Nếu bậc của các ma trận bằng nhau thì. Thứ hạng ma trận và thứ hạng cơ sở của ma trận

Sự định nghĩa. Xếp hạng ma trận là số hàng độc lập tuyến tính tối đa được coi là vectơ.

Định lý 1 về hạng của ma trận. Xếp hạng ma trận là bậc lớn nhất của một con khác 0 của ma trận.

Chúng ta đã thảo luận về khái niệm thừa số trong bài học về định thức, và bây giờ chúng ta sẽ khái quát nó. Hãy lấy một số hàng và một số cột trong ma trận, và "cái gì đó" này phải nhỏ hơn số hàng và cột của ma trận, và đối với các hàng và cột, "cái gì đó" phải bằng một số. Khi đó tại giao điểm của bao nhiêu hàng và bao nhiêu cột sẽ có một ma trận có bậc nhỏ hơn ma trận ban đầu của chúng ta. Định thức của ma trận này sẽ là con bậc k nếu "cái gì đó" được đề cập (số hàng và cột) được ký hiệu là k.

Sự định nghĩa. Diễn viên phụ ( r+1) -thứ tự, bên trong bao gồm trẻ vị thành niên được chọn r-thứ tự, được gọi là giáp cho trẻ vị thành niên nhất định.

Hai phương pháp được sử dụng phổ biến nhất tìm thứ hạng của ma trận. nó cách di chuyển của trẻ vị thành niên và phương pháp biến đổi cơ bản(theo phương pháp Gauss).

Phương pháp phân biệt các con giáp sử dụng định lý sau.

Định lý 2 về hạng của ma trận. Nếu có thể lập một phụ từ các phần tử của ma trận r bậc, không bằng 0, thì hạng của ma trận bằng r.

Với phương pháp biến đổi cơ bản, thuộc tính sau được sử dụng:

Nếu ma trận hình thang tương đương với ma trận ban đầu thu được bằng các phép biến đổi cơ bản, thì thứ hạng của ma trận này là số dòng trong đó ngoại trừ các dòng hoàn toàn bằng số không.

Tìm thứ hạng của một ma trận bằng phương pháp các con giáp

Một trẻ vị thành niên giáp là trẻ vị thành niên của bậc cao hơn trong mối quan hệ với một trẻ vị thành niên đã cho, nếu trẻ vị thành niên của bậc cao hơn có chứa trẻ vị thành niên nhất định.

Ví dụ, cho trước ma trận

Hãy coi một trẻ vị thành niên

viền sẽ là những trẻ vị thành niên như vậy:

Thuật toán tìm hạng của ma trận tiếp theo.

1. Chúng tôi tìm thấy các trẻ vị thành niên của bậc hai không bằng không. Nếu tất cả các con hạng hai đều bằng 0, thì hạng của ma trận sẽ bằng một ( r =1 ).

2. Nếu tồn tại ít nhất một trẻ vị thành niên bậc hai không bằng 0, thì chúng tôi tính các trẻ vị thành niên bậc ba giáp ranh. Nếu tất cả các con giáp bậc ba bằng 0, thì thứ hạng của ma trận là hai ( r =2 ).

3. Nếu ít nhất một trong các con giáp của bậc ba không bằng 0, thì ta tính các con giáp đó. Nếu tất cả các con lân cận bậc bốn bằng 0, thì thứ hạng của ma trận là ba ( r =2 ).

4. Tiếp tục miễn là kích thước của ma trận cho phép.

ví dụ 1 Tìm hạng của ma trận

Dung dịch. Phần nhỏ của đơn hàng thứ hai .

Chúng tôi đóng khung nó. Sẽ có bốn con giáp:

Do đó, tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba giáp nhau đều bằng 0, do đó, hạng của ma trận này là hai ( r =2 ).

Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận

Dung dịch. Hạng của ma trận này là 1, vì tất cả các trẻ vị thành niên bậc hai của ma trận này đều bằng 0 (trong trường hợp này, như trong trường hợp các trẻ vị thành niên giáp ranh trong hai ví dụ tiếp theo, xin mời các bạn học sinh tự kiểm chứng, có lẽ sử dụng các quy tắc để tính toán các định thức), và giữa các phần tử bậc nhất, tức là trong số các phần tử của ma trận, không có số nào bằng không.

Ví dụ 3 Tìm hạng của ma trận

Dung dịch. Con bậc hai của ma trận này là và tất cả các con bậc ba của ma trận này bằng 0. Do đó, hạng của ma trận này là hai.

Ví dụ 4 Tìm hạng của ma trận

Dung dịch. Bậc của ma trận này là 3 vì bậc ba duy nhất của ma trận này là 3.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản (bằng phương pháp Gauss)

Đã có trong ví dụ 1, có thể thấy rằng bài toán xác định hạng của ma trận bằng phương pháp cận tử yêu cầu tính toán một số lượng lớn các định thức. Tuy nhiên, có một cách để giảm lượng tính toán xuống mức tối thiểu. Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các phép biến đổi ma trận sơ cấp và còn được gọi là phương pháp Gauss.

Các phép biến đổi cơ bản của ma trận có nghĩa là các phép toán sau:

1) phép nhân bất kỳ hàng hoặc cột bất kỳ của ma trận với một số khác 0;

2) thêm vào các phần tử của bất kỳ hàng hoặc bất kỳ cột nào của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng hoặc cột khác, nhân với cùng một số;

3) hoán đổi hai hàng hoặc cột của ma trận;

4) loại bỏ các hàng "null", nghĩa là, tất cả các phần tử của chúng đều bằng 0;

5) xóa tất cả các đường tỷ lệ, ngoại trừ một.

Định lý. Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. Nói cách khác, nếu chúng ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản từ ma trận Mộtđi đến ma trận B, sau đó .

Hạng của ma trận là một đặc tính số quan trọng. Bài toán điển hình nhất yêu cầu tìm hạng của ma trận là kiểm tra tính tương thích của một hệ phương trình đại số tuyến tính. Trong bài này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm hạng của ma trận và xem xét các phương pháp tìm nó. Để đồng hóa tài liệu tốt hơn, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các giải pháp của một số ví dụ.

Điều hướng trang.

Xác định hạng của ma trận và các khái niệm bổ sung cần thiết.

Trước khi phát biểu định nghĩa về hạng của ma trận, người ta nên hiểu rõ về khái niệm hạng dưới, và việc tìm ra hạng của ma trận ngụ ý khả năng tính toán định thức. Vì vậy chúng tôi đề nghị, nếu cần thiết, hãy nhớ lại lý thuyết của bài báo, các phương pháp tìm định thức ma trận, các tính chất của định thức.

Lấy một ma trận A có thứ tự. Gọi k là số tự nhiên không vượt quá số nhỏ nhất trong các số m và n, nghĩa là .

Sự định nghĩa.

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận A là định thức của ma trận vuông bậc, bao gồm các phần tử của ma trận A, nằm trong k hàng và k cột được chọn trước, và vị trí của các phần tử của ma trận A được giữ nguyên.

Nói cách khác, nếu chúng ta xóa (p – k) hàng và (n – k) cột trong ma trận A, và tạo thành một ma trận từ các phần tử còn lại, bảo toàn cách sắp xếp các phần tử của ma trận A, thì định thức của ma trận kết quả là Một con bậc k của ma trận A.

Hãy xem định nghĩa của một ma trận nhỏ bằng cách sử dụng một ví dụ.

Xem xét ma trận .

Hãy để chúng tôi viết ra một số con bậc nhất của ma trận này. Ví dụ: nếu chúng ta chọn hàng thứ ba và cột thứ hai của ma trận A, thì lựa chọn của chúng ta tương ứng với một con bậc nhất . Nói cách khác, để có được số nhỏ này, chúng tôi đã gạch bỏ hàng đầu tiên và hàng thứ hai, cũng như các cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư khỏi ma trận A, và tạo thành định thức từ phần tử còn lại. Nếu chúng ta chọn hàng đầu tiên và cột thứ ba của ma trận A, thì chúng ta nhận được một số nhỏ .

Hãy để chúng tôi minh họa quy trình nhận trẻ vị thành niên được coi là bậc một
và .

Do đó, các phần tử bậc nhất của ma trận chính là các phần tử của ma trận.

Hãy để chúng tôi hiển thị một số trẻ vị thành niên của đơn đặt hàng thứ hai. Chọn hai hàng và hai cột. Ví dụ: lấy hàng đầu tiên và hàng thứ hai và cột thứ ba và thứ tư. Với sự lựa chọn này, chúng tôi có một trẻ vị thành niên bậc hai . Con số nhỏ này cũng có thể được hình thành bằng cách xóa hàng thứ ba, cột đầu tiên và cột thứ hai khỏi ma trận A.

Một con khác bậc hai của ma trận A là.

Hãy để chúng tôi minh họa cấu tạo của những trẻ vị thành niên bậc hai này
và .

Tương tự như vậy, các con bậc ba của ma trận A. Vì chỉ có ba hàng trong ma trận A, chúng tôi chọn tất cả chúng. Nếu chúng tôi chọn ba cột đầu tiên cho các hàng này, thì chúng tôi nhận được một phần nhỏ của đơn hàng thứ ba

Nó cũng có thể được xây dựng bằng cách xóa cột cuối cùng của ma trận A.

Một trẻ vị thành niên bậc ba khác là

thu được bằng cách xóa cột thứ ba của ma trận A.

Đây là một bản vẽ cho thấy việc xây dựng những trẻ vị thành niên thuộc trật tự thứ ba này
và .

Đối với một ma trận A đã cho, không có phần tử nào có thứ tự cao hơn thứ ba, kể từ đó.

Có bao nhiêu con bậc k của ma trận A bậc nhất tồn tại?

Số lượng đơn hàng k trẻ vị thành niên có thể được tính như thế nào, ở đâu và - số lượng các tổ hợp từ p đến k và từ n đến k tương ứng.

Làm thế nào để xây dựng tất cả các con bậc k của ma trận A bậc p trên n?

Chúng ta cần một tập hợp các số hàng ma trận và một tập hợp các số cột. Ghi lại mọi thứ tổ hợp các phần tử p theo k(chúng sẽ tương ứng với các hàng đã chọn của ma trận A khi xây dựng một con nhỏ của bậc k). Với mỗi tổ hợp số hàng, chúng ta cộng tuần tự tất cả các tổ hợp gồm n phần tử với k số cột. Những tập hợp tổ hợp số hàng và số cột của ma trận A này sẽ giúp tổng hợp tất cả các số nhỏ của thứ tự k.

Hãy lấy một ví dụ.

Thí dụ.

Tìm tất cả các con bậc hai của ma trận.

Dung dịch.

Vì thứ tự của ma trận ban đầu là 3 x 3, nên tổng số ma trận thứ hai sẽ là .

Hãy viết ra tất cả các tổ hợp từ 3 đến 2 số hàng của ma trận A: 1, 2; 1, 3 và 2, 3. Tất cả các kết hợp của 3 với 2 số cột là 1, 2; 1, 3 và 2, 3.

Lấy hàng đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận A. Chọn cột đầu tiên và cột thứ hai cho các hàng này, cột đầu tiên và cột thứ ba, cột thứ hai và thứ ba, chúng tôi thu được tương ứng, các cột phụ

Đối với hàng đầu tiên và hàng thứ ba, với sự lựa chọn cột tương tự, chúng ta có

Nó vẫn là thêm các cột đầu tiên và thứ hai, thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ ba vào hàng thứ hai và thứ ba:

Vì vậy, tất cả chín phần tử bậc hai của ma trận A được tìm thấy.

Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang xác định hạng của ma trận.

Sự định nghĩa.

Xếp hạng ma trận là bậc cao nhất của ma trận nhỏ khác 0.

Hạng của ma trận A được ký hiệu là Hạng (A). Bạn cũng có thể thấy các ký hiệu Rg (A) hoặc Rang (A).

Từ các định nghĩa về hạng của ma trận và hạng của ma trận, chúng ta có thể kết luận rằng hạng của ma trận không bằng 0 và hạng của ma trận khác không ít nhất là một.

Tìm hạng của ma trận theo định nghĩa.

Vì vậy, phương pháp đầu tiên để tìm hạng của ma trận là phương pháp liệt kê nhỏ. Phương pháp này dựa trên việc xác định hạng của ma trận.

Chúng ta cần tìm hạng của ma trận A có thứ tự.

Mô tả ngắn gọn thuật toán giải pháp của vấn đề này bằng phương pháp liệt kê những người chưa thành niên.

Nếu có ít nhất một phần tử ma trận khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất bằng một (vì có một hạng tử bậc nhất không bằng 0).

Tiếp theo, chúng tôi lặp lại các phần tử của đơn hàng thứ hai. Nếu tất cả các con hạng hai đều bằng 0, thì hạng của ma trận bằng một. Nếu tồn tại ít nhất một số nhỏ bậc hai khác 0, thì chúng ta chuyển sang phép liệt kê các số nhỏ bậc ba và hạng của ma trận ít nhất bằng hai.

Tương tự, nếu tất cả các phần tử bậc ba bằng 0, thì hạng của ma trận là hai. Nếu có ít nhất một số nhỏ bậc ba khác 0, thì hạng của ma trận ít nhất là ba, và chúng tôi tiến hành liệt kê các trẻ vị thành niên bậc bốn.

Lưu ý rằng hạng của ma trận không được vượt quá hạng nhỏ nhất của p và n.

Thí dụ.

Tìm hạng của ma trận .

Dung dịch.

Vì ma trận khác 0 nên hạng của nó không nhỏ hơn một.

Phần nhỏ của đơn hàng thứ hai khác 0, do đó, hạng của ma trận A ít nhất là hai. Chúng tôi chuyển sang phần liệt kê trẻ vị thành niên của bậc thứ ba. Tất cả bọn họ nhiều thứ.

Tất cả trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận là hai.

Câu trả lời:

Xếp hạng (A) = 2.

Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp lập diềm.

Có những phương pháp khác để tìm thứ hạng của ma trận cho phép bạn nhận được kết quả mà ít phải tính toán hơn.

Một trong những phương pháp này là phương pháp nhỏ viền.

Hãy đối phó với khái niệm về một trẻ vị thành niên giáp ranh.

Người ta nói rằng M chính phụ bậc (k + 1) của ma trận A bao quanh M phụ tử bậc k của ma trận A nếu ma trận tương ứng với M phụ tử "chứa" ma trận tương ứng với cấp phụ M.

Nói cách khác, ma trận tương ứng với M phụ cận kề được lấy từ ma trận tương ứng với M phụ cận kề ok bằng cách xóa các phần tử của một hàng và một cột.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận và lấy một phần nhỏ của đơn đặt hàng thứ hai. Hãy viết ra tất cả các trẻ vị thành niên giáp ranh:

Phương pháp toán tử biên được chứng minh bởi định lý sau (chúng tôi trình bày công thức của nó mà không cần chứng minh).

Định lý.

Nếu tất cả các con giáp với con bậc k của ma trận A bậc p với n đều bằng 0, thì tất cả các con bậc (k + 1) của ma trận A đều bằng 0.

Như vậy, để tìm hạng của một ma trận, không nhất thiết phải liệt kê tất cả các con giáp là đủ. Số lượng con giáp với con thứ bậc k của ma trận A theo thứ tự được tìm thấy bằng công thức . Lưu ý rằng không có nhiều con giáp với con bậc k của ma trận A hơn số con bậc (k + 1) của ma trận A. Vì vậy, trong hầu hết các trường hợp, việc sử dụng phương pháp đánh giáp ranh giới có lợi hơn so với chỉ đơn giản là liệt kê tất cả các trẻ vị thành niên.

Chúng ta hãy tiến hành tìm hạng của một ma trận bằng phương pháp lập diềm. Mô tả ngắn gọn thuật toán phương pháp này.

Nếu ma trận A khác 0 thì ta lấy bất kỳ phần tử nào của ma trận A khác 0 làm con bậc nhất. Chúng tôi xem xét những trẻ vị thành niên giáp ranh của nó. Nếu tất cả chúng đều bằng 0, thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một con giáp khác 0 (thứ tự của nó bằng hai), thì chúng tôi chuyển sang việc xem xét các con giáp của nó. Nếu tất cả chúng bằng 0, thì Xếp hạng (A) = 2. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên giáp biên giới khác không (thứ tự của nó bằng ba), thì chúng tôi xem xét các trẻ vị thành niên giáp ranh của nó. Và như thế. Kết quả là, Xếp hạng (A) = k nếu tất cả các con giáp của ma trận A bậc (k + 1) đều bằng 0, hoặc Xếp hạng (A) = min (p, n) nếu tồn tại một số khác không giáp thứ yếu với thứ tự thứ (min (p, n) - 1).

Hãy phân tích phương pháp lấy số hạng của ma trận để tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng một ví dụ.

Thí dụ.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp tiểu nhân giáp.

Dung dịch.

Vì phần tử a 1 1 của ma trận A khác 0 nên chúng ta coi nó là phần tử bậc nhất. Hãy bắt đầu tìm kiếm một con giáp khác 0:

Tìm thấy một số phụ bậc hai không giáp với nhau. Hãy để chúng tôi liệt kê những trẻ vị thành niên giáp ranh của nó ( nhiều thứ):

Tất cả các con giáp với con hạng hai đều bằng 0, do đó, hạng của ma trận A bằng hai.

Câu trả lời:

Xếp hạng (A) = 2.

Thí dụ.

Tìm hạng của ma trận có sự trợ giúp của tiểu nhân giáp.

Dung dịch.

Là một con khác 0 của bậc nhất, chúng ta lấy phần tử a 1 1 = 1 của ma trận A. Tua nó nhỏ của lệnh thứ hai không bằng không. Trẻ vị thành niên này giáp với trẻ vị thành niên của bậc thứ ba
. Vì nó không bằng 0 và không có con giáp nào đối với nó nên hạng của ma trận A bằng ba.

Câu trả lời:

Xếp hạng (A) = 3.

Tìm hạng bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản của ma trận (theo phương pháp Gauss).

Hãy xem xét một cách khác để tìm hạng của ma trận.

Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là cơ bản:

hoán vị của các hàng (hoặc cột) của ma trận;
phép nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận với một số k tùy ý khác 0;
cộng vào các phần tử của hàng (cột) bất kỳ các phần tử tương ứng của hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k tùy ý.

Ma trận B được gọi là tương đương với ma trận A, nếu B nhận được từ A với sự trợ giúp của một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Sự tương đương của các ma trận được biểu thị bằng ký hiệu "~", tức là nó được viết A ~ B.

Việc tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận sơ cấp dựa trên phát biểu: nếu ma trận B nhận được từ ma trận A bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản, thì Hạng (A) = Hạng (B).

Tính hợp lệ của câu lệnh này dựa trên các thuộc tính của định thức ma trận:

Khi các hàng (hoặc cột) của ma trận được hoán vị, định thức của nó thay đổi dấu. Nếu nó bằng không, thì khi hoán vị các hàng (cột), nó vẫn bằng không.
Khi nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận với một số k tùy ý khác 0, định thức của ma trận thu được bằng định thức của ma trận ban đầu, nhân với k. Nếu định thức của ma trận ban đầu bằng 0, thì sau khi nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng hoặc cột nào với số k, định thức của ma trận kết quả cũng sẽ bằng không.
Việc thêm vào các phần tử của một hàng (cột) nào đó của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k nhất định, không làm thay đổi định thức của nó.

Thực chất của phương pháp biến đổi sơ cấp là đưa ma trận, hạng mà chúng ta cần tìm, về một hình thang (trong trường hợp cụ thể là một hình tam giác trên) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Nó dùng để làm gì? Hạng của ma trận loại này rất dễ tìm. Nó bằng số hàng chứa ít nhất một phần tử không rỗng. Và vì hạng của ma trận không thay đổi trong các phép biến đổi cơ bản, giá trị thu được sẽ là hạng của ma trận ban đầu.

Chúng tôi đưa ra hình ảnh minh họa về ma trận, một trong số đó sẽ nhận được sau các phép biến đổi. Dạng của chúng phụ thuộc vào bậc của ma trận.

Các hình minh họa này là các mẫu mà chúng ta sẽ biến đổi ma trận A.

Hãy mô tả thuật toán phương pháp.

Giả sử chúng ta cần tìm hạng của một ma trận khác không A có bậc (p có thể bằng n).

Vì thế, . Hãy nhân tất cả các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận A với. Trong trường hợp này, chúng tôi nhận được một ma trận tương đương, ký hiệu là A (1):

Đối với các phần tử của hàng thứ hai của ma trận kết quả A (1), chúng tôi cộng các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên, nhân với. Đối với các phần tử của hàng thứ ba, hãy cộng các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên, nhân với. Và cứ tiếp tục như vậy cho đến dòng thứ p. Chúng tôi nhận được một ma trận tương đương, ký hiệu là A (2):

Nếu tất cả các phần tử của ma trận kết quả trong các hàng từ thứ hai đến thứ p đều bằng 0, thì hạng của ma trận này bằng một, và do đó, hạng của ma trận ban đầu bằng một .

Nếu có ít nhất một phần tử khác 0 trong các hàng từ thứ hai đến thứ p thì ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi. Hơn nữa, chúng ta hành động theo cùng một cách, nhưng chỉ với một phần của ma trận A được đánh dấu trong hình (2)

Nếu, thì chúng ta sắp xếp lại các hàng và (hoặc) cột của ma trận A (2) để phần tử "mới" trở thành khác 0.

Xác định hạng của ma trận

Xét một ma trận \ (A \) kiểu \ ((m, n) \). Hãy để, cho chắc chắn, \ (m \ leq n \). Lấy \ (m \) hàng và chọn \ (m \) cột của ma trận \ (A \), tại giao điểm của các hàng và cột này, chúng ta nhận được một ma trận vuông có bậc \ (m \), có định thức được gọi là đơn đặt hàng nhỏ \ (m \) ma trận \ (A \). Nếu trẻ vị thành niên này khác 0, nó được gọi là trẻ vị thành niên cơ bản và nói rằng hạng của ma trận \ (A \) là \ (m \). Nếu định thức này bằng 0, thì các cột \ (m \) khác sẽ được chọn, tại giao điểm của chúng có các phần tử tạo thành một phần nhỏ khác của thứ tự \ (m \). Nếu trẻ vị thành niên là 0, chúng tôi tiếp tục quy trình. Nếu trong số tất cả các phần nhỏ có thể có của thứ tự \ (m \) không có hàng và cột nào khác 0, chúng tôi chọn \ (m-1 \) hàng và cột từ ma trận \ (A \), tại giao điểm của chúng là một ma trận vuông có thứ tự \ (m-1 \) xuất hiện, định thức của nó được gọi là bậc nhỏ \ (m-1 \) của ma trận ban đầu. Tiếp tục thủ tục, chúng tôi tìm kiếm một trẻ vị thành niên khác không, thông qua tất cả các trẻ vị thành niên có thể, hạ lệnh cho chúng.

Sự định nghĩa.

Một số nhỏ khác 0 của một ma trận đã cho có bậc cao nhất được gọi là trẻ vị thành niên cơ bản của ma trận ban đầu, thứ tự của nó được gọi là thứ hạng ma trận \ (A \), các hàng và cột, tại giao điểm của chúng có một phần nhỏ cơ bản, được gọi là các hàng và cột cơ bản. Hạng của ma trận được ký hiệu là \ (rang (A) \).

Các thuộc tính đơn giản của hạng ma trận tuân theo định nghĩa này: nó là một số nguyên và hạng của một ma trận khác 0 thỏa mãn các bất đẳng thức: \ (1 \ leq rang (A) \ leq \ min (m, n) \ ).

Thứ hạng của ma trận sẽ thay đổi như thế nào nếu một hàng bị gạch bỏ? Thêm một số dòng?

Kiểm tra câu trả lời

1) Thứ hạng có thể giảm đi 1.

2) Thứ hạng có thể tăng thêm 1.

Sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập tuyến tính của các cột ma trận

Cho \ (A \) là một ma trận kiểu \ ((m, n) \). Hãy xem xét các cột của ma trận \ (A \) - mỗi cột là các số \ (m \). Hãy biểu thị chúng \ (A_1, A_2, ..., A_n \). Gọi \ (c_1, c_2, ..., c_n \) là một số số.

Sự định nghĩa.

Cột \ [D = c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_nA_n = \ sum _ (m = 1) ^ nc_mA_m \] được gọi là kết hợp tuyến tính của các cột \ (A_1, A_2, ..., A_n \), số \ (c_1, c_2, ..., c_n \) được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính này.

Sự định nghĩa.

Cho các cột \ (p \) \ (A_1, A_2, ..., A_p \) được đưa ra. Nếu có các số \ (c_1, c_2, ..., c_p \) sao cho

1. không phải tất cả những con số này đều bằng 0,

2. kết hợp tuyến tính \ (c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_pA_p = \ sum _ (m = 1) ^ pc_mA_m \) bằng cột 0 (nghĩa là cột, tất cả các phần tử đều là số 0), thì chúng ta nói rằng các cột \ (A_1, A_2, ..., A_p \) phụ thuộc tuyến tính. Nếu không có các số như vậy \ (c_1, c_2, ..., c_n \) cho một tập hợp cột nhất định, các cột được cho là độc lập tuyến tính.

Thí dụ. Xem xét 2 cột

\ [A_1 = \ left (\ begin (array) (c) 1 \\ 0 \ end (array) \ right), A_2 = \ left (\ begin (array) (c) 0 \\ 1 \ end (array) \ right), \] thì với bất kỳ số nào \ (c_1, c_2 \) chúng ta có: \ [c_1A_1 + c_2A_2 = c_1 \ left (\ begin (array) (c) 1 \\ 0 \ end (array) \ right) + c_2 \ left (\ begin (array) (c) 0 \\ 1 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) c_1 \\ c_2 \ end (array) \ right). \]

Kết hợp tuyến tính này bằng với cột 0 nếu và chỉ khi cả hai số \ (c_1, c_2 \) đều bằng 0. Do đó, các cột này độc lập tuyến tính.

Bản tường trình. Để các cột phụ thuộc tuyến tính, cần và đủ rằng một trong số chúng là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Để các cột \ (A_1, A_2, ..., A_m \) phụ thuộc tuyến tính, tức là đối với một số hằng \ (\ lambda _1, \ lambda _2, ..., \ lambda _m \), không phải tất cả đều là 0, điều sau được thực thi: \ [\ sum _ (k = 1) ^ m \ lambda _kA_k = 0 \] (ở phía bên phải - cột không). Ví dụ: \ (\ lambda _1 \ neq 0 \). Sau đó \ [A_1 = \ sum _ (k = 2) ^ mc_kA_k, \ quad c_k = - \ lambda _k / \ lambda _1, \ quad \ quad (15) \] tức là cột đầu tiên là sự kết hợp tuyến tính của các phần còn lại.

Định lý nhỏ cơ sở

Định lý.

Đối với bất kỳ ma trận khác 0 \ (A \), điều sau là đúng:

1. Các cột cơ bản là độc lập tuyến tính.

2. Bất kỳ cột nào của ma trận là một tổ hợp tuyến tính của các cột cơ bản của nó.

(Điều này cũng đúng với chuỗi).

Để xác định, \ ((m, n) \) là kiểu của ma trận \ (A \), \ (rang (A) = r \ leq n \) và con cơ sở nằm trong \ ( r \) ma trận hàng và cột \ (A \). Gọi \ (s \) là bất kỳ số nào từ 1 đến \ (m \), \ (k \) là bất kỳ số nào từ 1 đến \ (n \). Hãy xem xét một phần nhỏ của dạng sau: \ [D = \ left | \ begin (array) (ccccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1r) & a_ (1s) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2r) & a_ (2s) \\ \ dot & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (r1) & a_ (r2) & \ ldots & a_ (rr) & a_ (rs) \\ a_ (k1) & a_ (k2) & \ ldots & a_ (kr) & a_ (ks) \\ \ end (array) \ right | , \] I E. chúng tôi đã gán cột thứ \ (s - \) và hàng \ (k - \) cho cột nhỏ cơ bản. Theo định nghĩa của thứ hạng ma trận, định thức này bằng 0 (nếu chúng ta chọn \ (s \ leq r \) hoặc \ (k \ leq r \), thì định thức này có 2 cột giống nhau hoặc 2 hàng giống nhau, nếu \ ( s> r \) và \ (k> r \) - theo định nghĩa về thứ hạng, kích thước nhỏ hơn \ (r \) sẽ biến mất). Mở rộng định thức này trên dòng cuối cùng, chúng ta nhận được: \ [a_ (k1) A_ (k1) + a_ (k2) A_ (k2) + .... + a_ (kr) A_ (kr) + a_ (ks) A_ (ks) = 0. \ quad \ quad (16) \]

Ở đây các số \ (A_ (kp) \) là phần bổ sung đại số của các phần tử từ hàng dưới cùng \ (D \). Giá trị của chúng không phụ thuộc vào \ (k \), bởi vì được tạo bằng cách sử dụng các phần tử từ các dòng \ (r \) đầu tiên. Trong trường hợp này, \ (A_ (ks) \) là con cơ bản khác 0. Biểu thị \ (A_ (k1) = c_1, A_ (k2) = c_2, ..., A_ (ks) = c_s \ neq 0 \). Hãy để chúng tôi viết lại (16) theo ký hiệu mới: \ [c_1a_ (k1) + c_2a_ (k2) + ... + c_ra_ (kr) + c_sa_ (ks) = 0, \] hoặc, chia cho \ (c_s \), \ [a_ (ks) = \ lambda_1a_ (k1) + \ lambda_2a_ (k2) + ... + \ lambda_ra_ (kr), \ quad \ lambda _p = -c_p / c_s. \] Đẳng thức này áp dụng cho mọi giá trị \ (k \), vì vậy \ [a_ (1s) = \ lambda_1a_ (11) + \ lambda_2a_ (12) + ... + \ lambda_ra_ (1r), \] \ [a_ ( 2 giây) = \ lambda_1a_ (21) + \ lambda_2a_ (22) + ... + \ lambda_ra_ (2r), \] \ [..................... ................................... \] \ [a_ (mili giây) = \ lambda_1a_ (m1) + \ lambda_2a_ (m2) + ... + \ lambda_ra_ (mr). \] Vì vậy, cột thứ \ (s - \) là sự kết hợp tuyến tính của các cột \ (r \) đầu tiên. Định lý đã được chứng minh.

Bình luận.

Định lý nhỏ cơ bản ngụ ý rằng hạng của ma trận bằng số cột độc lập tuyến tính của nó (bằng số hàng độc lập tuyến tính).

Hệ quả 1.

Nếu định thức bằng 0, thì nó có một cột là sự kết hợp tuyến tính của các cột còn lại.

Hệ quả 2.

Nếu hạng của ma trận nhỏ hơn số cột, thì các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Tính hạng của ma trận và tìm hạng cơ sở

Một số phép biến đổi của ma trận không làm thay đổi thứ hạng của nó. Các phép biến hình như vậy có thể được gọi là sơ cấp. Các dữ kiện tương ứng có thể được xác minh dễ dàng bằng cách sử dụng các thuộc tính của định thức và định nghĩa hạng của ma trận.

1. Sắp xếp lại các cột.

2. Nhân các phần tử của bất kỳ cột nào với một thừa số khác không.

3. Thêm vào một cột của bất kỳ cột nào khác, nhân với một số tùy ý.

4. Gạch bỏ cột số không.

Điều này cũng đúng với chuỗi.

Với sự trợ giúp của các phép biến đổi này, ma trận có thể được chuyển thành dạng gọi là "hình thang" - một ma trận, dưới đường chéo chính của nó chỉ có các số không. Đối với ma trận "hình thang", hạng là số phần tử khác 0 trên đường chéo chính và phần tử cơ sở là phần tử nhỏ có đường chéo khớp với tập hợp các phần tử khác 0 trên đường chéo chính của ma trận đã biến đổi.

Thí dụ. Xem xét ma trận

\ [A = \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \ end (mảng) \ phải). \] Chúng tôi sẽ biến đổi nó bằng cách sử dụng các phép biến đổi trên. \ [A = \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & 1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \ end (array) \ right) \ mapsto \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \ end (mảng) \ phải) \ mapsto \ left (\ begin (mảng) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \ end (mảng) \ phải) \ mapsto \] \ [\ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end (mảng) \ phải) \ mapsto \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \ end (mảng) \ phải). \]

Ở đây, chúng tôi thực hiện nhất quán các bước sau: 1) sắp xếp lại hàng thứ hai lên, 2) trừ hàng đầu tiên khỏi phần còn lại với một hệ số thích hợp, 3) trừ hàng thứ hai với hàng thứ ba 4 lần, cộng hàng thứ hai với hàng thứ tư, 4) gạch bỏ các hàng không - hàng thứ ba và thứ tư. Ma trận cuối cùng của chúng tôi đã có được hình dạng mong muốn: có các số khác 0 trên đường chéo chính, các số không dưới đường chéo chính. Sau đó, thủ tục dừng lại và số phần tử khác không trên đường chéo chính bằng hạng của ma trận. Trong trường hợp này, ô nhỏ cơ bản là hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên. Tại giao điểm của chúng có một ma trận bậc 2 với định thức khác không. Đồng thời, quay trở lại dọc theo chuỗi biến đổi theo hướng ngược lại, người ta có thể theo dõi hàng này hoặc hàng kia (cột này hoặc cột kia) đến từ đâu trong ma trận cuối cùng, tức là xác định các hàng và cột cơ bản trong ma trận ban đầu. Trong trường hợp này, hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên tạo thành cột nhỏ cơ bản.

Gọi A là ma trận có kích thước m \ lần n và k là số tự nhiên không vượt quá m và n: k \ leqslant \ min \ (m; n \). Thứ tự thứ k nhỏ ma trận A là định thức của ma trận bậc k được tạo thành bởi các phần tử tại giao điểm của k hàng và k cột được chọn tùy ý của ma trận A. Ký hiệu các cột nhỏ, số lượng các hàng đã chọn sẽ được chỉ ra bằng các chỉ số trên và số các cột đã chọn bằng các chỉ số dưới, sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần.

Ví dụ 3.4. Viết các phần nhỏ của các thứ tự ma trận khác nhau

A = \ begin (pmatrix) 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 3 \ end (pmatrix) \ !.

Dung dịch. Ma trận A có kích thước 3 \ lần4. Nó có: 12 trẻ vị thành niên của đơn hàng 1, ví dụ: trẻ vị thành niên M _ (() _ 2) ^ (() _ 3) = \ det (a_ (32)) = 4; Ví dụ: 18 trẻ vị thành niên của đơn hàng thứ 2, M _ (() _ (23)) ^ (() ^ (12)) = \ begin (vmatrix) 2 & 1 \\ 2 & 2 \ end (vmatrix) = 2; 4 trẻ vị thành niên của đơn hàng thứ 3,

M _ (() _ (134)) ^ (() ^ (123)) = \ begin (vmatrix) 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \ end (vmatrix) = 0.

Trong m \ times n ma trận A, con bậc thứ r được gọi là nền tảng, nếu nó khác 0 và tất cả các phần tử (r + 1) -ro của thứ tự đều bằng 0 hoặc chúng hoàn toàn không tồn tại.

Xếp hạng ma trậnđược gọi là thứ tự của cơ sở nhỏ. Không có cơ sở nhỏ trong ma trận 0. Do đó, hạng của ma trận 0, theo định nghĩa, được giả định là 0. Hạng của ma trận A được ký hiệu là \ operatorname (rg) A.

Ví dụ 3.5. Tìm tất cả các trẻ vị thành niên cơ bản và xếp hạng của một ma trận

A = \ begin (pmatrix) 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end (pmatrix) \ !.

Dung dịch. Tất cả các con bậc ba của ma trận này đều bằng 0, vì hàng thứ ba của các định thức này bằng 0. Do đó, chỉ một con bậc hai nằm ở hai hàng đầu tiên của ma trận mới có thể là cơ bản. Xem qua 6 trẻ vị thành niên có thể có, chúng tôi chọn không

M _ (() _ (12)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (13)) ^ (() ^ (12)) = \ begin (vmatrix) 1 & 2 \\ 0 & 2 \ end ( vmatrix) \!, \ quad M _ (() _ (24)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (34)) ^ (() ^ (12)) = \ begin (vmatrix) 2 & 0 \\ 2 & 3 \ end (vmatrix) \!, \ Quad M _ (() _ (14)) ^ (() ^ (12)) = \ begin (vmatrix) 1 & 0 \\ 0 & 3 \ end (vmatrix) \ !.

Mỗi người trong số năm trẻ vị thành niên này là cơ bản. Do đó, hạng của ma trận là 2.

Nhận xét 3.2

1. Nếu trong ma trận tất cả các con của bậc thứ k đều bằng 0, thì các con của bậc cao hơn cũng bằng không. Thật vậy, khi mở rộng (k + 1) -ro thứ tự trên bất kỳ hàng nào, chúng ta thu được tổng các tích của các phần tử của hàng này theo các phần tử thứ k và chúng bằng không.

2. Bậc của một ma trận bằng bậc lớn nhất của con khác 0 của ma trận này.

3. Nếu một ma trận vuông là không sinh, thì hạng của nó bằng bậc của nó. Nếu một ma trận vuông là suy biến, thì hạng của nó nhỏ hơn bậc của nó.

4. Các chỉ định cũng được sử dụng để xếp hạng \ operatorname (Rg) A, ~ \ operatorname (rank) A, ~ \ operatorname (rank) A.

5. Xếp hạng ma trận khốiđược định nghĩa là hạng của một ma trận thông thường (số), tức là bất kể cấu trúc khối của nó. Trong trường hợp này, thứ hạng của ma trận khối không nhỏ hơn thứ hạng của các khối của nó: \ operatorname (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ operatorname (rg) A và \ operatorname (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ operatorname (rg) B, vì tất cả các con của ma trận A (hoặc B) cũng là con của ma trận khối (A \ mid B).

Các định lý về cơ sở nhỏ và về hạng của ma trận

Chúng ta hãy xem xét các định lý chính biểu thị các tính chất của sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các cột (hàng) của ma trận.

Định lý 3.1 về vi phân cơ bản. Trong một ma trận A tùy ý, mỗi cột (hàng) là một tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) trong đó cột nhỏ cơ bản nằm trong đó.

Thật vậy, không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng trong m \ times n ma trận A, phần tử cơ sở nằm trong r hàng đầu tiên và r cột đầu tiên. Xem xét yếu tố quyết định

D = \ begin (vmatrix) ~ a_ (11) & \ cdots & a_ (1r) \! \! & \ Vline \! \! & A_ (1k) ~ \\ ~ \ vdots & \ ddots & \ vdots \! \! & \ vline \! \! & \ vdots ~ \\ ~ a_ (r1) & \ cdots & a_ (rr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (rk) ~ \\\ hline ~ a_ (s1) & \ cdots & a_ (sr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (sk) ~ \ end (vmatrix),

thu được bằng cách gán các phần tử tương ứng của hàng thứ s và cột thứ k cho phần tử cơ sở của ma trận A. Lưu ý rằng đối với bất kỳ 1 \ leqslant s \ leqslant m và định thức này bằng không. Nếu s \ leqslant r hoặc k \ leqslant r, thì định thức D chứa hai hàng giống nhau hoặc hai cột giống nhau. Nếu s> r và k> r, thì định thức D bằng 0, vì nó là con của bậc (r + l) -ro. Mở rộng yếu tố quyết định qua hàng cuối cùng, chúng tôi nhận được

a_ (s1) \ cdot D_ (r + 11) + \ ldots + a_ (sr) \ cdot D_ (r + 1r) + a_ (sk) \ cdot D_ (r + 1 \, r + 1) = 0,

trong đó D_ (r + 1 \, j) là phần bổ sung đại số của các phần tử của hàng cuối cùng. Lưu ý rằng D_ (r + 1 \, r + 1) \ ne0, vì đây là phần nhỏ cơ bản. Đó là lý do tại sao

a_ (sk) = \ lambda_1 \ cdot a_ (s1) + \ ldots + \ lambda_r \ cdot a_ (sr), ở đâu \ lambda_j = - \ frac (D_ (r + 1 \, j)) (D_ (r + 1 \, r + 1)), ~ j = 1,2, \ ldots, r.

Viết đẳng thức cuối cùng cho s = 1,2, \ ldots, m, chúng ta nhận được

\ begin (pmatrix) a_ (1k) \\\ vdots \\ a_ (mk) \ end (pmatrix) = \ lambda_1 \ cdot \! \ begin (pmatrix) a_ (11) \\\ vdots \\ a_ (m1) \ end (pmatrix) + \ ldots \ lambda_r \ cdot \! \ begin (pmatrix) a_ (1r) \\\ vdots \\ a_ (mr) \ end (pmatrix) \ !.

những thứ kia. cột thứ k (cho bất kỳ 1 \ leqslant k \ leqslant n) là sự kết hợp tuyến tính của các cột của cột nhỏ cơ bản, đã được chứng minh.

Định lý nhỏ cơ bản dùng để chứng minh các định lý quan trọng sau đây.

Điều kiện để định thức bằng không

Định lý 3.2 (điều kiện cần và đủ để định thức có giá trị bằng không).Đối với một định thức bằng 0, cần và đủ rằng một trong các cột của nó (một trong các hàng của nó) là một tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) còn lại.

Thật vậy, sự cần thiết tuân theo định lý nhỏ cơ bản. Nếu định thức của ma trận vuông bậc n bằng 0, thì hạng của nó nhỏ hơn n, tức là ít nhất một cột không được bao gồm trong cột nhỏ cơ bản. Khi đó, cột được chọn này, theo Định lý 3.1, là một tổ hợp tuyến tính của các cột chứa phần tử cơ sở. Nếu cần, thêm vào tổ hợp các cột khác có hệ số bằng 0 này, chúng ta thu được rằng cột được chọn là tổ hợp tuyến tính của các cột còn lại của ma trận. Tính đầy đủ theo sau từ các thuộc tính của định thức. Ví dụ: nếu cột A_n cuối cùng của định thức \ det (A_1 ~ A_2 ~ \ cdots ~ A_n)được thể hiện tuyến tính về phần còn lại

A_n = \ lambda_1 \ cdot A_1 + \ lambda_2 \ cdot A_2 + \ ldots + \ lambda_ (n-1) \ cdot A_ (n-1),

sau đó thêm vào A_n cột A_1 nhân với (- \ lambda_1), sau đó thêm vào cột A_2 nhân với (- \ lambda_2), v.v. cột A_ (n-1) nhân với (- \ lambda_ (n-1)), chúng tôi nhận được định thức \ det (A_1 ~ \ cdots ~ A_ (n-1) ~ o) với cột không có giá trị bằng không (thuộc tính 2 của định thức).

Ma trận xếp hạng bất biến dưới các phép biến đổi cơ bản

Định lý 3.3 (về bất biến bậc trong các phép biến đổi cơ bản). Dưới các phép biến đổi cơ bản của các cột (hàng) của ma trận, thứ hạng của nó không thay đổi.

Thật vậy, hãy để. Giả sử rằng kết quả của một phép biến đổi cơ bản đối với các cột của ma trận A, chúng ta thu được ma trận A ". Nếu một phép biến đổi loại I được thực hiện (hoán vị hai cột), thì bất kỳ (r + l) -ro nhỏ nào của bậc của ma trận A ”hoặc bằng số phụ (r + l) -ro tương ứng của bậc của ma trận A, hoặc khác nó về dấu (tính chất 3 của định thức). Nếu một phép biến đổi loại II được thực hiện (phép nhân cột với số \ lambda \ ne0), thì bất kỳ con nào (r + l) -ro của bậc của ma trận A "đều bằng con tương ứng (r + l) - ro của thứ tự của ma trận A hoặc khác với nó là hệ số nhân \ lambda \ ne0 (thuộc tính 6 của định thức). bất kỳ con nào trong số (r + 1) bậc của ma trận A "hoặc bằng với bậc nhỏ (r + 1) tương ứng của ma trận A (thuộc tính 9 của định thức), hoặc bằng tổng của hai con của bậc (r + l) -ro của ma trận A (tính chất 8 của định thức). Do đó, dưới một phép biến đổi cơ bản của bất kỳ kiểu nào, tất cả các con (r + l) - ro của ma trận A "đều bằng 0, vì tất cả các con (r + l) - ro có bậc của ma trận A là bằng 0. Như vậy, người ta chứng minh rằng trong các phép biến đổi cơ bản về cột, các ma trận hạng không thể tăng. được chứng minh tương tự rằng hạng của ma trận không thay đổi trong các phép biến đổi cơ bản của các hàng.

Hệ quả 1. Nếu một hàng (cột) của ma trận là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác của nó, thì hàng (cột) này có thể bị xóa khỏi ma trận mà không thay đổi thứ hạng của nó.

Thật vậy, một chuỗi như vậy có thể được tạo null bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, và chuỗi null không thể được đưa vào chuỗi nhỏ cơ bản.

Hệ quả 2. Nếu ma trận được rút gọn về dạng đơn giản nhất (1.7), thì

\ operatorname (rg) A = \ operatorname (rg) \ Lambda = r \ ,.

Thật vậy, ma trận của dạng đơn giản nhất (1.7) có một cơ sở nhỏ nhất là bậc r.

Hệ quả 3. Bất kỳ ma trận vuông không kỳ dị nào cũng là sơ cấp, hay nói cách khác, mọi ma trận vuông không kỳ dị đều tương đương với ma trận nhận dạng có cùng bậc.

Thật vậy, nếu A là một ma trận vuông đặc biệt bậc n, thì \ operatorname (rg) A = n(xem điểm 3 của nhận xét 3.2). Do đó, giảm ma trận A về dạng đơn giản nhất (1.7) bằng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta thu được ma trận nhận dạng \ Lambda = E_n, vì \ operatorname (rg) A = \ operatorname (rg) \ Lambda = n(xem Hệ quả 2). Do đó, ma trận A tương đương với ma trận nhận dạng E_n và có thể nhận được từ nó như là kết quả của một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Điều này có nghĩa là ma trận A là cơ bản.

Định lý 3.4 (về hạng của ma trận). Hạng của ma trận bằng số hàng độc lập tuyến tính tối đa của ma trận này.

Thật vậy, hãy \ operatorname (rg) A = r. Khi đó ma trận A có r hàng độc lập tuyến tính. Đây là những dòng trong đó vị trí thứ yếu cơ bản. Nếu chúng phụ thuộc tuyến tính, thì hạng tử này sẽ bằng 0 theo Định lý 3.2 và hạng của ma trận A sẽ không bằng r. Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng r là số hàng độc lập tuyến tính tối đa, tức là bất kỳ hàng p nào đều phụ thuộc tuyến tính với p> r. Thật vậy, chúng ta tạo thành một ma trận B từ p hàng này. Vì ma trận B là một phần của ma trận A nên \ operatorname (rg) B \ leqslant \ operatorname (rg) A = r

Điều này có nghĩa là ít nhất một hàng của ma trận B không được bao gồm trong hàng nhỏ cơ bản của ma trận này. Sau đó, theo định lý nhỏ cơ bản, nó bằng một tổ hợp tuyến tính của các hàng trong đó định lý nhỏ cơ sở nằm trong đó. Do đó, các hàng của ma trận B phụ thuộc tuyến tính. Do đó, ma trận A có nhiều nhất r hàng độc lập tuyến tính.

Hệ quả 1. Số hàng độc lập tuyến tính tối đa trong ma trận bằng số cột độc lập tuyến tính tối đa:

\ operatorname (rg) A = \ operatorname (rg) A ^ T.

Khẳng định này tuân theo Định lý 3.4 nếu nó được áp dụng cho các hàng của ma trận chuyển vị và có tính đến rằng các phần tử không thay đổi khi chuyển vị (tính chất 1 của định thức).

Hệ quả 2. Trong các phép biến đổi cơ bản của các hàng của ma trận, sự phụ thuộc tuyến tính (hoặc độc lập tuyến tính) của bất kỳ hệ thống cột nào của ma trận này được bảo toàn.

Thật vậy, chúng ta chọn k cột bất kỳ của ma trận A đã cho và tạo thành ma trận B từ chúng. Giả sử, do kết quả của các phép biến đổi cơ bản của các hàng của ma trận A, ma trận A "đã thu được" và kết quả của các phép biến đổi tương tự các hàng của ma trận B, ma trận B "đã được thu được. Theo Định lý 3.3 \ operatorname (rg) B "= \ operatorname (rg) B. Do đó, nếu các cột của ma trận B độc lập tuyến tính, tức là k = \ tên toán tử (rg) B(xem Hệ quả 1), thì các cột của ma trận B "cũng độc lập tuyến tính, vì k = \ tên toán tử (rg) B ". Nếu các cột của ma trận B phụ thuộc tuyến tính (k> \ tên nhà điều hành (rg) B), thì các cột của ma trận B "cũng phụ thuộc tuyến tính (k> \ tên nhà điều hành (rg) B "). Do đó, đối với bất kỳ cột nào của ma trận A, sự phụ thuộc tuyến tính hoặc độc lập tuyến tính được bảo toàn dưới các phép biến đổi hàng cơ bản.

Nhận xét 3.3

1. Theo Hệ quả 1 của Định lý 3.4, thuộc tính cột được chỉ ra trong Hệ quả 2 cũng có giá trị đối với bất kỳ hệ thống hàng ma trận nào nếu các phép biến đổi cơ bản chỉ được thực hiện trên các cột của nó.

2. Hệ quả 3 của Định lý 3.3 có thể được tinh chỉnh như sau: bất kỳ ma trận vuông không kỳ dị nào, sử dụng các phép biến đổi cơ bản chỉ các hàng của nó (hoặc chỉ các cột của nó), đều có thể được rút gọn thành ma trận nhận dạng có cùng thứ tự.

Thật vậy, chỉ sử dụng các phép biến đổi hàng cơ bản, bất kỳ ma trận A nào cũng có thể được rút gọn về dạng đơn giản \ Lambda (Hình 1.5) (xem Định lý 1.1). Vì ma trận A là nonsingular (\ det (A) \ ne0), các cột của nó độc lập tuyến tính. Do đó, các cột của ma trận \ Lambda cũng độc lập tuyến tính (Hệ quả 2 của Định lý 3.4). Do đó, dạng đơn giản hóa \ Lambda của ma trận nonsingular A trùng với dạng đơn giản nhất của nó (Hình 1.6) và là ma trận nhận dạng \ Lambda = E (xem Hệ quả 3 của Định lý 3.3). Do đó, bằng cách chỉ biến đổi các hàng của một ma trận không số ít, nó có thể được giảm xuống thành một ma trận đồng nhất. Suy luận tương tự cũng có hiệu lực đối với các phép biến đổi cơ bản của các cột của ma trận nonsingular.

Xếp hạng của sản phẩm và tổng của ma trận

Định lý 3.5 (về hạng của tích của ma trận). Hạng của tích các ma trận không vượt quá hạng của các yếu tố:

\ operatorname (rg) (A \ cdot B) \ leqslant \ min \ (\ operatorname (rg) A, \ operatorname (rg) B \).

Thật vậy, cho ma trận A và B có kích thước m \ times p và p \ times n. Chúng ta hãy gán cho ma trận A ma trận C = AB \ dấu hai chấm \, (A \ giữa C). Không cần phải nói điều đó \ operatorname (rg) C \ leqslant \ operatorname (rg) (A \ mid C), bởi vì C là một phần của ma trận (A \ mid C) (xem mục 5 của Chú thích 3.2). Lưu ý rằng mỗi cột của C_j, theo phép toán nhân ma trận, là một tổ hợp tuyến tính của các cột A_1, A_2, \ ldots, A_p ma trận A = (A_1 ~ \ cdots ~ A_p):

C_ (j) = A_1 \ cdot b_ (1j) + A_2 \ cdot b_ (2j) + \ ldots + A_ (p) \ cdot b_pj), \ quad j = 1,2, \ ldots, n.

Một cột như vậy có thể bị xóa khỏi ma trận (A \ mid C) mà không làm thay đổi thứ hạng của nó (Hệ quả 1 của Định lý 3.3). Gạch bỏ tất cả các cột của ma trận C, chúng ta nhận được: \ operatorname (rg) (A \ mid C) = \ operatorname (rg) A. Từ đây, \ operatorname (rg) C \ leqslant \ operatorname (rg) (A \ mid C) = \ operatorname (rg) A. Tương tự, người ta có thể chứng minh rằng điều kiện \ operatorname (rg) C \ leqslant \ operatorname (rg) B, và rút ra kết luận về tính hợp lệ của định lý.

Hậu quả. Nếu một A là ma trận vuông không sinh, thì \ operatorname (rg) (AB) = \ operatorname (rg) B và \ operatorname (rg) (CA) = \ operatorname (rg) C, I E. hạng của ma trận không thay đổi khi nó được nhân lên bên trái hoặc bên phải với một ma trận vuông không đặc biệt.

Định lý 3.6 về hạng của tổng các ma trận. Hạng của tổng các ma trận không vượt quá tổng hạng của các số hạng:

\ operatorname (rg) (A + B) \ leqslant \ operatorname (rg) A + \ operatorname (rg) B.

Thật vậy, hãy tạo một ma trận (A + B \ giữa A \ giữa B). Lưu ý rằng mỗi cột của ma trận A + B là một tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận A và B. Đó là lý do tại sao \ operatorname (rg) (A + B \ mid A \ mid B) = \ operatorname (rg) (A \ mid B). Xem xét rằng số cột độc lập tuyến tính trong ma trận (A \ mid B) không vượt quá \ operatorname (rg) A + \ operatorname (rg) B, một \ operatorname (rg) (A + B) \ leqslant \ operatorname (rg) (A + B \ mid A \ mid B)(xem mục 5 của Chú thích 3.2), chúng ta thu được bất đẳng thức cần thiết.

Cho một số ma trận được đưa ra:

Chọn trong ma trận này dòng tùy ý và cột tùy ý
. Sau đó, yếu tố quyết định thứ tự, bao gồm các phần tử ma trận
nằm ở giao điểm của các hàng và cột đã chọn được gọi là cột nhỏ ma trận thứ tự
.

Định nghĩa 1.13. Xếp hạng ma trận
là bậc lớn nhất của số nhỏ khác 0 của ma trận này.

Để tính toán thứ hạng của một ma trận, người ta nên xem xét tất cả các phần tử của nó thuộc thứ tự nhỏ nhất và nếu ít nhất một trong số chúng là khác không, thì tiến hành xem xét các phần tử của ma trận có bậc cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của một ma trận được gọi là phương pháp giáp ranh (hoặc phương pháp các con giáp ranh giới).

Nhiệm vụ 1.4. Bằng phương pháp giáp ranh giới trẻ, xác định thứ hạng của một ma trận
.

Ví dụ: hãy xem xét đường viền theo thứ tự đầu tiên,
. Sau đó, chúng tôi chuyển sang việc xem xét một số giáp của bậc thứ hai.

Ví dụ,
.

Cuối cùng, chúng ta hãy phân tích biên của bậc ba.

Vì vậy, bậc cao nhất của một số nhỏ khác 0 là 2, do đó
.

Khi giải quyết vấn đề 1.4, người ta có thể nhận thấy rằng dãy các con giáp của bậc hai là khác không. Về vấn đề này, quan điểm sau đây diễn ra.

Định nghĩa 1.14. Cấp hạng cơ sở của ma trận là bất kỳ cấp phụ nào khác 0 có bậc bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý nhỏ cơ bản). Các hàng cơ bản (cột cơ bản) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các ma trận khác.

Định lý 1.3. Số hàng của ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột của ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức có giá trị bằng không). Để cho yếu tố quyết định -đơn hàng thứ bằng 0, cần và đủ để các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Tính toán hạng của một ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá cồng kềnh. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, hạng của ma trận được tính dựa trên việc áp dụng các Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về sự tương đương của ma trận và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận
và được gọi là tương đương nếu cấp bậc của chúng bằng nhau, tức là
.

Nếu ma trận
và là tương đương, sau đó lưu ý
 .

Định lý 1.5. Hạng của ma trận không thay đổi so với các phép biến đổi cơ bản.

Chúng ta sẽ gọi các phép biến đổi cơ bản của ma trận
bất kỳ hành động nào sau đây trên ma trận:

Thay thế hàng bằng cột và cột bằng hàng tương ứng;

Hoán vị các hàng của ma trận;

Gạch bỏ một dòng, tất cả các phần tử của chúng đều bằng 0;

Nhân bất kỳ chuỗi nào với một số khác 0;

Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử tương ứng của một hàng khác nhân với cùng một số
.

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận
thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản, sau đó các ma trận
và là tương đương.

Khi tính hạng của một ma trận, cần rút gọn nó về dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn của ma trận khi ở con giáp của bậc lớn nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

Nơi đây
, phần tử ma trận
chuyển về không. Khi đó dạng biểu diễn của một ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy tắc, ma trận được thu gọn thành hình thang bằng cách sử dụng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gaussian là, bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các yếu tố tương ứng, chúng đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển thành 0. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các số nhân tương ứng, chúng ta đạt được rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển thành 0. Tiếp tục tiến hành tương tự.