Hệ tọa độ trang trí. Tọa độ Descartes

Hệ tọa độ hình chữ nhật trên một mặt phẳng được tạo thành bởi hai trục tọa độ vuông góc với nhau X'X và Y'Y. Các trục tọa độ cắt nhau tại điểm O gọi là gốc tọa độ, trên mỗi trục chọn chiều dương, chiều dương của các trục (trong hệ tọa độ thuận tay phải) được chọn sao cho khi trục X'X được quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 90 °, chiều dương của nó trùng với chiều dương của trục Y'Y. Bốn góc (I, II, III, IV) được tạo thành bởi các trục tọa độ X'X và Y'Y được gọi là các góc tọa độ (xem Hình 1).

Vị trí của điểm A trên mặt phẳng được xác định bởi hai tọa độ x và y. Tọa độ x bằng độ dài đoạn OB, tọa độ y là độ dài đoạn OC trong các đơn vị đã chọn. Các đoạn OB và OC được xác định bởi các đường thẳng vẽ từ điểm A song song với các trục Y’Y và X’X tương ứng. Tọa độ x được gọi là hoành độ của điểm A, tọa độ y được gọi là hoành độ của điểm A. Người ta viết nó như sau: A (x, y).

Nếu điểm A nằm trong góc toạ độ I thì điểm A có hoành độ dương và hoành độ. Nếu điểm A nằm trong góc tọa độ II thì điểm A có hoành độ âm và hoành độ dương. Nếu điểm A nằm trong toạ độ góc III thì điểm A có hoành độ âm và hoành độ. Nếu điểm A nằm trong góc toạ độ IV thì điểm A có hoành độ dương và hoành độ âm.

Hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gianđược tạo thành bởi ba trục tọa độ vuông góc với nhau OX, OY và OZ. Các trục tọa độ cắt nhau tại điểm O, được gọi là điểm gốc, trên mỗi trục người ta chọn chiều dương của các mũi tên và chọn đơn vị đo của các đoạn trên trục. Các đơn vị đo đều giống nhau đối với tất cả các trục. OX - trục abscissa, OY - trục tọa độ, OZ - trục ứng dụng. Chiều dương của các trục được chọn sao cho khi quay trục OX ngược chiều kim đồng hồ một góc 90 ° thì chiều dương của nó trùng với chiều dương của trục OY, nếu sự quay này được quan sát từ phía có chiều dương của trục OZ . Hệ tọa độ như vậy được gọi là đúng. Nếu lấy ngón cái của bàn tay phải làm hướng X, ngón trỏ làm hướng Y và ngón giữa làm hướng Z, thì một hệ tọa độ phải được hình thành. Các ngón tay tương tự của bàn tay trái tạo thành hệ tọa độ bên trái. Hệ tọa độ bên phải và bên trái không thể được kết hợp để các trục tương ứng trùng với nhau (xem Hình 2).

Vị trí của điểm A trong không gian được xác định bởi ba tọa độ x, y và z. Tọa độ x bằng độ dài đoạn OB, tọa độ y bằng độ dài đoạn OC, tọa độ z là độ dài đoạn OD tính bằng đơn vị đã chọn. Các đoạn OB, OC và OD được xác định bởi các mặt phẳng vẽ từ điểm A song song với các mặt phẳng YOZ, XOZ và XOY tương ứng. Tọa độ x được gọi là hoành độ của điểm A, tọa độ y được gọi là hoành độ của điểm A, tọa độ z được gọi là hoành độ của điểm A. Người ta viết nó như sau: A (a, b, c).

Horts

Hệ tọa độ hình chữ nhật (có kích thước bất kỳ) cũng được mô tả bởi một tập hợp các quả cầu, đồng hướng với các trục tọa độ. Số lượng các quả cầu bằng số chiều của hệ tọa độ và chúng đều vuông góc với nhau.

Trong trường hợp ba chiều, các vectơ như vậy thường được ký hiệu là tôi j k hoặc e x e y e z. Trong trường hợp này, trong trường hợp của hệ tọa độ đúng, các công thức sau với tích vectơ của vectơ là hợp lệ:

• [tôi j]=k ;
• [j k]=tôi ;
• [k tôi]=j .

Câu chuyện

René Descartes là người đầu tiên giới thiệu hệ tọa độ hình chữ nhật trong Bài giảng về phương pháp của mình vào năm 1637. Do đó, hệ tọa độ hình chữ nhật còn được gọi là - Hệ tọa độ Descartes. Phương pháp tọa độ để mô tả các đối tượng hình học đã đặt nền tảng cho hình học giải tích. Pierre Fermat cũng đóng góp vào sự phát triển của phương pháp tọa độ, nhưng công trình của ông lần đầu tiên được xuất bản sau khi ông qua đời. Descartes và Fermat chỉ sử dụng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng.

Phương pháp tọa độ cho không gian ba chiều được Leonhard Euler áp dụng lần đầu tiên vào thế kỷ 18.

Xem thêm

Liên kết

Quỹ Wikimedia. 2010.

Xem "Hệ tọa độ Descartes" là gì trong các từ điển khác:

Hệ tọa độ Descartes, một hệ tọa độ tuyến tính trên mặt phẳng hoặc trong không gian (thường có các trục vuông góc với nhau và cùng tỷ lệ dọc theo các trục). Được đặt theo tên của R. Descartes (xem Rene's DECARTS). Lần đầu tiên Descartes giới thiệu ... từ điển bách khoa

HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES- một hệ trục tọa độ hình chữ nhật trên mặt phẳng hoặc trong không gian, trong đó các tỷ lệ dọc theo các trục là như nhau và các trục tọa độ vuông góc với nhau. D. s. k. được ký hiệu bằng các chữ cái x:, y cho một điểm trên mặt phẳng hoặc x, y, z cho một điểm trong không gian. (Cm.……

HỆ THỐNG PHỐI HỢP CARTEAN, một hệ thống được giới thiệu bởi René DECARTES, trong đó vị trí của một điểm được xác định bởi khoảng cách từ nó đến các đường (trục) cắt nhau. Trong phiên bản đơn giản nhất của hệ thống, các trục (được ký hiệu là x và y) vuông góc với nhau. ... ... Từ điển bách khoa khoa học và kỹ thuật

Hệ tọa độ Descartes

Hệ tọa độ tuyến tính (Xem tọa độ) trên mặt phẳng hoặc trong không gian (thường có cùng tỷ lệ dọc theo các trục). Bản thân R. Descartes trong “Hình học” (1637) chỉ sử dụng hệ tọa độ trên mặt phẳng (nói chung là hệ xiên). Thường… … Bách khoa toàn thư Liên Xô vĩ đại

Một tập hợp các định nghĩa thực hiện phương pháp tọa độ, tức là một cách để xác định vị trí của một điểm hoặc phần thân bằng cách sử dụng số hoặc các ký hiệu khác. Tập hợp các số xác định vị trí của một điểm cụ thể được gọi là tọa độ của điểm này. Trong ... ... Wikipedia

hệ thống Cartesian- Dekarto koordinačių sistema statusas T s viêm fizika atitikmenys: engl. Hệ Descartes; Hệ tọa độ Descartes vok. cartesisches Koprisnsystem, n; kartesisches Hệ thống không gian, n rus. Hệ Descartes, f; Hệ thống Descartes ... ... Ga cuối Fizikosų žodynas

HỆ TỌA ĐỘ- Tập hợp các điều kiện xác định vị trí của một điểm trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian. Có nhiều S. đến: Descartes, xiên, trụ, cầu, cong, v.v. Các đại lượng tuyến tính và góc xác định vị trí ... ... Bách khoa toàn thư bách khoa

Hệ tọa độ pháp tuyến chính quy trong không gian Euclide. D. p. S. k. trên mặt phẳng được cho bởi hai trục tọa độ trực tiếp vuông góc nhau, trên mỗi trục tọa độ dương được chọn và một đoạn có đơn vị ... Bách khoa toàn thư toán học

Hệ tọa độ hình chữ nhật là hệ tọa độ tuyến tính với các trục vuông góc với nhau trên một mặt phẳng hoặc trong không gian. Hệ tọa độ đơn giản nhất và do đó được sử dụng phổ biến nhất. Nó rất dễ dàng và tổng quát trực tiếp cho ... ... Wikipedia

Sách

• Tính toán động lực học chất lỏng. Cơ sở lý thuyết. Sách giáo khoa, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Cuốn sách được dành để trình bày một cách có hệ thống các cơ sở lý thuyết để đặt ra các vấn đề về mô hình toán học của dòng chất lỏng và chất khí. Đặc biệt chú trọng đến vấn đề xây dựng ...

Một hệ có thứ tự gồm hai hoặc ba trục cắt nhau vuông góc với nhau với một gốc chung (gốc tọa độ) và một đơn vị đo độ dài chung được gọi là hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật .

Hệ tọa độ Descartes tổng quát (hệ tọa độ affine) cũng có thể bao gồm các trục không nhất thiết vuông góc. Để vinh danh nhà toán học người Pháp Rene Descartes (1596-1662), một hệ tọa độ như vậy được đặt tên trong đó một đơn vị đo độ dài chung được tính trên tất cả các trục và các trục là đường thẳng.

Hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trên mặt phẳng có hai trục hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trong không gian - ba lưỡi rìu. Mỗi điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian được xác định bởi một tập tọa độ - số có thứ tự phù hợp với độ dài đơn vị của hệ tọa độ.

Lưu ý rằng, như sau từ định nghĩa, có một hệ tọa độ Descartes trên một đường thẳng, nghĩa là, trong một chiều. Việc giới thiệu tọa độ Descartes trên một đường thẳng là một trong những cách mà bất kỳ điểm nào trên đường thẳng được gán một số thực xác định rõ, tức là một tọa độ.

Phương pháp tọa độ, xuất hiện trong các công trình của René Descartes, đã đánh dấu một cuộc tái cấu trúc mang tính cách mạng của toàn bộ toán học. Có thể giải thích các phương trình đại số (hoặc bất phương trình) dưới dạng hình ảnh hình học (đồ thị) và ngược lại, tìm kiếm lời giải cho các vấn đề hình học bằng cách sử dụng các công thức giải tích, hệ phương trình. Có, bất bình đẳng z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy và nằm trên mặt phẳng này 3 đơn vị.

Với sự trợ giúp của hệ tọa độ Descartes, việc thuộc một điểm trên một đường cong đã cho tương ứng với thực tế là các số x và y thỏa mãn một số phương trình. Vì vậy, tọa độ của một điểm của đường tròn có tâm tại một điểm đã cho ( một; b) thỏa mãn phương trình (x - một)² + ( y - b)² = R² .

Hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trên mặt phẳng

Hai trục vuông góc trên một mặt phẳng có chung gốc tọa độ và có cùng dạng đơn vị tỉ lệ Hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng . Một trong những trục này được gọi là trục Con bò, hoặc trục x , cái kia - trục Oy, hoặc trục y . Các trục này còn được gọi là trục tọa độ. Biểu thị bởi Mx và My tương ứng là hình chiếu của một điểm tùy ý M trên trục Con bò và Oy. Làm thế nào để có được các dự báo? Đi qua dấu chấm M Con bò. Đường này giao với trục Con bò tại điểm Mx. Đi qua dấu chấm Mđường thẳng vuông góc với trục Oy. Đường này giao với trục Oy tại điểm My. Điều này được thể hiện trong hình bên dưới.

x và yđiểm M chúng tôi sẽ gọi tương ứng là độ lớn của các phân đoạn được định hướng OMx và OMy. Giá trị của các đoạn hướng này được tính tương ứng như x = x0 - 0 và y = y0 - 0 . Tọa độ Descartes x và yđiểm M abscissa và phong chức . Thực tế là dấu chấm M có tọa độ x và y, được ký hiệu như sau: M(x, y) .

Các trục tọa độ chia mặt phẳng thành bốn góc phần tư , có đánh số được hiển thị trong hình bên dưới. Nó cũng chỉ ra sự sắp xếp của các dấu hiệu cho tọa độ của các điểm, tùy thuộc vào vị trí của chúng trong một hoặc một góc phần tư khác.

Ngoài hệ tọa độ Descartes trong mặt phẳng, hệ tọa độ cực cũng thường được xem xét. Về phương pháp chuyển từ hệ trục tọa độ này sang hệ trục tọa độ khác - trong bài hệ tọa độ cực .

Hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trong không gian

Tọa độ Descartes trong không gian được giới thiệu hoàn toàn tương tự với tọa độ Descartes trên một mặt phẳng.

Ba trục vuông góc với nhau trong không gian (trục tọa độ) có chung một gốc O và cùng một dạng đơn vị tỷ lệ Hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trong không gian .

Một trong những trục này được gọi là trục Con bò, hoặc trục x , cái kia - trục Oy, hoặc trục y , thứ ba - trục Oz, hoặc trục ứng dụng . Để cho Mx, My Mz- phép chiếu của một điểm tùy ý M khoảng trống trên trục Con bò , Oy và Oz tương ứng.

Đi qua dấu chấm M Con bòCon bò tại điểm Mx. Đi qua dấu chấm M mặt phẳng vuông góc với trục Oy. Mặt phẳng này cắt trục Oy tại điểm My. Đi qua dấu chấm M mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Mặt phẳng này cắt trục Oz tại điểm Mz.

Tọa độ hình chữ nhật Descartes x , y và zđiểm M chúng tôi sẽ gọi tương ứng là độ lớn của các phân đoạn được định hướng OMx, OMy và OMz. Giá trị của các đoạn hướng này được tính tương ứng như x = x0 - 0 , y = y0 - 0 và z = z0 - 0 .

Tọa độ Descartes x , y và zđiểm Mđược đặt tên phù hợp abscissa , phong chức và đồ đính đá .

Được chụp theo cặp, các trục tọa độ nằm trong mặt phẳng tọa độ xOy , yOz và zOx .

Vấn đề về điểm trong hệ tọa độ Descartes

ví dụ 1

Một(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Tìm tọa độ các hình chiếu của các điểm này trên trục x.

Dung dịch. Như sau phần lý thuyết của bài học này, hình chiếu của một điểm lên trục x nằm trên chính trục x, tức là trục Con bò, và do đó có một abscissa bằng abscissa của chính điểm đó và một tọa độ (tọa độ trên trục Oy, mà trục x giao tại điểm 0), bằng không. Vì vậy, chúng tôi nhận được các tọa độ sau đây của các điểm này trên trục x:

Mộtx (2; 0);

Bx (3; 0);

Cx (-5; 0).

Ví dụ 2 Các điểm được cho trong hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng

Một(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Tìm tọa độ các hình chiếu của các điểm này trên trục y.

Dung dịch. Như sau phần lý thuyết của bài học này, hình chiếu của một điểm lên trục y nằm trên chính trục y, tức là trục Oy, và do đó có một hoành độ bằng hoành độ của chính điểm đó và một abscissa (tọa độ trên trục Con bò, mà trục y giao tại điểm 0), bằng không. Vì vậy, chúng tôi nhận được các tọa độ sau đây của các điểm này trên trục y:

Mộty (0; 2);

By (0; 1);

Cy (0; -2).

Ví dụ 3 Các điểm được cho trong hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng

Một(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Con bò .

Con bò Con bò Con bò, sẽ có cùng hoành độ với điểm đã cho, và hoành độ bằng giá trị tuyệt đối với hoành độ của điểm đã cho và ngược dấu với nó. Vì vậy, chúng tôi nhận được các tọa độ sau đây của các điểm đối xứng với các điểm này về trục Con bò :

MỘT"(2; -3) ;

B "(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Tự giải quyết các vấn đề trên hệ tọa độ Descartes, sau đó xem xét các giải pháp

Ví dụ 4 Xác định góc phần tư nào (phần tư, hình có góc phần tư - ở cuối đoạn "Hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trên mặt phẳng") điểm có thể được định vị M(x; y) , nếu

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Ví dụ 5 Các điểm được cho trong hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng

Một(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(một; b) .

Tìm tọa độ các điểm đối xứng với các điểm này qua trục Oy .

Chúng tôi tiếp tục giải quyết vấn đề cùng nhau

Ví dụ 6 Các điểm được cho trong hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng

Một(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Tìm tọa độ các điểm đối xứng với các điểm này qua trục Oy .

Dung dịch. Xoay 180 độ quanh trục Oyđoạn đường thẳng từ một trục Oyđến thời điểm này. Trong hình bên, nơi các góc phần tư của mặt phẳng được chỉ ra, chúng ta thấy rằng điểm đối xứng với hình đã cho so với trục Oy, sẽ có cùng hoành độ với điểm đã cho, và một abscissa bằng giá trị tuyệt đối với abscissa của điểm đã cho, và ngược dấu với nó. Vì vậy, chúng tôi nhận được các tọa độ sau đây của các điểm đối xứng với các điểm này về trục Oy :

MỘT"(1; 2) ;

B "(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Ví dụ 7 Các điểm được cho trong hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng

Một(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với các điểm này so với gốc tọa độ.

Dung dịch. Chúng ta quay 180 độ xung quanh điểm gốc của đoạn có hướng đi từ điểm gốc đến điểm đã cho. Trong hình bên, nơi các góc phần tư của mặt phẳng được chỉ ra, chúng ta thấy rằng một điểm đối xứng với một điểm đã cho so với gốc tọa độ sẽ có hoành độ và hoành độ bằng giá trị tuyệt đối với hoành độ và hoành độ của điểm đã cho , nhưng ngược lại với họ. Vì vậy, chúng tôi nhận được các tọa độ sau của các điểm đối xứng với các điểm này so với gốc tọa độ:

MỘT"(-3; -3) ;

B "(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Ví dụ 8

Một(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Tìm tọa độ của các hình chiếu của các điểm này:

1) trên máy bay Oxy ;

2) đến máy bay Oxz ;

3) đến máy bay Oyz ;

4) trên trục abscissa;

5) trên trục y;

6) trên trục đính.

1) Phép chiếu một điểm lên mặt phẳng Oxy nằm trên chính mặt phẳng này, và do đó có một hoành độ và hoành độ bằng abscissa và hoành độ của điểm đã cho, và một đơn vị bằng không. Vì vậy, chúng tôi nhận được các tọa độ sau đây của các hình chiếu của những điểm này trên Oxy :

Mộtxy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy (2; -3; 0).

2) Phép chiếu một điểm lên mặt phẳng Oxz nằm trên chính mặt phẳng này, và do đó có hoành độ và áp dụng bằng abscissa và ứng của điểm đã cho, và hoành độ bằng 0. Vì vậy, chúng tôi nhận được các tọa độ sau đây của các hình chiếu của những điểm này trên Oxz :

Mộtxz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Phép chiếu một điểm lên mặt phẳng Oyz nằm trên chính mặt phẳng này, và do đó có hoành độ và điểm áp dụng bằng hoành độ và điểm áp dụng của một điểm đã cho, và hoành độ bằng 0. Vì vậy, chúng tôi nhận được các tọa độ sau đây của các hình chiếu của những điểm này trên Oyz :

Mộtyz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Như sau phần lý thuyết của bài học này, hình chiếu của một điểm lên trục x nằm trên chính trục x, tức là trục Con bò, và do đó có hoành độ bằng hoành độ của chính điểm đó, hoành độ và hình chiếu của hình chiếu bằng 0 (vì trục tọa độ và trục áp dụng cắt abscissa tại điểm 0). Chúng tôi nhận được các tọa độ sau của hình chiếu của những điểm này trên trục x:

Mộtx (4; 0; 0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx (2; 0; 0).

5) Hình chiếu của một điểm trên trục y nằm trên chính trục y, tức là trục Oy, và do đó có hoành độ bằng hoành độ của chính điểm đó, và hoành độ và hình chiếu của hình chiếu bằng 0 (vì trục hoành độ và hình chiếu cắt nhau trục tọa độ tại điểm 0). Chúng tôi nhận được các tọa độ sau của hình chiếu của những điểm này trên trục y:

Mộty (0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy (0; -3; 0).

6) Hình chiếu của một điểm trên trục ứng dụng nằm trên chính trục ứng dụng, tức là trục Oz, và do đó có một ứng dụng bằng với ứng dụng của chính điểm đó, và hoành độ và hoành độ của hình chiếu bằng 0 (vì trục hoành độ và tọa độ giao với trục ứng dụng tại điểm 0). Chúng tôi nhận được các tọa độ sau của các hình chiếu của các điểm này trên trục ứng dụng:

Mộtz (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz (0; 0; 0).

Ví dụ 9 Các điểm được cho trong hệ tọa độ Descartes trong không gian

Một(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với các điểm này đối với:

1) máy bay Oxy ;

2) máy bay Oxz ;

3) máy bay Oyz ;

4) trục abscissa;

5) trục y;

6) trục đính;

7) gốc tọa độ.

1) "Tiến" điểm ở phía bên kia của trục Oxy Oxy, sẽ có một hoành độ và một hoành độ bằng abscissa và hoành độ của điểm đã cho, và một ứng dụng có độ lớn bằng với hoành độ của điểm đã cho, nhưng ngược dấu với nó. Vì vậy, chúng tôi nhận được tọa độ sau của các điểm đối xứng với dữ liệu đối với mặt phẳng Oxy :

MỘT"(2; 3; -1) ;

B "(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Tiến" điểm ở phía bên kia của trục Oxz cho cùng một khoảng cách. Theo hình vẽ hiển thị không gian tọa độ, chúng ta thấy rằng điểm đối xứng với một điểm đã cho so với trục Oxz, sẽ có hoành độ và hoành độ bằng hoành độ và hoành độ của điểm đã cho, và hoành độ bằng hoành độ của điểm đã cho, nhưng ngược dấu với nó. Vì vậy, chúng tôi nhận được tọa độ sau của các điểm đối xứng với dữ liệu đối với mặt phẳng Oxz :

MỘT"(2; -3; 1) ;

B "(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Tiến" điểm ở phía bên kia của trục Oyz cho cùng một khoảng cách. Theo hình vẽ hiển thị không gian tọa độ, chúng ta thấy rằng điểm đối xứng với một điểm đã cho so với trục Oyz, sẽ có một tọa độ và một ứng dụng bằng tọa độ và một ứng dụng của điểm đã cho, và một điểm áp dụng có độ lớn bằng với hoành độ của điểm đã cho, nhưng ngược dấu với nó. Vì vậy, chúng tôi nhận được tọa độ sau của các điểm đối xứng với dữ liệu đối với mặt phẳng Oyz :

MỘT"(-2; 3; 1) ;

B "(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Bằng phép tương tự với các điểm đối xứng trên mặt phẳng và các điểm trong không gian đối xứng với dữ liệu đối với mặt phẳng, chúng ta lưu ý rằng trong trường hợp đối xứng về một trục nào đó của hệ tọa độ Descartes trong không gian, tọa độ trên trục mà đối xứng được thiết lập sẽ giữ nguyên dấu của nó và tọa độ trên hai trục còn lại sẽ có cùng giá trị tuyệt đối với tọa độ của điểm đã cho, nhưng ngược dấu.

4) Dấu hiệu của abscissa sẽ giữ nguyên, trong khi sắc phong và người nộp đơn sẽ thay đổi dấu hiệu. Vì vậy, chúng tôi nhận được tọa độ sau của các điểm đối xứng với dữ liệu về trục x:

MỘT"(2; -3; -1) ;

B "(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Sắc lệnh sẽ giữ nguyên dấu hiệu của nó, trong khi dấu hiệu của abscissa và người nộp đơn sẽ thay đổi dấu hiệu. Vì vậy, chúng tôi nhận được tọa độ sau của các điểm đối xứng với dữ liệu về trục y:

MỘT"(-2; 3; -1) ;

B "(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Người nộp đơn sẽ giữ nguyên dấu hiệu của nó, và dấu hiệu abscissa và phong hàm sẽ thay đổi dấu hiệu. Vì vậy, chúng tôi nhận được các tọa độ sau của các điểm đối xứng với dữ liệu về trục ứng dụng:

MỘT"(-2; -3; 1) ;

B "(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Phép tương tự với phép đối xứng trong trường hợp các điểm trên một mặt phẳng, trong trường hợp đối xứng về gốc tọa độ, tất cả các tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm đã cho sẽ có giá trị tuyệt đối bằng tọa độ của một điểm đã cho, nhưng ngược lại. đăng nhập cho họ. Vì vậy, chúng tôi nhận được các tọa độ sau của các điểm đối xứng với dữ liệu so với điểm gốc.

Vào thế kỷ II trước Công nguyên. Nhà khoa học Hy Lạp Hipparchus đã đề xuất bao quanh địa cầu trên bản đồ bằng các đường ngang và đường kinh tuyến, bao phủ nó bằng một loại lưới có điều kiện, và nhập tọa độ địa lý - vĩ độ và kinh độ.

Đúng, thậm chí trước đó, các nhà thiên văn đã sử dụng kỹ thuật này để nghiên cứu vòm trời.

Vào thế kỷ II sau Công nguyên. nhà thiên văn học và toán học Hy Lạp cổ đại nổi tiếng Claudius Ptolemy đã tích cực sử dụng kinh độ và vĩ độ làm tọa độ địa lý.
Nhưng đã hệ thống hóa những khái niệm này vào thế kỷ 17 Rene Descartes.

Rene Descartes (1596 - 1650) - nhà toán học, triết học, vật lý và sinh lý học người Pháp.
Chính ông là người đã phát minh ra vào năm 1637 một hệ tọa độ được sử dụng trên toàn thế giới và được mọi học sinh biết đến. Nó còn được gọi là "hệ tọa độ Descartes".

Descartes là người như thế nào?

Descartes xuất thân từ một gia đình quý tộc và là con trai út (thứ ba) trong gia đình. Ông sinh năm 1596 tại Pháp. Mẹ anh mất khi anh mới 1 tuổi. René đã nhận được một nền giáo dục tiểu học xuất sắc tại La Fleche College danh tiếng. Tại đây anh đã học với các linh mục Dòng Tên.

Trong mười năm học đại học, Descartes đã có được kỹ năng viết lách, học nhạc kịch và nghệ thuật kịch, và thậm chí thành thạo những mục tiêu cao quý như cưỡi ngựa và kiếm thuật.
Sau khi học thêm hai năm tại Đại học Poitiers, ông nhận được bằng luật học, nhưng từ bỏ sự nghiệp luật sư.
Rene nhập ngũ và bắt đầu đi du lịch nhiều nơi ở châu Âu.

Sau đó Descartes sống ở Hà Lan khoảng hai mươi năm. Người Hà Lan khoan dung của thế kỷ XVII đã làm tốt mà không có những thứ như tòa án dị giáo, dị giáo, phá hủy và thiêu sống, vốn đe dọa tất cả các nhà tư tưởng gốc châu Âu. Ở đây, không giống như các quốc gia khác, họ không bắt buộc phải trả tiền cho những ý tưởng của họ.
Descartes có nhiều thư từ với các nhà khoa học giỏi nhất ở châu Âu, nghiên cứu nhiều ngành khoa học, viết sách. Ông nghiên cứu về thiên văn học và y học.

Nhà sinh lý học vĩ đại Ivan Petrovich Pavlov coi Descartes là tiền thân của

nghiên cứu của họ. Rene Descartes là người đầu tiên đề xuất khái niệm phản xạ.

(Đài tưởng niệm R. Descartes. Nhà điêu khắc: I.F. Bezpalov. Địa chỉ: Ngõ tượng bán thân của các nhà khoa học vĩ đại ở Koltushi.)

Anh ấy sở hữu câu nói nổi tiếng: "Cogito, ergo sum",
trong tiếng Latinh có nghĩa là:
"Tôi nghĩ, do đó tôi là."

Hệ tọa độ Descartes

Để thiết lập một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trên một mặt phẳng, các đường thẳng vuông góc với nhau, được gọi là các trục, được chọn.
Giao điểm của các trục - "O" được gọi là gốc tọa độ.
Trên mỗi trục (OX và OY), chiều dương được thiết lập và đơn vị tỷ lệ (đoạn đơn) được chọn.

Vị trí của điểm A trên mặt phẳng được xác định bởi hai tọa độ x và y.
Tọa độ x bằng độ dài đoạn OB, tọa độ y là độ dài đoạn OC trong các đơn vị đã chọn.
Tọa độ x được gọi là hoành độ của điểm A, tọa độ y được gọi là hoành độ của điểm A.
Mỗi điểm trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với một cặp số: hoành độ của nó và hoành độ: (x; y). Và ngược lại: mỗi cặp số tương ứng với một điểm duy nhất trên mặt phẳng tọa độ.

Trong không gian mà vị trí của một điểm có thể được xác định là hình chiếu của nó lên các đường thẳng cố định cắt nhau tại một điểm, được gọi là điểm gốc. Các hình chiếu này được gọi là tọa độ điểm, và các đường được gọi là trục tọa độ.

Trong trường hợp tổng quát, trên một mặt phẳng, hệ tọa độ Descartes (hệ tọa độ affine) được cho bởi điểm O (gốc tọa độ) và một cặp vectơ có thứ tự e 1 và e 2 (vectơ cơ sở) gắn với nó làm không nằm trên cùng một đường thẳng. Các đường thẳng đi qua gốc tọa độ theo phương của vectơ cơ sở được gọi là trục tọa độ của hệ tọa độ Descartes đã cho. Đầu tiên, được xác định bởi vectơ e 1, được gọi là trục abscissa (hoặc trục Ox), thứ hai là trục tọa độ (hoặc trục Oy). Bản thân hệ tọa độ Descartes được ký hiệu là Oe 1 e 2 hoặc Oxy. Tọa độ Descartes của điểm M (Hình 1) trong hệ tọa độ Descartes Oe 1 e 2 là một cặp số có thứ tự (x, y), là hệ số khai triển của vectơ OM theo cơ sở (e 1, e 2), nghĩa là x và y sao cho OM \ u003d xe 1 + ye 2. Số x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Nếu hai hệ tọa độ Descartes Oe 1 e 2 và 0'e '1 e' 2 được giới thiệu trên mặt phẳng sao cho vectơ cơ sở (e '1, e' 2) được biểu diễn theo vectơ cơ sở (e 1, e 2) theo các công thức

e ’1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e’ 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2

và điểm O 'có tọa độ (x 0, y 0) trong hệ tọa độ Descartes là Oe 1 e 2 thì tọa độ (x, y) của điểm M trong hệ tọa độ Descartes là Oe 1 e2 và tọa độ (x' , y ') của cùng một điểm trong hệ tọa độ Descartes O'e 1 e' 2 liên hệ với nhau bằng các quan hệ

x = a 11 x ’+ a 21 y’ + x 0, y = a 12 x ’+ a 22 y’ + y 0.

Hệ tọa độ Descartes được gọi là hình chữ nhật nếu cơ sở (e 1, e 2) là trực chuẩn, nghĩa là các vectơ e 1 và e 2 vuông góc với nhau và có độ dài bằng một (vectơ e 1 và e 2 được gọi là trường hợp orts). Trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật, tọa độ x và y của điểm M lần lượt là giá trị của hình chiếu trực giao của điểm M trên hai trục Ox và Oy. Trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật Oxy, khoảng cách giữa hai điểm M 1 (x 1, y 1) và M 2 (x 2, y 2) là √ (x 2 -x 1) 2 + (y 2-y 1) 2

Công thức chuyển từ một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật Oxy sang một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật khác O’x’y ’, gốc tọa độ O’ của hệ tọa độ Descartes Oxy là O ’(x0, y0), có dạng

x \ u003d x’cosα - y’sinα + x 0, y \ u003d x’sin α + y’cosα + y 0

x \ u003d x’cosα + y’sinα + x 0, y \ u003d x’sinα - y’cosα + y 0.

Trong trường hợp đầu tiên, hệ O'x'y 'được hình thành bằng cách quay các vectơ cơ sở e 1; e 2 ở góc α và phép dời gốc tọa độ O sang điểm O ’(Hình 2),

và trong trường hợp thứ hai - bằng cách quay các vectơ cơ sở e 1, e 2 một góc α, sau đó phản xạ trục chứa vectơ e 2 so với đường thẳng mang vectơ e 1, và chuyển gốc tọa độ O đến điểm O. '(Hình 3).

Đôi khi hệ tọa độ Descartes xiên được sử dụng, khác với hình chữ nhật ở chỗ góc giữa các vectơ cơ sở đơn vị không phải là một góc phải.

Tương tự, hệ tọa độ Descartes tổng quát (hệ tọa độ affine) trong không gian được định nghĩa: điểm O được đặt - gốc tọa độ và một bộ ba có thứ tự của vectơ e 1, e 2, e 3 (vectơ cơ sở) gắn với nó mà không nằm trong cùng một mặt phẳng. Như trong trường hợp của một mặt phẳng, các trục tọa độ được xác định - trục abscissa (trục Ox), trục tọa độ (trục Oy) và trục bôi (trục Oz) (Hình 4).

Hệ tọa độ Descartes trong không gian được ký hiệu là Oe 1 e 2 e 3 (hoặc Oxyz). Các mặt phẳng đi qua các cặp trục tọa độ được gọi là mặt phẳng tọa độ. Hệ tọa độ Descartes trong không gian được gọi là đúng nếu chuyển động quay từ trục Ox sang trục Oy theo chiều ngược với chiều chuyển động cùng chiều kim đồng hồ, nếu nhìn mặt phẳng Oxy từ một điểm nào đó trên bán trục dương Oz, ngược lại tọa độ Descartes hệ thống được gọi là trái. Nếu các vectơ cơ sở e 1, e 2, e 3 có độ dài bằng một và vuông góc với nhau theo từng cặp thì hệ tọa độ Descartes được gọi là hình chữ nhật. Vị trí của một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trong không gian so với một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật khác có cùng hướng được xác định bởi ba góc Euler.

Hệ tọa độ Descartes được đặt theo tên của R. Descartes, mặc dù trong tác phẩm "Hình học" (1637) người ta đã xem xét một hệ tọa độ xiên, trong đó tọa độ của các điểm chỉ có thể là dương. Trong ấn bản năm 1659-61, công trình của nhà toán học Hà Lan I. Gudde được gắn với "Hình học", trong đó lần đầu tiên cả giá trị âm và dương của tọa độ đều được phép sử dụng. Hệ tọa độ Descartes trong không gian được đưa ra bởi nhà toán học người Pháp F. Lair (1679). Vào đầu thế kỷ 18, ký hiệu x, y, z cho hệ tọa độ Descartes được thành lập.

HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES

HỆ THỐNG PHỐI HỢP CARTESE, một hệ tọa độ tuyến tính trên một mặt phẳng hoặc trong không gian (thường có các trục vuông góc với nhau và cùng tỷ lệ dọc theo các trục). Được đặt theo tên của R. Descartes (cm. KHAI BÁO Gia hạn).
Descartes là người đầu tiên đưa ra hệ tọa độ, hệ tọa độ này khác biệt đáng kể so với hệ tọa độ thường được chấp nhận ngày nay. Ông sử dụng một hệ tọa độ xiên trong mặt phẳng, xem xét một đường cong đối với một đường thẳng nào đó có hệ quy chiếu cố định. Vị trí của các điểm đường cong được thiết lập bằng cách sử dụng một hệ thống các đoạn thẳng song song nghiêng hoặc vuông góc với đường ban đầu. Descartes không đưa ra trục tọa độ thứ hai, không cố định hướng tham chiếu từ gốc tọa độ. Chỉ trong thế kỷ 18 sự hiểu biết hiện đại về hệ tọa độ được hình thành, hệ tọa độ này được đặt tên là Descartes.
***
Để thiết lập một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes, các đường thẳng vuông góc với nhau, được gọi là trục, được chọn. Giao điểm O gọi là gốc tọa độ. Mỗi trục được cho một hướng dương và một đơn vị tỷ lệ được chọn. Tọa độ điểm Pđược coi là tích cực hoặc tiêu cực tùy thuộc vào bán trục mà hình chiếu của điểm rơi vào P.
Hệ tọa độ 2D
P trên một mặt phẳng trong hệ tọa độ hai chiều được gọi là lấy một dấu hiệu nào đó về khoảng cách (tính theo đơn vị tỷ lệ) của điểm này đến hai đường thẳng vuông góc với nhau - trục tọa độ hoặc hình chiếu của vectơ bán kính. rđiểm P trên hai trục tọa độ vuông góc nhau.
Trong hệ tọa độ hai chiều, trục hoành được gọi là trục abscissa (trục OX), trục tung - trục tọa độ (trục OY). Các hướng tích cực được chọn trên trục OX- bên phải, trên trục OY- lên. Tọa độ x và yđược gọi là hoành độ và hoành độ của điểm, tương ứng. Kí hiệu P (a, b) có nghĩa là điểm P trên mặt phẳng có hoành độ a và hoành độ b.
Hệ tọa độ 3D
Tọa độ điểm hình chữ nhật Descartes P trong không gian ba chiều, các khoảng cách được thực hiện với một dấu nhất định (được biểu thị bằng đơn vị tỷ lệ) của điểm này đến ba mặt phẳng tọa độ vuông góc với nhau hoặc hình chiếu của vectơ bán kính được gọi là (cm. RADIUS-VECTOR) r điểm P ba trục tọa độ vuông góc với nhau.
Qua một điểm tùy ý trong không gian O- gốc tọa độ - ba đường thẳng vuông góc với nhau được vẽ: trục OX(trục abscissa), trục OY(trục y), trục OZ(trục ứng dụng).
Các vectơ đơn vị có thể được đặt trên các trục tọa độ tôi, j, k dọc theo các trục CON BÒ,OY, oz tương ứng.
Tùy thuộc vào sự sắp xếp lẫn nhau của các hướng dương của các trục tọa độ, các hệ tọa độ phải và trái là có thể. Theo quy định, hệ thống tọa độ phù hợp được sử dụng. Trong hệ tọa độ bên phải, các hướng dương được chọn như sau: dọc theo trục OX- trên người quan sát; dọc theo trục OY - bên phải; dọc theo trục OZ - lên. Trong hệ tọa độ bên phải, chuyển động quay ngắn nhất từ ​​trục X sang trục Y là ngược chiều kim đồng hồ; nếu đồng thời với chuyển động quay như vậy, chúng ta chuyển động dọc theo chiều dương của trục Z, khi đó ta nhận được chuyển động theo quy luật của trục vít phải.
Kí hiệu P (a, b, c) có nghĩa là điểm P có hoành độ a, hoành độ b và hoành độ c.
Mỗi bộ ba số (a, b, c) xác định một điểm duy nhất P. Do đó, hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật thiết lập sự tương ứng một đối một giữa tập hợp các điểm trong không gian và tập hợp các bộ ba số thực có thứ tự.
Ngoài các trục tọa độ, còn có các mặt phẳng tọa độ. Các bề mặt tọa độ mà một trong các tọa độ không đổi là các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ và các đường tọa độ mà chỉ có một tọa độ thay đổi là các đường thẳng song song với các trục tọa độ. Các bề mặt tọa độ cắt nhau dọc theo các đường tọa độ.
Mặt phẳng tọa độ XOY chứa các trục OX và OY, mặt phẳng tọa độ YOZ chứa các trục OY và OZ, mặt phẳng tọa độ XOZ chứa các trục OX và OZ.

từ điển bách khoa. 2009 .

Xem "HỆ ​​THỐNG PHỐI HỢP GIỎ HÀNG" là gì trong các từ điển khác:

HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES- một hệ trục tọa độ hình chữ nhật trên mặt phẳng hoặc trong không gian, trong đó các tỷ lệ dọc theo các trục là như nhau và các trục tọa độ vuông góc với nhau. D. s. k. được ký hiệu bằng các chữ cái x:, y cho một điểm trên mặt phẳng hoặc x, y, z cho một điểm trong không gian. (Cm.……

HỆ THỐNG PHỐI HỢP CARTEAN, một hệ thống được giới thiệu bởi René DECARTES, trong đó vị trí của một điểm được xác định bởi khoảng cách từ nó đến các đường (trục) cắt nhau. Trong phiên bản đơn giản nhất của hệ thống, các trục (được ký hiệu là x và y) vuông góc với nhau. ... ... Từ điển bách khoa khoa học và kỹ thuật

Hệ tọa độ hình chữ nhật hay Descartes là hệ tọa độ phổ biến nhất trên mặt phẳng và trong không gian. Nội dung 1 Hệ tọa độ hình chữ nhật trên mặt phẳng ... Wikipedia

Hệ tọa độ Descartes

Hệ tọa độ tuyến tính (Xem tọa độ) trên mặt phẳng hoặc trong không gian (thường có cùng tỷ lệ dọc theo các trục). Bản thân R. Descartes trong “Hình học” (1637) chỉ sử dụng hệ tọa độ trên mặt phẳng (nói chung là hệ xiên). Thường… … Bách khoa toàn thư Liên Xô vĩ đại

Một tập hợp các định nghĩa thực hiện phương pháp tọa độ, tức là một cách để xác định vị trí của một điểm hoặc phần thân bằng cách sử dụng số hoặc các ký hiệu khác. Tập hợp các số xác định vị trí của một điểm cụ thể được gọi là tọa độ của điểm này. Trong ... ... Wikipedia

hệ thống Cartesian- Dekarto koordinačių sistema statusas T s viêm fizika atitikmenys: engl. Hệ Descartes; Hệ tọa độ Descartes vok. cartesisches Koprisnsystem, n; kartesisches Hệ thống không gian, n rus. Hệ Descartes, f; Hệ thống Descartes ... ... Ga cuối Fizikosų žodynas

HỆ TỌA ĐỘ- Tập hợp các điều kiện xác định vị trí của một điểm trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian. Có nhiều S. đến: Descartes, xiên, trụ, cầu, cong, v.v. Các đại lượng tuyến tính và góc xác định vị trí ... ... Bách khoa toàn thư bách khoa

Hệ tọa độ pháp tuyến chính quy trong không gian Euclide. D. p. S. k. trên mặt phẳng được cho bởi hai trục tọa độ trực tiếp vuông góc nhau, trên mỗi trục tọa độ dương được chọn và một đoạn có đơn vị ... Bách khoa toàn thư toán học

Hệ tọa độ hình chữ nhật là hệ tọa độ tuyến tính với các trục vuông góc với nhau trên một mặt phẳng hoặc trong không gian. Hệ tọa độ đơn giản nhất và do đó được sử dụng phổ biến nhất. Nó rất dễ dàng và tổng quát trực tiếp cho ... ... Wikipedia

Sách

• Tính toán động lực học chất lỏng. Cơ sở lý thuyết. Sách giáo khoa, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Cuốn sách được dành để trình bày một cách có hệ thống các cơ sở lý thuyết để đặt ra các vấn đề về mô hình toán học của dòng chất lỏng và chất khí. Đặc biệt chú trọng đến vấn đề xây dựng ...