Thuật ngữ này có những nghĩa khác, hãy xem nghĩa trung bình.

Trung bình(trong toán học và thống kê) bộ số - tổng của tất cả các số chia cho số của chúng. Đó là một trong những biện pháp phổ biến nhất của khuynh hướng trung tâm.

Nó được đề xuất (cùng với trung bình hình học và trung bình điều hòa) bởi Pythagore.

Các trường hợp đặc biệt của giá trị trung bình số học là giá trị trung bình (của tổng thể chung) và giá trị trung bình mẫu (của các mẫu).

Giới thiệu

Biểu thị tập dữ liệu X = (x 1 , x 2 , …, x N), thì giá trị trung bình của mẫu thường được biểu thị bằng một thanh ngang trên biến (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))), phát âm là " x bằng dấu gạch ngang ").

Chữ cái μ trong tiếng Hy Lạp được sử dụng để biểu thị trung bình cộng của toàn bộ dân số. Đối với một biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình được xác định, μ là xác suất nghĩa là hoặc kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên. Nếu bộ X là tập hợp các số ngẫu nhiên với giá trị trung bình xác suất μ, sau đó đối với bất kỳ mẫu nào x tôi từ tập hợp này μ = E ( x tôi) là kỳ vọng của mẫu này.

Trên thực tế, sự khác biệt giữa μ và x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) là μ là một biến điển hình vì bạn có thể thấy mẫu chứ không phải toàn bộ. Do đó, nếu mẫu được biểu diễn ngẫu nhiên (theo lý thuyết xác suất), thì x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (nhưng không phải μ) có thể được coi là một biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất trên mẫu ( phân phối xác suất của giá trị trung bình).

Cả hai đại lượng này được tính theo cùng một cách:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)

Nếu một X là một biến ngẫu nhiên, sau đó là kỳ vọng toán học X có thể được coi là trung bình cộng của các giá trị trong các phép đo lặp lại của đại lượng X. Đây là biểu hiện của quy luật số đông. Do đó, giá trị trung bình mẫu được sử dụng để ước tính kỳ vọng toán học chưa biết.

Trong đại số sơ cấp, người ta chứng minh rằng giá trị trung bình N+ 1 số trên mức trung bình N số nếu và chỉ khi số mới lớn hơn số trung bình cũ, nhỏ hơn nếu và chỉ nếu số mới nhỏ hơn số trung bình, và không thay đổi nếu và chỉ khi số mới bằng số trung bình. Nhiều hơn N, chênh lệch giữa giá trị trung bình mới và cũ càng nhỏ.

Lưu ý rằng có một số "phương tiện" khác có sẵn, bao gồm trung bình luật lũy thừa, trung bình Kolmogorov, trung bình hài, trung bình số học-hình học và các phương tiện có trọng số khác nhau (ví dụ: trung bình có trọng số, trung bình có trọng số hình học, trung bình có trọng số hài) .

Các ví dụ

• Đối với ba số, bạn cần phải cộng chúng và chia cho 3:

x 1 + x 2 + x 3 3. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)

• Đối với bốn số, bạn cần phải cộng chúng và chia cho 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\ displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)

Hoặc dễ dàng hơn 5 + 5 = 10, 10: 2. Vì chúng ta đã cộng 2 số, nghĩa là thêm vào bao nhiêu số thì chúng ta chia bấy nhiêu.

Biến ngẫu nhiên liên tục

Đối với một giá trị phân phối liên tục f (x) (\ displaystyle f (x)) thì trung bình cộng trên khoảng [a; b] (\ displaystyle) được xác định thông qua một tích phân xác định:

F (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (b-a)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)

Một số vấn đề khi sử dụng giá trị trung bình

Thiếu mạnh mẽ

Bài chi tiết: Tính chắc chắn trong thống kê

Mặc dù giá trị trung bình số học thường được sử dụng làm phương tiện hoặc xu hướng trung tâm, nhưng khái niệm này không áp dụng cho các thống kê mạnh mẽ, có nghĩa là giá trị trung bình số học bị ảnh hưởng nhiều bởi "độ lệch lớn". Đáng chú ý là đối với các phân phối có độ lệch lớn, giá trị trung bình số học có thể không tương ứng với khái niệm “trung bình” và các giá trị của giá trị trung bình từ thống kê mạnh mẽ (ví dụ: giá trị trung bình) có thể mô tả tốt hơn xu hướng trung tâm.

Ví dụ cổ điển là tính toán thu nhập trung bình. Giá trị trung bình số học có thể bị hiểu sai thành giá trị trung bình, điều này có thể dẫn đến kết luận rằng có nhiều người có thu nhập hơn thực tế. Thu nhập "trung bình" được hiểu theo cách mà hầu hết thu nhập của mọi người đều gần với con số này. Thu nhập "trung bình" (theo nghĩa số học) này cao hơn thu nhập của hầu hết mọi người, vì thu nhập cao với độ lệch lớn so với mức trung bình làm cho giá trị trung bình bị lệch mạnh (ngược lại, thu nhập trung bình "chống lại" như một xiên). Tuy nhiên, thu nhập "trung bình" này không nói gì về số người ở gần thu nhập trung bình (và không nói gì về số người ở gần thu nhập phương thức). Tuy nhiên, nếu xem nhẹ khái niệm "trung bình" và "đa số", thì người ta có thể kết luận không chính xác rằng hầu hết mọi người đều có thu nhập cao hơn thực tế. Ví dụ, một báo cáo về thu nhập ròng "trung bình" ở Medina, Washington, được tính bằng trung bình cộng của tất cả thu nhập ròng hàng năm của cư dân, sẽ đưa ra một con số cao đáng ngạc nhiên do Bill Gates. Xét mẫu (1, 2, 2, 2, 3, 9). Trung bình cộng là 3,17, nhưng năm trong sáu giá trị thấp hơn giá trị này.

Lãi kép

Bài chi tiết: ROI

Nếu số nhân, nhưng không nếp gấp, bạn cần sử dụng trung bình hình học, không phải trung bình cộng. Thông thường, sự cố này xảy ra khi tính toán lợi tức đầu tư vào tài chính.

Ví dụ: nếu cổ phiếu giảm 10% trong năm đầu tiên và tăng 30% trong năm thứ hai, thì việc tính mức tăng "trung bình" trong hai năm này là trung bình cộng (−10% + 30%) / 2 là không chính xác. = 10%; mức trung bình đúng trong trường hợp này được đưa ra bởi tỷ lệ tăng trưởng kép hàng năm, từ đó tăng trưởng hàng năm chỉ vào khoảng 8.16653826392% ≈ 8.2%.

Lý do cho điều này là tỷ lệ phần trăm có một điểm bắt đầu mới mỗi lần: 30% là 30% từ một số nhỏ hơn giá vào đầu năm đầu tiên: nếu cổ phiếu bắt đầu ở mức 30 đô la và giảm 10%, thì nó có giá trị 27 đô la vào đầu năm thứ hai. Nếu cổ phiếu tăng 30%, nó có giá trị 35,1 đô la vào cuối năm thứ hai. Mức trung bình số học của mức tăng trưởng này là 10%, nhưng vì cổ phiếu chỉ tăng 5,1 đô la trong 2 năm, mức tăng trung bình 8,2% cho kết quả cuối cùng là 35,1 đô la:

[30 đô la (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 đô la (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 đô la]. Nếu chúng ta sử dụng trung bình cộng 10% theo cách tương tự, chúng ta sẽ không nhận được giá trị thực: [$ 30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $ 36,3].

Lãi gộp vào cuối năm 2: 90% * 130% = 117%, tức là tổng tăng 17% và lãi kép trung bình hàng năm là 117% ≈ 108,2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ khoảng 108,2 \%), tức là mức tăng trung bình hàng năm là 8,2%.

Hướng

Bài chi tiết: Thống kê điểm đến

Khi tính giá trị trung bình cộng của một số biến thay đổi theo chu kỳ (ví dụ, pha hoặc góc), cần đặc biệt lưu ý. Ví dụ: giá trị trung bình của 1 ° và 359 ° sẽ là 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circle) +359 ^ (\ circle)) (2)) =) 180 °. Con số này không chính xác vì hai lý do.

• Đầu tiên, các số đo góc chỉ được xác định cho phạm vi từ 0 ° đến 360 ° (hoặc từ 0 đến 2π khi đo bằng radian). Do đó, cùng một cặp số có thể được viết là (1 ° và −1 °) hoặc là (1 ° và 719 °). Giá trị trung bình của mỗi cặp sẽ khác nhau: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circle) + (- 1 ^ (\ circle))) (2)) = 0 ^ (\ circle)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circle) +719 ^ (\ circle)) (2)) = 360 ^ (\ circle)) .
• Thứ hai, trong trường hợp này, giá trị 0 ° (tương đương 360 °) sẽ là giá trị trung bình tốt nhất về mặt hình học, vì các số lệch 0 ° ít hơn so với bất kỳ giá trị nào khác (giá trị 0 ° có phương sai nhỏ nhất). So sánh:
  • số 1 ​​° lệch khỏi 0 ° chỉ 1 °;
  • con số 1 ° lệch khỏi mức trung bình được tính toán là 180 ° x 179 °.

Giá trị trung bình của một biến theo chu kỳ, được tính theo công thức trên, sẽ được dịch chuyển giả tạo so với giá trị trung bình thực đến giữa phạm vi số. Do đó, giá trị trung bình được tính theo một cách khác, cụ thể là số có phương sai nhỏ nhất (điểm trung tâm) được chọn làm giá trị trung bình. Ngoài ra, thay vì trừ đi, khoảng cách mô đun (tức là khoảng cách theo chu vi) được sử dụng. Ví dụ: khoảng cách mô-đun giữa 1 ° và 359 ° là 2 °, không phải 358 ° (trên một vòng tròn từ 359 ° đến 360 ° == 0 ° - một độ, giữa 0 ° và 1 ° - cũng là 1 °, tổng cộng - 2 °).

4.3. Giá trị trung bình. Bản chất và ý nghĩa của số trung bình

Giá trị trung bình trong thống kê, một chỉ tiêu tổng quát được gọi là chỉ tiêu đặc trưng cho mức độ điển hình của một hiện tượng trong điều kiện địa điểm và thời gian cụ thể, phản ánh mức độ của một thuộc tính thay đổi trên một đơn vị của tổng thể đồng nhất về chất. Trong thực tế kinh tế, một loạt các chỉ số được sử dụng, được tính như là giá trị trung bình.

Ví dụ, một chỉ tiêu tổng hợp về thu nhập của người lao động trong công ty cổ phần (CTCP) là thu nhập bình quân của một người lao động, được xác định bằng tỷ lệ giữa quỹ tiền lương và các khoản phải trả xã hội cho kỳ được xem xét (năm, quý, tháng. ) đến số lượng công nhân trong Công ty cổ phần.

Tính giá trị trung bình là một trong những kỹ thuật tổng quát hóa phổ biến; chỉ tiêu bình quân phản ánh cái chung mang tính tiêu biểu (điển hình) cho tất cả các đơn vị của dân số nghiên cứu, đồng thời bỏ qua sự khác biệt giữa các đơn vị riêng lẻ. Trong mọi hiện tượng và sự phát triển của nó đều có sự kết hợp cơ hội và cần. Khi tính số trung bình, do vận hành theo quy luật số lớn, ngẫu nhiên triệt tiêu nhau, lấy cân đối, do đó có thể trừu tượng hóa những nét không đáng kể của hiện tượng, từ những giá trị định lượng của thuộc tính trong từng hiện tượng cụ thể. trường hợp. Trong khả năng trừu tượng hóa khỏi tính ngẫu nhiên của các giá trị riêng lẻ, các biến động nằm ở giá trị khoa học của các giá trị trung bình như tóm tắtđặc điểm tổng hợp.

Trường hợp cần tổng quát hóa, việc tính toán các đặc trưng đó dẫn đến việc thay thế nhiều giá trị riêng lẻ khác nhau của thuộc tính vừa phải một chỉ số đặc trưng cho tính tổng thể của các hiện tượng, giúp xác định các hình thái vốn có trong các hiện tượng xã hội đại chúng, không thể nhận thấy được trong các hiện tượng đơn lẻ.

Giá trị trung bình phản ánh mức độ đặc trưng, ​​điển hình, hiện thực của sự vật hiện tượng được nghiên cứu, đặc trưng cho các mức độ này và sự biến đổi của chúng theo thời gian và không gian.

Giá trị trung bình là một đặc điểm tóm tắt về tính thường xuyên của quá trình trong các điều kiện mà nó tiến hành.

4.4. Các loại giá trị trung bình và phương pháp tính toán chúng

Việc lựa chọn loại số bình quân được xác định bởi nội dung kinh tế của một chỉ tiêu nhất định và số liệu ban đầu. Trong mỗi trường hợp, một trong các giá trị trung bình được áp dụng: số học, garmonic, hình học, bậc hai, khối vân vân. Các mức trung bình được liệt kê thuộc về lớp sức mạnh vừa phải.

Ngoài trung bình theo luật quyền lực, trong thực hành thống kê, trung bình cơ cấu được sử dụng, được coi là phương thức và trung vị.

Hãy để chúng tôi đi sâu vào chi tiết hơn về các phương tiện quyền lực.

Trung bình số học

Loại trung bình phổ biến nhất là trung bình Môn số học. Nó được sử dụng trong trường hợp khối lượng của một thuộc tính biến cho toàn bộ tập hợp là tổng các giá trị của các thuộc tính của các đơn vị riêng lẻ của nó. Các hiện tượng xã hội được đặc trưng bởi tính cộng (tổng hợp) các khối lượng của một thuộc tính khác nhau, điều này xác định phạm vi của giá trị trung bình số học và giải thích mức độ phổ biến của nó như một chỉ tiêu tổng quát, ví dụ: tổng quỹ lương là tổng tiền lương của tất cả người lao động , tổng thu hoạch là tổng sản lượng từ toàn bộ diện tích gieo hạt.

Để tính giá trị trung bình số học, bạn cần chia tổng của tất cả các giá trị của đối tượng cho số của chúng.

Giá trị trung bình cộng được áp dụng ở dạng bình quân đơn giản và bình quân gia quyền. Giá trị trung bình đơn giản đóng vai trò là dạng ban đầu, xác định.

trung bình cộng đơn giản bằng tổng đơn giản của các giá trị riêng lẻ của đối tượng địa lý được tính trung bình, chia cho tổng số các giá trị này (nó được sử dụng trong trường hợp có các giá trị riêng lẻ chưa được nhóm của đối tượng địa lý):

ở đâu
- các giá trị riêng của biến (tùy chọn); m - số đơn vị dân số.

Các giới hạn tổng kết khác trong công thức sẽ không được chỉ ra. Ví dụ, cần phải tìm sản lượng trung bình của một công nhân (thợ khóa), nếu biết mỗi bộ phận trong số 15 công nhân được sản xuất, tức là đã cho một số giá trị riêng của đặc điểm, chiếc:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Giá trị trung bình cộng đơn giản được tính theo công thức (4.1), 1 pc:

Giá trị trung bình của các tùy chọn được lặp lại một số lần khác nhau hoặc được cho là có trọng số khác nhau, được gọi là có trọng lượng. Quyền số là số lượng đơn vị ở các nhóm dân cư khác nhau (nhóm kết hợp các phương án giống nhau).

Bình quân gia quyền số học- giá trị trung bình được nhóm lại, - được tính theo công thức:

, (4.2)

ở đâu
- trọng số (tần suất lặp lại các tính năng giống nhau);

- tổng các tích về độ lớn của các đối tượng theo tần số của chúng;

- tổng số đơn vị dân số.

Chúng tôi sẽ minh họa kỹ thuật tính giá trị trung bình số học bằng cách sử dụng ví dụ được thảo luận ở trên. Để làm điều này, chúng tôi nhóm dữ liệu ban đầu và đặt chúng vào bảng. 4.1.

Bảng 4.1

Sự phân bố công nhân để phát triển các bộ phận

Theo công thức (4.2), bình quân gia quyền số học bằng nhau, các mẩu:

Trong một số trường hợp, trọng số có thể được biểu thị không phải bằng các giá trị tuyệt đối mà bằng các giá trị tương đối (tính bằng phần trăm hoặc phần nhỏ của một đơn vị). Sau đó, công thức cho trung bình cộng gia quyền sẽ giống như sau:

ở đâu
- cụ thể là chia sẻ của mỗi tần suất trong tổng số của tất cả

Nếu tần số được đếm dưới dạng phân số (hệ số), thì
= 1, và công thức cho giá trị trung bình cộng là:

Tính giá trị trung bình số học có trọng số từ các giá trị trung bình của nhóm được thực hiện theo công thức:

,

ở đâu f-số đơn vị trong mỗi nhóm.

Kết quả tính giá trị trung bình cộng của các phương tiện nhóm được trình bày trong Bảng. 4.2.

Bảng 4.2

Phân bổ công nhân theo thời gian làm việc trung bình

Trong ví dụ này, các tùy chọn không phải là dữ liệu riêng lẻ về thời gian phục vụ của từng công nhân, mà là dữ liệu trung bình cho từng phân xưởng. quy mô f là số lượng công nhân trong các cửa hàng. Do đó, kinh nghiệm làm việc trung bình của công nhân trong toàn doanh nghiệp sẽ là, năm:

.

Tính giá trị trung bình cộng trong chuỗi phân phối

Nếu các giá trị của thuộc tính trung bình được cung cấp dưới dạng khoảng (“từ - đến”), tức là chuỗi phân phối khoảng, sau đó khi tính giá trị trung bình số học, điểm giữa của các khoảng này được coi là giá trị của các đối tượng trong nhóm, do đó một chuỗi rời rạc được hình thành. Hãy xem xét ví dụ sau (Bảng 4.3).

Hãy chuyển từ một chuỗi khoảng thời gian sang một chuỗi rời rạc bằng cách thay thế các giá trị khoảng thời gian bằng các giá trị trung bình của chúng / (trung bình đơn giản

Bảng 4.3

Phân bổ công nhân AO theo mức lương hàng tháng

Nhóm công nhân cho	Số lượng công nhân	Giữa khoảng
tiền công, cọ xát.	cá nhân, f	chà xát., X
900 trở lên

giá trị của các khoảng mở (đầu tiên và cuối cùng) có điều kiện tương đương với các khoảng liền kề với chúng (thứ hai và áp chót).

Với cách tính giá trị trung bình như vậy, cho phép có một số điểm không chính xác, vì một giả định được đưa ra về sự phân bố đồng đều các đơn vị của thuộc tính trong nhóm. Tuy nhiên, sai số sẽ càng nhỏ, khoảng càng hẹp và càng nhiều đơn vị trong khoảng.

Sau khi các điểm giữa của các khoảng được tìm thấy, các phép tính được thực hiện theo cách tương tự như trong một chuỗi rời rạc - các tùy chọn được nhân với tần số (trọng số) và tổng của tích được chia cho tổng tần số (trọng số) , nghìn rúp:

.

Vì vậy, mức thù lao trung bình của công nhân trong Công ty cổ phần là 729 rúp. mỗi tháng.

Việc tính toán giá trị trung bình số học thường gắn liền với việc tiêu tốn nhiều thời gian và lao động. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, quy trình tính giá trị trung bình có thể được đơn giản hóa và thuận tiện hơn bằng cách sử dụng các thuộc tính của nó. Hãy trình bày (không cần chứng minh) một số tính chất cơ bản của trung bình cộng.

Thuộc tính 1. Nếu tất cả các giá trị đặc trưng riêng lẻ (tức là tất cả các tùy chọn) giảm hoặc tăng trong tôilần, sau đó là giá trị trung bình của một tính năng mới sẽ giảm hoặc tăng tương ứng trong tôiMột lần.

Tài sản 2. Nếu tất cả các biến thể của tính năng được tính trung bình đều bị giảmmay hoặc tăng số A, thì trung bình cộnggiảm hoặc tăng đáng kể cùng một số A.

Thuộc tính 3. Nếu trọng số của tất cả các tùy chọn được tính trung bình đều giảm hoặc tăng lên đến lần, trung bình cộng sẽ không thay đổi.

Là trọng số trung bình, thay vì các chỉ số tuyệt đối, bạn có thể sử dụng các trọng số cụ thể trong tổng tổng thể (cổ phiếu hoặc tỷ lệ phần trăm). Điều này đơn giản hóa việc tính giá trị trung bình.

Để đơn giản hóa các tính toán của giá trị trung bình, chúng đi theo con đường giảm giá trị của các tùy chọn và tần số. Sự đơn giản hóa lớn nhất đạt được khi NHƯNG giá trị của một trong các tùy chọn trung tâm có tần suất cao nhất được chọn là / - giá trị của khoảng thời gian (đối với các hàng có cùng khoảng thời gian). Giá trị của L được gọi là gốc, vì vậy phương pháp tính giá trị trung bình này được gọi là "phương pháp đếm từ 0 có điều kiện" hoặc "phương pháp của khoảnh khắc".

Giả sử rằng tất cả các tùy chọn Xđầu tiên giảm cùng một số A, và sau đó giảm trong tôi Một lần. Chúng tôi nhận được một loạt phân phối biến thể mới của các biến thể mới .

sau đó những lựa chọn mới sẽ được thể hiện:

,

và trung bình cộng mới của chúng , -thời điểm đặt hàng đầu tiên- công thức:

.

Nó bằng giá trị trung bình của các tùy chọn ban đầu, trước tiên giảm đi NHƯNG, và sau đó trong tôi Một lần.

Để có được mức trung bình thực, bạn cần một chút thời gian của đơn hàng đầu tiên m 1 , nhân với tôi và thêm NHƯNG:

.

Phương pháp tính giá trị trung bình cộng từ một chuỗi biến phân này được gọi là "phương pháp của khoảnh khắc". Phương pháp này được áp dụng theo hàng với khoảng thời gian bằng nhau.

Việc tính giá trị trung bình số học theo phương pháp mô men được minh họa bằng dữ liệu trong Bảng. 4.4.

Bảng 4.4

Phân bố của các doanh nghiệp nhỏ trong khu vực theo giá trị tài sản sản xuất cố định (OPF) năm 2000

Nhóm doanh nghiệp theo chi phí OPF, nghìn rúp	Số lượng doanh nghiệp f	khoảng giữa, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Tìm thời điểm của đơn đặt hàng đầu tiên

.

Sau đó, giả sử A = 19 và biết rằng tôi= 2, tính toán X, nghìn rúp.:

Các loại giá trị trung bình và phương pháp tính toán chúng

Ở giai đoạn xử lý thống kê, nhiều nhiệm vụ nghiên cứu có thể được đặt ra, đối với giải pháp cần chọn giá trị trung bình thích hợp. Trong trường hợp này, cần phải được hướng dẫn bởi quy tắc sau: các giá trị \ u200b \ u200 đại diện cho tử số và mẫu số của số trung bình phải có quan hệ logic với nhau.

• công suất trung bình;
• trung bình cấu trúc.

Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu sau:

Các giá trị mà giá trị trung bình được tính toán;

Trung bình, trong đó dòng ở trên cho biết diễn ra trung bình của các giá trị riêng lẻ;

Tần số (độ lặp lại của các giá trị tính trạng riêng lẻ).

Các phương tiện khác nhau được suy ra từ công thức trung bình công suất chung:

(5.1)

for k = 1 - trung bình cộng; k = -1 - trung bình điều hòa; k = 0 - trung bình hình học; k = -2 - căn bậc hai trung bình.

Giá trị trung bình là đơn giản hoặc có trọng số. trung bình có trọng sốđược gọi là các đại lượng có tính đến một số biến thể của các giá trị thuộc tính có thể có các số khác nhau, và do đó mỗi biến thể phải được nhân với số này. Nói cách khác, "quyền số" là số lượng các đơn vị dân số trong các nhóm khác nhau, tức là mỗi tùy chọn được "tính trọng số" bởi tần suất của nó. Tần số f được gọi là trọng lượng thống kê hoặc cân nặng trung bình.

Trung bình số học- loại phương tiện phổ biến nhất. Nó được sử dụng khi tính toán được thực hiện trên dữ liệu thống kê chưa được phân nhóm, nơi bạn muốn lấy tổng trung bình. Giá trị trung bình số học là một giá trị trung bình của một đối tượng địa lý, khi nhận được tổng khối lượng của đối tượng địa lý trong tổng thể không thay đổi.

Công thức trung bình cộng ( giản dị) có dạng

với n là quy mô dân số.

Ví dụ, tiền lương bình quân của người lao động trong doanh nghiệp được tính bằng bình quân số học:

Các chỉ tiêu xác định ở đây là tiền lương của từng người lao động và số lượng lao động của doanh nghiệp. Khi tính mức trung bình, tổng số tiền lương vẫn giữ nguyên, nhưng được phân bổ như nhau cho tất cả người lao động. Ví dụ, cần tính mức lương trung bình của nhân viên một công ty nhỏ có 8 người làm việc:

Khi tính giá trị trung bình, các giá trị riêng lẻ của thuộc tính được lấy giá trị trung bình có thể được lặp lại, do đó, giá trị trung bình được tính bằng cách sử dụng dữ liệu được nhóm. Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về việc sử dụng trung bình cộng có trọng số, trông giống như

(5.3)

Vì vậy, chúng ta cần tính giá cổ phiếu bình quân của một công ty cổ phần tại sở giao dịch chứng khoán. Được biết, giao dịch được thực hiện trong vòng 5 ngày (5 giao dịch), số lượng cổ phiếu bán ra theo tỷ lệ bán được phân bổ như sau:

1 - 800 ac. - 1010 rúp

2 - 650 ac. - 990 chà.

3 - 700 ak. - 1015 rúp.

4 - 550 ac. - 900 chà.

5 - 850 ak. - 1150 rúp.

Tỷ lệ ban đầu để xác định giá cổ phiếu bình quân là tỷ lệ giữa tổng lượng giao dịch (OSS) với số lượng cổ phiếu bán được (KPA).

Loại trung bình phổ biến nhất là trung bình số học.

trung bình cộng đơn giản

Giá trị trung bình số học đơn giản là thuật ngữ trung bình, trong đó xác định tổng khối lượng của một thuộc tính nhất định trong dữ liệu được phân phối đều cho tất cả các đơn vị được bao gồm trong tập hợp này. Do đó, sản lượng sản xuất bình quân hàng năm trên mỗi công nhân là giá trị của khối lượng sản xuất sẽ rơi vào mỗi người lao động nếu toàn bộ khối lượng sản phẩm được phân phối đều cho tất cả các nhân viên của tổ chức. Giá trị đơn giản trung bình cộng được tính theo công thức:

trung bình cộng đơn giản- Bằng tỷ lệ giữa tổng các giá trị riêng lẻ của một đối tượng địa lý với số đối tượng địa lý trong tổng thể

ví dụ 1 . Một đội gồm 6 công nhân nhận được 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 nghìn rúp mỗi tháng.

Tìm mức lương trung bình
Giải: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3,32 nghìn rúp.

Bình quân gia quyền số học

Nếu khối lượng của tập dữ liệu lớn và đại diện cho một chuỗi phân phối, thì giá trị trung bình số học có trọng số sẽ được tính. Đây là cách xác định giá bình quân gia quyền trên một đơn vị sản xuất: tổng chi phí sản xuất (tổng số lượng sản phẩm của nó và giá một đơn vị sản xuất) được chia cho tổng số lượng sản xuất.

Chúng tôi biểu diễn điều này dưới dạng công thức sau:

Trung bình cộng có trọng số- bằng tỷ lệ (tổng các tích của giá trị thuộc tính với tần suất lặp lại của thuộc tính này) với (tổng các tần số của tất cả các thuộc tính). Nó được sử dụng khi các biến thể của tổng thể được nghiên cứu xảy ra không bằng nhau số lần.

Ví dụ 2 . Tìm mức lương trung bình của công nhân cửa hàng mỗi tháng

Mức lương trung bình có thể được tính bằng cách lấy tổng số tiền lương chia cho tổng số công nhân:

Trả lời: 3,35 nghìn rúp.

Trung bình số học cho một chuỗi khoảng thời gian

Khi tính giá trị trung bình số học cho một chuỗi biến thiên theo khoảng, giá trị trung bình của mỗi khoảng trước tiên được xác định là nửa tổng của giới hạn trên và giới hạn dưới, sau đó là trung bình của toàn bộ chuỗi. Trong trường hợp các khoảng mở, giá trị của khoảng dưới hoặc trên được xác định bằng giá trị của các khoảng liền kề với chúng.

Giá trị trung bình được tính từ chuỗi khoảng thời gian là gần đúng.

Ví dụ 3. Xác định tuổi trung bình của sinh viên khoa buổi tối.

Giá trị trung bình được tính từ chuỗi khoảng thời gian là gần đúng. Mức độ gần đúng của chúng phụ thuộc vào mức độ mà phân bố thực tế của các đơn vị dân số trong khoảng tiếp cận đồng nhất.

Khi tính giá trị trung bình, không chỉ giá trị tuyệt đối mà cả giá trị tương đối (tần suất) có thể được sử dụng làm trọng số:

Trung bình cộng có một số thuộc tính bộc lộ đầy đủ hơn bản chất của nó và đơn giản hóa việc tính toán:

1. Tích của giá trị trung bình và tổng của các tần số luôn bằng tổng của các tích của biến thể và các tần số, tức là

2. Trung bình cộng của tổng các giá trị thay đổi bằng tổng trung bình cộng của các giá trị này:

3. Tổng đại số của độ lệch của các giá trị riêng lẻ của thuộc tính so với giá trị trung bình bằng 0:

4. Tổng bình phương độ lệch của các tùy chọn so với giá trị trung bình nhỏ hơn tổng bình phương độ lệch từ bất kỳ giá trị tùy ý nào khác, tức là

Để tìm giá trị trung bình trong Excel (cho dù đó là giá trị số, văn bản, tỷ lệ phần trăm hoặc giá trị khác), có rất nhiều hàm. Và mỗi loại đều có những đặc điểm và ưu điểm riêng. Rốt cuộc, các điều kiện nhất định có thể được thiết lập trong nhiệm vụ này.

Ví dụ, các giá trị trung bình của một chuỗi số trong Excel được tính bằng các hàm thống kê. Bạn cũng có thể nhập công thức của riêng mình theo cách thủ công. Hãy xem xét các lựa chọn khác nhau.

Làm thế nào để tìm trung bình cộng của các số?

Để tìm trung bình cộng, bạn cộng tất cả các số trong tập hợp và chia tổng cho số đó. Ví dụ: điểm của một học sinh trong môn khoa học máy tính: 3, 4, 3, 5, 5. Kết quả là một phần tư: 4. Chúng tôi đã tìm thấy trung bình cộng bằng cách sử dụng công thức: \ u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Làm thế nào để làm điều đó một cách nhanh chóng bằng cách sử dụng các hàm Excel? Lấy ví dụ một chuỗi các số ngẫu nhiên trong một chuỗi:

Hoặc: làm cho ô hoạt động và chỉ cần nhập thủ công công thức: = AVERAGE (A1: A8).

Bây giờ chúng ta hãy xem những gì khác chức năng AVERAGE có thể làm.

Tìm trung bình cộng của hai số đầu và ba số cuối. Công thức: = AVERAGE (A1: B1; F1: H1). Kết quả:



Trung bình theo điều kiện

Điều kiện để tìm giá trị trung bình số học có thể là một tiêu chí số hoặc một tiêu chí văn bản. Chúng ta sẽ sử dụng hàm: = AVERAGEIF ().

Tìm trung bình cộng của các số lớn hơn hoặc bằng 10.

Hàm: = AVERAGEIF (A1: A8, "> = 10")

Kết quả của việc sử dụng hàm AVERAGEIF với điều kiện "> = 10":

Đối số thứ ba - "Phạm vi trung bình" - bị bỏ qua. Đầu tiên, nó không bắt buộc. Thứ hai, phạm vi được chương trình phân tích cú pháp CHỈ chứa các giá trị số. Trong các ô được chỉ định trong đối số đầu tiên, tìm kiếm sẽ được thực hiện theo điều kiện được chỉ định trong đối số thứ hai.

Chú ý! Tiêu chí tìm kiếm có thể được chỉ định trong một ô. Và trong công thức để thực hiện một tham chiếu đến nó.

Hãy tìm giá trị trung bình của các số theo tiêu chí văn bản. Ví dụ: doanh số bán hàng trung bình của các "bảng" sản phẩm.

Hàm sẽ có dạng như sau: = AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12). Phạm vi - một cột có tên sản phẩm. Tiêu chí tìm kiếm là liên kết đến ô có từ "bảng" (bạn có thể chèn từ "bảng" thay vì liên kết A7). Phạm vi trung bình - những ô mà từ đó dữ liệu sẽ được lấy để tính giá trị trung bình.

Kết quả của việc tính toán hàm, chúng tôi nhận được giá trị sau:

Chú ý! Đối với tiêu chí văn bản (điều kiện), phạm vi trung bình phải được chỉ định.

Cách tính giá bình quân gia quyền trong Excel?

Làm cách nào để biết giá bình quân gia quyền?

Công thức: = SUMPRODUCT (C2: C12, B2: B12) / SUM (C2: C12).

Sử dụng công thức SUMPRODUCT, chúng tôi tìm ra tổng doanh thu sau khi bán toàn bộ số lượng hàng hóa. Và hàm SUM - tính tổng số lượng hàng hóa. Bằng cách chia tổng doanh thu từ việc bán hàng hóa cho tổng số đơn vị hàng hóa, chúng tôi nhận thấy giá bình quân gia quyền. Chỉ số này có tính đến "trọng lượng" của từng mức giá. Tỷ trọng của nó trong tổng khối lượng các giá trị.

Độ lệch chuẩn: công thức trong Excel

Phân biệt độ lệch chuẩn đối với dân số chung và đối với mẫu. Trong trường hợp đầu tiên, đây là gốc của phương sai tổng quát. Trong lần thứ hai, từ phương sai mẫu.

Để tính toán chỉ số thống kê này, một công thức phân tán được biên soạn. Gốc được lấy từ nó. Nhưng trong Excel có một chức năng được tạo sẵn để tìm độ lệch chuẩn.

Độ lệch chuẩn được liên kết với quy mô của dữ liệu nguồn. Điều này là không đủ để trình bày một cách hình tượng về sự thay đổi của phạm vi được phân tích. Để có được mức độ phân tán tương đối trong dữ liệu, hệ số biến thiên được tính:

độ lệch chuẩn / trung bình số học

Công thức trong Excel trông giống như sau:

STDEV (phạm vi giá trị) / AVERAGE (phạm vi giá trị).

Hệ số biến thiên được tính theo phần trăm. Do đó, chúng tôi đặt định dạng phần trăm trong ô.

5.1. Khái niệm về trung bình

Giá trị trung bình -đây là chỉ tiêu có tính khái quát đặc trưng cho mức độ điển hình của hiện tượng. Nó thể hiện giá trị của thuộc tính, liên quan đến đơn vị của dân số.

Giá trị trung bình luôn tổng quát sự biến đổi số lượng của tính trạng, tức là trong các giá trị trung bình, sự khác biệt riêng lẻ trong các đơn vị của dân số do các trường hợp ngẫu nhiên bị loại bỏ. Ngược lại với giá trị trung bình, giá trị tuyệt đối đặc trưng cho mức độ của một đối tượng của một đơn vị cá thể của quần thể không cho phép so sánh các giá trị của đối tượng cho các đơn vị thuộc các quần thể khác nhau. Vì vậy, nếu cần so sánh mức thù lao của người lao động tại hai doanh nghiệp thì trên cơ sở này không thể so sánh hai lao động của các doanh nghiệp khác nhau. Mức lương của những công nhân được chọn để so sánh có thể không phải là điển hình cho các doanh nghiệp này. Nếu so sánh quy mô quỹ tiền lương của các doanh nghiệp đang xem xét thì chưa tính đến số lượng lao động và do đó không xác định được đâu là mức tiền lương cao hơn. Cuối cùng, chỉ có thể so sánh mức trung bình, tức là Trung bình một công nhân kiếm được bao nhiêu ở mỗi công ty? Vì vậy, cần phải tính giá trị trung bình như một đặc trưng tổng quát của quần thể.

Tính giá trị trung bình là một trong những kỹ thuật tổng quát hóa phổ biến; chỉ tiêu bình quân phủ nhận cái chung là điển hình (tiêu biểu) cho tất cả các đơn vị của dân số nghiên cứu, đồng thời nó bỏ qua sự khác biệt giữa các đơn vị riêng lẻ. Trong mọi hiện tượng và sự phát triển của nó đều có sự kết hợp giữa may rủi và tất yếu. Khi tính số trung bình, do vận hành theo quy luật số lớn, ngẫu nhiên triệt tiêu nhau, lấy cân đối, do đó có thể trừu tượng hóa những nét không đáng kể của hiện tượng, từ những giá trị định lượng của thuộc tính trong từng hiện tượng cụ thể. trường hợp. Trong khả năng trừu tượng hóa từ tính ngẫu nhiên của các giá trị riêng lẻ, các biến động, giá trị khoa học của các giá trị trung bình nằm ở vị trí khái quát các đặc điểm của tổng thể.

Để giá trị trung bình thực sự chính xác, nó phải được tính toán theo một số nguyên tắc nhất định.

Chúng ta hãy xem xét một số nguyên tắc chung cho việc áp dụng số trung bình.
1. Giá trị trung bình cần được xác định cho các quần thể bao gồm các đơn vị đồng nhất về chất.
2. Giá trị trung bình phải được tính cho một quần thể bao gồm một số lượng đủ lớn các đơn vị.
3. Giá trị trung bình cần được tính cho dân số, các đơn vị của chúng ở trạng thái bình thường, tự nhiên.
4. Giá trị trung bình cần được tính có xét đến nội dung kinh tế của chỉ tiêu đang nghiên cứu.

5.2. Các loại giá trị trung bình và phương pháp tính toán chúng

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các loại giá trị trung bình, các tính năng của chúng và các lĩnh vực ứng dụng. Giá trị trung bình được chia thành hai loại lớn: trung bình công suất, trung bình cấu trúc.

Đến quyền lực nghĩa là bao gồm các loại nổi tiếng nhất và thường được sử dụng như trung bình hình học, trung bình cộng và trung bình bình phương.

Như trung bình cấu trúc chế độ và trung vị được xem xét.

Hãy để chúng tôi xem xét mức trung bình công suất. Mức trung bình công suất, tùy thuộc vào cách trình bày dữ liệu ban đầu, có thể đơn giản và có trọng số. trung bình đơn giảnđược tính toán từ dữ liệu chưa được phân nhóm và có dạng chung sau:

trong đó X i là biến thể (giá trị) của đối tượng địa lý được tính trung bình;

n là số lựa chọn.

Bình quân gia quyềnđược tính toán theo dữ liệu được nhóm lại và có dạng chung

,

trong đó X i là biến thể (giá trị) của đối tượng địa lý được tính trung bình hoặc giá trị giữa của khoảng thời gian mà biến thể được đo lường;
m là số mũ của giá trị trung bình;
f i - tần số hiển thị giá trị i-e của đối tượng trung bình xuất hiện bao nhiêu lần.

Hãy lấy ví dụ về phép tính tuổi trung bình của các sinh viên trong một nhóm 20 người:

Chúng tôi tính tuổi trung bình bằng công thức trung bình đơn giản:

Hãy nhóm dữ liệu nguồn. Chúng tôi nhận được loạt phân phối sau:

Kết quả của việc phân nhóm, chúng tôi nhận được một chỉ số mới - tần suất, cho biết số học sinh trong độ tuổi X năm. Do đó, tuổi trung bình của các học sinh trong nhóm sẽ được tính theo công thức bình quân gia quyền:

Công thức tổng quát để tính trung bình theo cấp số nhân có số mũ (m). Tùy thuộc vào giá trị của nó, các loại công suất trung bình sau được phân biệt:
trung bình điều hòa nếu m = -1;
trung bình hình học nếu m -> 0;
trung bình cộng nếu m = 1;
căn bậc hai trung bình nếu m = 2;
có nghĩa là bậc ba nếu m = 3.

Công thức trung bình công suất được đưa ra trong Bảng. 4.4.

Nếu chúng ta tính toán tất cả các loại giá trị trung bình cho cùng một dữ liệu ban đầu, thì giá trị của chúng sẽ không giống nhau. Ở đây áp dụng quy tắc đa số trung bình: với sự tăng lên của số mũ m, giá trị trung bình tương ứng cũng tăng:

Trong thực tế thống kê, thường xuyên hơn các loại bình quân gia quyền khác, các bình quân gia quyền số học và điều hòa được sử dụng.

Bảng 5.1

Các loại phương tiện điện

Loại quyền lực ở giữa	Mục lục độ (m)	Công thức tính
		Giản dị	có trọng lượng
điều hòa	-1
Hình học	0
Môn số học	1
bậc hai	2
hình khối	3

Trung bình điều hòa có cấu trúc phức tạp hơn trung bình cộng. Giá trị trung bình điều hòa được sử dụng để tính toán khi trọng số không phải là đơn vị của tổng thể - vật mang đặc điểm, mà là tích của những đơn vị này và giá trị của đặc điểm (tức là m = Xf). Thời gian ngừng điều hòa trung bình nên được sử dụng trong các trường hợp xác định, ví dụ, chi phí lao động, thời gian, nguyên vật liệu trung bình trên một đơn vị sản xuất, trên một bộ phận cho hai (ba, bốn, v.v.) doanh nghiệp, công nhân tham gia sản xuất cùng một loại sản phẩm, cùng một bộ phận, sản phẩm.

Yêu cầu chính đối với công thức tính giá trị trung bình là tất cả các giai đoạn của phép tính đều có một sự biện minh có ý nghĩa thực sự; giá trị trung bình kết quả phải thay thế các giá trị riêng lẻ của thuộc tính cho từng đối tượng mà không phá vỡ kết nối giữa các chỉ số riêng lẻ và tóm tắt. Nói cách khác, giá trị trung bình phải được tính theo cách sao cho khi từng giá trị riêng lẻ của chỉ tiêu trung bình được thay thế bằng giá trị trung bình của nó, thì một số chỉ tiêu tóm tắt cuối cùng, được kết nối theo cách này hay cách khác với giá trị trung bình, vẫn không thay đổi. Kết quả này được gọi là xác định vì bản chất của mối quan hệ của nó với các giá trị riêng lẻ sẽ xác định công thức cụ thể để tính giá trị trung bình. Hãy chỉ ra quy tắc này trên ví dụ về giá trị trung bình hình học.

Công thức trung bình hình học

thường được sử dụng nhất khi tính giá trị trung bình của các giá trị tương đối riêng lẻ của động lực học.

Giá trị trung bình hình học được sử dụng nếu một chuỗi các giá trị tương đối của chuỗi của động lực học được đưa ra, ví dụ, cho thấy sự gia tăng sản lượng so với mức của năm trước: i 1, i 2, i 3, ... , Trong . Rõ ràng, khối lượng sản xuất trong năm qua được xác định bởi mức ban đầu (q 0) và sự tăng trưởng tiếp theo trong những năm:

q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n.

Lấy q n làm chỉ số xác định và thay thế các giá trị riêng lẻ của các chỉ số động lực học bằng các giá trị trung bình, chúng ta đi đến mối quan hệ

Từ đây

5.3. Trung bình cấu trúc

Một loại giá trị trung bình đặc biệt - trung bình cấu trúc - được sử dụng để nghiên cứu cấu trúc bên trong của chuỗi phân phối các giá trị thuộc tính, cũng như ước tính giá trị trung bình (loại công suất), nếu, theo dữ liệu thống kê có sẵn, tính toán của nó không thể được thực hiện (ví dụ, nếu không có dữ liệu trong ví dụ được xem xét). về khối lượng sản xuất và số lượng chi phí của các nhóm doanh nghiệp).

Các chỉ số thường được sử dụng làm trung bình cơ cấu. thời trang - giá trị tính năng được lặp lại thường xuyên nhất - và Trung bình - giá trị của một đối tượng địa lý chia dãy các giá trị có thứ tự của nó thành hai phần bằng nhau về số lượng. Kết quả là, trong một nửa số đơn vị dân số, giá trị của thuộc tính không vượt quá mức trung bình và ở nửa còn lại, giá trị của thuộc tính không nhỏ hơn nó.

Nếu đối tượng đang nghiên cứu có các giá trị rời rạc, thì không có khó khăn cụ thể nào trong việc tính toán chế độ và giá trị trung vị. Nếu dữ liệu về các giá trị của thuộc tính X được trình bày dưới dạng các khoảng thay đổi có thứ tự của nó (chuỗi khoảng), thì việc tính toán chế độ và giá trị trung vị trở nên phức tạp hơn một chút. Vì giá trị trung bình chia toàn bộ tổng thể thành hai phần bằng nhau về số lượng, nên nó kết thúc bằng một trong các khoảng của đối tượng X. Sử dụng phép nội suy, giá trị trung bình được tìm thấy trong khoảng trung bình này:

,

trong đó X Me là giới hạn dưới của khoảng trung vị;
h Tôi là giá trị của nó;
(Tổng m) / 2 - một nửa tổng số quan sát hoặc một nửa khối lượng của chỉ tiêu được sử dụng làm trọng số trong các công thức tính giá trị trung bình (theo giá trị tuyệt đối hoặc tương đối);
S Me-1 là tổng số quan sát (hoặc khối lượng của đặc điểm trọng số) được tích lũy trước khi bắt đầu khoảng trung vị;
m Me là số lượng quan sát hoặc khối lượng của đối tượng trọng số trong khoảng trung vị (cũng theo nghĩa tuyệt đối hoặc tương đối).

Trong ví dụ của chúng tôi, thậm chí có thể thu được ba giá trị trung bình \ u200b \ u200b - dựa trên các dấu hiệu về số lượng doanh nghiệp, khối lượng sản xuất và tổng chi phí sản xuất:

Như vậy, đối với một nửa số doanh nghiệp, chi phí cho một đơn vị sản xuất vượt quá 125,19 nghìn rúp, một nửa tổng khối lượng sản xuất được sản xuất với mức chi phí cho mỗi sản phẩm là hơn 124,79 nghìn rúp. và 50% tổng chi phí được hình thành ở mức giá thành của một sản phẩm trên 125,07 nghìn rúp. Chúng tôi cũng lưu ý rằng có một xu hướng tăng nhất định về chi phí, vì Me 2 = 124,79 nghìn rúp và mức trung bình là 123,15 nghìn rúp.

Khi tính toán giá trị phương thức của một đối tượng địa lý theo dữ liệu của chuỗi khoảng thời gian, cần phải chú ý đến thực tế là các khoảng thời gian là như nhau, vì chỉ số tần số của các giá trị đối tượng địa lý X phụ thuộc vào điều này. một chuỗi khoảng thời gian với các khoảng thời gian bằng nhau, giá trị chế độ được xác định là

trong đó X Mo là giá trị thấp hơn của khoảng phương thức;
m Mo là số lần quan sát hoặc khối lượng của đối tượng trọng số trong khoảng phương thức (theo giá trị tuyệt đối hoặc tương đối);
m Mo -1 - tương tự đối với khoảng trước phương thức;
m Mo + 1 - tương tự đối với khoảng theo phương thức;
h là giá trị của khoảng thời gian biến đổi của tính trạng trong các nhóm.

Ví dụ của chúng tôi, ba giá trị phương thức có thể được tính toán dựa trên các dấu hiệu về số lượng doanh nghiệp, khối lượng sản xuất và số lượng chi phí. Trong cả ba trường hợp, khoảng phương thức là như nhau, vì trong cùng một khoảng thời gian, cả số doanh nghiệp, khối lượng sản xuất và tổng chi phí sản xuất đều là lớn nhất:

Do đó, các doanh nghiệp có mức chi phí là 126,75 nghìn rúp là thường gặp nhất, các sản phẩm có mức chi phí là 126,69 nghìn rúp thường được sản xuất và chi phí sản xuất thường được giải thích bằng mức chi phí là 123,73 nghìn rúp.

5.4. Các chỉ số biến đổi

Điều kiện cụ thể của từng đối tượng nghiên cứu cũng như đặc điểm phát triển của đối tượng đó (xã hội, kinh tế, v.v.) được thể hiện bằng các cấp số tương ứng của các chỉ tiêu thống kê. Bằng cách này, biến thể, những thứ kia. sự khác biệt giữa các mức độ của cùng một chỉ số ở các đối tượng khác nhau là khách quan và giúp hiểu được bản chất của hiện tượng đang nghiên cứu.

Có một số cách để đo lường sự thay đổi trong thống kê.

Đơn giản nhất là tính chỉ số sự biến đổi nhịp H là hiệu số giữa giá trị quan sát được tối đa (X tối đa) và tối thiểu (X tối thiểu) của tính trạng:

H = X cực đại - X cực tiểu.

Tuy nhiên, phạm vi biến đổi chỉ hiển thị các giá trị cực đoan của tính trạng. Ở đây không tính đến độ lặp lại của các giá trị trung gian.

Đặc điểm nghiêm ngặt hơn là các chỉ báo về sự biến động so với mức trung bình của thuộc tính. Chỉ báo đơn giản nhất của loại này là có nghĩa là độ lệch tuyến tính L là trung bình cộng của độ lệch tuyệt đối của một tính trạng so với mức trung bình của nó:

Với sự lặp lại của các giá trị riêng lẻ của X, công thức trung bình số học có trọng số được sử dụng:

(Nhớ lại rằng tổng đại số của độ lệch so với mức trung bình bằng không.)

Chỉ báo về độ lệch tuyến tính trung bình đã được ứng dụng rộng rãi trong thực tế. Với sự trợ giúp của nó, ví dụ, thành phần công nhân, nhịp điệu sản xuất, tính đồng nhất của nguồn cung cấp nguyên vật liệu được phân tích và hệ thống khuyến khích vật chất được phát triển. Nhưng, thật không may, chỉ số này làm phức tạp các phép tính thuộc loại xác suất, gây khó khăn cho việc áp dụng các phương pháp thống kê toán học. Vì vậy, trong nghiên cứu khoa học thống kê, chỉ tiêu thường được sử dụng để đo lường sự biến động. sự phân tán.

Phương sai đối tượng (s 2) được xác định dựa trên trung bình lũy thừa bậc hai:

.

Số mũ s bằng được gọi là độ lệch chuẩn.

Trong lý thuyết tổng quát về thống kê, chỉ báo phân tán là một ước lượng của chỉ báo lý thuyết xác suất cùng tên và (dưới dạng tổng các độ lệch bình phương) một ước lượng về sự phân tán trong thống kê toán học, cho phép sử dụng các quy định của các ngành lý thuyết này để phân tích các quá trình kinh tế xã hội.

Nếu sự thay đổi được ước tính từ một số lượng nhỏ các quan sát được lấy từ một tổng thể chung không giới hạn, thì giá trị trung bình của đối tượng địa lý được xác định với một số sai số. Giá trị tính toán của độ phân tán dường như bị dịch chuyển xuống dưới. Để có được ước tính không chệch, phương sai mẫu thu được từ các công thức trên phải được nhân với n / (n - 1). Kết quả là, với một số lượng nhỏ các quan sát (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Thường đã ở mức n> (15 ÷ 20), sự khác biệt giữa các ước tính chệch và không chệch trở nên không đáng kể. Vì lý do tương tự, độ chệch thường không được tính đến trong công thức thêm phương sai.

Nếu một số mẫu được lấy từ tổng thể chung và mỗi khi giá trị trung bình của thuộc tính được xác định, thì vấn đề ước tính độ biến thiên của các giá trị trung bình sẽ nảy sinh. Ước tính phương sai giá trị trung bình cũng có thể chỉ dựa trên một lần quan sát mẫu theo công thức

,

với n là cỡ mẫu; s 2 là phương sai của đối tượng được tính từ dữ liệu mẫu.

Giá trị được gọi là nghĩa là lỗi lấy mẫu và là một đặc trưng của độ lệch của giá trị trung bình mẫu của đối tượng X so với giá trị trung bình thực của nó. Chỉ báo sai số trung bình được sử dụng để đánh giá độ tin cậy của kết quả quan sát mẫu.

Các chỉ số phân tán tương đối.Để đặc trưng cho việc đo lường sự biến động của đặc điểm đang nghiên cứu, các chỉ số biến động được tính toán ở dạng tương đối. Chúng cho phép bạn so sánh bản chất của sự phân tán trong các phân phối khác nhau (các đơn vị quan sát khác nhau của cùng một đặc điểm trong hai tập hợp, với các giá trị khác nhau của phương tiện, khi so sánh các tập hợp khác nhau). Việc tính toán các chỉ số đo độ phân tán tương đối được thực hiện bằng tỷ số giữa chỉ số phân tán tuyệt đối với giá trị trung bình cộng, nhân với 100%.

1. Hệ số dao động phản ánh sự dao động tương đối của các giá trị cực đoan của đặc điểm xung quanh giá trị trung bình

.

2. Sự tắt tuyến tính tương đối đặc trưng cho phần giá trị trung bình của dấu hiệu của độ lệch tuyệt đối so với giá trị trung bình

.

3. Hệ số biến thiên:

là thước đo phương sai phổ biến nhất được sử dụng để đánh giá tính điển hình của các giá trị trung bình.

Trong thống kê, các quần thể có hệ số biến động lớn hơn 30–35% được coi là không đồng nhất.

Phương pháp ước tính độ biến thiên này cũng có một nhược điểm đáng kể. Thật vậy, chẳng hạn, dân số lao động ban đầu có thời gian phục vụ trung bình là 15 năm, với độ lệch chuẩn s = 10 năm, "già đi" thêm 15 năm nữa. Hiện tại = 30 năm và độ lệch chuẩn vẫn là 10. Dân số không đồng nhất trước đây (10/15 × 100 = 66,7%), do đó khá đồng nhất theo thời gian (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Nghiên cứu lý thuyết về thống kê: Sat. Thuộc về khoa học Tuyển tập - M .: Thống kê, 1974. trang 19–57.

Trước

Để phân tích và đưa ra kết luận thống kê về kết quả của việc tổng hợp và phân nhóm, các chỉ tiêu tổng hợp được tính toán - giá trị trung bình và giá trị tương đối.

Vấn đề của số trung bình - để đặc trưng cho tất cả các đơn vị của tổng thể thống kê với một giá trị của thuộc tính.

Giá trị trung bình đặc trưng cho các chỉ tiêu định tính của hoạt động kinh doanh: chi phí phân phối, lợi nhuận, khả năng sinh lời, v.v.

giá trị trung bình- Đây là đặc điểm tổng quát của các đơn vị của quần thể theo một số thuộc tính khác nhau.

Giá trị trung bình giúp có thể so sánh các mức độ của cùng một tính trạng trong các quần thể khác nhau và tìm ra lý do cho những khác biệt này.

Trong phân tích các hiện tượng đang nghiên cứu, vai trò của giá trị trung bình là rất lớn. Nhà kinh tế học người Anh W. Petty (1623-1687) đã sử dụng rộng rãi các số liệu trung bình. V. Petty muốn sử dụng các giá trị trung bình làm thước đo chi phí chi tiêu cho sinh hoạt bình quân hàng ngày của một công nhân. Tính ổn định của giá trị trung bình là sự phản ánh mô hình của các quá trình đang nghiên cứu. Ông tin rằng thông tin có thể được chuyển đổi ngay cả khi không có đủ dữ liệu ban đầu.

Nhà khoa học người Anh G. King (1648-1712) đã sử dụng giá trị trung bình và giá trị tương đối khi phân tích dữ liệu về dân số nước Anh.

Những phát triển lý thuyết của nhà thống kê người Bỉ A. Quetelet (1796-1874) dựa trên sự mâu thuẫn về bản chất của các hiện tượng xã hội - có tính ổn định cao về khối lượng, nhưng hoàn toàn mang tính cá thể.

Theo A. Quetelet, các nguyên nhân vĩnh viễn tác động giống nhau lên từng hiện tượng được nghiên cứu và làm cho những hiện tượng này giống nhau, tạo ra những khuôn mẫu chung cho tất cả chúng.

Hệ quả của những lời dạy của A. Quetelet là việc phân bổ các giá trị trung bình làm phương pháp phân tích thống kê chính. Ông cho rằng trung bình thống kê không phải là một phạm trù của thực tế khách quan.

A. Quetelet bày tỏ quan điểm của mình về mức trung bình trong lý thuyết của mình về người trung bình. Người trung bình là người có tất cả các phẩm chất ở kích thước trung bình (tỷ lệ tử vong hoặc tỷ lệ sinh trung bình, chiều cao và cân nặng trung bình, tốc độ chạy trung bình, xu hướng kết hôn và tự tử trung bình, hành động tốt, v.v.). Đối với A. Quetelet, con người bình thường là lý tưởng của một con người. Sự mâu thuẫn trong lý thuyết của A. Quetelet về người đàn ông trung bình đã được chứng minh trong các tài liệu thống kê của Nga vào cuối thế kỷ 19-20.

Nhà thống kê nổi tiếng người Nga Yu E. Yanson (1835-1893) đã viết rằng A. Quetelet giả định sự tồn tại trong bản chất của loại người bình thường như một cái gì đó cho sẵn, từ đó cuộc sống đã loại bỏ những người trung bình của một xã hội nhất định và một thời điểm nhất định, và điều này dẫn anh ta đến một cái nhìn hoàn toàn máy móc về các quy luật vận động của đời sống xã hội: vận động là sự tăng dần các thuộc tính trung bình của con người, sự phục hồi dần dần của một loại hình; do đó, sự san bằng như vậy đối với tất cả các biểu hiện của đời sống cơ thể xã hội, vượt quá mọi chuyển động về phía trước đều chấm dứt.

Bản chất của lý thuyết này đã được phát triển thêm trong các công trình của một số nhà lý thuyết thống kê với tư cách là lý thuyết về các giá trị đích thực. A. Quetelet có những người đi theo - nhà kinh tế học và thống kê người Đức W. Lexis (1837-1914), người đã chuyển giao lý thuyết giá trị đích thực cho các hiện tượng kinh tế của đời sống xã hội. Lý thuyết của ông được gọi là lý thuyết ổn định. Một phiên bản khác của lý thuyết duy tâm về số trung bình dựa trên triết lý

Người sáng lập nó là nhà thống kê người Anh A. Bowley (1869–1957), một trong những nhà lý thuyết nổi bật nhất thời hiện đại trong lĩnh vực lý thuyết về số trung bình. Khái niệm về số trung bình của ông được nêu ra trong cuốn sách "Các yếu tố của thống kê".

A. Bowley chỉ xem xét mức trung bình từ khía cạnh định lượng, do đó tách số lượng ra khỏi chất lượng. Xác định ý nghĩa của các giá trị trung bình (hoặc "chức năng của chúng"), A. Bowley đưa ra nguyên tắc tư duy Machist. A. Bowley đã viết rằng hàm số trung bình phải biểu thị một nhóm phức tạp

với một vài số nguyên tố. Dữ liệu thống kê nên được đơn giản hóa, nhóm lại và tính trung bình. Những quan điểm này đã được chia sẻ bởi R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892) và những người khác.

Trong những năm 30. Thế kỷ 20 và những năm tiếp theo, giá trị trung bình được coi là một đặc tính có ý nghĩa xã hội, nội dung thông tin phụ thuộc vào tính đồng nhất của dữ liệu.

Các đại diện tiêu biểu nhất của trường phái Ý là R. Benini (1862-1956) và C. Gini (1884-1965), coi thống kê là một nhánh của lôgic học, đã mở rộng phạm vi quy nạp thống kê, nhưng họ đã gắn liền các nguyên tắc nhận thức của lôgic học. và thống kê với bản chất của các hiện tượng được nghiên cứu, tuân theo các truyền thống của xã hội học về giải thích thống kê.

Trong các tác phẩm của K. Marx và V. I. Lenin, một vai trò đặc biệt được gán cho các giá trị trung bình.

K. Marx lập luận rằng các sai lệch riêng lẻ so với mức chung bị hủy bỏ trong giá trị trung bình và mức trung bình trở thành một đặc tính tổng quát của hiện tượng khối lượng. Giá trị trung bình trở thành một đặc trưng của hiện tượng khối lượng chỉ khi lấy một số lượng đáng kể các đơn vị. và các đơn vị này đồng nhất về chất. Marx viết rằng giá trị trung bình được tìm thấy là giá trị trung bình của "... nhiều giá trị riêng lẻ khác nhau của cùng một loại."

Giá trị bình quân thu được có ý nghĩa đặc biệt trong nền kinh tế thị trường. Nó giúp xác định cái cần thiết và cái chung, xu hướng của các quy luật phát triển kinh tế một cách trực tiếp thông qua cá nhân và ngẫu nhiên.

Giá trị trung bình là các chỉ số tổng quát hóa trong đó biểu hiện hành động của các điều kiện chung, tính thường xuyên của hiện tượng đang nghiên cứu.

Trung bình thống kê được tính toán trên cơ sở dữ liệu khối lượng của một cuộc quan sát hàng loạt được tổ chức chính xác về mặt thống kê. Nếu trung bình thống kê được tính toán từ dữ liệu khối lượng cho một tổng thể đồng nhất về chất (hiện tượng khối lượng), thì nó sẽ là khách quan.

Giá trị trung bình là trừu tượng, vì nó đặc trưng cho giá trị của một đơn vị trừu tượng.

Giá trị trung bình được trừu tượng hóa từ sự đa dạng của đối tượng địa lý trong các đối tượng riêng lẻ. Trừu tượng hóa là một khâu của nghiên cứu khoa học. Sự thống nhất biện chứng giữa cái riêng và cái chung được thực hiện ở giá trị bình quân.

Giá trị trung bình cần được áp dụng trên cơ sở hiểu biết biện chứng về các phạm trù của cái riêng và cái chung, cái riêng và số đông.

Cái ở giữa phản ánh điểm chung được cộng lại trong một đối tượng duy nhất nhất định.

Để xác định các kiểu mẫu trong các quá trình xã hội đại chúng, giá trị trung bình có tầm quan trọng lớn.

Sự lệch lạc của cái riêng so với cái chung là biểu hiện của quá trình phát triển.

Giá trị trung bình phản ánh tính chất đặc trưng, ​​điển hình, mức độ hiện thực của sự vật hiện tượng đang nghiên cứu. Mục đích của giá trị trung bình là đặc trưng cho các mức này và sự thay đổi của chúng theo thời gian và không gian.

Chỉ tiêu bình quân là một giá trị thông thường, vì nó được hình thành trong điều kiện bình thường, tự nhiên, chung cho sự tồn tại của một hiện tượng khối lượng cụ thể, được coi là một tổng thể.

Thuộc tính khách quan của một quá trình hoặc hiện tượng thống kê phản ánh giá trị trung bình.

Các giá trị riêng lẻ của đối tượng thống kê được nghiên cứu là khác nhau đối với từng đơn vị dân số. Giá trị trung bình của các giá trị riêng lẻ của một loại là sản phẩm của tất yếu, là kết quả của hoạt động tích lũy của tất cả các đơn vị của quần thể, biểu hiện thành một loạt các tai nạn lặp lại.

Một số hiện tượng riêng lẻ có các dấu hiệu tồn tại trong tất cả các hiện tượng, nhưng với số lượng khác nhau - đây là chiều cao hoặc tuổi của một người. Các dấu hiệu khác của một hiện tượng cá nhân là khác nhau về chất ở các hiện tượng khác nhau, nghĩa là chúng có ở một số và không được quan sát thấy ở những người khác (một người đàn ông sẽ không trở thành một người phụ nữ). Giá trị trung bình được tính cho các dấu hiệu đồng nhất về mặt chất lượng và chỉ khác nhau về mặt định lượng, những dấu hiệu vốn có trong tất cả các hiện tượng trong một tập hợp nhất định.

Giá trị trung bình là sự phản ánh các giá trị của đặc điểm đang được nghiên cứu và được đo cùng chiều với đặc điểm này.

Học thuyết duy vật biện chứng cho rằng vạn vật trên thế giới đều thay đổi và phát triển. Và các dấu hiệu được đặc trưng bởi các giá trị trung bình cũng thay đổi, và theo đó, chính các giá trị trung bình.

Cuộc sống là một quá trình liên tục tạo ra một cái gì đó mới. Đối tượng mang chất lượng mới là các đối tượng đơn lẻ, sau đó số lượng các đối tượng này tăng lên và cái mới trở thành khối lượng, điển hình.

Giá trị trung bình chỉ đặc trưng cho dân số được nghiên cứu trên một cơ sở. Để trình bày đầy đủ và toàn diện dân số nghiên cứu cho một số đặc điểm cụ thể, cần có một hệ thống các giá trị trung bình có thể mô tả hiện tượng từ các góc độ khác nhau.

2. Các loại trung bình

Trong quá trình xử lý thống kê của tài liệu, các vấn đề khác nhau nảy sinh cần được giải quyết và do đó các giá trị trung bình khác nhau được sử dụng trong thực hành thống kê. Thống kê toán học sử dụng nhiều mức trung bình khác nhau, chẳng hạn như: mức trung bình số học; ý nghĩa hình học; sóng hài trung bình; căn bậc hai có nghĩa là bình phương.

Để áp dụng một trong các dạng trung bình trên, cần phải phân tích dân số đang nghiên cứu, xác định nội dung vật chất của hiện tượng đang nghiên cứu, tất cả những điều này được thực hiện trên cơ sở kết luận thu được từ nguyên tắc ý nghĩa của kết quả. khi cân hoặc tổng hợp.

Trong nghiên cứu về số trung bình, các chỉ số và ký hiệu sau được sử dụng.

Tiêu chí mà giá trị trung bình được tìm thấy được gọi là tính năng trung bình và được ký hiệu là x; giá trị của đối tượng trung bình cho bất kỳ đơn vị nào của tổng thể thống kê được gọi là ý nghĩa riêng của nó hoặc tùy chọn, và được biểu thị là x 1 , X 2 , x 3 ,… X P ; tần số là độ lặp lại của các giá trị riêng lẻ của một đặc điểm, được ký hiệu bằng chữ cái f.

Trung bình số học

Một trong những loại phương tiện phổ biến nhất trung bình cộng, được tính khi khối lượng của thuộc tính trung bình được hình thành dưới dạng tổng các giá trị của nó đối với các đơn vị riêng lẻ của dân số thống kê được nghiên cứu.

Để tính giá trị trung bình số học, tổng của tất cả các cấp đối tượng được chia cho số của chúng.

Nếu một số tùy chọn xảy ra nhiều lần, thì tổng các mức thuộc tính có thể nhận được bằng cách nhân mỗi cấp với số đơn vị dân số tương ứng, sau đó cộng các tích kết quả, giá trị trung bình số học được tính theo cách này được gọi là số học có trọng số bần tiện.

Công thức cho giá trị trung bình số học có trọng số như sau:

trong đó x tôi là các lựa chọn,

f i - tần số hoặc trọng số.

Giá trị trung bình có trọng số nên được sử dụng trong mọi trường hợp khi các biến thể có mức độ phong phú khác nhau.

Giá trị trung bình số học, như vậy, phân phối công bằng giữa các đối tượng riêng lẻ tổng giá trị của thuộc tính, trên thực tế, giá trị này khác nhau đối với từng đối tượng.

Việc tính toán các giá trị trung bình được thực hiện theo dữ liệu được nhóm dưới dạng chuỗi phân bố khoảng, khi các biến thể tính trạng mà từ đó giá trị trung bình được tính được trình bày dưới dạng khoảng (từ - đến).

Các tính chất của trung bình cộng:

1) trung bình cộng của tổng các giá trị thay đổi bằng tổng trung bình cộng: Nếu x i = y i + z i, thì

Thuộc tính này cho biết những trường hợp nào có thể tóm tắt các giá trị trung bình.

2) tổng đại số của độ lệch của các giá trị riêng lẻ của đặc tính biến so với giá trị trung bình bằng 0, vì tổng độ lệch theo một hướng được bù bằng tổng độ lệch theo hướng khác:

Quy tắc này chứng tỏ rằng giá trị trung bình là kết quả.

3) nếu tất cả các biến thể của chuỗi đều tăng hoặc giảm cùng một số ?, thì giá trị trung bình sẽ tăng hay giảm theo cùng một số ?:

4) nếu tất cả các biến thể của chuỗi đều tăng hoặc giảm A lần, thì giá trị trung bình cũng sẽ tăng hoặc giảm A lần:

5) Tính chất thứ năm của giá trị trung bình cho chúng ta thấy rằng nó không phụ thuộc vào kích thước của các trọng số, mà phụ thuộc vào tỷ lệ giữa chúng. Vì trọng số, không chỉ có giá trị tương đối mà còn có thể lấy giá trị tuyệt đối.

Nếu tất cả các tần số của chuỗi được chia hoặc nhân với cùng một số d, thì giá trị trung bình sẽ không thay đổi.

Sóng hài trung bình.Để xác định giá trị trung bình cộng, cần phải có một số tùy chọn và tần số, tức là các giá trị X và f.

Giả sử chúng ta biết các giá trị riêng lẻ của đối tượng địa lý X và hoạt động X /, và tần số f chưa biết, do đó, để tính giá trị trung bình, chúng tôi ký hiệu tích = X /;ở đâu:

Trung bình ở dạng này được gọi là trung bình có trọng số điều hòa và được ký hiệu là x hại. vzvv.

Theo đó, giá trị trung bình điều hòa đồng nhất với giá trị trung bình cộng. Nó được áp dụng khi không xác định được trọng lượng thực tế. f, và sản phẩm được biết đến fx = z

Khi công trình fx bằng hoặc bằng một (m = 1), giá trị trung bình đơn giản của sóng hài được sử dụng, được tính theo công thức:

ở đâu X- các tùy chọn riêng biệt;

N- con số.

Trung bình hình học

Nếu có n hệ số tăng trưởng thì công thức tính hệ số trung bình là:

Đây là công thức trung bình hình học.

Giá trị trung bình hình học bằng với gốc của độ N từ tích các hệ số tăng trưởng đặc trưng cho tỷ lệ giữa giá trị của mỗi kỳ tiếp theo với giá trị của kỳ trước.

Nếu các giá trị được biểu thị dưới dạng hàm bình phương có thể lấy trung bình, thì bình phương trung bình căn được sử dụng. Ví dụ: sử dụng bình phương trung bình gốc, bạn có thể xác định đường kính của đường ống, bánh xe, v.v.

Bình phương đơn giản được xác định bằng cách lấy căn bậc hai của thương chia tổng bình phương của các giá trị đối tượng địa lý riêng lẻ cho số của chúng.

Bình phương trung bình căn bậc hai có trọng số là:

3. Trung bình cơ cấu. Chế độ và trung vị

Để mô tả cấu trúc của dân số thống kê, các chỉ số được sử dụng được gọi là trung bình cơ cấu. Chúng bao gồm chế độ và trung vị.

Thời trang (M Về ) - lựa chọn phổ biến nhất. Thời trang giá trị của đối tượng được gọi, tương ứng với điểm cực đại của đường cong phân phối lý thuyết.

Chế độ này đại diện cho giá trị xuất hiện thường xuyên nhất hoặc giá trị điển hình.

Thời trang được sử dụng trong thực tế thương mại để nghiên cứu nhu cầu của người tiêu dùng và ghi lại giá cả.

Trong một chuỗi rời rạc, chế độ là biến thể có tần số cao nhất. Trong chuỗi biến thiên khoảng, biến thể trung tâm của khoảng, có tần số cao nhất (đặc biệt), được coi là chế độ.

Trong khoảng thời gian, cần phải tìm giá trị của thuộc tính, đó là chế độ.

ở đâu X Về là giới hạn dưới của khoảng phương thức;

h là giá trị của khoảng phương thức;

f m là tần số của khoảng phương thức;

f t-1 - tần số của khoảng trước phương thức;

f m+1 là tần số của khoảng thời gian tuân theo phương thức.

Chế độ phụ thuộc vào quy mô của các nhóm, vào vị trí chính xác của ranh giới của các nhóm.

Thời trang- số thực sự xuất hiện thường xuyên nhất (là một giá trị nhất định), trong thực tế nó có ứng dụng rộng rãi nhất (loại người mua phổ biến nhất).

Trung vị (M e- đây là giá trị chia số chuỗi biến thể có thứ tự thành hai phần bằng nhau: một phần có các giá trị của đối tượng thay đổi nhỏ hơn biến thể trung bình và phần kia lớn.

Trung bình là phần tử lớn hơn hoặc bằng và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng một nửa số phần tử còn lại của chuỗi phân phối.

Tính chất của giá trị trung bình là tổng độ lệch tuyệt đối của các giá trị tính trạng so với giá trị trung bình nhỏ hơn bất kỳ giá trị nào khác.

Sử dụng giá trị trung bình cho phép bạn nhận được kết quả chính xác hơn so với việc sử dụng các hình thức trung bình khác.

Thứ tự tìm giá trị trung vị trong chuỗi biến thiên khoảng như sau: ta sắp xếp các giá trị riêng của thuộc tính theo thứ hạng; xác định tần số tích lũy cho chuỗi được xếp hạng này; theo tần số tích lũy, chúng tôi tìm thấy khoảng thời gian trung vị:

ở đâu x tôi là giới hạn dưới của khoảng trung vị;

tôi Tôi là giá trị của khoảng trung vị;

f / 2 là tổng nửa của các tần số của chuỗi;

S Tôi-1 là tổng các tần số tích lũy trước khoảng trung vị;

f Tôi là tần số của khoảng trung vị.

Số trung vị chia đôi số hàng, do đó, nó là nơi tần suất tích lũy bằng một nửa hoặc hơn một nửa tổng số tần số và tần suất (tích lũy) trước đó nhỏ hơn một nửa dân số.