Ma trận nghịch đảo. Giải pháp của phương trình ma trận

Vốn ODA. Bàn hình chữ nhật với t dòng và P các cột số thực được gọi là ma trận kích thước t × n. Các ma trận được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh viết hoa: A, B, ..., và một mảng số được phân biệt bằng dấu ngoặc tròn hoặc vuông.

Các số có trong bảng được gọi là phần tử ma trận và được biểu thị bằng các chữ cái Latinh nhỏ với chỉ số kép, trong đó tôi- số dòng j- số của cột tại giao điểm của phần tử đó. Nói chung, ma trận được viết như sau:

Hai ma trận được coi là bình đẳng nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.

Nếu số hàng ma trận t bằng số cột của nó P, khi đó ma trận được gọi là Quảng trường(nếu không thì là hình chữ nhật).

Ma trận kích thước
được gọi là ma trận hàng. Ma trận kích thước

được gọi là ma trận cột.

Các phần tử ma trận có các chỉ số bằng nhau (
vv), biểu mẫu đường chéo chính ma trận. Đường chéo còn lại được gọi là đường chéo bên.

Ma trận vuông được gọi là đường chéo nếu tất cả các phần tử của nó nằm ngoài đường chéo chính đều bằng không.

Ma trận đường chéo có các mục đường chéo bằng một được gọi là Độc thân ma trận và có ký hiệu chuẩn E:

Nếu tất cả các phần tử của ma trận nằm trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0, ma trận được cho là có dạng tam giác:

§2. Hoạt động ma trận

1. Chuyển vị ma trận - một phép biến đổi trong đó các hàng của ma trận được viết dưới dạng cột trong khi vẫn giữ nguyên thứ tự của chúng. Đối với ma trận vuông, phép biến đổi này tương đương với một ánh xạ đối xứng đối với đường chéo chính:

2. Các ma trận có cùng thứ nguyên có thể được tính tổng (trừ). Tổng (hiệu) của ma trận là ma trận có cùng thứ nguyên, mỗi phần tử của ma trận bằng tổng (hiệu) của các phần tử tương ứng của ma trận ban đầu:

3. Mọi ma trận đều có thể nhân với một số. Tích của ma trận với một số là ma trận có cùng bậc, mỗi phần tử của ma trận bằng tích của phần tử tương ứng của ma trận ban đầu bằng số này:

4. Nếu số cột của một ma trận bằng số hàng của ma trận khác, thì bạn có thể nhân ma trận thứ nhất với thứ hai. Tích của các ma trận đó là một ma trận, mỗi phần tử của nó bằng tổng tích từng cặp của các phần tử thuộc hàng tương ứng của ma trận thứ nhất và các phần tử của cột tương ứng của ma trận thứ hai.

Hậu quả. Luỹ thừa ma trận đến> 1 là tích của ma trận A đến Một lần. Chỉ được xác định cho ma trận vuông.

Thí dụ.

Các thuộc tính của các phép toán trên ma trận.

(A + B) + C = A + (B + C);
k (A + B) = kA + kV;
A (B + C) = AB + AC;
(A + B) C = AC + BC;
k (AB) = (kA) B = A (kV);
A (BC) = (AB) C;
(kA) T = kA T;
(A + B) T \ u003d A T + B T;
(AB) T = B T A T;

Các thuộc tính được liệt kê ở trên tương tự như các thuộc tính của các phép toán trên số. Ngoài ra còn có các thuộc tính cụ thể của ma trận. Chúng bao gồm, ví dụ, thuộc tính đặc biệt của phép nhân ma trận. Nếu tích AB thì tích BA

Có thể không tồn tại

Có thể khác AB.

Thí dụ. Công ty sản xuất các sản phẩm gồm hai loại A và B và sử dụng ba loại nguyên liệu S 1, S 2 và S 3. Tỷ lệ tiêu hao nguyên vật liệu thô được cho bởi ma trận N =
, ở đâu N ij- số lượng nguyên liệu thô j chi cho việc sản xuất một đơn vị sản lượng tôi. Kế hoạch sản xuất được cho bởi ma trận C = (100 200), và đơn giá của từng loại nguyên vật liệu được cho bởi ma trận . Xác định chi phí nguyên vật liệu cần thiết cho sản lượng kế hoạch và tổng chi phí nguyên vật liệu.

Dung dịch. Chi phí nguyên vật liệu thô được định nghĩa là sản phẩm của ma trận C và N:

Chúng tôi tính tổng chi phí nguyên vật liệu thô là tích của S và P.

Ma trận kích thước m ? N là một bảng số hình chữ nhật chứa m hàng và n cột. Các số tạo nên ma trận được gọi là các yếu tố ma trận.

Các ma trận được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa trong bảng chữ cái Latinh ( A, B, C…) và các chữ cái thường có lập chỉ mục kép được sử dụng để chỉ định các phần tử ma trận:

Ở đâu tôi- số dòng, j- số cột.

Ví dụ, ma trận

Hay nói ngắn gọn là A = (); tôi=1,2…, m; j = 1,2,…, n.

Các ký hiệu ma trận khác được sử dụng, ví dụ:,? ?

Hai ma trận NHƯNG và TẠI cùng kích thước được gọi là bình đẳng, nếu chúng khớp từng phần tử, tức là =, ở đâu tôi = 1, 2, 3, …, m, một j= 1, 2, 3,…, n.

Xem xét các loại ma trận chính:

1. Cho m = n thì ma trận A là ma trận vuông có bậc n:

Các yếu tố tạo thành đường chéo chính, các yếu tố tạo thành đường chéo phụ.

Ma trận vuông được gọi là đường chéo, nếu tất cả các phần tử của nó, ngoại trừ có thể là các phần tử của đường chéo chính, đều bằng 0:

Ma trận đường chéo và do đó hình vuông được gọi là Độc thân, nếu tất cả các phần tử của đường chéo chính bằng 1:

Lưu ý rằng ma trận nhận dạng là ma trận tương tự của danh tính trong tập hợp các số thực và cũng nhấn mạnh rằng ma trận nhận dạng chỉ được xác định cho ma trận vuông.

Dưới đây là các ví dụ về ma trận nhận dạng:

Ma trận vuông

lần lượt được gọi là tam giác trên và tam giác dưới.

2. Để m= 1, sau đó là ma trận NHƯNG là một ma trận hàng trông giống như:
3. Để N= 1, sau đó là ma trận NHƯNG là một ma trận cột trông giống như:

4. Ma trận không là ma trận bậc mn, tất cả các phần tử của chúng đều bằng 0:

Lưu ý rằng ma trận rỗng có thể là ma trận vuông, ma trận hàng hoặc ma trận cột. Ma trận 0 là ma trận tương tự của 0 trong tập các số thực.

5. Một ma trận được gọi là chuyển thành ma trận và được ký hiệu nếu các cột của nó là các hàng tương ứng của ma trận.

Thí dụ. Để cho

Lưu ý rằng nếu ma trận NHƯNG có đơn đặt hàng mn, thì ma trận chuyển vị có thứ tự nm.

6. Ma trận A được gọi là đối xứng nếu A =, và đối xứng xiên nếu A =.

Thí dụ. Kiểm tra tính đối xứng của ma trận NHƯNG và TẠI.

do đó ma trận NHƯNG là đối xứng bởi vì A =.

do đó ma trận TẠI là lệch đối xứng, vì B = -.

Lưu ý rằng ma trận đối xứng và ma trận đối xứng xiên luôn là hình vuông. Bất kỳ phần tử nào cũng có thể nằm trên đường chéo chính của ma trận đối xứng và các phần tử giống hệt nhau phải đối xứng với đường chéo chính, nghĩa là luôn có các số không trên đường chéo chính của ma trận đối xứng xiên và đối xứng với đường chéo chính

hủy bỏ laplace ma trận vuông

Định nghĩa bằng Ma trận- được gọi là bảng số chứa một số hàng và cột nhất định

Các phần tử của ma trận là các số có dạng a ij, trong đó i là số của hàng j là số của cột

Ví dụ 1 i = 2 j = 3

Chỉ định: A =

Các loại ma trận:

1. Nếu số hàng không bằng số cột thì ma trận được gọi là hình hộp chữ nhật:

2. Nếu số hàng bằng số cột thì ma trận được gọi là Quảng trường:

Số hàng hoặc cột của ma trận vuông được gọi là theo thứ tự. Trong ví dụ n = 2

Xét một ma trận vuông bậc n:

Đường chéo chứa các phần tử a 11, a 22 ……., A nn, được gọi là chính , và đường chéo chứa các phần tử a 12, a 2 n -1, …… .a n 1 - phụ trợ.

Một ma trận trong đó chỉ các phần tử trên đường chéo chính là khác không được gọi là đường chéo:

Ví dụ 4 n = 3

3. Nếu ma trận đường chéo có các phần tử bằng 1 thì ma trận được gọi là Độc thân và được ký hiệu bằng chữ E:

Ví dụ 6 n = 3

4. Một ma trận, tất cả các phần tử của chúng bằng 0, được gọi là vô giá trị ma trận và được ký hiệu bằng chữ O

Ví dụ 7

5. hình tam giác Ma trận bậc n là một ma trận vuông, tất cả các phần tử của chúng, nằm bên dưới đường chéo chính, đều bằng 0:

Ví dụ 8 n = 3

Các thao tác trên ma trận:

Tổng của ma trận A và B là ma trận C có các phần tử bằng tổng các phần tử tương ứng của ma trận A và B.

Bạn chỉ có thể thêm ma trận có cùng số hàng và số cột.

Tích của ma trận A với số kđược gọi là ma trận kA, mỗi phần tử của nó bằng ka ij

Ví dụ10

Nhân ma trận với một số được rút gọn thành nhân với số này tất cả các phần tử của ma trận.

Sản phẩm của ma trậnĐể nhân một ma trận với một ma trận, bạn cần chọn hàng đầu tiên của ma trận đầu tiên và nhân với các phần tử tương ứng của cột đầu tiên của ma trận thứ hai, cộng kết quả. Đặt kết quả này vào ma trận kết quả ở hàng thứ nhất và cột thứ 10. Tương tự, chúng tôi thực hiện các hành động với tất cả các phần tử khác: hàng đầu tiên đến cột thứ hai, đến cột thứ 3, v.v., sau đó đến các hàng tiếp theo.

Ví dụ 11

Chỉ có thể nhân ma trận A với ma trận B nếu số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai.

- công việc tồn tại;

- sản phẩm không tồn tại

Ví dụ 12 không có gì để nhân hàng cuối cùng trong ma trận II, tức là công việc không tồn tại

Chuyển vị ma trận Thao tác thay thế các phần tử của một hàng bằng các phần tử của một cột được gọi là:

Ví dụ13

Luỹ thừađược gọi là phép nhân liên tiếp của một ma trận với chính nó.

ĐỊNH NGHĨA MỘT MẶT NẠ. CÁC LOẠI TRẬN ĐẤU

Kích thước ma trận m× Nđược gọi là tổng thể m n các số được sắp xếp trong một bảng hình chữ nhật m dòng và N cột. Bảng này thường được đặt trong dấu ngoặc đơn. Ví dụ, ma trận có thể trông giống như sau:

Để ngắn gọn, ma trận có thể được biểu thị bằng một chữ cái viết hoa, ví dụ: NHƯNG hoặc TẠI.

Nói chung, một ma trận có kích thước m× N viết như thế này

Các số tạo nên ma trận được gọi là yếu tố ma trận. Thuận tiện để cung cấp các phần tử ma trận với hai chỉ số aij: Đầu tiên cho biết số hàng và thứ hai cho biết số cột. Ví dụ, một 23- phần tử nằm ở hàng thứ 2, cột thứ 3.

Nếu số hàng trong ma trận bằng số cột thì ma trận được gọi là Quảng trường và số hàng hoặc cột của nó được gọi là theo thứ tự ma trận. Trong các ví dụ trên, ma trận thứ hai là hình vuông - bậc của nó là 3 và ma trận thứ tư - bậc của nó là 1.

Ma trận trong đó số hàng không bằng số cột được gọi là hình hộp chữ nhật. Trong các ví dụ, đây là ma trận đầu tiên và ma trận thứ ba.

Cũng có những ma trận chỉ có một hàng hoặc một cột.

Ma trận chỉ có một hàng được gọi là ma trận - hàng(hoặc chuỗi) và ma trận chỉ có một cột, ma trận - cột.

Một ma trận trong đó tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là vô giá trị và được ký hiệu bằng (0) hoặc đơn giản là 0. Ví dụ:

đường chéo chính Ma trận vuông là đường chéo đi từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải.

Ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử bên dưới đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là hình tam giác ma trận.

Một ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử, ngoại trừ những phần tử trên đường chéo chính, đều bằng 0, được gọi là đường chéo ma trận. Ví dụ, hoặc.

Ma trận đường chéo trong đó tất cả các mục nhập đường chéo đều bằng một được gọi là Độc thân ma trận và được ký hiệu bằng chữ E. Ví dụ, ma trận nhận dạng bậc 3 có dạng .

HÀNH ĐỘNG TRÊN MATRIXES

Ma trận bình đẳng. Hai ma trận Một và Bđược cho là bằng nhau nếu chúng có cùng số hàng và cột và các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau aij = b ij. Vì thế nếu và , sau đó A = B, nếu a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 và a 22 = b 22.

chuyển vị. Xem xét một ma trận tùy ý Một từ m dòng và N cột. Nó có thể được liên kết với ma trận sau B từ N dòng và m cột, trong đó mỗi hàng là một cột của ma trận Một với cùng một số (do đó mỗi cột là một hàng của ma trận Một cùng một số). Vì thế nếu , sau đó .

Ma trận này B gọi là đổi chỗ ma trận Một và quá trình chuyển đổi từ Mộtđến B chuyển vị.

Do đó, chuyển vị là sự đảo ngược vai trò của các hàng và cột trong ma trận. Ma trận được chuyển thành ma trận Một, thường được ký hiệu TẠI.

Giao tiếp giữa ma trận Một và chuyển vị của nó có thể được viết là.

Ví dụ. Tìm ma trận được chuyển thành ma trận đã cho.

Phép cộng ma trận. Cho ma trận Một và B bao gồm cùng một số hàng và cùng một số cột, tức là có cùng kích cỡ. Sau đó, để thêm các ma trận Một và B cần các phần tử ma trận Một thêm các phần tử ma trận Bđứng ở những nơi giống nhau. Như vậy, tổng của hai ma trận Một và Bđược gọi là ma trận C, được xác định bởi quy tắc, ví dụ:

Các ví dụ. Tìm tổng của các ma trận:

Dễ dàng kiểm tra rằng phép cộng ma trận tuân theo các luật sau: giao hoán A + B = B + A và liên kết ( A + B)+C=Một+(B + C).

Nhân ma trận với một số.Để nhân một ma trận Một mỗi số k cần từng phần tử của ma trận Một nhân với số đó. Vì vậy, sản phẩm ma trận Một mỗi số k có một ma trận mới, được xác định bởi quy tắc hoặc .

Đối với bất kỳ số nào một và b và ma trận Một và B sự bình đẳng được thực hiện:

Các ví dụ.

Phép nhân ma trận. Hoạt động này được thực hiện theo một quy luật đặc thù. Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng kích thước của các yếu tố ma trận phải nhất quán. Bạn chỉ có thể nhân những ma trận có số cột của ma trận đầu tiên khớp với số hàng của ma trận thứ hai (tức là chiều dài của hàng đầu tiên bằng chiều cao của cột thứ hai). công việc ma trận Một không phải là một ma trận Bđược gọi là ma trận mới C = AB, có các phần tử được cấu tạo như sau:

Vì vậy, ví dụ, để có được sản phẩm (tức là trong ma trận C) phần tử ở hàng đầu tiên và cột thứ 3 từ 13, bạn cần lấy hàng đầu tiên trong ma trận thứ nhất, cột thứ 3 trong ma trận thứ 2, sau đó nhân các phần tử hàng với các phần tử cột tương ứng và cộng các tích kết quả. Và các phần tử khác của ma trận sản phẩm thu được bằng cách sử dụng một tích tương tự của các hàng của ma trận thứ nhất bởi các cột của ma trận thứ hai.

Nói chung, nếu chúng ta nhân ma trận A = (aij) kích thước m× N thành ma trận B = (bij) kích thước N× P, sau đó chúng tôi nhận được ma trận C kích thước m× P, có các phần tử được tính như sau: phần tử c ij thu được là kết quả của sản phẩm của các nguyên tố tôi hàng thứ của ma trận Một về các yếu tố liên quan j-cột thứ của ma trận B và tổng kết của họ.

Từ quy tắc này, bạn luôn có thể nhân hai ma trận vuông có cùng bậc, kết quả là chúng ta nhận được một ma trận vuông có cùng bậc. Đặc biệt, ma trận vuông luôn có thể được nhân với chính nó, tức là Sẵn sàng chiến đấu.

Một trường hợp quan trọng khác là phép nhân một hàng ma trận với một cột ma trận và chiều rộng của cột đầu tiên phải bằng chiều cao của cột thứ hai, kết quả là chúng ta nhận được một ma trận có bậc đầu tiên (tức là một phần tử). Có thật không,

Các ví dụ.

Do đó, những ví dụ đơn giản này cho thấy rằng các ma trận, nói chung, không giao tiếp với nhau, tức là A ∙ B ≠ B ∙ A . Do đó, khi nhân ma trận, bạn cần theo dõi cẩn thận thứ tự của các thừa số.

Có thể xác minh rằng phép nhân ma trận tuân theo luật kết hợp và phân phối, tức là (AB) C = A (BC) và (A + B) C = AC + BC.

Cũng dễ dàng kiểm tra rằng khi nhân một ma trận vuông Một vào ma trận nhận dạng E cùng thứ tự, chúng ta lại thu được ma trận Một, hơn thế nữa AE = EA = A.

Sự thật đáng tò mò sau đây có thể được lưu ý. Như đã biết, tích của 2 số khác 0 không bằng 0. Đối với ma trận, điều này có thể không đúng, tức là tích của 2 ma trận khác 0 có thể bằng ma trận không.

Ví dụ, nếu , sau đó

KHÁI NIỆM VỀ NGƯỜI XÁC ĐỊNH

Cho ma trận bậc hai - ma trận vuông gồm hai hàng và hai cột .

Yếu tố quyết định bậc hai tương ứng với ma trận này là số thu được như sau: a 11 a 22 - a 12 a 21.

Định thức được ký hiệu bằng ký hiệu .

Vì vậy, để tìm định thức bậc hai, bạn cần phải trừ tích của các phần tử dọc theo đường chéo thứ hai với tích của các phần tử của đường chéo chính.

Các ví dụ. Tính định thức bậc hai.

Tương tự, chúng ta có thể xem xét một ma trận bậc ba và định thức tương ứng.

Yếu tố quyết định bậc ba, tương ứng với một ma trận vuông bậc ba đã cho, là một số được ký hiệu và thu được như sau:

Do đó, công thức này đưa ra khai triển của định thức bậc ba theo các phần tử của hàng đầu tiên a 11, a 12, a 13 và giảm phép tính định thức bậc ba thành phép tính định thức bậc hai.

Các ví dụ. Tính định thức bậc ba.

Tương tự, người ta có thể đưa ra các khái niệm về các yếu tố quyết định của phần tư, thứ năm, v.v. , giảm thứ tự của chúng bằng cách mở rộng các phần tử của hàng đầu tiên, trong khi các dấu "+" và "-" cho các điều khoản thay thế nhau.

Vì vậy, không giống như ma trận, là một bảng số, định thức là một số được gán theo một cách nhất định cho ma trận.

Các hành động khác nhau được thực hiện trên các ma trận như vậy: chúng được nhân với nhau, các định thức được tìm thấy, v.v. Ma trận- Trường hợp đặc biệt của mảng: nếu mảng có thể có bất kỳ số chiều nào, thì chỉ mảng hai chiều được gọi là ma trận.

Trong lập trình, ma trận còn được gọi là mảng hai chiều. Bất kỳ mảng nào trong chương trình được đặt tên như thể nó là một biến duy nhất. Để làm rõ ý nghĩa của ô nào trong mảng, khi nó được đề cập trong chương trình, cùng với biến, số ô trong đó sẽ được sử dụng. Cả ma trận hai chiều và một mảng n chiều trong chương trình không chỉ có thể chứa số mà còn là ký hiệu, chuỗi, Boolean và các thông tin khác, nhưng luôn giống nhau trong toàn bộ mảng.

Ma trận được ký hiệu bằng chữ in hoa A: MxN, trong đó A là tên của ma trận, M là số hàng trong ma trận và N là số cột. Các phần tử - các chữ cái viết thường tương ứng với các chỉ số cho biết số của chúng trong hàng và trong cột a (m, n).

Các ma trận phổ biến nhất là hình chữ nhật, mặc dù trong quá khứ xa xôi, các nhà toán học cũng coi các ma trận là hình tam giác. Nếu số hàng và số cột của một ma trận là như nhau, nó được gọi là hình vuông. Trong trường hợp này, M = N đã có tên của thứ tự ma trận. Ma trận chỉ có một hàng được gọi là một hàng. Ma trận chỉ có một cột được gọi là một cột. Ma trận đường chéo là ma trận vuông trong đó chỉ các phần tử nằm dọc theo đường chéo là khác không. Nếu tất cả các phần tử đều bằng một, ma trận được gọi là đồng nhất, nếu không - không.

Nếu bạn hoán đổi các hàng và cột trong một ma trận, nó sẽ bị hoán vị. Nếu tất cả các phần tử được thay thế bằng các liên hợp phức tạp, nó sẽ trở thành liên hợp phức tạp. Ngoài ra, còn có các loại ma trận khác, được xác định bởi các điều kiện áp đặt lên các phần tử của ma trận. Nhưng hầu hết các điều kiện này chỉ áp dụng cho những hình vuông.

Các video liên quan