Công thức Bernoulli cho ba sự kiện không tương thích. Kiểm tra lại độc lập và công thức Bernoulli

Định nghĩa các bài kiểm tra độc lập lặp lại. Bernoulli công thức tính xác suất và số có thể xảy ra nhất. Công thức tiệm cận của công thức Bernoulli (cục bộ và tích phân, định lý Laplace). Sử dụng định lý tích phân. Công thức Poisson, cho các sự kiện ngẫu nhiên không chắc chắn.

Các bài kiểm tra độc lập lặp đi lặp lại

Trong thực tế, người ta phải giải quyết các công việc như vậy có thể được biểu diễn dưới dạng các thử nghiệm lặp đi lặp lại nhiều lần, do kết quả của mỗi sự kiện A có thể xuất hiện hoặc không. Đồng thời, kết quả được quan tâm không phải là kết quả của từng "thử nghiệm riêng lẻ, mà là tổng số lần xuất hiện của biến cố A là kết quả của một số thử nghiệm nhất định. Trong các bài toán này, người ta phải xác định được xác suất trong số m bất kỳ lần xuất hiện của sự kiện A là kết quả của n lần thử nghiệm. Hãy xem xét trường hợp khi các phép thử là độc lập và xác suất xuất hiện của sự kiện A trong mỗi lần thử nghiệm là không đổi. Các phép thử như vậy được gọi là độc lập lặp đi lặp lại.

Một ví dụ về thử nghiệm độc lập là thử nghiệm tính phù hợp của các sản phẩm được lấy từ một trong số các lô. Nếu các lô này có tỷ lệ phần trăm khuyết tật như nhau, thì xác suất để sản phẩm được chọn bị lỗi trong mỗi trường hợp là một số không đổi.

Công thức Bernoulli

Hãy sử dụng khái niệm sự kiện khó khăn, có nghĩa là sự kết hợp của một số sự kiện cơ bản, bao gồm sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của sự kiện A trong phép thử thứ i. Cho n phép thử độc lập được tiến hành, trong mỗi sự kiện A có thể xuất hiện với xác suất p hoặc không xuất hiện với xác suất q = 1-p. Hãy xem xét sự kiện B_m, bao gồm thực tế là sự kiện A trong n lần thử này sẽ xảy ra đúng m lần và do đó, sẽ không xảy ra đúng (n-m) lần. Chứng tỏ A_i ~ (i = 1,2, \ ldots, (n)) sự xuất hiện của sự kiện A, a \ overline (A) _i - không xảy ra sự kiện A trong thử nghiệm thứ i. Do các điều kiện thử nghiệm không đổi, chúng tôi có

Sự kiện A có thể xuất hiện m lần theo các chuỗi hoặc kết hợp khác nhau, xen kẽ với sự kiện ngược lại \ overline (A). Số tổ hợp có thể có của loại này bằng số tổ hợp của n phần tử theo m, tức là C_n ^ m. Do đó, sự kiện B_m có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các sự kiện phức tạp không tương thích với nhau và số hạng bằng C_n ^ m:

B_m = A_1A_2 \ cdots (A_m) \ overline (A) _ (m + 1) \ cdots \ overline (A) _n + \ cdots + \ overline (A) _1 \ overline (A) _2 \ cdots \ overline (A) _ ( n-m) A_ (n-m + 1) \ cdots (A_n),

trong đó sự kiện A xảy ra trong mỗi sản phẩm m lần và \ overline (A) - (n-m) lần.

Xác suất của mỗi sự kiện phức hợp có trong công thức (3.1), theo định lý nhân xác suất cho các sự kiện độc lập, bằng p ^ (m) q ^ (n-m). Vì tổng số các sự kiện như vậy bằng C_n ^ m, do đó, sử dụng định lý cộng xác suất cho các sự kiện không tương thích, chúng ta thu được xác suất của sự kiện B_m (chúng tôi ký hiệu là P_ (m, n))

P_ (m, n) = C_n ^ mp ^ (m) q ^ (n-m) \ quad \ text (hoặc) \ quad P_ (m, n) = \ frac (n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Công thức (3.2) được gọi là Công thức Bernoulli, và các thử nghiệm lặp lại thỏa mãn điều kiện độc lập và ổn định của các xác suất xảy ra sự kiện A trong mỗi thử nghiệm được gọi là Thử nghiệm Bernoulli, hoặc kế hoạch Bernoulli.

Ví dụ 1. Xác suất vượt ra ngoài trường dung sai khi gia công các chi tiết trên máy tiện là 0,07. Xác định xác suất để trong số năm bộ phận được chọn ngẫu nhiên trong ca, một trong các kích thước đường kính không tương ứng với dung sai quy định.

Dung dịch. Điều kiện của bài toán thỏa mãn các yêu cầu của sơ đồ Bernoulli. Do đó, giả sử n = 5, \, m = 1, \, p = 0, \! 07, theo công thức (3.2) chúng ta thu được

P_ (1,5) = C_5 ^ 1 (0, \! 07) ^ (1) (0, \! 93) ^ (5-1) \ khoảng 0, \! 262.

Ví dụ 2. Các quan sát cho thấy ở một số khu vực vào tháng 9 có 12 ngày mưa. Xác suất để trong 8 ngày lấy ngẫu nhiên trong tháng này, 3 ngày có mưa là bao nhiêu?

Dung dịch.

P_ (3; 8) = C_8 ^ 3 (\ left (\ frac (12) (30) \ right) \^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Số lần xuất hiện sự kiện có khả năng xảy ra cao nhất

Xuất hiện nhiều khả năng sự kiện A trong n phép thử độc lập là một số m_0 mà xác suất tương ứng với số này lớn hơn hoặc ít nhất không nhỏ hơn xác suất của mỗi số có thể xảy ra khác của sự kiện A. Để xác định số có khả năng xảy ra cao nhất, không cần tính các xác suất của số lần xuất hiện biến cố, chỉ cần biết số lần thử n và xác suất xuất hiện của biến cố A trong một lần thử riêng là đủ. Gọi P_ (m_0, n) biểu thị xác suất tương ứng với số có khả năng xảy ra nhất m_0. Sử dụng công thức (3.2), chúng tôi viết

P_ (m_0, n) = C_n ^ (m_0) p ^ (m_0) q ^ (n-m_0) = \ frac (n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Theo định nghĩa của số có khả năng xảy ra cao nhất, xác suất của sự kiện A xảy ra lần lượt là m_0 + 1 và m_0-1, ít nhất không được vượt quá xác suất P_ (m_0, n), tức là

P_ (m_0, n) \ geqslant (P_ (m_0 + 1, n)); \ quad P_ (m_0, n) \ geqslant (P_ (m_0-1, n))

Thay giá trị P_ (m_0, n) và các biểu thức cho các xác suất P_ (m_0 + 1, n) và P_ (m_0-1, n) vào các bất đẳng thức, chúng ta thu được

Giải các bất phương trình này cho m_0, chúng ta thu được

M_0 \ geqslant (np-q), \ quad m_0 \ leqslant (np + p)

Kết hợp các bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta nhận được một bất đẳng thức kép, được sử dụng để xác định số có khả năng xảy ra nhất:

Np-q \ leqslant (m_0) \ leqslant (np + p).

Vì độ dài của khoảng được xác định bởi bất đẳng thức (3.4) bằng một, tức là

(np + p) - (np-q) = p + q = 1,

và một sự kiện có thể xảy ra trong n lần thử nghiệm chỉ với một số nguyên lần, khi đó cần lưu ý rằng:

1) nếu np-q là một số nguyên thì có hai giá trị của số có xác suất lớn nhất, đó là: m_0 = np-q và m "_0 = np-q + 1 = np + p;

2) nếu np-q là số phân số, thì có một số có khả năng xảy ra cao nhất, đó là: số nguyên duy nhất giữa các số phân số thu được từ bất đẳng thức (3.4);

3) nếu np là một số nguyên, thì có một số có khả năng xảy ra cao nhất, đó là: m_0 = np.

Đối với các giá trị lớn của n, sẽ không thuận tiện khi sử dụng công thức (3.3) để tính xác suất tương ứng với số có khả năng xảy ra cao nhất. Nếu trong đẳng thức (3.3), chúng ta thay thế công thức Stirling

N! \ Khoảng (n ^ ne ^ (- n) \ sqrt (2 \ pi (n))),

hợp lệ với n đủ lớn và lấy số có khả năng xảy ra cao nhất m_0 = np, sau đó chúng ta thu được công thức tính gần đúng xác suất tương ứng với số có khả năng xảy ra nhất:

P_ (m_0, n) \ khoảng \ frac (n ^ ne ^ (- n) \ sqrt (2 \ pi (n)) \, p ^ (np) q ^ (nq)) ((np) ^ (np) e ^ (- np) \ sqrt (2 \ pi (np)) \, (nq) ^ (nq) e ^ (- nq) \ sqrt (2 \ pi (nq))) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi (npq))) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sqrt (npq)).

Ví dụ 2. Được biết, \ frac (1) (15) một số sản phẩm do nhà máy cung cấp cho cơ sở kinh doanh không đáp ứng tất cả các yêu cầu của tiêu chuẩn. Một lô sản phẩm với số lượng 250 cái đã được giao tận nơi. Tìm số sản phẩm đáp ứng yêu cầu của tiêu chuẩn có xác suất cao nhất và tính xác suất để lô này chứa số sản phẩm có khả năng xảy ra nhiều nhất.

Dung dịch. Theo điều kiện n = 250, \, q = \ frac (1) (15), \, p = 1- \ frac (1) (15) = \ frac (14) (15). Theo bất đẳng thức (3.4), ta có

250 \ cdot \ frac (14) (15) - \ frac (1) (15) \ leqslant (m_0) \ leqslant250 \ cdot \ frac (14) (15) + \ frac (1) (15)

ở đâu 233, \! 26 \ leqslant (m_0) \ leqslant234, \! 26. Do đó, số lượng sản phẩm đáp ứng các yêu cầu của tiêu chuẩn nhiều nhất trong một lô là 250 chiếc. bằng 234. Thay dữ liệu vào công thức (3.5), chúng tôi tính được xác suất để có số mặt hàng có khả năng xảy ra nhiều nhất trong lô:

P_ (234.250) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi \ cdot250 \ cdot \ frac (14) (15) \ cdot \ frac (1) (15))) \ khoảng0, \! 101

Định lý Laplace cục bộ

Sử dụng công thức Bernoulli cho các giá trị lớn của n là rất khó. Ví dụ, nếu n = 50, \, m = 30, \, p = 0, \! 1, sau đó để tìm xác suất P_ (30,50) cần tính giá trị của biểu thức

P_ (30,50) = \ frac (50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Đương nhiên, câu hỏi được đặt ra: có thể tính xác suất lãi mà không sử dụng công thức Bernoulli không? Nó chỉ ra bạn có thể. Định lý Laplace cục bộ đưa ra một công thức tiệm cận cho phép bạn tìm gần đúng xác suất xuất hiện của các sự kiện chính xác m lần trong n lần thử nghiệm, nếu số lần thử nghiệm đủ lớn.

Định lý 3.1. Nếu xác suất p xuất hiện của biến cố A trong mỗi lần thử nghiệm là không đổi và khác 0 và một, thì xác suất P_ (m, n) để biến cố A xuất hiện trong n lần thử nghiệm chính xác m lần là xấp xỉ bằng nhau (càng chính xác thì n lớn hơn) đến giá trị của hàm

Y = \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \ frac (e ^ (- x ^ 2/2)) (\ sqrt (2 \ pi)) = \ frac (\ varphi (x)) (\ sqrt (npq)) tại .

Có các bảng chứa các giá trị hàm \ varphi (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \, e ^ (- x ^ 2/2)), tương ứng với các giá trị dương của đối số x. Đối với các giá trị đối số phủ định, các bảng giống nhau được sử dụng, vì hàm \ varphi (x) là chẵn, tức là \ varphi (-x) = \ varphi (x).

Vì vậy, xấp xỉ xác suất sự kiện A sẽ xuất hiện trong n lần thử nghiệm đúng m lần,

P_ (m, n) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \, \ varphi (x),ở đâu x = \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)).

Ví dụ 3. Tìm xác suất để biến cố A xảy ra đúng 80 lần trong 400 lần thử nếu xác suất biến cố A xảy ra trong mỗi lần thử là 0,2.

Dung dịch. Theo điều kiện n = 400, \, m = 80, \, p = 0, \! 2, \, q = 0, \! 8. Chúng tôi sử dụng công thức Laplace tiệm cận:

P_ (80.400) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8)) \, \ varphi (x) = \ frac (1) (8) \, \ varphi (x).

Hãy tính giá trị x được xác định bởi dữ liệu bài toán:

X = \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (80-400 \ cdot0, \! 2) (8) = 0.

Theo table adj, 1 chúng tôi tìm thấy \ varphi (0) = 0, \! 3989. Xác suất mong muốn

P_ (80,100) = \ frac (1) (8) \ cdot0, \! 3989 = 0, \! 04986.

Công thức Bernoulli dẫn đến kết quả gần như tương tự (các phép tính bị bỏ qua do tính rườm rà của chúng):

P_ (80,100) = 0, \! 0498.

Định lý tích phân Laplace

Giả sử rằng n thử nghiệm độc lập được tiến hành, trong mỗi thử nghiệm xác suất xảy ra biến cố A là không đổi và bằng p. Cần tính xác suất P _ ((m_1, m_2), n) sự kiện A sẽ xuất hiện trong n lần thử nghiệm ít nhất m_1 và nhiều nhất m_2 lần (để ngắn gọn, chúng ta sẽ nói "từ m_1 đến m_2 lần"). Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng định lý tích phân Laplace.

Định lý 3.2. Nếu xác suất p của sự kiện A xuất hiện trong mỗi thử nghiệm là không đổi và khác 0 và một, thì xấp xỉ xác suất P _ ((m_1, m_2), n) sự kiện A sẽ xuất hiện trong các thử nghiệm từ m_1 đến m_2 lần,

P _ ((m_1, m_2), n) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ giới hạn_ (x ") ^ (x" ") e ^ (- x ^ 2/2) \, dx,ở đâu .

Khi giải các bài toán yêu cầu áp dụng định lý tích phân Laplace, các bảng đặc biệt được sử dụng, vì tích phân không xác định \ int (e ^ (- x ^ 2/2) \, dx) không được thể hiện dưới dạng các chức năng cơ bản. Bảng tích phân \ Phi (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limit_ (0) ^ (x) e ^ (- z ^ 2/2) \, dzđược đưa ra trong ứng dụng. 2, trong đó các giá trị của hàm \ Phi (x) được cung cấp cho các giá trị dương của x, cho x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 có thể lấy \ Phi (x) = 0, \! 5.

Vì vậy, xấp xỉ xác suất sự kiện A sẽ xuất hiện trong n lần thử nghiệm độc lập từ m_1 đến m_2 lần,

P _ ((m_1, m_2), n) \ khoảng \ Phi (x "") - \ Phi (x "),ở đâu x "= \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)); ~ x" "= \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)).

Ví dụ 4. Xác suất một bộ phận được sản xuất vi phạm tiêu chuẩn, p = 0, \! 2. Tìm xác suất để trong 400 bộ phận không đạt tiêu chuẩn được chọn ngẫu nhiên sẽ có từ 70 đến 100 bộ phận.

Dung dịch. Theo điều kiện p = 0, \! 2, \, q = 0, \! 8, \, n = 400, \, m_1 = 70, \, m_2 = 100. Hãy sử dụng định lý tích phân Laplace:

P _ ((70,100), 400) \ khoảng \ Phi (x "") - \ Phi (x ").

Hãy để chúng tôi tính toán các giới hạn của tích hợp:

thấp hơn

X "= \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (70-400 \ cdot0, \! 2) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8)) = -1, \! 25,

phía trên

X "" = \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (100-400 \ cdot0, \! 2) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8) ) = 2, \! 5,

Theo cách này

P _ ((70,100), 400) \ khoảng \ Phi (2, \! 5) - \ Phi (-1, \! 25) = \ Phi (2, \! 5) + \ Phi (1, \! 25) .

Theo ứng dụng bảng. 2 tìm thấy

\ Phi (2, \! 5) = 0, \! 4938; ~~~~~ \ Phi (1, \! 25) = 0, \! 3944.

Xác suất mong muốn

P _ ((70,100), 400) = 0, \! 4938 + 0, \! 3944 = 0, \! 8882.

Ứng dụng của định lý tích phân Laplace

Nếu số m (số lần xuất hiện của sự kiện A trong n lần thử nghiệm độc lập) sẽ thay đổi từ m_1 thành m_2, thì phân số \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) sẽ thay đổi từ \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) = x " trước \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) = x "". Do đó, định lý tích phân Laplace cũng có thể được viết như sau:

P \ left \ (x "\ leqslant \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) \ leqslant (x" ") \ right \) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limit_ (x ") ^ (x" ") e ^ (- x ^ 2/2) \, dx.

Hãy đặt nhiệm vụ để tìm xác suất để giá trị tuyệt đối của độ lệch tần suất tương đối \ frac (m) (n) so với xác suất không đổi p không vượt quá số cho trước \ varepsilon> 0. Nói cách khác, chúng ta tìm thấy xác suất của sự bất bình đẳng \ left | \ frac (m) (n) -p \ right | \ leqslant \ varepsilon, giống nhau - \ varepsilon \ leqslant \ frac (m) (n) -p \ leqslant \ varepsilon. Xác suất này sẽ được ký hiệu như sau: P \ left \ (\ left | \ frac (m) (n) -p \ right | \ leqslant \ varepsilon \ right \). Tính đến công thức (3.6), đối với xác suất này, chúng ta thu được

P \ left \ (\ left | \ frac (m) (n) -p \ right | \ leqslant \ varepsilon \ right \) \ xấp xỉ2 \ Phi \ left (\ varepsilon \, \ sqrt (\ frac (n) (pq ))\bên phải).

Ví dụ 5. Xác suất bộ phận đó không chuẩn, p = 0, \! 1. Tìm xác suất để trong số 400 bộ phận được chọn ngẫu nhiên, tần suất xuất hiện tương đối của các bộ phận không chuẩn sai lệch với xác suất p = 0, \! 1 về giá trị tuyệt đối không quá 0,03.

Dung dịch. Theo điều kiện n = 400, \, p = 0, \! 1, \, q = 0, \! 9, \, \ varepsilon = 0, \! 03. Chúng ta cần tìm xác suất P \ left \ (\ left | \ frac (m) (400) -0, \! 1 \ right | \ leqslant0, \! 03 \ right \). Sử dụng công thức (3.7), chúng ta thu được

P \ left \ (\ left | \ frac (m) (400) -0, \! 1 \ right | \ leqslant0, \! 03 \ right \) \ khoảng 2 \ Phi \ left (0, \! 03 \ sqrt ( \ frac (400) (0, \! 1 \ cdot0, \! 9)) \ right) = 2 \ Phi (2)

Theo ứng dụng bảng. 2 chúng tôi tìm thấy \ Phi (2) = 0, \! 4772, do đó 2 \ Phi (2) = 0, \! 9544. Vì vậy, xác suất mong muốn xấp xỉ bằng 0,9544. Ý nghĩa của kết quả thu được như sau: nếu chúng ta lấy một số lượng đủ lớn mẫu gồm 400 phần mỗi mẫu, thì khoảng 95,44% trong số các mẫu này độ lệch của tần số tương đối so với xác suất không đổi p = 0, \! 1 in giá trị tuyệt đối sẽ không vượt quá 0,03.

Công thức Poisson cho các sự kiện không mong muốn

Nếu xác suất p của sự xuất hiện của một sự kiện trong một thử nghiệm riêng biệt gần bằng 0, thì ngay cả với một số lượng lớn thử nghiệm n, nhưng với giá trị nhỏ của tích np, xác suất P_ (m, n) thu được bởi Công thức Laplace không đủ chính xác và cần có một công thức gần đúng khác.

Định lý 3.3. Nếu xác suất p để xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử là không đổi nhưng nhỏ, số lần thử độc lập n đủ lớn nhưng giá trị của tích np = \ lambda vẫn nhỏ (không quá 10) thì xác suất sự kiện A xảy ra m lần trong các thử nghiệm này,

P_ (m, n) \ xấp xỉ \ frac (\ lambda ^ m) (m\,e^{-\lambda}. !}

Để đơn giản hóa các phép tính bằng công thức Poisson, một bảng giá trị của hàm Poisson đã được biên soạn \ frac (\ lambda ^ m) (m\,e^{-\lambda} !}(xem phụ lục 3).

Ví dụ 6. Cho xác suất sản xuất một bộ phận phi tiêu chuẩn là 0,004. Tìm xác suất để trong 1000 bộ phận có 5 bộ phận không đạt tiêu chuẩn.

Dung dịch. Nơi đây n = 1000, p = 0,004, ~ \ lambda = np = 1000 \ cdot0, \! 004 = 4. Cả ba số đều thỏa mãn các yêu cầu của Định lý 3.3, vì vậy để tìm xác suất của biến cố mong muốn P_ (5,1000), chúng ta sử dụng công thức Poisson. Theo bảng giá trị của hàm Poisson (ứng dụng. 3) với \ lambda = 4; m = 5, chúng ta nhận được P_ (5,1000) \ xấp xỉ 0, \! 1563.

Hãy tìm xác suất của sự kiện tương tự bằng công thức Laplace. Để làm điều này, trước tiên chúng ta tính giá trị x tương ứng với m = 5:

X = \ frac (5-1000 \ cdot0, \! 004) (\ sqrt (1000 \ cdot0, \! 004 \ cdot0, \! 996)) \ xấp xỉ \ frac (1) (1, \! 996) \ khoảng0 , \! 501.

Do đó, theo công thức Laplace, xác suất mong muốn

P_ (5,1000) \ khoảng \ frac (\ varphi (0, \! 501)) (1, \! 996) \ khoảng \ frac (0, \! 3519) (1, \! 996) \ khoảng0, \ ! 1763

và theo công thức Bernoulli, giá trị chính xác của nó

P_ (5,1000) = C_ (1000) ^ (5) \ cdot0, \! 004 ^ 5 \ cdot0, \! 996 ^ (995) \ khoảng 0, \! 1552.

Do đó, sai số tương đối trong việc tính toán xác suất P_ (5,1000) bằng cách sử dụng công thức Laplace gần đúng là

\ frac (0, \! 1763-0, \! 1552) (0, \! 1552) \ khoảng 0, \! 196 hoặc 13, \! 6 \%

và theo công thức Poisson -

\ frac (0, \! 1563-0, \! 1552) (0, \! 1552) \ khoảng 0, \! 007 hoặc 0, \! 7 \%

Tức là ít hơn nhiều lần.
Bỏ qua phần tiếp theo
Biến ngẫu nhiên một chiều Javascript bị tắt trong trình duyệt của bạn.
Các điều khiển ActiveX phải được kích hoạt để thực hiện các phép tính!

Trong ứng dụng thực tế của lý thuyết xác suất, người ta thường gặp các vấn đề trong đó cùng một thí nghiệm hoặc các thí nghiệm tương tự được lặp lại nhiều lần. Kết quả của mỗi trải nghiệm, một sự kiện có thể xuất hiện hoặc không. NHƯNG và chúng tôi không quan tâm đến kết quả của từng thử nghiệm riêng lẻ, nhưng tổng số lần xuất hiện sự phát triển NHƯNG là kết quả của một loạt thí nghiệm. Ví dụ, nếu một nhóm các phát bắn được bắn vào cùng một mục tiêu, chúng tôi không quan tâm đến kết quả của mỗi phát bắn, mà là tổng số phát bắn. Những vấn đề như vậy được giải quyết khá đơn giản nếu các thí nghiệm sống độc lập.

Sự định nghĩa. Các thử nghiệm độc lập với sự kiện A là những thử nghiệm trong đó xác suất của sự kiện A trong mỗi thử nghiệm độc lập với kết quả của các thử nghiệm khác.

Thí dụ. Một số bản vẽ liên tiếp của một lá bài từ bộ bài là các thí nghiệm độc lập, với điều kiện là quân bài được rút ra phải được trả lại bộ bài mỗi lần và các quân bài được xáo trộn; nếu không, chúng là những trải nghiệm phụ thuộc.

Thí dụ. Một số lần chụp chỉ là thử nghiệm độc lập nếu việc ngắm được thực hiện lại trước mỗi lần bắn; trường hợp ngắm bắn một lần trước khi bắn toàn bộ hoặc liên tục trong quá trình bắn (bắn liên hoàn, ném bom theo loạt) thì các lần bắn là thí nghiệm phụ thuộc.

Các thử nghiệm độc lập có thể được thực hiện trong các điều kiện giống nhau hoặc khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, xác suất của sự kiện NHƯNG trong tất cả các thử nghiệm như nhau, trong trường hợp thứ hai, xác suất của sự kiện NHƯNG thay đổi từ kinh nghiệm này sang kinh nghiệm khác. Trường hợp đầu tiên liên quan đến nhiều vấn đề về lý thuyết độ tin cậy, lý thuyết chụp và dẫn đến cái gọi là Đề án Bernoulli, như sau:

1) trình tự được thực hiện N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm có một sự kiện NHƯNG có thể xuất hiện hoặc không;

2) xác suất xảy ra một sự kiện NHƯNG trong mỗi thử nghiệm là không đổi và bằng, cũng như xác suất không xảy ra .

Công thức Bernoulli để tìm xác suất của một sự kiện xảy ra A k một lần N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm có một sự kiện NHƯNG xuất hiện với một xác suất P:

. (1)

Nhận xét 1. Với sự gia tăng N và k việc áp dụng công thức Bernoulli có liên quan đến những khó khăn trong tính toán, vì vậy công thức (1) được sử dụng chủ yếu nếu k không vượt quá 5 và N không tốt.

Nhận xét 2. Do các xác suất ở dạng là thành viên của khai triển nhị thức, phân phối xác suất của dạng (1) được gọi là nhị thức phân bổ.

Thí dụ. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một lần bắn là 0,8. Tìm xác suất để năm lần bắn trúng có sáu viên.

Dung dịch. Kể từ đó , ngoài ra và. Sử dụng công thức Bernoulli, chúng tôi nhận được:

Thí dụ. Bốn phát đạn độc lập được bắn vào cùng một mục tiêu từ các khoảng cách khác nhau. Xác suất trúng đích đối với những cú đánh này lần lượt là:

Tìm xác suất của không có, một, hai, ba và bốn lần truy cập:

Dung dịch. Chúng tôi soạn hàm tạo:

Thí dụ. Năm phát đạn độc lập được bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích là 0,2. Ba lần đánh là đủ để tiêu diệt mục tiêu. Tìm xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt.

Dung dịch. Xác suất tiêu diệt mục tiêu được tính theo công thức:

Thí dụ. Mười phát đạn độc lập được bắn vào mục tiêu, xác suất để bắn trúng mục tiêu một phát là 0,1. Một cú đánh là đủ để bắn trúng mục tiêu. Tìm xác suất bắn trúng mục tiêu.

Dung dịch. Xác suất của ít nhất một lần bắn trúng được tính theo công thức:

3. Định lý Moivre-Laplace cục bộ

Trong các ứng dụng, thường cần tính xác suất của các sự kiện khác nhau liên quan đến số lần xuất hiện của sự kiện trong N kiểm tra sơ đồ Bernoulli ở các giá trị lớn N. Trong trường hợp này, việc tính toán theo công thức (1) trở nên khó khăn. Khó khăn tăng lên khi người ta phải cộng các xác suất này. Khó khăn trong tính toán cũng nảy sinh đối với các giá trị nhỏ P hoặc q.

Laplace đã thu được một công thức gần đúng quan trọng cho xác suất của một sự kiện xảy ra NHƯNG một cách chính xác m lần, nếu là một số đủ lớn, tức là khi nào.

Định lý Local de Moivre – Laplace. Nếu xác suất p của sự xuất hiện của sự kiện A trong mỗi thử nghiệm là không đổi và khác 0 và một, , giá trị được giới hạn đồng nhất theo m và n, khi đó xác suất xuất hiện của biến cố A đúng m lần trong n phép thử độc lập là xấp xỉ bằng

Lý thuyết ngắn gọn

Lý thuyết xác suất đề cập đến các thí nghiệm có thể được lặp lại (ít nhất là trên lý thuyết) không giới hạn số lần. Hãy để một số thử nghiệm được lặp lại một lần và kết quả của mỗi lần lặp lại không phụ thuộc vào kết quả của các lần lặp lại trước đó. Các chuỗi lặp lại như vậy được gọi là các thử nghiệm độc lập. Một trường hợp đặc biệt của các bài kiểm tra như vậy là các thử nghiệm Bernoulli độc lập, được đặc trưng bởi hai điều kiện:

1) kết quả của mỗi thử nghiệm là một trong hai kết quả có thể xảy ra, được gọi tương ứng là "thành công" hoặc "thất bại".

2) xác suất "thành công" trong mỗi thử nghiệm tiếp theo không phụ thuộc vào kết quả của các thử nghiệm trước đó và không đổi.

Định lý Bernoulli

Nếu một loạt các thử nghiệm Bernoulli độc lập được thực hiện, trong mỗi thử nghiệm "thành công" xảy ra với xác suất, thì xác suất "thành công" trong các thử nghiệm xảy ra đúng một lần được biểu thị bằng công thức:

xác suất thất bại ở đâu.

- số lượng kết hợp của các phần tử bằng (xem các công thức cơ bản của tổ hợp)

Công thức này được gọi là Công thức Bernoulli.

Công thức Bernoulli cho phép bạn loại bỏ một số lượng lớn các phép tính - cộng và nhân các xác suất - với số lượng thử nghiệm đủ lớn.

Sơ đồ kiểm tra Bernoulli còn được gọi là sơ đồ nhị thức, và các xác suất tương ứng được gọi là nhị thức, được kết hợp với việc sử dụng các hệ số nhị thức.

Đặc biệt, phân phối theo lược đồ Bernoulli cho phép tìm ra số lần xuất hiện một sự kiện có thể xảy ra nhất.

Nếu số lần thử N tuyệt vời, sau đó tận hưởng:

Ví dụ về giải pháp vấn đề

Nhiệm vụ

Tỷ lệ nảy mầm của hạt của một loại cây nào đó là 70%. Xác suất để trong 10 hạt được gieo: 8, ít nhất 8 hạt; ít nhất 8?

Giải pháp của vấn đề

Hãy sử dụng công thức Bernoulli:

Trong trường hợp của chúng ta

Hãy để sự kiện - cứ 10 hạt thì 8 hạt nảy mầm:

Hãy để sự kiện - tăng ít nhất 8 (nghĩa là 8, 9 hoặc 10)

Hãy để sự kiện tăng ít nhất 8 (nghĩa là 8,9 hoặc 10)

Câu trả lời

Vừa phải chi phí giải quyết công việc kiểm soát là 700 - 1200 rúp (nhưng không dưới 300 rúp cho toàn bộ đơn hàng). Giá bị ảnh hưởng mạnh bởi tính cấp bách của quyết định (từ vài ngày đến vài giờ). Chi phí trợ giúp trực tuyến trong bài kiểm tra / bài kiểm tra - từ 1000 rúp. cho các giải pháp vé.

Ứng dụng có thể được để trực tiếp trong cuộc trò chuyện, trước đó đã loại bỏ điều kiện của nhiệm vụ và thông báo cho bạn về thời hạn giải quyết nó. Thời gian trả lời là vài phút.

Cho n phép thử được thực hiện đối với sự kiện A. Hãy giới thiệu các sự kiện sau: Аk - sự kiện А được thực hiện trong bài kiểm tra thứ k, $ k = 1,2, \ chấm, n $. Khi đó $ \ bar (A) _ (k) $ là sự kiện ngược lại (sự kiện A không xảy ra trong lần kiểm tra thứ k, $ k = 1,2, \ dot, n $).

Thử nghiệm đồng đẳng và độc lập là gì

Sự định nghĩa

Các thử nghiệm được gọi là cùng loại đối với sự kiện A nếu xác suất của các sự kiện $ A1, A2, \ dot, An $ là như nhau: $ P (A1) = P (A2) = \ dot = P (An) $ (nghĩa là xác suất xảy ra sự kiện A trong một lần thử là không đổi trong tất cả các lần thử).

Rõ ràng, trong trường hợp này, xác suất của các sự kiện ngược lại cũng trùng khớp: $ P (\ bar (A) _ (1)) = P (\ bar (A) _ (2)) = ... = P (\ bar ( A) _ (n)) $.

Sự định nghĩa

Các thử nghiệm được gọi là độc lập đối với sự kiện A nếu các sự kiện $ A1, A2, \ dot, An $ độc lập.

Trong trường hợp này

Trong trường hợp này, sự bình đẳng được bảo toàn khi bất kỳ sự kiện nào Ak được thay thế bằng $ \ bar (A) _ (k) $.

Cho một loạt n thử nghiệm độc lập tương tự được tiến hành đối với sự kiện A. Ta ký hiệu: p - xác suất của biến cố A trong một phép thử; q là xác suất của biến cố ngược lại. Do đó P (Ak) = p, $ P (\ bar (A) _ (k)) = q $ với k bất kỳ và p + q = 1.

Xác suất để trong một chuỗi n phép thử, sự kiện A sẽ xảy ra đúng k lần (0 ≤ k ≤ n) được tính theo công thức:

$ P_ (n) (k) = C_ (n) ^ (k) p ^ (k) q ^ (n-k) $ (1)

Đẳng thức (1) được gọi là công thức Bernoulli.

Xác suất để trong một chuỗi n phép thử độc lập của cùng một loại sự kiện A sẽ xảy ra ít nhất k1 lần và nhiều nhất k2 lần được tính bằng công thức:

$ P_ (n) (k_ (1) \ le k \ le k_ (2)) = \ sum \ limit _ (k = k_ (1)) ^ (k_ (2)) C_ (n) ^ (k) p ^ (k) q ^ (n-k) $ (2)

Việc áp dụng công thức Bernoulli cho các giá trị lớn của n dẫn đến các phép tính phức tạp, vì vậy trong những trường hợp này tốt hơn nên sử dụng các công thức khác - các công thức tiệm cận.

Tổng quát về lược đồ Bernoulli

Hãy xem xét một bản tổng quát của lược đồ Bernoulli. Nếu trong một chuỗi n phép thử độc lập, mỗi phép thử có m kết quả không tương thích từng cặp và có thể có kết quả Ak với xác suất tương ứng Рk = рk (Аk). Khi đó công thức phân phối đa thức là hợp lệ:

ví dụ 1

Xác suất mắc bệnh cúm trong thời kỳ có dịch là 0,4. Tìm xác suất để trong số 6 nhân viên của công ty bị ốm.

1. chính xác là 4 nhân viên;
2. không quá 4 nhân viên.

Dung dịch. 1) Rõ ràng, để giải quyết vấn đề này, công thức Bernoulli có thể áp dụng được, trong đó n = 6; k = 4; p = 0,4; q = 1-p = 0,6. Áp dụng công thức (1), ta nhận được: $ P_ (6) (4) = C_ (6) ^ (4) \ cdot 0,4 ^ (4) \ cdot 0,6 ^ (2) \ khoảng 0,138 $.

Để giải quyết vấn đề này, có thể áp dụng công thức (2), trong đó k1 = 0 và k2 = 4. Chúng ta có:

\ [\ begin (mảng) (l) (P_ (6) (0 \ le k \ le 4) = \ sum \ limit _ (k = 0) ^ (4) C_ (6) ^ (k) p ^ ( k) q ^ (6-k) = C_ (6) ^ (0) \ cdot 0,4 ^ (0) \ cdot 0,6 ^ (6) + C_ (6) ^ (1) \ cdot 0,4 ^ (1) \ cdot 0,6 ^ (5) + C_ (6) ^ (2) \ cdot 0,4 ^ (2) \ cdot 0,6 ^ (4) +) \\ (+ C_ (6) ^ (3) \ cdot 0,4 ^ (3) \ cdot 0,6 ^ (3) + C_ (6) ^ (4) \ cdot 0,4 ^ (4) \ cdot 0,6 ^ (2) \ khoảng 0,959.) \ end (mảng) \]

Cần lưu ý rằng nhiệm vụ này dễ giải quyết hơn khi sử dụng sự kiện ngược lại - hơn 4 nhân viên bị ốm. Sau đó, tính đến công thức (7) về xác suất của các sự kiện ngược lại, chúng ta thu được:

Trả lời: $ \ 0,959.

Ví dụ 2

Một bình đựng 20 viên bi trắng và 10 bi đen. 4 viên bi được lấy ra, và mỗi viên bi lấy ra được trả lại vào bình trước khi người tiếp theo được rút ra và các bóng trong bình được trộn lẫn. Tìm xác suất để trong 4 bi rút ra có 2 bi trắng như hình 1.

Bức tranh 1.

Dung dịch. Giả sử biến cố A - một quả bóng màu trắng được rút ra. Khi đó các xác suất $ D (A) = \ frac (2) (3), \, \, D (\ overline (A)) = 1- \ frac (2) (3) = \ frac (1) (3) $.

Theo công thức Bernoulli, xác suất bắt buộc là $ D_ (4) (2) = N_ (4) ^ (2) \ left (\ frac (2) (3) \ right) ^ (2) \ left (\ frac (1) (3) \ right) ^ (2) = \ frac (8) (27) $.

Trả lời: $ \ frac (8) (27) $.

Ví dụ 3

Xác định xác suất để một gia đình có 5 người con, có không quá 3 bạn gái. Xác suất sinh con trai và con gái được giả định là như nhau.

Dung dịch. Xác suất sinh con gái $ \ part = \ frac (1) (2), \, q = \ frac (1) (2) $ -xác suất sinh con trai. Trong một gia đình có không quá ba bé gái, nghĩa là một hoặc hai hoặc ba bé gái được sinh ra hoặc tất cả các bé trai trong gia đình.

Tìm xác suất để trong gia đình không có con gái nào sinh ra một, hai hoặc ba con gái: $ D_ (5) (0) = q ^ (5) = \ frac (1) (32) $,

\ \ \

Do đó, xác suất yêu cầu là $ D = D_ (5) (0) + D_ (5) (1) + D_ (5) (2) + D_ (5) (3) = \ frac (13) (16) $ .

Trả lời: $ \ frac (13) (16) $.

Ví dụ 4

Người bắn đầu tiên với một lần bắn có thể trúng tốp 10 với xác suất 0,6, người chín với xác suất 0,3 và người thứ tám với xác suất 0,1. Xác suất để với 10 lần bắn, anh ta bắn trúng mười sáu lần, chín ba lần và tám tám lần?

Đề án thử nghiệm Bernoulli. Công thức Bernoulli

Hãy làm một vài bài kiểm tra. Hơn nữa, xác suất xảy ra sự kiện $ A $ trong mỗi thử nghiệm không phụ thuộc vào kết quả của các thử nghiệm khác. Các thử nghiệm như vậy được gọi là độc lập đối với sự kiện A. Trong các thử nghiệm độc lập khác nhau, sự kiện A có thể có các xác suất khác nhau, hoặc một và giống nhau. Chúng tôi sẽ chỉ xem xét những thử nghiệm độc lập trong đó sự kiện $ A $ có cùng xác suất.

Theo một sự kiện phức tạp, chúng tôi muốn nói đến sự kết hợp của các sự kiện đơn giản. Cho n phép thử được thực hiện. Trong mỗi lần dùng thử, sự kiện $ A $ có thể xảy ra hoặc không. Chúng tôi giả định rằng trong mỗi lần thử, xác suất xuất hiện của sự kiện $ A $ là như nhau và bằng $ p $. Khi đó xác suất $ \ overline A $ (hoặc không xảy ra A) bằng $ P ((\ overline A)) = q = 1-p $.

Hãy để nó được yêu cầu để tính toán xác suất rằng trong N sự kiện-test $ A $ sẽ xảy ra k- lần và $ n-k $ lần - sẽ không đến. Xác suất này sẽ được ký hiệu là $ P_n (k) $. Hơn nữa, trình tự xuất hiện của sự kiện $ A $ không quan trọng. Ví dụ: $ ((AAA \ overline A, AA \ overline A A, A \ overline A AA, \ overline A AAA)) $

$ P_5 (3) - $ trong 5 sự kiện thử nghiệm $ A $ xuất hiện 3 lần và 2 lần không xuất hiện. Xác suất này có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức Bernoulli.

Nguồn gốc của công thức Bernoulli

Theo định lý nhân xác suất của các sự kiện độc lập, xác suất để sự kiện $ A $ xảy ra $ k $ lần và $ n-k $ lần không xảy ra bằng $ p ^ k \ cdot q ^ (n-k) $. Và có thể có nhiều sự kiện phức tạp như $ C_n ^ k $ có thể có. Vì các sự kiện phức tạp là không tương thích, nên theo định lý về tổng xác suất của các sự kiện không tương thích, chúng ta cần cộng xác suất của tất cả các sự kiện phức tạp và có chính xác $ C_n ^ k $ trong số đó. Khi đó xác suất xảy ra biến cố $ A $ chính xác là k một lần N kiểm tra, có $ P_n ((A, \, k)) = P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot q ^ (n-k) $ Công thức Bernoulli.

Thí dụ. Một con xúc sắc được tung 4 lần. Tìm xác suất để một viên xuất hiện trong nửa thời gian.

Dung dịch. $ A = $ (sự xuất hiện của một)

$ P (A) = p = \ frac (1) (6) \, \, P ((\ overline A)) = q = 1- \ frac (1) (6) = \ frac (5) (6) $ $ P_4 (2) = C_4 ^ 2 \ cdot p ^ 2 \ cdot q ^ (4-2) = \ frac (4!) (2! \ Cdot 2!) \ Cdot 6 ^ 2 \ cdot ((\ frac (5) (6))) ^ 2 = 0,115 đô la

Dễ dàng nhận thấy rằng đối với các giá trị lớn N khá khó để tính toán xác suất vì những con số rất lớn. Nó chỉ ra rằng xác suất này có thể được tính toán không chỉ bằng cách sử dụng công thức Bernoulli.