрічаються в завданнях, і від них нікуди не подітися. Крім монетки, кубика і колоди карт вас чекають урни з різнокольоровими кулями, кілька анонімів, що стріляють по мішені, і невтомний робітник, який постійно виточує якісь деталі =)

Ймовірність події

Ймовірність події - Це центральне поняття теорії ймовірностей. …Убивчо логічна річ, але з чогось треба було починати =) Існує кілька підходів до її визначення:

;
Геометричне визначення ймовірності ;
Статистичне визначення ймовірності .

У цій статті я зупинюся на класичному визначенні ймовірностей, яке знаходить найширше застосування у навчальних завданнях.

Позначення. Імовірність деякої події позначається великою латинською літерою, а сама подія береться до дужок, виступаючи в ролі своєрідного аргументу. Наприклад:

Також для позначення ймовірності широко використовується маленька літера. Зокрема, можна відмовитися від громіздких позначень подій та їх ймовірностей на користь наступної стилістики:

- Імовірність того, що в результаті кидка монети випаде «орел»;
- Імовірність того, що в результаті кидка гральної кістки випаде 5 очок;
- Імовірність того, що з колоди буде вилучена карта трефової масті.

Даний варіант популярний під час вирішення практичних завдань, оскільки дозволяє помітно скоротити запис рішення. Як і в першому випадку, тут зручно використовувати «розмовні» підрядкові/надрядкові індекси.

Всі вже давно здогадалися про числа, які я щойно записав вище, і зараз ми дізнаємося, як вони вийшли.

Класичне визначення ймовірності:

Імовірністю настання події в деякому випробуванні називають ставлення , де:

– загальна кількість усіх рівноможливих, елементарнихрезультатів цього випробування, які утворюють повну групу подій;

– кількість елементарнихрезультатів, сприятливих події.

При кидку монети може випасти або орел, або решка - ці події утворюють повну групутаким чином, загальна кількість результатів; при цьому кожен з них елементарнийі рівноможливий. Події сприяє результат (випадання орла). За класичним визначенням ймовірностей: .

Аналогічно – у результаті кидка кубика може виникнути елементарних рівноможливих результатів, що утворюють повну групу, а події сприяє єдиний результат (випадання п'ятірки). Тому: .ЦЬОГО РОБИТИ НЕ ПРИЙНЯТО (хоча можна прикидати відсотки в умі).

Прийнято використовувати частки одиниці, і очевидно, що ймовірність може змінюватися в межах . При цьому якщо , то подія є неможливим, якщо - достовірним, а якщо , то йдеться про випадковомуподію.

! Якщо в ході вирішення будь-якого завдання у вас вийшло якесь інше значення ймовірності – шукайте помилку!

При класичному підході до визначення ймовірності крайні значення (нуль і одиниця) виходять за допомогою таких самих міркувань. Нехай із якоїсь урни, в якій знаходяться 10 червоних куль, навмання витягується 1 куля. Розглянемо такі події:

у одиничному випробуванні маломожлива подія не відбудеться.

Саме тому Ви не зірвете в лотереї Джек-пот, якщо ймовірність цієї події, скажімо, дорівнює 0,00000001. Так-так, саме Ви – з єдиним квитком у якомусь конкретному тиражі. Втім, більша кількість квитків та більша кількість розіграшів Вам особливо не допоможуть. ...Коли я розповідаю про це оточуючим, то майже завжди у відповідь чую: «але ж хтось виграє». Добре, тоді проведемо наступний експеримент: будь ласка, сьогодні або завтра купіть квиток будь-якої лотереї (не відкладайте!). І якщо виграєте... ну хоча б більше 10 кілорублів, обов'язково відпишіться - я поясню, чому це сталося. За відсоток, зрозуміло =) =)

Але сумувати не потрібно, тому що є протилежний принцип: якщо ймовірність деякої події дуже близька до одиниці, то в окремому випробуванні вона практично достовірностанеться. Тому перед стрибком із парашутом не треба боятися, навпаки – усміхайтесь! Адже повинні скластися абсолютно немислимі та фантастичні обставини, щоб відмовили обидва парашути.

Хоча все це лірика, оскільки, залежно від змісту події, перший принцип може виявитися веселим, а другий – сумним; або взагалі обидва паралельними.

Мабуть, поки що достатньо, на уроці Завдання на класичне визначення ймовірностіми вичавимо максимум з формули. У заключній частині цієї статті розглянемо одну важливу теорему:

Сума ймовірностей подій, які утворюють повну групу, дорівнює одиниці. Грубо кажучи, якщо події утворюють повну групу, то зі 100% ймовірністю якесь із них відбудеться. У найпростішому випадку повну групу утворюють протилежні події, наприклад:

– у результаті кидка монети випаде орел;
- В результаті кидка монети випаде решка.

За теоремою:

Цілком зрозуміло, що дані події рівноможливі та їх ймовірності однакові .

Через рівність ймовірностей рівноможливі події часто називають рівноймовірними . А ось і скоромовка на визначення ступеня сп'яніння вийшла =)

Приклад із кубиком: події протилежні, тому .

Теорема, що розглядається, зручна тим, що дозволяє швидко знайти ймовірність протилежної події. Так, якщо відома ймовірність того, що випаде п'ятірка, легко обчислити ймовірність того, що вона не випаде.

Це набагато простіше, ніж підсумовувати ймовірність п'яти елементарних результатів. Для елементарних наслідків, до речі, дана теорема теж справедлива:
. Наприклад, якщо – ймовірність того, що стрілець потрапить у ціль, то – ймовірність того, що він промахнеться.

! Теоретично ймовірностей літери і небажано використовувати в якихось інших цілях.

На честь Дня Знань я не ставитиму домашнє завдання =), але дуже важливо, щоб ви могли відповісти на такі запитання:

– Які види подій існують?
– Що таке випадковість та рівноможливість події?
– Як ви розумієте терміни спільність/несумісність подій?
– Що таке повна група подій протилежні події?
– Що означає складання та множення подій?
– У чому суть класичного визначення ймовірності?
– Чим корисна теорема складання ймовірностей подій, що утворюють повну групу?

Ні, зубрити нічого не треба, це лише ази теорії ймовірностей – своєрідний буквар, який досить швидко вкладеться в голові. І щоб це сталося якнайшвидше, пропоную ознайомитися з уроками

Теорія ймовірностей та математична статистика

1.ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1 Збіжність послідовностей випадкових величин та ймовірнісних розподілів

Теоретично ймовірностей доводиться мати справу з різними видами збіжності випадкових величин. Розглянемо такі основні види збіжності: за ймовірністю, з ймовірністю одиниця, в середньому порядку р, за розподілом.

Нехай, ... - Випадкові величини, задані на деякому ймовірнісному просторі (, Ф, P).

Визначення 1. Послідовність випадкових величин, … називається ймовірністю, що сходить до випадкової величини (позначення:), якщо для будь-якого > 0

Визначення 2. Послідовність випадкових величин, … називається схожа з ймовірністю одиниця (майже напевно, майже всюди) до випадкової величини, якщо

тобто. якщо безліч наслідків, для яких () не сходяться до (), має нульову ймовірність.

Цей вид збіжності позначають так: , або, або.

Визначення 3. Послідовність випадкових величин, … називається схожим у середньому порядку р, 0< p < , если

Визначення 4. Послідовність випадкових величин, називається схожою за розподілом до випадкової величини (позначення:), якщо для будь-якої обмеженої безперервної функції

Схожість по розподілу випадкових величин визначається лише термінах збіжності їх функцій розподілу. Тому про цей вид збіжності є сенс говорити і тоді, коли випадкові величини задані на різних ймовірнісних просторах.

Теорема 1.

а) Для того, щоб (Р-п.н.), необхідно і достатньо, щоб для будь-якого > 0

) Послідовність () фундаментальна з ймовірністю одиниця тоді і лише тоді, коли для будь-якого > 0.

Доведення.

а) Нехай А = (: |- | ), А = А. Тоді

Тому затвердження а) є результатом наступного ланцюжка імплікацій:

Р(: )= 0 P() = 0 = 0 Р(А) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

n 0, > 0.) Позначимо = (:), = . Тоді (: (()) не фундаментальна) = і так само, як в а) показується, що (: (()) не фундаментальна) = 0 P() 0, n.

Теорема доведена

Теорема 2. (Критер Коші збіжності майже напевно)

Для того щоб послідовність випадкових величин () була схожа з ймовірністю одиниця (до деякої випадкової величини), необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальна з ймовірністю одиниця.

Доведення.

Якщо, то +

звідки випливає необхідність умови теореми.

Нехай тепер послідовність () є фундаментальною з ймовірністю одиниця. Позначимо L = (: (()) не фундаментальна). Тоді для всіх числова послідовність () є фундаментальною і, згідно з критерієм Коші для числових послідовностей, існує (). Покладемо

Так, певна функція є випадковою величиною і.

Теорему доведено.

2 Метод характеристичних функцій

Метод характеристичних функцій одна із основних засобів аналітичного апарату теорії ймовірностей. Поряд із випадковими величинами (що приймають дійсні значення) теорія характеристичних функцій потребує залучення комплекснозначних випадкових величин.

Багато визначень і властивостей, які стосуються випадкових величин, легко переносяться і комплексний випадок. Так, математичне очікування М ?комплекснозначної випадкової величини ?=?+?? вважається певним, якщо визначено математичні очікування М ?та М ?. У цьому випадку за визначенням вважаємо М ?= М ? + ?М ?. З визначення незалежності випадкових елементів випливає, що комплекснозначні величини ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2незалежні тоді і лише тоді, коли незалежні пари випадкових величин ( ?1 , ?1) та ( ?2 , ?2), або, що те саме, незалежні ?-алгебри F ?1, ?1 і F ?2, ?2.

Поряд із простором L 2дійсних випадкових величин з кінцевим другим моментом можна ввести на розгляд гільбертовий простір комплекснозначних випадкових величин ?=?+?? з М | ?|2?|2= ?2+?2, та скалярним твором ( ?1 , ?2)= М ?1?2¯ , де ?2¯ - Комплексно-сполучена випадкова величина.

При операціях алгебри вектори Rn розглядаються як алгебраїчні стовпці,

Як вектор-рядки, a * - (а1, а2, ..., аn). Якщо Rn , то їх скалярним твором (a,b) буде розумітися величина. Зрозуміло, що

Якщо аRn та R=||rij|| - матриця порядку nхn, то

Визначення 1. Нехай F = F(х1,….,хn) - n-вимірна функція розподілу (, ()). Її характеристичною функцією називається функція

Визначення 2 . Якщо? = (?1,…,?n) - випадковий вектор, визначений на імовірнісному просторі зі значеннями, його характеристичної функцією називається функція

де F? = F?(х1,….,хn) - функція розподілу вектора?=(?1, …,?n).

Якщо функція розподілу F(х) має густину f = f(х), то тоді

І тут характеристична функція не що інше, як перетворення Фур'є функції f(x).

З (3) випливає, що характеристичну функцію ??(t) випадкового вектора можна визначити також рівністю

Основні характеристики характеристичних функцій (у разі n=1).

Нехай? =? (?) - Випадкова величина, F? = F? (х) - її функція розподілу та - характеристична функція.

Слід зазначити, якщо, то.

Справді,

де скористалися тим, що математичне очікування твору незалежних (обмежених) випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

Властивість (6) є ключовим за підтвердженням граничних теорем для сум незалежних випадкових величин методом характеристичних функцій. У цьому зв'язку, функція розподілу виражається через функції розподілу окремих доданків вже значно складнішим чином, саме, де знак * означає згортку розподілів.

З кожною функцією розподілу можна зв'язати випадкову величину, що має цю функцію в якості своєї функції розподілу. Тому за викладі властивостей характеристичних функцій можна обмежитися розглядом характеристичних функцій випадкових величин.

Теорема 1.Нехай? - Випадкова величина з функцією розподілу F = F (х) і - її характеристична функція.

Мають місце такі характеристики:

) Поступово безперервна по;

) є дійснозначною функцією тоді і лише тоді, коли розподіл F симетрично

) якщо для деякого n? 1 , то при всіх існують похідні та

)Якщо існує і є кінцевою, то

) Нехай всім n ? 1 та

тоді за всіх |t|

Наступна теорема показує, що характеристична функція однозначно визначає функцію розподілу.

Теорема 2 (єдиності). Нехай F і G - дві функції розподілу, що мають одну й ту саму характеристичну функцію, тобто для всіх

Теорема свідчить, що функція розподілу F = F(х) однозначно відновлюється за своєю характеристичної функції. Наступна теорема дає явне уявлення функції F через.

Теорема 3 (формула узагальнення). Нехай F = F(х) – функція розподілу та – її характеристична функція.

а) Для будь-яких двох точок a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Якщо функція розподілу F(х) має щільність f(x),

Теорема 4. Для того, щоб компоненти випадкового вектора були незалежними, необхідно і достатньо, щоб його характеристична функція була твором характеристичних функцій компонент:

Теорема Бохнера-Хінчина . Нехай - безперервна функція, Для того, щоб була характеристичною, необхідно і достатньо, щоб вона була невід'ємно-визначеною, тобто для будь-яких дійсних t1, …, tn та будь-яких комплексних чисел

Теорема 5. Нехай – характеристична функція випадкової величини.

а) Якщо для деякого, то випадкова величина є ґратчастою з кроком, тобто

) Якщо двох різних точок, де - ірраціональне число, то випадкова величина? є виродженою:

де а – деяка константа.

с) Якщо, чи випадкова величина? вироджена.

1.3 Центральна гранична теорема для незалежних однаково розподілених випадкових величин

Нехай () - Послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин. Математичне очікування M= a, дисперсія D= , S = , а Ф(х) – функція розподілу нормального закону з параметрами (0,1). Введемо ще послідовність випадкових величин

Теорема. Якщо 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

У цьому випадку послідовність () називається асимптотично нормальною.

З того, що М= 1 і з теорем безперервності випливає, що поряд зі слабкою збіжністю, ФМ f() Mf() для будь-якої безперервної обмеженої f має місце також збіжність М f() Mf() для будь-якої безперервної f, такий, що |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Доведення.

Рівномірна збіжність є наслідком слабкої збіжності і безперервності Ф(х). Далі, без обмеження спільності вважатимуться а = 0, оскільки інакше можна було б розглянути послідовність (), у своїй послідовність () не змінилася б. Отже, для доказу необхідної збіжності досить показати, що (t) e, коли а = 0. Маємо

(t) = де =(t).

Так як існує М, то існує і справедливе розкладання

Отже, при n

Теорему доведено.

1.4 Основні завдання математичної статистики їх коротка характеристика

Встановлення закономірностей, яким підпорядковані масові випадкові явища, полягає в вивченні статистичних даних - результатах спостережень. Перше завдання математичної статистики - вказати способи збирання та угруповання статистичних відомостей. Друге завдання математичної статистики – розробити методи аналізу статистичних даних, залежно від цілей дослідження.

При вирішенні будь-якого завдання математичної статистики мають у своєму розпорядженні два джерела інформації. Перший і найбільш певний (явний) - це результат спостережень (експерименту) як вибірки з деякої генеральної сукупності скалярної або векторної випадкової величини. При цьому обсяг вибірки n може бути фіксований, а може й збільшуватись у ході експерименту (тобто можуть використовуватися так звані послідовні процедури статистичного аналізу).

Друге джерело - це вся апріорна інформація про цікаві властивості об'єкта, що вивчається, яка накопичена до поточного моменту. Формально обсяг апріорної інформації відображається у тій вихідній статистичній моделі, яку вибирають при вирішенні задачі. Однак і про наближене у звичайному сенсі визначення ймовірності події за результатами дослідів говорити не доводиться. Під наближеним визначенням будь-якої величини зазвичай мають на увазі, що можна вказати межі похибок, у тому числі помилка не вийде. Частота ж події випадкова за будь-якої кількості дослідів через випадковість результатів окремих дослідів. Через випадковість результатів окремих дослідів частота може значно відхилятися від ймовірності події. Тому, визначаючи невідому ймовірність події як частоту цієї події за великої кількості дослідів, не можемо вказати межі похибки і гарантувати, що помилка не вийде з цих меж. Тому в математичній статистиці зазвичай говорять не про наближені значення невідомих величин, а про їх відповідні значення, оцінки.

Завдання оцінювання невідомих параметрів виникає у випадках, коли функція розподілу генеральної сукупності відома з точністю до параметра. У цьому випадку необхідно знайти таку статистику, вибіркове значення якої для аналізованої реалізації xn випадкової вибірки можна вважати наближеним значенням параметра. Статистику, вибіркове значення якої будь-якої реалізації xn приймають за наближене значення невідомого параметра, називають його точковою оцінкою чи навіть оцінкою, а - значенням точкової оцінки. Точкова оцінка має задовольняти цілком певним вимогам у тому, щоб її вибіркове значення відповідало справжньому значенню параметра.

Можливим є й інший підхід до вирішення цієї задачі: знайти такі статистики і, щоб з ймовірністю? виконувалася нерівність:

У цьому випадку говорять про інтервальну оцінку. Інтервал

називають довірчим інтервалом з коефіцієнтом довіри?.

Оцінивши за результатами дослідів ту чи іншу статистичну характеристику, постає питання: наскільки узгоджується з досвідченими даними припущення (гіпотеза) про те, що невідома характеристика має саме те значення, яке отримано в результаті оцінювання? Так виникає другий важливий клас задач математичної статистики – завдання перевірки гіпотез.

У певному сенсі завдання перевірки статистичної гіпотези є оберненою до завдання оцінювання параметра. При оцінюванні параметра ми нічого не знаємо про його дійсне значення. При перевірці статистичної гіпотези з якихось міркувань передбачається відомим його значення і необхідно за результатами експерименту перевірити це припущення.

У багатьох завданнях математичної статистики розглядаються послідовності випадкових величин, що сходяться в тому чи іншому сенсі до певної межі (випадкової величини чи константи), коли.

Таким чином, основними завданнями математичної статистики є розробка методів знаходження оцінок та дослідження точності їх наближення до оцінюваних характеристик та розробка методів перевірки гіпотез.

5 Перевірка статистичних гіпотез: основні поняття

Завдання розробки раціональних методів перевірки статистичних гіпотез – одне з основних завдань математичної статистики. Статистичною гіпотезою (або просто гіпотезою) називають будь-яке твердження про вид або властивості розподілу випадкових величин, що спостерігаються в експерименті.

Нехай є вибірка, що є реалізацією випадкової вибірки з генеральної сукупності, густина розподілу якої залежить від невідомого параметра.

Статистичні гіпотези щодо невідомого істинного значення параметра називають параметричними гіпотезами. При цьому якщо - скаляр, то йдеться про однопараметричні гіпотези, а якщо вектор - то про багатопараметричні гіпотези.

Статистичну гіпотезу називають простою, якщо вона має вигляд

де - Деяке задане значення параметра.

Статистичну гіпотезу називають складною, якщо вона має вигляд

де - кілька значень параметра, що складається більш ніж з одного елемента.

У разі перевірки двох простих статистичних гіпотез виду

де - два заданих (різних) значення параметра, першу гіпотезу зазвичай називають основною, а другу - альтернативною, чи конкуруючої гіпотезою.

Критерієм, чи статистичним критерієм, перевірки гіпотез називають правило, яким за даними вибірки приймається рішення про справедливості або першої, або другої гіпотези.

Критерій задають за допомогою критичної множини, що є підмножиною вибіркового простору випадкової вибірки. Рішення приймають так:

)якщо вибірка належить критичній множині, то відкидають основну гіпотезу і приймають альтернативну гіпотезу;

)якщо вибірка не належить критичній множині (тобто належить доповненню множини до вибіркового простору), то відкидають альтернативну гіпотезу і приймають основну гіпотезу.

При використанні будь-якого критерію можливі помилки таких видів:

1) прийняти гіпотезу, коли правильна - помилка першого роду;

)прийняти гіпотезу, коли вірна - помилка другого роду.

Імовірності вчинення помилок першого та другого роду позначають і:

де - ймовірність події за умови, що справедлива гіпотеза

Імовірність скоєння помилки першого роду називають рівнем значущості критерію.

Величину, що дорівнює ймовірності відкинути основну гіпотезу, коли вона вірна, називають потужністю критерію.

1.6 Критерій незалежності

Є вибірка ((XY), …, (XY)) із двомірного розподілу

L з невідомою функцією розподілу, для якої потрібно перевірити гіпотезу H: де деякі одномірні функції розподілу.

Простий критерій згоди для гіпотези H можна побудувати, ґрунтуючись на методиці. Цю методику застосовують для дискретних моделей з кінцевим числом результатів, тому умовимося вважати, що випадкова величина набуває кінцевого числа s деяких значень, які позначатимемо літерами, а друга компонента - k значень. Якщо вихідна модель має іншу структуру, попередньо групують можливі значення випадкових величин окремо по першій і другій компонентам. І тут безліч розбивається на s інтервалів, безліч значення - на k інтервалів, а саме безліч значень - на N=sk прямокутників.

Позначимо через число спостережень пари (кількість елементів вибірки, що належать прямокутнику, якщо дані групуються), отже. Результати спостережень зручно розташувати як таблиці спряженості двох знаків(табл. 1.1) . У додатках і зазвичай означають дві ознаки, якими проводиться класифікація результатів спостереження.

Нехай Р, i = 1, ..., s, j = 1, ..., k. Тоді гіпотеза незалежності означає, що є s+k постійних таких, як і, тобто.

Таблиця 1.1

Сума . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Сума . . .n

Таким чином, гіпотеза H зводиться до твердження, що частоти (число їх дорівнює N = sk) розподілені за поліноміальним законом з ймовірностями наслідків, що мають зазначену специфічну структуру (вектор ймовірностей наслідків р визначається значеннями r=s+k-2 невідомих параметрів.

Для перевірки цієї гіпотези, знайдемо оцінки максимальної правдоподібності для визначальних схему невідомих параметрів. Якщо справедлива нульова гіпотеза, то функція правдоподібності має вигляд L(p)= де множник від невідомих параметрів не залежить. Звідси за методом невизначених множників Лагранжа отримуємо, що оцінки, що шукаються, мають вигляд

Отже, статистика

L() при, оскільки число ступенів свободи в граничному розподілі дорівнює N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1).

Отже, за досить великих n можна використовувати таке правило перевірки гіпотези: гіпотезу Н відкидають тоді і лише тоді, коли обчислене за фактичними даними значення t статистики задовольняє нерівності

Цей критерій має асимптотично (при) заданий рівень значущості та називається критерієм незалежності.

2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

1 Розв'язання задач про типи збіжності

1. Довести, що зі збіжності майже напевно випливає збіжність за ймовірністю. Наведіть контрольний приклад, який показує, що зворотне твердження неправильне.

Рішення. Нехай послідовність випадкових величин сходить до випадкової величини x майже напевно. Значить, для будь-кого? > 0

Так, то

і зі збіжності xn до x майже напевно випливає, що xn сходить до x за імовірністю, тому що в цьому випадку

Але зворотне твердження неправильне. Нехай - послідовність незалежних випадкових величин, що мають ту саму функцію розподілу F(x), рівну нулю при х? 0 і рівну за х > 0. Розглянемо послідовність

Ця послідовність сходить до нуля за ймовірністю, оскільки

прагне до нуля за будь-якого фіксованого? в. Проте збіжність до нуля майже напевно не буде. Дійсно

прагне до одиниці, тобто з ймовірністю 1 за будь-яких і n в послідовності знайдуться реалізації, що перевершують?.

Зазначимо, що за наявності деяких додаткових умов, що накладаються на величини xn, збіжність ймовірно тягне збіжність майже напевно.

Нехай xn – монотонна послідовність. Довести, що в цьому випадку збіжність xn до x ймовірно тягне за собою збіжність xn до x з ймовірністю 1.

Рішення. Нехай xn - монотонно спадаюча послідовність, тобто. Для спрощення наших міркувань вважатимемо, що x º 0, xn ³ 0 за всіх n. Нехай xn сходить до x за ймовірністю, проте збіжність майже напевно немає. Тоді існує? > 0, таке, що з усіх n

Але й сказане означає, що за всіх n

що суперечить збіжності xn до x за ймовірністю. Таким чином, для монотонної послідовності xn, що сходить до x за ймовірністю, має місце і збіжність з ймовірністю 1 (майже напевно).

Нехай послідовність xn сходить до x за ймовірністю. Довести, що з цієї послідовності можна виділити послідовність, що сходить до x з ймовірністю 1 при.

Рішення. Нехай - деяка послідовність позитивних чисел, причому, і - такі позитивні числа, що ряд. Побудуємо послідовність індексів n1

Тоді ряд

Так як ряд сходиться, то за будь-якого? > 0 залишок ряду прагне нулю. Але тоді прагне нуля і

Довести, що з збіжності в середньому будь-якого позитивного порядку випливає збіжність за ймовірністю. Наведіть приклад, який показує, що зворотне твердження неправильне.

Рішення. Нехай послідовність xn сходить до величини x у середньому порядку р > 0, тобто

Скористаємося узагальненою нерівністю Чебишева: для довільних? > 0 і р > 0

Спрямувавши та враховуючи, що, отримаємо, що

тобто xn сходить до x за ймовірністю.

Однак збіжність ймовірно не тягне за собою збіжність в середньому порядку р > 0. Це показує наступний приклад. Розглянемо ймовірнісний простір áW, F, Rñ, де F = B – борелівська s-алгебра, R – міра Лебега.

Визначимо послідовність випадкових величин наступним чином:

Послідовність xn сходить до 0 за ймовірністю, оскільки

але за будь-якого р > 0

тобто збіжність у середньому не матиме.

Нехай, до чого всім n . Довести, що в цьому випадку xn сходить до x у середньоквадратичному.

Рішення. Зауважимо, те й. Отримаємо оцінку. Розглянемо випадкову величину. Нехай? - Довільне позитивне число. Тоді при та за.

Якщо, то й. Отже, . А оскільки? як завгодно мало і, то при, тобто в середньоквадратичному.

Довести, що й xn сходиться до x ймовірно, має місце слабка збіжність. Наведіть контрольний приклад, який показує, що зворотне твердження неправильне.

Рішення. Доведемо, що якщо, то в кожній точці х, що є точкою безперервності (це необхідна і достатня умова слабкої збіжності), – функція розподілу величини xn, а – величини x.

Нехай х - точка безперервності функції F. Якщо, то справедливо принаймні одна з нерівностей або. Тоді

Аналогічно, при справедливо хоча б одна з нерівностей або

Якщо, то для скільки завгодно малого? > 0 існує таке N, що з усіх п > N

З іншого боку, якщо х – точка безперервності то можна знайти таке? > 0, що для скільки завгодно малого

Значить, для скільки завгодно малих? і існує таке N, що за п >N

або, що те саме,

Це означає, що у всіх точках безперервності має місце збіжність та. Отже, зі збіжності ймовірно випливає слабка збіжність.

Назад твердження, взагалі кажучи, не має місця. Щоб переконатися в цьому, візьмемо послідовність випадкових величин, не рівних з ймовірністю 1 постійним і мають одну й ту саму функцію розподілу F(x). Вважаємо, що за всіх п величини і незалежні. Очевидно, слабка збіжність має місце, тому що у всіх членів послідовності та сама функція розподілу. Розглянемо:

|З незалежності та однакової розподіленості величин, випливає, що

Виберемо серед усіх функцій розподілів невироджених випадкових величин таку F(x), що буде від нуля при всіх досить малих? Тоді не прагне нуля при необмеженому зростанні п і збіжність по ймовірності мати місце не буде.

7. Нехай має місце слабка збіжність, де з імовірністю є постійна. Довести, що в цьому випадку буде сходитися до ймовірності.

Рішення. Нехай із ймовірністю 1 дорівнює а. Тоді слабка збіжність означає збіжність за будь-яких. Так, то при і при. Тобто при і за. Звідси випливає, що для будь-кого? > 0 ймовірності

прагнуть до нуля при. Це означає що

прагне до нуля при, тобто сходитися до ймовірності.

2.2 Розв'язання задач на ЦПТ

Значення гамма-функції Г(x) за x= обчислюється методом Монте-Карло. Знайдемо мінімальну кількість випробувань необхідних для того, щоб з ймовірністю 0,95 можна було очікувати, що відносна похибка обчислень буде менше одного відсотка.

Для з точністю до маємо

Відомо що

Зробивши в (1) заміну, приходимо до інтеграла по кінцевому проміжку:

У нас, тому

Як видно, уявно у вигляді, де, а розподілена рівномірно на. Нехай зроблено статистичні випробування. Тоді статистичним аналогом є величина

де, - незалежні випадкові величини з рівномірним розподілом. При цьому

З ЦПТ слід, що асимптотично нормальна з параметрами.

Значить, мінімальна кількість випробувань, що забезпечує з ймовірністю відносну похибку обчислення трохи більше.

Розглядається послідовність із 2000 незалежних однаково розподілених випадкових величин з математичним очікуванням, рівним 4, та дисперсією, що дорівнює 1,8. Середнє арифметичне цих величин є випадковою величиною. Визначити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення в інтервалі (3,94; 4,12).

Нехай, …,…- послідовність незалежних випадкових величин, мають однаковий розподіл M=a=4 і D==1,8. Тоді до послідовності () застосовується ЦПТ. Випадкова величина

Імовірність того, що набуде значення в інтервалі ():

При n=2000, 3,94 та 4,12 отримаємо

3 Перевірка гіпотез критерієм незалежності

В результаті проведеного дослідження було встановлено, що у 782 світлооких батьків сини теж мають світлі очі, а 89 світлооких батьків сини - темноокі. У 50 темнооких батьків сини також темноокі, а у 79 темнооких батьків сини - світлоокі. Чи є залежність між кольором очей батьків та кольором очей їхніх синів? Рівень довіри прийняти рівним 0,99.

Таблиця 2.1

ДітиБатькиСумаСвітлоокіТемноокіСвітлоокі78279861Темноокі8950139Сумма8711291000

H: немає залежності між кольором очей дітей та батьків.

H: є залежність між кольором очей дітей та батьків.

s=k=2 =90,6052 з першого ступеня свободи

Обчислення зроблено у програмі Mathematica 6.

Оскільки > , то гіпотезу H про відсутність залежності між кольором очей батьків і дітей, при рівні значущості, слід відхилити і прийняти альтернативну гіпотезу H.

Стверджується, що результат дії ліків залежить від способу застосування. Перевірте це твердження за даними, наведеними в табл. 2.2 Рівень довіри прийняти дорівнює 0,95.

Таблиця 2.2

РезультатСпосіб застосуванняАВСНесприятливий111716Сприятливий202319

Рішення.

Для розв'язання цього завдання скористаємося таблицею сполученості двох ознак.

Таблиця 2.3

РезультатСпосіб застосуванняСуммаАВСНесприятливий11171644Сприятливий20231962Сумма314035106

H: результат дії ліків не залежить від способу застосування

H: результат дії ліків залежить від способу застосування

Статистика обчислюється за такою формулою

s=2, k=3, =0,734626 з 2 ступенями свободи.

Обчислення зроблено у програмі Mathematica 6

По таблицях розподілу знаходимо, що.

Оскільки< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

Висновок

У цій роботі наведено теоретичні викладки з розділу «Критерій незалежності», а також «Граничні теореми теорії ймовірностей», курсу «Теорія ймовірностей та математична статистика». У ході виконання роботи на практиці було перевірено критерій незалежності; також для заданих послідовностей незалежних випадкових величин було перевірено виконання центральної граничної теореми.

Ця робота допомогла вдосконалити мої знання з цих розділів теорії ймовірностей, роботи з літературними джерелами, твердо володіти технікою перевірки критерію незалежності.

ймовірнісна статистична гіпотеза теорема

Перелік посилань

1. Збірник завдань з теорії ймовірності з розв'язком. Уч. посібник/За ред. В.В. Семенець. – Харків: ХТУРЕ, 2000. – 320с.

Гіхман І.І., Скороход О.В., Ядренко М.І. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: Вища шк., 1979. – 408 с.

Івченко Г.І., Медведєв Ю.І., Математична статистика: Навч. посібник для втузів. - М: Вищ. шк., 1984. - 248с., .

Математична статистика: Навч. для вузів/В.Б. Горяїнов, І.В. Павлов, Г.М. Цвєткова та ін; За ред. В.С. Зарубіна, А.П. Крищенко. - М: Вид-во МДТУ ім. н.е. Баумана, 2001. – 424с.

Репетиторство

Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?

Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.