Ma trận nhận dạng bậc 2. Toán cho hình nộm

Các hành động khác nhau được thực hiện trên các ma trận như vậy: chúng được nhân với nhau, các định thức được tìm thấy, v.v. Ma trận- Trường hợp đặc biệt của mảng: nếu mảng có thể có bất kỳ số chiều nào, thì chỉ mảng hai chiều được gọi là ma trận.

Trong lập trình, ma trận còn được gọi là mảng hai chiều. Bất kỳ mảng nào trong chương trình được đặt tên như thể nó là một biến duy nhất. Để làm rõ ý nghĩa của ô nào trong mảng, khi nó được đề cập trong chương trình, cùng với biến, số ô trong đó sẽ được sử dụng. Cả ma trận hai chiều và một mảng n chiều trong chương trình không chỉ có thể chứa số mà còn cả biểu tượng, chuỗi, Boolean và các thông tin khác, nhưng luôn giống nhau trong toàn bộ mảng.

Ma trận được ký hiệu bằng chữ in hoa A: MxN, trong đó A là tên của ma trận, M là số hàng trong ma trận và N là số cột. Các phần tử - các chữ cái viết thường tương ứng với các chỉ số cho biết số của chúng trong hàng và trong cột a (m, n).

Các ma trận phổ biến nhất là hình chữ nhật, mặc dù trong quá khứ xa xôi, các nhà toán học cũng coi các ma trận là hình tam giác. Nếu số hàng và số cột của một ma trận là như nhau, nó được gọi là hình vuông. Trong trường hợp này, M = N đã có tên của thứ tự ma trận. Ma trận chỉ có một hàng được gọi là một hàng. Ma trận chỉ có một cột được gọi là một cột. Ma trận đường chéo là ma trận vuông trong đó chỉ các phần tử nằm dọc theo đường chéo là khác không. Nếu tất cả các phần tử đều bằng một, ma trận được gọi là đồng nhất, nếu không - không.

Nếu bạn hoán đổi các hàng và cột trong một ma trận, nó sẽ bị hoán vị. Nếu tất cả các phần tử được thay thế bằng các liên hợp phức tạp, nó sẽ trở thành liên hợp phức tạp. Ngoài ra, còn có các loại ma trận khác, được xác định bởi các điều kiện áp đặt lên các phần tử của ma trận. Nhưng hầu hết các điều kiện này chỉ áp dụng cho những hình vuông.

Các video liên quan

Giả sử có một ma trận vuông bậc n

Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảođối với ma trận A, nếu A * A -1 = E, trong đó E là ma trận nhận dạng của bậc n.

Ma trận đơn vị- một ma trận vuông như vậy, trong đó tất cả các phần tử dọc theo đường chéo chính, đi từ góc trên bên trái sang góc dưới bên phải, là các phần tử và phần còn lại là số không, ví dụ:

ma trận nghịch đảo có thể tồn tại chỉ dành cho ma trận vuông những thứ kia. cho những ma trận có cùng số hàng và số cột.

Định lý điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Để một ma trận có một ma trận nghịch đảo, điều cần thiết và đủ là nó không sinh ra.

Ma trận A = (A1, A2, ... A n) được gọi là không thoái hóa nếu các vectơ cột là độc lập tuyến tính. Số vectơ cột độc lập tuyến tính của ma trận được gọi là hạng của ma trận. Do đó, chúng ta có thể nói rằng để tồn tại một ma trận nghịch đảo, cần và đủ rằng hạng của ma trận bằng số chiều của nó, tức là r = n.

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo

Viết ma trận A vào bảng giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss và bên phải (thay cho phần bên phải của phương trình) gán ma trận E cho nó.
Sử dụng các phép biến đổi Jordan, đưa ma trận A thành ma trận gồm các cột đơn; trong trường hợp này, cần phải biến đổi đồng thời ma trận E.
Nếu cần, hãy sắp xếp lại các hàng (phương trình) của bảng cuối cùng để thu được ma trận nhận dạng E dưới ma trận A của bảng ban đầu.
Viết ma trận nghịch đảo A -1 nằm trong bảng cuối cùng dưới ma trận E của bảng ban đầu.

ví dụ 1

Đối với ma trận A, hãy tìm ma trận nghịch đảo A -1

Giải: Chúng ta viết ra ma trận A và ở bên phải chúng ta gán ma trận nhận dạng E. Sử dụng các phép biến đổi Jordan, chúng ta giảm ma trận A thành ma trận nhận dạng E. Các phép tính được thể hiện trong Bảng 31.1.

Hãy kiểm tra tính đúng đắn của các phép tính bằng cách nhân ma trận gốc A và ma trận nghịch đảo A -1.

Theo kết quả của phép nhân ma trận, ma trận nhận dạng được thu được. Do đó, các tính toán là chính xác.

Câu trả lời:

Giải pháp của phương trình ma trận

Phương trình ma trận có thể giống như sau:

AX = B, XA = B, AXB = C,

trong đó A, B, C là các ma trận đã cho, X là ma trận mong muốn.

Phương trình ma trận được giải bằng cách nhân phương trình với ma trận nghịch đảo.

Ví dụ, để tìm ma trận từ một phương trình, bạn cần nhân phương trình này với bên trái.

Do đó, để tìm một nghiệm của phương trình, bạn cần tìm ma trận nghịch đảo và nhân nó với ma trận ở vế phải của phương trình.

Các phương trình khác được giải tương tự.

Ví dụ 2

Giải phương trình AX = B nếu

Dung dịch: Vì nghịch đảo của ma trận bằng (xem ví dụ 1)

Phương pháp ma trận trong phân tích kinh tế

Cùng với những người khác, họ cũng tìm thấy ứng dụng phương pháp ma trận. Các phương pháp này dựa trên đại số tuyến tính và vectơ-ma trận. Các phương pháp này được sử dụng cho mục đích phân tích các hiện tượng kinh tế phức tạp và đa chiều. Thông thường, các phương pháp này được sử dụng khi cần so sánh hoạt động của các tổ chức và các bộ phận cấu trúc của chúng.

Trong quá trình áp dụng phương pháp phân tích ma trận, có thể phân biệt một số giai đoạn.

Ở giai đoạn đầu tiên Việc hình thành một hệ thống chỉ tiêu kinh tế được thực hiện và trên cơ sở nó, một ma trận dữ liệu ban đầu được tổng hợp, là một bảng trong đó các số của hệ thống được thể hiện trong các dòng riêng lẻ của nó. (i = 1,2, ...., n) và dọc theo đồ thị dọc - số lượng các chỉ số (j = 1,2, ...., m).

Ở giai đoạn thứ haiđối với mỗi cột dọc, giá trị lớn nhất có sẵn của các chỉ số được hiển thị, được coi là một đơn vị.

Sau đó, tất cả các số tiền được phản ánh trong cột này được chia cho giá trị lớn nhất và một ma trận các hệ số tiêu chuẩn hóa được hình thành.

Ở giai đoạn thứ ba tất cả các thành phần của ma trận là bình phương. Nếu chúng có ý nghĩa khác nhau, thì mỗi chỉ số của ma trận được gán một hệ số trọng số nhất định k. Giá trị của sau này được xác định bởi một chuyên gia.

Vào cuối giai đoạn thứ tư giá trị tìm thấy của xếp hạng Rjđược nhóm lại theo thứ tự tăng hoặc giảm.

Ví dụ, các phương pháp ma trận trên nên được sử dụng trong phân tích so sánh các dự án đầu tư khác nhau, cũng như trong việc đánh giá các chỉ tiêu hoạt động kinh tế khác của các tổ chức.

Ma trận trong toán học là một trong những đối tượng quan trọng nhất có tầm quan trọng ứng dụng. Thường thì một chuyến du ngoạn vào lý thuyết ma trận bắt đầu bằng những từ: "Ma trận là một bảng hình chữ nhật ...". Chúng ta sẽ bắt đầu chuyến du ngoạn này từ một góc độ hơi khác.

Danh bạ điện thoại ở bất kỳ kích thước nào và với bất kỳ số lượng dữ liệu thuê bao nào chỉ là ma trận. Các ma trận này trông như thế này:

Rõ ràng là tất cả chúng ta đều sử dụng ma trận như vậy hầu như hàng ngày. Các ma trận này có nhiều hàng khác nhau (được phân biệt như một thư mục do công ty điện thoại phát hành, có thể chứa hàng nghìn, hàng trăm nghìn, thậm chí hàng triệu dòng và một sổ ghi chép mới bạn vừa bắt đầu, có ít hơn mười dòng) và cột (thư mục của các quan chức của một số tổ chức, trong đó có thể có các cột như chức vụ và số văn phòng và cùng một sổ ghi chép của bạn, nơi có thể không có dữ liệu nào khác ngoài tên, và do đó, nó chỉ có hai cột - tên và số điện thoại).

Tất cả các loại ma trận có thể được thêm và nhân, và các phép toán khác có thể được thực hiện trên chúng, nhưng không cần phải thêm và nhân các danh bạ điện thoại, không có lợi ích gì từ việc này, và ngoài ra, bạn có thể di chuyển tâm trí của mình.

Nhưng rất nhiều ma trận có thể và cần được thêm vào và nhân lên và các nhiệm vụ cấp bách khác nhau có thể được giải quyết theo cách này. Dưới đây là ví dụ về các ma trận như vậy.

Ma trận trong đó các cột là sản lượng của các đơn vị của một loại sản phẩm cụ thể và các hàng là năm ghi lại sản lượng của sản phẩm này:

Bạn có thể thêm các ma trận thuộc loại này, có tính đến việc sản xuất các sản phẩm tương tự của các doanh nghiệp khác nhau, để có được dữ liệu tóm tắt cho ngành.

Hoặc ma trận, ví dụ, bao gồm một cột, trong đó các hàng là chi phí trung bình của một loại sản phẩm cụ thể:

Ma trận của hai loại cuối cùng có thể được nhân lên, và kết quả là một ma trận hàng chứa giá thành của tất cả các loại sản phẩm theo năm.

Ma trận, định nghĩa cơ bản

Bảng hình chữ nhật bao gồm các số được sắp xếp trong m dòng và N cột được gọi là ma trận mn (hoặc đơn giản ma trận ) và được viết như thế này:

(1)

Trong ma trận (1) các số được gọi là các yếu tố (như trong định thức, chỉ số đầu tiên có nghĩa là số của hàng, thứ hai - cột, tại giao điểm có một phần tử; tôi = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, N).

Ma trận được gọi là hình hộp chữ nhật , nếu .

Nếu m = N, khi đó ma trận được gọi là Quảng trường , và số n là theo thứ tự .

Định thức của ma trận vuông A được gọi là định thức mà các phần tử của nó là phần tử của ma trận Một. Nó được ký hiệu bằng ký hiệu | Một|.

Ma trận vuông được gọi là không đặc biệt (hoặc không thoái hóa , không số ít ) nếu định thức của nó không bằng 0, và đặc biệt (hoặc thoái hóa , số ít ) nếu định thức của nó bằng không.

Các ma trận được gọi là bình đẳng nếu chúng có cùng số hàng và cột và tất cả các phần tử phù hợp đều giống nhau.

Ma trận được gọi là vô giá trị nếu tất cả các phần tử của nó bằng không. Ma trận 0 sẽ được ký hiệu bằng ký hiệu 0 hoặc .

Ví dụ,

ma trận hàng (hoặc chữ thường ) được gọi là 1 N-matrix, và ma trận cột (hoặc cột ) – m 1-ma trận.

Ma trận Một", được lấy từ ma trận Một hoán đổi các hàng và cột trong đó được gọi là đổi chỗ đối với ma trận Một. Do đó, đối với ma trận (1), ma trận chuyển vị là

Chuyển sang hoạt động ma trận Một", được chuyển đổi so với ma trận Một, được gọi là chuyển vị của ma trận Một. Vì mn-matrix được chuyển vị là nm-matrix.

Ma trận được chuyển vị đối với ma trận là Một, đó là

(Một")" = Một .

ví dụ 1 Tìm ma trận Một", được chuyển đổi so với ma trận

và tìm xem các định thức của ma trận ban đầu và ma trận chuyển vị có bằng nhau hay không.

đường chéo chính Ma trận vuông là một đường thẳng tưởng tượng nối các phần tử của nó, mà cả hai chỉ số đều giống nhau. Những phần tử này được gọi là đường chéo .

Ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là đường chéo . Không phải tất cả các phần tử đường chéo của ma trận đường chéo đều nhất thiết khác không. Một số trong số chúng có thể bằng không.

Ma trận vuông trong đó các phần tử trên đường chéo chính bằng cùng một số khác 0 và tất cả các phần tử khác bằng 0, được gọi là ma trận vô hướng .

ma trận đơn vị được gọi là ma trận đường chéo trong đó tất cả các phần tử đường chéo đều bằng một. Ví dụ, ma trận nhận dạng của bậc ba là ma trận

Ví dụ 2 Dữ liệu ma trận:

Dung dịch. Hãy để chúng tôi tính toán các định thức của các ma trận. Sử dụng quy tắc tam giác, chúng tôi thấy

Yếu tố quyết định ma trận B tính toán theo công thức

Chúng tôi dễ dàng hiểu được điều đó

Do đó, các ma trận Một và không phải là số ít (không suy biến, không phải số ít) và ma trận B- đặc biệt (suy biến, số ít).

Định thức của một ma trận nhận dạng của bất kỳ thứ tự nào rõ ràng là bằng một.

Tự giải quyết vấn đề ma trận và sau đó xem lời giải

Ví dụ 3 Dữ liệu ma trận

Hãy xác định những nguyên tố nào trong số chúng là không số ít (không suy biến, không số ít).

Ứng dụng của ma trận trong mô hình toán học và kinh tế

Dưới dạng ma trận, dữ liệu có cấu trúc về một đối tượng cụ thể được viết đơn giản và thuận tiện. Mô hình ma trận được tạo ra không chỉ để lưu trữ dữ liệu có cấu trúc này mà còn để giải quyết các vấn đề khác nhau với dữ liệu này bằng cách sử dụng đại số tuyến tính.

Như vậy, mô hình ma trận nổi tiếng của nền kinh tế là mô hình đầu vào - đầu ra do nhà kinh tế người Mỹ gốc Nga Wassily Leontiev đưa ra. Mô hình này dựa trên giả định rằng toàn bộ khu vực sản xuất của nền kinh tế được chia thành N các ngành công nghiệp sạch. Mỗi ngành chỉ sản xuất một loại sản phẩm và các ngành khác nhau sản xuất ra các sản phẩm khác nhau. Do sự phân công lao động này giữa các ngành có mối quan hệ giữa các ngành, nghĩa là một bộ phận sản xuất của mỗi ngành được chuyển sang các ngành khác với tư cách là nguồn lực sản xuất.

Khối lượng sản xuất tôi-công nghiệp thứ (được đo lường bằng một đơn vị đo lường cụ thể) được sản xuất trong kỳ báo cáo, được ký hiệu là và được gọi là tổng sản lượng tôi ngành thứ. Các vấn đề được đặt một cách thuận tiện N- hàng thành phần của ma trận.

Số lượng đơn vị sản phẩm tôi-ngành công nghiệp sẽ được chi tiêu j-công nghiệp thứ để sản xuất một đơn vị sản lượng của nó, được ký hiệu và gọi là hệ số chi phí trực tiếp.

Các ma trận. Các loại ma trận. Các phép toán trên ma trận và thuộc tính của chúng.

Định thức của ma trận bậc n. N, Z, Q, R, C,

Ma trận bậc m * n là một bảng hình chữ nhật gồm m-hàng và n-cột.

Bình đẳng ma trận:

Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu số hàng và số cột của một trong số chúng tương ứng bằng số hàng và số cột của ma trận kia và tương ứng. các phần tử của các ma trận này bằng nhau.

Lưu ý: Các phần tử có cùng chỉ số được khớp với nhau.

Các loại ma trận:

Ma trận vuông: Ma trận được cho là hình vuông nếu số hàng bằng số cột.

Hình chữ nhật: Một ma trận được cho là hình chữ nhật nếu số hàng không bằng số cột.

Ma trận hàng: ma trận bậc 1 * n (m = 1) có dạng a11, a12, a13 và được gọi là ma trận hàng.

Ma trận cột: ………….

Đường chéo: đường chéo của ma trận vuông, đi từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải, bao gồm các phần tử a11, a22 ...... - được gọi là đường chéo chính. (định nghĩa: một ma trận vuông, tất cả các phần tử của chúng đều bằng 0, ngoại trừ các phần tử nằm trên đường chéo chính, được gọi là ma trận đường chéo.

Tính đồng nhất: Một ma trận đường chéo được gọi là đồng dạng nếu tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính và bằng 1.

Hình tam giác trên: A = || aij || được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0. Với điều kiện i> j.

Hạ tam giác: aij = 0. tôi

Zero: Đây là ma trận có Els bằng 0.

Các phép toán trên ma trận.

1. Chuyển vị.

2. Phép nhân ma trận với một số.

3. Phép cộng ma trận.

4. Phép nhân ma trận.

Hành động sv-va cơ bản trên ma trận.

1.A + B = B + A (tính giao hoán)

2.A + (B + C) = (A + B) + C (tính liên kết)

3.a (A + B) = aA + aB (phân phối)

4. (a + b) A = aA + bA (phân phối)

5. (ab) A = a (bA) = b (aA) (asoots.)

6.AB ≠ BA (không có giao tiếp)

7.A (BC) = (AB) C (liên kết) - thực hiện nếu def. Ma trận sản phẩm được thực hiện.

8.A (B + C) = AB + AC (phân phối)

(B + C) A = BA + CA (phân phối)

9.a (AB) = (aA) B = (aB) A

Định thức của ma trận vuông - định nghĩa và các tính chất của nó. Sự phân rã của định thức trong các hàng và cột. Các phương pháp tính định thức.

Nếu ma trận A có bậc m> 1 thì định thức của ma trận này là một số.

Phần bù đại số Aij của phần tử aij của ma trận A là Mij nhỏ nhân với số

LÝ THUYẾT1: Định thức của ma trận A bằng tổng các tích của tất cả các phần tử của một hàng (cột) tùy ý và phần phụ đại số của chúng.

Tính chất cơ bản của định thức.

1. Định thức của ma trận sẽ không thay đổi khi nó được hoán vị.

2. Khi hoán vị hai hàng (cột), định thức đổi dấu, nhưng giá trị tuyệt đối của nó không thay đổi.

3. Định thức của ma trận có hai hàng (cột) giống nhau là 0.

4. Khi nhân một hàng (cột) của ma trận với một số, định thức của nó được nhân với số này.

5. Nếu một trong các hàng (cột) của ma trận gồm 0, thì định thức của ma trận này là 0.

6. Nếu tất cả các phần tử của hàng (cột) thứ i của ma trận được trình bày dưới dạng tổng của hai số hạng, thì định thức của nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các định thức của hai ma trận.

7. Định thức sẽ không thay đổi nếu tương ứng, các phần tử của một cột (hàng) được thêm vào các phần tử của cột (hàng) khác bằng cách nhân giống trước. cho cùng một số.

8. Tổng các phần tử tùy ý của bất kỳ cột (hàng) nào của định thức thành phần bù đại số tương ứng của các phần tử của cột (hàng) khác là 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif "width =" 46 "height =" 27 ">

Các phương pháp tính định thức:

1. Theo định nghĩa hoặc Định lý 1.

2. Quy đổi về dạng tam giác.

Định nghĩa và các tính chất của ma trận nghịch đảo. Tính toán ma trận nghịch đảo. Phương trình ma trận.

Định nghĩa: Ma trận vuông bậc n được gọi là nghịch đảo của ma trận A cùng bậc và được kí hiệu là

Để ma trận A có ma trận nghịch đảo thì định thức của ma trận A khác 0 là cần và đủ.

Thuộc tính ma trận nghịch đảo:

1. Tính duy nhất: đối với một ma trận A cho trước, nghịch đảo của nó là duy nhất.

2. định thức ma trận

3. Các phép toán lấy chuyển vị và lấy ma trận nghịch đảo.

Phương trình ma trận:

Cho A và B là hai ma trận vuông cùng bậc.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif "width =" 163 "height =" 11 src = ">

Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập của cột ma trận. Tính chất của sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập tuyến tính của hệ thống cột.

Các cột А1, А2… An được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có một kết hợp tuyến tính không tầm thường của chúng bằng cột thứ 0.

Các cột А1, А2… An được gọi là độc lập tuyến tính nếu có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của chúng bằng cột thứ 0.

Một tổ hợp tuyến tính được gọi là nhỏ nếu tất cả các hệ số С (l) bằng 0 và không tầm thường nếu không.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif "width =" 88 "height =" 24 ">

2. Để các cột phụ thuộc tuyến tính, cần và đủ rằng một số cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Đặt 1 trong các cột https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif "width =" 13 "height =" 23 src = "> là kết hợp tuyến tính của các cột khác.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif "width =" 79 "height =" 24 "> phụ thuộc tuyến tính, khi đó tất cả các cột đều phụ thuộc tuyến tính.

4. Nếu một hệ thống cột độc lập tuyến tính, thì bất kỳ hệ thống con nào của nó cũng độc lập tuyến tính.

(Mọi thứ được nói về cột cũng đúng với hàng).

Trẻ vị thành niên ma trận. Trẻ vị thành niên cơ bản. Xếp hạng ma trận. Phương pháp tính toán hạng của ma trận.

Con bậc của ma trận A là định thức có các phần tử nằm ở giao điểm của k hàng và k hàng của ma trận A.

Nếu tất cả các con bậc k của ma trận A = 0, thì bất kỳ con nào bậc k + 1 cũng bằng 0.

Vị thành niên cơ bản.

Bậc của ma trận A là bậc của ma trận nhỏ cơ sở của nó.

Phương pháp đánh dấu giáp lai: - Ta chọn phần tử khác 0 của ma trận A (Nếu phần tử này không tồn tại thì hạng của A \ u003d 0)

Chúng tôi biên giới nhỏ trước của đơn hàng 1 với phụ của đơn hàng 2. (Nếu hạng của trẻ vị thành niên này không bằng 0, thì hạng> = 2) Nếu hạng của trẻ vị thành niên này = 0, thì chúng ta biên giới trẻ vị thành niên đã chọn với các trẻ vị thành niên bậc 2 khác. (Nếu tất cả các con của bậc 2 = 0 thì bậc của ma trận = 1).

Xếp hạng ma trận. Các phương pháp tìm hạng của ma trận.

Bậc của ma trận A là bậc của ma trận nhỏ cơ sở của nó.

Phương pháp tính toán:

1) Phương pháp giáp ranh giữa các con: -Chọn phần tử khác 0 của ma trận A (nếu không có phần tử này thì xếp hạng = 0) - Viền con thứ bậc 1 trước với con thứ bậc 2..gif "width = "40" height = "22"> r + 1 Mr + 1 = 0.

2) Đưa ma trận về dạng bậc: phương pháp này dựa trên các phép biến đổi cơ bản. Trong các phép biến đổi cơ bản, hạng của ma trận không thay đổi.

Các phép biến hình sau đây được gọi là phép biến hình cơ bản:

Hoán vị hai hàng (cột).

Phép nhân tất cả các phần tử của một số cột (hàng) với một số không = 0.

Phép cộng cho tất cả các phần tử của một cột (hàng) nào đó các phần tử của cột (hàng) khác, trước đó đã được nhân với cùng một số.

Định lý nhỏ cơ bản. Điều kiện cần và đủ để định thức có giá trị bằng không.

Con cơ sở của ma trận A là con của bậc k lớn nhất khác 0.

Định lý nhỏ cơ bản:

Các hàng (cột) cơ bản độc lập tuyến tính. Hàng (cột) bất kỳ của ma trận A là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) cơ bản.

Ghi chú: Các hàng và cột tại giao điểm có một cột nhỏ cơ bản được gọi là hàng và cột cơ bản, tương ứng.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22… .a2r a2j

a31 a32… .a3r a3j

ar1 ar2… .arr arj

ak1 ak2… ..akr akj

Điều kiện cần và đủ để định thức bằng 0:

Để định thức của bậc thứ n = 0, cần và đủ rằng các hàng (cột) của nó phải phụ thuộc tuyến tính.

Hệ phương trình tuyến tính, các dạng phân loại và ký hiệu của chúng. Quy tắc của Cramer.

Xét một hệ gồm 3 phương trình tuyến tính với ba ẩn số:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif "alt =" (! LANG: l14image048" width="64" height="38 id=">!}

được gọi là yếu tố quyết định của hệ thống.

Chúng tôi tạo thêm ba định thức như sau: chúng tôi thay thế liên tiếp các cột 1, 2 và 3 trong định thức D bằng một cột các số hạng tự do

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif "alt =" (! LANG: l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Bằng chứng. Vì vậy, hãy xem xét một hệ thống gồm 3 phương trình với ba ẩn số. Ta nhân phương trình thứ nhất của hệ với phần bù đại số A11 của phần tử a11, phương trình thứ 2 với A21 và phương trình thứ 3 với A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif "alt =" (! LANG: l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Hãy xem xét từng dấu ngoặc và vế phải của phương trình này. Theo định lý về sự mở rộng của định thức theo các phần tử của cột thứ nhất

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif "alt =" (! LANG: l14image060" width="324" height="42 id=">!}

Tương tự, nó có thể được chỉ ra rằng và.

Cuối cùng, có thể dễ dàng nhận thấy rằng

Do đó, chúng ta có được sự bằng nhau:.

Do đó, .

Các giá trị bằng nhau và được suy ra tương tự, khi đó khẳng định của định lý tuân theo.

Hệ phương trình tuyến tính. Điều kiện tương thích đối với phương trình tuyến tính. Định lý Kronecker-Capelli.

Nghiệm của một hệ phương trình đại số là một bộ gồm n số C1, C2, C3 …… Cn, khi được thay vào hệ ban đầu thay cho x1, x2, x3… ..xn, biến tất cả các phương trình của hệ thống thành danh tính.

Một hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một nghiệm.

Một hệ thống chung được gọi là xác định nếu nó có một nghiệm duy nhất và không xác định nếu nó có vô số nghiệm.

Điều kiện để có sự tương thích của hệ phương trình đại số tuyến tính.

a11 a12 …… a1n x1 b1

a21 a22 …… a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2… ..amn xn bn

LÝ THUYẾT: Để một hệ gồm m phương trình tuyến tính có n ẩn số là nhất quán thì cần và đủ để hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận A.

Lưu ý: Định lý này chỉ đưa ra các tiêu chí cho sự tồn tại của một nghiệm, nhưng không chỉ ra một cách để tìm một nghiệm.

10 câu hỏi.

Hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp nhỏ cơ bản là một phương pháp chung để tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.

A = a21 a22… ..a2n

Phương pháp nhỏ cơ bản:

Cho hệ thống nhất quán và RgA = RgA ’= r. Cho phép phụ cơ bản được tô ở góc trên bên trái của ma trận A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif "width =" 22 "height =" 23 src = ">… ... gif" width = "23" height = "23 src = ">… ... gif" width = "22" height = "23 src =">… ... gif "width =" 46 "height =" 23 src = "> -… ..- a

d2 b2-a (2r + 1) x (r + 1) -..- a (2n) x (n)

… = …………..

Dr br-a (rr + 1) x (r + 1) -..- a (rn) x (n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif "width =" 33 "height =" 22 src = ">

Nhận xét: Nếu hạng của ma trận chính và đang xét bằng r = n thì trong trường hợp này dj = bj và hệ có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Một hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả các số hạng tự do của nó đều bằng không.

AX = 0 là hệ thuần nhất.

AX = B là một hệ không thuần nhất.

Hệ thống đồng nhất luôn nhất quán.

X1 = x2 = .. = xn = 0

Định lý 1.

Hệ thuần nhất có nghiệm không thuần nhất khi hạng của ma trận hệ nhỏ hơn số ẩn số.

Định lý 2.

Một hệ thuần nhất gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số có nghiệm khác 0 khi định thức của ma trận A bằng không. (detA = 0)

Tính chất của nghiệm của hệ đồng nhất.

Bất kỳ sự kết hợp tuyến tính nào của một nghiệm đối với một hệ thuần nhất, bản thân nó cũng là một nghiệm của hệ này.

α1C1 + α2C2; α1 và α2 là một số.

A (α1C1 + α2C2) = A (α1C1) + A (α2C2) = α1 (A C1) + α2 (AC2) = 0, tức là k. (A C1) = 0; (AC2) = 0

Đối với một hệ thống không đồng nhất, thuộc tính này không giữ.

Hệ thống quyết định cơ bản.

Định lý 3.

Nếu hạng của hệ ma trận của phương trình có n ẩn số là r thì hệ này có n-r nghiệm độc lập tuyến tính.

Để phần tử cơ sở ở góc trên bên trái. Nếu r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1, 1,0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r, 0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr, 0, 0..1)

Hệ gồm n-r nghiệm độc lập tuyến tính của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với n ẩn số bậc r được gọi là hệ nghiệm cơ bản.

Định lý 4.

Bất kỳ nghiệm nào cho một hệ phương trình tuyến tính đều là một tổ hợp tuyến tính của một nghiệm đối với hệ cơ bản.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Nếu r

12 câu hỏi.

Giải pháp chung của một hệ thống không đồng nhất.

Ngủ (gen. Không đồng nhất) \ u003d COO + SCH (riêng tư)

AX = B (hệ dị thể); AX = 0

(ASoo) + ASch = ASch = B, bởi vì (ASoo) = 0

Ngủ \ u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Giữa

Phương pháp Gauss.

Đây là một phương pháp loại bỏ liên tiếp các ẩn số (các biến) - nó bao gồm thực tế là với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ phương trình ban đầu được rút gọn thành một hệ tương đương có dạng bậc thang, từ đó tất cả các biến khác được tìm thấy tuần tự. , bắt đầu từ các biến cuối cùng.

Cho a ≠ 0 (nếu trường hợp này không xảy ra, thì điều này đạt được bằng cách sắp xếp lại các phương trình).

1) chúng ta loại trừ biến x1 khỏi phương trình thứ hai, thứ ba ... n, nhân phương trình thứ nhất với các số thích hợp và cộng kết quả thu được với phương trình thứ 2, thứ 3 ... thì chúng ta nhận được:

Chúng tôi nhận được một hệ thống tương đương với hệ thống ban đầu.

2) loại trừ biến x2

3) chúng tôi loại trừ biến x3, v.v.

Tiếp tục quá trình loại bỏ tuần tự các biến x4; x5 ... xr-1, chúng ta nhận được cho bước (r-1) -th.

Số không của n-r cuối cùng trong phương trình có nghĩa là vế trái của chúng trông giống như: 0x1 + 0x2 + .. + 0xn

Nếu ít nhất một trong các số вr + 1, вr + 2… không bằng 0, thì đẳng thức tương ứng là không nhất quán và hệ thống (1) không nhất quán. Do đó, đối với bất kỳ hệ thống nhất quán nào, vr + 1… vm này bằng không.

N-r phương trình cuối cùng trong hệ (1; r-1) là đồng nhất và có thể bỏ qua.

Hai trường hợp có thể xảy ra:

a) số phương trình của hệ (1; r-1) bằng số ẩn số, tức là r \ u003d n (trong trường hợp này, hệ có dạng tam giác).

b) r

Sự chuyển từ hệ (1) sang một hệ tương đương (1; r-1) được gọi là bước chuyển trực tiếp của phương pháp Gauss.

Về việc tìm một biến từ hệ thống (1; r-1) - bằng phương pháp ngược lại của phương pháp Gauss.

Các phép biến đổi Gauss được thực hiện một cách thuận tiện bằng cách thực hiện chúng không phải với các phương trình, mà với một ma trận mở rộng của các hệ số của chúng.

13 câu hỏi.

các ma trận tương tự.

Chúng ta sẽ chỉ xem xét các ma trận vuông có bậc n /

Một ma trận A được cho là tương tự như ma trận B (A ~ B) nếu tồn tại một ma trận không kỳ dị S sao cho A = S-1BS.

Tính chất của các ma trận tương tự.

1) Ma trận A tương tự với chính nó. (A ~ A)

Nếu S = E thì EAE = E-1AE = A

2) Nếu A ~ B, thì B ~ A

Nếu A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) Nếu A ~ B và đồng thời B ~ C, thì A ~ C

Cho rằng A = S1-1BS1 và B = S2-1CS2 => A = (S1-1 S2-1) C (S2 S1) = (S2 S1) -1C (S2 S1) = S3-1CS3, trong đó S3 = S2S1

4) Các định thức của các ma trận tương tự là bằng nhau.

Cho rằng A ~ B, cần chứng minh rằng detA = detB.

A = S-1 BS, detA = det (S-1 BS) = detS-1 * detB * detS = 1 / detS * detB * detS (giảm) = detB.

5) Bậc của các ma trận tương tự là như nhau.

Các giá trị riêng và giá trị riêng của ma trận.

Số λ được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu có một vectơ khác không X (cột ma trận) sao cho AX = λ X, vectơ X được gọi là giá trị riêng của ma trận A và tập hợp tất cả các giá trị riêng Được gọi là phổ của ma trận A.

Thuộc tính của eigenvectors.

1) Khi nhân một ký tự riêng với một số, chúng ta nhận được một ký tự riêng có cùng giá trị riêng.

AX \ u003d λ X; Х ≠ 0

α X => A (α X) \ u003d α (AX) \ u003d α (λ X) \ u003d \ u003d λ (α X)

2) Các ký tự có giá trị riêng khác nhau theo từng cặp là độc lập tuyến tính λ1, λ2, .. λk.

Để hệ thống bao gồm vectơ thứ nhất, hãy thực hiện một bước quy nạp:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - nhân với A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \ u003d 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0

Nhân với λn + 1 và trừ

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn + 1 Xn + 1 = 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn + Сn + 1 λn + 1 Хn + 1 = 0

C1 (λ1 –λn + 1) X1 + C2 (λ2 –λn + 1) X2 + .. + Cn (λn –λn + 1) Xn + Cn + 1 (λn + 1 –λn + 1) Xn + 1 = 0

C1 (λ1 –λn + 1) X1 + C2 (λ2 –λn + 1) X2 + .. + Cn (λn –λn + 1) Xn = 0

Điều cần thiết là C1 \ u003d C2 \ u003d ... \ u003d Cn \ u003d 0

Cn + 1 Xn + 1 λn + 1 = 0

Phương trình đặc trưng.

A-λE được gọi là ma trận đặc trưng cho ma trận A.

Để một vectơ khác không X là một ký hiệu của ma trận A, tương ứng với giá trị riêng λ, thì nó cần phải là một nghiệm của một hệ thuần nhất của phương trình đại số tuyến tính (A - λE) X = 0

Hệ thống có một nghiệm không tầm thường khi det (A - XE) = 0 - đây là một phương trình đặc trưng.

Bản tường trình!

Các phương trình đặc trưng của các ma trận tương tự trùng nhau.

det (S-1AS - λЕ) = det (S-1AS - λ S-1ЕS) = det (S-1 (A - λЕ) S) = det S-1 det (A - λЕ) detS = det (A - λЕ)

Đặc biệt đa thức.

det (A - λЕ) - hàm liên quan đến tham số λ

det (A - λЕ) = (-1) n Xn + (- 1) n-1 (a11 + a22 + .. + ann) λn-1 + .. + detA

Đa thức này được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.

Hậu quả:

1) Nếu các ma trận là A ~ B, thì tổng các phần tử đường chéo của chúng bằng nhau.

a11 + a22 + .. + ann = в11 + в22 + .. + вnn

2) Tập hợp các giá trị riêng của các ma trận tương tự trùng nhau.

Nếu phương trình đặc trưng của các ma trận giống nhau thì chúng không nhất thiết phải tương tự.

Đối với ma trận A

Đối với ma trận B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif "width =" 92 "height =" 38 ">

Det (Ag-λE) = (λ11 - λ) (λ22 - λ)… (λnn - λ) = 0

Để ma trận A bậc n có thể chéo hóa được, thì cần phải tồn tại các ký tự riêng độc lập tuyến tính của ma trận A.

Hậu quả.

Nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận A là khác nhau, thì nó có thể theo đường chéo.

Thuật toán tìm thiết bị định vị và giá trị riêng.

1) soạn phương trình đặc trưng

2) tìm nghiệm nguyên của phương trình

3) lập một hệ phương trình để xác định eigenvector.

λi (A-λi E) X = 0

4) tìm ra hệ thống cơ bản của các giải pháp

x1, x2..xn-r, trong đó r là hạng của ma trận đặc trưng.

r = Rg (A - λi E)

5) eigenvector, eigenvalues λi được viết là:

X \ u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, trong đó C12 + C22 + ... C2n ≠ 0

6) chúng tôi kiểm tra xem ma trận có thể được rút gọn thành dạng đường chéo hay không.

7) tìm Ag

Ag = S-1AS S =

15 câu hỏi.

Cơ sở của một đường thẳng, mặt phẳng, không gian.

DIV_ADBLOCK371 ">

Môđun của một vectơ là độ dài của nó, tức là khoảng cách giữa A và B (││, ││). Môđun của vectơ bằng 0, khi vectơ này bằng 0 (│ō│ = 0)

4. vectơ chu vi.

Khối thứ của một vectơ đã cho là một vectơ có cùng phương với vectơ đã cho và có môđun bằng một.

Các vectơ bằng nhau có các ort bằng nhau.

5. Góc giữa hai vectơ.

Đây là phần nhỏ hơn của diện tích, được giới hạn bởi hai tia phát ra từ cùng một điểm và hướng cùng phương với các vectơ đã cho.

Phép cộng vectơ. Nhân một vectơ với một số.

1) Phép cộng hai vectơ

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif "height =" 11 "> + │≤│ │ + │ │

2) Phép nhân một vectơ với một vô hướng.

Tích của một vectơ và một đại lượng là một vectơ mới có:

a) = tích của môđun của vectơ nhân với giá trị tuyệt đối của đại lượng vô hướng.

b) hướng giống như vectơ nhân nếu vô hướng là dương, và ngược lại nếu vô hướng là âm.

λ a (vectơ) => │ λ │ = │ λ │ = │ λ ││ │

Các tính chất của phép toán tuyến tính trên vectơ.

1. Quy luật Giao tiếp.

2. Quy luật liên kết.

3. Phép cộng với số không.

a (vectơ) + ō = a (vectơ)

4. Phép cộng với phép đối.

5. (αβ) = α (β) = β (α)

6; 7. Định luật phân phối.

Biểu thức của một vectơ dưới dạng môđun và vectơ đơn vị của nó.

Số vectơ độc lập tuyến tính tối đa được gọi là cơ sở.

Cơ sở trên một dòng là bất kỳ vectơ nào khác không.

Một cơ sở trên mặt phẳng là bất kỳ hai vectơ không callenary.

Cơ sở trong không gian là một hệ gồm ba vectơ không đồng phẳng bất kỳ.

Hệ số khai triển của một vectơ trong cơ sở nào đó được gọi là thành phần hoặc tọa độ của vectơ trong cơ sở đã cho.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif "height =" 11 src = ">. gif" height = "11 src ="> thực hiện phép cộng và nhân vô hướng, sau đó như một dẫn đến bất kỳ số lượng hành động nào như vậy mà chúng tôi nhận được:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "height =" 11 src = "> + ... gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của chúng bằng ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "height =" 11 src = "> + ... gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> được gọi là độc lập tuyến tính nếu không có sự kết hợp tuyến tính không tầm thường của chúng.

Tính chất của vectơ phụ thuộc tuyến tính và vectơ độc lập:

1) Hệ thống các vectơ chứa vectơ không phụ thuộc tuyến tính.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif "height =" 11 src = "> + ... gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> phụ thuộc tuyến tính, một số vectơ phải là tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.

3) Nếu một số vectơ từ hệ a1 (vectơ), a2 (vectơ) ... ak (vectơ) phụ thuộc tuyến tính, thì tất cả các vectơ đều phụ thuộc tuyến tính.

4) nếu tất cả vectơ https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif "height =" 11 src = ">. Gif" width = "75" height = "11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif "height =" 11 src = ">. gif" height = "11 src =">)

Các phép toán tuyến tính trong tọa độ.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif "height =" 12 src = ">. gif" height = "11 src =">. gif "height =" 11 src = "> .gif "height =" 11 src = "> + (λа3) DIV_ADBLOCK374">

Tích vô hướng của 2 vectơ là một số bằng tích của các vectơ và côsin của góc giữa chúng.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif "width =" 48 "height =" 13 ">

3. (a; b) = 0 nếu và chỉ khi các vectơ trực giao hoặc bất kỳ vectơ nào bằng 0.

4. Trọng lực (αa + βb; c) = α (a; c) + β (b; c)

5. Biểu thức tích vô hướng của a và b dưới dạng tọa độ của chúng

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif "width =" 40 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif "width =" 254 "height =" 13 src = ">

Khi điều kiện (), h, l = 1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif "width =" 176 "height =" 21 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif "height =" 11 "> và vectơ thứ ba được gọi thỏa mãn các phương trình sau:

3. - đúng

Thuộc tính sản phẩm vectơ:

4. Tích vectơ của vectơ tọa độ

cơ sở chính thống.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif "width =" 41 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif "width =" 41 "height =" 11 src = ">

Thường thì 3 ký hiệu được sử dụng để biểu thị các orts của một cơ sở chính thống

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif "width =" 77 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif "width =" 549 "height =" 32 src = ">

Nếu là cơ sở chính thống, thì

DIV_ADBLOCK375 ">

Đường thẳng trên một mặt phẳng. Sự sắp xếp tương hỗ của 2 đoạn thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng. Điều kiện về tính song song và vuông góc của 2 đường thẳng.

1. Trường hợp đặc biệt về vị trí của 2 đường thẳng trên mặt phẳng.

1) - phương trình của một trục thẳng song song OX

2) - phương trình của một đường thẳng song song với trục OS

2. Sự sắp xếp tương hỗ của 2 đoạn thẳng.

Định lý 1 Cho phương trình của các đường thẳng trong hệ tọa độ affine

A) Khi đó điều kiện cần và đủ khi chúng cắt nhau là:

B) Khi đó điều kiện cần và đủ để các đường thẳng song song là điều kiện:

B) Khi đó điều kiện cần và đủ để các dòng hợp nhất thành một là điều kiện:

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng.

Định lý. Khoảng cách từ một điểm đến một đường so với hệ tọa độ Descartes:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif "width =" 34 "height =" 11 src = ">

4. Góc giữa hai đường thẳng. Điều kiện vuông góc.

Cho 2 đường thẳng đối với hệ tọa độ Descartes bằng phương trình tổng quát.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif "width =" 103 "height =" 11 src = ">

Nếu, thì các đường thẳng vuông góc.

24 câu hỏi.

máy bay trong không gian. Điều kiện hợp thành của một vectơ và một mặt phẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Điều kiện song song và vuông góc của hai mặt phẳng.

1. Điều kiện hợp thành của một vectơ và một mặt phẳng.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif "width =" 40 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg "alt =" (! LANG: Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif "width =" 86 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif "width =" 148 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg "alt =" (! LANG: Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif "width =" 31 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif "width =" 328 "height =" 24 src = ">

3. Góc giữa 2 mặt phẳng. Điều kiện vuông góc.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif "width =" 132 "height =" 11 src = ">

Nếu, thì các mặt phẳng vuông góc với nhau.

25 câu hỏi.

Đường thẳng trong không gian. Các dạng phương trình của một đường thẳng trong không gian.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif "width =" 111 "height =" 19 ">

2. Phương trình vectơ của một đường thẳng trong không gian.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif "width =" 40 "height =" 11 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif "width =" 44 "height =" 29 src = ">

4. Phương trình chính tắc là trực tiếp.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif "width =" 34 "height =" 18 src = ">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg "alt =" (! LANG: Untitled3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 câu hỏi.

Hình elip. Suy ra của phương trình hình elip hình nón. Hình thức. Đặc tính

Hình elip là quỹ tích của các điểm mà tổng khoảng cách từ hai khoảng cách cố định, được gọi là foci, là một số cho trước 2a lớn hơn khoảng cách 2c giữa các foci.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif "alt =" (! LANG: image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="image043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

trong Hình 2 r1 = a + ex r2 = a-ex

Tiếp tuyến Ur-e với hình elip

DIV_ADBLOCK378 ">

Phương trình hình nón của một hyperbol

Form và St.

y = ± b / a nhân với căn của (x2-a2)

Trục đối xứng của một hyperbol là các trục của nó

Phân đoạn 2a - trục thực của hyperbol

Độ lệch tâm e = 2c / 2a = c / a

Nếu b = a chúng ta nhận được một hyperbol cân

Đường tiệm cận là một đường thẳng nếu, không giới hạn điểm M1 dọc theo đường cong, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng có xu hướng bằng không.

lim d = 0 với x-> ∞

d = ba2 / (x1 + (x21-a2) 1/2 / c)

tiếp tuyến của hyperbola

xx0 / a2 - yy0 / b2 = 1

parabol - quỹ tích của các điểm cách đều một điểm được gọi là tiêu điểm và một đường cho trước được gọi là ma trận

Phương trình parabol hình nón

đặc tính

trục đối xứng của parabol đi qua tiêu điểm của nó và vuông góc với ma trận

nếu bạn xoay parabol, bạn sẽ có một paraboloid hình elip

tất cả các parabol đều giống nhau

Câu 30. Khảo sát phương trình dạng tổng quát của một đường cong bậc hai.

Loại đường cong def. với các thuật ngữ hàng đầu A1, B1, C1

A1x12 + 2Bx1y1 + C1y12 + 2D1x1 + 2E1y1 + F1 = 0

1. AC = 0 -> đường cong dạng parabol

A = C = 0 => 2Dx + 2Ey + F = 0

A ≠ 0 C = 0 => Ax2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

Nếu E = 0 => Ax2 + 2Dx + F = 0

sau đó x1 = x2 - hợp nhất thành một

x1 ≠ x2 - các đường thẳng song song Oy

x1 ≠ x2 và các nghiệm nguyên, không có hình ảnh hình học

C ≠ 0 A = 0 => C1y12 + 2D1x1 + 2E1y1 + F1 = 0

Kết luận: một đường cong parabol hoặc là một parabol, hoặc 2 đường thẳng song song, hoặc ảo hoặc hợp nhất thành một.

2.AC> 0 -> đường cong kiểu elliptic

Bổ sung phương trình ban đầu thành bình phương đầy đủ, chúng ta biến đổi nó thành phương trình chính tắc, sau đó chúng ta nhận được các trường hợp

(x-x0) 2 / a2 + (y-y0) 2 / b2 = 1 - hình elip

(x-x0) 2 / a2 + (y-y0) 2 / b2 = -1 - hình elip tưởng tượng

(x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = 0 - điểm có tọa độ x0 y0

Kết luận: đường cong el. loại là một hình elip, hoặc ảo hoặc một điểm

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = 1 hyperbol, trục thực song song

(x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = -1 hyperbol, trục thực song song với Oy

(x-x0) 2 / a2- (y-y0) 2 / b2 = 0 ur-e của hai đường

Kết luận: một đường cong thuộc loại hypebol có thể là một hypebol hoặc hai đường thẳng

Hướng dẫn này sẽ giúp bạn học cách hoạt động ma trận: cộng (trừ) ma trận, chuyển vị ma trận, nhân ma trận, tìm nghịch đảo của ma trận. Tất cả tài liệu được trình bày ở dạng đơn giản và dễ tiếp cận, các ví dụ có liên quan được đưa ra, vì vậy ngay cả một người chưa chuẩn bị cũng có thể học cách thực hiện các hành động với ma trận. Để tự kiểm tra và tự kiểm tra, các bạn có thể tải miễn phí công cụ tính ma trận >>>.

Tôi sẽ cố gắng giảm thiểu các tính toán lý thuyết, ở một số nơi có thể giải thích "trên đầu ngón tay" và việc sử dụng các thuật ngữ phi khoa học là có thể xảy ra. Những người yêu thích lý thuyết vững chắc, vui lòng không tham gia vào những lời chỉ trích, nhiệm vụ của chúng tôi là học cách làm việc với ma trận.

Để chuẩn bị SIÊU NHANH về chủ đề này (ai là người "đốt cháy"), có một khóa học pdf cấp tốc Ma trận, định thức và phần bù!

Ma trận là một bảng hình chữ nhật gồm một số các yếu tố. Như các yếu tố chúng ta sẽ xem xét các con số, tức là các ma trận số. YẾU TỐ là một thuật ngữ. Thuật ngữ này là điều mong muốn, nó sẽ thường xuyên xảy ra, không phải ngẫu nhiên mà tôi sử dụng chữ đậm để tô đậm nó.

Chỉ định: ma trận thường được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh viết hoa

Thí dụ: Hãy xem xét một ma trận hai nhân ba:

Ma trận này bao gồm sáu các yếu tố:

Tất cả các số (phần tử) bên trong ma trận đều tồn tại riêng, nghĩa là không có bất kỳ phép trừ nào:

Nó chỉ là một bảng (tập hợp) các con số!

Chúng tôi cũng sẽ đồng ý đừng sắp xếp lại số, trừ khi có quy định khác trong phần giải thích. Mỗi số có vị trí riêng và bạn không thể xáo trộn chúng!

Ma trận được đề cập có hai hàng:

và ba cột:

TIÊU CHUẨN: khi nói về các kích thước của ma trận, thì Đầu tiên cho biết số hàng và chỉ sau đó - số cột. Chúng tôi vừa chia nhỏ ma trận hai nhân ba.

Nếu số hàng và số cột của ma trận là như nhau thì ma trận được gọi là Quảng trường, Ví dụ: là một ma trận ba nhân ba.

Nếu ma trận có một cột hoặc một hàng, thì các ma trận như vậy cũng được gọi là vectơ.

Trên thực tế, chúng ta đã biết khái niệm ma trận từ thời đi học, chẳng hạn, hãy xem xét một điểm có tọa độ "x" và "y":. Về cơ bản, tọa độ của một điểm được viết thành ma trận một x hai. Nhân tiện, đây là một ví dụ cho bạn tại sao thứ tự của các số lại quan trọng: và là hai điểm hoàn toàn khác nhau của mặt phẳng.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang nghiên cứu. hoạt động ma trận:

1) Hành động một. Xóa trừ khỏi ma trận (Đưa một trừ vào ma trận).

Quay lại ma trận của chúng tôi . Như bạn có thể nhận thấy, có quá nhiều số âm trong ma trận này. Điều này rất bất tiện khi thực hiện các hành động khác nhau với ma trận, thật bất tiện khi viết quá nhiều điểm nhỏ và nó trông xấu xí trong thiết kế.

Hãy di chuyển số trừ ra bên ngoài ma trận bằng cách thay đổi dấu của MỖI phần tử của ma trận:

Tại số 0, như bạn hiểu, dấu hiệu không thay đổi, số không - nó cũng là số không ở Châu Phi.

Ví dụ ngược lại: . Trông thật xấu xí.

Chúng tôi đưa phép trừ vào ma trận bằng cách thay đổi dấu của MỖI phần tử của ma trận:

Chà, nó đẹp hơn nhiều. Và, quan trọng nhất, sẽ DỄ DÀNG HƠN khi thực hiện bất kỳ hành động nào với ma trận. Bởi vì có một dấu hiệu dân gian toán học như vậy: càng nhiều điểm yếu - càng nhiều nhầm lẫn và sai sót.

2) Hành động hai. Nhân một ma trận với một số.

Thí dụ:

Thật đơn giản, để nhân một ma trận với một số, bạn cần mỗi nhân phần tử ma trận với số đã cho. Trong trường hợp này, ba.

Một ví dụ hữu ích khác:

- phép nhân ma trận với một phân số

Đầu tiên chúng ta hãy xem những việc cần làm KHÔNG CẦN:

Việc nhập một phân số vào ma trận là KHÔNG CẦN THIẾT, thứ nhất, nó chỉ làm cho các thao tác tiếp theo với ma trận trở nên khó khăn và thứ hai, nó khiến giáo viên khó kiểm tra lời giải (đặc biệt là nếu - câu trả lời cuối cùng của nhiệm vụ).

Và đặc biệt, KHÔNG CẦN chia mỗi phần tử của ma trận cho trừ đi bảy:

Từ bài báo Toán học cho hình nộm hoặc bắt đầu từ đâu, chúng tôi nhớ rằng các phân số thập phân có dấu phẩy trong toán học cao hơn đang cố gắng bằng mọi cách có thể để tránh.

Điều duy nhất mong muốn trong ví dụ này phải làm là chèn một dấu trừ vào ma trận:

Nhưng nếu TẤT CẢ CÁC phần tử ma trận được chia cho 7 Không một dâu vêt, thì có thể (và cần thiết!) để phân chia.

Thí dụ:

Trong trường hợp này, bạn có thể CẦN nhân tất cả các phần tử của ma trận với, vì tất cả các số trong ma trận đều chia hết cho 2 Không một dâu vêt.

Lưu ý: trong lý thuyết của toán học cao hơn không có khái niệm trường học về "phép chia". Thay vì cụm từ "cái này chia cho cái này", bạn luôn có thể nói "cái này nhân với một phân số". Tức là phép chia là một trường hợp đặc biệt của phép nhân.

3) Hành động ba. Chuyển vị ma trận.

Để chuyển vị một ma trận, bạn cần viết các hàng của nó vào các cột của ma trận đã chuyển vị.

Thí dụ:

Ma trận Transpose

Chỉ có một dòng ở đây và theo quy tắc, nó phải được viết trong một cột:

là ma trận chuyển vị.

Ma trận chuyển vị thường được biểu thị bằng một chỉ số trên hoặc một nét ở trên cùng bên phải.

Ví dụ từng bước:

Ma trận Transpose

Đầu tiên, chúng tôi viết lại hàng đầu tiên thành cột đầu tiên:

Sau đó, chúng tôi viết lại hàng thứ hai thành cột thứ hai:

Và cuối cùng, chúng tôi viết lại hàng thứ ba thành cột thứ ba:

Sẳn sàng. Nói một cách đại khái, hoán vị có nghĩa là biến ma trận về phía của nó.

4) Hành động bốn. Tổng (hiệu số) của các ma trận.

Tổng các ma trận là một phép toán đơn giản.
KHÔNG CÓ THỂ GẤP GẤP TẤT CẢ CÁC TRẬN ĐẤU. Để thực hiện phép cộng (trừ) các ma trận, điều cần thiết là chúng phải có KÍCH THƯỚC CÙNG NHAU.

Ví dụ, nếu một ma trận hai x hai được cho, thì nó chỉ có thể được thêm vào ma trận hai nhân hai và không có cái nào khác!

Thí dụ:

Thêm ma trận và

Để thêm ma trận, bạn cần thêm các phần tử tương ứng của chúng:

Đối với sự khác biệt của các ma trận, quy tắc tương tự, cần phải tìm ra sự khác biệt của các phần tử tương ứng.

Thí dụ:

Tìm sự khác biệt của ma trận ,

Và làm thế nào để giải quyết ví dụ này dễ dàng hơn, để không bị nhầm lẫn? Bạn nên loại bỏ những điểm tối thiểu không cần thiết, vì điều này, chúng tôi sẽ thêm một dấu trừ vào ma trận:

Lưu ý: trong lý thuyết của toán học cao hơn không có khái niệm trường học về "phép trừ". Thay vì cụm từ “trừ số này cho số này”, bạn luôn có thể nói “thêm một số âm vào số này”. Tức là phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng.

5) Hành động năm. Phép nhân ma trận.

Những ma trận nào có thể được nhân lên?

Để một ma trận được nhân với một ma trận, sao cho số cột của ma trận bằng số hàng của ma trận.

Thí dụ:
Có thể nhân một ma trận với một ma trận không?

Vì vậy, bạn có thể nhân dữ liệu của ma trận.

Nhưng nếu các ma trận được sắp xếp lại, thì trong trường hợp này, phép nhân không còn khả thi nữa!

Do đó, phép nhân là không thể:

Không có gì lạ đối với các nhiệm vụ có một mẹo nhỏ, khi một học sinh được yêu cầu nhân ma trận, việc nhân ma trận rõ ràng là không thể.

Cần lưu ý rằng trong một số trường hợp có thể nhân ma trận theo cả hai cách.
Ví dụ, đối với ma trận, và cả phép nhân và phép nhân đều có thể