Phương trình thuần nhất suy rộng bậc hai. Phương trình thuần nhất tổng quát

Bằng cách nhấp vào nút "Tải xuống kho lưu trữ", bạn sẽ tải xuống tệp bạn cần miễn phí.
Trước khi tải xuống tệp này, hãy nhớ những bài luận hay, kiểm soát, bài báo học kỳ, luận văn, bài báo và các tài liệu khác không có người nhận trên máy tính của bạn. Đây là công việc của bạn, nó nên tham gia vào sự phát triển của xã hội và mang lại lợi ích cho mọi người. Tìm những tác phẩm này và gửi chúng đến cơ sở tri thức.
Chúng tôi và tất cả các bạn sinh viên, học viên cao học, các nhà khoa học trẻ sử dụng nền tảng tri thức trong học tập và làm việc của mình sẽ rất biết ơn các bạn.

Để tải xuống bản lưu trữ có tài liệu, hãy nhập số có năm chữ số vào trường bên dưới và nhấp vào nút "Tải xuống bản lưu trữ"

Tài liệu tương tự

Các bài toán Cauchy cho phương trình vi phân. Đồ thị nghiệm của phương trình vi phân bậc nhất. Phương trình với các biến có thể phân tách và rút gọn về thuần nhất. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất bậc nhất. Phương trình Bernoulli.

bài giảng, thêm 18/08/2012


Các khái niệm cơ bản của lý thuyết về phương trình vi phân thường. Dấu hiệu của một phương trình trong vi phân tổng, cấu trúc của một tích phân tổng quát. Các trường hợp đơn giản nhất của việc tìm thừa số tích phân. Trường hợp cấp số nhân chỉ phụ thuộc vào X và chỉ phụ thuộc vào Y.

hạn giấy, bổ sung 24/12/2014


Đặc điểm của phương trình vi phân là quan hệ giữa các hàm và các đạo hàm của chúng. Chứng minh định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm. Ví dụ và thuật toán giải phương trình trong vi phân tổng. Tích hợp hệ số trong các ví dụ.

hạn giấy, bổ sung 02/11/2014


Phương trình vi phân Riccati. Nghiệm tổng quát của một phương trình tuyến tính. Tìm tất cả các nghiệm có thể có của phương trình vi phân Bernoulli. Nghiệm của phương trình với các biến có thể phân tách được. Các nghiệm tổng quát và đặc biệt của phương trình vi phân Clairaut.

hạn giấy, thêm 01/26/2015


Một phương trình với các biến có thể phân tách. Phương trình vi phân tuyến tính và thuần nhất. Tính chất hình học của đường cong tích phân. Tổng vi phân của một hàm hai biến. Xác định tích phân bằng phương pháp Bernoulli và các biến thể của một hằng số tùy ý.

trừu tượng, thêm 24/08/2015


Khái niệm và nghiệm của phương trình vi phân đơn giản nhất và phương trình vi phân bậc tùy ý, kể cả những phương trình có hệ số phân tích không đổi. Hệ phương trình tuyến tính. Hành vi tiệm cận của các nghiệm của một số hệ thống tuyến tính.

luận án, bổ sung 06/10/2010


Tích phân tổng quát của phương trình, ứng dụng của phương pháp Lagrange để giải một phương trình tuyến tính không thuần nhất với một hàm chưa biết. Nghiệm của một phương trình vi phân ở dạng tham số. Điều kiện Euler, phương trình bậc nhất trong vi phân tổng.

kiểm soát công việc, thêm 11/02/2011

.
Phương trình vi phân.

§ 1. Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân thường.

Định nghĩa 1. Phương trình vi phân thường N-thứ tự cho hàm y tranh luận xđược gọi là một quan hệ của biểu mẫu

ở đâu F là một hàm cho trước của các đối số của nó. Trong tên của loại phương trình toán học này, thuật ngữ "vi phân" nhấn mạnh rằng chúng bao gồm các đạo hàm
(các chức năng được hình thành do kết quả của sự khác biệt hóa); thuật ngữ - "thông thường" nói rằng hàm mong muốn chỉ phụ thuộc vào một đối số thực.

Một phương trình vi phân thông thường có thể không chứa đối số một cách rõ ràng x, chức năng mong muốn
và bất kỳ dẫn xuất nào của nó, nhưng dẫn xuất cao nhất
phải được bao gồm trong phương trình N- gọi món. Ví dụ

một)
là phương trình bậc nhất;

b)
là một phương trình bậc ba.

Khi viết phương trình vi phân thông thường, ký hiệu của đạo hàm thông qua vi phân thường được sử dụng:

Trong)
là một phương trình bậc hai;

G)
là phương trình bậc nhất,

hình thành sau khi phân chia bởi dx dạng tương đương của phương trình:
.

Hàm số
được gọi là một nghiệm cho một phương trình vi phân thông thường nếu, khi được thay thế vào nó, nó trở thành một đồng nhất.

Ví dụ, phương trình bậc 3

Có một giải pháp
.

Ví dụ, để tìm bằng phương pháp này hay phương pháp khác, phép chọn, một hàm thỏa mãn một phương trình không có nghĩa là giải nó. Để giải một phương trình vi phân thông thường có nghĩa là tìm tất cả các các hàm tạo thành một đồng nhất khi được thay thế vào phương trình. Đối với phương trình (1.1), họ các hàm như vậy được hình thành với sự trợ giúp của các hằng số tùy ý và được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thông thường N bậc thứ, và số hằng số trùng với bậc của phương trình: y(x) : Trong trường hợp này, nghiệm được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.1).

Ví dụ, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
là biểu thức sau: và số hạng thứ hai cũng có thể được viết dưới dạng
, vì một hằng số tùy ý chia cho 2 có thể được thay thế bằng một hằng số tùy ý mới .

Bằng cách thiết lập một số giá trị chấp nhận được cho tất cả các hằng số tùy ý trong nghiệm tổng quát hoặc trong tích phân tổng quát, chúng ta thu được một hàm nhất định không còn chứa các hằng số tùy ý. Hàm này được gọi là một nghiệm cụ thể hoặc một tích phân cụ thể của phương trình (1.1). Để tìm giá trị của các hằng số tùy ý và do đó có nghiệm cụ thể, các điều kiện bổ sung khác nhau cho phương trình (1.1) được sử dụng. Ví dụ, cái gọi là điều kiện ban đầu cho (1.2) có thể được đưa ra

Trong phần bên phải của các điều kiện ban đầu (1.2), các giá trị số của hàm số và đạo hàm được đưa ra, và tổng số điều kiện ban đầu bằng số hằng số tùy ý được xác định.

Bài toán tìm một nghiệm cụ thể cho phương trình (1.1) từ các điều kiện ban đầu được gọi là bài toán Cauchy.

§ 2. Phương trình vi phân thường bậc 1 - những khái niệm cơ bản.

Phương trình vi phân thường bậc 1 ( N= 1) có dạng:
hoặc, nếu nó có thể được giải quyết liên quan đến phái sinh:
. Quyết định chung y= y(x,TỪ) hoặc tích phân tổng quát
Phương trình bậc 1 chứa một hằng số tùy ý. Điều kiện ban đầu duy nhất cho phương trình bậc 1
cho phép bạn xác định giá trị của hằng số từ nghiệm tổng quát hoặc từ tích phân tổng quát. Vì vậy, một giải pháp cụ thể sẽ được tìm thấy hoặc, đó cũng là vấn đề Cauchy sẽ được giải quyết. Câu hỏi về sự tồn tại và tính duy nhất của một nghiệm cho bài toán Cauchy là một trong những câu hỏi trọng tâm trong lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân thông thường. Đặc biệt, đối với một phương trình bậc nhất, định lý là hợp lệ, được chấp nhận ở đây mà không cần chứng minh.

Định lý 2.1. Nếu trong phương trình hàm
và đạo hàm riêng của nó
liên tục ở một số khu vực D chiếc máy bay XOY và một điểm được đưa ra trong lĩnh vực này
, thì tồn tại và hơn nữa, một nghiệm duy nhất thỏa mãn cả phương trình và điều kiện ban đầu
.

Nghiệm tổng quát hình học của phương trình bậc 1 là một họ các đường cong trong mặt phẳng XOY, không có điểm chung và khác nhau ở một tham số - giá trị của hằng số C. Những đường cong này được gọi là đường cong tích phân của phương trình đã cho. Các đường cong tích phân của phương trình có một tính chất hình học hiển nhiên: tại mỗi điểm, tang của hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong bằng giá trị của vế phải của phương trình tại điểm đó:
. Nói cách khác, phương trình được cho trong mặt phẳng XOY trường hướng của tiếp tuyến với đường cong tích phân. Bình luận: Cần lưu ý rằng đối với phương trình
phương trình và cái gọi là phương trình ở dạng đối xứng đã cho
.

§ 3. Phương trình vi phân bậc nhất với biến phân tách được.

Sự định nghĩa. Một phương trình vi phân với các biến có thể phân tách được là một phương trình có dạng
(3.1)

hoặc một phương trình có dạng (3.2)

Để tách các biến trong phương trình (3.1), tức là Rút gọn phương trình này thành phương trình được gọi là phương trình với các biến được phân tách, thực hiện các hành động sau:

;

Bây giờ chúng ta cần giải phương trình g(y)= 0 . Nếu nó có một giải pháp thực sự y= một, sau đó y= một cũng sẽ là một nghiệm của phương trình (3.1).

Phương trình (3.2) được rút gọn thành một phương trình biến riêng bằng cách chia cho tích
:

, cho phép chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình (3.2):
. (3.3)

Các đường cong tích phân (3.3) sẽ được bổ sung bởi các giải pháp
nếu các giải pháp như vậy tồn tại.

Giải phương trình:.

Tách các biến:

.

Tích hợp, chúng tôi nhận được

Xa hơn từ các phương trình
và
tìm thấy x=1, y=-1. Những quyết định này là những quyết định riêng tư.

§ 4. Phương trình vi phân thuần nhất bậc nhất.

Định nghĩa 1. Một phương trình bậc 1 được gọi là thuần nhất nếu vế phải của nó với bất kỳ
tỉ lệ
, được gọi là điều kiện đồng nhất của một hàm hai biến có thứ nguyên bằng không.

ví dụ 1 Hiển thị chức năng đó
- độ đo không đồng nhất.

Dung dịch.

,

Q.E.D.

Định lý. Bất kỳ chức năng nào
là đồng nhất và ngược lại, bất kỳ chức năng đồng nhất nào
thứ nguyên không được giảm xuống dạng
.

Bằng chứng.

Khẳng định đầu tiên của định lý là hiển nhiên, vì
. Hãy để chúng tôi chứng minh khẳng định thứ hai. Chúng ta hãy đặt
, sau đó đối với một hàm thuần nhất
, đã được chứng minh.

Định nghĩa 2. Phương trình (4.1)

trong đó M và N là các hàm thuần nhất có cùng mức độ, tức là có tài sản cho tất cả , được gọi là đồng nhất.

Rõ ràng, phương trình này luôn có thể được rút gọn về dạng
(4.2), mặc dù điều này có thể không được thực hiện để giải quyết nó.

Một phương trình thuần nhất được rút gọn thành một phương trình có các biến có thể phân tách được bằng cách thay thế hàm mong muốn y theo công thức y= zx, ở đâu z(x) là chức năng mong muốn mới. Sau khi thực hiện thay thế này trong phương trình (4.2), chúng ta thu được:
hoặc
hoặc
.

Tích phân, chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình đối với hàm z(x)
, sau nhiều lần thay thế
đưa ra tích phân tổng quát của phương trình ban đầu. Ngoài ra, nếu - gốc của phương trình
, sau đó là các chức năng
- Nghiệm của một phương trình đã cho thuần nhất. Nếu
, thì phương trình (4.2) có dạng

và trở thành một phương trình với các biến có thể phân tách. Các giải pháp của nó là bán trực tiếp:
.

Bình luận.Đôi khi nó được khuyến khích thay vì thay thế ở trên để sử dụng thay thế x= zy.

§ 5. Quy trình vi phân rút gọn về thuần nhất.

Hãy xem xét một phương trình có dạng
. (5.1)

Nếu một
, thì phương trình này là bằng cách thay thế, trong đó và là các biến mới, và - một số số không đổi được xác định từ hệ thống

Rút gọn thành một phương trình thuần nhất

Nếu một
, thì phương trình (5.1) có dạng

.

Giả định z= cây rìu+ qua, chúng ta đi đến một phương trình không chứa một biến độc lập.

Hãy xem xét các ví dụ.

ví dụ 1

Tích hợp phương trình

và tô đậm đường cong tích phân đi qua các điểm: a) (2; 2); b) (1; -1).

Dung dịch.

Chúng ta hãy đặt y= zx. sau đó dy= xdz+ zdx và

Hãy rút ngắn nó bằng và tập hợp các thành viên tại dx và dz:

Hãy tách các biến:

.

Tích hợp, chúng tôi nhận được;

hoặc
,
.

Thay thế ở đây z trên , chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình đã cho ở dạng (5.2)
hoặc

.

Họ vòng kết nối này
, có tâm nằm trên một đường thẳng y = x và tại điểm gốc là tiếp tuyến của đường thẳng y + x = 0. Thẳng nàyy = - x lần lượt, một nghiệm cụ thể của phương trình.

Bây giờ là chế độ tác vụ Cauchy:

A) giả sử trong tích phân tổng quát x=2, y=2, tìm thấy C = 2, vì vậy giải pháp mong muốn là
.

B) không có đường tròn (5.2) nào đi qua điểm (1; -1). Nhưng nửa dòng y = - x,
đi qua điểm và đưa ra giải pháp mong muốn.

Ví dụ 2 Giải phương trình:.

Dung dịch.

Phương trình là một trường hợp đặc biệt của phương trình (5.1).

Bản ngã
trong ví dụ này
, vì vậy chúng ta cần giải quyết hệ thống sau

Giải quyết, chúng tôi nhận được điều đó
. Thực hiện phép thay thế trong phương trình đã cho
, chúng ta thu được một phương trình thuần nhất. Tích hợp nó với một sự thay thế
, chúng ta tìm thấy
.

Quay lại các biến cũ x và y công thức
, chúng ta có .

§ 6. Phương trình thuần nhất suy rộng.

Phương trình M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 được gọi là đồng nhất tổng quát nếu có thể chọn một số như vậy k rằng vế trái của phương trình này trở thành một hàm thuần nhất ở một mức độ nào đó m tương đối x, y, dx và dy miễn là xđược coi là giá trị của phép đo đầu tiên, y – k phép đo thứ , dx và dy – không và (k-1) lần đo thứ. Ví dụ, đây sẽ là phương trình
. (6.1)

Có hiệu lực theo giả định được thực hiện về các phép đo

x, y, dx và dy các thành viên của phía bên trái
và dy sẽ có thứ nguyên tương ứng là -2, 2 k và k-một. Cân bằng chúng, chúng ta có được điều kiện là số mong muốn phải thỏa mãn k: -2 = 2k=k-một. Điều kiện này được thỏa mãn khi k= -1 (với như vậy k tất cả các số hạng bên trái của phương trình đang xét sẽ có thứ nguyên là -2). Do đó, phương trình (6.1) là thuần nhất tổng quát.

Phương trình thuần nhất tổng quát được rút gọn thành một phương trình với các biến có thể phân tách được bằng cách sử dụng phép thay thế
, ở đâu z là một chức năng mới chưa biết. Chúng ta hãy tích phân phương trình (6.1) theo phương pháp đã chỉ ra. Tại vì k= -1, sau đó
, sau đó chúng ta nhận được phương trình.

Tích hợp nó, chúng tôi thấy
, ở đâu
. Đây là nghiệm tổng quát của phương trình (6.1).

§ 7. Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất.

Phương trình tuyến tính bậc 1 là một phương trình tuyến tính đối với hàm mong muốn và đạo hàm của nó. Nó có vẻ như:

, (7.1)

ở đâu P(x) và Q(x) được cung cấp các chức năng liên tục của x. Nếu chức năng
, thì phương trình (7.1) có dạng:
(7.2)

và được gọi là một phương trình thuần nhất tuyến tính, nếu không
nó được gọi là một phương trình không thuần nhất tuyến tính.

Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (7.2) là một phương trình với các biến có thể phân tách:

(7.3)

Biểu thức (7.3) là nghiệm tổng quát của phương trình (7.2). Để tìm một nghiệm tổng quát của phương trình (7.1), trong đó hàm P(x) biểu thị cùng một hàm như trong phương trình (7.2), chúng ta áp dụng phương pháp được gọi là phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý và bao gồm như sau: chúng ta sẽ cố gắng chọn hàm C = C (x) sao cho nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tuyến tính (7.2) sẽ là nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất (7.1). Khi đó đối với đạo hàm của hàm (7.3), chúng ta nhận được:

.

Thay đạo hàm tìm được vào phương trình (7.1), ta sẽ có:

hoặc
.

Ở đâu
, đâu là một hằng số tùy ý. Kết quả là, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (7.1) sẽ là (7.4)

Số hạng đầu tiên trong công thức này đại diện cho nghiệm tổng quát (7.3) của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (7.2), và số hạng thứ hai trong công thức (7.4) là một nghiệm cụ thể của phương trình không thuần nhất tuyến tính (7.1) thu được từ tổng quát (7.4 ) với
. Chúng ta hãy rút ra kết luận quan trọng này dưới dạng một định lý.

Định lý. Nếu một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất được biết
, thì tất cả các giải pháp khác có dạng
, ở đâu
là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng một phương pháp khác, đôi khi được gọi là phương pháp Bernoulli, thường được sử dụng để giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc 1 (7.1). Chúng ta sẽ tìm một lời giải cho phương trình (7.1) ở dạng
. sau đó
. Chúng tôi thay thế đạo hàm tìm được vào phương trình ban đầu:
.

Ví dụ, chúng ta hãy kết hợp các số hạng thứ hai và thứ ba của biểu thức cuối cùng và lấy ra hàm u(x) cho dấu ngoặc:
(7.5)

Chúng tôi yêu cầu dấu ngoặc đơn biến mất:
.

Chúng tôi giải phương trình này bằng cách đặt một hằng số tùy ý C bằng 0:
. Với chức năng tìm thấy v(x) quay lại phương trình (7.5):
.

Giải quyết nó, chúng tôi nhận được:
.

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (7.1) có dạng:

§ 8. Phương trình Bernoulli.

Sự định nghĩa.

Phương trình vi phân dạng
, ở đâu
, được gọi là phương trình Bernoulli.

Giả sử rằng
, chúng tôi chia cả hai vế của phương trình Bernoulli cho . Kết quả là, chúng tôi nhận được:
(8.1)

Chúng tôi giới thiệu một chức năng mới
. sau đó
. Chúng tôi nhân phương trình (8.1) với
và chuyển nó vào hàm z(x) :
, I E. cho chức năng z(x) thu được một phương trình không thuần nhất tuyến tính bậc 1. Phương trình này được giải bằng các phương pháp đã thảo luận trong đoạn trước. Hãy để chúng tôi thay thế thành giải pháp chung của nó thay vì z(x) biểu hiện
, chúng tôi thu được tích phân tổng quát của phương trình Bernoulli, dễ dàng giải quyết được liên quan đến y. Tại
giải pháp được thêm vào y(x)=0 . Phương trình Bernoulli cũng có thể được giải mà không cần chuyển sang phương trình tuyến tính bằng cách thay thế
và áp dụng phương pháp Bernoulli, được thảo luận chi tiết trong § 7. Hãy xem xét ứng dụng của phương pháp này để giải phương trình Bernoulli bằng một ví dụ cụ thể.

Thí dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
(8.2)

Dung dịch.

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
, y(x)=0.

§ 9. Phương trình vi phân trong vi phân tổng.

Sự định nghĩa. Nếu trong phương trình M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 (9.1) phía bên trái là tổng vi phân của một số hàm U(x, y) , thì nó được gọi là một phương trình trong vi phân tổng. Phương trình này có thể được viết lại thành du(x, y)=0 , do đó, tích phân tổng quát của nó là u(x, y)= c.

Ví dụ, phương trình xdy+ ydx=0 là một phương trình trong tổng vi phân, vì nó có thể được viết lại dưới dạng d(xy)=0. Tích phân tổng quát sẽ là xy= c là một chức năng có thể phân biệt tùy ý. Chúng tôi phân biệt (9.3) đối với u
§ 10. Hệ số tích phân.

Nếu phương trình M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 không phải là một phương trình trong tổng vi phân và có một hàm µ = µ(x, y) , sao cho sau khi nhân cả hai vế của phương trình với nó, chúng ta thu được phương trình

µ (Mdx + Ndy) = 0 trong tổng số chênh lệch, tức là µ (Mdx + Ndy)du, sau đó là hàm µ(x, y) được gọi là hệ số tích phân của phương trình. Trong trường hợp khi phương trình đã là một phương trình trong tổng vi phân, chúng ta giả sử µ = 1.

Nếu một hệ số tích phân được tìm thấy µ , sau đó tích phân của phương trình này giảm xuống nhân cả hai phần của nó với µ và tìm tích phân tổng quát của phương trình kết quả trong vi phân tổng.

Nếu một µ là một chức năng có thể phân biệt liên tục của x và y, sau đó
.

Theo đó, yếu tố tích hợp µ thỏa mãn PDE bậc 1 sau:

(10.1).

Nếu biết trước rằng µ= µ(ω) , ở đâu ω là một chức năng đã cho từ x và y, sau đó phương trình (10.1) rút gọn thành một phương trình bình thường (và hơn nữa, tuyến tính) với một hàm chưa biết µ từ biến độc lập ω :

(10.2),

ở đâu
, tức là phân số chỉ là một hàm của ω .

Giải phương trình (10.2), ta tìm được hệ số tích phân

, Với = 1.

Đặc biệt, phương trình M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 có một yếu tố tích hợp chỉ phụ thuộc vào x(ω = x) hoặc chỉ từ y(ω = y) nếu các điều kiện sau được đáp ứng tương ứng:

,

,
.

phản đối 1 kiểm soát loại

gọi là phương trình vi phân thuần nhất bậc nhất(ODE).

Th1 Hãy để các điều kiện sau được thỏa mãn cho hàm:

1) liên tục lúc

Khi đó ODE (1) có một tích phân chung, được cho bởi công thức:

đâu là một số chất chống dẫn xuất của hàm Với là một hằng số tùy ý.

Nhận xét 1Đối với một số trường hợp, điều kiện được thỏa mãn thì trong quá trình giải ODE (1), các nghiệm của dạng có thể bị mất; những trường hợp như vậy cần được xử lý cẩn thận hơn và kiểm tra từng giải pháp riêng biệt.

Như vậy từ định lý Th1 Nên thuật toán chung để giải ODE (1):

1) Thực hiện thay thế:

2) Do đó, sẽ thu được một DE với các biến có thể phân tách, các biến này sẽ được tích hợp;

3) Quay lại các biến g cũ;

4) Kiểm tra các giá trị về sự tham gia của chúng vào giải pháp điều khiển từ xa ban đầu, theo đó điều kiện

5) Viết ra câu trả lời.

ví dụ 1 Giải DE (4).

Dung dịch: DE (4) là một phương trình vi phân thuần nhất, vì nó có dạng (1). Hãy thực hiện thay thế (3), điều này sẽ đưa phương trình (4) về dạng:

Phương trình (5) là tích phân tổng quát của DE (4).

Lưu ý rằng khi tách các biến và chia cho, các nghiệm có thể bị mất, nhưng nó không phải là nghiệm cho DE (4), dễ dàng xác minh bằng cách thay thế trực tiếp thành đẳng thức (4), vì giá trị này không được bao gồm trong miền định nghĩa của DE ban đầu.

Câu trả lời:

Ghi chú 2Đôi khi người ta có thể viết ODE dưới dạng sự khác biệt của các biến X và y. Nên chuyển từ ký hiệu DE này sang biểu thức thông qua đạo hàm và chỉ sau đó thực hiện thay thế (3).

Phương trình vi phân rút gọn thành phương trình thuần nhất.

def 2 Hàm được gọi là hàm thuần nhất bậc k trong khu vực của, mà sự bình đẳng sẽ được thực hiện:

Dưới đây là các dạng DE phổ biến nhất có thể thu gọn về dạng (1) sau nhiều phép biến đổi khác nhau.

1) chức năng ở đâu là đồng nhất, không độ, nghĩa là, đẳng thức sau là đúng: DE (6) có thể dễ dàng rút gọn về dạng (1) nếu chúng ta đặt, được tích hợp thêm bằng cách sử dụng phép thay thế (3).

2) (7), trong đó các chức năng là đồng nhất có cùng mức độ k . DE của biểu mẫu (7) cũng được tích hợp bằng cách sử dụng thay đổi (3).

Ví dụ 2 Giải DE (8).

Dung dịch: Hãy chứng tỏ rằng DE (8) là đồng nhất. Chúng tôi chia cho những gì có thể, vì nó không phải là một nghiệm của phương trình vi phân (8).

Hãy thực hiện thay thế (3), điều này sẽ đưa phương trình (9) về dạng:

Phương trình (10) là tích phân tổng quát của DE (8).

Lưu ý rằng khi tách các biến và chia cho, các nghiệm tương ứng với các giá trị của và có thể bị mất. Hãy kiểm tra các biểu thức này. Hãy thay thế chúng thành DE (8):

Câu trả lời:

Có một điều thú vị là khi giải ví dụ này, một hàm xuất hiện được gọi là "dấu hiệu" của số X(đọc " dấu hiệu x”), Được xác định bởi biểu thức:

Nhận xét 3 Không nhất thiết phải đưa DE (6) hoặc (7) về dạng (1), nếu thấy DE là đồng nhất thì có thể thay ngay.

3) DE của dạng (11) được tích hợp dưới dạng ODE nếu, trong khi việc thay thế được thực hiện ban đầu:

(12), đâu là nghiệm của hệ: (13), rồi dùng phép thay thế (3) cho hàm. Sau khi lấy được tích phân tổng quát, hãy quay lại các biến X và tại.

Khi đó, giả sử trong phương trình (11), chúng ta thu được DE với các biến có thể phân tách được.

Ví dụ 3 Giải bài toán Cauchy (14).

Dung dịch: Hãy chứng minh rằng DE (14) được rút gọn thành DE đồng nhất và được tích hợp theo sơ đồ trên:

Hãy để chúng tôi giải hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất (15) bằng phương pháp Cramer:

Chúng tôi thực hiện thay đổi các biến và tích hợp phương trình kết quả:

(16) - Tích phân tổng quát của DE (14). Khi chia biến, các nghiệm có thể bị mất khi chia cho một biểu thức, điều này có thể nhận được một cách rõ ràng sau khi giải một phương trình bậc hai. Tuy nhiên, chúng được tính đến trong tích phân chung (16) tại

Hãy để chúng tôi tìm lời giải cho vấn đề Cauchy: chúng tôi thay các giá trị của và vào tích phân tổng quát (16) và tìm Với.

Do đó, tích phân từng phần sẽ được cho bởi công thức:

Câu trả lời:

4) Có thể dẫn một số DE về dạng thuần nhất cho một hàm mới, chưa biết, nếu chúng ta áp dụng một dạng thay thế:

Đồng thời, số mđược chọn với điều kiện là phương trình kết quả, nếu có thể, trở nên thuần nhất ở một mức độ nào đó. Tuy nhiên, nếu điều này không thể được thực hiện, thì DE được coi là không thể được giảm xuống một đồng nhất theo cách này.

Ví dụ 4 Giải quyết DU. (mười tám)

Dung dịch: Hãy để chúng tôi chứng minh rằng DE (18) được giảm thành DE đồng nhất bằng cách sử dụng thay thế (17) và sau đó được tích hợp bằng cách sử dụng thay thế (3):

Hãy tìm Với:

Do đó, một nghiệm cụ thể của DE (24) có dạng

Phương trình vi phân bậc nhất với các biến phân tách được.

Sự định nghĩa. Phương trình vi phân với các biến có thể phân tách là phương trình có dạng (3.1) hoặc phương trình có dạng (3.2)

Để tách các biến trong phương trình (3.1), tức là Rút gọn phương trình này thành phương trình được gọi là phương trình với các biến được phân tách, thực hiện các hành động sau: ;

Bây giờ chúng ta cần giải phương trình g (y) = 0. Nếu nó có một giải pháp thực sự y = a, sau đó y = a cũng sẽ là một nghiệm của phương trình (3.1).

Phương trình (3.2) được rút gọn thành một phương trình với các biến được phân tách bằng cách chia cho tích:

, cho phép chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình (3.2): . (3.3)

Các đường cong tích phân (3.3) sẽ được bổ sung bởi các giải pháp nếu các giải pháp như vậy tồn tại.

Phương trình vi phân bậc 1 thuần nhất.

Định nghĩa 1. Một phương trình bậc 1 được gọi là thuần nhất nếu quan hệ , được gọi là điều kiện đồng nhất của một hàm hai biến có thứ nguyên bằng không.

ví dụ 1 Chứng tỏ rằng hàm là thuần nhất không thứ nguyên.

Dung dịch. ,

Q.E.D.

Định lý. Bất kỳ hàm nào là thuần nhất và ngược lại, bất kỳ hàm thuần nhất nào có thứ nguyên không bị giảm về dạng.

Bằng chứng. Khẳng định đầu tiên của định lý là hiển nhiên, vì . Hãy để chúng tôi chứng minh khẳng định thứ hai. Để, sau đó cho một hàm thuần nhất , đã được chứng minh.

Định nghĩa 2. Phương trình (4.1) trong đó M và N là các hàm thuần nhất có cùng mức độ, tức là có thuộc tính cho tất cả, được gọi là đồng nhất. Rõ ràng, phương trình này luôn có thể được rút gọn về dạng (4.2), mặc dù điều này có thể không được thực hiện để giải nó. Một phương trình thuần nhất được rút gọn thành một phương trình có các biến có thể phân tách được bằng cách thay thế hàm mong muốn y theo công thức y = zx,ở đâu z (x) là chức năng mong muốn mới. Sau khi thực hiện thay thế này trong phương trình (4.2), chúng tôi nhận được: hoặc hoặc.

Tích phân, chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình đối với hàm z (x) , sau khi thay thế nhiều lần sẽ cho tích phân tổng quát của phương trình ban đầu. Ngoài ra, nếu là nghiệm của phương trình, thì các hàm là nghiệm của một phương trình thuần nhất đã cho. Nếu, thì phương trình (4.2) có dạng

Và nó trở thành một phương trình với các biến có thể phân tách được. Các giải pháp của nó là nửa dòng:.

Bình luận.Đôi khi nó được khuyến khích thay vì thay thế ở trên để sử dụng thay thế x = zy.

Phương trình thuần nhất suy rộng.

Phương trình M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0được gọi là đồng nhất tổng quát nếu có thể chọn một số như vậy k rằng vế trái của phương trình này trở thành một hàm thuần nhất ở một mức độ nào đó m tương đối x, y, dx và dy miễn là xđược coi là giá trị của phép đo đầu tiên, y – k- phép đo thứ , dx và dy- không và (k-1) lần đo thứ. Ví dụ, đây sẽ là phương trình . (6.1) Thật vậy, theo giả định được đưa ra về các phép đo x, y, dx và dy các thành viên của phía bên trái và dy sẽ có thứ nguyên tương ứng là -2, 2 k và k-một. Cân bằng chúng, chúng ta có được điều kiện là số mong muốn phải thỏa mãn k: -2 = 2k=k-một. Điều kiện này được thỏa mãn khi k= -1 (với như vậy k tất cả các số hạng bên trái của phương trình đang xét sẽ có thứ nguyên là -2). Do đó, phương trình (6.1) là thuần nhất tổng quát.

Phương trình M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 được gọi là đồng nhất tổng quát nếu có thể chọn một số như vậy k rằng vế trái của phương trình này trở thành một hàm thuần nhất ở một mức độ nào đó m tương đối x, y, dx và dy miễn là x được coi là giá trị của phép đo đầu tiên, y – k‑ phép đo thứ , dx và dy – không và (k-1) lần đo thứ. Ví dụ, đây sẽ là phương trình. (6.1)

Có hiệu lực theo giả định được thực hiện về các phép đo

x, y, dx và dy các thành viên của phía bên trái
và dy sẽ có thứ nguyên tương ứng là -2, 2 k và k-một. Cân bằng chúng, chúng ta có được điều kiện là số mong muốn phải thỏa mãn k: -2 = 2k = k-một. Điều kiện này được thỏa mãn khi k = -1 (với như vậy k tất cả các số hạng bên trái của phương trình đang xét sẽ có thứ nguyên là -2). Do đó, phương trình (6.1) là thuần nhất tổng quát.

Phương trình thuần nhất tổng quát được rút gọn thành một phương trình với các biến có thể phân tách được bằng cách sử dụng phép thay thế
, ở đâu z là một chức năng mới chưa biết. Chúng ta hãy tích phân phương trình (6.1) theo phương pháp đã chỉ ra. Tại vì k = -1, sau đó
, sau đó chúng ta nhận được phương trình.

Tích hợp nó, chúng tôi thấy
, ở đâu
. Đây là nghiệm tổng quát của phương trình (6.1).

§ 7. Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất.

Phương trình tuyến tính bậc 1 là một phương trình tuyến tính đối với hàm mong muốn và đạo hàm của nó. Nó có vẻ như:

, (7.1)

ở đâu P(x) và Q(x) được cung cấp các chức năng liên tục của x. Nếu chức năng
, thì phương trình (7.1) có dạng:
(7.2)

và được gọi là một phương trình thuần nhất tuyến tính, nếu không
nó được gọi là một phương trình không thuần nhất tuyến tính.

Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (7.2) là một phương trình với các biến có thể phân tách:

(7.3)

Biểu thức (7.3) là nghiệm tổng quát của phương trình (7.2). Để tìm một nghiệm tổng quát của phương trình (7.1), trong đó hàm P(x) biểu thị cùng một hàm như trong phương trình (7.2), chúng ta áp dụng phương pháp được gọi là phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý và bao gồm như sau: chúng ta sẽ cố gắng chọn hàm C = C (x) sao cho nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tuyến tính (7.2) sẽ là nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất (7.1). Khi đó đối với đạo hàm của hàm (7.3), chúng ta nhận được:

.

Thay đạo hàm tìm được vào phương trình (7.1), ta sẽ có:

hoặc
.

Ở đâu
, ở đâu là một hằng số tùy ý. Kết quả là, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (7.1) sẽ là (7.4)

Số hạng đầu tiên trong công thức này đại diện cho nghiệm tổng quát (7.3) của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (7.2), và số hạng thứ hai trong công thức (7.4) là một nghiệm cụ thể của phương trình không thuần nhất tuyến tính (7.1) thu được từ tổng quát (7.4 ) với
. Chúng ta hãy rút ra kết luận quan trọng này dưới dạng một định lý.

Định lý. Nếu một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất được biết
, thì tất cả các giải pháp khác có dạng
, ở đâu
là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng một phương pháp khác, đôi khi được gọi là phương pháp Bernoulli, thường được sử dụng để giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc 1 (7.1). Chúng ta sẽ tìm một lời giải cho phương trình (7.1) ở dạng
. sau đó
. Chúng tôi thay thế đạo hàm tìm được vào phương trình ban đầu:
.

Ví dụ, chúng ta hãy kết hợp các số hạng thứ hai và thứ ba của biểu thức cuối cùng và lấy ra hàm u(x) cho dấu ngoặc:
(7.5)

Chúng tôi yêu cầu dấu ngoặc đơn biến mất:
.

Chúng tôi giải phương trình này bằng cách đặt một hằng số tùy ý C bằng 0:
. Với chức năng tìm thấy v(x) quay lại phương trình (7.5):
.

Giải quyết nó, chúng tôi nhận được:
.

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (7.1) có dạng.