Đồ thị hàm số phân phối f x. Hàm phân phối và mật độ xác suất trong MS EXCEL

Để tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên và các biến của chúng, cần phải nghiên cứu tất cả các đặc điểm của lĩnh vực kiến ​​thức này. Có một số phương pháp khác nhau để tìm các giá trị được đề cập, bao gồm thay đổi một biến và tạo một thời điểm. Phân phối là một khái niệm dựa trên các yếu tố như phân tán, các biến thể. Tuy nhiên, chúng chỉ đặc trưng cho mức độ của phạm vi tán xạ.

Các hàm quan trọng hơn của biến ngẫu nhiên là những hàm có liên quan và độc lập, đồng thời phân phối đều. Ví dụ, nếu X1 là trọng lượng của một cá thể được chọn ngẫu nhiên từ một quần thể nam, X2 là trọng lượng của một cá thể khác, ... và Xn là trọng lượng của một người nữa từ quần thể nam, thì chúng ta cần biết cách hàm ngẫu nhiên X có phân phối. Trong trường hợp này, định lý cổ điển được gọi là định lý giới hạn trung tâm được áp dụng. Nó cho phép chúng ta chỉ ra rằng đối với n lớn, hàm tuân theo các phân phối chuẩn.

Chức năng của một biến ngẫu nhiên

Định lý giới hạn trung tâm được thiết kế để tính gần đúng các giá trị rời rạc được đề cập, chẳng hạn như nhị thức và Poisson. Trước hết, hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên được xem xét trên các giá trị đơn giản của một biến. Ví dụ, nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối xác suất riêng của nó. Trong trường hợp này, chúng ta tìm hiểu cách tìm hàm mật độ của Y bằng hai cách tiếp cận khác nhau, đó là phương pháp hàm phân phối và biến đổi. Đầu tiên, chỉ các giá trị một-một mới được xem xét. Sau đó, bạn cần sửa đổi kỹ thuật thay đổi biến để tìm xác suất của nó. Cuối cùng, người ta cần tìm hiểu cách phân phối tích lũy có thể giúp lập mô hình các số ngẫu nhiên tuân theo các mẫu tuần tự nhất định.

Phương pháp phân phối các giá trị được xem xét

Có thể áp dụng phương pháp hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên để tìm mật độ của nó. Khi sử dụng phương pháp này, một giá trị tích lũy được tính toán. Sau đó, bằng cách phân biệt nó, bạn có thể nhận được mật độ xác suất. Bây giờ chúng ta đã có phương thức hàm phân phối, chúng ta có thể xem thêm một vài ví dụ. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với mật độ xác suất nhất định.

Hàm mật độ xác suất của x2 là gì? Nếu bạn nhìn vào hoặc vẽ đồ thị của hàm số (trên cùng và bên phải) y \ u003d x2, bạn có thể lưu ý rằng nó là một giá trị X đang tăng dần và 0

Trong ví dụ cuối cùng, cẩn thận đã được sử dụng để lập chỉ mục các hàm tích lũy và mật độ xác suất với X hoặc Y để cho biết chúng thuộc về biến ngẫu nhiên nào. Ví dụ, khi tìm hàm phân phối tích lũy Y, chúng ta nhận được X. Nếu bạn cần tìm một biến ngẫu nhiên X và mật độ của nó, thì bạn chỉ cần phân biệt nó.

Kỹ thuật thay đổi biến

Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục được cho bởi hàm phân phối có mẫu số chung f (x). Trong trường hợp này, nếu bạn đặt giá trị của y trong X = v (Y), thì bạn sẽ nhận được giá trị của x, ví dụ v (y). Bây giờ, chúng ta cần lấy hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên liên tục Y. Trong đó đẳng thức thứ nhất và thứ hai diễn ra từ định nghĩa của tích lũy Y. Đẳng thức thứ ba được giữ vì phần của hàm mà u (X) ≤ y là cũng đúng rằng X ≤ v (Y). Và điều sau được thực hiện để xác định xác suất trong một biến ngẫu nhiên liên tục X. Bây giờ chúng ta cần lấy đạo hàm của FY (y), hàm phân phối tích lũy của Y, để có được mật độ xác suất của Y.

Tổng quát hóa cho hàm giảm

Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục với f (x) chung được xác định trên c1

Để giải quyết vấn đề này, dữ liệu định lượng có thể được thu thập và có thể sử dụng hàm phân phối tích lũy theo kinh nghiệm. Với thông tin này và hấp dẫn với nó, bạn cần kết hợp các mẫu phương tiện, độ lệch chuẩn, dữ liệu phương tiện, v.v.

Tương tự, ngay cả một mô hình xác suất khá đơn giản cũng có thể có rất nhiều kết quả. Ví dụ, nếu bạn lật một đồng xu 332 lần. Sau đó, số lượng kết quả thu được từ các lần lật lớn hơn của google (10100) - một con số, nhưng cao hơn không dưới 100 nghìn tỷ lần so với các hạt cơ bản trong vũ trụ đã biết. Không quan tâm đến một phân tích đưa ra câu trả lời cho mọi kết quả có thể xảy ra. Sẽ cần một khái niệm đơn giản hơn, chẳng hạn như số lượng đầu, hoặc nét dài nhất của các đuôi. Để tập trung vào các vấn đề quan tâm, một kết quả cụ thể được chấp nhận. Định nghĩa trong trường hợp này như sau: một biến ngẫu nhiên là một hàm thực với không gian xác suất.

Phạm vi S của một biến ngẫu nhiên đôi khi được gọi là không gian trạng thái. Do đó, nếu X là giá trị được đề cập, thì N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, v.v. Số cuối cùng trong số này, làm tròn X đến số nguyên gần nhất, được gọi là hàm sàn.

Chức năng phân phối

Khi hàm phân phối quan tâm của một biến ngẫu nhiên x đã được xác định, câu hỏi thường trở thành: "Khả năng X rơi vào một tập con nào đó của B là bao nhiêu?" Ví dụ, B = (số lẻ), B = (lớn hơn 1), hoặc B = (từ 2 đến 7) để chỉ ra những kết quả có X, giá trị của biến ngẫu nhiên, trong tập con A. Vì vậy, trong phần trên ví dụ, bạn có thể mô tả các sự kiện như sau.

(X là số lẻ), (X lớn hơn 1) = (X> 1), (X nằm trong khoảng từ 2 đến 7) = (2

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

Do đó, có thể tính xác suất để hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên x sẽ nhận các giá trị trong khoảng bằng phép trừ. Cần phải xem xét việc bao gồm hoặc loại trừ các điểm cuối.

Chúng ta sẽ gọi một biến ngẫu nhiên là rời rạc nếu nó có không gian trạng thái hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Do đó, X là số đầu trên ba lần lật độc lập của một đồng xu có xu hướng đi lên với xác suất p. Chúng ta cần tìm hàm phân phối tích lũy của một biến ngẫu nhiên rời rạc FX cho X. Gọi X là số đỉnh trong bộ ba thẻ. Khi đó Y = X3 qua FX. FX bắt đầu từ 0, kết thúc ở 1 và không giảm khi giá trị x tăng lên. Hàm phân phối FX tích lũy của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là hằng số, ngoại trừ các bước nhảy. Khi nhảy FX liên tục. Có thể chứng minh phát biểu về tính liên tục đúng của hàm phân phối từ đặc tính xác suất bằng cách sử dụng định nghĩa. Nghe có vẻ như thế này: một biến ngẫu nhiên không đổi có FX tích lũy có thể phân biệt được.

Để cho thấy điều này có thể xảy ra như thế nào, chúng ta có thể đưa ra một ví dụ: một mục tiêu có bán kính đơn vị. Có lẽ là vậy. phi tiêu được phân bố đều trên khu vực xác định. Với một số λ> 0. Như vậy, các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên liên tục tăng thuận lợi. FX có các thuộc tính của một chức năng phân phối.

Một người đàn ông đợi ở trạm xe buýt cho đến khi xe buýt đến. Đã quyết định cho bản thân rằng anh ấy sẽ từ chối khi chờ đợi đến 20 phút. Ở đây, cần tìm hàm phân phối tích lũy cho T. Thời điểm mà một người vẫn ở bến xe hoặc sẽ không rời đi. Mặc dù thực tế là hàm phân phối tích lũy được xác định cho mỗi biến ngẫu nhiên. Tương tự, các đặc điểm khác sẽ được sử dụng khá thường xuyên: khối lượng cho một biến rời rạc và hàm mật độ phân phối của một biến ngẫu nhiên. Thông thường giá trị được xuất thông qua một trong hai giá trị này.

Chức năng hàng loạt

Các giá trị này được xem xét bởi các thuộc tính sau, có tính chất tổng quát (khối lượng). Đầu tiên là dựa trên thực tế là các xác suất không âm. Điều thứ hai tiếp theo từ quan sát rằng tập hợp với mọi x = 2S, không gian trạng thái cho X, tạo thành một phân hoạch của tự do xác suất của X. Ví dụ: lật một đồng xu thiên vị có kết quả là độc lập. Bạn có thể tiếp tục thực hiện các hành động nhất định cho đến khi bạn nhận được một cú ném đầu. Gọi X biểu thị một biến ngẫu nhiên cho số lượng đuôi đứng trước đầu đầu tiên. Và p biểu thị xác suất trong bất kỳ hành động nhất định nào.

Vì vậy, hàm xác suất khối lượng có các tính năng đặc trưng sau đây. Vì các số hạng tạo thành một dãy số nên X được gọi là biến ngẫu nhiên hình học. Lược đồ hình học c, cr, cr2,. , crn có một tổng. Và do đó, sn có giới hạn là n 1. Trong trường hợp này, tổng vô hạn là giới hạn.

Hàm khối lượng ở trên tạo thành một dãy hình học với một tỉ lệ. Do đó, các số tự nhiên a và b. Sự khác biệt về các giá trị trong hàm phân phối bằng giá trị của hàm khối lượng.

Các giá trị mật độ đang xét có định nghĩa sau: X là một biến ngẫu nhiên mà phân phối FX có đạo hàm. FX thỏa mãn Z xFX (x) = fX (t) dt-1 được gọi là hàm mật độ xác suất. Và X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. Trong định lý cơ bản của giải tích, hàm mật độ là đạo hàm của phân phối. Bạn có thể tính toán xác suất bằng cách tính các tích phân xác định.

Bởi vì dữ liệu được thu thập từ nhiều lần quan sát, nhiều hơn một biến ngẫu nhiên tại một thời điểm phải được xem xét để mô hình hóa các quy trình thử nghiệm. Do đó, tập hợp các giá trị này và phân phối chung của chúng cho hai biến X1 và X2 có nghĩa là xem các sự kiện. Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, các hàm khối lượng xác suất chung được xác định. Đối với các liên tục, fX1, X2 được xem xét, khi mật độ xác suất khớp được thỏa mãn.

Các biến ngẫu nhiên độc lập

Hai biến ngẫu nhiên X1 và X2 là độc lập nếu bất kỳ hai sự kiện nào liên quan đến chúng đều giống nhau. Nói cách khác, xác suất để hai biến cố (X1 2 B1) và (X2 2 B2) xảy ra đồng thời, y, bằng tích của các biến ở trên, mà mỗi biến trong số chúng xảy ra riêng lẻ. Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập, có một hàm khối lượng xác suất chung, là tích của khối lượng ion giới hạn. Đối với các biến ngẫu nhiên liên tục độc lập, hàm mật độ xác suất khớp là tích của các giá trị mật độ biên. Cuối cùng, n quan sát độc lập x1, x2, được xem xét. , xn phát sinh từ một hàm mật độ hoặc khối lượng chưa biết f. Ví dụ, một tham số chưa biết trong các hàm cho một biến ngẫu nhiên hàm mũ mô tả thời gian chờ xe buýt.

Mô phỏng các biến ngẫu nhiên

Mục tiêu chính của lĩnh vực lý thuyết này là cung cấp các công cụ cần thiết để phát triển các quy trình suy luận dựa trên các nguyên tắc đúng đắn của khoa học thống kê. Do đó, một trường hợp sử dụng rất quan trọng đối với phần mềm là khả năng tạo dữ liệu giả để bắt chước thông tin thực tế. Điều này giúp bạn có thể kiểm tra và cải tiến các phương pháp phân tích trước khi phải sử dụng chúng trong cơ sở dữ liệu thực. Điều này là cần thiết để khám phá các thuộc tính của dữ liệu thông qua mô hình hóa. Đối với nhiều họ biến ngẫu nhiên thường được sử dụng, R cung cấp các lệnh để tạo ra chúng. Đối với các trường hợp khác, sẽ cần các phương pháp mô hình hóa chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chung.

Các biến ngẫu nhiên rời rạc và lệnh mẫu. Lệnh mẫu được sử dụng để tạo các mẫu ngẫu nhiên đơn giản và phân tầng. Kết quả là, nếu một chuỗi x được nhập, mẫu (x, 40) chọn 40 bản ghi từ x sao cho tất cả các lựa chọn có kích thước 40 đều có cùng xác suất. Điều này sử dụng lệnh R mặc định để tìm nạp mà không cần thay thế. Cũng có thể được sử dụng để mô hình hóa các biến ngẫu nhiên rời rạc. Để làm điều này, bạn cần cung cấp một không gian trạng thái trong vectơ x và hàm khối lượng f. Lời gọi thay thế = TRUE chỉ ra rằng lấy mẫu xảy ra với sự thay thế. Sau đó, để cung cấp một mẫu gồm n biến ngẫu nhiên độc lập có hàm khối lượng chung f, mẫu (x, n, thay thế = TRUE, prob = f) được sử dụng.

Người ta xác định rằng 1 là giá trị nhỏ nhất được biểu diễn và 4 là giá trị lớn nhất. Nếu lệnh prob = f bị bỏ qua, thì mẫu sẽ lấy mẫu đồng nhất từ ​​các giá trị trong vectơ x. Bạn có thể kiểm tra mô phỏng so với hàm khối lượng đã tạo ra dữ liệu bằng cách nhìn vào dấu bằng kép, ==. Và tính toán lại các quan sát nhận mọi giá trị có thể cho x. Bạn có thể làm một cái bàn. Lặp lại điều này cho 1000 và so sánh mô phỏng với hàm khối lượng tương ứng.

Minh họa chuyển đổi xác suất

Đầu tiên, mô phỏng hàm phân phối thuần nhất của các biến ngẫu nhiên u1, u2,. , un trên khoảng thời gian. Khoảng 10% các con số phải nằm trong số đó. Điều này tương ứng với 10% mô phỏng trên khoảng thời gian cho một biến ngẫu nhiên với hàm phân phối FX được hiển thị. Tương tự, khoảng 10% số ngẫu nhiên phải nằm trong khoảng thời gian. Điều này tương ứng với 10% mô phỏng trên khoảng biến ngẫu nhiên với hàm phân phối FX. Các giá trị này trên trục x có thể nhận được bằng cách lấy nghịch đảo từ FX. Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục với mật độ fX dương ở mọi nơi trong miền của nó, thì hàm phân phối đang tăng nghiêm ngặt. Trong trường hợp này, FX có một hàm FX-1 nghịch đảo được gọi là hàm lượng tử. FX (x) u chỉ khi x FX-1 (u). Phép biến đổi xác suất xảy ra sau khi phân tích biến ngẫu nhiên U = FX (X).

FX có phạm vi từ 0 đến 1. Nó không thể nhận các giá trị dưới 0 hoặc trên 1. Đối với các giá trị của u từ 0 đến 1. Nếu U có thể được mô hình hóa, thì cần phải mô phỏng một biến ngẫu nhiên với phân phối FX thông qua một hàm lượng tử. Lấy đạo hàm để thấy mật độ u thay đổi trong khoảng 1. Vì biến ngẫu nhiên U có mật độ không đổi trên khoảng các giá trị có thể của nó nên nó được gọi là đồng nhất trên khoảng. Nó được mô hình hóa trong R bằng lệnh runif. Nhận dạng được gọi là một phép biến đổi theo xác suất. Bạn có thể xem nó hoạt động như thế nào trong ví dụ bảng phi tiêu. X giữa 0 và 1, hàm phân phối u = FX (x) = x2, và do đó hàm lượng tử x = FX-1 (u). Có thể lập mô hình các quan sát độc lập về khoảng cách từ tâm của bảng phi tiêu, đồng thời tạo ra các biến ngẫu nhiên đồng nhất U1, U2,. , Un. Hàm phân phối và hàm thực nghiệm dựa trên 100 mô phỏng sự phân bố của bảng phi tiêu. Đối với biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân, có lẽ u = FX (x) = 1 - exp (- x) và do đó x = - 1 ln (1 - u). Đôi khi logic bao gồm các câu lệnh tương đương. Trong trường hợp này, bạn cần nối hai phần của đối số. Nhận dạng giao điểm là tương tự cho tất cả 2 (S i i) S, thay vì một số giá trị. Liên hiệp Ci bằng không gian trạng thái S và mỗi cặp là loại trừ lẫn nhau. Vì Bi - được chia thành ba tiên đề. Mỗi lần kiểm tra dựa trên xác suất tương ứng P. Đối với bất kỳ tập hợp con nào. Sử dụng danh tính để đảm bảo câu trả lời không phụ thuộc vào việc có bao gồm các điểm cuối khoảng thời gian hay không.

Hàm mũ và các biến của nó

Đối với mỗi kết quả trong tất cả các sự kiện, tính chất thứ hai về tính liên tục của xác suất được sử dụng cuối cùng, được coi là tiên đề. Quy luật phân phối của hàm một biến ngẫu nhiên ở đây cho thấy rằng mỗi biến đều có lời giải và đáp số riêng.

Định nghĩa một hàm của các biến ngẫu nhiên. Chức năng của một đối số ngẫu nhiên rời rạc và các đặc điểm số của nó. Hàm của đối số ngẫu nhiên liên tục và các đặc điểm số của nó. Hàm của hai đối số ngẫu nhiên. Xác định hàm phân phối xác suất và mật độ cho một hàm của hai đối số ngẫu nhiên.

Luật phân phối xác suất cho một hàm của một biến ngẫu nhiên

Khi giải quyết các vấn đề liên quan đến đánh giá độ chính xác của hoạt động của các hệ thống tự động khác nhau, độ chính xác của việc sản xuất các phần tử riêng lẻ của hệ thống, v.v., thường phải xem xét các hàm của một hoặc nhiều biến ngẫu nhiên. Các hàm như vậy cũng là các biến ngẫu nhiên. Vì vậy khi giải bài toán cần nắm rõ các quy luật phân phối của các biến ngẫu nhiên xuất hiện trong bài toán. Trong trường hợp này, quy luật phân phối của hệ thống các đối số ngẫu nhiên và sự phụ thuộc hàm thường được biết đến.

Do đó, một vấn đề nảy sinh có thể được xây dựng như sau.

Cho một hệ thống các biến ngẫu nhiên (X_1, X_2, \ ldots, X_n), mà luật phân phối đã biết. Một số biến ngẫu nhiên Y được coi là một hàm của các biến ngẫu nhiên này:

Y = \ varphi (X_1, X_2, \ ldots, X_n).

Yêu cầu xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y, biết dạng hàm (6.1) và luật phân phối chung của các đối số của nó.

Xem xét vấn đề về luật phân phối của hàm của một đối số ngẫu nhiên

Y = \ varphi (X).

\ begin (array) (| c | c | c | c | c |) \ hline (X) & x_1 & x_2 & \ cdots & x_n \\\ hline (P) & p_1 & p_2 & \ cdots & p_n \\\ hline \ end (array)

Khi đó Y = \ varphi (X) cũng là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể. Nếu tất cả các giá trị y_1, y_2, \ ldots, y_n phân biệt, thì với mỗi k = 1,2, \ ldots, n sự kiện \ (X = x_k \) và \ (Y = y_k = \ varphi (x_k) \) là giống hệt nhau. Do đó,

P \ (Y = y_k \) = P \ (X = x_k \) = p_k

và chuỗi phân phối mong muốn có dạng

\ begin (array) (| c | c | c | c | c |) \ hline (Y) & y_1 = \ varphi (x_1) & y_2 = \ varphi (x_2) & \ cdots & y_n = \ varphi (x_n) \\\ hline (P) & p_1 & p_2 & \ cdots & p_n \\\ hline \ end (mảng)

Nếu trong số các con số y_1 = \ varphi (x_1), y_2 = \ varphi (x_2), \ ldots, y_n = \ varphi (x_n) giống hệt nhau, thì mỗi nhóm các giá trị giống hệt nhau y_k = \ varphi (x_k) phải được gán một cột trong bảng và các xác suất tương ứng phải được thêm vào.

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, bài toán được xây dựng như sau: biết mật độ phân phối f (x) của biến ngẫu nhiên X, tìm mật độ phân phối g (y) của biến ngẫu nhiên Y = \ varphi (X). Khi giải quyết vấn đề, chúng tôi xem xét hai trường hợp.

Trước hết, giả sử rằng hàm y = \ varphi (x) tăng đơn điệu, liên tục và khả vi trên khoảng (a; b) chứa tất cả các giá trị có thể có của X. Khi đó, hàm ngược x = \ psi (y) tồn tại và cũng tăng đơn điệu, liên tục và khả vi. Trong trường hợp này, chúng tôi nhận được

G (y) = f \ bigl (\ psi (y) \ bigr) \ cdot | \ psi "(y) |.

Ví dụ 1. Biến ngẫu nhiên X có phân phối với mật độ

F (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) e ^ (- x ^ 2/2)

Tìm luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y gắn với giá trị X bằng sự phụ thuộc Y = X ^ 3.

Dung dịch. Vì hàm số y = x ^ 3 là đơn điệu trên khoảng (- \ infty; + \ infty) nên có thể áp dụng công thức (6.2). Hàm ngược đối với hàm \ varphi (x) = x ^ 3 là \ psi (y) = \ sqrt (y), đạo hàm của nó \ psi "(y) = \ frac (1) (3 \ sqrt (y ^ 2)). Do đó,

G (y) = \ frac (1) (3 \ sqrt (2 \ pi)) e ^ (- \ sqrt (y ^ 2) / 2) \ frac (1) (\ sqrt (y ^ 2))

Hãy xem xét trường hợp của một hàm nonmonotone. Đặt hàm y = \ varphi (x) sao cho hàm ngược x = \ psi (y) không rõ ràng, tức là một giá trị của y tương ứng với một số giá trị của đối số x, mà chúng ta biểu thị x_1 = \ psi_1 (y), x_2 = \ psi_2 (y), \ ldots, x_n = \ psi_n (y), trong đó n là số đoạn mà hàm y = \ varphi (x) thay đổi đơn điệu. sau đó

G (y) = \ sum \ limit_ (k = 1) ^ (n) f \ bigl (\ psi_k (y) \ bigr) \ cdot | \ psi "_k (y) |.

Ví dụ 2. Với các điều kiện của ví dụ 1, hãy tìm phân phối của biến ngẫu nhiên Y = X ^ 2.

Dung dịch. Hàm nghịch đảo x = \ psi (y) không rõ ràng. Một giá trị của đối số y tương ứng với hai giá trị của hàm x

Áp dụng công thức (6.3), ta thu được:

\ begin (tập hợp) g (y) = f (\ psi_1 (y)) | \ psi "_1 (y) | + f (\ psi_2 (y)) | \ psi" _2 (y) | = \\\\ = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \, e ^ (- \ left (- \ sqrt (y ^ 2) \ right) ^ 2/2) \! \ left | - \ frac (1 ) (2 \ sqrt (y)) \ right | + \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \, e ^ (- \ left (\ sqrt (y ^ 2) \ right) ^ 2/2 ) \! \ left | \ frac (1) (2 \ sqrt (y)) \ right | = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi (y))) \, e ^ (- y / 2) . \ end (đã tập hợp)

Luật phân phối của một hàm hai biến ngẫu nhiên

Gọi biến ngẫu nhiên Y là một hàm của hai biến ngẫu nhiên tạo thành hệ thống (X_1; X_2), tức là Y = \ varphi (X_1; X_2). Nhiệm vụ là tìm phân phối của biến ngẫu nhiên Y từ phân phối đã biết của hệ thống (X_1; X_2).

Gọi f (x_1; x_2) là mật độ phân phối của hệ thống các biến ngẫu nhiên (X_1; X_2). Hãy để chúng tôi giới thiệu một giá trị mới Y_1 bằng X_1 và xét hệ phương trình

Chúng tôi sẽ giả định rằng hệ thống này là duy nhất có thể giải quyết được đối với x_1, x_2

và thỏa mãn các điều kiện phân biệt.

Mật độ phân phối của một biến ngẫu nhiên Y

G_1 (y) = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) f (x_1; \ psi (y; x_1)) \! \ Left | \ frac (\ part \ psi (y; x_1)) (\ một phần (y)) \ phải | dx_1.

Lưu ý rằng lý do không thay đổi nếu giá trị mới được giới thiệu Y_1 được đặt bằng X_2.

Kỳ vọng toán học của một hàm của các biến ngẫu nhiên

Trong thực tế, thường có những trường hợp không cần xác định hoàn toàn quy luật phân phối của một hàm biến ngẫu nhiên mà chỉ cần chỉ ra các đặc trưng số của nó là đủ. Do đó, vấn đề nảy sinh là xác định các đặc trưng số của các hàm của các biến ngẫu nhiên ngoài các luật phân phối của các hàm này.

Cho một biến ngẫu nhiên Y là một hàm của đối số ngẫu nhiên X với luật phân phối cho trước

Y = \ varphi (X).

Không cần tìm quy luật phân phối của đại lượng Y, cần xác định kỳ vọng toán học của nó

M (Y) = M [\ varphi (X)].

Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với một chuỗi phân phối

\ begin (array) (| c | c | c | c | c |) \ hline (x_i) & x_1 & x_2 & \ cdots & x_n \\\ hline (p_i) & p_1 & p_2 & \ cdots & p_n \\\ hline \ end (array)

Hãy lập một bảng các giá trị Y và xác suất của các giá trị này:

\ begin (array) (| c | c | c | c | c |) \ hline (y_i = \ varphi (x_i)) & y_1 = \ varphi (x_1) & y_2 = \ varphi (x_2) & \ cdots & y_n = \ varphi ( x_n) \\\ hline (p_i) & p_1 & p_2 & \ cdots & p_n \\\ hline \ end (mảng)

Bảng này không phải là một chuỗi phân phối của biến ngẫu nhiên Y, vì trong trường hợp chung, một số giá trị có thể trùng với nhau và các giá trị ở hàng trên cùng không nhất thiết phải theo thứ tự tăng dần. Tuy nhiên, kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên Y có thể được xác định bằng công thức

M [\ varphi (X)] = \ sum \ limit_ (i = 1) ^ (n) \ varphi (x_i) p_i,

vì giá trị được xác định bởi công thức (6.4) không thể thay đổi so với thực tế là dưới dấu tổng một số số hạng được kết hợp trước, và thứ tự của các số hạng được thay đổi.

Công thức (6.4) không chứa luật phân phối của chính hàm \ varphi (X) một cách rõ ràng mà chỉ chứa luật phân phối của đối số X. Do đó, để xác định kỳ vọng toán học của hàm Y = \ varphi (X) thì không cần biết luật phân phối của hàm \ varphi (X), nhưng chỉ cần biết luật phân phối của đối số X là đủ. .

Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục, kỳ vọng toán học được tính bằng công thức

M [\ varphi (X)] = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) \ varphi (x) f (x) \, dx,

trong đó f (x) là mật độ phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Chúng ta hãy xem xét các trường hợp khi để tìm kỳ vọng toán học của một hàm của các đối số ngẫu nhiên, không cần biết ngay cả luật phân phối các đối số, nhưng chỉ cần biết một số đặc điểm số của chúng là đủ. Chúng ta hãy hình thành các trường hợp này dưới dạng định lý.

Định lý 6.1. Kỳ vọng toán học của tổng của cả hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc và độc lập bằng tổng kỳ vọng toán học của các biến này:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Định lý 6.2. Kỳ vọng toán học về tích của hai biến ngẫu nhiên bằng tích của kỳ vọng toán học của chúng cộng với thời điểm tương quan:

M (XY) = M (X) M (Y) + \ mu_ (xy).

Hệ quả 6.1. Kỳ vọng toán học về tích của hai biến ngẫu nhiên không tương quan bằng tích của kỳ vọng toán học của chúng.

Hệ quả 6.2. Kỳ vọng toán học về tích của hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích của kỳ vọng toán học của chúng.

Phương sai của một hàm của các biến ngẫu nhiên

Theo định nghĩa của sự phân tán, chúng ta có D [Y] = M [(Y-M (Y)) ^ 2].. Do đó,

D [\ varphi (x)] = M [(\ varphi (x) -M (\ varphi (x))) ^ 2], ở đâu .

Chúng tôi đưa ra các công thức tính toán chỉ cho trường hợp các đối số ngẫu nhiên liên tục. Đối với một hàm của một đối số ngẫu nhiên Y = \ varphi (X), phương sai được biểu thị bằng công thức

D [\ varphi (x)] = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) (\ varphi (x) -M (\ varphi (x))) ^ 2f (x) \, dx,

ở đâu M (\ varphi (x)) = M [\ varphi (X)]- kỳ vọng toán học của hàm \ varphi (X); f (x) - mật độ phân phối của đại lượng X.

Công thức (6.5) có thể được thay thế bằng công thức sau:

D [\ varphi (x)] = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) \ varphi ^ 2 (x) f (x) \, dx-M ^ 2 (X)

Xem xét định lý phân tán, đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất và các ứng dụng của nó.

Định lý 6.3. Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng phương sai của các biến này cộng với hai lần tổng các mômen tương quan của mỗi số hạng với tất cả các số hạng tiếp theo:

D \! \ Left [\ sum \ limit_ (i = 1) ^ (n) X_i \ right] = \ sum \ limit_ (i = 1) ^ (n) D + 2 \ sum \ limit_ (i

Hệ quả 6.3. Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên không tương quan bằng tổng phương sai của các số hạng:

D \! \ Left [\ sum \ limit_ (i = 1) ^ (n) X_i \ right] = \ sum \ limit_ (i = 1) ^ (n) D\ mu_ (y_1y_2) = M (Y_1Y_2) -M (Y_1) M (Y_2).

\ mu_ (y_1y_2) = M (\ varphi_1 (X) \ varphi_2 (X)) - M (\ varphi_1 (X)) M (\ varphi_2 (X)).

tức là, mômen tương quan của hai hàm của các biến ngẫu nhiên bằng kỳ vọng toán học của tích các hàm này trừ đi tích của kỳ vọng toán học.

Xem xét chính tính chất của mômen tương quan và hệ số tương quan.

Tính chất 1. Từ phép cộng các giá trị không đổi vào biến ngẫu nhiên, mômen tương quan và hệ số tương quan không thay đổi.

Tính chất 2. Đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên X và Y nào, giá trị tuyệt đối của mômen tương quan không vượt quá giá trị trung bình hình học của độ phân tán của các đại lượng này:

| \ mu_ (xy) | \ leqslant \ sqrt (D [X] \ cdot D [Y]) = \ sigma_x \ cdot \ sigma_y,

GIÁ TRỊ NGẪU NHIÊN

Ví dụ 2.1. Giá trị ngẫu nhiên Xđược cung cấp bởi hàm phân phối

Tìm xác suất để kết quả của phép thử X sẽ nhận các giá trị trong khoảng (2,5; 3,6).

Dung dịch: X trong khoảng (2,5; 3,6) có thể được xác định theo hai cách:

Ví dụ 2.2. Các giá trị của các tham số NHƯNG và TẠI hàm số F(x) = A + Be - x có thể là một hàm phân phối cho các giá trị không âm của một biến ngẫu nhiên X.

Dung dịch: Vì tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X thuộc khoảng, sau đó để hàm là một hàm phân phối cho X, tài sản nên giữ:

.

Câu trả lời: .

Ví dụ 2.3. Biến ngẫu nhiên X được cho bởi hàm phân phối

Tìm xác suất để theo kết quả của bốn lần thử nghiệm độc lập, giá trị Xđúng 3 lần sẽ nhận một giá trị thuộc khoảng (0,25; 0,75).

Dung dịch: Xác suất đạt được một giá trị X trong khoảng (0,25; 0,75) ta tìm được bằng công thức:

Ví dụ 2.4. Xác suất để bóng chạm rổ trong một lần ném là 0,3. Rút ra quy luật phân phối số lần ném trúng đích trong ba lần ném.

Dung dịch: Giá trị ngẫu nhiên X- số lần ném trúng rổ với ba lần ném - có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3. Xác suất mà X

X:

Ví dụ 2.5. Hai người bắn thực hiện một lần bắn vào mục tiêu. Xác suất bắn trúng nó của người bắn thứ nhất là 0,5, người thứ hai - 0,4. Viết ra quy luật phân phối số lần bắn trúng mục tiêu.

Dung dịch: Tìm quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X- số lần bắn trúng mục tiêu. Hãy để sự kiện được bắn trúng mục tiêu bởi người bắn thứ nhất, và - bắn trúng mục tiêu bởi người bắn thứ hai, và - tương ứng, những lần bắn trượt của họ.

Chúng ta hãy soạn luật phân phối xác suất của SV X:

Ví dụ 2.6. 3 yếu tố được kiểm tra, hoạt động độc lập với nhau. Khoảng thời gian (tính bằng giờ) vận hành không hỏng hóc của các phần tử có hàm mật độ phân phối: đối với thứ nhất: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, Cho lần thứ hai: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, cho cái thứ ba: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Tìm xác suất để trong khoảng thời gian từ 0 giờ đến 5 giờ: chỉ hỏng một phần tử; chỉ có hai yếu tố sẽ không thành công; cả ba yếu tố đều không thành công.

Dung dịch: Hãy sử dụng định nghĩa của hàm tạo ra xác suất:

Xác suất trong các thử nghiệm độc lập, trong lần thử nghiệm đầu tiên xác suất xảy ra một sự kiện NHƯNG bằng, trong lần thứ hai, v.v., sự kiện NHƯNG xuất hiện đúng một lần, bằng hệ số tại trong khai triển của hàm sinh theo lũy thừa của. Hãy tìm xác suất hư hỏng và không hỏng hóc tương ứng của phần tử thứ nhất, thứ hai và thứ ba trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giờ:

Hãy tạo một hàm tạo:

Hệ số tại bằng xác suất mà sự kiện NHƯNG sẽ xuất hiện đúng ba lần, tức là xác suất hỏng cả ba phần tử; hệ số at bằng xác suất để có đúng hai phần tử bị lỗi; hệ số at bằng với xác suất chỉ một phần tử bị lỗi.

Ví dụ 2.7. Cho một mật độ xác suất f(x) biến ngẫu nhiên X:

Tìm hàm phân phối F (x).

Dung dịch: Chúng tôi sử dụng công thức:

.

Như vậy, hàm phân phối có dạng:

Ví dụ 2.8. Thiết bị bao gồm ba phần tử hoạt động độc lập. Xác suất thất bại của mỗi phần tử trong một thí nghiệm là 0,1. Biên soạn luật phân phối số phần tử không đạt trong một thí nghiệm.

Dung dịch: Giá trị ngẫu nhiên X- số phần tử không thành công trong một thử nghiệm - có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3. Xác suất mà X nhận các giá trị này, chúng tôi tìm thấy bằng công thức Bernoulli:

Do đó, chúng ta thu được luật sau về phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên X:

Ví dụ 2.9. Có 4 phần tiêu chuẩn trong rất nhiều 6 phần. 3 mục đã được chọn ngẫu nhiên. Rút ra quy luật phân phối số bộ phận tiêu chuẩn trong số các bộ phận được chọn.

Dung dịch: Giá trị ngẫu nhiên X- số phần tiêu chuẩn trong số các phần được chọn - có thể nhận các giá trị: 1, 2, 3 và có phân phối siêu bội. Các xác suất mà X

ở đâu -- số lượng các bộ phận trong lô;

-- số lượng các bộ phận tiêu chuẩn trong lô;

– số bộ phận được chọn;

-- số lượng các bộ phận tiêu chuẩn trong số những bộ phận được chọn.

.

.

.

Ví dụ 2.10. Biến ngẫu nhiên có mật độ phân phối

ở đâu và không được biết đến, nhưng, a và. Tìm và .

Dung dịch: Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên X có phân phối tam giác (phân phối Simpson) trên khoảng [ a, b]. Đặc điểm số X:

Do đó, . Giải hệ này, ta nhận được hai cặp giá trị:. Vì, theo điều kiện của bài toán, cuối cùng chúng ta có: .

Câu trả lời: .

Ví dụ 2.11. Trung bình, đối với 10% hợp đồng, công ty bảo hiểm trả số tiền bảo hiểm liên quan đến việc xảy ra sự kiện được bảo hiểm. Tính kỳ vọng toán học và phương sai của số lượng hợp đồng như vậy trong số bốn hợp đồng được chọn ngẫu nhiên.

Dung dịch: Kỳ vọng toán học và phương sai có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức:

.

Giá trị có thể có của SV (số lượng hợp đồng (trong số bốn hợp đồng) khi xảy ra sự kiện được bảo hiểm): 0, 1, 2, 3, 4.

Chúng tôi sử dụng công thức Bernoulli để tính xác suất của một số hợp đồng khác nhau (trong số bốn hợp đồng) mà số tiền bảo hiểm đã được thanh toán:

.

Chuỗi phân phối CV (số lượng hợp đồng có sự kiện xảy ra được bảo hiểm) có dạng:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Câu trả lời: , .

Ví dụ 2.12. Trong số năm bông hồng, có hai bông màu trắng. Viết luật phân phối cho một biến ngẫu nhiên biểu thị số bông hồng trắng trong số hai bông hồng được lấy cùng một lúc.

Dung dịch: Trong một mẫu có hai bông hồng, có thể không có bông hồng trắng hoặc có thể có một hoặc hai bông hồng trắng. Do đó, biến ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2. Các xác suất mà X nhận các giá trị này, chúng tôi tìm thấy theo công thức:

ở đâu -- số lượng hoa hồng;

-- số lượng hoa hồng trắng;

– số lượng hoa hồng được lấy đồng thời;

-- số lượng hoa hồng trắng trong số những người đã lấy.

.

.

.

Khi đó quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên sẽ như sau:

Ví dụ 2.13. Trong số 15 chiếc đã lắp ráp, 6 chiếc cần bôi trơn bổ sung. Lập quy luật phân phối số đơn vị cần bôi trơn bổ sung, trong số năm đơn vị được chọn ngẫu nhiên từ tổng số.

Dung dịch: Giá trị ngẫu nhiên X- số đơn vị cần bôi trơn bổ sung trong số năm đơn vị được chọn - có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3, 4, 5 và có phân bố siêu đại. Các xác suất mà X nhận các giá trị này, chúng tôi tìm thấy theo công thức:

ở đâu -- số lượng các đơn vị được lắp ráp;

-- số đơn vị yêu cầu bôi trơn bổ sung;

– số lượng các tập hợp được chọn;

-- số lượng đơn vị cần bôi trơn bổ sung trong số các đơn vị đã chọn.

.

.

.

.

.

.

Khi đó quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên sẽ như sau:

Ví dụ 2.14. Trong số 10 chiếc đồng hồ được nhận sửa chữa, có 7 chiếc cần tổng vệ sinh bộ máy. Đồng hồ không được sắp xếp theo loại sửa chữa. Người chủ, muốn tìm một chiếc đồng hồ cần làm sạch, kiểm tra từng chiếc một và sau khi tìm thấy một chiếc đồng hồ như vậy, họ dừng việc xem thêm. Tìm kỳ vọng toán học và phương sai của số giờ đã xem.

Dung dịch: Giá trị ngẫu nhiên X- số đơn vị cần bôi trơn bổ sung trong số năm đơn vị được chọn - có thể nhận các giá trị sau: 1, 2, 3, 4. Xác suất mà X nhận các giá trị này, chúng tôi tìm thấy theo công thức:

.

.

.

.

Khi đó quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên sẽ như sau:

Bây giờ chúng ta hãy tính các đặc trưng số của đại lượng:

Câu trả lời: , .

Ví dụ 2.15. Chủ thuê bao đã quên chữ số cuối của số điện thoại mình cần, nhưng nhớ lại là số lẻ. Tìm kỳ vọng toán học và phương sai của số lần quay số mà anh ta đã thực hiện trước khi chạm vào con số mong muốn, nếu anh ta quay số cuối cùng một cách ngẫu nhiên và không quay số đã quay trong tương lai.

Dung dịch: Biến ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị:. Do thuê bao không quay số được gọi trong tương lai nên xác suất của các giá trị này là bằng nhau.

Hãy lập một chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên:

	0,2

Hãy tính toán kỳ vọng và phương sai toán học của số lần quay số:

Câu trả lời: , .

Ví dụ 2.16. Xác suất hỏng hóc trong các thử nghiệm độ tin cậy đối với từng thiết bị của loạt sản phẩm này bằng P. Xác định kỳ vọng toán học của số lượng thiết bị không thành công, nếu được kiểm tra N thiết bị gia dụng.

Dung dịch: Biến ngẫu nhiên rời rạc X là số thiết bị bị lỗi trong N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm trong đó xác suất không đạt bằng P, phân phối theo luật nhị thức. Kỳ vọng toán học của phân phối nhị thức bằng tích của số lần thử và xác suất biến cố xảy ra trong một lần thử:

Ví dụ 2.17. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận 3 giá trị có thể có: với xác suất; với xác suất và với xác suất. Tìm và biết rằng M ( X) = 8.

Dung dịch: Chúng tôi sử dụng các định nghĩa của kỳ vọng toán học và quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc:

Chúng ta tìm thấy: .

Ví dụ 2.18. Bộ phận kiểm tra kỹ thuật kiểm tra sản phẩm về độ chuẩn. Xác suất để mặt hàng đó đạt tiêu chuẩn là 0,9. Mỗi đợt chứa 5 mặt hàng. Tìm kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X- số lô, mỗi lô chứa đúng 4 sản phẩm tiêu chuẩn, nếu 50 lô thì phải kiểm tra.

Dung dịch: Trong trường hợp này, tất cả các thí nghiệm được tiến hành là độc lập và xác suất mà mỗi lô chứa đúng 4 sản phẩm tiêu chuẩn là như nhau, do đó, kỳ vọng toán học có thể được xác định bằng công thức:

,

số lượng các bên ở đâu;

Xác suất để một lô chứa đúng 4 mặt hàng tiêu chuẩn.

Chúng tôi tìm xác suất bằng cách sử dụng công thức Bernoulli:

Câu trả lời: .

Ví dụ 2.19. Tìm phương sai của một biến ngẫu nhiên X- số lần xuất hiện của sự kiện Một trong hai thử nghiệm độc lập, nếu xác suất xảy ra sự kiện trong các thử nghiệm này là như nhau và biết rằng M(X) = 0,9.

Dung dịch: Vấn đề có thể được giải quyết theo hai cách.

1) Giá trị CB có thể X: 0, 1, 2. Sử dụng công thức Bernoulli, chúng tôi xác định xác suất của các sự kiện này:

, , .

Sau đó, luật phân phối X giống như:

Từ định nghĩa của kỳ vọng toán học, chúng tôi xác định xác suất:

Hãy tìm phương sai của SW X:

.

2) Bạn có thể sử dụng công thức:

.

Câu trả lời: .

Ví dụ 2.20. Kỳ vọng toán học và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X lần lượt là 20 và 5. Tìm xác suất để kết quả của phép thử X sẽ nhận giá trị chứa trong khoảng (15; 25).

Dung dịch: Xác suất chạm vào một biến ngẫu nhiên bình thường X trên phần từ đến được thể hiện theo hàm Laplace:

Ví dụ 2.21. Cho một hàm:

Ở giá trị nào của tham số C hàm này là mật độ phân phối của một số biến ngẫu nhiên liên tục X? Tìm kỳ vọng toán học và phương sai của một biến ngẫu nhiên X.

Dung dịch:Để một hàm là mật độ phân phối của một số biến ngẫu nhiên, nó phải không âm và nó phải thỏa mãn thuộc tính:

.

Do đó:

Tính kỳ vọng toán học bằng công thức:

.

Tính phương sai bằng công thức:

T là P. Cần phải tìm kỳ vọng toán học và phương sai của biến ngẫu nhiên này.

Dung dịch: Luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X - số lần xuất hiện của một sự kiện trong các thử nghiệm độc lập, trong mỗi phép thử xác suất xuất hiện của một sự kiện, được gọi là nhị thức. Kỳ vọng toán học của phân phối nhị thức bằng tích của số lần thử và xác suất xuất hiện biến cố A trong một lần thử:

.

Ví dụ 2.25. Ba phát độc lập được bắn vào mục tiêu. Xác suất bắn trúng của mỗi lần bắn là 0,25. Xác định độ lệch chuẩn của số lần bắn trúng ba phát.

Dung dịch: Vì ba thử nghiệm độc lập được thực hiện và xác suất xuất hiện của sự kiện A (trúng đích) trong mỗi thử nghiệm là như nhau, chúng tôi sẽ giả định rằng biến ngẫu nhiên rời rạc X - số lần truy cập vào mục tiêu - được phân phối theo nhị thức pháp luật.

Phương sai của phân phối nhị thức bằng tích của số lần thử và xác suất xuất hiện và không xảy ra của một sự kiện trong một lần thử:

Ví dụ 2.26. Số lượng khách hàng trung bình đến thăm công ty bảo hiểm trong 10 phút là ba. Tìm xác suất để trong 5 phút tiếp theo có ít nhất một khách hàng đến.

Số lượng khách hàng đến trung bình trong 5 phút: . .

Ví dụ 2.29. Thời gian chờ một ứng dụng trong hàng đợi của bộ xử lý tuân theo luật phân phối hàm mũ với giá trị trung bình là 20 giây. Tìm xác suất để yêu cầu tiếp theo (tùy ý) chờ bộ xử lý hơn 35 giây.

Dung dịch: Trong ví dụ này, kỳ vọng , và tỷ lệ thất bại là.

Khi đó xác suất mong muốn là:

Ví dụ 2.30. Một nhóm gồm 15 sinh viên tổ chức một cuộc họp trong hội trường có 20 hàng, mỗi hàng 10 ghế. Mỗi học sinh có một chỗ ngồi trong hội trường một cách ngẫu nhiên. Xác suất để không quá ba người đứng ở vị trí thứ bảy liên tiếp là bao nhiêu?

Dung dịch:

Ví dụ 2.31.

Sau đó, theo định nghĩa cổ điển của xác suất:

ở đâu -- số lượng các bộ phận trong lô;

-- số lượng các bộ phận không đạt tiêu chuẩn trong lô;

– số bộ phận được chọn;

-- số lượng các bộ phận không đạt tiêu chuẩn trong số các bộ phận được chọn.

Khi đó luật phân phối của biến ngẫu nhiên sẽ như sau.

Chủ đề số 11

Trong thực tế, một hàm phân phối thường được sử dụng để chỉ định các biến ngẫu nhiên có dạng tổng quát.

Xác suất mà biến ngẫu nhiên X sẽ nhận một giá trị x 0 nào đó, thể hiện qua hàm phân phối theo công thức

R (X = x 0) \ u003d F (x 0 +0) - F (x 0).(3)

Đặc biệt, nếu tại điểm x = x 0, hàm số F (x) liên tục thì

R (X = x 0) \ u003d 0.

Giá trị ngẫu nhiên X với sự phân phối p (A)được gọi là rời rạc nếu tồn tại một tập W hữu hạn hoặc đếm được trên dòng thực sao cho R(W,) = 1.

Cho W = ( x 1, x 2,…) và số Pi= P({x tôi}) = P(x = x tôi), tôi= 1,2,…. Sau đó, đối với bất kỳ bộ Borel nào NHƯNG xác suất p (A)được xác định duy nhất bởi công thức

Đưa vào công thức này A = (x i / x i< x}, x Î R , chúng tôi nhận được một công thức cho hàm phân phối F (x) biến ngẫu nhiên rời rạc X:

F (x) = P(x < x) =. (5)

Đồ thị hàm số F (x) là một đường bậc thang. Chức năng đua ngựa F (x) tại các điểm x \ u003d x 1, x 2 ... (x 1 bằng các xác suất tương ứng p 1, p 2, ....

Ví dụ 1. Tìm hàm phân phối

biến ngẫu nhiên rời rạc x từ Ví dụ 1 § 13.

Sử dụng hàm phân phối, tính toán

xác suất sự kiện: x< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

F (x)

0 x 1 x 2 x 3 x 4 X

Dung dịch. Sử dụng dữ liệu từ bảng,

thu được trong § 13 và công thức (5), chúng ta thu được

Chức năng phân phối:

Theo công thức (1) Р (x< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

p (1 £ x< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 £ x £ 3) = p (1 £ x<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

F (3 + 0) - F (1) = 0,5904 - 0,0016 = 0,5888.

Ví dụ 2. Cho một hàm

Hàm F (x) có phải là hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên nào đó không? Nếu có, hãy tìm . Vẽ đồ thị của hàm F (x).

Dung dịch. Để hàm F (x) xác định trước là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên x nào đó thì cần và đủ các điều kiện sau (tính chất đặc trưng của hàm phân phối):

1. F (x) là hàm không giảm.

3. Với bất kỳ x О R F ( x- 0) = F ( x).

Đối với một hàm F (x) đã cho, việc thực hiện

những điều kiện này là rõ ràng. Có nghĩa,

F (x) là hàm phân phối.

Xác suất tính toán bằng

công thức (2):

Đồ thị của hàm F ( x) được thể hiện trong Hình 13.

Ví dụ 3. Cho F 1 ( x) và F 2 ( x) là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên X 1 và X 2 tương ứng, một 1 và một 2 là các số không âm có tổng là 1.

Chứng minh rằng F ( x) = một 1 F 1 ( x) + một 2 F 2 ( x) là hàm phân phối của một số biến ngẫu nhiên X.

Dung dịch. 1) Vì F 1 ( x) và F 2 ( x) là các hàm không giảm và một 1 ³ 0, một 2 ³ 0, sau đó một 1 F 1 ( x) và một 2 F 2 ( x) không giảm, do đó tổng của chúng F ( x) cũng không giảm.

3) Với bất kỳ x О R F ( x - 0) = một 1 F 1 ( x - 0) + một 2 F 2 ( x - 0)= một 1 F 1 ( x) + một 2 F 2 ( x) = F ( x).

Ví dụ 4. Cho một hàm

F (x) có phải là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên không?

Dung dịch. Dễ thấy rằng F (1) = 0,2> 0,11 = F (1,1). Do đó, F ( x) không phải là không giảm, có nghĩa là nó không phải là một hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên. Lưu ý rằng hai thuộc tính khác hợp lệ cho chức năng này.

Nhiệm vụ kiểm soát số 11

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc X

x) và sử dụng nó, tìm xác suất của các sự kiện: a) –2 £ X < 1; б) ½X£ ½ 2. Vẽ đồ thị của hàm phân phối.

3. Biến ngẫu nhiên rời rạc Xđược đưa ra bởi bảng phân phối:

x tôi
số Pi	0,05	0,2	0,3	0,35	0,1

Tìm hàm phân phối F ( x) và tìm xác suất của các sự kiện sau: a) x < 2; б) 1 £ X < 4; в) 1 £ X£ 4; d) 1< x£ 4; e) X = 2,5.

4. Tìm hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, bằng số điểm rơi ra trong một lần ném xúc xắc. Tìm xác suất để lăn ít nhất 5 bằng cách sử dụng hàm phân phối.

5. Thực hiện các thử nghiệm tuần tự của 5 thiết bị về độ tin cậy. Mỗi thiết bị tiếp theo chỉ được thử nghiệm nếu thiết bị trước đó trở nên đáng tin cậy. Lập bảng phân phối và tìm hàm phân phối của một số thử nghiệm thiết bị ngẫu nhiên nếu xác suất đạt thử nghiệm của mỗi thiết bị là 0,9.

6. Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc được cho X:

a) Tìm xác suất của biến cố £ 1 X£ 3.

b) Tìm bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X.

7. Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc được cho X:

Lập bảng phân phối cho biến ngẫu nhiên này.

8. Một đồng xu được tung N Một lần. Lập bảng phân phối và tìm hàm phân phối cho số lần xuất hiện quốc huy. Vẽ đồ thị hàm phân phối cho N = 5.

9. Một đồng xu được tung cho đến khi quốc huy rơi ra. Lập bảng phân phối và tìm hàm phân phối cho số lần xuất hiện của một chữ số.

10. Người bắn tỉa bắn vào mục tiêu cho đến khi phát bắn trúng đầu tiên. Xác suất bắn trượt của một cú đánh duy nhất bằng R. Tìm hàm phân phối cho số lần bỏ lỡ.