Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі. Кутова швидкість та кутове прискорення

У цій статті описується важливий розділ фізики - "Кінематика та динаміка обертального руху".

Основні поняття кінематики обертального руху

Обертальним рухом матеріальної точки навколо нерухомої осі називають такий рух, траєкторією якого є коло, що знаходиться в площині перпендикулярної до осі, а центр лежить на осі обертання.

Обертальний рух твердого тіла - це рух, при якому по концентричних (центри яких лежать на одній осі) колам рухаються всі точки тіла відповідно до правила для обертального руху матеріальної точки.

Нехай довільне тверде тіло T здійснює обертання навколо осі O, яка перпендикулярна до площини малюнка. Виберемо на даному тілі точку M. При обертанні ця точка описуватиме навколо осі O коло радіусом r.

Через деякий час радіус повернеться щодо вихідного положення на кут Δφ.

За позитивний напрямок повороту прийнято напрямок правого гвинта (за годинниковою стрілкою). Зміна кута повороту з часом називається рівнянням обертального руху твердого тіла:

φ = φ(t).

Якщо φ вимірювати в радіанах (1 радий - це кут, що відповідає дузі, довжиною, що дорівнює її радіусу), то довжина дуги кола ΔS, яку пройде матеріальна точка M за час Δt, дорівнює:

ΔS = Δφr.

Основні елементи кінематики рівномірного обертального руху

Мірою переміщення матеріальної точки за невеликий проміжок часу dtслужить вектор елементарного повороту dφ.

Кутова швидкість матеріальної точки або тіла – це фізична величина, яка визначається ставленням вектора елементарного повороту до тривалості цього повороту. Напрямок вектора можна визначити правилом правого гвинта вздовж осі О. У скалярному вигляді:

ω = dφ/dt.

Якщо ω = dφ/dt = const,то такий рух називається рівномірним обертальним рухом. При ньому кутову швидкість визначають за формулою

ω = φ/t.

Згідно з попередньою формулою розмірність кутової швидкості

[ω] = 1 рад/с.

Рівномірне обертальне рух тіла можна описати періодом обертання. Період обертання T - фізична величина, що визначає час, протягом якого тіло навколо осі обертання виконує один повний оборот ([T] = 1 с). Якщо у формулі для кутової швидкості прийняти t = T, φ = 2 π (повний один оберт радіуса r), то

ω = 2π/T,

тому період обертання визначимо так:

T = 2π/ω.

Число оборотів, яке за одиницю часу здійснює тіло, називається частотою обертання ν, яка дорівнює:

ν = 1/T.

Одиниці вимірювання частоти: [ν] = 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Порівнюючи формули для кутової швидкості та частоти обертання, отримаємо вираз, що зв'язує ці величини:

ω = 2πν.

Основні елементи кінематики нерівномірного обертального руху

Нерівномірний обертальний рух твердого тіла чи матеріальної точки навколо нерухомої осі характеризує його кутова швидкість, що змінюється з часом.

Вектор ε , Що характеризує швидкість зміни кутової швидкості, називається вектором кутового прискорення:

ε = dω/dt.

Якщо тіло обертається, прискорюючись, тобто dω/dt > 0, Вектор має напрямок вздовж осі в ту ж сторону, що і ω.

Якщо обертальний рух уповільнений - dω/dt< 0 то вектори ε і ω протилежно спрямовані.

Зауваження. Коли відбувається нерівномірний обертальний рух, вектор може змінюватися не тільки за величиною, а й у напрямку (при повороті осі обертання).

Зв'язок величин, що характеризують поступальний та обертальний рух

Відомо, що довжина дуги з кутом повороту радіуса та його величиною пов'язана співвідношенням

ΔS = Δφ r.

Тоді лінійна швидкість матеріальної точки, що виконує обертальний рух

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормальне прискорення матеріальної точки, що виконує обертально поступальний рух, визначимо так:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Отже, у скалярному вигляді

a = ω 2 r.

Тангенціальна прискорена матеріальна точка, яка виконує обертальний рух

a = r.

Момент імпульсу матеріальної точки

Векторний добуток радіуса-вектора траєкторії матеріальної точки масою m i на її імпульс називається моментом імпульсу цієї точки щодо осі обертання. Напрямок вектора можна визначити, скориставшись правилом правого гвинта.

Момент імпульсу матеріальної точки ( L i) спрямований перпендикулярно до площини, проведеної через r i і υ i , і утворює з ними праву трійку векторів (тобто при русі з кінця вектора r iдо υ i правий гвинт покаже напрям вектора L i).

У скалярній формі

L = m i υ i r i sin (υ i , r i).

Враховуючи, що при русі по колу радіус-вектор і вектор лінійної швидкості для i-ї матеріальної точки взаємно перпендикулярні,

sin(υ i , r i) = 1.

Так що момент імпульсу матеріальної точки для обертального руху набуде вигляду

L = m i υ i r i.

Момент сили, що діє на i-ю матеріальну точку

Векторний добуток радіуса-вектора, який проведений у точку докладання сили, на цю силу називається моментом сили, що діє на i-ю матеріальну точку щодо осі обертання.

У скалярній формі

Mi = r i F i sin (r i , F i).

Вважаючи, що r i sinα = l i ,M i = l i F i.

Величина l i , що дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки обертання на напрямок дії сили, називається плечем сили F i.

Динаміка обертального руху

Рівняння динаміки обертального руху записується так:

M = dL/dt.

Формулювання закону таке: швидкість зміни моменту імпульсу тіла, яке здійснює обертання навколо нерухомої осі, дорівнює результуючого моменту щодо цієї осі всіх зовнішніх сил, прикладених до тіла.

Момент імпульсу та момент інерції

Відомо, що для i-ї матеріальної точки момент імпульсу в скалярній формі задається формулою

L i = m i υ i r i.

Якщо замість лінійної швидкості підставити її вираз через кутову:

υ i = ωr i ,

той вираз для моменту імпульсу набуде вигляду

L i = m i r i 2 ω.

Величина I i = m i r i 2називається моментом інерції щодо осі i-ї матеріальної точки абсолютно твердого тіла, що проходить через його центр мас. Тоді момент імпульсу матеріальної точки запишемо:

L i = I i ω.

Момент імпульсу абсолютно твердого тіла запишемо як суму моментів імпульсу матеріальних точок, що становлять це тіло:

L = I?.

Момент сили та момент інерції

Закон обертального руху свідчить:

M = dL/dt.

Відомо, що уявити момент імпульсу тіла можна за момент інерції:

L = I?.

M = Id/dt.

Враховуючи, що кутове прискорення визначається виразом

ε = dω/dt,

отримаємо формулу для моменту сили, поданого через момент інерції:

M = I?.

Зауваження.Момент сили вважається позитивним, якщо кутове прискорення, яким він викликаний, більше за нуль, і навпаки.

Теорема Штейнер. Закон складання моментів інерції

Якщо вісь обертання тіла через центр ваги його не проходить, то щодо цієї осі можна знайти його момент інерції по теоремі Штейнера:
I = I 0 + ma 2

де I 0- Початковий момент інерції тіла; m- маса тіла; a- Відстань між осями.

Якщо система, яка здійснює оберти округу нерухомої осі, складається з nтіл, то сумарний момент інерції такого типу системи дорівнюватиме сумі моментів, її складових (закон складання моментів інерції).

Це рух, коли всі точки тіла рухаються по колам, центри яких лежать на осі обертання.

Положення тіла визначається двогранним кутом (кутом повороту).

 = (t) – рівняння руху.

Кінематичні характеристики тіла:

- Кутова швидкість, з -1;

- Кутове прискорення, з -2.

Величини  і  можна подати у вигляді векторів
, розташовані на осі обертання, напрям вектор таке, що з його кінця обертання тіла видно тим, що відбувається проти годинникової стрілки. Напрям Зівпадає з , якщо >про.

П оподаткуванняточки тіла: M 0 M 1 = S = h.

Швидкістькрапки
; при цьому
.

звідки
;
;
.

Прискоренняточки тіла
‑ обертальне прискорення (у кінематиці точки – дотичне ‑ ):
- Застережне прискорення (у кінематиці точки - нормальне - ).

Модулі:
;
;

.

Рівномірне та рівнозмінне обертання

1. Рівномірне:  = const,
;
;
- Рівняння руху.

2. Рівноперемінне:  = const,
;
;
;
;
- Рівняння руху.

2). Механічний привід складається з шківа 1, ременя 2 та ступінчастих коліс 3 і 4. Знайти швидкість рейки 5, а також прискорення точки M в момент часу t 1 = 1с. Якщо кутова швидкість шківа дорівнює 1 = 0,2t, з -1; R1 = 15; R3 = 40; r 3 = 5; R4 = 20; r 4 = 8 (у сантиметрах).

Швидкість рейки

;

;
;
.

Звідки
;
;
, з 1 .

З (1) і (2) отримаємо, див.

Прискорення точки M.

з -2 при t 1 = 1 с; a = 34,84 см/с2.

3.3 Плоскопаралельний (плоский) рух твердого тіла

Е той рух, при якому всі точки тіла рухаються в площинах, паралельних до деякої нерухомої площини.

Усі точки тіла на будь-якій прямій, перпендикулярній нерухомій площині рухаються однаково. Тому аналіз плоского руху тіла зводиться до дослідження руху плоскої фігури (перетин S) у її площині (xy).

Цей рух можна представити як сукупність поступального руху разом із деякою довільнообраною точкою а, званою полюсом, і обертальний рух навколо полюса.

Рівняння рухуплоскої фігури

x а = x a (t); у а = у а; j = j(t)

Кінематичні характеристикики плоскої фігури:

- швидкість та прискорення полюса; w, e – кутова швидкість та кутове прискорення (не залежать від вибору полюса).

У рівняння руху будь-якої точкиплоскої фігури (B) можна отримати, проектуючи векторну рівність
на осіx і у

x 1 B, y 1 B - координати точки в системі координат, пов'язаної з фігурою.

Визначення швидкостей точок

1). Аналітичний спосіб.

Знаючи рівняння руху x n = x n (t); y n = y n (t), знаходимо
;
;
.

2). Теорема про розподіл швидкостей.

Д іференціюючи рівність
, отримаємо
,

- швидкість точки B при обертанні плоскої фігури навколо полюса A;
;

Формула розподілу швидкостей точок плоскої фігури
.

З швидкість крапки M колеса, що котиться без ковзання

;
.

3). Теорема про проекції швидкостей.

Проекції швидкостей двох точок тіла на вісь, що проходить через ці точки, рівні. Проектуючи рівність
на вісьx, маємо

П рімер

Визначити швидкість натікання води v Н на кермо корабля, якщо відомі (Швидкість центру тяжкості судна), b і b K (кути дрейфу).

Рішення: .

4). Миттєвий центр швидкостей (МЛС).

Швидкість точок при плоскому русі тіла можна визначати за формулами обертального руху, використовуючи поняття МЦС.

МЦС - точка, пов'язана з плоскою фігурою, швидкість якої в даний час дорівнює нулю (v p = 0).

У випадку МЦС - точка перетину перпендикулярів до напрямів швидкостей двох точок фігури.

Приймаючи точку P за полюс, маємо для довільної точки

тоді

Звідки
- кутова швидкість фігури та
,Тобто. Швидкості точок плоскої фігури пропорційні їх відстаням до МЦС.

Можливі випадки знаходження МЦС
			Качення без ковзання
		МЦС - у нескінченності

Випадок відповідає миттєво поступальному розподілу швидкостей.

1). Для заданого положення механізму знайти v B , v C , v D , w 1 , w 2 , w 3 якщо в даний момент v A = 20 см / с; BC = CD = 40 см; OC = 25 см; R = 20 див.

Рішення МЦС ковзанка 1 - точка P 1:

з 1 ;
см/с.

МЦС ланки 2 - точка P 2 перетину перпендикулярів до напрямків швидкостей точок B і C:

з 1 ;
см/с;
см/с;
з 1 .

2). Вантаж Q піднімається за допомогою ступінчастого барабана 1, кутова швидкість якого w 1 = 1 -1 ; R 1 = 3r 1 = 15 см; AE || BD. Визначити швидкість v C осі рухомого блоку 2.

Знаходимо швидкості точок A і B:

v A = v E = w 1* R 1 = 15 см/с; v B = v D = w 1 * r 1 = 5 см/с.

MЦС блоку 2 - точка P. Тоді
, звідки
;
;
см/с.

Поступальнимназивається такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, незмінно пов'язана з цим тілом, залишається паралельною до свого початкового положення.

Теорема. При поступальному русі твердого тіла всі його точки описують однакові траєкторії і кожен даний момент мають рівні за модулем і напрямом швидкості і прискорення.

Доведення. Проведемо через дві точки і , поступово рухомого тіла відрізок
і розглянемо рух цього відрізка у положенні
. При цьому крапка описує траєкторію
, а крапка - Траєкторію
(Рис. 56).

Враховуючи, що відрізок
переміщається паралельно самому собі, і довжина його не змінюється, можна встановити, що траєкторії точок і будуть однакові. Отже, першу частину теореми доведено. Визначатимемо положення точок і векторним способом щодо нерухомого початку координат . При цьому ці радіуси – вектори залежить від
. Так як. ні довжина, ні напрямок відрізка
не змінюється при русі тіла, то вектор

. Переходимо до визначення швидкостей залежно (24):

, отримуємо
.

Переходимо до визначення прискорень залежно (26):

, отримуємо
.

З доведеної теореми випливає, що поступальний рух тіла буде цілком визначено, якщо відомий рух тільки однієї точки. Тому вивчення поступального руху твердого тіла зводиться до вивчення руху однієї точки, тобто. до задачі кінематики точки.

Тема 11. Обертальний рух твердого тіла

обертальнимназивається такий рух твердого тіла, при якому дві його точки залишаються нерухомими за весь час руху. При цьому пряма, що проходить через ці дві нерухомі точки, називається віссю обертання.

Кожна точка тіла, що не лежить на осі обертання, описує при такому русі коло, площина якого перпендикулярна до осі обертання, і центр її лежить на цій осі.

Проводимо через вісь обертання нерухому площину I і рухливу площину II, незмінно пов'язану з тілом і обертається разом з ним (рис. 57). Положення площини II, відповідно і всього тіла, стосовно площині I у просторі, цілком визначаться кутом . При обертанні тіла навколо осі цей кут є безперервною та однозначною функцією часу. Отже, знаючи закон зміни цього кута з часом, ми зможемо визначити положення тіла у просторі:

- закон обертального руху тіла. (43)

При цьому вважатимемо, що кут відраховується від нерухомої площини в напрямку зворотного руху годинникової стрілки, якщо дивитися з позитивного кінця осі . Так як положення тіла, що обертається навколо нерухомої осі, визначається одним параметром, то кажуть, що таке тіло має одну міру свободи.

Кутова швидкість

Зміна кута повороту тіла з часом називається кутовий швидкістю тіла і позначається
(омега):

.(44)

Кутова швидкість так само, як і лінійна швидкість, є векторна величина, і цей вектор будують на осі обертання тіла. Він прямує вздовж осі обертання в той бік, щоб, дивлячись з кінця на його початок, бачити обертання тіла проти ходу годинникової стрілки (рис. 58). Модуль цього вектора визначається залежністю (44). Точку програми на осі можна вибирати довільно, тому що вектор можна переносити вздовж лінії його дії. Якщо позначити орт-вектор осі обертання через , то отримаємо векторний вираз кутової швидкості:

. (45)

Кутове прискорення

Швидкість зміни кутової швидкості тіла з часом називається кутовим прискоренням тіла і позначається (епсілон):

. (46)

Кутове прискорення є векторна величина, і цей вектор будують на осі обертання тіла. Він прямує вздовж осі обертання в той бік, щоб, дивлячись з його кінця на його початок, бачити напрямок обертання епсілон проти ходу годинникової стрілки (рис. 58). Модуль цього вектора визначається залежністю (46). Точку програми на осі можна вибирати довільно, тому що вектор можна переносити вздовж лінії його дії.

Якщо позначити орт-вектор осі обертання через , то отримаємо векторний вираз кутового прискорення:

. (47)

Якщо кутові швидкість та прискорення одного знака, то тіло обертається прискорено, а якщо різного – уповільнено. Приклад уповільненого обертання показано на рис. 58.

Розглянемо окремі випадки обертального руху.

1. Рівномірне обертання:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Рівноперемінне обертання:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Зв'язок лінійних та кутових параметрів

Розглянемо рух довільної точки
тіла, що обертається. При цьому траєкторія руху точки буде коло, радіуса.
, розташована в площині перпендикулярної осі обертання (рис. 59, а).

Допустимо, що в момент часу точка знаходиться в положенні
. Припустимо, що тіло обертається у позитивному напрямі, тобто. у напрямку зростання кута . У момент часу
точка займе становище
. Позначимо дугу
. Отже, за проміжок часу
точка пройшла шлях
. Її середня швидкість , а при
,
. Але з рис. 59, б, видно що
. Тоді. Остаточно отримуємо

. (50)

Тут - Лінійна швидкість точки
. Як було раніше, ця швидкість спрямовано по дотичній до траєкторії у цій точці, тобто. по дотичній до кола.

Таким чином, модуль лінійної (окружної) швидкості точки тіла, що обертається, дорівнює добутку абсолютного значення кутової швидкості на відстань від цієї точки до осі обертання.

Тепер зв'яжемо лінійні складові прискорення крапки з кутовими параметрами.

,
. (51)

Модуль дотичного прискорення точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку кутового прискорення тіла на відстань від цієї точки до осі обертання.

,
. (52)

Модуль нормального прискорення точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку квадрата кутової швидкості тіла на відстань від точки до осі обертання.

Тоді вираз для повного прискорення точки набуває вигляду

. (53)

Напрямки векторів ,,показані на малюнку 59, в.

Плоским рухомтвердого тіла називається такий рух, при якому всі точки тіла переміщуються паралельно до деякої нерухомої площини. Приклади такого руху:

Рух будь-якого тіла, основа якого ковзає по цій нерухомій площині;

Качення колеса по прямолінійній ділянці колії (рейки).

Отримаємо рівняння плоского руху. Для цього розглянемо плоску фігуру, що рухається у площині листа (рис. 60). Віднесемо цей рух до нерухомої системи координат
, а з самою фігурою зв'яжемо рухливу систему координат
яка переміщається разом з нею.

Очевидно, що положення фігури, що рухається, на нерухомій площині визначається положенням рухомих осей
щодо нерухомих осей
. Таке положення визначається положенням рухомого початку координат , тобто. координатами ,та кутом повороту , рухомий системи координат, щодо нерухомої, який відраховуватимемо від осі у напрямку зворотного руху годинникової стрілки.

Отже, рух плоскої фігури у її площині буде цілком визначено, якщо для кожного моменту часу будуть відомі значення ,,, тобто. рівняння виду:

,
,
. (54)

Рівняння (54) є рівняннями плоского руху твердого тіла, тому що якщо ці функції відомі, то для кожного моменту часу можна з цих рівнянь знайти відповідно ,,, тобто. визначити положення фігури, що рухається в даний момент часу.

Розглянемо окремі випадки:

1.

, Тоді рух тіла буде поступальним, оскільки рухливі осі переміщаються, залишаючись паралельними своєму початковому положенню.

2.

,

. При такому русі змінюється лише кут повороту , тобто. тіло буде обертатися щодо осі, що проходить перпендикулярно до площини малюнка через точку. .

Розкладання руху плоскої фігури на поступальне та обертальне

Розглянемо два послідовні положення і
, які займає тіло у моменти часу і
(Рис. 61). Тіло зі становища у становище
можна перенести в такий спосіб. Перенесемо спочатку тіло поступально. При цьому відрізок
переміститься паралельно самому собі у становище
, а потім повернемтіло навколо точки (полюса) на кут
до збігу точок і .

Отже, будь-який плоский рух можна представити як суму поступального руху разом з обраним полюсом та обертального руху, щодо даного полюса.

Розглянемо методи, за допомогою яких можна визначити швидкість точок тіла, що здійснює плоский рух.

1. Метод полюса. Цей метод ґрунтується на отриманому розкладанні плоского руху на поступальний та обертальний. Швидкість будь-якої точки плоскої фігури можна представити у вигляді двох складових: поступальної, зі швидкістю рівної швидкості довільно обраної точки –полюса і обертальної навколо цього полюса.

Розглянемо плоске тіло (рис. 62). Рівняння руху мають вигляд:
,
,
.

Визначаємо з цих рівнянь швидкість точки (як при координатному способі завдання)

,
,
.

Таким чином, швидкість точки - Величина відома. Приймаємо цю точку за полюс та визначимо швидкість довільної точки
тіла.

Швидкість
складатиметься з поступальної складової , під час руху разом з точкою , і обертальної
, при обертанні точки
щодо точки . Швидкість точки перенесемо в крапку
паралельно самої собі, тому що при поступальному русі швидкості всіх точок рівні як за величиною, так і за напрямом. Швидкість
визначиться залежно (50)
, і спрямований цей вектор перпендикулярно до радіусу.
за напрямом обертання
. Вектор
буде направлено по діагоналі паралелограма, побудованого на векторах і
, а його модуль визначитись залежністю:

, .(55)

2. Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла.

Проекції швидкостей двох точок твердого тіла на пряму, що з'єднує ці точки, дорівнюють між собою.

Розглянемо дві точки тіла і (Рис. 63). Приймаючи крапку за полюс, визначимо напрям за залежністю (55):
. Проектуємо цю векторну рівність на лінію
і, враховуючи, що
перпендикулярно
, отримуємо

3. Миттєвий центр швидкостей.

Миттєвим центром швидкостей(МЛС) називається точка, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю.

Покажемо, що коли тіло рухається не поступально, то така точка в кожний момент часу існує і єдина. Нехай у момент часу крапки і тіла, що лежать у перерізі , мають швидкості і , Не паралельні один одному (рис. 64). Тоді точка
, що лежить на перетині перпендикулярів до векторів. і , і буде МЦС, оскільки
.

Справді, якщо припустити, що
, то по теоремі (56), вектор
повинен бути одночасно перпендикулярний
і
, що неможливо. З цієї ж теореми видно, що жодна інша точка перерізу у цей час не може мати швидкість рівну нулю.

Застосовуючи метод полюса
- полюс, визначимо швидкість точки (55):, т.к.
,
. (57)

Аналогічний результат можна отримати будь-якої іншої точки тіла. Отже, швидкість будь-якої точки тіла дорівнює її обертальній швидкості щодо МЦС:

,
,
, тобто. швидкості точок тіла пропорційні їх відстаням до МЛС.

З розглянутих трьох способів визначення швидкостей точок плоскої фігури видно, що кращим є МЦС, так як швидкість відразу визначається як по модулю, так і за напрямом однієї складової. Однак цей спосіб можна застосовувати, якщо нам відомий, або ми можемо визначити для тіла положення МЦС.

Визначення положення МЦС

1. Якщо нам відомі для цього положення тіла напрямки швидкостей двох точок тіла, то МЦС буде точкою перетину перпендикулярів до цих векторів швидкостей.

2. Швидкості двох точок тіла антипаралельні (рис. 65, а). І тут перпендикуляр до швидкостей буде загальним, тобто. МЦС знаходиться десь на цьому перпендикулярі. Щоб визначити положення МЦС, треба з'єднати кінці векторів швидкостей. Точка перетину цієї лінії з перпендикуляром буде шуканим МЛС. У разі МЦС перебуває між цими двома точками.

3. Швидкості двох точок тіла паралельні, але не рівні за величиною (рис.65, б). Процедура отримання МЦС аналогічна до описаної в пункті 2.

г) Швидкості двох точок дорівнюють як за величиною, так і за напрямом (рис.65, в). Отримуємо випадок миттєво поступального руху, у якому швидкості всіх точок тіла рівні. Отже, кутова швидкість тіла в даному положенні дорівнює нулю:

4. Визначимо МЦС для колеса, що котиться без ковзання по нерухомій поверхні (рис. 65, г). Так як рух відбувається без ковзання, то в точці контакту колеса з поверхнею швидкість буде однакова і дорівнює нулю, оскільки поверхня нерухома. Отже, точка контакту колеса з нерухомою поверхнею буде МЦС.

Визначення прискорень точок плоскої фігури

Під час визначення прискорень точок плоскої фігури простежується аналогія з методами визначення швидкостей.

1. Метод полюса. Так само, як і при визначенні швидкостей, приймаємо за полюс довільну точку тіла, прискорення якої нам відомо, або ми можемо визначити. Тоді прискорення будь-якої точки плоскої фігури дорівнює сумі прискорень полюса та прискорення у обертальному русі навколо цього полюса:

При цьому складова
визначає прискорення точки при її обертанні навколо полюса . При обертанні траєкторія руху точки буде криволінійною, отже
(Рис. 66).

Тоді залежність (58) набуває вигляду
. (59)

Враховуючи залежності (51) та (52), отримуємо
,
.

2. Миттєвий центр прискорень.

Миттєвим центром прискорень(МЦУ) називається точка, прискорення якої в даний момент часу дорівнює нулю.

Покажемо, що в кожний момент часу така точка існує. Приймаємо за полюс точку , прискорення якої
нам відомо. Знаходимо кут , що лежить в межах
і задовольняє умові
. Якщо
, то
і навпаки, тобто. кут відкладається у напрямку . Відкладемо від крапки під кутом до вектору
відрізок
(Рис. 67). Отримана такими побудовами точка
буде МЦУ.

Справді, прискорення точки
одно сумі прискорень
полюса та прискорення
у обертальному русі навколо полюса :
.

,
. Тоді
. З іншого боку, прискорення
утворює з напрямком відрізка
кут
, який задовольняє умову
. Знак мінус поставлений перед тангенсом кута , оскільки обертання
щодо полюса проти ходу годинникової стрілки, а кут
відкладається по ходу годинникової стрілки. Тоді
.

Отже,
і тоді
.

Окремі випадки визначення МЦУ

1.
. Тоді
, і, отже, МЦУ немає. І тут тіло рухається поступально, тобто. швидкості та прискорення всіх точок тіла рівні.

2.
. Тоді
,
. Отже, МЦУ лежить перетині ліній дії прискорень точок тіла (рис.68, а).

3.
. Тоді,
,
. Отже, МЦУ лежить на перетині перпендикулярів до прискорення точок тіла (рис.68, б).

4.
. Тоді
,

. Значить, МЦУ лежить на перетині променів, проведених до прискорення точок тіла під кутом (Рис.68, в).

З розглянутих окремих випадків можна зробити висновок: якщо прийняти крапку
за полюс, то прискорення будь-якої точки плоскої фігури визначиться прискоренням у обертовому русі навколо МЦП:

. (60)

Складним рухом точкиназивається такий рух, у якому точка одночасно бере участь у двох чи більше рухах. При такому русі положення точки визначають щодо рухомої та відносно нерухомої систем відліку.

Рух точки щодо рухомої системи відліку називається відносним рухом точки . Параметри відносного руху умовимося позначати
.

Рух тієї точки рухомої системи відліку, з якою в даний момент збігається точка, що рухається відносно нерухомої системи відліку, називається переносним рухом точки . Параметри переносного руху умовимося позначати
.

Рух точки щодо нерухомої системи відліку називається абсолютним (складним) рухом точки . Параметри абсолютного руху умовимося позначати
.

Як приклад складного руху, можна розглянути рух людини в транспорті, що рухається (трамвай). У цьому випадку рух людини віднесено до рухомої системи координат – трамваю та до нерухомої системи координат – землі (дорозі). Тоді, виходячи з даних вище визначень, рух людини щодо трамвая – відносно, рух разом із трамваєм щодо землі – переносний, а рух людини щодо землі – абсолютний.

Визначатимемо положення точки
радіусами – векторами щодо рухомої
та нерухомий
систем координат (рис. 69). Введемо позначення: - радіус-вектор, що визначає положення точки
щодо рухомої системи координат
,
;- радіус-вектор, що визначає положення початку рухомої системи координат (точки ) (точки );- радіус – вектор, що визначає положення точки
щодо нерухомої системи координат
;
,.

Отримаємо умови (обмеження), що відповідають відносному, переносному та абсолютному рухам.

1. При розгляді відносного руху вважатимемо, що точка
переміщається щодо рухомої системи координат
а сама рухлива система координат
щодо нерухомої системи координат
не переміщується.

Тоді координати точки
будуть змінюватися у відносному русі, а орт-вектори рухомої системи координат змінюватися за напрямом не будуть:

,

,

.

2. При розгляді переносного руху будемо вважати, що координати точки
по відношенню до рухомої системи координат зафіксовані, і точка переміщається разом з рухомою системою координат
відносно нерухомий
:

,

,

,.

3. За абсолютного руху точка рухається і відносно
і разом із системою координат
відносно нерухомий
:

Тоді вирази для швидкостей, з урахуванням (27), мають вигляд

,
,

Порівнюючи ці залежності, отримуємо вираз для абсолютної швидкості:
. (61)

Отримали теорему про складання швидкостей точки у складному русі: абсолютна швидкість точки дорівнює геометричній сумі відносної та переносної складових швидкості.

Використовуючи залежність (31), отримуємо вирази для прискорень:

,

Порівнюючи ці залежності, отримуємо вираз для абсолютного прискорення:
.

Отримали, що абсолютне прискорення точки не дорівнює геометричній сумі відносної та переносної складових прискорень. Визначимо складову абсолютного прискорення, що стоїть у дужках, для окремих випадків.

1. Переносний рух точки поступальний
. В цьому випадку осі рухомої системи координат
переміщуються постійно паралельно самим собі, тоді.

,

,

,
,
,
тоді
. Остаточно отримуємо

. (62)

Якщо переносний рух точки поступальний, то абсолютне прискорення точки дорівнює геометричній сумі відносної та переносної складової прискорення.

2. Переносний рух точки непоступальний. Отже, у разі рухлива система координат
обертається навколо миттєвої осі обертання з кутовою швидкістю (Мал. 70). Позначимо точку на кінці вектора через . Тоді, використовуючи векторний спосіб завдання (15), отримуємо вектор швидкості цієї точки
.

З іншого боку,
. Прирівнюючи праві частини цих векторних рівностей, отримуємо:
. Поступаючи аналогічно, для інших орт векторів, отримуємо:
,
.

У загальному випадку абсолютне прискорення точки дорівнює геометричній сумі відносної та переносної складової прискорення плюс подвоєний векторний добуток вектора кутової швидкості переносного руху вектор лінійної швидкості відносного руху.

Подвоєний векторний добуток вектора кутової швидкості переносного руху на вектор лінійної швидкості відносного руху називається прискоренням Коріоліса і позначається

. (64)

Прискорення Коріоліса характеризує зміну відносної швидкості переносного руху і зміна переносної швидкості відносного руху.

Вирушає
за правилом векторного твору. Вектор прискорення Коріоліса завжди спрямований перпендикулярно до площини, яку утворюють вектора. і , таким чином, щоб, дивлячись з кінця вектора
, бачити поворот до через найменший кут, проти ходу годинникової стрілки.

Модуль прискорення Коріоліса дорівнює.

Кінематика твердого тіла

На відміну від кінематики точки в кінематиці твердих тіл вирішуються дві основні задачі:

Завдання руху та визначення кінематичних характеристик тіла в цілому;

Визначення кінематичних характеристик точок тіла.

Способи завдання та визначення кінематичних характеристик залежить від типів руху тіл.

У цьому посібнику розглядаються три типи руху: поступальний, обертальний навколо нерухомої осі та плоско-паралельний рух твердого тіла

Поступальний рух твердого тіла

Поступальним називають рух, при якому пряма, проведена через дві точки тіла, залишається паралельною до її початкового положення (рис.2.8).

Доведено теорему: при поступальному русі всі точки тіла рухаються однаковими траєкторіями і мають у кожний момент часу однакові за модулем і напрямом швидкості і прискорення (рис.2.8).

Висновок: Поступальний рух твердого тіла визначається рухом будь-якої його точки, у зв'язку з чим завдання та вивчення його руху зводиться до кінематики точки.

Мал. 2.8 Мал. 2.9

Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.

Обертальним навколо нерухомої осі називають рух твердого тіла, при якому дві точки, що належать тілу, залишаються нерухомими протягом усього часу руху.

Положення тіла визначається кутом повороту (рис.2.9). Одиниця виміру кута – радіан. (Радіан - центральний кут кола, довжина дуги якого дорівнює радіусу, повний кут кола містить 2 радіани.)

Закон обертального руху тіла довкола нерухомої осі = (t). Кутову швидкість та кутове прискорення тіла визначимо методом диференціювання

Кутова швидкість, рад/с; (2.10)

Кутове прискорення, рад/с 2 (2.11)

При обертальному русі тіла навколо нерухомої осі його точки, що не лежать на осі обертання, рухаються навколо з центром на осі обертання.

Якщо розсікти тіло площиною перпендикулярної осі, вибрати на осі обертання крапку Зі довільну точку М,то крапка Мбуде описувати навколо точки Зколо радіусу R(Рис. 2.9). За час dtвідбувається елементарний поворот на кут, при цьому крапка Мздійснить переміщення вздовж траєкторії на відстань. Визначимо модуль лінійної швидкості:

Прискорення точки Мпри відомій траєкторії визначається за його складовими, див.(2.8)

Підставляючи у формули вираз (2.12) отримаємо:

де: - тангенціальне прискорення,

Нормальне прискорення.

Плоско - паралельний рух твердого тіла

Плоскопаралельним називається рух твердого тіла, при якому всі його точки переміщуються в площинах, паралельних одній нерухомій площині (рис.2.10). Для вивчення руху тіла достатньо вивчити рух одного перерізу Sцього тіла площиною, паралельною нерухомій площині. Рух перерізу Sу своїй площині можна розглядати як складне, що складається з двох елементарних рухів: а) поступального та обертального; б) обертального щодо рухомого (миттєвого) центру.

У першому варіантірух перерізу може бути заданий рівняннями руху однієї його точки (полюса) та обертанням перерізу навколо полюса (рис.2.11). Як полюс може бути прийнята будь-яка точка перерізу.

Мал. 2.10 Мал. 2.11

Рівняння руху запишуться у вигляді:

ХА = Х А (t)

Y А = Y А (t) (2.14)

А = А (t)

Кінематичні характеристики полюса визначають із рівнянь його руху.

Швидкість будь-якої точки плоскої фігури, що рухається у своїй площині, складається зі швидкості полюса (довільно обраної в перерізі точки А) та швидкості обертального руху навколо полюса (обертання точки Унавколо точки А).

Прискорення точки плоскої фігури, що рухається складається з прискорення полюса щодо нерухомої системи відліку і прискорення за рахунок обертального руху навколо полюса.

У другому варіантірух перерізу розглядається як обертальний навколо рухомого (миттєвого) центру P(Рис.1.12). У цьому випадку швидкість будь-якої точки перетину визначатиметься за формулою для обертального руху

Кутова швидкість навколо миттєвого центру Рможе бути визначена якщо відома швидкість якоїсь точки перерізу, наприклад точки А.

Рис.2.12

Положення миттєвого центру обертання може бути визначене на підставі таких властивостей:

Вектор швидкості точки перпендикулярний радіусу;

Модуль швидкості точки пропорційний відстані від точки до центру обертання ( V= R) ;

Швидкість у центрі обертання дорівнює нулю.

Розглянемо деякі випадки визначення становища миттєвого центру.

1. Відомі напрямки швидкостей двох точок плоскої фігури (рис.2.13). Проведемо лінії радіусів. Миттєвий центр обертання Р знаходиться на перетині перпендикулярів, проведених до векторів швидкостей.

2. Швидкості точок А і В відомі, причому вектори і паралельні один одному, а лінія АВперпендикулярна (рис. 2.14). В цьому випадку миттєвий центр обертання лежить на лінії АВ. Для його знаходження проведемо лінію пропорційності швидкостей на підставі залежності V= R.

3. Тіло котиться без ковзання по нерухомій поверхні іншого тіла (рис.2.15). Точка торкання тіл на даний момент має нульову швидкість у той час, як швидкості інших точок тіла не дорівнюють нулю. Крапка торкання Р буде миттєвим центром обертання.

Мал. 2.13 Мал. 2.14 Мал. 2.15

Крім розглянутих варіантів, швидкість точки перерізу може бути визначена на підставі теореми про проекції швидкостей двох точок твердого тіла.

Теорема: проекції швидкостей двох точок твердого тіла на пряму, проведену через ці точки, рівні між собою та однаково спрямовані.

Доказ: відстань АВзмінюватися не може, отже,

VА cos не може бути більше чи менше VУ cos (рис.2.16).

Мал. 2.16

Висновок: V А cos = V У cos. (2.19)

Складний рух точки

У попередніх параграфах розглядався рух точки щодо нерухомої системи відліку, так званий абсолютний рух. У практиці зустрічаються завдання, у яких відомий рух точки щодо системи координат, що рухається щодо нерухомої системи. При цьому необхідно визначити кінематичні характеристики точки щодо нерухомої системи.

Прийнято називати: рух точки щодо рухомої системи відносним, рух точки разом із рухомою системою - переносним, рух точки щодо нерухомої системи - абсолютним. Відповідно називають швидкості та прискорення:

Відносні; - переносні; -Абсолютні.

Відповідно до теореми про складання швидкостей абсолютна швидкість точки дорівнює векторній сумі відносної та переносної швидкостей (рис.).

Абсолютне значення швидкості визначається за теоремою косінусів

Рис.2.17

Прискорення за правилом паралелограма визначається тільки при поступальному переносному русі

При непоступальному переносному русі утворюється третя складова прискорення, зване поворотним чи кориолисовым.

Коріолісове прискорення чисельно одно

де - кут між векторами та

Напрямок вектора прискорення коріолісового зручно визначати за правилом Н.Є. Жуковського: вектор спроектувати на площину, перпендикулярну до осі переносного обертання, проекцію повернути на 90 градусів у бік переносного обертання. Отриманий напрямок буде відповідати напрямку прискорення коріолісового.

Запитання для самоконтролю по розділу

1. У чому полягають основні завдання кінематики? Назвіть кінематичні характеристики.

2. Назвіть способи завдання руху точки та визначення кінематичних характеристик.

3. Дайте визначення поступального, обертального навколо нерухомої осі, плоскопаралельного руху тіла.

4. Як задається рух твердого тіла за поступального, обертального навколо нерухомої осі та плоскопаралельного руху тіла і як визначається швидкість і прискорення точки при цих рухах тіла?

Кут повороту, кутова швидкість та кутове прискорення

Обертанням твердого тіла навколо нерухомої осіназивається таке його рух, у якому дві точки тіла залишаються нерухомими протягом усього часу руху. При цьому також залишаються нерухомими всі точки тіла, розташовані на прямій, що проходить через нерухомі точки. Ця пряма називається віссю обертання тіла.

Якщо Аі У- Нерухомі точки тіла (рис. 15 ), то віссю обертання є вісь Oz,яка може мати у просторі будь-який напрямок, не обов'язково вертикальний. Один напрямок осі Ozприймається за позитивне.

Через вісь обертання проведемо нерухому площину П оі рухливу П,скріплену з тілом, що обертається. Нехай у початковий час обидві площини збігаються. Тоді в момент часу tположення рухомої площини і тіла, що обертається, можна визначити двогранним кутом між площинами і відповідним лінійним кутом φ між прямими, розташованими в цих площинах та перпендикулярними осі обертання. Кут φ називається кутом повороту тіла.

Положення тіла щодо обраної системи відліку повністю визначається будь-якою

момент часу, якщо задано рівняння φ =f(t) (5)

де f(t)- Будь-яка, двічі диференційована функція часу. Це рівняння називають рівнянням обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.

У тіла, що робить обертання навколо нерухомої осі, один ступінь свободи, так як його положення визначається завданням тільки одного параметра - кута φ .

Кут φ вважається позитивним, якщо він відкладається проти годинникової стрілки, і негативним - у протилежному напрямку, якщо дивитися з позитивного спрямування осі Oz.Траєкторії точок тіла при його обертанні навколо нерухомої осі є колами, розташованими в площинах, перпендикулярних осі обертання.

Для характеристики обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі введемо поняття кутової швидкості та кутового прискорення. Алгебраїчною кутовою швидкістю тілау будь-який момент часу називають першу похідну за часом від кута повороту на цей момент, тобто. dφ/dt = φ.Вона є величиною позитивною при обертанні тіла проти годинникової стрілки, так як кут повороту зростає з плином часу, і негативною - при обертанні тіла за годинниковою стрілкою, тому що кут повороту при цьому зменшується.

Модуль кутової швидкості позначають ω. Тоді ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Розмірність кутової швидкості встановлюємо відповідно до (6)

[ω] = кут/час = рад/с = з -1.

У техніці кутова швидкість - це частота обертання, виражена в оборотах за хвилину. За 1 хв. тіло повернеться на кут 2πп,якщо п- Число оборотів за хвилину. Розділивши цей кут на число секунд за хвилину, отримаємо: (7)

Алгебраїчним кутовим прискоренням тіланазивають першу похідну за часом від швидкості алгебри, тобто. другу похідну від кута повороту d 2 φ/dt 2 = ω. Модуль кутового прискорення позначимо ε тоді ε=|φ| (8)

Розмірність кутового прискорення отримуємо з (8):

[ε ] = кутова швидкість/час = рад/с 2 = с -2

Якщо φ’’>0 при φ’>0 , то алгебраїчна кутова швидкість зростає з плином часу і, отже, тіло обертається прискорено в даний момент часу в позитивну сторону (проти годинникової стрілки). При φ’’<0 і φ’<0 тіло обертається прискорено у негативну сторону. Якщо φ’’<0 при φ’>0 , то маємо уповільнене обертання на позитивний бік. При φ’’>0 і φ’<0 , тобто. сповільнене обертання відбувається у негативну сторону. Кутову швидкість та кутове прискорення на малюнках зображують дуговими стрілками навколо осі обертання. Дугова стрілка для кутової швидкості вказує напрямок обертання тіл;

Для прискореного обертання дугові стрілки для кутової швидкості та кутового прискорення мають однакові напрями для уповільненого – їх напрямки протилежні.

Окремі випадки обертання твердого тіла

Обертання називають рівномірним, якщо ω=const, φ= φ’t

Обертання буде рівнозмінним, якщо ε=const. φ’= φ’ 0 + φ’’t та

У загальному випадку, якщо φ’’ НЕ постійно,

Швидкості та прискорення точок тіла

Відоме рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої осі φ= f(t)(Рис.16). Відстань sкрапки Му рухомій площині Ппо дузі кола (траєкторії точки), що відраховується від точки М о,розташованої в нерухомій площині, що виражається через кут φ залежністю s = hφ, де h-радіус кола, яким переміщається точка. Він є найкоротшим відстанню від точки Мдо осі обертання. Його іноді називають радіусом обертання крапки. У кожної точки тіла радіус обертання залишається незмінним під час обертання тіла навколо нерухомої осі.

Алгебраїчну швидкість точки Мвизначаємо за формулою v τ =s'=hφМодуль швидкості точки: v=hω(9)

Швидкості точок тіла при обертанні навколо нерухомої осі пропорційні їх найкоротшим відстаням до осі.Коефіцієнтом пропорційності є кутова швидкість. Швидкості точок спрямовані по дотичних до траєкторій і, отже, перпендикулярні до радіусів обертання. Швидкості точок тіла, розташованих на відрізку прямої ОМ,відповідно (9) розподілені за лінійним законом. Вони взаємно паралельні, і їхні кінці розташовуються на одній прямій через вісь обертання. Прискорення точки розкладаємо на дотичну та нормальну складові, тобто. a=a τ +a nτДотичне та нормальне прискорення обчислюються за формулами (10)

так як для кола радіус кривизни р = h(Рис. 17 ). Таким чином,

Дотичні, нормальні та повні прискорення точок, як і швидкості, розподілені також за лінійним законом. Вони лінійно залежать від відстані точок до осі обертання. Нормальне прискорення спрямоване радіусом кола до осі обертання. Напрямок дотичного прискорення залежить від алгебраїчного кутового прискорення знака. При φ’>0 і φ’’>0 або φ’<0 і φ’<0 маємо прискорене обертання тіла та напрямки векторів a τі vзбігаються. Якщо φ’ і φ’" мають різні знаки (уповільнене обертання), то a τі vспрямовані протилежно один до одного.

Позначивши α кут між повним прискоренням крапки та її радіусом обертання, маємо

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

оскільки нормальне прискорення а пзавжди позитивно. Кут адля всіх точок тіла той самий. Відкладати його слід від прискорення до радіуса обертання у напрямку дугової стрілки кутового прискорення незалежно від напрямку обертання твердого тіла.

Вектори кутової швидкості та кутового прискорення

Введемо поняття векторів кутової швидкості та кутового прискорення тіла. Якщо До- одиничний вектор осі обертання, спрямований на її позитивний бік, то вектори кутової швидкості ώ та кутового прискорення ε визначають виразами (12)

Так як k-постійний за модулем і напрямом вектор, то з (12) випливає, що

ε=dώ/dt(13)

При φ’>0 і φ’’>0 напрямки векторів ώ і ε збігаються. Вони обидва спрямовані у позитивний бік осі обертання Oz(Рис. 18. а) Якщо φ’>0 і φ’’<0 , Вони направлені в протилежні сторони (рис.18.б ). Вектор кутового прискорення збігається у напрямку з вектором кутової швидкості при прискореному обертанні та протилежний йому при уповільненому. Вектори ώ і ε можна зображати у будь-яких точках осі обертання. Вони є ковзними векторами. Ця їхня властивість випливає з векторних формул для швидкостей та прискорень точок тіла.

Складний рух точки

Основні поняття

Для вивчення деяких, більш складних видів рухів твердого тіла доцільно розглянути найпростіший рух точки. У багатьох завданнях рух точки доводиться розглядати щодо двох (і більше) систем відліку, що рухаються одна щодо одної. Так, рух космічного корабля, що рухається до Місяця, потрібно розглядати одночасно і щодо Землі та щодо Місяця, що рухається щодо Землі. Будь-який рух точки можна вважати складним, що складається з кількох рухів. Наприклад, рух корабля по річці щодо Землі можна вважати складним, що складається з руху по воді та разом із поточною водою.

У найпростішому випадку складний рух точки складається із відносного та переносного рухів. Визначимо ці рухи. Нехай маємо дві системи відліку, що рухаються одна щодо одної. Якщо одну з цих систем O l x 1 y 1 z 1(Рис. 19 ) прийняти за основну чи нерухому (її рух щодо інших систем відліку не розглядається), то друга система відліку Oxyzбуде рухатися щодо першої. Рух точки щодо рухомої системи відліку Oxyzназивається відносним.Характеристики цього руху, такі як траєкторія, швидкість і прискорення, називаються відносними.Їх позначають індексом r; для швидкості та прискорення v r, a r.Рух точки щодо основної або нерухомої системної системи відліку O 1 x 1 y 1 z 1називається абсолютним(або складним ). Його також іноді називають складовимрухом. Траєкторія, швидкість та прискорення цього руху називаються абсолютними. Швидкість та прискорення абсолютного руху позначають буквами v, aбез індексів.

Переносним рухом точки називають рух, який вона здійснює разом з рухомою системою відліку, як точка, жорстко скріплена з цією системою в даний час. Внаслідок відносного руху точка, що рухається, в різні моменти часу збігається з різними точками тіла. S,з яким скріплено рухому систему відліку. Переносною швидкістю та переносним прискоренням є швидкість та прискорення тієї точки тіла S,з якою в даний момент збігається точка, що рухається. Переносні швидкість та прискорення позначають v e, а е.

Якщо траєкторії всіх точок тіла S,скріпленого з рухомою системою відліку, зобразити на малюнку (рис. 20), то отримаємо сімейство ліній - сімейство траєкторій переносного руху точки М.Внаслідок відносного руху точки Му кожний момент часу вона знаходиться на одній із траєкторій переносного руху. Крапка Мможе збігатися тільки з однією точкою кожної траєкторії цього сімейства переносних траєкторій. У зв'язку з цим іноді вважають, що траєкторій переносного руху немає, оскільки доводиться вважати траєкторіями переносного руху лінії, у яких лише одна точка фактично є точкою траєкторії.

У кінематиці точки вивчалося рух точки щодо будь-якої системи відліку незалежно від цього, рухається ця система відліку щодо інших систем чи ні. Доповнимо це вивчення розглядом складного руху, що в найпростішому випадку складається з відносного та переносного. Один і той же абсолютний рух, вибираючи різні рухливі системи відліку, вважатимуться що з різних переносних і відносних рухів.

Складання швидкостей

Визначимо швидкість абсолютного руху точки, якщо відомі швидкості відносного та переносного рухів цієї точки. Нехай точка здійснює тільки одне, відносне рух по відношенню до рухомої системи відліку Oxyz і в момент часу t займає на траєкторії відносного руху положення М (рис 20). У момент часу t+ t внаслідок відносного Руху точка опиниться в положенні М 1 здійснивши переміщення ММ 1 по траєкторії відносного руху. Припустимо, що точка бере участь Oxyzі відносною траєкторією вона переміститься по деякій кривій на ММ 2.Якщо точка бере участь одночасно і в відносному і переносному рухах, то за час А; вона переміститься на ММ"по траєкторії абсолютного руху та в момент часу t+Atзайме становище М".Якщо час Atмало і надалі переходять до межі при At,що прагне до нуля, то малі переміщення по кривих можна замінити відрізками хорд і прийняти їх за вектори переміщень. Складаючи векторні переміщення, отримуємо

У цьому відношенні відкинуті малі величини вищого порядку, які прагнуть нуля при At,що прагне до нуля. Переходячи до межі, маємо (14)

Отже, (14) набуде форми (15)

Отримано так звану теорему складання швидкостей: швидкість абсолютного руху точки дорівнює векторній сумі швидкостей переносного та відносного рухів цієї точки.Так як у загальному випадку швидкості переносного та відносного рухів не перпендикулярні, то (15')

Подібна інформація.