Перетворення гауса. Приклади рішення слау методом гауса

Рішення систем лінійних рівняньметодом Гауса.Нехай нам потрібно знайти рішення системи з nлінійних рівнянь з nневідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2з усіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться лише невідома змінна x n. Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключенняневідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння перебуває x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1, і так далі, з першого рівняння знаходиться x 1. Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходомметоду Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1із усіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1через інші невідомі змінні у першому рівнянні системи та отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3, при цьому діємо аналогічно із зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x nз останнього рівняння як , за допомогою отриманого значення x nзнаходимо x n-1з передостаннього рівняння, і так далі знаходимо x 1з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.

У цій статті метод сприймається як спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь (СЛАУ). Метод є аналітичним, тобто дозволяє написати алгоритм рішення у загальному виглядіа потім уже підставляти туди значення з конкретних прикладів. На відміну від матричного методу або формул Крамера, при вирішенні системи лінійних рівнянь методом Гауса можна працювати і з тими, що мають нескінченно багато рішень. Або не мають його зовсім.

Що означає вирішити методом Гаусса?

Для початку необхідно нашу систему рівнянь записати у вигляд це наступним чином. Береться система:

Коефіцієнти записуються як таблиці, а справа окремим стовпчиком - вільні члени. Стовпець з вільними членами відокремлюється для зручності Матриця, що включає цей стовпець, називається розширеною.

Далі основну матрицю з коефіцієнтами слід призвести до верхньої трикутної форми. Це основний момент вирішення системи методом Гаусса. Простіше кажучи, після певних маніпуляцій матриця має виглядати так, щоб у її лівій нижній частині стояли одні нулі:

Тоді, якщо записати нову матрицю знову як систему рівнянь, можна помітити, що в останньому рядку вже міститься значення одного з коренів, яке потім підставляється в рівняння вище знаходиться ще один корінь, і так далі.

Це опис рішення методом Гауса в самих загальних рисах. А що вийде, якщо раптом система не має рішення? Чи їх нескінченно багато? Щоб відповісти на ці та ще безліч питань, необхідно розглянути окремо всі елементи, що використовуються під час вирішення методом Гауса.

Матриці, їх властивості

Ніякого прихованого сенсуу матриці немає. Це просто зручний спосіб запису даних для подальших операцій із ними. Боятися їх не треба навіть школярам.

Матриця завжди прямокутна, бо так зручніше. Навіть у методі Гауса, де все зводиться до побудови матриці трикутного вигляду, у записі фігурує прямокутник, тільки з нулями на тому місці, де немає чисел. Нулі можна не записувати, але вони маються на увазі.

Матриця має розмір. Її "ширина" – число рядків (m), "довжина" – число стовпців (n). Тоді розмір матриці A (для їх позначення зазвичай використовуються великі Латинські букви) позначатиметься як A m×n . Якщо m=n, то ця квадратна матриця, і m=n - її порядок. Відповідно, будь-який елемент матриці A можна позначити через номер рядка і стовпця: a xy ; x - номер рядка, змінюється, y - номер стовпця, змінюється.

В – це основний момент рішення. В принципі, всі операції можна виконувати безпосередньо з самими рівняннями, проте запис вийде набагато громіздкіший, і в ньому буде набагато легше заплутатися.

Визначник

Ще матриця має визначника. Це дуже важлива характеристика. З'ясовувати його сенс зараз не варто, можна просто показати, як він обчислюється, а потім розповісти, які характеристики матриці він визначає. Найбільш простий спосіб знаходження визначника – через діагоналі. У матриці проводяться уявні діагоналі; елементи, що знаходяться на кожній з них, перемножуються, а потім отримані твори складаються: діагоналі з нахилом праворуч - зі знаком "плюс", з нахилом вліво - зі знаком "мінус".

Дуже важливо відзначити, що обчислювати визначник можна лише у квадратної матриці. Для прямокутної матриціможна зробити наступне: із кількості рядків і кількості стовпців вибрати найменше (нехай це буде k), а потім у матриці довільним чином відзначити k стовпців і k рядків. Елементи, що знаходяться на перетині вибраних стовпців та рядків, становитимуть нову квадратну матрицю. Якщо визначник такої матриці буде числом, відмінним від нуля, назветься базисним мінором початкової прямокутної матриці.

Перед тим, як приступити до вирішення системи рівнянь методом Гауса, не заважає порахувати визначник. Якщо він виявиться нульовим, то відразу можна говорити, що у матриці кількість рішень або нескінченно, або взагалі немає. У такому сумному випадку треба йти далі і дізнаватися про ранг матриці.

Класифікація систем

Існує таке поняття, як ранг матриці. Це максимальний порядок її визначника, відмінного від нуля (якщо згадати про базисний мінор, Можна сказати, що ранг матриці - порядок базисного мінору).

По тому, як справи з рангом, СЛАУ можна розділити на:

• Спільні. Успільних систем ранг основної матриці (що складається лише з коефіцієнтів) збігається з рангом розширеної (зі стовпцем вільних членів). Такі системи мають рішення, але необов'язково одне, тому додатково спільні системиділять на:
• - певні- мають єдине рішення. У певних системах рівні ранг матриці і кількість невідомих (або число стовпців, що є одне й те саме);
• - невизначені -з нескінченною кількістю рішень. Ранг матриць таких систем менше кількості невідомих.
• Несумісні. Утаких систем ранги основної та розширеної матриць не збігаються. Несумісні системи рішення немає.

Метод Гауса хороший тим, що дозволяє в ході рішення отримати або однозначний доказ несумісності системи (без обчислення визначників великих матриць), або рішення в загальному вигляді для системи з нескінченним числом рішень.

Елементарні перетворення

Перш ніж приступити безпосередньо до вирішення системи, можна зробити її менш громіздкою і зручнішою для обчислень. Це досягається за рахунок елементарних перетворень - таких, що їхнє виконання ніяк не змінює кінцеву відповідь. Слід зазначити, що з наведених елементарних перетворень дійсні лише матриць, вихідниками яких послужили саме СЛАУ. Ось перелік цих перетворень:

1. Перестановка рядків. Вочевидь, що у записи системи змінити порядок рівнянь, то рішення це ніяк не вплине. Отже, в матриці цієї системи також можна міняти місцями рядки, не забуваючи, звичайно, про стовпець вільних членів.
2. Збільшення всіх елементів рядка на деякий коефіцієнт. Дуже корисно! За допомогою нього можна скоротити великі числау матриці або прибрати нулі. Багато рішень, як завжди, не зміниться, а виконувати подальші операції стане зручніше. Головне, щоб коефіцієнт не дорівнював нулю.
3. Видалення рядків із пропорційними коефіцієнтами. Це частково випливає з попереднього пункту. Якщо два або більше рядки в матриці мають пропорційні коефіцієнти, то при множенні/розподілі одного з рядків на коефіцієнт пропорційності виходять два (або, знову ж таки, більше) абсолютно однакові рядки, і можна забрати зайві, залишивши тільки один.
4. Видалення нульового рядка. Якщо в ході перетворень десь вийшов рядок, в якому всі елементи, включаючи вільний член, - нуль, то такий рядок можна назвати нульовим і викинути з матриці.
5. Додаток до елементів одного рядка елементів іншого (за відповідними стовпцями), помножених на певний коефіцієнт. Найнеочевидніше і найважливіше перетворення з усіх. На ньому варто зупинитися докладніше.

Додавання рядка, помноженого на коефіцієнт

Для простоти розуміння варто розібрати цей процес кроками. Беруться два рядки з матриці:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Допустимо, необхідно до другої додати першу, помножену на коефіцієнт "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Потім у матриці другий рядок замінюється на новий, а перший залишається без змін.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Необхідно помітити, що коефіцієнт множення можна підібрати таким чином, щоб в результаті складання двох рядків один з елементів нового рядка дорівнював нулю. Отже, можна отримати рівняння у системі, де на одну невідому буде менше. А якщо отримати два такі рівняння, то операцію можна зробити ще раз і отримати рівняння, яке міститиме вже на дві невідомі менше. А якщо щоразу перетворювати на нуль один коефіцієнт у всіх рядків, що стоять нижче за вихідну, то можна, як по сходах, спуститися до самого низу матриці і отримати рівняння з однією невідомою. Це називається вирішити систему методом Гаусса.

Загалом

Нехай існує система. Вона має m рівнянь та n коренів-невідомих. Записати її можна так:

З коефіцієнтів системи складається основна матриця. До розширеної матриці додається стовпець вільних членів і для зручності відокремлюється рисою.

• перший рядок матриці множиться на коефіцієнт k = (-a 21 /a 11);
• перший змінений рядок і другий рядок матриці складаються;
• замість другого рядка в матрицю вставляється результат додавання з попереднього пункту;
• тепер перший коефіцієнт у новою другоюрядку дорівнює a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Тепер виконується та ж серія перетворень, тільки беруть участь перший і третій рядки. Відповідно, у кожному кроці алгоритму елемент a21 замінюється на a31. Потім все повторюється для a 41 ... a m1. У результаті виходить матриця, де у рядках перший елемент дорівнює нулю. Тепер потрібно забути про рядок номер один і виконати той самий алгоритм, починаючи з другого рядка:

• коефіцієнт k = (-a 32/a 22);
• з "поточним" рядком складається другий змінений рядок;
• результат додавання підставляється в третій, четвертий і так далі рядки, а перший і другий залишаються незмінними;
• у рядках матриці вже два перші елементи дорівнюють нулю.

Алгоритм треба повторювати, доки з'явиться коефіцієнт k = (-a m,m-1 /a mm). Це означає, що востаннє алгоритм виконувався лише для нижнього рівняння. Тепер матриця схожа на трикутник, або має ступінчасту форму. У нижньому рядку є рівність a mn × x n = b m. Коефіцієнт і вільний член відомі і корінь виражається через них: x n = b m /a mn . Отриманий корінь підставляється у верхній рядок, щоб знайти x n-1 = (b m-1 - m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . І так далі за аналогією: у кожному наступному рядку знаходиться новий корінь, і, діставшись " верху " системи, можна знайти безліч рішень . Воно буде єдиним.

Коли немає рішень

Якщо в одній із матричних рядківвсі елементи, крім вільного члена, дорівнюють нулю, то рівняння, що відповідає цьому рядку, виглядає як 0 = b. Воно немає рішення. І оскільки таке рівняння укладено в систему, то й безліч рішень усієї системи – порожня, тобто вона є виродженою.

Коли рішень нескінченна кількість

Може вийти так, що в наведеній трикутній матриці немає рядків з одним елементом-коефіцієнтом рівняння і одним - вільним членом. Є тільки такі рядки, які під час переписування мали б вигляд рівняння з двома чи більше змінними. Отже, система має нескінченну кількість рішень. У разі відповідь можна дати як загального рішення. Як це зробити?

Всі змінні в матриці поділяються на базові та вільні. Базисні - це ті, які стоять "з краю" рядків у ступінчастої матриці. Інші – вільні. У загальному рішенні базисні змінні записуються через вільні.

Для зручності матриця спочатку переписується у систему рівнянь. Потім в останньому з них, там, де точно залишилася тільки одна базова змінна, вона залишається з одного боку, а все інше переноситься в іншу. Так робиться для кожного рівняння з однією базовою змінною. Потім до інших рівнянь, там, де це можливо, замість базисної змінної підставляється отриманий нею вираз. Якщо в результаті знову з'явився вираз, що містить тільки одну базисну змінну, вона звідти знову виражається, і так далі, поки кожна базова змінна не буде записана у вигляді виразу з вільними змінними. Це і є загальне рішенняСлау.

Можна також знайти базисне рішення системи - дати вільним змінним будь-які значення, та був цього конкретного випадку порахувати значення базисних змінних. Приватних рішень можна навести дуже багато.

Рішення на конкретних прикладах

Ось система рівнянь.

Для зручності краще відразу скласти її матрицю

Відомо, що при вирішенні методом Гауса рівняння, що відповідає першому рядку, наприкінці перетворень залишиться незмінним. Тому вигідніше буде, якщо верхній лівий елемент матриці буде найменшим - тоді перші елементи інших рядків після операцій звернуться в нуль. Значить, у складеній матриці вигідно буде на місце першого рядка поставити другий.

другий рядок: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третій рядок: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Тепер, щоб не заплутатися, необхідно записати матрицю з проміжними результатамиперетворень.

Очевидно, що таку матрицю можна зробити зручнішою для сприйняття за допомогою деяких операцій. Наприклад, з другого рядка можна усунути всі "мінуси", помножуючи кожен елемент на "-1".

Варто також зауважити, що у третьому рядку всі елементи кратні трьом. Тоді можна скоротити рядок на це число, помножуючи кожен елемент на "-1/3" (мінус - заразом, щоб прибрати від'ємні значення).

Виглядає набагато приємніше. Тепер треба дати спокій перший рядок і попрацювати з другого і третього. Завдання - додати до третього рядка другий, помножений на такий коефіцієнт, щоб елемент a 32 став дорівнює нулю.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (якщо в ході деяких перетворень у відповіді вийшло не ціле число, рекомендується для дотримання точності обчислень залишити його "як є", у вигляді звичайної дробу, а вже потім, коли отримані відповіді, вирішувати, чи варто округляти та переводити в іншу форму запису)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Знову записується матриця із новими значеннями.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Очевидно, отримана матриця вже має ступінчастий вигляд. Тому подальші перетворення системи методом Гаусса не потрібні. Що тут можна зробити, то це прибрати з третього рядка загальний коефіцієнт "-1/7".

Тепер все гарно. Справа за малим - записати матрицю знову у вигляді системи рівнянь та обчислити коріння

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Той алгоритм, за яким зараз будуть корені, називається зворотним ходом у методі Гауса. Рівняння (3) містить значення z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

І перше рівняння дозволяє знайти x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Таку систему ми маємо право назвати спільною, та ще й певною, тобто такою, що має єдине рішення. Відповідь записується у такій формі:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Приклад невизначеної системи

Варіант розв'язання певної системиметодом Гауса розібраний, тепер необхідно розглянути випадок, якщо система невизначена, тобто для неї можна знайти безліч рішень.

х 1 + х 2 + х 3 + х 4 + х 5 = 7 (1)

3х 1 + 2х 2 + х 3 + х 4 - 3х 5 = -2 (2)

х 2 + 2х 3 + 2х 4 + 6х 5 = 23 (3)

5х 1 + 4х 2 + 3х 3 + 3х 4 - х 5 = 12 (4)

Сам вид системи вже насторожує, тому що кількість невідомих n = 5, а ранг матриці системи вже точно менший від цього числа, тому що кількість рядків m = 4, тобто найбільший порядоквизначника-квадрату - 4. Отже, рішень існує нескінченна безлічі треба шукати його загальний вигляд. Метод Гауса для лінійних рівнянь дозволяє це зробити.

Спочатку, як завжди, складається розширена матриця.

Другий рядок: коефіцієнт k = (-a 21/a 11) = -3. У третьому рядку перший елемент - ще до перетворень, тому не треба нічого чіпати, треба залишити як є. Четвертий рядок: k = (-а 4 1/а 11) = -5

Помноживши елементи першого рядка на кожен їх коефіцієнт по черзі і склавши їх з потрібними рядками, отримуємо матрицю наступного виду:

Як можна бачити, другий, третій і четвертий рядки складаються з елементів, пропорційних один одному. Друга і четверта взагалі однакові, тому одну з них можна прибрати відразу, а решту помножити на коефіцієнт "-1" і отримати рядок номер 3. І знову з двох однакових рядків залишити один.

Вийшла така матриця. Поки ще записана система, треба тут визначити базисні змінні - які стоять при коефіцієнтах a 11 = 1 і a 22 = 1, і вільні - й інші.

У другому рівнянні є лише одна базисна змінна - x2. Значить, її можна висловити звідти, записавши через змінні x 3 x 4 x 5 які є вільними.

Підставляємо отриманий вираз у перше рівняння.

Вийшло рівняння, в якому єдина базова змінна - x1. Зробимо з нею те саме, що і з x 2 .

Усі базисні змінні, яких дві, виражені через три вільні, тепер можна записувати у загальному вигляді.

Також можна вказати одне із приватних рішень системи. Для таких випадків як значення для вільних змінних вибирають, як правило, нулі. Тоді відповіддю буде:

16, 23, 0, 0, 0.

Приклад несумісної системи

Розв'язання несумісних систем рівнянь методом Гауса – найшвидше. Воно закінчується відразу, як тільки на одному з етапів виходить рівняння, яке не має рішення. Тобто етап з обчисленням коренів, досить довгий і нудний, відпадає. Розглядається така система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Як завжди, складається матриця:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

І наводиться до східчастого вигляду:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Після першого ж перетворення у третьому рядку міститься рівняння виду

не має рішення. Отже, система несумісна, і відповіддю буде безліч.

Переваги та недоліки методу

Якщо вибирати, яким методом вирішувати СЛАУ на папері ручкою, то метод, який було розглянуто у цій статті, виглядає найпривабливіше. У елементарні перетвореннянабагато важче заплутатися, ніж у тому трапляється, якщо доводиться шукати вручну визначник або якусь хитру зворотну матрицю. Однак, якщо використовувати програми для роботи з даними такого типу, наприклад, електронні таблиці, то виявляється, що в таких програмах вже закладені алгоритми обчислення основних параметрів матриць - визначник, мінори, зворотна і таке інше. А якщо бути впевненим у тому, що машина визнає ці значення сама і не помилиться, доцільніше використовувати вже матричний методабо формул Крамера, тому що їх застосування починається і закінчується обчисленням визначників і зворотними матрицями.

Застосування

Оскільки рішення методом Гауса представляє собою алгоритм, а матриця - це, фактично, двовимірний масив, його можна використовувати при програмуванні. Але оскільки стаття позиціонує себе як керівництво "для чайників", слід сказати, що найпростіше, куди метод можна запхати - це електронні таблиці, наприклад, Excel. Знову ж таки, всякі СЛАУ, занесені в таблицю у вигляді матриці, Excel буде розглядати як двовимірний масив. А для операцій з ними існує безліч приємних команд: додавання (складати можна тільки матриці однакових розмірів!), множення на число, перемноження матриць (також з певними обмеженнями), знаходження зворотної та транспонованої матриць і, найголовніше, обчислення визначника. Якщо це трудомістке заняття замінити однією командою, можна швидше визначати ранг матриці і, отже, встановлювати її спільність чи несовместность.

Даний онлайн калькуляторзнаходить рішення системи лінійних рівнянь (СЛП) методом Гаусса. Дається докладне рішення. Для обчислення вибирайте кількість змінних та кількість рівнянь. Потім введіть дані в комірки та натискайте на кнопку "Обчислити."

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Подання чисел:

Цілі числа та (або) Звичайні дроби
Цілі числа та (або) Десяткові дроби

Число знаків після десяткового роздільника

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Метод Гауса

Метод Гауса - це метод переходу від вихідної системи лінійних рівнянь (за допомогою еквівалентних перетворень) до системи, яка вирішується простіше, ніж вихідна система.

Еквівалентними перетвореннями системи лінійних рівнянь є:

• зміна місцями двох рівнянь у системі,
• множення будь-якого рівняння у системі на ненульове дійсне число,
• додавання одного рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

(1)

Запишемо систему (1) у матричному вигляді:

Ax=b

(2)

(3)

A-називається матриця коефіцієнтів системи, b − права частинаобмежень, x− вектор змінних, яку потрібно знайти. Нехай rang( A)=p.

Еквівалентні перетворення не змінюють ранг матриці коефіцієнтів та ранг розширеної матриці системи. Не змінюється також безліч рішень системи при еквівалентних перетвореннях. Суть методу Гауса полягає у приведенні матраца коефіцієнтів Aдо діагонального чи ступінчастого.

Побудуємо розшрену матрицю системи:

На наступному етапі обнулюємо всі елементи стовпця 2 нижче елемента . Якщо цей елемент нульовий, то цей рядок міняємо місцями з рядком, що лежить нижче за цей рядок і має ненульовий елемент у другому стовпці. Далі обнулюємо всі елементи стовпця 2 нижче провідного елемента a 22 . Для цього складемо рядки 3, ... mз рядком 2, помноженим на − a 32 /a 22 , ..., −a m2 / a 22 відповідно. Продовжуючи процедуру, отримаємо діагональну матрицю або східчастого вигляду. Нехай отримана розширена матриця має вигляд:

(7)

Так як rangA=rang(A|b), то безліч рішень (7) є ( n−p) - Різноманітність. Отже n−pневідомих можна вибрати довільно. Інші невідомі із системи (7) обчислюються так. З останнього рівняння виражаємо x p через інші змінні та вставляємо у попередні вирази. Далі з передостаннього рівняння виражаємо x p−1 через інші змінні та вставляємо у попередні вирази тощо. Розглянемо метод Гауса на конкретні приклади.

Приклади розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Приклад 1. Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса:

Позначимо через a ij елементи i-ого рядка та j-ого стовпця.

Виключимо елементи 1-го стовпця матриці нижче елемента a 1 1 . Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -2/3,-1/2 відповідно:

Ділимо кожен рядок матриці на відповідний провідний елемент (якщо провідний елемент існує):

Підставивши верхні вирази у нижні, отримаємо рішення.

Ще з початку XVI-XVIII століть математики посилено почали вивчати функції, завдяки яким так багато в нашому житті змінилося. Комп'ютерна технікабез цих знань просто не було б. Для вирішення складних завдань, лінійних рівнянь та функцій були створені різні концепції, теореми та методики рішення. Одним з таких універсальних та раціональних способів та методик розв'язання лінійних рівнянь та їх систем став і метод Гаусса. Матриці, їхній ранг, детермінант - все можна порахувати, не використовуючи складних операцій.

Що являє собою СЛАУ

В математиці існує поняття СЛАУ – система лінійних алгебраїчних рівнянь. Що ж вона є? Це набір m рівнянь з шуканими n невідомими величинами, які зазвичай позначаються як x, y, z, або x 1 , x 2 … x n, або іншими символами. Вирішити методом Гауса цю систему- означає знайти всі шукані невідомі. Якщо система має однакове числоневідомих та рівнянь, тоді вона називається системою n-го порядку.

Найбільш популярні методи вирішення СЛАУ

У навчальних закладахсередньої освіти вивчають різноманітні методики вирішення таких систем. Найчастіше це прості рівняння, що складаються з двох невідомих, тому будь-який існуючий методдля пошуку відповіді на них не триватиме багато часу. Це може бути як метод підстановки, коли з одного рівняння виводиться інше та підставляється у початкове. Або метод почленного віднімання та додавання. Але найлегшим та універсальним вважається метод Гауса. Він дозволяє вирішувати рівняння з будь-якою кількістю невідомих. Чому саме ця методика вважається раціональною? Все просто. Матричний спосібхороший тим, що тут не потрібно кілька разів переписувати непотрібні символи у вигляді невідомих, достатньо зробити арифметичні операції над коефіцієнтами - і вийде достовірний результат.

Де використовуються СЛАУ на практиці

Рішенням СЛАУ є точки перетину прямих графіків функцій. У наш високотехнологічний комп'ютерний вік людям, які тісно пов'язані з розробкою ігор та інших програм, необхідно знати, як вирішувати такі системи, що вони представляють і як перевірити правильність результату. Найчастіше програмісти розробляють спеціальні програми-обчислювачі лінійної алгебри, сюди входить і система лінійних рівнянь. Метод Гауса дозволяє вирахувати всі існуючі рішення. Також використовуються й інші спрощені формули та методики.

Критерій сумісності СЛАУ

Таку систему можна вирішити лише у тому випадку, якщо вона сумісна. Для зрозумілості представимо СЛАУ як Ax=b. Вона має рішення, якщо rang(A) дорівнює rang(A,b). І тут (A,b) - це матриця розширеного виду, яку можна одержати з матриці А, переписавши її з вільними членами. Виходить, що розв'язати лінійні рівняння методом Гауса досить легко.

Можливо, деякі позначення не зовсім зрозумілі, тому треба розглянути все на прикладі. Допустимо, є система: x + y = 1; 2x-3y = 6. Вона складається з двох рівнянь, у яких 2 невідомі. Система матиме рішення тільки в тому випадку, якщо ранг її матриці дорівнюватиме рангу розширеної матриці. Що таке ранг? Це число незалежних рядків системи. У нашому випадку ранг матриці 2. Матриця А складатиметься з коефіцієнтів, що знаходяться біля невідомих, а в розширену матрицю вписуються і коефіцієнти, що перебувають за знаком «=».

Чому СЛАУ можна уявити в матричному вигляді

Виходячи з критерію сумісності по доведеній теоремі Кронекера-Капеллі, систему лінійних рівнянь алгебри можна представити в матричному вигляді. Застосовуючи каскадний метод Гауса, можна вирішити матрицю та отримати єдину достовірну відповідь на всю систему. Якщо ранг звичайної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці, але при цьому менше від кількості невідомих, тоді система має нескінченну кількість відповідей.

Перетворення матриць

Перш ніж переходити до рішення матриць, необхідно знати, які дії можна проводити над їх елементами. Існує кілька елементарних перетворень:

• Переписуючи систему в матричний вигляді здійснюючи її рішення, можна множити всі елементи ряду на той самий коефіцієнт.
• Для того щоб перетворити матрицю на канонічний вигляд, можна міняти місцями два паралельні ряди. Канонічний вигляд має на увазі, що всі елементи матриці, які розташовані по головній діагоналі, стають одиницями, а решта - нулями.
• Відповідні елементи паралельних рядів матриці можна додавати один до одного.

Метод Жордана-Гаусса

Суть вирішення систем лінійних однорідних та неоднорідних рівняньметодом Гауса у тому, щоб поступово виключити невідомі. Припустимо, у нас є система із двох рівнянь, у яких дві невідомі. Щоб їх знайти, необхідно перевірити систему на сумісність. Рівняння методом Гауса вирішується дуже просто. Необхідно виписати коефіцієнти, що знаходяться біля кожного невідомого у матричний вигляд. Для вирішення системи потрібно виписати розширену матрицю. Якщо одне з рівнянь містить меншу кількість невідомих, тоді місце пропущеного елемента необхідно поставити «0». До матриці застосовуються всі відомі методи перетворення: множення, розподіл на число, додавання відповідних елементів рядів один до одного та інші. Виходить, що у кожному ряду необхідно залишити одну змінну зі значенням «1», решта привести до нульового вигляду. Для більш точного розуміння слід розглянути метод Гаусса на прикладах.

Простий приклад вирішення системи 2х2

Для початку візьмемо просту систему алгебраїчних рівнянь, в якій буде 2 невідомих.

Перепишемо її у розширену матрицю.

Щоб вирішити цю систему лінійних рівнянь, потрібно зробити лише дві операції. Нам необхідно привести матрицю до канонічного вигляду, щоби по головній діагоналі стояли одиниці. Так, переводячи з матричного виду назад у систему, ми отримаємо рівняння: 1x+0y=b1 і 0x+1y=b2, де b1 і b2 - відповіді, що вийшли в процесі рішення.

1. Перша дія при вирішенні розширеної матриці буде такою: перший ряд необхідно помножити на -7 і додати відповідно відповідні елементи до другого рядка, щоб позбавитися одного невідомого в другому рівнянні.
2. Оскільки рішення рівнянь методом Гауса передбачає приведення матриці до канонічного виду, тоді необхідно і з першим рівнянням зробити ті ж операції і прибрати другу змінну. Для цього другий рядок віднімаємо від першого та отримуємо необхідну відповідь – рішення СЛАУ. Або, як показано на малюнку, другий рядок множимо на коефіцієнт -1 і додаємо до першого рядка елементи другого ряду. Це одне і теж.

Як бачимо, нашу систему вирішено методом Жордана-Гаусса. Переписуємо її у необхідну форму: x=-5, y=7.

Приклад рішення СЛАУ 3х3

Припустимо, що у нас є складніша система лінійних рівнянь. Метод Гауса дає можливість вирахувати відповідь навіть для самої, здавалося б, заплутаної системи. Тому, щоб глибше вникнути в методику розрахунку, можна переходити до більш складним прикладоміз трьома невідомими.

Як і в колишньому прикладі, переписуємо систему у вигляді розширеної матриці і починаємо приводити її до канонічного вигляду.

Для вирішення цієї системи знадобиться зробити набагато більше дій, ніж у попередньому прикладі.

1. Спочатку потрібно створити в першому стовпці один одиничний елемент та інші нулі. Для цього множимо перше рівняння на -1 і додаємо до нього друге рівняння. Важливо запам'ятати, що перший рядок ми переписуємо у первісному вигляді, а другий - вже зміненому.
2. Далі прибираємо цю саму першу невідому з третього рівняння. Для цього елементи першого рядка множимо на -2 і додаємо їх до третього ряду. Тепер перший і другий рядки переписуються у первісному вигляді, а третій - вже із змінами. Як бачимо за результатом, ми отримали першу одиницю на початку головної діагоналі матриці та інші нулі. Ще кілька дій і система рівнянь методом Гауса буде достовірно вирішена.
3. Тепер необхідно виконати операції над іншими елементами рядів. Третя і четверта дія можна об'єднати в одну. Потрібно розділити другий і третій рядок на -1, щоб позбавитися від мінусових одиниць по діагоналі. Третій рядок ми вже привели до необхідного вигляду.
4. Далі наведемо до канонічного вигляду другий рядок. Для цього елементи третього ряду множимо на -3 і додаємо їх до другого рядка матриці. З результату видно, що другий рядок теж наведено до необхідної форми. Залишилося зробити ще кілька операцій та прибрати коефіцієнти невідомих із першого рядка.
5. Щоб з другого елемента рядка зробити 0, необхідно помножити третій рядок -3 і додати його до першого ряду.
6. Наступним вирішальним етапом буде додавання до першого рядка необхідні елементи другого ряду. Так ми отримуємо канонічний вид матриці, а відповідно і відповідь.

Як видно, розв'язання рівнянь методом Гауса досить просте.

Приклад розв'язання системи рівнянь 4х4

Деякі більше складні системирівнянь можна вирішити методом Гауса за допомогою комп'ютерних програм. Необхідно вбити в існуючі порожні комірки коефіцієнти за невідомих, і програма сама покроково розрахує необхідний результат, докладно описуючи кожну дію.

Нижче описано покрокова інструкціярішення такого прикладу.

У першій дії в порожні комірки вписуються вільні коефіцієнти та числа при невідомих. Таким чином, виходить така сама розширена матриця, яку ми пишемо вручну.

І виконуються всі необхідні арифметичні операції, щоб привести розширену матрицю до канонічного вигляду. Необхідно розуміти, що не завжди відповідь на систему рівнянь – це цілі числа. Іноді рішення може бути із дробових чисел.

Перевірка правильності рішення

Метод Жордана-Гаусса передбачає перевірку правильності результату. Для того щоб дізнатися, чи правильно пораховані коефіцієнти, необхідно всього лише підставити результат у початкову систему рівнянь. Ліва сторонарівняння має відповідати правій стороні, яка перебуває за знаком "рівно". Якщо відповіді не збігаються, тоді необхідно перераховувати заново систему або спробувати застосувати до неї інший відомий вам метод рішення СЛАУ, такий як підстановка або почленное віднімання та додавання. Адже математика – це наука, яка має велика кількість різних методикрішення. Але пам'ятайте: результат повинен бути завжди той самий, незалежно від того, який метод рішення ви використовували.

Метод Гауса: найпоширеніші помилки при вирішенні СЛАУ

Під час розв'язання лінійних систем рівнянь найчастіше виникають такі помилки, як неправильне перенесення коефіцієнтів у матричний вигляд. Бувають системи, в яких відсутні в одному з рівнянь деякі невідомі, тоді переносячи дані в розширену матрицю, їх можна втратити. У результаті під час вирішення цієї системи результат може відповідати дійсному.

Ще однією з головних помилок може бути неправильне виписування кінцевого результату. Потрібно чітко розуміти, що перший коефіцієнт відповідатиме першому невідомому із системи, другий - другому і так далі.

Метод Гаусса докладно визначає рішення лінійних рівнянь. Завдяки йому легко зробити необхідні операції та знайти правильний результат. Крім того, це універсальний засібдля пошуку достовірної відповіді на рівняння будь-якої складності. Можливо, тому його часто використовують при вирішенні СЛАУ.

Нехай дана система , ∆≠0. (1)
Метод Гауса- Це метод послідовного виключення невідомих.

Суть методу Гауса полягає у перетворенні (1) до системи з трикутною матрицею , з якої потім послідовно (зворотним ходом) виходять значення всіх невідомих. Розглянемо одну з обчислювальних схем. Ця схема називається схемою єдиного поділу. Отже, розглянемо цю схему. Нехай a11 ≠0 (провідний елемент) розділимо на a11 перше рівняння. Отримаємо
(2)
Користуючись рівнянням (2), легко виключити невідомі x 1 з інших рівнянь системи (для цього достатньо від кожного рівняння відняти рівняння (2) попередньо помножене на відповідний коефіцієнт при x 1), тобто на першому кроці отримаємо
.
Іншими словами, на 1 кроці кожен елемент наступних рядків, починаючи з другого, дорівнює різниці між вихідним елементом і добутком його «проекції» на перший стовпець і перший (перетворений) рядок.
Після цього залишивши перше рівняння у спокої, над іншими рівняннями системи, отриманої першому кроці, зробимо аналогічне перетворення: виберемо з їхньої рівняння з провідним елементом і виключимо з його допомогою з інших рівнянь x 2 (крок 2).
Після n кроків замість (1) отримаємо рівносильну систему
(3)
Отже, першому етапі ми отримаємо трикутну систему (3). Цей етап називається прямим перебігом.
На другому етапі (зворотний хід) ми знаходимо послідовно (3) значення x n , x n -1 , …, x 1 .
Позначимо отримане рішення за x0. Тоді різниця ε=b-A·x 0 називається нев'язкою.
Якщо ε=0, то знайдене рішення x0 є вірним.

Обчислення за методом Гауса виконуються у два етапи:

1. Перший етап називається прямим перебігом методу. У першому етапі вихідну систему перетворять до трикутному виду.
2. Другий етап називається зворотним ходом. З другого краю етапі вирішують трикутну систему, еквівалентну вихідної.

Коефіцієнти а 11 22 … називають провідними елементами.
На кожному кроці передбачалося, що провідний елемент відрізняється від нуля. Якщо це не так, то як ведучий можна використовувати будь-який інший елемент, як би переставивши рівняння системи.

Призначення методу Гаусса

Метод Гаусса призначений на вирішення систем лінійних рівнянь. Належить до прямих методів рішення.

Види методу Гауса

1. Класичний метод Гаусса;
2. Модифікації методу Гауса. Однією з модифікацій методу Гаус є схема з вибором головного елемента. Особливістю методу Гауса з вибором головного елемента є така перестановка рівнянь, щоб на k-му кроці провідним елементом виявлявся найбільший за модулем елемент k-го стовпця.
3. Метод Жордано-Гаусса;

Відмінність методу Жордано-Гаусса від класичного методу Гаусаполягає у застосуванні правила прямокутника, коли напрямок пошуку рішення відбувається по головній діагоналі (перетворення до одиничної матриці). У методі Гауса напрям пошуку рішення відбувається по стовпцях (перетворення до системи з трикутною матрицею).
Проілюструємо відмінність методу Жордано-Гауссавід методу Гауса на прикладах.

Приклад рішення методом Гаусса
Вирішимо систему:

Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 2-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го

Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-ий рядок до 1-го

З першого рядка виражаємо x 3:
З другого рядка виражаємо x 2:
З 3-го рядка виражаємо x 1:

Приклад рішення методом Жордано-Гаусса
Цю ж СЛАУ вирішимо методом Жордано-Гаусса.

Послідовно вибиратимемо роздільну здатність елемент РЕ, який лежить на головній діагоналі матриці.
Роздільний елемент дорівнює (1).



НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ
РЕ - роздільна здатність елемент (1), А і В - елементи матриці, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Роздільний елемент дорівнює (3).
На місці роздільного елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Решта всіх елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Роздільний елемент дорівнює (-4).
На місці роздільного елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Решта всіх елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Відповідь: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Реалізація методу Гауса

Метод Гауса реалізований багатьма мовами програмування, зокрема: Pascal, C++, php, Delphi , і навіть є реалізація методу Гауса в онлайн режимі .

Використання методу Гауса

Застосування методу Гауса в теорії ігор

Теоретично ігор при знайденні максимальної оптимальної стратегії гравця складається система рівнянь, яка вирішується шляхом Гаусса.

Застосування методу Гаусса під час вирішення диференціальних рівнянь

Для пошуку приватного рішення диференціального рівняння спочатку знаходять похідні відповідного ступеня для записаного приватного рішення (y=f(A,B,C,D)), які підставляють вихідне рівняння. Далі, щоб знайти змінні A, B, C, Dскладається система рівнянь, що вирішується методом Гаусса.

Застосування методу Жордано-Гаусса у лінійному програмуванні

У лінійному програмуванні, зокрема в симплекс-методі перетворення симплексной таблиці кожної ітерації використовується правило прямокутника, у якому використовується метод Жордано-Гаусса.