Sự định nghĩa. Một điểm ở vô cực trong mặt phẳng phức được gọi là điểm kỳ dị bị cô lập hàm phân tích đơn giá trị f(z), nếu ngoài vòng tròn bán kính nào đó R,

những thứ kia. vì, không có điểm kỳ dị cuối cùng của hàm f(z).

Để nghiên cứu hàm ở một điểm vô cùng xa, chúng tôi thực hiện thay đổi
Hàm số

sẽ có một điểm kỳ dị ζ = 0 và điểm này sẽ bị cô lập, vì

bên trong vòng tròn
không có điểm kỳ lạ nào khác theo giả định. Đang phân tích trong này

vòng tròn (ngoại trừ ζ = 0), hàm
có thể được mở rộng trong một chuỗi Laurent về quyền hạn ζ . Sự phân loại được mô tả trong đoạn trước được giữ nguyên hoàn toàn.

Tuy nhiên, nếu chúng ta quay trở lại biến ban đầu z, sau đó chuỗi theo lũy thừa dương và âm z'hoán đổi' vị trí. Những thứ kia. sự phân loại các điểm ở vô cực sẽ như thế này:

Các ví dụ. 1.
. Chấm z = tôi - cực của bậc 3.

2.
. Chấm z = ∞ là một điểm kỳ dị cần thiết.

§ mười tám. Phần dư của một hàm phân tích tại một điểm kỳ dị biệt lập.

Hãy để ý z 0 là một điểm kỳ dị biệt lập của một hàm phân tích có giá trị đơn

f(z). Theo lời kể trước đó, ở khu vực lân cận của điểm này f(z) có thể được đại diện duy nhất bởi một chuỗi Laurent:
ở đâu

Sự định nghĩa.khấu trừ chức năng phân tích f(z) tại một điểm kỳ dị biệt lập z 0

được gọi là một số phức bằng giá trị của tích phân
, được thực hiện theo chiều dương dọc theo bất kỳ đường bao khép kín nào nằm trong vùng phân tích của hàm và chứa bên trong nó điểm kỳ dị duy nhất z 0 .

Phần cặn được ký hiệu bằng ký hiệu Res [f(z),z 0 ].

Dễ dàng nhận thấy rằng lượng dư tại điểm kỳ dị thông thường hoặc di động đều bằng không.

Tại một cực hoặc một điểm kỳ dị cần thiết, lượng dư bằng hệ số Với-1 hàng Laurent:

.

Thí dụ. Tìm phần dư của một hàm
.

(Để dễ dàng nhận thấy rằng

hệ số Với-1 sẽ nhận được bằng cách nhân các số hạng với N= 0: res [ f(z),tôi ] =
}

Thường có thể tính toán phần dư của các hàm một cách đơn giản hơn. Hãy để chức năng f(z) đã bao gồm. z 0 là một cực bậc nhất. Trong trường hợp này, khai triển của hàm trong một chuỗi Laurent có dạng (§16):. Chúng tôi nhân đẳng thức này với (z - z 0) và chuyển đến giới hạn tại
. Kết quả là, chúng tôi nhận được: Res [ f(z),z 0 ] =
Có, trong

trong ví dụ cuối cùng, chúng tôi có Res [ f(z),tôi ] =
.

Để tính lượng dư ở các cực bậc cao hơn, hãy nhân hàm

trên
(m- thứ tự của cực) và phân biệt chuỗi kết quả ( m − 1 lần.

Trong trường hợp này chúng ta có: Res [ f(z),z 0 ]

Thí dụ. Tìm phần dư của một hàm
tại điểm z = −1.

{Res [ f(z), −1] }

Nếu một số dãy hội tụ thành một số hữu hạn a, thì chúng ta viết
.
Trước đó, chúng tôi đã giới thiệu các chuỗi lớn vô hạn được xem xét. Chúng tôi chấp nhận rằng chúng là hội tụ và biểu thị giới hạn của chúng bằng các ký hiệu và. Những biểu tượng này đại diện cho điểm ở vô cực. Chúng không thuộc tập hợp các số thực. Nhưng khái niệm giới hạn cho phép người ta đưa ra các điểm như vậy và cung cấp một công cụ để nghiên cứu các tính chất của chúng với sự trợ giúp của các số thực.

Sự định nghĩa
điểm vô cực, hoặc vô hạn không dấu, là giới hạn mà một dãy số lớn vô hạn có xu hướng.
điểm ở vô cực cộng với vô cực, là giới hạn mà một dãy số lớn vô hạn có các số hạng dương có xu hướng hướng tới.
điểm ở vô cực trừ đi vô cực, là giới hạn mà một chuỗi lớn vô hạn có các số hạng âm có xu hướng.

Đối với bất kỳ số thực a nào, các bất đẳng thức sau đây là:
;
.

Sử dụng số thực, chúng tôi đã giới thiệu khái niệm vùng lân cận của một điểm ở vô cực.
Vùng lân cận của một điểm là tập hợp.
Cuối cùng, vùng lân cận của điểm là tập hợp.
Ở đây M là một số thực lớn tùy ý.

Như vậy, chúng ta đã mở rộng tập hợp các số thực bằng cách đưa các phần tử mới vào đó. Về vấn đề này, định nghĩa sau đây diễn ra:

Dãy số mở rộng hoặc tập hợp số thực mở rộngđược gọi là tập hợp các số thực, được bổ sung bởi các phần tử và:
.

Đầu tiên, chúng tôi viết ra các thuộc tính mà các điểm và có. Tiếp theo, chúng ta xem xét câu hỏi về một định nghĩa toán học chặt chẽ của các phép toán cho những điểm này và việc chứng minh các tính chất này.

Tính chất của điểm ở vô cùng

Tổng và Chênh lệch.
; ;
; ;

Cơ quan và tư nhân.
; ; ;
;
;
; ; .

Kết nối với số thực.
Cho a là một số thực tùy ý. sau đó
; ;
; ; ; .
Hãy để một > 0 . sau đó
; ; .
Hãy để một < 0 . sau đó
; .

Hoạt động không xác định.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Chứng minh tính chất của điểm ở vô cùng

Định nghĩa các phép toán

Chúng tôi đã đưa ra các định nghĩa cho các điểm ở vô cùng. Bây giờ chúng ta phải xác định các phép toán cho chúng. Vì chúng ta đã xác định các điểm này theo trình tự, các phép toán trên các điểm này cũng phải được xác định theo trình tự.

Vì thế, tổng của hai điểm
c = a + b
thuộc tập hợp số thực mở rộng,
,
chúng tôi sẽ gọi là giới hạn
,
ở đâu và các trình tự tùy ý có giới hạn
và .

Các phép toán trừ, nhân và chia được định nghĩa theo cách tương tự. Chỉ, trong trường hợp chia, các phần tử ở mẫu số của phân số không được bằng không.
Sau đó, sự khác biệt của hai điểm:
là giới hạn:.
Chấm sản phẩm:
là giới hạn:.
Riêng tư:
là giới hạn:.
Đây và là các dãy tùy ý có giới hạn tương ứng là a và b. Trong trường hợp sau,.

Chứng minh tài sản

Để chứng minh tính chất của điểm ở vô cùng, ta cần sử dụng tính chất của dãy lớn vô hạn.

Xem xét một tài sản:
.
Để chứng minh điều đó, chúng ta phải chứng minh rằng
,

Nói cách khác, chúng ta cần chứng minh rằng tổng của hai dãy hội tụ đến cộng vô cùng thì hội tụ đến cộng vô cùng.

1 các bất đẳng thức sau đây là:
;
.
Sau đó cho và chúng tôi có:
.
Để cho . sau đó
tại ,
ở đâu .
Điều này có nghĩa rằng .

Các thuộc tính khác được chứng minh theo cách tương tự. Để làm ví dụ, chúng tôi trình bày thêm một bằng chứng nữa.

Hãy chứng minh rằng:
.
Để làm được điều này, chúng ta phải chỉ ra rằng
,
ở đâu và là các chuỗi tùy ý, với các giới hạn và.

Nghĩa là, chúng ta cần chứng minh rằng tích của hai dãy lớn vô hạn là một dãy lớn vô hạn.

Hãy chứng minh điều đó. Vì và, do đó có một số hàm và, để cho bất kỳ số dương nào M 1 các bất đẳng thức sau đây là:
;
.
Sau đó cho và chúng tôi có:
.
Để cho . sau đó
tại ,
ở đâu .
Điều này có nghĩa rằng .

Hoạt động không xác định

Một số phép toán với các điểm ở vô cùng không được xác định. Để chỉ ra tính không xác định của chúng, chúng ta cần đưa ra một vài trường hợp đặc biệt khi kết quả của phép toán phụ thuộc vào sự lựa chọn của các trình tự có trong chúng.

Hãy xem xét hoạt động này:
.
Dễ dàng chỉ ra rằng nếu và, thì giới hạn của tổng các trình tự phụ thuộc vào sự lựa chọn của các trình tự và.

Thật vậy, chúng ta hãy lấy. Giới hạn của các chuỗi này là bằng nhau. Giới hạn số tiền

là bằng vô cùng.

Bây giờ chúng ta hãy lấy. Giới hạn của các chuỗi này cũng bằng nhau. Nhưng giới hạn tổng của chúng

bằng không.

Nghĩa là, với điều kiện là và, giá trị của giới hạn tổng có thể nhận các giá trị khác nhau. Do đó, hoạt động không được xác định.

Theo cách tương tự, có thể chỉ ra độ không đảm bảo của các hoạt động còn lại được trình bày ở trên.

điểm vô cực.

Hãy để hàm được giải tích trong một số vùng lân cận của một điểm vô cùng xa (ngoại trừ chính điểm đó). Họ nói rằng đó làđiểm kỳ dị có thể tháo rời, cực hoặc điểm kỳ dị cần thiếtchức năng tùy thuộc vàohữu hạn, vô hạn hoặc không tồn tại .

Hãy để và sau đó được phân tích trong một số vùng lân cận của điểm. Sau đó sẽ là một điểm kỳ dị cùng loại với for. Sự mở rộng Laurent trong vùng lân cận có thể đạt được bằng một sự thay đổi đơn giản trong sự mở rộng Laurent trong vùng lân cận. Nhưng với cách thay thế như vậy thì linh kiện chính xác được thay thế bằng main và ngược lại. Như vậy, công bằng

Định lý 1. Trong trường hợp điểm kỳ dị di động tại một điểm ở vô cùng, khai triển Laurent của một hàm trong vùng lân cận của điểm này hoàn toàn không chứa lũy thừa dương, trong trường hợp cựcchứa một số lượng hữu hạn trong số chúng, và trong trường hợptính năng thiết yếu - vô hạn.

Nếu có tại một điểm có thể tháo rời tính năng, người ta thường nói rằng nóphân tích ở vô cùngvà chấp nhận. Trong trường hợp này, rõ ràng hàm cũng bị giới hạn trong một số vùng lân cận của điểm.

Để hàm được giải tích trong không gian đầy đủ. Từ phân tích của một hàm tại một điểm ở vô cùng, nó theo sau rằng nó bị giới hạn trong một vùng lân cận của điểm này; để ở. Mặt khác, phép phân tích trong một vòng tròn khép kín bao hàm sự giới hạn của nó trong vòng tròn này; để nó vào. Nhưng sau đó hàm bị giới hạn trong toàn bộ mặt phẳng: cho tất cả những gì chúng ta có. Do đó, định lý Liouvillecó thể được đưa ra các hình thức sau đây.

Định lý 2. Nếu một hàm là giải tích trong mặt phẳng đầy đủ, thì nó là hằng số.

Bây giờ hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệmdư lượng ở vô cùng. Hãy để hàm được giải tích trong một số vùng lân cận của một điểm (có lẽ ngoại trừ chính điểm này); Dướisuy diễn hàm ở vô cùng hiểu biết

đâu là một vòng tròn đủ lớn đi ngang theo chiều kim đồng hồ (sao cho vòng tròn của điểm vẫn ở bên trái).

Trực tiếp từ định nghĩa này rằng phần dư của một hàm ở vô cùng bằng với hệ số của tại trong khai triển Laurent của nó trong vùng lân cận của một điểm, được lấy với dấu ngược lại:

Định lý 3. Nếu một hàm có một số hữu hạn điểm kỳ dị trong mặt phẳng đầy đủ, thì tổng tất cả các phần dư của nó, bao gồm phần dư ở vô cùng, bằng không.

Bằng chứng. Thật vậy, hãy a 1,… a n cuối các điểm kỳ dị của hàm và - vòng tròn chứa tất cả chúng bên trong. Theo tính chất của tích phân, định lý phần dư và định nghĩa phần dư tại một điểm vô cùng xa, chúng ta có:

Ch.t.d.

Các ứng dụng của lý thuyết dư vào việc tính tích phân.

Hãy để nó được yêu cầu để tính tích phân của một hàm thực trên một số đoạn (hữu hạn hoặc vô hạn) ( a, b) trục x. Phần bổ sung (a, b ) một số đường cong kết hợp với ( a, b ) miền và tiếp tục về mặt phân tích.

Chúng tôi áp dụng định lý phần dư cho sự tiếp tục giải tích đã xây dựng:

(1)

Nếu tích phân trên có thể được tính toán hoặc biểu diễn dưới dạng tích phân mong muốn, thì bài toán tính toán được giải quyết.

Trong trường hợp phân đoạn vô hạn ( a, b ) thường xem xét các họ đường bao tích hợp mở rộng vô hạn, được xây dựng theo cách mà kết quả của việc vượt qua giới hạn, chúng ta nhận được tích phân qua a, b ). Trong trường hợp này, không thể tính tích phân trong quan hệ (1) mà chỉ có thể tìm thấy giới hạn của nó, thường là bằng không.

Sau đây là rất hữu ích.

Bổ đề (Jordan). Nếu trên một số chuỗi cung tròn, (, một cố định) chức năng có xu hướng bằng 0 đồng nhất đối với

. (2)

Bằng chứng. Chứng tỏ

Theo các điều kiện của bổ đề, cũng có xu hướng bằng không, và Hãy a> 0; trên các cung AB và CD ta có.

Do đó, tích phân trên cung A B C D có xu hướng bằng không lúc.

Vì bất đẳng thức có giá trị cho nên trên cung THÌ LÀ Ở

Do đó, và do đó cũng có xu hướng bằng không tại. Nếu trên vòng cung CE Nếu góc cực được đếm theo chiều kim đồng hồ, thì ước tính tương tự sẽ thu được. Trong trường hợp bằng chứng được đơn giản hóa, vì sẽ là dư thừa để ước tính tích phân trên các cung AB và CD. Bổ đề được chứng minh.

Nhận xét 1. Chuỗi các cung tròn trong bổ đề có thể được thay thế gia đình vòng cung

sau đó, nếu hàm tại có xu hướng bằng 0 đồng nhất so với thì đối với

. (3)

Bằng chứng vẫn có giá trị.

Nhận xét 2. Hãy thay đổi biến: iz = p , sau đó các cung của các đường tròn của bổ đề được thay thế bằng các cung và chúng ta nhận được điều đó cho bất kỳ hàm nào F (p ) có xu hướng về 0 đồng nhất đối với và đối với bất kỳ số dương nào t

. (4)

Thay p trong (4) bằng (-p ) chúng tôi nhận được điều đó trong cùng một điều kiện cho

, (5)

đâu là cung của một đường tròn (xem hình).

Xem xét các ví dụ về tính tích phân.

Ví dụ 1. .

Hãy chọn một chức năng bổ trợ. Tại vì hàm trên thỏa mãn bất đẳng thức, sau đó nó đồng nhất có xu hướng bằng 0, và theo bổ đề Jordan, như

Vì chúng ta có theo định lý phần dư

Trong giới hạn tại, chúng tôi nhận được:

Tách các phần thực và sử dụng tính chẵn lẻ của hàm, chúng tôi thấy

Ví dụ 2. Để tính tích phân

Hãy sử dụng một chức năng trợ giúp. Đường bao tích hợp bỏ qua điểm kỳ dị z = 0. Theo định lý Cauchy

Có thể thấy từ bổ đề Jordan rằng Để ước tính, hãy xem xét sự mở rộng Laurent trong vùng lân cận của điểm z = 0

thường xuyên ở điểm nào z = 0 chức năng. Từ đây rõ ràng là

Do đó, định lý Cauchy có thể được viết lại thành

Thay thế trong tích phân đầu tiên x trên x , chúng tôi hiểu rằng nó bằng nhau, vì vậy chúng tôi có

Trong giới hạn ở và cuối cùng:

. (7)

Ví dụ 3. Tính tích phân

Chúng tôi giới thiệu một chức năng phụ trợ và chọn đường bao tích hợp giống như trong ví dụ trước. Bên trong đường bao này, logarit thừa nhận việc lựa chọn một nhánh có giá trị duy nhất. Hãy biểu thị nhánh được xác định bởi bất đẳng thức. Chức năng có ở điểm z = tôi cực bậc hai có dư lượng

Theo Định lý Rút gọn.

Tại, bắt đầu từ một số đủ lớn R , Do đó, .

Tương tự, để bắt đầu từ một số r, do đó

Trong tích phân đầu tiên sau khi thay thế z = -x ta nhận được:

và do đó, trong giới hạn chúng tôi có:

So sánh phần thực và phần ảo sẽ cho:

, .

Ví dụ 4. Đối với tích phân

chọn một chức năng phụ trợ và đường bao được hiển thị trong hình. Bên trong đường viền là rõ ràng, nếu chúng ta giả định rằng.

Ở bờ trên và bờ dưới của hình cắt, bao gồm trong đường bao này, lấy các giá trị và do đó, tương ứng, các tích phân triệt tiêu lẫn nhau, giúp tính tích phân cần thiết. Bên trong đường bao có hai cực của hàm số bậc nhất có dư tương ứng bằng:

ở đâu. Áp dụng định lý dư, ta được:

Theo như trên, chúng ta có:

Cũng giống như trong ví dụ trước, chúng tôi sẽ chứng minh rằng, và sau đó trong giới hạn, chúng tôi sẽ có:

Từ đây, so sánh các phần tưởng tượng, chúng tôi nhận được:

Ví dụ 5. Tính giá trị chính của một tích phân đặc biệt

Hãy chọn một chức năng phụ trợ và mạch điện được hiển thị trong hình. Bên trong đường viền, hàm đều đặn. Ở bờ dưới của mặt cắt dọc theo bán trục dương. Như vậy, theo định lý Cauchy:

(8).

Rõ ràng là với và với. Cùng với đó, chúng tôi có tương ứng và, nơi thay đổi từ 0 đến và từ đến tương ứng. Do đó,

Vượt qua (8) đến giới hạn tại, do đó chúng tôi đạt được

khi tích phân mong muốn bằng

Ví dụ 6. Tính tích phân

Hãy xem xét một chức năng. Hãy cắt giảm*) .

Để cho. Khi đi xung quanh một con đường đã đóng ngược chiều kim đồng hồ (xem hình vẽ, đường chấm chấm) và nhận được giá trị gia tăng,

do đó, arg f (z) = ( 1 +2  2 ) / 3 cũng được tăng dần. Do đó, ở bên ngoài của hình cắt, hàm chia thành 3 nhánh thông thường, khác nhau ở sự lựa chọn phần tử ban đầu của hàm, tức là giá trị tại một số thời điểm.

Chúng ta sẽ xem xét nhánh của hàm, nhánh trên của đường cắt (-1,1) nhận các giá trị dương và lấy đường bao,

___________________

*) Trên thực tế, hai vết cắt đã được thực hiện: và, tuy nhiên, trên trục x ở bên phải điểm x = 1 hàm là liên tục: ở trên hình cắt, ở dưới hình cắt.

được mô tả trong bản vẽ. Trên ngân hàng tôi có, tức là , trên ngân hàng II (sau khi đi vòng quanh điểm z = 1 theo chiều kim đồng hồ) (tức là), tức là , trong khi các tích phân trên các vòng tròn và rõ ràng có xu hướng bằng không**) tại. Do đó, theo định lý Cauchy cho phép nhân các miền liên thông

Để tính toán, chúng tôi sử dụng sự mở rộng của nhánh 1 / trong vùng lân cận của điểm ở vô cùng. Chúng tôi lấy gốc từ dưới dấu hiệu, sau đó chúng tôi nhận được, ở đâu và là các nhánh của các hàm này, dương trên đoạn (1,) của trục thực.

trên một đoạn của trục thực. Khai triển sau theo công thức nhị thức:

chúng ta tìm thấy phần dư của nhánh đã chọn 1 / tại một điểm vô cùng xa: (hệ số tại 1 / z cùng dấu). Nhưng tích phân bằng với phần dư này nhân với, tức là cuối cùng chúng ta cũng có nơi

Ví dụ 7. Xét tích phân.

__________________

**) Ví dụ, hãy xem xét tích phân hơn. Chúng tôi có, tức là

Giả sử sau đó,

Bên trong vòng tròn, tích phân có một cực II đặt hàng trừ

Theo định lý dư, chúng ta có

Ví dụ 8. Tương tự, ta tính tích phân

Sau khi thay thế, chúng tôi có:

Một trong những cực của tích phân nằm bên trong vòng tròn đơn vị, và cực kia - bên ngoài nó, bởi vì theo tính chất của căn của phương trình bậc hai, và theo điều kiện, những căn này là thực và khác nhau. Do đó, theo định lý dư

(9)

cực bên trong vòng tròn ở đâu. Tại vì phía bên phải của (9) là thực, sau đó nó cho tích phân mong muốn

Sự định nghĩa
Vùng lân cận của điểm thực x 0 Bất kỳ khoảng mở nào chứa điểm này được gọi là:
.
Đây ε 1 và ε 2 là các số dương tùy ý.

Epsilon - vùng lân cận của điểm x 0 được gọi là tập hợp các điểm, khoảng cách từ đó đến điểm x 0 nhỏ hơn ε:
.

Vùng lân cận bị thủng của điểm x 0 được gọi là vùng lân cận của điểm này, từ đó bản thân điểm x đã bị loại trừ 0 :
.

Điểm cuối vùng lân cận

Ngay từ đầu, định nghĩa về vùng lân cận của một điểm đã được đưa ra. Nó được chỉ định là. Nhưng bạn có thể chỉ định rõ ràng rằng một vùng lân cận phụ thuộc vào hai số bằng cách sử dụng các đối số thích hợp:
(1) .
Tức là, một vùng lân cận là một tập hợp các điểm thuộc một khoảng mở.

Bằng nhau ε 1 đến ε 2 , chúng tôi nhận được epsilon - vùng lân cận:
(2) .
Epsilon - một vùng lân cận - là một tập hợp các điểm thuộc một khoảng mở với các đầu mút cách đều nhau.
Tất nhiên, ký tự epsilon có thể được thay thế bằng bất kỳ ký tự nào khác và chúng ta có thể xem xét δ - vùng lân cận, σ - vùng lân cận, v.v.

Trong lý thuyết giới hạn, người ta có thể sử dụng định nghĩa lân cận dựa trên cả tập (1) và tập (2). Sử dụng bất kỳ vùng lân cận nào trong số này cho kết quả tương đương (xem). Nhưng định nghĩa (2) đơn giản hơn, do đó, nó là epsilon thường được sử dụng - vùng lân cận của một điểm được xác định từ (2).

Các khái niệm về vùng lân cận thuận tay trái, thuận tay phải và vùng lân cận của điểm cuối cũng được sử dụng rộng rãi. Chúng tôi trình bày các định nghĩa của họ.

Vùng lân cận bên trái của một điểm thực x 0 là khoảng nửa mở nằm trên trục thực bên trái của x 0 , bao gồm cả chính dấu chấm:
;
.

Vùng lân cận bên phải của một điểm thực x 0 là khoảng nửa mở nằm ở bên phải của x 0 , bao gồm cả chính dấu chấm:
;
.

Vùng lân cận có điểm cuối bị thủng

Các vùng lân cận bị thủng của điểm x 0 là các vùng lân cận giống nhau, từ đó điểm chính nó bị loại trừ. Chúng được xác định bằng một vòng tròn phía trên chữ cái. Chúng tôi trình bày các định nghĩa của họ.

Vùng lân cận bị thủng của điểm x 0 :
.

Epsilon bị thủng - vùng lân cận của điểm x 0 :
;
.

Vùng lân cận bên trái bị thủng:
;
.

Vùng lân cận bên tay phải bị thủng:
;
.

Vùng lân cận của các điểm ở vô cực

Cùng với các điểm cuối, các vùng lân cận của các điểm ở vô cực cũng được giới thiệu. Chúng đều bị thủng vì không có số thực ở vô cùng (ở vô cùng được định nghĩa là giới hạn của một dãy số lớn vô hạn).

.
;
;
.

Có thể xác định vùng lân cận của các điểm vô cùng xa và như vậy:
.
Nhưng thay vì M, chúng ta sử dụng, để một vùng lân cận có ε nhỏ hơn là một tập con của vùng lân cận có ε lớn hơn, giống như đối với vùng lân cận của các điểm cuối.

tài sản hàng xóm

Tiếp theo, chúng ta sử dụng thuộc tính hiển nhiên của vùng lân cận của một điểm (hữu hạn hoặc ở vô cùng). Nó nằm trong thực tế rằng các vùng lân cận của các điểm có giá trị nhỏ hơn của ε là các tập con của các vùng lân cận có giá trị lớn hơn của ε. Chúng tôi trình bày các công thức nghiêm ngặt hơn.

Để có một điểm hữu hạn hoặc xa vô hạn. Để nó đi .
sau đó
;
;
;
;
;
;
;
.

Các khẳng định ngược cũng đúng.

Sự tương đương của các định nghĩa về giới hạn của một hàm theo Cauchy

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng trong định nghĩa giới hạn của một hàm theo Cauchy, người ta có thể sử dụng cả vùng lân cận tùy ý và vùng lân cận có các đầu mút cách đều nhau.

Định lý
Định nghĩa Cauchy về giới hạn của một hàm sử dụng các vùng lân cận và vùng lân cận tùy ý với các đầu mút cách đều nhau là tương đương nhau.

Bằng chứng

Hãy xây dựng định nghĩa đầu tiên về giới hạn của một hàm.
Số a là giới hạn của hàm tại một điểm (hữu hạn hoặc vô cùng) nếu đối với bất kỳ số dương nào tồn tại các số phụ thuộc và, sao cho tất cả, thuộc vùng lân cận tương ứng của điểm a:
.

Hãy xây dựng định nghĩa thứ hai về giới hạn của một hàm.
Số a là giới hạn của hàm tại điểm, nếu với bất kỳ số dương nào thì tồn tại một số tùy thuộc vào, sao cho với tất cả:
.

Chứng minh 1 ⇒ 2

Hãy chứng minh rằng nếu số a là giới hạn của hàm số theo định nghĩa thứ nhất thì nó cũng là giới hạn của hàm số theo định nghĩa thứ hai.

Hãy để định nghĩa đầu tiên giữ vững. Điều này có nghĩa là có những chức năng như vậy và, vì vậy, đối với bất kỳ số dương nào, những điều sau đây là:
ở đâu .

Vì các số và là tùy ý, chúng tôi đánh đồng chúng:
.
Sau đó, có các chức năng và để cho bất kỳ lưu giữ nào sau đây:
ở đâu .

Thông báo rằng .
Cho là số dương nhỏ nhất và. Sau đó, như đã nói ở trên,
.
Nếu, sau đó.

Đó là, chúng tôi đã tìm thấy một hàm như vậy, sao cho bất kỳ điều nào sau đây là đúng:
ở đâu .
Điều này có nghĩa là số a là giới hạn của hàm và theo định nghĩa thứ hai.

Chứng minh 2 ⇒ 1

Hãy chứng minh rằng nếu số a là giới hạn của hàm số theo định nghĩa thứ 2 thì nó cũng là giới hạn của hàm số theo định nghĩa thứ nhất.

Hãy để định nghĩa thứ hai giữ nguyên. Lấy hai số dương và. Và hãy để là nhỏ nhất trong số họ. Sau đó, theo định nghĩa thứ hai, có một hàm như vậy, sao cho bất kỳ số dương nào và với tất cả, nó tuân theo
.

Nhưng theo. Do đó, từ những gì sau đây,
.

Sau đó, đối với bất kỳ số dương nào và, chúng tôi đã tìm thấy hai số, vì vậy đối với tất cả:
.

Điều này có nghĩa là số a cũng là giới hạn theo định nghĩa đầu tiên.

Định lý đã được chứng minh.

Người giới thiệu:
L.D. Kudryavtsev. Khóa học về phân tích toán học. Tập 1. Matxcova, 2003.

Chúng tôi đã xác định vùng lân cận của điểm này là mặt ngoài của các vòng tròn có tâm tại điểm gốc: U (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Chấm z = ∞ là một điểm kỳ dị biệt lập của hàm giải tích w = f (z ) nếu không có điểm kỳ lạ nào khác của hàm này trong một số vùng lân cận của điểm này. Để xác định loại điểm kỳ dị này, chúng tôi thực hiện một thay đổi của biến, trong khi điểm z = ∞ đi vào vấn đề z 1 = 0, hàm w = f (z ) có dạng . Loại điểm số ít z = ∞ hàm w = f (z ) chúng tôi sẽ gọi loại điểm kỳ dị z 1 = 0 tính năng w = φ (z một). Nếu sự mở rộng của hàm w = f (z ) theo độ z trong vùng lân cận của điểm z = ∞, tức là cho các giá trị mô đun đủ lớn z , có dạng, sau đó, thay thế z trên, chúng tôi nhận được. Do đó, dưới sự thay đổi của biến như vậy, các phần chính và thông thường của chuỗi Laurent được hoán đổi cho nhau, và loại điểm kỳ dị z = ∞ được xác định bởi số số hạng trong phần đúng của khai triển hàm trong chuỗi Laurent theo lũy thừa z trong vùng lân cận của điểm z = 0. Do đó
1 điểm z = ∞ là một điểm kỳ dị có thể di chuyển được nếu không có phần chính quy trong phần mở rộng này (có thể ngoại trừ thuật ngữ Một 0);
2. Điểm z = ∞ - cực N -thứ tự, nếu phần đúng kết thúc bằng một số hạng Một · z n ;
3. Điểm z = ∞ là một điểm số ít cần thiết nếu phần chính quy chứa vô hạn số hạng.

Đồng thời, các dấu hiệu của các loại điểm số ít theo giá trị vẫn có giá trị: nếu z= ∞ là một điểm kỳ dị có thể di chuyển được, thì giới hạn này tồn tại và là hữu hạn nếu z= ∞ - cực, thì giới hạn này là vô hạn nếu z= ∞ về cơ bản là một điểm kỳ dị, thì giới hạn này không tồn tại (không hữu hạn cũng không vô hạn).

Ví dụ: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Hàm đã là một đa thức trong lũy ​​thừa z , mức độ cao nhất là mức thứ sáu, vì vậy z
Kết quả tương tự có thể thu được theo một cách khác. Hãy thay thế z trên, sau đó . Đối với chức năng φ (z 1) chấm z 1 = 0 là cực bậc sáu, vì vậy đối với f (z ) chấm z = ∞ là một cực bậc sáu.
2.. Đối với chức năng này, hãy mở rộng quyền hạn z khó, vì vậy chúng tôi thấy: ; giới hạn tồn tại và hữu hạn, vì vậy điểm z
3.. Phần bên phải của việc mở rộng quyền lực z chứa vô số điều khoản, vì vậy z = ∞ là một điểm kỳ dị cần thiết. Nếu không, thực tế này có thể được thiết lập dựa trên thực tế là nó không tồn tại.

Hàm dư tại điểm kỳ dị vô cùng xa.

Đối với điểm kỳ dị cuối một , ở đâu γ - một đường bao không chứa ngoài một , các điểm kỳ dị, đi ngang qua sao cho vùng bị giới hạn bởi nó và chứa điểm kỳ dị vẫn ở bên trái (ngược chiều kim đồng hồ).

Hãy định nghĩa nó theo cách tương tự: , trong đó Γ - là một đường bao giới hạn một vùng lân cận như vậy U (∞, r ) điểm z = ∞, không chứa các điểm kỳ lạ khác và có thể đi qua để vùng lân cận này vẫn ở bên trái (tức là theo chiều kim đồng hồ). Vì vậy, tất cả các điểm kỳ dị (cuối) khác của hàm phải nằm bên trong đường bao Γ -. Hãy để chúng tôi thay đổi hướng đi qua đường bao Γ -: . Theo định lý dư lượng chính , trong đó tổng là trên tất cả các điểm kỳ dị hữu hạn. Do đó, cuối cùng

,

những thứ kia. phần dư tại một điểm kỳ dị vô cùng xa bằng tổng các phần dư trên tất cả các điểm kỳ dị hữu hạn, lấy với dấu ngược lại.

Kết quả là, có định lý tổng dư: hàm if w = f (z ) là phân tích ở khắp mọi nơi trong mặt phẳng TỪ , ngoại trừ một số điểm kỳ dị hữu hạn z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , khi đó tổng của phần dư tại tất cả các điểm kỳ dị hữu hạn và phần dư ở vô cùng bằng không.

Lưu ý rằng nếu z = ∞ là một điểm kỳ dị có thể tháo rời, khi đó phần dư tại nó có thể khác 0. Vì vậy, đối với chức năng, rõ ràng,; z = 0 là điểm kỳ dị cuối duy nhất của hàm này, vì vậy , mặc dù thực tế là, tức là z = ∞ là một điểm kỳ dị có thể tháo rời.