Hàm số nghịch biến 3. Hàm số nghịch biến, định nghĩa cơ bản, tính chất, đồ thị

Tác phẩm đã hoàn thành

NHỮNG CÔNG VIỆC NÀY

Phần lớn đã ở phía sau và bây giờ bạn đã tốt nghiệp, tất nhiên, nếu bạn viết luận án đúng hạn. Nhưng cuộc sống là thế mà đến bây giờ bạn mới thấy rõ rằng, không còn là sinh viên nữa là bạn sẽ mất đi tất cả những niềm vui thời sinh viên, nhiều bạn đã không cố gắng, bỏ hết mọi thứ để dành cho sau này. Và bây giờ, thay vì bắt kịp, bạn đang mày mò với luận án của mình? Có một cách tuyệt vời: tải luận án bạn cần từ trang web của chúng tôi - và ngay lập tức bạn sẽ có rất nhiều thời gian rảnh!
Các công trình văn bằng đã được bảo vệ thành công tại các trường Đại học hàng đầu của Cộng hòa Kazakhstan.
Chi phí làm việc từ 20.000 tenge

CÔNG TRÌNH KHÓA HỌC

Đồ án môn học là công việc thực tế nghiêm túc đầu tiên. Việc chuẩn bị cho việc phát triển các đồ án tốt nghiệp bắt đầu với việc viết một bài báo học kỳ. Nếu một sinh viên học cách trình bày chính xác nội dung của chủ đề trong một dự án khóa học và vẽ nó một cách chính xác, thì trong tương lai anh ta sẽ không gặp vấn đề gì với việc viết báo cáo, biên soạn luận văn hoặc thực hiện các nhiệm vụ thực tế khác. Để hỗ trợ sinh viên viết loại bài tập sinh viên này và để làm rõ các câu hỏi nảy sinh trong quá trình chuẩn bị của nó, trên thực tế, phần thông tin này đã được tạo ra.
Chi phí làm việc từ 2 500 tenge

NHỮNG ĐIỀU CỦA THẦY CÔ

Hiện nay, ở các cơ sở giáo dục đại học của Kazakhstan và các nước SNG, giai đoạn đào tạo chuyên nghiệp cao hơn, theo sau bằng cử nhân - thạc sĩ, là rất phổ biến. Trong ngành thẩm quyền, sinh viên học tập với mục đích lấy bằng thạc sĩ, được công nhận ở hầu hết các quốc gia trên thế giới hơn bằng cử nhân, và cũng được các nhà tuyển dụng nước ngoài công nhận. Kết quả của quá trình đào tạo trong ngành thẩm phán là việc bảo vệ luận văn thạc sĩ.
Chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn tài liệu phân tích và văn bản cập nhật, giá bao gồm 2 bài báo khoa học và một bản tóm tắt.
Chi phí làm việc từ 35 000 tenge

BÁO CÁO THỰC TẬP

Sau khi hoàn thành bất kỳ loại hình thực hành nào của sinh viên (giáo dục, công nghiệp, đại học), một bản báo cáo là bắt buộc. Tài liệu này sẽ là xác nhận về quá trình làm việc thực tế của sinh viên và là cơ sở để hình thành đánh giá cho quá trình thực hành. Thông thường, để lập một báo cáo thực tập, bạn cần thu thập và phân tích thông tin về doanh nghiệp, xem xét cơ cấu và lịch trình làm việc của tổ chức nơi thực tập diễn ra, lập kế hoạch và mô tả các hoạt động thực tế của bạn.
Chúng tôi sẽ giúp bạn viết báo cáo thực tập, có tính đến các chi tiết cụ thể về hoạt động của một doanh nghiệp cụ thể.

Mục tiêu bài học:

Giáo dục:

hình thành kiến thức về chủ đề mới phù hợp với chất liệu chương trình;
để nghiên cứu tính chất nghịch biến của một hàm và dạy cách tìm một hàm nghịch biến với một hàm đã cho;

Đang phát triển:

phát triển kỹ năng tự chủ, phát biểu chủ đề;
nắm vững khái niệm hàm ngược và tìm hiểu các phương pháp tìm hàm ngược;

Giáo dục: hình thành năng lực giao tiếp.

Thiết bị: máy vi tính, máy chiếu, màn chiếu, bảng tương tác SMART Board, tài liệu phát tay (làm việc độc lập) làm việc nhóm.

Trong các buổi học.

1. Thời điểm tổ chức.

Mục tiêu – chuẩn bị cho học sinh làm việc trong lớp học:

Định nghĩa vắng mặt,

Thái độ làm việc, tổ chức của học sinh chú ý;

Thông điệp về chủ đề và mục đích của bài học.

2. Cập nhật những kiến thức cơ bản của học sinh. cuộc thăm dò trước.

Mục tiêu - để thiết lập tính đúng đắn và nhận thức của tài liệu lý thuyết được nghiên cứu, sự lặp lại của tài liệu được bao phủ.<Приложение 1 >

Đồ thị của hàm số được hiển thị trên bảng tương tác dành cho học sinh. Giáo viên nêu nhiệm vụ - xét đồ thị của hàm số và liệt kê các tính chất đã học của hàm số. Học sinh liệt kê các thuộc tính của một hàm theo thiết kế nghiên cứu. Giáo viên ở bên phải đồ thị của hàm số, ghi các thuộc tính được đặt tên bằng bút dạ trên bảng tương tác.

Thuộc tính hàm:

Kết thúc bài học, giáo viên thông báo rằng ở tiết học hôm nay các em sẽ được làm quen với một tính chất nữa của hàm số - tính chất nghịch biến. Để việc nghiên cứu tài liệu mới có ý nghĩa, giáo viên mời các em làm quen với các câu hỏi chính mà học sinh phải trả lời ở cuối bài. Các câu hỏi được viết trên một bảng thông thường và mỗi học sinh có một tờ rơi (phát trước bài học)

Một chức năng thuận nghịch là gì?
Có phải mọi chức năng đều có thể đảo ngược?
Hàm số đã cho là gì?
Miền định nghĩa và tập giá trị của một hàm và hàm nghịch biến của nó có quan hệ như thế nào?
Nếu hàm được cho dưới dạng giải tích, làm thế nào để bạn xác định hàm nghịch đảo bằng công thức?
Nếu một hàm được cho dưới dạng đồ thị, làm thế nào để vẽ hàm ngược của nó?

3. Thuyết minh về vật liệu mới.

Mục tiêu - Hình thành kiến thức về một chủ đề mới phù hợp với nội dung chương trình; để nghiên cứu tính chất nghịch biến của một hàm và dạy cách tìm một hàm nghịch biến với một hàm đã cho; phát triển chủ đề.

Giáo viên tiến hành trình bày tài liệu phù hợp với chất liệu của đoạn văn. Trên bảng tương tác, giáo viên so sánh đồ thị của hai hàm số có miền xác định và tập giá trị giống nhau, nhưng một hàm số là đơn điệu và hàm số kia không, từ đó đưa học sinh về khái niệm hàm số nghịch biến. .

Sau đó, giáo viên hình thành định nghĩa hàm số nghịch biến và chứng minh định lý hàm số nghịch biến bằng cách sử dụng đồ thị hàm số đơn điệu trên bảng tương tác.

Định nghĩa 1: Hàm số y = f (x), x X được gọi là có thể đảo ngược, nếu nó chỉ nhận bất kỳ giá trị nào của nó tại một điểm của tập X.

Định lý: Nếu hàm số y = f (x) đơn điệu trên tập X thì nó khả nghịch.

Bằng chứng:

Hãy để chức năng y = f (x) tăng lên Xđể nó đi x 1 ≠ x 2- hai điểm của tập hợp X.
Để chắc chắn, hãy x 1< x 2.
Sau đó từ những gì x 1< x 2 theo sau đó f (x 1) < f (x 2).
Do đó, các giá trị khác nhau của đối số tương ứng với các giá trị khác nhau của hàm, tức là chức năng có thể đảo ngược.

(Trong quá trình chứng minh định lý, giáo viên giải tất cả các lời giải cần thiết trên hình vẽ bằng bút dạ)

Trước khi xây dựng định nghĩa hàm số nghịch biến, giáo viên yêu cầu học sinh xác định xem hàm số nào trong các hàm số khả nghịch? Bảng tương tác hiển thị đồ thị của các hàm và một số hàm được xác định bằng phân tích được viết:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Giáo viên giới thiệu định nghĩa hàm số nghịch biến.

Định nghĩa 2: Cho một hàm khả nghịch y = f (x) xác định trên bộ X và E (f) = Y. Hãy ghép từng y từ Y thì ý nghĩa duy nhất X, tại đó f (x) = y. Sau đó, chúng tôi nhận được một hàm được định nghĩa trên Y, một X là phạm vi của hàm

Chức năng này được ký hiệu x = f -1 (y) và được gọi là nghịch đảo của hàm y = f (x).

Mời học sinh rút ra kết luận về mối quan hệ giữa miền xác định và tập giá trị của hàm số nghịch biến.

Để xem xét câu hỏi làm thế nào để tìm hàm ngược của một hàm số đã cho, giáo viên cho hai học sinh tham gia. Hôm trước, các em nhận được nhiệm vụ từ cô giáo là phân tích độc lập các phương pháp phân tích và đồ thị để tìm hàm số đã cho nghịch biến. Giáo viên đóng vai trò là nhà tư vấn trong việc chuẩn bị bài cho học sinh.

Tin nhắn của học sinh đầu tiên.

Lưu ý: tính đơn điệu của một hàm là hợp lýđiều kiện để tồn tại một hàm ngược. Nhưng nó không phảiĐiều kiện cần thiết.

Học sinh đưa ra các ví dụ về các tình huống khác nhau khi hàm số không đơn điệu nhưng khả nghịch, khi hàm số không đơn điệu và không khả nghịch, khi hàm số đơn điệu và khả nghịch

Sau đó giáo viên giới thiệu cho học sinh phương pháp tìm hàm số nghịch biến đã cho qua giải tích.

Tìm kiếm thuật toán

Đảm bảo rằng hàm là đơn điệu.
Biểu thị x theo y.
Đổi tên các biến. Thay vì x \ u003d f -1 (y), họ viết y \ u003d f -1 (x)

Sau đó giải hai ví dụ để tìm hàm số nghịch biến của giá trị đã cho.

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng có một hàm số nghịch biến đối với hàm số y = 5x-3 và tìm biểu thức phân tích của nó.

Dung dịch. Hàm tuyến tính y = 5x-3 xác định trên R, tăng trên R và khoảng của nó là R. Do đó, hàm nghịch biến tồn tại trên R. Để tìm biểu thức phân tích của nó, ta giải phương trình y = 5x-3 liên quan đến x; chúng ta nhận được Đây là hàm ngược mong muốn. Nó được xác định và tăng R.

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng có một hàm số nghịch biến đối với hàm số y = x 2, x≤0 và tìm biểu thức phân tích của nó.

Hàm là liên tục, đơn điệu trong miền định nghĩa của nó, do đó, nó là khả nghịch. Sau khi phân tích các miền xác định và tập giá trị của hàm, một kết luận tương ứng được đưa ra về biểu thức phân tích cho hàm nghịch biến.

Học sinh thứ hai thuyết trình về đồ họa cách tìm hàm ngược. Trong quá trình giải thích của mình, học sinh sử dụng các tính năng của bảng tương tác.

Để đồ thị của hàm số y = f -1 (x) nghịch biến thành hàm số y = f (x), cần biến đổi đối xứng đồ thị của hàm số y = f (x) đối xứng với đường thẳng y = x.

Trong phần giải thích trên bảng tương tác, tác vụ sau được thực hiện:

Dựng đồ thị của hàm số và đồ thị của hàm số nghịch biến của nó trong cùng một hệ trục tọa độ. Viết biểu thức phân tích cho hàm số nghịch biến.

4. Sự cố định chính của vật liệu mới.

Mục tiêu - để thiết lập tính đúng đắn và nhận thức về sự hiểu biết của tài liệu được nghiên cứu, để xác định những lỗ hổng trong hiểu biết cơ bản về tài liệu, để sửa chữa chúng.

Học sinh được chia thành từng cặp. Họ được phát các trang tính với các nhiệm vụ mà họ làm việc theo cặp. Thời gian hoàn thành công việc có hạn (5-7 phút). Một cặp học sinh làm việc trên máy tính, máy chiếu bị tắt trong thời gian này và các em còn lại không thể nhìn thấy học sinh làm việc trên máy tính như thế nào.

Vào cuối thời gian (giả định rằng đa số học sinh đã hoàn thành công việc), bảng tương tác (máy chiếu bật trở lại) hiển thị công việc của học sinh, nơi nó được làm rõ trong bài kiểm tra rằng nhiệm vụ đã hoàn thành. cặp. Nếu cần, giáo viên tiến hành sửa chữa, giải thích.

Làm việc độc lập theo cặp<PHỤ LỤC 2 >

5. Kết quả của bài học. Về những câu hỏi đã được đặt ra trước bài giảng. Công bố điểm cho tiết dạy.

Bài tập về nhà §10. №№ 10,6 (а, c) 10,8-10,9 (b) 10,12 (b)

Đại số và sự khởi đầu của phân tích. Lớp 10 Trong 2 phần dành cho các cơ sở giáo dục (cấp độ hồ sơ) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova và những người khác; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Chúng ta đã gặp một vấn đề khi cho một hàm f và một giá trị cho trước của đối số của nó, cần phải tính giá trị của hàm tại thời điểm này. Nhưng đôi khi người ta phải đối mặt với vấn đề nghịch đảo: tìm, cho trước hàm f đã biết và giá trị y nhất định của nó, giá trị của đối số trong đó hàm nhận giá trị y cho trước.

Một hàm nhận từng giá trị của nó tại một điểm duy nhất trong miền định nghĩa của nó được gọi là hàm khả nghịch. Ví dụ, một hàm tuyến tính sẽ là chức năng đảo ngược. Một hàm bậc hai hoặc một hàm sin sẽ không phải là những hàm khả nghịch. Vì hàm có thể nhận cùng một giá trị với các đối số khác nhau.

Chức năng trái ngược

Giả sử rằng f là một hàm khả nghịch tùy ý. Mỗi số từ phạm vi y0 của nó chỉ tương ứng với một số từ miền x0, sao cho f (x0) = y0.

Nếu bây giờ chúng ta gán một giá trị y0 cho mỗi giá trị của x0, thì chúng ta sẽ nhận được một hàm mới. Ví dụ, đối với một hàm tuyến tính f (x) = k * x + b, hàm g (x) = (x - b) / k sẽ là nghịch biến.

Nếu một số chức năng gở mọi điểm X khoảng của hàm khả nghịch f nhận giá trị y sao cho f (y) = x, khi đó ta nói rằng hàm g- có một hàm ngược với f.

Nếu ta có đồ thị của hàm số f nghịch biến nào đó thì để vẽ đồ thị của hàm số nghịch biến ta có thể sử dụng phát biểu sau: Đồ thị của hàm số f và hàm số g nghịch biến với nó sẽ đối xứng với đường thẳng cho bởi phương trình y = x.

Nếu hàm g là hàm nghịch biến của hàm f thì hàm g sẽ là hàm nghịch biến. Và hàm f sẽ nghịch biến với hàm g. Người ta thường cho rằng hai hàm f và g luôn nghịch biến trên nhau.

Hình sau là đồ thị của hàm số f và g nghịch biến trên nhau.

Ta suy ra định lý sau: nếu hàm số f tăng (hoặc giảm) trên khoảng A nào đó thì nó nghịch biến. Hàm g nghịch biến với a, được xác định trong khoảng của hàm f, cũng là một hàm tăng (hoặc giảm tương ứng). Định lý này được gọi là định lý hàm số nghịch đảo.

bảng điểm

1 Hàm số nghịch biến Hai hàm số f và g được gọi là hàm số nghịch biến nếu công thức y = f (x) và x = g (y) biểu thị mối quan hệ giống nhau giữa các biến số x và y, tức là nếu đẳng thức y = f (x) là đúng nếu và chỉ khi đẳng thức x = g (y) là đúng: y = f (x) x = g (y) Nếu hai hàm f và g đồng biến thì g được gọi là hàm ngược đối với f và ngược lại, f là hàm ngược đối với g. Ví dụ, y = 10 x và x = lgy là các hàm nghịch biến. Điều kiện để tồn tại một hàm số nghịch biến Hàm f có một nghịch biến nếu từ quan hệ y = f (x) biến x có thể được biểu diễn duy nhất theo y. Có những hàm không thể biểu diễn duy nhất đối số thông qua giá trị đã cho của hàm. Ví dụ: 1. y = x. Đối với một số dương y đã cho, có hai giá trị của đối số x sao cho x = y. Ví dụ: nếu y \ u003d 2, thì x \ u003d 2 hoặc x \ u003d - 2. Do đó, không thể biểu diễn x duy nhất thông qua y. Do đó, hàm này không có nghịch biến lẫn nhau. 2. y = x 2. x =, x = - 3. y = sinx. Với một giá trị cho trước của y (y 1), có vô hạn giá trị x sao cho y = sinx. Hàm số y = f (x) nghịch biến nếu bất kỳ đường thẳng y = y 0 nào cắt đồ thị của hàm số y = f (x) tại không quá một điểm (nó có thể hoàn toàn không cắt đồ thị nếu y 0 không thuộc khoảng của hàm số f). Điều kiện này có thể được xây dựng theo cách khác: phương trình f (x) = y 0 với mỗi y 0 có không quá một nghiệm. Điều kiện hàm có nghịch biến chắc chắn được thỏa mãn nếu hàm tăng hoặc giảm nghiêm ngặt. Nếu f đang tăng một cách nghiêm ngặt, thì đối với hai giá trị khác nhau của đối số, nó sẽ nhận các giá trị khác nhau, vì giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm. Do đó, phương trình f (x) = y đối với một hàm số đơn điệu có nhiều nhất một nghiệm. Hàm mũ y \ u003d a x hoàn toàn là hàm đơn nguyên, vì vậy nó có hàm logarit nghịch đảo. Nhiều chức năng không có nghịch đảo. Nếu đối với b nào đó phương trình f (x) = b có nhiều hơn một nghiệm thì hàm số y = f (x) không có nghịch biến. Trên đồ thị, điều này có nghĩa là đường thẳng y = b cắt đồ thị của hàm số tại nhiều hơn một điểm. Ví dụ: y \ u003d x 2; y = sinx; y = tgx.

2 Sự mơ hồ của nghiệm của phương trình f (x) = b có thể được giải quyết nếu miền xác định của hàm f được giảm xuống sao cho phạm vi giá trị của nó không thay đổi, nhưng nhận từng giá trị của nó Một lần. Ví dụ, y = x 2, x 0; y = sinx ,; y = tgx,. Quy tắc chung để tìm hàm ngược đối với một hàm: 1. giải phương trình cho x, ta tìm được; 2. Thay đổi ký hiệu của biến x thành y và y thành x, chúng ta nhận được hàm số nghịch biến với giá trị đã cho. Tính chất của hàm số nghịch biến Đồng nhất Cho f và g là các hàm số nghịch biến. Điều này có nghĩa là các hàm số y = f (x) và x = g (y) là tương đương: f (g (y)) = y và g (f (x)) = x. Ví dụ, 1. Cho f là một hàm số mũ và g là một hàm lôgarit. Chúng tôi nhận được: i. 2. Các hàm y \ u003d x 2, x 0 và y \ u003d luôn nghịch biến. Ta có hai đồng nhất: và đối với x 0. Miền xác định Cho f và g là các hàm nghịch biến. Miền của hàm f trùng với miền của hàm g và ngược lại miền của hàm f trùng với miền của hàm g. Thí dụ. Miền của hàm mũ là toàn bộ trục số R và miền của nó là tập hợp tất cả các số dương. Hàm logarit có ngược lại: miền xác định là tập hợp tất cả các số dương và miền giá trị là toàn bộ tập R. Tính đơn điệu Nếu một trong các hàm số đồng biến tăng thì hàm kia tăng dần. . Bằng chứng. Gọi x 1 và x 2 là hai số nằm trong miền của hàm g và x 1

3 Đồ thị của hàm số nghịch biến Định lý. Cho f và g là các hàm nghịch biến. Đồ thị của các hàm số y = f (x) và x = g (y) đối xứng với nhau qua tia phân giác của góc Tuyn. Bằng chứng. Theo định nghĩa của hàm số nghịch biến, các công thức y = f (x) và x = g (y) thể hiện sự phụ thuộc giống nhau giữa các biến x và y, có nghĩa là sự phụ thuộc này được mô tả bởi cùng một đồ thị của một số đường cong C. Đường cong C là đồ thị hàm số y = f (x). Lấy một điểm tùy ý P (a; b) C. Điều này có nghĩa là b = f (a) và đồng thời a = g (b). Ta dựng điểm Q đối xứng với điểm P qua tia phân giác của góc như thế nào. Điểm Q sẽ có tọa độ (b; a). Vì a = g (b) nên điểm Q thuộc đồ thị của hàm số y = g (x): vậy với x = b thì giá trị của y = a bằng g (x). Do đó, tất cả các điểm đối xứng với các điểm của đường cong C so với đường thẳng xác định đều nằm trên đồ thị của hàm số y \ u003d g (x). Ví dụ về các hàm đồ họa nghịch đảo lẫn nhau: y = e x và y = lnx; y = x 2 (x 0) và y =; y = 2x4 và y = + 2.

4 Đạo hàm của một hàm ngược Cho f và g là các hàm nghịch biến. Đồ thị của các hàm số y = f (x) và x = g (y) đối xứng với nhau qua tia phân giác của góc Tuyn. Hãy lấy một điểm x = a và tính giá trị của một trong các hàm tại điểm này: f (a) = b. Khi đó theo định nghĩa của hàm ngược g (b) = a. Các điểm (a; f (a)) = (a; b) và (b; g (b)) = (b; a) đối xứng với đường thẳng l. Vì các đường cong là đối xứng nên các tiếp tuyến của chúng cũng đối xứng với đường thẳng l. Từ phép đối xứng, góc của một trong các đường thẳng với trục x bằng góc của đường thẳng kia với trục y. Nếu đường thẳng tạo với trục x một góc α thì hệ số góc của nó bằng k 1 = tgα; khi đó đường thứ hai có hệ số góc k 2 = tg (α) = ctgα =. Do đó, hệ số góc của các đường đối xứng với đường l là nghịch đảo lẫn nhau, tức là k 2 =, hoặc k 1 k 2 = 1. Chuyển sang đạo hàm và xét đến hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp xúc, ta kết luận: Các giá trị của đạo hàm của các hàm số nghịch biến tại các điểm tương ứng là nghịch biến, tức là ví dụ. 1. Chứng minh rằng hàm số f (x) = x 3 khả nghịch. Dung dịch. y = f (x) = x 3. Hàm số nghịch biến sẽ là hàm số y = g (x) =. Hãy tìm đạo hàm của hàm g:. Những thứ kia. =. Nhiệm vụ 1. Chứng minh rằng hàm số đã cho bởi công thức là khả nghịch 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 Ví dụ 2. Tìm hàm số nghịch biến trên hàm số y = 2x + 1. Dung dịch. Hàm y \ u003d 2x + 1 đang tăng, do đó, nó có nghịch đảo. Ta biểu diễn x qua y: ta được .. Chuyển sang ký hiệu được chấp nhận chung, Trả lời: Nhiệm vụ 2. Tìm các hàm ngược cho các hàm này 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Chương 9 Độ Một độ với một số mũ nguyên. 0 = 0; 0 =; 0 = 0.> 0> 0; >> ..>. Nếu chẵn thì ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Ví dụ, () => = = (), vì vậy

Nội dung chúng ta sẽ học: Bài học về chủ đề: Khảo sát một hàm số đơn điệu. Chức năng giảm dần và tăng dần. Liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. Hai định lý đơn điệu quan trọng. Các ví dụ. Các bạn, chúng tôi

6 Các vấn đề dẫn đến khái niệm đạo hàm Cho một chất điểm chuyển động thẳng theo một phương theo định luật s f (t), trong đó t là thời gian và s là đường đi của chất điểm trong thời gian t Ghi nhận một thời điểm nhất định

1 SA Lavrenchenko Bài giảng 12 Hàm ngược 1 Khái niệm về hàm ngược Định nghĩa 11 Một hàm được gọi là một đối một nếu nó không nhận bất kỳ giá trị nào nhiều hơn một lần, giá trị này xuất phát từ

Bài giảng 5 Đạo hàm của các hàm cơ bản cơ bản Tóm tắt: Các giải thích vật lý và hình học về đạo hàm của một hàm một biến được đưa ra.

Chương 1. Giới hạn và tính liên tục 1. Tập hợp số 1 0. Số thực Từ môn toán học ở trường, bạn biết N số nguyên tự nhiên Z số hữu tỉ Q và số thực R Các số tự nhiên và số nguyên

Hàm số và dãy số DV Lytkina NPP, học kỳ I DV Lytkina (SibSUTI) Giải tích toán học NPP, học kỳ I 1/35 Nội dung 1 Hàm số Khái niệm về hàm Hàm số.

Bài giảng 19 KHOẢNG CÁCH VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ. ĐỊNH NGHĨA CỦA KHOẢNG CÁCH. Để hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng nào đó. Với mỗi giá trị của đối số x trong khoảng này, hàm y = f (x)

Chương 5 Khảo sát hàm bằng công thức Taylor Cực trị cục bộ của một định nghĩa hàm

Bộ môn Toán và Tin học Các yếu tố của Toán học Đại học Phức hợp giáo dục và phương pháp luận dành cho học sinh trung cấp nghề sử dụng công nghệ từ xa Mô đun Phép tính vi phân Biên soạn bởi:

Bộ môn Toán và Tin học Giải tích Toán học Phức hợp giáo dục và phương pháp cho sinh viên HPE học tập với việc sử dụng công nghệ khoảng cách Mô đun 4 Các ứng dụng của đạo hàm Biên soạn: PGS.TS.

Nhiệm vụ quyết định độc lập. Tìm miền của hàm số 6x. Tìm tiếp tuyến của góc hợp với trục x của tiếp tuyến đi qua điểm M (;) của đồ thị hàm số. Tìm tiếp tuyến của một góc

Chủ đề Lý thuyết về giới hạn Bài tập thực hành Dãy số Định nghĩa dãy số Dãy có giới hạn và không có giới hạn Dãy đơn chất Dãy số nhỏ vô hạn

44 Ví dụ Tìm đạo hàm toàn phần của hàm phức = sin v cos w trong đó v = ln + 1 w = 1 Theo công thức (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Bây giờ chúng ta tìm vi phân tổng của hàm phức f

BÀI “Ứng dụng của tính liên tục và đạo hàm. Ứng dụng của đạo hàm vào việc nghiên cứu các hàm số. Ứng dụng của tính liên tục .. Phương pháp khoảng .. Tiếp tuyến với đồ thị. Công thức Lagrange. 4. Ứng dụng của đạo hàm

Viện Vật lý và Công nghệ Matxcova Phương trình và bất phương trình mũ, logarit, phương pháp chiết áp và logarit trong giải toán. Hướng dẫn phương pháp chuẩn bị cho các kỳ thi Olympic.

Chương 8 Hàm và đồ thị Các biến và sự phụ thuộc giữa chúng. Hai đại lượng và được gọi là tỷ lệ thuận nếu tỷ số của chúng không đổi, tức là nếu =, trong đó một số không đổi không thay đổi khi thay đổi

BỘ GIÁO DỤC Cộng hòa Belarus TỔ CHỨC GIÁO DỤC "TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHÀ NƯỚC GRODNO ĐƯỢC ĐẶT SAU YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EXPONENTIAL VÀ LOGARITHMIC

Chủ đề Hàm số, các tính chất và đồ thị Khái niệm hàm số Miền định nghĩa và tập giá trị của hàm Cho tập hợp số X Cho một quy tắc ghép mỗi số X với một duy nhất

I Định nghĩa một hàm của một số biến Miền định nghĩa Khi nghiên cứu nhiều hiện tượng, người ta phải xử lý các hàm của hai hoặc nhiều biến độc lập. Ví dụ, nhiệt độ cơ thể tại một thời điểm nhất định

1. Tích phân xác định 1.1. Gọi f là hàm có giới hạn xác định trên đoạn [, b] R. Một phân hoạch của đoạn [, b] là tập hợp các điểm τ = (x, x 1, ..., x n 1, x n) [, b ] sao cho = x< x 1 < < x n 1

Bài giảng Khảo sát một hàm số và cách dựng đồ thị của nó Tóm tắt: Hàm số được khảo sát về tính đơn điệu, cực trị, lồi-đồng biến, sự tồn tại của đồng biến

Chủ đề. Hàm số. Các phương pháp công việc. Hàm ẩn. Chức năng trái ngược. Phân loại hàm Các yếu tố của lý thuyết tập hợp. Các khái niệm cơ bản Một trong những khái niệm cơ bản của toán học hiện đại là khái niệm tập hợp.

Chủ đề 2.1 Hàm số. Hàm, thuộc tính và đồ thị Cho X và Y Một số tập hợp số Nếu mỗi tập hợp theo quy tắc F nào đó được gán một phần tử duy nhất, thì chúng nói rằng

ĐẠI SỐ và sự khởi đầu của phân tích, ĐẠI SỐ XI VÀ SỰ BẮT ĐẦU CỦA PHÂN TÍCH

L.A. Strauss, I.V. Barinova Nhiệm vụ với một tham số trong Hướng dẫn Kiểm tra Trạng thái Thống nhất y = -x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. Các tác vụ có tham số trong USE [Văn bản]: hướng dẫn / L.A. Strauss, I.V.

Chương 3. Khảo sát các hàm với sự trợ giúp của các đạo hàm 3.1. Cực trị và đơn điệu Xét hàm số y = f () xác định trên khoảng I R. Người ta cho rằng nó có cực đại địa phương tại điểm

Chủ đề. Phương trình logarit, bất phương trình và hệ phương trình I. Hướng dẫn chung

Nội dung chúng ta sẽ học: Bài học về chủ đề: Tìm điểm cực trị của hàm số. 1. Giới thiệu. 2) Điểm tối thiểu và tối đa. 3) Cực trị của hàm số. 4) Cách tính điểm cực trị? 5) Ví dụ Guys, chúng ta hãy xem

1 SA Lavrenchenko Bài giảng 13 Hàm số mũ và lôgarit 1 Khái niệm về hàm số mũ Định nghĩa 11 Hàm số mũ là một hàm có dạng hằng số dương, trong đó Hàm

Hội thảo trên web 5 Chủ đề: Ôn tập Chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất (nhiệm vụ 8) Nhiệm vụ 8 Tìm tất cả các giá trị của tham số a, để mỗi giá trị của phương trình a a 0 có bảy hoặc tám nghiệm Cho thì t t Phương trình ban đầu

Đại học Kỹ thuật Nhà nước Moscow mang tên N.E. Bauman Khoa Khoa học Cơ bản Khoa Mô hình Toán học А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko

Thông tin chung Nhiệm vụ có tham số Phương trình với mô-đun nhiệm vụ kiểu C 5 1 Chuẩn bị cho Kỳ thi Trạng thái Thống nhất Dikhtyar M.B. 1. Giá trị tuyệt đối, hay môđun của số x, là chính số x, nếu x 0; số x,

I. V. Yakovlev Tài liệu về toán học Logarit MathUs.ru

13. Đạo hàm riêng của bậc cao Cho = có và xác định trên D O. Các hàm và còn được gọi là đạo hàm riêng bậc nhất của một hàm hoặc đạo hàm riêng bậc nhất của một hàm. và nói chung

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga

NỘI DUNG ĐẠI SỐ VÀ SỰ BẮT ĐẦU CỦA PHÂN TÍCH CHỨC NĂNG ... 10 Tính chất cơ bản của hàm số ... 11 Chẵn và lẻ ... 11 Tính chu kỳ ... 12 Các số không của hàm số ... 12 Tính đơn điệu (tăng, giảm) ... 13 Cực trị (cực đại

GIỚI THIỆU Bài giảng PHÂN TÍCH TOÁN HỌC. Khái niệm về một tập hợp. Tính chất cơ bản định nghĩa hàm. Các hàm sơ cấp cơ bản NỘI DUNG: Các yếu tố của lý thuyết tập hợp Tập hợp các số thực Số

Chuyên đề 36 “Tính chất của hàm số” Chúng ta sẽ phân tích các tính chất của hàm số bằng ví dụ về đồ thị của hàm số tùy ý y = f (x): 1. Miền của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của biến x có tương ứng

Asymptotes Đồ thị của một hàm Hệ tọa độ Descartes Hàm phân số tuyến tính Hàm số vuông Tam thức Hàm số tuyến tính Cực trị cục bộ Bộ các giá trị của hàm số vuông Bộ các giá trị của hàm số

Đại học Liên bang Ural, Viện Toán học và Khoa học Máy tính, Khoa Đại số và Toán rời rạc Nhận xét giới thiệu Bài giảng này dành cho nghiên cứu về mặt phẳng. Vật liệu nó chứa

HÀM SỐ PHÂN BIỆT 1. Các khái niệm cơ bản Phương trình vi phân đối với một hàm số là một phương trình nối hàm này với các biến độc lập và với các đạo hàm của nó.

ĐỒ DÙNG DẠY HỌC Bài tập C5 7 Bất đẳng thức (phương pháp diện tích) Các chỉ số và giải pháp Tài liệu tham khảo Nguồn Koryanov A G, Bryansk Gửi nhận xét và đề xuất tới: [email được bảo vệ] NHIỆM VỤ VỚI THÔNG SỐ

Chủ đề 41 "Nhiệm vụ với một tham số" Các công thức chính của nhiệm vụ với một tham số: 1) Tìm tất cả các giá trị của tham số, mỗi giá trị của tham số thỏa mãn một điều kiện nào đó.) Giải một phương trình hoặc bất phương trình với

Chủ đề 39. "Đạo hàm của hàm số" Đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 được gọi là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số với số gia của biến số, nghĩa là = lim = lim + () Bảng phái sinh: Phái sinh

Bộ môn Toán và Tin học Các yếu tố của Toán học Đại học Phức hợp giáo dục và phương pháp luận dành cho học sinh trung cấp nghề sử dụng công nghệ từ xa Mô đun lý thuyết về giới hạn Người biên soạn: PGS.TS.

Đạo hàm của một hàm Ý nghĩa hình học và vật lý của nó Kỹ thuật phân biệt Các định nghĩa cơ bản Cho f () được xác định trên (,) a, b một điểm cố định nào đó, đối số tăng tại một điểm,

Phân biệt một hàm ẩn Xét hàm (,) = C (C = const) Phương trình này xác định một hàm ẩn () Giả sử chúng ta đã giải phương trình này và tìm thấy một biểu thức tường minh = () Bây giờ chúng ta có thể

Bộ Giáo dục và Khoa học của Đại học Bang Yaroslavl thuộc Liên bang Nga lấy tên theo PG Demidov Khoa Phân tích Rời rạc THU THẬP CÁC NHIỆM VỤ CHO GIẢI PHÁP ĐỘC LẬP VỀ GIỚI HẠN CHỨC NĂNG CHỦ ĐỀ

Hội nghị khoa học-thực tiễn khu vực về công việc giáo dục, nghiên cứu và thiết kế của học sinh lớp 6-11 "Các vấn đề ứng dụng và cơ bản của toán học" Các khía cạnh phương pháp luận của nghiên cứu toán học

Giới hạn và tính liên tục. Giới hạn của một hàm Cho hàm = f) được xác định trong một số lân cận của điểm = a. Đồng thời, tại chính điểm a, hàm không nhất thiết phải được xác định. Sự định nghĩa. Số b được gọi là giới hạn

Đề thi Thống nhất môn Toán lớp 7 năm học Phần A Tìm giá trị của biểu thức 6p p với p = Lời giải Sử dụng tính chất bậc: Thay vào biểu thức kết quả Đúng

0,5 Phương trình và bất phương trình lôgarit. Sách đã sử dụng:. Đại số và sự khởi đầu của phép phân tích 0 - do A.N. Kolmogorov chủ biên. Hoạt động độc lập và điều khiển dựa trên đại số 0- do E.P. Ershov biên tập

Hệ thống nhiệm vụ chủ đề “Phương trình tiếp tuyến” Xác định dấu của hệ số góc của tiếp tuyến vẽ đồ thị của hàm số y f (), tại các điểm có hoành độ a, b, c a) b) Cho biết các điểm có đạo hàm

Bất đẳng thức với một tham số trong kỳ thi trạng thái thống nhất VV Silvestrov

Phương trình đại số trong đó Định nghĩa. Đại số là một phương trình có dạng 0, P () 0, một số số thực. 0 0 Trong trường hợp này, biến được gọi là ẩn số và các số 0 được gọi là

Phương trình của đường thẳng và mặt phẳng Phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng Phương trình tổng quát của đường thẳng. Một dấu hiệu của sự song song và vuông góc của các đường. Trong hệ tọa độ Descartes, mỗi đường thẳng trong mặt phẳng Oxy được xác định bởi

Đồ thị đạo hàm của hàm số Các khoảng đơn điệu của hàm số Ví dụ 1. Hình bên là đồ thị y = f (x) đạo hàm của hàm số f (x) xác định trên khoảng (1; 13). Tìm khoảng thời gian của hàm tăng dần

Mẫu Các bài toán và câu hỏi MA cơ bản cho học kỳ Giới hạn trình tự Đơn giản Tính giới hạn trình tự l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Tính giới hạn trình tự

Các bài toán Hình học Giải tích, Mech-Math, Đại học Tổng hợp Matxcova Bài toán Dan là một tứ diện O Biểu thị vectơ EF theo vectơ O O O có điểm đầu ở giữa E của cạnh O và kết thúc tại điểm F thuộc giao điểm của các trung tuyến của tam giác Lời giải Cho

Phát biểu bài toán Phương pháp phân giác Phương pháp hợp âm (phương pháp tỉ lệ phần 4 Phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến 5 Phương pháp lặp (phương pháp xấp xỉ liên tiếp)) Phát biểu bài toán Cho

1. Biểu thức và phép biến hình 1.1 Căn bậc n Khái niệm về căn bậc n Tính chất của căn bậc n: Căn bậc và tích của các căn: đơn giản biểu thức; tìm giá trị Gốc của một thương số

KIẾN TRÚC N4. Vi phân của một chức năng của đơn đặt hàng đầu tiên và cao hơn. Bất biến của dạng vi phân. Phái sinh của đơn đặt hàng cao hơn. Ứng dụng của vi phân trong tính toán gần đúng. 1. Khái niệm vi phân….

BÀI 7 “Hàm số mũ và lôgarit”. Đại cương về khái niệm độ. Căn bậc và các tính chất của nó .. Phương trình vô tỉ .. Bậc với một số mũ hữu tỉ .. Hàm số lũy thừa ..

13. Số mũ và lôgarit Để hoàn thành việc chứng minh Mệnh đề 12.8, chúng ta vẫn phải đưa ra một định nghĩa và chứng minh một mệnh đề. Định nghĩa 13.1. Một chuỗi a i được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC LIÊN BANG NGA TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CHUYÊN NGÀNH GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC Toán học Lớp 10 NGHIÊN CỨU CÁC CHỨC NĂNG Novosibirsk Để kiểm chứng

LECTURE N. Trường vô hướng. Đạo hàm có hướng. Dốc. Mặt phẳng tiếp tuyến và mặt pháp tuyến. Cực trị của một hàm nhiều biến. Cực trị có điều kiện. Trường vô hướng. Phái sinh đối với

BỘ GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC LIÊN BANG NGA TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CHUYÊN NGÀNH GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC TRUNG TÂM KHOA HỌC Toán học Lớp 0 GIỚI HẠN MỨC ĐỘ Novosibirsk Trực quan

Định nghĩa hàm ngược và các tính chất của nó: bổ đề về tính đơn điệu lẫn nhau của hàm trực tiếp và hàm ngược; tính đối xứng của đồ thị của hàm số thẳng và nghịch biến; các định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm ngược đối với một hàm đơn điệu trên một đoạn, khoảng và nửa khoảng. Ví dụ về hàm nghịch đảo. Một ví dụ về một giải pháp vấn đề. Chứng minh các tính chất và định lý.

Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa của hàm ngược
Cho hàm có miền X và tập giá trị Y. Và để nó có thuộc tính:
cho tất cả .
Sau đó, đối với bất kỳ phần tử nào từ tập Y, chỉ một phần tử của tập X có thể được liên kết với nó. Thư từ này xác định một chức năng được gọi là chức năng trái ngượcđến . Hàm nghịch đảo được biểu thị như sau:
.

Nó theo định nghĩa rằng
;
cho tất cả ;
cho tất cả .

Tính chất về tính đối xứng của đồ thị hàm số thẳng và nghịch biến
Đồ thị của hàm số trực tiếp và hàm số nghịch biến đối xứng với đường thẳng.

Định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm ngược trên một đoạn
Để hàm số liên tục và nghiêm ngặt tăng (giảm) trên khoảng. Sau đó, trên khoảng thời gian hàm nghịch đảo được xác định và liên tục, đang tăng (giảm) một cách nghiêm ngặt.

Đối với một chức năng ngày càng tăng. Để giảm dần -.

Định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm ngược trên một khoảng
Để hàm số liên tục và tăng (giảm) nghiêm ngặt trên một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn mở. Khi đó hàm số nghịch biến xác định và liên tục trên khoảng có giá trị tăng (giảm) nghiêm ngặt.

Đối với một chức năng ngày càng tăng.
Để giảm dần:.

Theo cách tương tự, người ta có thể xây dựng một định lý về sự tồn tại và liên tục của một hàm nghịch biến trên một nửa khoảng.

Nếu hàm số liên tục và đúng tăng (giảm) trên nửa khoảng hoặc, thì trên nửa khoảng hoặc hàm nghịch biến được xác định, tức là tăng (giảm). Nơi đây .

Nếu nó đang tăng nghiêm ngặt, thì các khoảng và tương ứng với các khoảng và. Nếu giảm nghiêm ngặt, thì các khoảng và tương ứng với các khoảng và.
Định lý này được chứng minh tương tự như định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm số nghịch biến trên một khoảng.

Ví dụ về hàm nghịch đảo

Arcsine

Lô y = tội lỗi x và hàm ngược y = arcsin x.

Xét hàm lượng giác xoang:. Nó được xác định và liên tục cho tất cả các giá trị của đối số, nhưng không phải là đơn điệu. Tuy nhiên, nếu miền định nghĩa bị thu hẹp, thì các phần đơn điệu có thể được phân biệt. Vì vậy, trên phân đoạn, hàm được xác định, liên tục, tăng nghiêm ngặt và lấy các giá trị từ -1 trước +1 . Do đó, nó có một hàm ngược trên nó, được gọi là arcsine. Cung tròn có một miền xác định và một tập giá trị.

Lôgarit

Lô y = 2 x và hàm ngược y = log 2 x.

Hàm mũ được xác định, liên tục và tăng nghiêm ngặt đối với tất cả các giá trị của đối số. Tập hợp các giá trị của nó là một khoảng mở. Hàm ngược là logarit cơ số hai. Nó có một phạm vi và một tập hợp các giá trị.

Căn bậc hai

Lô y = x 2 và hàm ngược.

Hàm quyền lực được xác định và liên tục cho tất cả. Tập hợp các giá trị của nó là một nửa khoảng. Nhưng nó không đơn điệu cho tất cả các giá trị của đối số. Tuy nhiên, trên nửa khoảng thời gian, nó tăng liên tục và nghiêm ngặt về mặt đơn điệu. Do đó, nếu, như một miền, chúng ta lấy tập hợp, thì có một hàm ngược, được gọi là căn bậc hai. Hàm ngược có miền xác định và tập giá trị.

Thí dụ. Bằng chứng về sự tồn tại và tính duy nhất của một căn bậc n

Chứng minh rằng phương trình, với n là số tự nhiên, là số thực không âm, có nghiệm duy nhất trên tập các số thực ,. Giải pháp này được gọi là nghiệm thứ n của a. Nghĩa là, bạn cần chứng minh rằng bất kỳ số không âm nào cũng có căn bậc n duy nhất.

Xét một hàm của biến x:
(P1) .

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nó là liên tục.
Sử dụng định nghĩa về tính liên tục, chúng tôi chỉ ra rằng
.
Chúng tôi áp dụng công thức nhị thức Newton:
(P2)
.
Chúng ta hãy áp dụng các tính chất số học của các giới hạn của hàm số. Kể từ đó, chỉ có số hạng đầu tiên là khác:
.
Tính liên tục đã được chứng minh.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng hàm (P1) tăng nghiêm ngặt khi.
Hãy lấy các số tùy ý được kết nối bởi các bất đẳng thức:
, , .
Chúng tôi cần thể hiện điều đó. Hãy giới thiệu các biến. Sau đó . Kể từ khi, nó được nhìn thấy từ (A2) rằng. Hoặc
.
Tăng nghiêm ngặt được chứng minh.

Tìm tập hợp các giá trị của hàm cho.
Tại điểm , .
Hãy tìm giới hạn.
Để làm điều này, hãy áp dụng bất đẳng thức Bernoulli. Khi chúng ta có:
.
Kể từ đó, và.
Áp dụng tính chất của bất đẳng thức của hàm số lớn vô hạn, ta thấy rằng.
Bằng cách này,.

Theo định lý hàm ngược, một hàm nghịch biến được xác định và liên tục trên một khoảng. Nghĩa là, đối với bất kỳ có một duy nhất thỏa mãn phương trình. Vì chúng ta có, điều này có nghĩa là với bất kỳ, phương trình có một nghiệm duy nhất, được gọi là nghiệm nguyên bậc n của số x:
.

Chứng minh các tính chất và định lý

Chứng minh bổ đề về tính đơn điệu lẫn nhau của các hàm trực tiếp và nghịch biến

Cho hàm có miền X và tập giá trị Y. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nó có một hàm ngược. Dựa trên, chúng tôi cần chứng minh rằng
cho tất cả .

Hãy giả sử ngược lại. Hãy để có những con số, vì vậy. Để cùng một lúc. Nếu không, chúng tôi thay đổi ký hiệu để nó như vậy. Khi đó, do tính đơn điệu nghiêm ngặt của f, một trong các bất đẳng thức phải có:
nếu f đang tăng một cách nghiêm ngặt;
nếu f đang giảm nghiêm ngặt.
Đó là . Có một mâu thuẫn. Do đó, nó có một chức năng nghịch đảo.

Hãy để chức năng được tăng nghiêm ngặt. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng hàm ngược cũng tăng nghiêm ngặt. Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu:
. Đó là, chúng ta cần chứng minh rằng nếu, sau đó.

Hãy giả sử ngược lại. Hãy để, nhưng.

Nếu, sau đó. Trường hợp này là khỏi.

Để cho . Sau đó, do sự gia tăng nghiêm ngặt của chức năng, hoặc. Có một mâu thuẫn. Vì vậy, chỉ có trường hợp là có thể.

Bổ đề được chứng minh cho một hàm tăng nghiêm ngặt. Bổ đề này có thể được chứng minh theo cách tương tự đối với một hàm giảm nghiêm ngặt.

Chứng minh một tính chất về tính đối xứng của đồ thị của hàm số trực tiếp và nghịch biến

Cho là một điểm tùy ý của đồ thị hàm số trực tiếp:
(2.1) .
Hãy chứng tỏ rằng điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng thuộc đồ thị của hàm số nghịch biến:
.
Nó theo định nghĩa của hàm nghịch đảo rằng
(2.2) .
Do đó, chúng ta cần chỉ ra (2.2).

Đồ thị của hàm ngược y = f -1 (x)đối xứng với đồ thị của hàm số trực tiếp y = f (x) so với đường thẳng y = x.

Từ các điểm A và S, chúng ta thả các đường vuông góc trên các trục tọa độ. sau đó
, .

Qua điểm A ta kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng. Cho các đường thẳng cắt nhau tại điểm C. Ta dựng một điểm S trên đoạn thẳng sao cho. Khi đó điểm S sẽ đối xứng với điểm A đối với đường thẳng.

Xét các hình tam giác và. Chúng có độ dài hai cạnh bằng nhau: và, và các góc bằng nhau giữa chúng:. Do đó chúng đồng dư. sau đó
.

Hãy xem xét một tam giác. Bởi vì lúc đó
.
Điều tương tự cũng áp dụng cho tam giác:
.
sau đó
.

Bây giờ chúng tôi tìm thấy:
;
.

Vì vậy, phương trình (2.2):
(2.2)
hài lòng vì, và (2.1) thỏa mãn:
(2.1) .

Vì chúng ta đã chọn điểm A một cách tùy ý, điều này áp dụng cho tất cả các điểm của đồ thị:
Tất cả các điểm thuộc đồ thị của hàm số phản xạ đối xứng với đường thẳng đều thuộc đồ thị của hàm số nghịch biến.
Sau đó, chúng ta có thể đổi chỗ cho nhau. Kết quả là, chúng tôi nhận được
Tất cả các điểm thuộc đồ thị của hàm số, phản xạ đối xứng qua đường thẳng đều thuộc đồ thị của hàm số.
Theo đó đồ thị của các hàm số và đối xứng với nhau đối với đường thẳng.

Tài sản đã được chứng minh.

Chứng minh định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm số nghịch biến trên một khoảng

Cho biểu thị miền xác định của hàm - đoạn.

1. Hãy chứng tỏ rằng tập giá trị của hàm số là khoảng:
,
ở đâu .

Thật vậy, vì hàm liên tục trên đoạn, nên theo định lý Weierstrass, nó đạt cực tiểu và cực đại trên đó. Sau đó, theo định lý Bolzano-Cauchy, hàm nhận tất cả các giá trị từ đoạn. Đó là, cho bất kỳ tồn tại, cho cái nào. Vì có cực tiểu và cực đại, nên hàm chỉ nhận các giá trị của đoạn từ tập hợp.

2. Vì hàm số là đơn điệu, nên theo phần trên, có một hàm số nghịch biến, cũng là đơn điệu (tăng nếu tăng; và giảm nếu giảm). Miền của hàm nghịch đảo là tập hợp và tập giá trị là tập hợp.

3. Bây giờ chúng ta chứng minh rằng hàm ngược là liên tục.

3.1. Để có một điểm bên trong tùy ý của phân khúc:. Hãy chứng minh rằng hàm nghịch biến là liên tục tại điểm này.

Hãy để nó tương ứng với điểm. Vì hàm ngược hoàn toàn là hàm đơn điệu, nghĩa là, điểm bên trong của đoạn:
.
Theo định nghĩa về tính liên tục, chúng ta cần chứng minh rằng đối với bất kỳ thì có một hàm sao cho
(3.1) cho tất cả .

Lưu ý là chúng ta có thể lấy nhỏ tùy ý. Thật vậy, nếu chúng ta đã tìm thấy một hàm sao cho các bất đẳng thức (3.1) được thỏa mãn với các giá trị đủ nhỏ của, thì chúng sẽ tự động được thỏa mãn với bất kỳ giá trị lớn nào của, nếu chúng ta đặt cho.

Hãy để chúng tôi lấy nó nhỏ đến mức các điểm và thuộc phân đoạn:
.
Hãy để chúng tôi giới thiệu và sắp xếp ký hiệu:

.

Chúng tôi biến đổi bất đẳng thức đầu tiên (3.1):
(3.1) cho tất cả .
;
;
;
(3.2) .
Vì nó là đơn điệu hoàn toàn, nó tuân theo
(3.3.1) , nếu tăng;
(3.3.2) nếu nó giảm.
Vì hàm ngược cũng là hàm đơn điệu, nên các bất đẳng thức (3.3) bao hàm các bất đẳng thức (3.2).

Đối với bất kỳ ε > 0 tồn tại δ, do đó | f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε cho tất cả | y - y 0 | < δ .

Bất đẳng thức (3.3) xác định một khoảng mở mà các đầu của nó được phân cách với điểm bằng các khoảng cách và. Hãy để có khoảng cách nhỏ nhất trong số các khoảng cách sau:
.
Do tính đơn điệu nghiêm ngặt của,. Đó là lý do tại sao. Khi đó khoảng sẽ nằm trong khoảng được xác định bởi các bất đẳng thức (3.3). Và đối với tất cả các giá trị thuộc về nó, các bất đẳng thức (3.2) sẽ được thỏa mãn.

Vì vậy, chúng tôi đã phát hiện ra rằng tồn tại ở mức đủ nhỏ, để
tại .
Bây giờ chúng ta hãy thay đổi ký hiệu.
Đối với đủ nhỏ, tồn tại như vậy
tại .
Điều này có nghĩa là hàm nghịch đảo là liên tục tại các điểm bên trong.

3.2. Bây giờ hãy xem xét các phần cuối của miền định nghĩa. Ở đây tất cả các đối số vẫn được giữ nguyên. Chỉ những vùng lân cận một phía của những điểm này mới cần được xem xét. Thay vì dấu chấm sẽ có hoặc, và thay vì dấu chấm - hoặc.

Vì vậy, đối với một chức năng ngày càng tăng,.
tại .
Hàm nghịch đảo là liên tục tại, bởi vì với bất kỳ mức đủ nhỏ nào thì có, vì vậy
tại .

Đối với một hàm giảm,.
Hàm nghịch đảo là liên tục tại, bởi vì với bất kỳ mức đủ nhỏ nào thì có, vì vậy
tại .
Hàm nghịch đảo là liên tục tại, bởi vì với bất kỳ mức đủ nhỏ nào thì có, vì vậy
tại .

Định lý đã được chứng minh.

Chứng minh định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm số nghịch biến trên khoảng

Hãy biểu thị miền của hàm - một khoảng mở. Hãy là tập hợp các giá trị của nó. Theo phần trên, có một hàm ngược có miền xác định, tập giá trị và là đơn điệu (tăng nếu tăng và giảm nếu giảm). Chúng tôi vẫn phải chứng minh rằng
1) tập hợp là một khoảng mở, và
2) Hàm nghịch đảo là liên tục trên nó.
Nơi đây .

1. Hãy chứng tỏ rằng tập các giá trị của hàm là một khoảng mở:
.

Giống như bất kỳ tập hợp không trống nào có các phần tử có phép toán so sánh, tập hợp giá trị hàm có giới hạn dưới và giới hạn trên:
.
Đây, và có thể là số hoặc ký hiệu hữu hạn và.

1.1. Hãy chứng tỏ rằng các điểm và không thuộc tập giá trị của hàm số. Nghĩa là, tập giá trị không thể là một phân đoạn.

Nếu hoặc là điểm ở vô cực: hoặc, khi đó một điểm như vậy không phải là một phần tử của tập hợp. Do đó, nó không thể thuộc một bộ giá trị.

Cho (hoặc) là một số hữu hạn. Hãy giả sử ngược lại. Cho điểm (hoặc) thuộc tập giá trị của hàm số. Đó là, tồn tại như vậy cho (hoặc). Lấy điểm và thỏa mãn các bất đẳng thức:
.
Vì hàm hoàn toàn là đơn điệu, nên
, nếu f tăng;
nếu f đang giảm.
Đó là, chúng tôi đã tìm thấy một điểm mà tại đó giá trị của hàm nhỏ hơn (lớn hơn ). Nhưng điều này mâu thuẫn với định nghĩa của mặt dưới (trên), theo đó
cho tất cả .
Do đó các điểm và không thể thuộc về một tập hợp các giá trị chức năng .

1.2. Bây giờ, hãy chứng minh rằng tập hợp các giá trị là một khoảng , chứ không phải là sự kết hợp của các khoảng và điểm. Đó là, cho bất kỳ điểm nào tồn tại , mà .

Theo định nghĩa của mặt dưới và mặt trên, trong bất kỳ vùng lân cận nào của các điểm và chứa ít nhất một phần tử của tập hợp . Để cho - một số tùy ý thuộc khoảng : . Sau đó đối với khu vực lân cận tồn tại , mà
.
Đối với khu vực lân cận tồn tại , mà
.

Vì và , sau đó . sau đó
(4.1.1) nếu tăng;
(4.1.2) nếu giảm dần.
Các bất đẳng thức (4.1) dễ dàng chứng minh bằng mâu thuẫn. Nhưng bạn có thể sử dụng, theo đó trên bộ có một chức năng nghịch đảo , điều này đang gia tăng nghiêm ngặt nếu và giảm nghiêm ngặt nếu . Sau đó, chúng ta ngay lập tức thu được các bất đẳng thức (4.1).

Vì vậy, chúng tôi có một phân khúc , ở đâu nếu tăng;
nếu giảm dần.
Ở cuối đoạn, hàm nhận các giá trị và . Vì , thì theo định lý Bolzano-Cauchy, có một điểm , mà .

Vì , do đó, chúng tôi đã chỉ ra rằng cho bất kỳ tồn tại , mà . Điều này có nghĩa là tập hợp các giá trị hàm là một khoảng thời gian mở .

2. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng hàm nghịch đảo là liên tục tại một điểm tùy ý khoảng thời gian : . Để làm điều này, hãy áp dụng cho phân đoạn . Vì , thì hàm ngược liên tục trên phân khúc , bao gồm cả tại điểm .

Định lý đã được chứng minh.

Người giới thiệu:
ÔI. Những con quỷ. Các bài giảng về giải tích toán học. Phần 1. Matxcova, 2004.
CM. Nikolsky. Khóa học về phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983.