Công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều. Ví dụ về giải quyết vấn đề

Định lý.

Thể tích của một hình chóp bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao..

Bằng chứng:

Đầu tiên chúng ta chứng minh định lý cho một hình chóp tam giác, sau đó cho một hình tùy ý.

1. Xét một hình chóp tam giácOABCvới thể tích V, diện tích cơ sởS và chiều cao h. Vẽ một trục ồ (OM2- chiều cao), hãy xem xét phầnA1 B1 C1hình chóp có mặt phẳng vuông góc với trụcOhvà do đó, song song với mặt phẳng của cơ sở. Biểu thị bởiXđiểm abscissa M1 giao điểm của mặt phẳng này với trục x và quaS(x)- diện tích mặt cắt ngang. Thể hiện S(x) xuyên qua S, h và X. Lưu ý rằng tam giác A1 TẠI1 TỪ1 và ABC tương tự. Thật vậy A1 TẠI1 II AB, do đó tam giác OA 1 TẠI 1 tương tự với tam giác OAB. TỪ hậu quả là, NHƯNG1 TẠI1 : NHƯNGB = OA 1: OA .

tam giác vuông OA 1 TẠI 1 và OAB cũng tương tự (chúng có một góc nhọn chung với đỉnh O). Do đó, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Theo cách này NHƯNG 1 TẠI 1 : A B = x: h.Tương tự, nó được chứng minh rằngB1 C1:mặt trời = X: h và A1 C1:AC = X: h.Vì vậy, tam giácA1 B1 C1 và ABCtương tự với hệ số tương tự X: h.Do đó, S (x): S = (x: h)², hoặc S (x) = S x² / h².

Bây giờ chúng ta hãy áp dụng công thức cơ bản để tính thể tích của các vật thể tạimột= 0, b =h chúng tôi nhận được

2. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh định lý cho một hình chóp có chiều cao tùy ý h và khu vực cơ sở S. Một kim tự tháp như vậy có thể được chia thành các kim tự tháp tam giác với tổng chiều cao là h. Chúng ta biểu thị thể tích của mỗi hình chóp tam giác theo công thức đã chứng minh và cộng các thể tích này. Lấy thừa số chung 1 / 3h ra khỏi dấu ngoặc, chúng ta thu được trong ngoặc là tổng các cơ sở của hình chóp tam giác, tức là diện tích S của các đáy của hình chóp ban đầu.

Như vậy, thể tích của hình chóp ban đầu là 1 / 3Sh. Định lý đã được chứng minh.

Hậu quả:

Thể tích V của hình chóp cụt có chiều cao h và diện tích các đáy là S và S1 , được tính bằng công thức

h - chiều cao của kim tự tháp

Dừng lại - diện tích của đế trên

Chậm hơn - khu vực của đế dưới

Để tìm thể tích của một hình chóp, bạn cần biết một số công thức. Hãy xem xét chúng.

Cách tìm thể tích của một hình chóp - Cách 1

Thể tích của một kim tự tháp có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng chiều cao và diện tích của đáy của nó. V = 1/3 * S * h. Vì vậy, ví dụ: nếu chiều cao của hình chóp là 10 cm và diện tích của đáy là 25 cm 2, thì thể tích sẽ bằng V \ u003d 1/3 * 25 * 10 \ u003d 1 / 3 * 250 \ u003d 83,3 cm 3

Cách tìm thể tích của hình chóp - Phương pháp thứ 2

Nếu một đa giác đều nằm ở đáy của hình chóp, thì thể tích của nó có thể được tìm thấy theo công thức sau: V \ u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), trong đó a là cạnh của đa giác nằm ở cơ số, và n là số cạnh của nó. Ví dụ: Cơ sở là một lục giác đều, nghĩa là, n = 6. Vì nó là hình đều nên tất cả các cạnh của nó đều bằng nhau, tức là tất cả a đều bằng nhau. Giả sử a = 10 và h - 15. Chúng tôi chèn các số vào công thức và chúng tôi nhận được câu trả lời gần đúng - 1299 cm 3

Cách tìm thể tích của hình chóp - cách thứ 3

Nếu một tam giác đều nằm ở đáy của hình chóp thì thể tích của nó có thể được tìm thấy theo công thức sau: V = ha 2 / 4√3, trong đó a là cạnh của tam giác đều. Ví dụ: chiều cao của hình chóp là 10 cm, cạnh đáy là 5 cm thì thể tích sẽ bằng V \ u003d 10 * 25/4 √ 3 \ u003d 250/4 √ 3. Thông thường, điều gì đã xảy ra trong mẫu số không được tính toán và để nguyên dạng. Bạn cũng có thể nhân cả tử số và mẫu số với 4√3 để được 1000√3 / 48. Giảm bớt ta được 125√ 3/6 cm 3.

Cách tìm thể tích của hình chóp - cách thứ 4

Nếu một hình vuông nằm ở đáy của hình chóp, thì thể tích của nó có thể được tìm thấy theo công thức sau: V = 1/3 * h * a 2, trong đó a là các cạnh của hình vuông. Ví dụ: chiều cao - 5 cm, cạnh của hình vuông - 3 cm. V \ u003d 1/3 * 5 * 9 \ u003d 15 cm 3

Cách tìm thể tích của hình chóp - cách thứ 5

Nếu hình chóp là tứ diện, tức là tất cả các mặt của nó đều là tam giác đều, bạn có thể tìm thể tích của hình chóp bằng công thức sau: V = a 3 √2 / 12, trong đó a là một cạnh của tứ diện. Ví dụ: cạnh tứ diện \ u003d 7. V \ u003d 7 * 7 * 7√2/12 \ u003d 343 cm 3

Từ "kim tự tháp" vô tình được liên tưởng đến những người khổng lồ hùng vĩ ở Ai Cập, trung thành giữ hòa bình cho các pharaoh. Có lẽ đó là lý do tại sao kim tự tháp được mọi người, ngay cả trẻ em, không thể nhầm lẫn được.

Tuy nhiên, chúng ta hãy thử cung cấp cho nó một định nghĩa hình học. Chúng ta hãy hình dung một số điểm (A1, A2, ..., An) trên mặt phẳng và một điểm nữa (E) không thuộc nó. Vì vậy, nếu điểm E (đỉnh) nối với các đỉnh của đa giác tạo bởi các điểm A1, A2, ..., An (đáy), bạn sẽ có được một hình đa diện, gọi là hình chóp. Rõ ràng, đa giác ở đáy của hình chóp có thể có bất kỳ số đỉnh nào, và tùy thuộc vào số lượng của chúng, hình chóp có thể được gọi là tam giác và tứ giác, ngũ giác, v.v.

Nếu bạn nhìn kỹ kim tự tháp, bạn sẽ thấy rõ tại sao nó cũng được định nghĩa khác nhau - như một hình hình học với một đa giác ở đáy và các hình tam giác được kết hợp bởi một đỉnh chung là các mặt bên.

Vì hình chóp là một hình không gian, nên nó cũng có đặc tính định lượng như vậy, vì nó được tính từ một phần ba bằng nhau đã biết của tích đáy của hình chóp và chiều cao của nó:

Thể tích của hình chóp, khi suy ra công thức, ban đầu được tính cho một hình tam giác, lấy làm cơ sở là một tỷ số không đổi liên hệ giá trị này với thể tích của một hình lăng trụ tam giác có cùng đáy và chiều cao, vì nó hóa ra, lớn hơn ba lần so với khối lượng này.

Và vì bất kỳ kim tự tháp nào cũng được chia thành các hình tam giác, và thể tích của nó không phụ thuộc vào các cấu tạo được thực hiện trong chứng minh, nên tính hợp lệ của công thức thể tích ở trên là hiển nhiên.

Đứng tách biệt giữa tất cả các kim tự tháp là những kim tự tháp phù hợp, trong đó phần đế nằm. Còn về phần, nó nên "kết thúc" ở trung tâm của phần đáy.

Trong trường hợp một đa giác không đều ở đáy, để tính diện tích của đáy, bạn sẽ cần:

• bẻ nó thành hình tam giác và hình vuông;

• tính diện tích của mỗi chúng;

• thêm dữ liệu nhận được.

Trong trường hợp của một đa giác đều ở đáy của hình chóp, diện tích của nó được tính bằng các công thức có sẵn, do đó thể tích của một hình chóp đều được tính rất đơn giản.

Ví dụ, để tính thể tích của một hình chóp tứ giác, nếu nó đều, thì độ dài cạnh của hình tứ giác đều (hình vuông) ở đáy là bình phương và nhân với chiều cao của hình chóp, tích được chia cho số ba.

Thể tích của kim tự tháp có thể được tính bằng cách sử dụng các thông số khác:

• là một phần ba của tích của bán kính của quả bóng nội tiếp hình chóp và diện tích của toàn bộ bề mặt của nó;

• là hai phần ba tích của khoảng cách giữa hai cạnh chéo được lấy tùy ý và diện tích hình bình hành tạo thành trung điểm của bốn cạnh còn lại.

Thể tích của hình chóp cũng được tính đơn giản trong trường hợp chiều cao của nó trùng với một trong các cạnh bên, tức là trong trường hợp hình chóp hình chữ nhật.

Nói đến hình chóp, người ta không thể bỏ qua hình chóp cụt có được khi cắt hình chóp bằng một mặt phẳng song song với mặt đáy. Thể tích của chúng gần như bằng hiệu giữa thể tích của toàn bộ kim tự tháp và phần đỉnh bị cắt bỏ.

Thể tích đầu tiên của kim tự tháp, mặc dù không hoàn toàn ở dạng hiện đại, nhưng bằng 1/3 thể tích của khối lăng trụ mà chúng ta đã biết, được tìm thấy bởi Democritus. Archimedes gọi phương pháp đếm của mình là "không cần bằng chứng", vì Democritus đã tiếp cận kim tự tháp như một hình được tạo thành từ các tấm mỏng vô hạn, giống nhau.

Đại số vectơ cũng “giải quyết” câu hỏi tìm thể tích của hình chóp, bằng cách sử dụng tọa độ các đỉnh của nó cho việc này. Hình chóp được xây dựng trên bộ ba vectơ a, b, c bằng 1/6 môđun của tích hỗn số của các vectơ đã cho.

Sự định nghĩa. Mặt bên- Đây là hình tam giác trong đó một góc nằm ở đỉnh của hình chóp và cạnh đối diện của nó trùng với cạnh của đáy (đa giác).

Sự định nghĩa. Sườn bên là các cạnh chung của các mặt bên. Một hình chóp có bao nhiêu cạnh có góc trong một đa giác.

Sự định nghĩa. chiều cao kim tự tháp là một đường vuông góc thả từ đỉnh xuống mặt đáy của hình chóp.

Sự định nghĩa. Apothem- đây là đường trung trực của mặt bên của hình chóp, hạ từ đỉnh hình chóp xuống mặt bên của hình chóp.

Sự định nghĩa. Phần đường chéo- Đây là thiết diện của hình chóp bởi mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp và đường chéo của đáy.

Sự định nghĩa. Kim tự tháp chính xác- Đây là hình chóp có đáy là một đa giác đều, chiều cao giảm dần đến tâm của đáy.

Thể tích và diện tích bề mặt của hình chóp

Công thức. khối lượng kim tự tháp thông qua diện tích cơ sở và chiều cao:

tài sản kim tự tháp

Nếu tất cả các cạnh bên bằng nhau thì có thể ngoại tiếp một đường tròn xung quanh đáy của hình chóp và tâm của đáy trùng với tâm của đường tròn. Ngoài ra, vuông góc thả từ trên xuống đi qua tâm của cơ sở (đường tròn).

Nếu tất cả các sườn bên bằng nhau thì chúng nghiêng với mặt phẳng đáy một góc như nhau.

Các đường sườn bên bằng nhau khi chúng tạo thành các góc bằng nhau với mặt phẳng đáy, hoặc nếu một đường tròn có thể được mô tả xung quanh đáy của hình chóp.

Nếu các mặt bên nghiêng một góc với mặt phẳng đáy thì có thể nội tiếp một đường tròn nội tiếp hình chóp và hình chiếu đỉnh của hình chóp vào tâm của nó.

Nếu các mặt bên nghiêng một góc với mặt phẳng đáy thì hình chóp của các mặt bên bằng nhau.

Tính chất của hình chóp đều

1. Đỉnh của hình chóp cách đều tất cả các góc của mặt đáy.

2. Tất cả các cạnh bên đều bằng nhau.

3. Tất cả các sườn bên đều nghiêng một góc như nhau so với mặt đáy.

4. Các cạnh của các mặt bên đều bằng nhau.

5. Diện tích của tất cả các mặt bên bằng nhau.

6. Tất cả các mặt đều có cùng góc nhị diện (phẳng).

7. Một hình cầu có thể được mô tả xung quanh kim tự tháp. Tâm của hình cầu được mô tả sẽ là giao điểm của các đường vuông góc đi qua giữa các cạnh.

8. Một mặt cầu có thể nội tiếp một hình chóp. Tâm của mặt cầu nội tiếp sẽ là giao điểm của các tia phân giác của góc giữa cạnh và mặt đáy.

9. Nếu tâm của mặt cầu nội tiếp trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp thì tổng các góc phẳng ở đỉnh bằng π hoặc ngược lại, một góc bằng π / n, với n là số của các góc ở đáy của hình chóp.

Sự kết nối của hình chóp với hình cầu

Một hình cầu có thể được mô tả xung quanh hình chóp khi ở đáy của hình chóp có một hình đa diện mà xung quanh đó có thể mô tả một hình tròn (điều kiện cần và đủ). Tâm của mặt cầu sẽ là giao điểm của các mặt phẳng đi qua vuông góc với trung điểm các cạnh bên của hình chóp.

Một hình cầu luôn có thể được mô tả xung quanh bất kỳ hình tam giác hoặc hình chóp đều.

Một mặt cầu có thể nội tiếp hình chóp nếu các mặt phẳng phân giác của các góc nội tiếp hình chóp cắt nhau tại một điểm (điều kiện cần và đủ). Điểm này sẽ là tâm của hình cầu.

Kết nối của hình chóp với hình nón

Một hình nón được gọi là nội tiếp hình chóp nếu các đỉnh của chúng trùng nhau và đáy của hình nón nội tiếp hình chóp.

Một hình nón có thể nội tiếp hình chóp nếu các ngoại tiếp của hình chóp đều.

Một hình nón được cho là ngoại tiếp hình chóp nếu các đỉnh của chúng trùng nhau và đáy của hình nón ngoại tiếp hình chóp.

Một hình nón có thể được mô tả xung quanh một hình chóp nếu tất cả các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau.

Kết nối của một kim tự tháp với một hình trụ

Một hình chóp được cho là nội tiếp trong một hình trụ nếu đỉnh của hình chóp nằm trên một đáy của hình trụ và đáy của hình chóp nội tiếp trong một đáy khác của hình trụ.

Một hình trụ có thể ngoại tiếp một hình chóp nếu một đường tròn có thể ngoại tiếp đáy của hình chóp.

Sự định nghĩa. Hình chóp cụt (hình lăng trụ đứng)- Đây là hình đa diện đều nằm giữa mặt đáy của hình chóp và một mặt phẳng tiết diện song song với mặt đáy. Do đó, kim tự tháp có một đáy lớn và một đáy nhỏ hơn tương tự như một khối lớn hơn. Các mặt bên là hình thang.

Sự định nghĩa. Hình chóp tam giác (tứ diện)- Đây là một hình chóp trong đó có ba mặt và đáy là các tam giác tùy ý.

Một tứ diện có bốn mặt và bốn đỉnh và sáu cạnh, trong đó hai cạnh bất kỳ không có đỉnh chung nào nhưng không chạm nhau.

Mỗi đỉnh bao gồm ba mặt và các cạnh tạo thành góc tam diện.

Đoạn nối đỉnh của tứ diện với tâm của mặt đối diện được gọi là đường trung bình của tứ diện(GM).

Bimedian gọi là đoạn nối trung điểm của các cạnh đối diện không tiếp xúc (KL).

Tất cả các đường trung trực và trung trực của tứ diện đều cắt nhau tại một điểm (S). Trong trường hợp này, người đo bimedian được chia đôi, và các trung gian theo tỷ lệ 3: 1 bắt đầu từ trên cùng.

Sự định nghĩa. kim tự tháp nghiêng là hình chóp mà một trong các cạnh tạo thành góc tù (β) với mặt đáy.

Sự định nghĩa. Kim tự tháp hình chữ nhật là hình chóp mà một trong các mặt bên vuông góc với mặt đáy.

Sự định nghĩa. Kim tự tháp góc nhọn là một hình chóp trong đó hình chóp có chiều dài hơn nửa chiều dài của cạnh đáy.

Sự định nghĩa. kim tự tháp tù là một hình chóp trong đó hình chóp có chiều dài nhỏ hơn một nửa chiều dài của cạnh đáy.

Sự định nghĩa. tứ diện đều Một tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều. Nó là một trong năm đa giác đều. Trong một tứ diện đều, tất cả các góc nhị diện (giữa các mặt) và các góc tam diện (tại một đỉnh) bằng nhau.

Sự định nghĩa. Tứ diện hình chữ nhật Một tứ diện được gọi là tứ diện có một góc vuông giữa ba cạnh ở đỉnh (các cạnh này vuông góc với nhau). Ba khuôn mặt hình thành góc tam diện hình chữ nhật và các mặt là tam giác vuông, và đáy là một tam giác tùy ý. Phần apothem của bất kỳ mặt nào cũng bằng một nửa cạnh của nền mà khối apothem rơi vào.

Sự định nghĩa. Tứ diện đều Một tứ diện được gọi là trong đó các mặt bên bằng nhau và đáy là một tam giác đều. Các mặt của một tứ diện như vậy là các tam giác cân.

Sự định nghĩa. Tứ diện trực tâm Một tứ diện được gọi là trong đó tất cả các đường cao (vuông góc) hạ thấp từ đỉnh đến mặt đối diện cắt nhau tại một điểm.

Sự định nghĩa. kim tự tháp sao Một hình đa diện có đáy là một ngôi sao được gọi là.

Sự định nghĩa. Bipyramid- Một hình đa diện gồm hai hình chóp khác nhau (hình chóp cũng có thể cắt rời), có một đáy chung và các đỉnh nằm về hai phía đối diện của mặt phẳng đáy.

Một trong những hình thể tích đơn giản nhất là hình chóp tam giác, vì nó bao gồm số mặt nhỏ nhất mà từ đó một hình có thể được tạo thành trong không gian. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét các công thức mà bạn có thể tìm thể tích của một hình chóp tam giác đều.

Kim tự tháp hình tam giác

Theo định nghĩa chung, hình chóp là một đa giác, tất cả các đỉnh của chúng đều nối với một điểm không nằm trong mặt phẳng của đa giác này. Nếu hình sau là hình tam giác thì toàn bộ hình được gọi là hình chóp tam giác.

Hình chóp đã xét bao gồm một đáy (tam giác) và ba mặt bên (tam giác). Điểm nối ba mặt bên được gọi là đỉnh của hình. Đường vuông góc hạ xuống mặt đáy từ đỉnh này là chiều cao của hình chóp. Nếu giao điểm của đường vuông góc với mặt đáy trùng với giao điểm của các đường trung trực của tam giác tại đáy thì chúng nói lên hình chóp đều. Nếu không, nó sẽ bị dốc.

Như đã nói, đáy của một hình chóp tam giác có thể là một tam giác tổng quát. Tuy nhiên, nếu nó là cạnh đều và hình chóp là thẳng, thì họ nói về hình ba chiều chính xác.

Mỗi hình có 4 mặt, 6 cạnh và 4 đỉnh. Nếu độ dài của tất cả các cạnh bằng nhau thì hình đó được gọi là tứ diện.

loại chung

Trước khi viết ra một hình chóp tam giác đều, chúng ta đưa ra một biểu thức cho đại lượng vật lý này cho một hình chóp có dạng tổng quát. Biểu thức này trông giống như:

Ở đây S o là diện tích của đáy, h là chiều cao của hình. Đẳng thức này sẽ có giá trị đối với bất kỳ loại đáy nào của đa giác hình chóp, cũng như đối với hình nón. Nếu ở đáy có một tam giác có độ dài cạnh a và chiều cao h o hạ xuống, thì công thức tính thể tích sẽ được viết như sau:

Công thức về thể tích của hình chóp tam giác đều

Hình tam giác có đáy là tam giác đều. Biết rằng chiều cao của tam giác này liên quan đến độ dài cạnh của nó bằng đẳng thức:

Thay biểu thức này vào công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đã viết ở đoạn trước, ta được:

V = 1/6 * a * h o * h = √3 / 12 * a 2 * h.

Thể tích của hình chóp đều có đáy là tam giác là hàm của độ dài cạnh bên và chiều cao của hình đó.

Vì bất kỳ đa giác đều nào cũng có thể được nội tiếp trong một đường tròn mà bán kính của nó xác định duy nhất độ dài của cạnh của đa giác, nên công thức này có thể được viết dưới dạng bán kính r tương ứng:

Công thức này rất dễ học so với công thức trước, cho rằng bán kính r của đường tròn ngoại tiếp độ dài cạnh a của tam giác được xác định bằng biểu thức:

Công việc xác định thể tích của một khối tứ diện

Hãy để chúng tôi chỉ ra cách sử dụng các công thức trên để giải các bài toán hình học cụ thể.

Biết rằng tứ diện đều có độ dài các cạnh bằng 7 cm Tìm thể tích của khối chóp tam giác đều-tứ diện.

Nhắc lại rằng một tứ diện là một hình chóp tam giác đều trong đó tất cả các đáy đều bằng nhau. Để sử dụng công thức tính thể tích của một hình chóp tam giác đều, bạn cần tính hai đại lượng:

• độ dài của cạnh của hình tam giác;
• chiều cao con số.

Giá trị đầu tiên được biết từ điều kiện của vấn đề:

Để xác định chiều cao ta xét hình vẽ bên.

Tam giác ABC được đánh dấu là tam giác vuông có góc ABC bằng 90o. Cạnh AC là cạnh huyền, có độ dài là a. Bằng phép lập luận hình học đơn giản, ta có thể chứng minh cạnh BC có độ dài là:

Chú ý rằng độ dài BC là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

h \ u003d AB \ u003d √ (AC 2 - BC 2) \ u003d √ (a 2 - a 2/3) \ u003d a * √ (2/3).

Bây giờ bạn có thể thay h và a vào công thức tương ứng cho thể tích:

V = √3 / 12 * a 2 * a * √ (2/3) = √2 / 12 * a 3.

Như vậy, ta đã có được công thức tính thể tích của khối tứ diện. Có thể thấy rằng khối lượng chỉ phụ thuộc vào độ dài của xương sườn. Nếu chúng ta thay thế giá trị từ điều kiện của bài toán vào biểu thức, thì chúng ta nhận được câu trả lời:

V \ u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Nếu chúng ta so sánh giá trị này với thể tích của một khối lập phương có cùng cạnh, chúng ta nhận được rằng thể tích của một khối tứ diện nhỏ hơn 8,5 lần. Điều này chỉ ra rằng tứ diện là một hình nhỏ gọn, được thực hiện trong một số chất tự nhiên. Ví dụ, phân tử metan có dạng tứ diện, và mỗi nguyên tử cacbon trong kim cương được kết nối với 4 nguyên tử khác để tạo thành một khối tứ diện.

Vấn đề với kim tự tháp đồng hình

Hãy giải quyết một vấn đề hình học tò mò. Giả sử rằng có một hình chóp tam giác đều với thể tích V 1. Phải giảm kích thước của hình này đi bao nhiêu lần để được một hình chóp đồng chất với nó có thể tích nhỏ hơn hình ban đầu ba lần?

Hãy bắt đầu giải bài toán bằng cách viết công thức cho hình chóp đều ban đầu:

V 1 \ u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Để thể tích của hình theo yêu cầu của bài toán bằng cách nhân các tham số của nó với hệ số k. Chúng ta có:

V 2 = √3 / 12 * k 2 * a 1 2 * k * h 1 = k 3 * V 1.

Vì tỷ lệ thể tích của các hình đã biết từ điều kiện, nên chúng ta thu được giá trị của hệ số k:

k \ u003d ∛ (V 2 / V 1) \ u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Lưu ý rằng chúng ta sẽ thu được một giá trị tương tự của hệ số k cho một loại hình chóp tùy ý, và không chỉ cho một hình tam giác thông thường.