6. chuyển động cong. Độ dời góc, vận tốc góc và gia tốc của vật. Đường đi và sự dịch chuyển trong chuyển động cong của cơ thể.

Chuyển động cong- đây là chuyển động có quỹ đạo là một đường cong (ví dụ: đường tròn, hình elip, hyperbol, parabol). Ví dụ về chuyển động theo đường cong là chuyển động của các hành tinh, điểm kết thúc của kim đồng hồ trên mặt số, v.v. Nói chung tốc độ cong thay đổi về kích thước và hướng.

Chuyển động cong của một điểm vật liệuđược coi là chuyển động đều nếu mô-đun tốc độ, vận tốc không đổi (ví dụ, chuyển động đều trong một vòng tròn) và được gia tốc đều nếu mô-đun và hướng tốc độ, vận tốc thay đổi (ví dụ, chuyển động của một cơ thể bị ném theo một góc với đường chân trời).

Cơm. 1.19. Quỹ đạo và véc tơ độ dời trong chuyển động cong.

Khi di chuyển dọc theo đường cong vector dịch chuyển hướng theo hợp âm (Hình 1.19), và l- chiều dài quỹ đạo . Tốc độ tức thời của cơ thể (nghĩa là tốc độ của cơ thể tại một điểm nhất định trong quỹ đạo) hướng theo phương tiếp tuyến tại điểm đó trong quỹ đạo mà cơ thể đang chuyển động (Hình 1.20).

Cơm. 1,20. Vận tốc tức thời trong chuyển động cong.

Chuyển động theo đường cong luôn là chuyển động có gia tốc. Đó là gia tốc cong luôn luôn tồn tại, ngay cả khi môđun của tốc độ không thay đổi, nhưng chỉ có hướng của tốc độ thay đổi. Sự thay đổi tốc độ trên một đơn vị thời gian là gia tốc tiếp tuyến :

hoặc

Ở đâu v τ , v 0 là tốc độ tại thời điểm t 0 + Δt và t 0 tương ứng.

Gia tốc tiếp tuyến tại một điểm cho trước của quỹ đạo, phương trùng với phương của vận tốc của vật hoặc ngược chiều với nó.

Tăng tốc bình thường là sự thay đổi tốc độ theo hướng trên một đơn vị thời gian:

Tăng tốc bình thường hướng theo bán kính cong của quỹ đạo (về phía trục quay). Gia tốc pháp tuyến vuông góc với phương của vận tốc.

gia tốc hướng tâm là gia tốc pháp tuyến đối với chuyển động tròn đều.

Tăng tốc hoàn toàn với chuyển động cong đều của cơ thể bằng:

Chuyển động của một vật dọc theo quỹ đạo cong có thể được biểu thị gần đúng như chuyển động dọc theo các cung của một số đường tròn (Hình 1.21).

Cơm. 1,21. Sự chuyển động của cơ thể trong quá trình chuyển động theo đường cong.

Chuyển động cong

Chuyển động đường cong- chuyển động, quỹ đạo không phải là đường thẳng mà là đường cong. Các hành tinh và nước sông chuyển động theo quỹ đạo cong.

Chuyển động theo đường cong luôn là chuyển động có gia tốc, ngay cả khi giá trị tuyệt đối của tốc độ không đổi. Chuyển động theo đường cong với gia tốc không đổi luôn xảy ra trong mặt phẳng có vectơ gia tốc và vận tốc ban đầu của chất điểm. Trong trường hợp chuyển động cong với gia tốc không đổi trong mặt phẳng xOy dự đoán v x và v y tốc độ của nó trên trục Con bò và Oy và tọa độ x và yđiểm bất cứ lúc nào tđược xác định bởi các công thức

Một trường hợp đặc biệt của chuyển động cong là chuyển động tròn đều. Chuyển động tròn đều, chuyển động thẳng đều luôn là chuyển động có gia tốc: môđun vận tốc luôn hướng tiếp tuyến với quỹ đạo, đổi hướng liên tục nên chuyển động tròn đều luôn xảy ra với gia tốc hướng tâm ở đâu. r là bán kính của hình tròn.

Vectơ gia tốc khi chuyển động dọc theo đường tròn hướng vào tâm đường tròn và vuông góc với vectơ vận tốc.

Trong chuyển động cong, gia tốc có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến:

Gia tốc pháp tuyến (hướng tâm) hướng về tâm cong của quỹ đạo và đặc trưng cho sự thay đổi tốc độ theo hướng:

v- tốc độ tức thời, r là bán kính cong của quỹ đạo tại một điểm cho trước.

Gia tốc tiếp tuyến (tiếp tuyến) hướng theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo và đặc trưng cho sự thay đổi của môđun tốc độ.

Tổng gia tốc mà chất điểm chuyển động bằng:

Ngoài gia tốc hướng tâm, các đặc điểm quan trọng nhất của chuyển động đều trong một đường tròn là chu kỳ và tần số của vòng quay.

Thời gian lưu hành là thời gian cần thiết để cơ thể hoàn thành một vòng quay .

Dấu chấm được biểu thị bằng chữ cái T(c) và được xác định theo công thức:

ở đâu t- thời gian quay vòng P- số vòng quay được thực hiện trong thời gian này.

Tần suất lưu hành- đây là một giá trị bằng số bằng số vòng quay được thực hiện trên một đơn vị thời gian.

Tần suất được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp (nu) và được tìm thấy bằng công thức:

Tần số được đo bằng 1 / s.

Chu kỳ và tần số là các đại lượng nghịch đảo lẫn nhau:

Nếu một cơ thể chuyển động trong một vòng tròn với tốc độ v, thực hiện một cuộc cách mạng, thì con đường mà cơ thể này di chuyển có thể được tìm thấy bằng cách nhân tốc độ v cho một lượt:

l = vT. Mặt khác, đường đi này có chu vi bằng 2π r. Đó là lý do tại sao

vT = 2π r,

ở đâu w(từ 1) - vận tốc góc.

Ở tần số quay không đổi, gia tốc hướng tâm tỷ lệ thuận với khoảng cách từ hạt chuyển động đến tâm quay.

Vận tốc góc (w) là một giá trị bằng tỷ số giữa góc quay của bán kính mà điểm quay nằm trên khoảng thời gian mà chuyển động quay này xảy ra:

.

Mối quan hệ giữa tốc độ thẳng và tốc độ góc:

Chuyển động của một vật chỉ có thể được coi là biết khi biết từng điểm của nó chuyển động như thế nào. Chuyển động đơn giản nhất của vật cứng là chuyển động tịnh tiến. Dịch thuậtđược gọi là chuyển động của một vật cứng, trong đó bất kỳ đường thẳng nào vẽ trong vật này cũng chuyển động song song với chính nó.

Ta biết rằng trong chuyển động thẳng đều, hướng của vectơ vận tốc luôn trùng với hướng chuyển động. Có thể nói gì về hướng của vận tốc và độ dời trong chuyển động cong? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng kỹ thuật tương tự đã được sử dụng trong chương trước khi nghiên cứu tốc độ tức thời của chuyển động thẳng đều.

Hình 56 cho thấy một số quỹ đạo cong. Giả sử một vật di chuyển dọc theo nó từ điểm A đến điểm B.

Trong trường hợp này, đường di chuyển của cơ thể là một cung A B, và độ dời của nó là một vectơ. Tất nhiên, không thể giả định rằng tốc độ của cơ thể trong quá trình chuyển động là hướng dọc theo vectơ độ dời. Chúng ta hãy vẽ một loạt các hợp âm giữa điểm A và B (Hình. 57) và tưởng tượng rằng chuyển động của cơ thể xảy ra chính xác dọc theo các hợp âm này. Trên mỗi chúng, vật chuyển động trên một đường thẳng và vectơ vận tốc hướng dọc theo hợp âm.

Bây giờ chúng ta hãy làm cho các đoạn thẳng (hợp âm) của chúng ta ngắn hơn (Hình 58). Như trước đây, trên mỗi chúng, vectơ vận tốc hướng dọc theo dây hợp âm. Nhưng có thể thấy rằng đường đứt khúc trong Hình 58 đã trông giống một đường cong trơn hơn.

Do đó, rõ ràng là bằng cách tiếp tục giảm độ dài của các đoạn thẳng, chúng ta sẽ thu nhỏ chúng thành các điểm và đoạn thẳng bị đứt sẽ biến thành một đường cong trơn. Tốc độ tại mỗi điểm của đường cong này sẽ hướng nhưng tiếp tuyến với đường cong tại điểm này (Hình. 59).

Tốc độ của cơ thể tại bất kỳ điểm nào của quỹ đạo cong đều hướng theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm này.

Thực tế là tốc độ của một điểm trong chuyển động cong thực sự hướng theo một tiếp tuyến được thuyết phục, ví dụ, bằng cách quan sát hoạt động của một gochnl (Hình 60). Nếu bạn ấn hai đầu của một thanh thép vào một viên đá mài đang quay, thì các hạt nóng thoát ra từ đá sẽ có thể nhìn thấy dưới dạng tia lửa. Các hạt này di chuyển với tốc độ giống như

họ sở hữu tại thời điểm tách khỏi đá. Người ta thấy rõ rằng phương của tia lửa điện luôn trùng với phương tiếp tuyến của đường tròn tại điểm thanh tiếp xúc với đá. Phun từ các bánh xe của xe trượt cũng chuyển động theo phương tiếp tuyến với đường tròn (Hình 61).

Do đó, tốc độ tức thời của cơ thể tại các điểm khác nhau của quỹ đạo cong có hướng khác nhau, như trong Hình 62. Mô-đun tốc độ có thể giống nhau tại tất cả các điểm của quỹ đạo (xem Hình 62) hoặc thay đổi từ điểm này sang điểm khác, từ thời điểm này đến thời điểm khác (Hình 63).

Với chuyển động thẳng đều, ít nhiều chúng ta đã học được cách làm việc ở các bài trước, cụ thể là giải bài toán chính về cơ học đối với dạng chuyển động này.

Tuy nhiên, rõ ràng là trong thế giới thực, chúng ta thường xử lý nhất chuyển động cong, khi quỹ đạo là một đường cong. Ví dụ về chuyển động như vậy là quỹ đạo của một vật thể bị ném nghiêng về phía chân trời, chuyển động của Trái đất xung quanh Mặt trời và thậm chí là quỹ đạo của mắt bạn, hiện đang theo bản tóm tắt này.

Bài học này sẽ được dành cho câu hỏi về cách giải quyết vấn đề chính của cơ học trong trường hợp chuyển động cong.

Để bắt đầu, chúng ta hãy xác định xem sự khác biệt cơ bản của chuyển động đường cong (Hình 1) so với chuyển động của đường cong, và những khác biệt này dẫn đến điều gì.

Cơm. 1. Quỹ đạo của chuyển động cong

Hãy nói về cách thuận tiện để mô tả chuyển động của một vật trong chuyển động theo đường cong.

Bạn có thể chia chuyển động thành các phần riêng biệt, trên mỗi phần đó chuyển động có thể được coi là tuyến tính (Hình 2).

Cơm. 2. Phân vùng chuyển động cong thành chuyển động tịnh tiến

Tuy nhiên, cách làm sau tiện lợi hơn. Chúng ta sẽ biểu diễn chuyển động này như một tập hợp của một số chuyển động dọc theo các cung tròn (xem Hình 3). Lưu ý rằng có ít phân vùng như vậy hơn trong trường hợp trước, ngoài ra, chuyển động dọc theo đường tròn là đường cong. Ngoài ra, các ví dụ về chuyển động trong một đường tròn trong tự nhiên rất phổ biến. Từ đó chúng ta có thể kết luận:

Để mô tả chuyển động theo đường cong, người ta phải học cách mô tả chuyển động dọc theo một đường tròn, và sau đó biểu diễn một chuyển động tùy ý dưới dạng một tập hợp các chuyển động dọc theo các cung của đường tròn.

Cơm. 3. Phân vùng chuyển động theo đường cong thành chuyển động dọc theo cung tròn

Vì vậy, chúng ta hãy bắt đầu nghiên cứu chuyển động cong với việc nghiên cứu chuyển động đều trong một đường tròn. Hãy xem sự khác biệt cơ bản giữa chuyển động cong và chuyển động thẳng là gì. Để bắt đầu, hãy nhớ rằng ở lớp 9, chúng ta đã nghiên cứu thực tế rằng tốc độ của một vật khi chuyển động dọc theo một đường tròn hướng theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo. Nhân tiện, bạn có thể quan sát sự thật này trong thực tế nếu bạn quan sát cách các tia lửa di chuyển khi sử dụng đá mài.

Xét chuyển động của một vật trong một đường tròn (Hình 4).

Cơm. 4. Vận tốc của vật khi chuyển động tròn đều.

Hãy lưu ý rằng trong trường hợp này, môđun vận tốc của vật tại điểm A bằng môđun của vận tốc của vật tại điểm B.

Tuy nhiên, vectơ không bằng vectơ. Vì vậy, chúng ta có một vectơ chênh lệch vận tốc (xem Hình 5).

Cơm. 5. Độ chênh lệch vận tốc tại hai điểm A và B.

Hơn nữa, sự thay đổi tốc độ xảy ra sau một thời gian. Do đó, chúng tôi nhận được sự kết hợp quen thuộc:

,

nó chỉ là sự thay đổi tốc độ trong một khoảng thời gian, hoặc gia tốc của một cơ thể. Chúng ta có thể rút ra một kết luận rất quan trọng:

Chuyển động dọc theo một con đường cong được tăng tốc. Bản chất của gia tốc này là sự thay đổi liên tục theo hướng của vectơ vận tốc.

Một lần nữa, chúng ta lưu ý rằng ngay cả khi nói rằng vật thể chuyển động đều trong một đường tròn, điều đó có nghĩa là môđun vận tốc của vật thể không thay đổi, nhưng chuyển động như vậy luôn có gia tốc, vì hướng của vận tốc thay đổi.

Ở lớp 9, bạn đã nghiên cứu gia tốc này là gì và nó được chuyển hướng như thế nào (xem Hình 6). Gia tốc hướng tâm luôn hướng vào tâm đường tròn mà vật chuyển động.

Cơm. 6. Gia tốc hướng tâm

Môđun của gia tốc hướng tâm có thể được tính bằng công thức

Chúng ta chuyển sang mô tả chuyển động đều của vật trong một đường tròn. Hãy đồng ý rằng tốc độ mà bạn đã sử dụng trong khi mô tả chuyển động tịnh tiến bây giờ sẽ được gọi là tốc độ tuyến tính. Và bằng tốc độ tuyến tính, chúng ta sẽ hiểu được tốc độ tức thời tại điểm thuộc quỹ đạo của một vật thể đang quay.

Cơm. 7. Chuyển động của các điểm đĩa

Hãy xem xét một đĩa quay theo chiều kim đồng hồ. Trên bán kính của nó, ta đánh dấu hai điểm A và B. Và xét chuyển động của chúng. Sau một thời gian, các điểm này sẽ di chuyển dọc theo các cung của đường tròn và trở thành điểm A ’và B’. Rõ ràng, điểm A đã chuyển động nhiều hơn điểm B. Từ đó ta có thể kết luận rằng chất điểm càng xa trục quay thì tốc độ chuyển động thẳng càng lớn.

Tuy nhiên, nếu bạn quan sát kỹ các điểm A và B, chúng ta có thể nói rằng góc mà chúng quay so với trục quay O. Chúng ta sẽ sử dụng các đặc điểm góc để mô tả chuyển động trong một đường tròn. Lưu ý rằng để mô tả chuyển động trong một vòng tròn, bạn có thể sử dụng gócđặc điểm. Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm về số đo góc rađian.

Góc 1 radian là góc ở tâm có độ dài cung bằng bán kính của đường tròn.

Do đó, dễ dàng thấy rằng, ví dụ, góc tại bằng radian. Và theo đó, bạn có thể chuyển đổi bất kỳ góc nào được cho theo độ sang radian bằng cách nhân nó với và chia cho. Góc quay trong chuyển động quay tương tự như trong chuyển động tịnh tiến. Lưu ý rằng radian là đại lượng không có thứ nguyên:

do đó ký hiệu "rad" thường bị bỏ qua.

Hãy bắt đầu xét chuyển động trong một đường tròn với trường hợp đơn giản nhất - chuyển động thẳng đều trong một đường tròn. Nhớ lại rằng chuyển động tịnh tiến đều là chuyển động mà vật thực hiện những chuyển động như nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Tương tự như vậy,

Chuyển động đều trong một đường tròn là chuyển động trong đó trong những khoảng thời gian bằng nhau, vật quay theo những góc như nhau.

Tương tự với khái niệm vận tốc thẳng, người ta đưa ra khái niệm vận tốc góc.

Vận tốc góc là đại lượng vật lý bằng tỉ số giữa góc quay của vật với thời gian xảy ra chuyển động quay.

Vận tốc góc được đo bằng radian trên giây, hoặc đơn giản là giây nghịch đảo.

Hãy tìm mối quan hệ giữa vận tốc góc của một điểm và vận tốc thẳng của điểm này.

Cơm. 9. Mối quan hệ giữa tốc độ góc và tốc độ thẳng

Điểm A quay qua dây cung có độ dài S, đồng thời quay qua một góc φ. Từ định nghĩa của số đo radian của một góc, chúng ta có thể viết rằng

Chia phần bên trái và bên phải của phương trình cho khoảng thời gian mà chuyển động được thực hiện, sau đó sử dụng định nghĩa của vận tốc góc và vận tốc tuyến tính

.

Lưu ý rằng chất điểm càng xa trục quay thì vận tốc góc và vận tốc thẳng của nó càng cao. Và các điểm nằm trên trục quay là cố định. Ví dụ về điều này là một băng chuyền: bạn càng ở gần tâm của băng chuyền, bạn càng dễ dàng ở trên đó.

Nhớ lại rằng trước đó chúng ta đã giới thiệu các khái niệm về chu kỳ và tần số quay.

Khoảng thời gian quay vòng là thời gian của một vòng quay hoàn chỉnh. Chu kỳ quay được biểu thị bằng một chữ cái và được đo bằng giây trong hệ SI:

Tần số quay - số vòng quay trên một đơn vị thời gian. Tần số được biểu thị bằng một chữ cái và được đo bằng giây nghịch đảo:

Chúng có liên quan với nhau bởi:

Có mối quan hệ giữa vận tốc góc và tần số quay của vật. Nếu chúng ta nhớ rằng một vòng quay đầy đủ, ta dễ dàng thấy rằng vận tốc góc là:

Ngoài ra, nếu chúng ta nhớ lại cách chúng ta định nghĩa khái niệm radian, thì sẽ thấy rõ cách liên hệ giữa vận tốc tuyến tính của một vật với vận tốc góc:

.

Chúng ta cũng hãy viết ra mối quan hệ giữa gia tốc hướng tâm và các đại lượng này:

.

Như vậy, chúng ta biết mối quan hệ giữa tất cả các đặc điểm của chuyển động thẳng đều trong một đường tròn.

Hãy tóm tắt lại. Trong bài học này, chúng ta bắt đầu mô tả chuyển động cong. Chúng tôi đã hiểu cách liên hệ giữa chuyển động cong với chuyển động tròn. Chuyển động tròn luôn luôn có gia tốc, và sự có mặt của gia tốc gây ra thực tế là tốc độ luôn thay đổi hướng của nó. Gia tốc như vậy được gọi là hướng tâm. Cuối cùng, chúng tôi nhớ lại một số đặc điểm của chuyển động trong một đường tròn (vận tốc thẳng, vận tốc góc, chu kỳ và tần số quay), và tìm ra mối quan hệ giữa chúng.

Thư mục:

1. G. Ya. Myakishev, B. B. Bukhovtsev, N. N. Sotsky. Vật lý 10. - M .: Giáo dục, 2008.
2. A. P. Rymkevich. Vật lý học. Sách bài tập 10-11. - M.: Bustard, 2006.
3. O. Ya. Savchenko. Các vấn đề trong vật lý. - M.: Nauka, 1988.
4. A. V. Pyoryshkin, V. V. Krauklis. Khóa học Vật lý. T. 1. - M .: Nhà nước. uch.-ped. ed. tối thiểu giáo dục của RSFSR, 1957.

1. Bách khoa toàn thư ().
2. Ayp.ru ().
3. Wikipedia ().

Bài tập về nhà:

Bằng cách giải quyết các nhiệm vụ của bài học này, bạn sẽ có thể chuẩn bị cho câu hỏi 1 của GIA và câu hỏi A1, A2 của Kỳ thi thống nhất đất nước.

1. Vấn đề 92, 94, 98, 106, 110 sb. Vấn đề A. P. Rymkevich ed. mười ()
2. Tính vận tốc góc của các kim phút, giây và kim giờ của đồng hồ. Tính gia tốc hướng tâm tác dụng lên các đầu của các mũi tên này nếu bán kính của mỗi mũi tên là một mét.
3. Hãy xem xét các câu hỏi sau và câu trả lời của chúng:

Câu hỏi: Có những điểm nào trên bề mặt Trái đất mà tại đó vận tốc góc liên quan đến chuyển động quay hàng ngày của Trái đất bằng không?

Câu trả lời: Có. Các điểm này là các cực địa lý của Trái đất. Tốc độ tại những điểm này bằng 0, bởi vì tại những điểm này bạn sẽ ở trên trục quay.

Với chuyển động theo đường cong, hướng của vectơ vận tốc thay đổi. Trong trường hợp này, mô-đun của nó, tức là độ dài, cũng có thể thay đổi. Trong trường hợp này, véc tơ gia tốc được chia thành hai thành phần: tiếp tuyến với quỹ đạo và vuông góc với quỹ đạo (Hình 10). Thành phần được gọi là tiếp tuyến(tiếp tuyến) gia tốc, thành phần - thông thường gia tốc (hướng tâm).

Gia tốc đường cong

Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho tốc độ thay đổi của vận tốc thẳng, và gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho tốc độ thay đổi hướng của chuyển động.

Gia tốc toàn phần bằng tổng vectơ của gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến:

(15)

Tổng mô đun gia tốc là:

.

Xét chuyển động thẳng đều của một điểm dọc theo một đường tròn. Trong đó và . Cho chất điểm ở vị trí 1 tại thời điểm t (Hình 11). Sau thời gian Δt, chất điểm sẽ ở vị trí 2, đã đi được quãng đường Δs, bằng cung 1-2. Trong trường hợp này, tốc độ của điểm v tăng lên Δv, do đó vectơ vận tốc, không thay đổi về độ lớn, sẽ chuyển qua một góc Δφ , trùng về độ lớn với góc ở tâm dựa trên một cung có độ dài Δs:

(16)

trong đó R là bán kính của đường tròn mà điểm đó di chuyển. Hãy tìm gia số của vectơ vận tốc Để làm điều này, chúng ta sẽ di chuyển vectơ sao cho đầu của nó trùng với đầu của vectơ. Khi đó vectơ sẽ được biểu diễn bằng một đoạn được vẽ từ cuối vectơ đến cuối vectơ . Đoạn này đóng vai trò là cơ sở của một tam giác cân với các cạnh và và góc Δφ ở đỉnh. Nếu góc Δφ nhỏ (đúng với Δt nhỏ), đối với các cạnh của tam giác này, chúng ta có thể viết gần đúng:

.

Thay Δφ vào đây từ (16), chúng ta nhận được một biểu thức cho môđun của vectơ:

.

Chia cả hai phần của phương trình cho Δt và thực hiện chuyển đổi giới hạn, chúng ta nhận được giá trị của gia tốc hướng tâm:

Đây là số lượng v và R là hằng số, vì vậy chúng có thể được đưa ra khỏi dấu hiệu giới hạn. Giới hạn tỷ lệ là mô-đun tốc độ Nó còn được gọi là tốc độ tuyến tính.

Bán kính cong

Bán kính đường tròn R được gọi là Bán kính cong các quỹ đạo. Nghịch đảo của R được gọi là độ cong của đường đi:

.

trong đó R là bán kính của hình tròn được đề cập. Nếu α là góc chính giữa ứng với cung của đường tròn s, thì, như đã biết, mối quan hệ sau đây giữa R, α và s:

s = Ra. (18)

Khái niệm bán kính cong không chỉ áp dụng cho đường tròn mà còn cho bất kỳ đường cong nào. Bán kính cong (hay nghịch đảo - độ cong của nó) đặc trưng cho mức độ cong của đoạn thẳng. Bán kính cong càng nhỏ (tương ứng là độ cong càng lớn) thì đường cong càng nhiều. Chúng ta hãy xem xét khái niệm này chi tiết hơn.

Đường tròn cong của một đường phẳng tại một điểm nào đó A là vị trí giới hạn của đường tròn đi qua điểm A và hai điểm khác B 1 và B 2 khi chúng tiếp cận vô hạn với điểm A (trong Hình 12, đường cong được vẽ bởi a nét liền mảnh và hình tròn cong là nét đứt). Bán kính của đường tròn cong là bán kính cong của đường cong được đề cập tại điểm A, và tâm của đường tròn này là tâm cung của đường cong đối với cùng một điểm A.

Vẽ tại điểm B 1 và B 2 các tiếp tuyến B 1 D và B 2 E với đường tròn đi qua các điểm B 1, A và B 2. Các pháp tuyến của các tiếp tuyến B 1 C và B 2 C sẽ là bán kính R của đường tròn và cắt nhau tại tâm C. Hãy giới thiệu góc Δα giữa các pháp tuyến B1C và B 2 C; Rõ ràng, nó bằng góc giữa các tiếp tuyến B 1 D và B 2 E. Hãy xác định phần của đường cong giữa hai điểm B 1 và B 2 là Δs. Sau đó theo công thức (18):

.

Đường tròn cong của một đường cong phẳng

Xác định độ cong của một đường cong mặt phẳng tại các điểm khác nhau

Trên hình. 13 cho thấy các đường tròn có độ cong của một đường phẳng tại các điểm khác nhau. Tại điểm A 1, nơi đường cong phẳng hơn, bán kính cong lần lượt lớn hơn điểm A 2, độ cong của đoạn thẳng tại điểm A 1 sẽ nhỏ hơn điểm A 2. Tại điểm A 3 đường cong phẳng hơn tại điểm A 1 và A 2 nên bán kính cong tại điểm này sẽ lớn hơn và độ cong nhỏ hơn. Ngoài ra, đường tròn có độ cong tại điểm A 3 nằm ở phía bên kia của đường cong. Do đó, độ lớn của độ cong tại điểm này được gán dấu ngược với dấu của độ cong tại các điểm A 1 và A 2: nếu độ cong tại các điểm A 1 và A 2 được coi là dương thì độ cong tại điểm A 3 sẽ là phủ định.

Chúng ta biết rằng bất kỳ chuyển động cong nào đều xảy ra dưới tác dụng của một lực có phương nghiêng với vận tốc. Trong trường hợp chuyển động đều trong một đường tròn, góc này sẽ đúng. Thật vậy, chẳng hạn, nếu chúng ta quay một quả bóng buộc vào một sợi dây, thì phương của vận tốc của quả bóng tại bất kỳ thời điểm nào cũng vuông góc với sợi dây.

Lực căng của dây, giữ quả cầu trên đường tròn, hướng dọc theo sợi dây về phía tâm quay.

Theo định luật thứ hai của Newton, lực này sẽ làm cho vật thể tăng tốc theo cùng một hướng. Gia tốc hướng dọc theo bán kính về phía tâm quay được gọi là gia tốc hướng tâm .

Hãy để chúng tôi suy ra một công thức để xác định giá trị của gia tốc hướng tâm.

Trước hết, chúng ta lưu ý rằng chuyển động trong một đường tròn là một chuyển động phức tạp. Dưới tác dụng của lực hướng tâm, vật chuyển động về phía tâm quay và đồng thời theo quán tính, vật đi ra khỏi tâm này theo phương tiếp tuyến với đường tròn.

Cho vật chuyển động thẳng biến đổi đều với vận tốc v, chuyển động từ D đến E trong thời gian t Giả sử tại thời điểm vật ở điểm D thì lực hướng tâm không còn tác dụng lên vật nữa. Sau đó, trong thời gian t, nó sẽ chuyển động đến một điểm K nằm trên tiếp tuyến DL. Nếu tại thời điểm ban đầu vật chỉ chịu tác dụng của một lực hướng tâm (không chuyển động theo quán tính) thì vật chuyển động thẳng đều với gia tốc trong thời gian t đến điểm F nằm trên đường thẳng DC. Kết quả của việc cộng hai chuyển động này trong thời gian t thì thu được chuyển động dọc theo cung DE.

Lực hướng tâm

Lực giữ một vật quay trên một đường tròn và hướng vào tâm quay được gọi là lực hướng tâm .

Để có được công thức tính độ lớn của lực hướng tâm, người ta phải sử dụng định luật thứ hai của Newton, áp dụng cho bất kỳ chuyển động cong nào.

Thay vào công thức F \ u003d ma giá trị của gia tốc hướng tâm a \ u003d v 2 / R, ta được công thức của lực hướng tâm:

F = mv 2 / R

Độ lớn của lực hướng tâm bằng tích khối lượng của vật và bình phương vận tốc truyền thẳng, chia cho bán kính.

Nếu cho vận tốc góc của vật thì ta tính lực hướng tâm theo công thức: F = m sẽ thuận tiện hơn? 2R ở đâu? 2 R - gia tốc hướng tâm.

Từ công thức thứ nhất có thể thấy rằng ở cùng một tốc độ, bán kính đường tròn càng nhỏ thì lực hướng tâm càng lớn. Vì vậy, tại các ngã rẽ của một vật thể chuyển động (tàu hỏa, ô tô, xe đạp), lực tác động vào tâm cong càng lớn, khi rẽ càng dốc, tức là bán kính cong càng nhỏ.

Lực hướng tâm phụ thuộc vào tốc độ tuyến tính: với tốc độ tăng dần thì nó tăng lên. Điều này được biết đến với tất cả những người trượt ván, trượt tuyết và đi xe đạp: bạn di chuyển càng nhanh thì càng khó rẽ. Những người lái xe hiểu rất rõ mức độ nguy hiểm khi quay đầu xe ở tốc độ cao.

Tốc độ dòng

Cơ chế ly tâm

Chuyển động của một cơ thể bị ném theo một góc với đường chân trời

Chúng ta hãy ném một số cơ thể vào một góc với đường chân trời. Theo dõi chuyển động của nó, chúng ta sẽ nhận thấy rằng cơ thể đầu tiên nhô lên, di chuyển dọc theo một đường cong, sau đó cũng hạ xuống theo đường cong.

Nếu bạn hướng một tia nước ở các góc khác nhau tới đường chân trời, thì bạn có thể thấy rằng lúc đầu, khi tăng góc, tia nước càng lúc càng xa. Ở góc 45 ° so với đường chân trời (nếu bạn không tính đến lực cản của không khí), phạm vi là lớn nhất. Khi góc tăng hơn nữa, phạm vi giảm.

Để xây dựng quỹ đạo của một vật thể bị ném một góc với đường chân trời, chúng ta vẽ một đường thẳng nằm ngang OA và một đường thẳng OS đối với nó ở một góc nhất định.

Trên đường OS ở tỷ lệ đã chọn, chúng tôi vẽ các đoạn bằng số tương đương với các đường đi theo hướng ném (0–1, 1–2, 2–3, 3–4). Từ các điểm 1, 2, 3, v.v., chúng tôi hạ thấp các đường vuông góc xuống OA và dành các đoạn bằng số bằng các đường đi qua của một vật thể rơi tự do trong 1 giây (1 – I), 2 giây (2 – II), 3 sec (3 – III), v.v. Chúng tôi nối các điểm 0, I, II, III, IV, v.v. bằng một đường cong trơn.

Quỹ đạo của vật đối xứng với đường thẳng đứng đi qua điểm IV.

Lực cản của không khí làm giảm cả phạm vi bay và độ cao bay cao nhất, và quỹ đạo trở nên không đối xứng. Chẳng hạn, đó là quỹ đạo của đạn và đạn. Trong hình, đường cong đặc thể hiện một cách sơ đồ quỹ đạo của đường đạn trong không khí và đường cong dạng chấm cho thấy nó trong không gian không có không khí. Có thể thấy lực cản của không khí thay đổi phạm vi bay như thế nào từ ví dụ sau. Trong điều kiện không có sức cản của không quân, đạn pháo 76 mm bắn theo góc 20 ° so với đường chân trời sẽ bay được 24 km. Trên không, quả đạn này bay khoảng 7 km.

Định luật thứ ba của Newton

Chuyển động của một cơ thể ném ngang

Độc lập của các phong trào

Chuyển động theo đường cong là một chuyển động phức tạp, bao gồm chuyển động theo quán tính và chuyển động dưới tác dụng của một lực có phương nghiêng với tốc độ của cơ thể. Điều này có thể được hiển thị trong ví dụ sau.

Giả sử rằng quả bóng chuyển động đều và theo đường thẳng trên mặt bàn. Khi quả bóng lăn khỏi mặt bàn, trọng lượng của nó không còn cân bằng bởi lực ép của mặt bàn và theo quán tính, trong khi duy trì chuyển động thẳng và thẳng đều, nó đồng thời bắt đầu rơi. Kết quả của việc bổ sung các chuyển động - chuyển động thẳng đều theo quán tính và được gia tốc đều dưới tác dụng của trọng lực - quả bóng chuyển động dọc theo một đường cong.

Thực nghiệm có thể chứng minh rằng các chuyển động này độc lập với nhau.

Hình bên cho thấy một lò xo, bị uốn cong dưới tác dụng của một cái búa, có thể đặt một trong các quả cầu chuyển động theo phương ngang và đồng thời thả quả cầu kia ra, để cả hai quả bóng bắt đầu chuyển động cùng một lúc. : đầu tiên dọc theo một đường cong, thứ hai dọc theo một đường thẳng đứng xuống. Cả hai quả bóng sẽ chạm sàn cùng một lúc; do đó thời gian rơi của cả hai quả cầu là như nhau. Từ đó ta có thể kết luận rằng chuyển động của quả bóng dưới tác dụng của trọng lực không phụ thuộc vào việc quả bóng đứng yên tại thời điểm ban đầu hay chuyển động theo phương ngang.

Kinh nghiệm này minh họa một nguyên tắc rất quan trọng trong cơ học được gọi là nguyên tắc độc lập của chuyển động.

Chuyển động tròn đều

Một trong những dạng chuyển động cong đơn giản và phổ biến nhất là chuyển động đều của một vật trong một đường tròn. Ví dụ, trong một vòng tròn, các bộ phận của bánh đà chuyển động, các điểm trên bề mặt trái đất trong quá trình quay hàng ngày của Trái đất, v.v.

Hãy giới thiệu các đại lượng đặc trưng cho chuyển động này. Hãy chuyển sang bản vẽ. Để trong quá trình quay của vật, một trong các điểm của nó chuyển động từ A đến B trong thời gian t Bán kính nối điểm A với tâm của đường tròn quay đồng thời một góc? ("Fi" trong tiếng Hy Lạp). Tốc độ quay của một điểm có thể được đặc trưng bởi giá trị nào của tỉ số góc? theo thời gian t, tức là? / t.

Vận tốc góc

Tỉ số giữa góc quay của bán kính nối chất điểm chuyển động với tâm quay với khoảng thời gian mà chuyển động quay này xảy ra được gọi là vận tốc góc.

Biểu thị vận tốc góc bằng một chữ cái Hy Lạp? ("omega"), bạn có thể viết:

? =? / t

Vận tốc góc có giá trị bằng số của góc quay trên một đơn vị thời gian.

Với chuyển động thẳng đều trong một đường tròn, vận tốc góc là một giá trị không đổi.

Khi tính vận tốc góc, góc quay thường được đo bằng radian. Rađian là góc ở tâm có độ dài cung bằng bán kính của cung đó.

Chuyển động của các vật dưới tác dụng của một lực có phương nghiêng với vận tốc

Khi xem xét chuyển động thẳng đều, người ta biết rằng nếu một lực tác dụng lên một vật theo hướng chuyển động, thì chuyển động của vật sẽ vẫn là chuyển động thẳng. Chỉ có tốc độ sẽ thay đổi. Hơn nữa, nếu hướng của lực trùng với hướng của vận tốc thì chuyển động sẽ thẳng và có gia tốc. Trong trường hợp ngược chiều của lực, chuyển động sẽ thẳng và chậm dần đều. Ví dụ, như vậy là chuyển động của một vật được ném thẳng đứng xuống dưới và chuyển động của một vật ném thẳng đứng lên trên.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét cơ thể sẽ chuyển động như thế nào dưới tác dụng của một lực có phương nghiêng với phương của vận tốc.

Hãy xem kinh nghiệm trước. Hãy tạo một quỹ đạo của quả cầu thép xung quanh nam châm. Chúng ta ngay lập tức nhận thấy rằng ra khỏi nam châm, quả cầu chuyển động theo đường thẳng, khi đến gần nam châm, quỹ đạo của quả bóng bị cong và quả bóng chuyển động theo đường cong. Hướng tốc độ của nó liên tục thay đổi. Lý do cho điều này là do hoạt động của nam châm lên quả bóng.

Chúng ta có thể làm cho một cơ thể chuyển động trên một đường thẳng chuyển động dọc theo một đường cong nếu chúng ta đẩy nó, kéo sợi chỉ gắn vào nó, v.v., miễn là lực hướng tới một góc bằng tốc độ của cơ thể.

Vì vậy, chuyển động cong của cơ thể xảy ra dưới tác dụng của một lực có phương nghiêng với phương của vận tốc của cơ thể.

Tùy thuộc vào hướng và độ lớn của lực tác dụng lên cơ thể, chuyển động của đường cong có thể rất đa dạng. Các loại chuyển động đường cong đơn giản nhất là chuyển động tròn, parabol và elip.

Ví dụ về tác dụng của lực hướng tâm

Trong một số trường hợp, lực hướng tâm là kết quả của hai lực tác dụng lên một vật chuyển động theo đường tròn.

Hãy xem một vài ví dụ như vậy.

1. Một ô tô chuyển động dọc theo mặt cầu lõm với vận tốc v, khối lượng của ô tô là m, bán kính cong của cầu là R. Lực ép do ô tô tác dụng lên cầu tại điểm thấp nhất của nó là bao nhiêu?

Đầu tiên chúng ta hãy xác định lực tác dụng lên xe. Có hai lực đó là trọng lượng của ô tô và lực ép của cầu lên ô tô. (Chúng tôi loại trừ lực ma sát trong điều này và tất cả những người đoạt giải tiếp theo khỏi việc xem xét).

Khi ô tô đứng yên, các lực này có độ lớn bằng nhau và hướng ngược chiều nhau, cân bằng nhau.

Khi ô tô chuyển động dọc theo cây cầu, thì nó cũng giống như bất kỳ vật thể nào chuyển động theo đường tròn đều chịu tác dụng của lực hướng tâm. Nguồn của sức mạnh này là gì? Nguồn của lực này chỉ có thể là tác dụng của cầu lên ô tô. Lực Q tác dụng lên ô tô đang chuyển động không những phải cân bằng trọng lượng P của ô tô mà còn phải ép nó chuyển động theo đường tròn, tạo ra lực hướng tâm F cần thiết cho lực này. Lực F chỉ có thể là kết quả của các lực P và Q, vì nó là kết quả của sự tương tác của một chiếc ô tô đang chuyển động và một cây cầu.